PROGRAMACION LINEAL FASE 4
Nombre EDNA JULIANA LASPRILLA MARTÍNEZ COD. LEIDY PAOLA PINTO ACOSTA CÓDIGO: JHOHANNA GONZALEZ DIAZ CODIGO: 52791653 GRUPO 100404_228
Tutor JENNIFER TOVAR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) 9 DE Mayo de 2017
INTRODUCION
En este trabajo desarrollaremos los diferentes problemas por el método simplex este es un método analítico el cual da solución a diversos problemas de programación lineal hasta los modelos más complejos se pueden desarrollar mediante el método grafico sin importar el número de variables. El método simplex es un método que permite mejorar la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que este aumente o disminuya según la función objetivo, en este caso el número de vértices es finito y siempre se hallara la solución. Veremos en la solución de cada problema el paso a paso utilizando este método y como gracias a él se obtendrá el resultado final de cada uno con sus respectivas gráficas.
OBJETIVOS
Por medio de los contenidos del curso reconocer la metodología y contextualización para el desarrollo de los problemas. Corregir de manera adecuada y por el método simplex los problemas de la actividad anterior y entregar evidencia de la entrega del documento a la persona encargada en el establecimiento comercial. Desarrollar los 5 problemas planteados por el método simplex con el paso a paso y acompañado de las gráficas correspondientes.
Problema por método SIMPLEX
1. Producción especial de mochilas para enfrentar la demanda de comienzo del ciclo Escolar, en especial piensa lanzar dos líneas: la "A' de mochilas clásicas, sin carro y sin dibujo y la "B" de mochilas con carro y con dibujos de personajes infantiles de moda. La mochila "A" ocupa 10 horas de tiempo de mano de obra y 6 rollos de materia prima mientras que la "B" ocupa 15 horas de mano de obra y 7 rollos de materia prima. La contribución de una "A' es de $ 8.000 y la de una mochila de "B" es de $ 6.000 Con 40 horas de tiempo disponible de mano de obra y 32 rollos de materia prima. ¿Cuántas mochilas de cada clase debe fabricar la empresa para maximizar la contribución Total? Rollos de materia prima
Horas de mano de obra
Contribución
Mochila tipo A
6
10
$8000
Mochila tipo B
7
15
$6000
Disponibilidad
32
40
Variables:
: Mochila tipo A : Mochila tipo B Maximizar:
8000 + 6000 6 + 7 ≤ 32 10 + 15 ≤ 40 , ≥ 0
La variable que sale de la base es , y la que entra es
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. En rojo los puntos que no pertenecen a la región factible. La solución óptima es Z = 32.0000,
= 4,
= 0.
Solución: La empresa debe tener una producción especial de 4 mochilas de tipo A “mochila clásica”
para maximizar la contribución y así enfrentar la demanda de comienzo del ciclo escolar. Análisis de los resultados: Es más viable la producción de 4 la mochila A y 0 de la tipo B, trabajando las 40 horas disponibles de manufactura y aprovechando al máximo los 32 rollos de materia prima , generando una contribución para la empresa de $32.000.
PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL PARA DESARROLLAR CON PHPSimplex
2. Creaciones JONEPES recibe el encargo de elaborar tres tipos de tallas de uniformes para niña. Dispone para ello de 30 metros de lino a cuadros, 25 metros de dacron hilo blanco y 50 metros de micropins. En la talla 10 se gastan 60 cm de lino a cuadros, 50 cm de dacron hilo blanco y 80 cm de micropins y cuesta $97.000. En la talla 12 se gastan 70 cm de lino a cuadros, 60 cm de dacron hilo blanco y 90 cm de micropins y cuesta $102.000. En la talla 14 se gastan 80 cm de lino a cuadros, 70 cm de dacron hilo blanco y 100cm de micropins y cuesta $107.000. Se desea saber el número de uniformes de cada talla que se debe elaborar para que los ingresos sean máximos. Talla 10 Talla 12 Talla 14 Máximo
Lino (m) 0.6 0.7 0.8 30
Dacron (m) 0.5 0.6 0.7 25
Micropins (m) 0.8 0.9 1 50
Variables: → 10 → 12 → 14
Restricciones: 0.6 + 0.7 + 0.8 ≤ 30 0.5 + 0.6 + 0.7 ≤ 25 0.8 + 0.9 + 1 ≤ 50
Función objetivo: = 97000 + 102000 + 107000
Costo ($) 97000 102000 107000
Mediante el programa PHPSimplex se resuelve el problema de maximización:
Finalmente, se tiene que la solución más óptima consta de solo fabricar tallas 10, en un total de 50 prendas para obtener una ganancia máxima de 485000.
4.
La empresa Cauchos y Cauchos Pereira dedicada a la comercialización y fabricación de empaques de cauchos para el sector automotriz dispone mensualmente de dos toneladas entre material de llanta reciclado y solvente químico distribuidos en el 87.5% de material de llanta reciclado y el resto del total de la materia prima disponible en solvente químico. Para la producción de un buje se requiere de 34 gr de material de llanta reciclado y 2 gr de solvente químico mientras para producir una manguera se requiere de 200 gr de material de llanta reciclado y 20 gr de solvente químico. Cuál debe ser la cantidad de bujes y mangueras que la empresa debe suministrar a los almacenes para obtener un beneficio máximo, si el precio fijado es de $3500 y $7800 respectivamente.
Productos
Recursos Material de llanta Solvente químico reciclado
precio
Buje Manguera Disponibilidad recurso
34 gramos 200 gramos del 1.750.000 gramos
2 gramos 20 gramos 250.000 gramos
$ 3.500 $ 7.800
PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL PARA DESARROLLAR CON PHPSimplex Estos problemas son reales y tomados de las empresas reales:
5. En esta panadería, aparte de vender pan, también se preparan menús especiales para el desayuno, aunque se pueden pedir a cualquier hora del día. El primero es de $5.000, el cual consiste en 2 huevos (preparados de la forma que se prefiera), 2 panes y una bebida. El segundo es a $6.000 con 3 huevos, 3 panes y una bebida. Al día se tiene un límite de 1.500 huevos, 1.200 panes y 1.800 bebidas para preparar. ¿Cuántos menús del primer y segundo tipo deben vender para obtener el máximo ganancias?
HUEVOS DESAYUNO 1 DESAYUNO 2 CANTIDAD
PANES
BEBIDAS
2
2
1
5000
3
3
1
6000
1500
1200
1800
VARIABLES DE DECISION X1= Desayuno
1
X2= Desayuno
2
UTILIDAD
FUNCION OBJETIVO FMAX=
5000X1 + 6000X2
RESTRICCIONES
Huevos= 2X1 + 3X2 ≤ 1500 Panes= 2x1 + 3x2 ≤ 1200 Bebidas= x1 + x2 ≤ 1800
PHPSIMPLEX
La tabla inicial del método Simplex está compuesta por todos los coeficientes de las variables de decisión del problema original y las de holgura, exceso y artificiales agregadas en el paso 2 (en las columnas, siendo P0 el término independiente y el resto de variables Pi coinciden con Xi), y las restricciones (en las filas). La columna Cb contiene los coeficientes de las variables que se encuentran en la base. La primera fila está formada por los coeficientes de la función objetivo, mientras que la última fila contiene el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj. La última fila se calcula como sigue: Zj = Σ(C bi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Aunque al tratarse de la primera tabla del método Simplex y ser todos los Cb nulos se puede simplificar el cálculo, y por esta vez disponer Zj = -Cj.
Hay infinitos valores de X1, X2 para el valor óptimo Z=0, los cuales en el segmento de la recta 0X1+0X200 Que cumple las restricciones del problema una de ellas es: X1=0 X2=0 Si el objetivo es la maximización, cuando en la última fila (fila indicadora) no existe ningún valor negativo entre los costes reducidos (columnas P1 en adelante) se alcanza la condición de parada. En tal caso se llega al final del algoritmo ya que no existe posibilidad de mejora. El valor de Z (columna P0) es la solución óptima del problema. Otro caso posible es que en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos. Esto indica que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. Ante esta situación no es necesario continuar iterando indefinidamente y también se puede dar por finalizado el algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos de forma iterativa.
La variable que sale de la base es P4 y la que entra es P2. OPERACIONES INTERMEDIAS
La variable que sale de la base es P2 y la que entra es P1
La solución optima es Z= 3000000 X1= 600 X2= 0
FUNCION OBJETIVO Al comprobar la condición de parada se observa que se cumple ya que entre los elementos de la primera a la última fila no hay uno negativo, se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos cumpliéndose, por tanto la condición de parada. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los términos independientes (P0), en este ejemplo: 3000000. En la misma columna se puede ver el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: X1 = 1200 y X2 = 300. Deshaciendo el cambio de variables se obtiene X= 1200 y Y= 300. METODO GRAFICO MAXIMIZAR: 0 X1 + 0 X2 2 X1 + 3 X2 ≤ 1500 2 X1 + 3 X2 ≤ 1200 1 X1 + 1 X2 ≤ 1800 X1, X2 ≥ 0
NOTA: En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
ANALISIS
Según el análisis del problema de la panadería nos indica que se debe vender del desayuno 1 600 unidades para obtener una ganancia de 3,000.000 con la cual se obtendría el máximo beneficio.
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