Metodología para la solución de problemas de Cinemática y Dinámica
El método consiste en 5 pasos, las cuales van encaminados a lograr cumplir con la solución del problema plantado. Paso 1. Concepto. Una vez leído y comprendido el enunciado, se aísla el concepto(s) mecánico(s) involucrado(s). Se recomienda que se subrayen para que estas palabras sobresalgan del resto. Paso 2. Definición Matemática: Una vez identificado todos los conceptos involucrados, se procede a relacionarlos con las definiciones y/o Modelos matemáticos. Paso 3. Variables a Solucionar: Se identifica cuales son las preguntas (variables incógnitas), y se asocia a variables dentro de los modelos matemáticos Paso 4. Datos: Del enunciado se extraen todos los datos que puedan ser útiles para sustituirlos en los modelos matemáticos Paso 5. Dibujo o Esquema: Se dibuja una pequeña figura que ilustre el problema y queden representadas las variables incógnitas y datos del problema Paso 6. Procedimiento de Solución: Como último punto, se inicia con el procedo operacional y/o matemático que implique.
Ejemplo 1 Se determinó que en cierto instante de alguna línea del metro el comportamiento del tren en línea recta se describe con el siguiente modelo x = 4t + 2t + 5 donde x está en ft y t en seg a) Determine la posición, la velocidad y la aceleración del metro cuando t = 3 seg
1. Concepto:
Línea recta Aceleración Velocidad instantánea Aceleración media e instantánea
Movimiento rectilíneo Acelerado (MRA)
Velocidad instantánea
2. Definición:
v=
dx dt
Aceleración instantánea
3. Variables a solucionar:
v ( 3 ) ; x ( 3 ) ; a ( 3 ) ; am (1)
4. Datos del enunciado: Modelo de la posición del metro con respecto al tiempo: 3
x=4 t +2 t+2
5. Dibujo o Esquema:
6. Solución: Se obtendrán los modelos que representan el comportamiento cinemático del metro, mediante la definición de velocidad y aceleración instantánea. 3
v=
dx d (4 t +2 t + 2) = dt dt
v =12t 2+ 2 Por lo tanto tenemos los modelos que nos muestran el comportamiento cinemático del metro:
x=4 t 3 +2 t+2 v =12t 2+ 2 a=24 t Sustituyendo para cuando t=3 seg
x (3)=4 (3 )3+ 2(3)+ 2 x ( 3 ) =119 ft v (3)=12(3)2 +2 v ( 3 )=110
ft seg
a(3)=24(3)
a ( 3 )=72
ft seg 2
Para la aceleración media durante el 4to segundo
am =
δv δt
am (1)=
(194−110 ) 1
am (1)=84
ft seg 2
¿Cuándo es nula la aceleración de un punto que se mueve sobre el eje de las ordenadas según la ley y = 5 – t – 6t2 + t4? En dicha ley, y está en mm y t en seg. ¿Cuál es su posición cuando su rapidez es de 7 mm/seg?
1. Concepto:
2. Definición:
Línea recta Aceleración Posición Rapidez
Velocidad instantánea
Aceleración instantánea en términos de la posición y
tiempo 3. Variables a solucionar:
a=
dx dt
a ( t 0 )=0 ; y ( v ) = y 0 → y (7 )= y 0 4. Datos del enunciado: Modelo de la posición 5. Dibujo o esquema:
y=5−t−6 t 2+t 4
Movimiento rectilíneo Acelerado (MRA)
v=
dx dt
6. Solución: Para saber en qué instante la aceleración será cero, es conveniente obtener los modelos matemáticos que describen al movimiento. Aplicando la definición de velocidad y aceleración, esto significa derivar 2 veces el modelo que posición. Luego aplicamos la condición para cuando
a ( t 0 )=0
y resolvemos para t
y=5−t−6 t 2+t 4 v =−1−12t +4 t
3
a=−12+12 t 2 0=−12+12 t
2
t=±1
t=1 (seg)
La condición para resolver cual será la posición cuando su rapidez es de 7 mm/seg es:
y ( v )= y 0 → y ( 7 ) = y 0
Puesto que no disponemos de un
modelo que relacione, la posición con la velocidad. Se calculará el momento cuando la velocidad es de 7 mm/seg. Y finalmente se evalúa en el modelo de posición
7=−1−12t +4 t 3 t 1 =¿ 2 (seg) 2
y=5−t−6 t +t 2
4
y (2 )=5−( 2 ) −6 ( 2 ) + ( 2 ) y=−5 mm
4
Si la gráfica velocidad-tiempo de un tren que viaja en línea recta, es la que se muestra en la figura, diga qué distancia total recorre y cuál es su aceleración máxima. (Sol 42.5 km; 0.1543 m/seg2) Línea recta 1. Concepto Aceleración Distancia
Movimiento rectilíneo Acelerado (MRA)
Velocidad instantánea 2. Definición Aceleración instantánea en términos de la posición y tiempo Posición a partir de la velocidad
3. Variables a solucionar
x ( t 0 )= x0 ; a ( t o )=a0 4. Datos del problema.
5. Solución: Para problemas de este tipo, en donde se da como dato la grafica de la velocidad contra tiempo, y se pide la distancia recorrida recordaremos la definición geométrica de la integral, pues corresponde al área bajo la curva, que en interpretación mecánica dicha área, será la distancia recorrida.
d rec =A 1 + A 2 + A 3 d rec =
0.1(100) 0.05(100) +0.35(100)+ 2 2
d rec =42.5 km
La aceleración máxima se obtendrá, geométrica de la derivada. grande, será la aceleración máxima.
m 1=
100 km m =1000 2 =0.077 2 0.1 hr s
m 2=
100 km m =2000 2 =0.01543 2 0.05 hr s
mediante la definición La pendiente más
amax =0.01543
m s2
En la figura se muestra la gráfica aceleración-tiempo del movimiento rectilíneo de una partícula que parte del origen con una rapidez de 8 ft/seg. Dibuje las gráficas v-t y s-t y escriba las ecuaciones del movimiento.
1. Concepto:
2. Definición :
Línea recta Aceleración Posición Velocidad
Velocidad instantánea
Aceleración instantánea en términos de la posición y tiempo
a=
dx dt
Movimiento rectilíneo Acelerado (MRA)
v=
dx dt
3. Variables a solucionar:
x ( t ) ; v ( t ) ; a(t)
4. Datos del problema:
v ( 0 ) =8 5. Dibujo o esquema:
6. Solución: En este caso, donde no se nos proporciona una función para poder derivar o integrar, se deberá de extraer toda la información de la grafica, obteniendo por medio de esta el modelo de la aceleración.
a=
12 t 13
A partir de este modelo de aceleración, se utilizará el concepto de aceleración, donde se resolverá la ecuación inicial con las condiciones iníciales, y que fueron dato del problema. Así se llegará al modelo de la velocidad.
a=
dv dt
12 dv = 13 dt
12 dt=∫ dv 13 ∫ 12 t=v +c 13
Para obtener el valor de la C, se necesitaran de las condiciones iníciales, se analiza de la siguiente forma; Se observa las variables que están en la ecuación y se intenta extraer estas del problema, en este caso necesitamos una velocidad para un tiempo.
PVI=v ( 0 )=15 c=8 v=
12 t+8 13
Se usa el concepto de velocidad y de nuevo se resuelve la ecuación diferencial con valores iníciales. Finalmente obtendremos el modelo de posición
v=
dx dt
12 dx t+ 8= 13 dt 12
∫ ( 13 t+8)dt=∫ dx PVI → x ( 0 )=0 c=0 x=
24 2 t +8 t 13
Un proyectil viaja a través de una medio de 2 m de espesor. Su aceleración varía en función de su posición de acuerdo a la ley
a=−5 e−s , donde a está en m/seg2 y s en m. Si su rapidez al entrar en el medio es de 6 m/seg, ¿con qué velocidad saldrá de él?
1. Concepto:
Línea recta Aceleración Distancia
Movimiento rectilíneo Acelerado (MRA)
Velocidad instantánea Aceleración instantánea en términos de la velocidad y posición
2. Definición:
3. Variables a solucionar:
v ( 2 )=v 0 4. Datos del problema:
v ( x 0 )=v 0 → v ( 0 ) =6 a=−5 e−s 5. Dibujo o Esquema:
6. Solución: De las dos posibles opciones que tenemos para tratar a la aceleración elegimos la aceleración que relaciona la velocidad con la posición. Ya que son precisamente esas variables a solucionar.
−5 e−s =v
dv dx
Se separan variables para solucionar la ecuación diferencial, y utilizamos la velocidad del dato del problema, para plantear los valores iníciales y calcular la constante de integración
−5 ∫ e dx=∫ vdv −s
1 2 −s 5 e = v +c 2 PVI → v ( 0 )=6 C=-13
1 2 −s 5 e = v −13 2
Despejamos a v y evaluamos cuando s=2 2
v =√2 ( 5 e−s +13 ) 2
v (2)= √2 ( 5 e−2+13 ) m
V=5.23 seg
En un ascensor en movimiento se pesa un cuerpo de 5 kg con una balanza de resorte. La balanza indica 5.1 kg. Halle la aceleración del ascensor.
1. Concepto:
Línea recta Movimiento rectilíneo Acelerado (MRA) Aceleración Peso Segunda ley de Newton
Segunda ley de Newton
2. Definición:
3. Variables a solucionar:
ax
4. Datos del problema:
5. Dibujo o esquema:
6. Solución Se elabora el diagrama de cuerpo libre para localizar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, y se elige un sistema de referencia, para este caso será cartesiano. Aplicando la segunda ley de newton, se observa que el peso “neto” es la diferencia de 5kg y 5.01kg. Y posteriormente se despeja la
∑f x =ma w 1=5 kg
a
w 2=5 .1kg w=w 2−w 1=0.1 kg −w=ma
a=
−w m
a=
−0.1 5 9.81
a=0.1962↑
m 2 seg
Los pesos de la polea y de la cuerda de la figura son despreciables. Línea recta Sabiendo que la cuerda es flexible Movimiento e inextensible y que no hay rectilíneo Acelerado (MRA) Aceleración ninguna fricción en la polea, calcule la aceleración del cuerpo B. Peso Segunda ley de Newton 1. Concepto: Segunda ley de Newton
2. Definición:
3. Variables a solucionar:
aB 4. Datos del problema:
5. Dibujo o esquema:
A
B
6. Solución: Al observar el arreglo de la polea se deduce que la tensión en la cuerda es la misma en toda su longitud, pues el peso de la polea es despreciable. Para saber cuál es la relación de la aceleración del cuerpo B con respecto al A se hace un análisis cinemático
l=Y A + Y B
O=v A + v B O=a A +a B a A =−a B ----------------- (1) Ya tenemos la relación de aceleraciones, ahora con ayuda de los diagrmas de cuerpo libre relacionamos las fuerzas que están involucradas con segunda ley de Newton. Cuerpo A
∑f y =m A a A T −w A=mA a A
----------- (2)
Cuerpo B
∑f y =m A a A T −w B=mB aB
------------- (3)
Tenemos tres ecuaciones, con tres incógnitas. Continuamos a resolver el sistema de ecuaciones para calcular
aB
a A =−a B T −w A=mA a A T −w B=mB aB
a B=6.44
ft ↑ seg2
