Bloque 5

El Taj Mahal es la maravilla arquitectónica más conocida de la India. Se encuentra en la ciudad de Agra, ubicada a unos 200 km al sureste de Delhi. La construcción del edificio fue ordenada por el emperador Shah Jahan para que sirviera de mausoleo a su esposa Mumtaz Mahal. La obra se inició en 1631 y duró 20 años. Trabajaron en ella más de 20 000 obreros en turnos continuos y se emplearon 1 000 000 elefantes. El recinto de mármol blanco sorprende por su desmedido lujo y su diseño de gran simetría.

E U Q O L B

5

220

Aprendizajes esperados • • •

•

Resuelve problemas problemas que implican implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades propiedades de de la figura original que se conservan. Resuelve problemas problemas que implican determinar la medida medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares. Explica la relación que existe entre la probabilidad probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.

Trabajen en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado anterior. También pueden consultar Internet o un libro; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen.

a) Identifiquen los elementos simétricos que pueden hallar hallar en la fotografía fotografía y coméntenlos con sus compañeros. b) Brahmagupta fue el más más grande de los matemáticos matemáticos de la India. India. Entre sus contribuciones, está el estudio de las ecuaciones de la forma ax � by � c en las que y y que que satisfagan la a, b y c son enteros. Se trata de hallar valores enteros de x y ecuación. Observen la ecuación 3 x � 2 y � 10. ¿Pueden encontrar valores enteros de x y y y que que satisfagan la igualdad? Recuerden que los números enteros pueden ser positivos, negativos o cero.

221

Trabajen en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado anterior. También pueden consultar Internet o un libro; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen.

a) Identifiquen los elementos simétricos que pueden hallar hallar en la fotografía fotografía y coméntenlos con sus compañeros. b) Brahmagupta fue el más más grande de los matemáticos matemáticos de la India. India. Entre sus contribuciones, está el estudio de las ecuaciones de la forma ax � by � c en las que y y que que satisfagan la a, b y c son enteros. Se trata de hallar valores enteros de x y ecuación. Observen la ecuación 3 x � 2 y � 10. ¿Pueden encontrar valores enteros de x y y y que que satisfagan la igualdad? Recuerden que los números enteros pueden ser positivos, negativos o cero.

221

Juegos y retos Animalirretos ¿Puedes resolver los siguientes retos? ¡Qué gatos tan pesados! Los gatos grandes pesan más que los pequeños, pero todos los grandes pesan lo mismo, igual que todos los pequeños. ¿Cuánto pesa cada gato?

El caballo y el burro Un burro y un caballo cargaban varios sacos del mismo peso. El caballo se quejaba: —Ya no soporto tanta carga. —¿De qué te quejas? Si me dieras un saco, yo llevaría el doble de sacos saco s que tú; en cambio, si yo te diera un saco, tendríamos la misma carga —contestó el burro. ¿Cuántos sacos llevaba cada animal?

222

Estampas

¿Cuál es el valor de cada estampa?

19

∙

?

∙

20

∙

14

∙

∙

∙

∙

∙

16

?

20

21

PISTAS Y ESTRATEGIAS

Resuelve individualmente los problemas. Después trabaja con tres o cuatro compañeros. Comenten las estrategias que siguieron para resolver los problemas y también comenten sus dificultades.

223

Lección 78 Sistemas de ecuaciones I PRE GUNTA INICIAL

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 3 x � 2 y � 5? 1

Trabaja con tres o cuatro compañeros. Cada equipo debe escoger uno de los siguientes problemas y encontrar varias soluciones. Todos los problemas deben ser elegidos al menos por un equipo.

a) Hallen rectángulos de 27 cm de perímetro.

•

Registren sus resultados en una tabla como la siguiente. Largo

Ancho

b) Encuentren rectángulos cuyo largo mida el doble de centímetros que de ancho.

•

Registren sus resultados en una tabla como la siguiente. Largo

Ancho

c) Encuentren números enteros que sumen 5. Tengan en cuenta los números negativos.

•

Registren sus resultados en una tabla como la siguiente. Primer número

Segundo número

d) Encuentren números enteros cuya diferencia sea 11. Tengan en cuenta los números negativos.

•

Registren sus resultados en una tabla como la siguiente. Primer número

224

Segundo número

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones

2

Comparen sus soluciones de la actividad anterior con las de sus compañeros. Trabajen juntos quienes resolvieron los problemas a) y b) y a los que les correspondió c) y d).

a) Revisen si encontraron alguna solución común. Es decir, para los problemas a) y b), vean si hallaron un rectángulo cuyo perímetro sea 27 cm y su largo mida el doble que el ancho; y para los problemas c) y d), revisen si hay dos números cuya suma sea 5 y su diferencia, 11. b) Si no encontraron soluciones comunes, búsquenlas con ayuda del profesor. c) Escriban las soluciones comunes. Problemas a) y b)

Largo: 9 cm Ancho: 4.5 cm 3

Problemas c) y d)

Los números son 8 y

3.

−

Efectúa lo siguiente.

a) Escribe una ecuación que represente las condiciones del problema a) de la actividad 1. Denota con literales el largo y el ancho del rectángulo.

b) Escribe, con las mismas literales, una ecuación que represente las condiciones del problema b) de la actividad 1.

2x � 2y � 27 ¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación?

R. T. Infinidad.

c) Denota con literales dos números y escribe una ecuación que represente las condiciones del problema c) de la actividad 1.

x � 2y ¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación?

d) Usa las mismas literales y escribe una ecuación que represente las condiciones del problema d) de la actividad 1.

a � b � 5 ¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación?

R. T. Infinidad.

R. T. Infinidad.

a − b � 11 ¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación?

R. T. Infinidad.

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores. Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es aquel donde las incógnitas tienen exponente 1. La pareja de valores que soluciona ambas ecuaciones de un sistema es la solución del sistema. 4

Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 ∙ 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución)

225

Lección 79 Sistemas de ecuaciones II PRE GUNTA INICIAL

¿Qué solución tiene el sistema formado por las ecuaciones x + 3 y � 35 y y − 2 � 8? 1

Observa las balanzas y efectúa lo que se indica.

81 Kg

4 Kg

Balanza 1

Balanza 2

a) Completa la tabla y busca más soluciones para la balanza 1.

c) Completa la tabla y busca más soluciones para la balanza 2.

R. T. Peso del bote azul Peso del bote rojo

1 kg 2 kg 3 kg 4 kg

7 kg

10 kg 13 kg 16 kg 19 kg 22 kg 34 kg 49 kg

5 kg 6 kg 10 kg 15 kg

La balanza 1 está en equilibrio cuando

3 botes azules pesan uno rojo más 4 kg. b) Escribe una ecuación (llámale ecuación 1) que represente a la balanza 1.

4x � 4

1 kg 5 kg

79 kg

71 kg 69 kg 61 kg 51 kg 41 kg 31 kg 21 kg

6 kg 10 kg 15 kg 20 kg 25 kg 30 kg

La balanza 2 está en equilibrio cuando

un bote rojo y 2 azules pesan 81 kg. d) Escribe una ecuación (llámale ecuación 2) que represente a la balanza 1; usa las mismas literales que en b).

2x �

x � y � 2

Peso del bote azul Peso del bote rojo

Escribe qué acciones se efectúan en las balanzas y cómo se transforman las ecuaciones. 4 Kg

Balanza 1

Acción efectuada:

R. T. Se quitó

un bote azul de cada platillo. 226

81

y �

4 Kg

Balanza 1

Ecuación 1 anterior: Ecuación 1 nueva:

4x � 4

x � y �

3x � 4

y �


81 Kg

4 Kg

Balanza 2

Balanza 1

Como un bote rojo equivale a 3 azules y 4 kg, se sustituyó un bote rojo en un platillo de la balanza 2.

Acción efectuada:

81 Kg

4 Kg

Balanza 2

Ecuación 2 anterior: 3

2x �

81

y �

Ecuación 2 nueva:

Haz lo que se indica. Observa que la ecuación 2 de la actividad anterior solo tiene una incógnita.

a) Resuelve la ecuación. ¿Cuánto pesa el bote azul? b) Encuentra el peso del bote rojo.

•

5x + 4 = 81

15.4 kg

50.2 kg

Observa cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con dos incógnitas con el método de sustitución.

Sistema: x � 3 y � 8 x − y � 4

a) Se despeja una variable en una ecuación, es decir, se deja sola la variable en uno de los miembros. b) Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. c) Se resuelve la ecuación con una sola incógnita que se obtuvo. d) Se sustituye el valor de la variable encontrada en este caso ( y � 1) en la ecuación del paso a) y obtenemos el valor de la otra variable, en este caso x . 4

x � 3 y � 8

x � 8 − 3 y

x − y � 4

8 − 3 y − y � 4

8 − 2 y � 4

− y � −

x � 8 − 3(1)

x � 5

2

4

y � 1

Comenten en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Hallen el mejor método para resolverla.


227

Lección 80 Sistemas de ecuaciones III PRE GUNTA INICIAL

Un sistema está formado por la ecuación 2 x � 5 y � 6, y por la ecuación 2 x − y � 11. ¿Qué se obtiene si restas la segunda ecuación de la primera? 1

Efectúa lo que se pide.

En una papelería Iván compró tres lápices y dos cuadernos del mismo precio por $30.00, y María cuatro lápices y tres cuadernos iguales que los de Iván, por $44.00. ¿Cuánto cuesta cada lápiz y cada cuaderno? a) Anota una ecuación para cada esquema. Esquema 1

Ecuación 1 �

�

$30

3x � 2y � 30

Esquema 2

Ecuación 2 �

�

$44

4x � 3y � 44

b) Explica cómo a partir del esquema 1 se forma el esquema 3 y anota una nueva ecuación. Realiza lo mismo para el esquema 2 y el esquema 4. Esquema 3 �

�

multiplicando por 3.

Se obtuvo

Ecuación 3:

$90

9x � 6y � 90

Esquema 4 �

Se obtuvo

�

multiplicando por 2.

Ecuación 4:

$88

8x � 6y � 88

c) Deduce, de acuerdo con los esquemas 3 y 4, el valor de un lápiz. R.

T. $2.00.

d) Resta cada miembro de la ecuación 4 a la 3. Si no recuerdas cómo restar polinomios, consulta la lección 28. Primer miembro −

9x � 6y

�

90

8x � 6y

�

88

�

2

x

228

Segundo miembro


e) Resuelve la ecuación que encontraste y anota el valor de los lápices y los cuadernos. Precio de un lápiz: $2.00 2

Precio de un cuaderno:

$12.00

Completa la solución de un sistema de ecuaciones con el método de eliminación.

Ecuación 1 Ecuación 2

5 x � 4 y � −2 7 x − 6 y � 32

Se multiplican las ecuaciones para que los coeficientes de una de las variables sean iguales Multiplicamos la ecuación 1 por 3: 15 x � 12 y � −6; y la ecuación 2 por 2: 14 x − 12 y � 64. u opuestos (uno el inverso aditivo del otro). 15 x � 12 y � −6 14 x − 12 y � 64

Se suman las ecuaciones y se obtiene una ecuación con una incógnita. Se soluciona la ecuación.

Se sustituye el valor encontrado en una ecuación para hallar el valor de la otra incógnita. 3

5(2) 10

4y � � 4y � �

29x � 58 29x � 58 58 � 2 x � 29 4y � −12 −2 −12 −2 y � 4

3

� −

Explica cómo se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

Sistema:

x � 2 y � 14

2 x � 6 y � 30 Pasos

Explicación

x � 14 − 2 y

Se despeja una de las incógnitas en una ecuación.

2 x � 30 − 6 y 2 x � 30 − 6 y 2 2 x � 15 − 3 y

Se despeja la misma incógnita en la otra ecuación.

14 − 2 y � 15 − 3 y

Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones obtenidas en el paso anterior.

2

Se resuelve la ecuación.

3

15 − 14 y � 1

− y � y �

x � 2(1) � 14 x � 2 � 14 x � 14 − 2 x � 12

Se sustituye el valor encontrado en una ecuación para hallar el valor de la otra incógnita.

El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se resolvió al usar un método llamado por igualación. 4

Comenta con tus compañeros tu respuesta a la pregunta inicial y resuelve el sistema de ecuaciones.


229

Lección 81 Sistemas de ecuaciones IV PRE GUNTA INICIAL

Un sistema está formado por las ecuaciones 4 x − 3 y � 14 y x � y � 6, y otro por las ecuaciones 4 x − 3 y � 14 y 4 x � 4 y � 10. ¿Qué relación hay entre ambos? 1

Resuelve los problemas. Utiliza el método que creas más conveniente para resolver cada sistema.

a) En el sistema

2 x � 3 y � 4 3 x − 5 y � 7,

¿por qué números hay que multiplicar las ecuaciones para obtener los siguientes sistemas? i) 6 y � 9 y � 12 6 y − 10 y � 14

ii) 10 y � 15 y � 20 9 y − 15 y � 21

Por 3 y por 2.

Por 5 y por 3.

b) Las balanzas están en equilibrio y las pesas son de un kilogramo. 1 Kg

1 Kg

i)

1 Kg

1 Kg

1 Kg

1 Kg

1 Kg 1 Kg

Si las frutas del mismo tipo pesan lo mismo, ¿cuánto pesa cada calabaza y cada melón? Cada calabaza pesa 3 kg y cada melón 2 kg

c) Las dos balanzas siguientes están en equilibrio.

¿Cuántos limones se necesitan para equilibrar la piña?

2 43 Se necesitan

230

limones.


d) Raquel tiene cinco animales, entre perros y pájaros. Entre todos tienen 14 patas. ¿Cuántos perros y cuántos pájaros hay?

2 perros y

Hay

3

pájaros.

e) Halla dos números; su diferencia es 14 y el mayor es el triple que el menor. Los números son:

21 y 7

f) Si dos tornillos y cuatro tuercas pesan 17 g, y 5 tornillos y 3 tuercas, 32 g, ¿cuánto pesa cada tornillo y cada tuerca? Cada tornillo pesa y cada tuerca,

5.5

g

1.5

g

g) Los García viajarán a un remoto país donde solo existen monedas de 9 soles y 7 soles. Si en un comercio gastaran 55 soles, ¿cuántas monedas deberían entregar para pagar el precio exacto? Tendrán que pagar con

4

de 7 soles y

3

de 9 soles.

2

Compara tus respuestas y métodos de solución con los de tus compañeros. Comenten por qué eligieron cada método para resolver los sistemas.

3

En tu cuaderno resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando primero el método de igualación y luego el método de suma y resta.

2 x � 3 y � 13 5 x − y � 7 ¿Qué método resultó más eficiente? R. P.

• 4

Elabora en tu cuaderno una explicación en la que establezcas en qué caso es más eficiente el método de suma y resta. En tu cuaderno resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando primero el método de sustitución y luego el método de suma y resta.

2 x � 3 y � 47 y � 5 x − 24 ¿Qué método resultó más eficiente? R. P.

•

Elabora en tu cuaderno una explicación en la que establezcas en qué caso es más eficiente el método de sustitución.

5

Inventa un problema que pueda resolverse con un sistema de ecuaciones. Anótalo en tu cuaderno.

6

Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Resuelvan los sistemas de ecuaciones.


231

Lección 82 Gráficas de sistemas de ecuaciones I PRE GUNTA INICIAL

En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cada ecuación se puede graficar en el plano cartesiano. Si graficas las dos ecuaciones del sistema, ¿qué se obtiene? 1

Lleva a cabo lo que se pide.

2 x − y � 11 x − y � 7

ecuación 1 ecuación 2

a) Despeja y en ambas ecuaciones del sistema. ecuación 1:

y � 2x − 11

ecuación 2:

y � x − 7

b) Como habrás observado, obtuviste expresiones de la forma y � mx � b. Escoge valores para x , calcula los correspondientes de y , y grafica las ecuaciones en el siguiente plano cartesiano. Prolonga los segmentos de recta de manera que localices el punto donde se cruzan. Ecuación 1 x y

Ecuación 2 x y

2

−7

0

−7

5

−1

7

0

Y 8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 6 7 8 232

1

2

3

4

5

6

7

8

X


c) Contesta en tu cuaderno. i) ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se cortan las rectas? ii) Resuelve el sistema de ecuaciones por el método que te resulte más eficiente. iii) Explica qué relación hay entre las coordenadas del punto donde se intersecan los segmentos de recta y las soluciones del sistema de ecuaciones. 2

Grafica el sistema de ecuaciones y escribe las coordenadas donde se cortan las rectas.

3 x − y � −24 x � y � 0


Coordenadas donde se cortan las rectas: (−6, 6) Y 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8 7 6 5 4 3 2 11 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

X

6 7 8

3

Resuelve el sistema de ecuaciones anterior con el método de suma y resta, luego grafícalo y compáralo con el punto de intersección.

La solución del sistema es: 4

x � −6, y � 6

Comenta en grupo cómo es posible determinar el punto de intersección antes de graficar el sistema y obtengan conclusiones.

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema

233

Lección 83 Gráficas de sistemas de ecuaciones II PRE GUNTA INICIAL

¿Cómo se puede saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas al ver su gráfica? 1

Grafica el siguiente sistema de ecuaciones.

2 x � y � 3 4 x � 2 y � −8


Y 8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

X

a) En tu cuaderno, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de suma y resta; luego responde. i)

¿Por qué crees que no pudiste resolverlo?

b) Con ayuda de la gráfica explica por qué el sistema de ecuaciones no tiene solución. Un sistema de ecuaciones que no tiene solución es indeterminado.

234


2

Grafica el siguiente sistema de ecuaciones.

6 x � 2 y � 18 3 x � y � 9


Y 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8 7 6 5 4 3 2 11 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

X

a) En tu cuaderno, resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de igualación, luego responde: i)

¿Por qué crees que no pudiste resolverlo?

b) Con ayuda de la gráfica explica por qué el sistema tiene muchas soluciones. Un sistema de dos ecuaciones lineales puede tener una solución, ninguna o infinidad de soluciones. 3

Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Obtengan conclusiones.

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema

235

Lección 84 Simetría I PRE GUNTA INICIAL

¿Qué significa que una figura sea simétrica a otra? 1

Efectúa lo siguiente.

Necesitas una hoja de papel, compás, regla, transportador, un espejo rectangular, lápiz y un color rojo. Recuerda

Los vértices de un triángulo son los puntos donde se unen los lados.

a) Dobla la hoja de papel a la mitad.

b) Traza un triángulo en una de las mitades y, con la punta del compás, haz orificios en sus vértices, de manera que traspases las dos mitades de la hoja.

c) Desdobla la hoja. Observa que los orificios que hiciste son los vértices de otro triángulo. Trázalo.

d) Marca de rojo el doblez de la hoja y coloca de canto el espejo, como se muestra. Comenta con tu grupo lo que observas.

Los dos triángulos que trazaste son simétricos. La línea roja que marcaste es el eje de simetría.

Observa

e) Señala los vértices de los triángulos, como se muestra en el dibujo.

A’, B’ y C’ se leen “A prima”, ”B prima” y “C prima”,

f) Une con segmentos punteados los puntos simétricos. Marca con azul las líneas punteadas de una mitad de la hoja y con verde las de la otra mitad.

A’

A

A

A’

respectivamente.

B

B’ B

C C’

236

B’ C C’

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos

2

Usando tu regla y transportador mide las distancias y los ángulos que se indican.

Para el triángulo ABC

Para el triángulo A´BĆ´

Segmento AB AC BC

Medida del segmento

Ángulo ∠ABC ∠BCA ∠CAB

Medida del ángulo

1.6 2.9 2.3 95 33 52

°

°

°

Segmento A´B´ AĆ´ BĆ´

Medida del segmento

Ángulo ∠A´BĆ´ ∠BĆÁ´ ∠CÁ´B´

Medida del ángulo

1.6 2.9 2.3 95 33 52

°

°

°

a) ¿Cómo son las medidas de los lados y de los ángulos del triángulo ABC respecto a las

R. T. Las medidas de los segmentos y los ángulos del triángulo A´BĆ´? __________________________________________________ correspondientes son iguales. _____________________________________________________________________

• 3

Comparte tus resultados y comenta: usando su respuesta anterior ¿se puede decir que los triángulos ABC y A´BĆ´ son idénticos?

En una hoja de papel efectúa lo que se indica. a) Dobla la hoja a la mitad, como en el inciso a) de la actividad 1. Dibuja un rectángulo en una de las mitades cuyas medidas sean 3 cm de ancho y 7 cm de largo.

b) Haz orificios en los vértices del rectángulo como lo hiciste con el triángulo, de manera que traspases las dos mitades de la hoja. c) ¿Puedes afirmar que, si unes los puntos sobre la otra mitad de la hoja, se formará un rectángulo cuyo ancho mide 3 cm, y 7cm su largo? Explica tu respuesta en tu cuaderno.

•

Une los puntos y verifica si se formó un rectángulo con las medidas indicadas. Discute en grupo si esto pasa con cualquier figura geométrica que se trace de esta forma. Comenten sus respuestas a la pregunta inicial.

Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos

237

Lección 85 Simetría II PRE GUNTA INICIAL

¿Cuál es el simétrico de un punto? 1

Resuelve lo siguiente.

a) Las siguientes figuras se trazaron como en las actividades de la lección anterior. Luego se unió el punto A con A´ mediante un segmento de recta punteado. D´ D C´

A´ B´

C A B

b) Une los puntos B con B´, C con C´ y D con D´ con un segmento de recta punteado como se unieron los puntos A y A´. c) Mide la distancia sobre la línea punteada de A a la intersección del eje de simetría (recta roja) y de A´ a la intersección del eje de simetría. i)

¿Cómo son esas distancias entre sí?

Son iguales.

ii) ¿Crees que pase lo mismo para los puntos B y B´, C y C´, D y D´? Mídelas y registra tus resultados en el siguiente espacio.

R. T. Se pretende que los alumnos expresen que las distancias medidas son iguales.

d) Escribe tus conclusiones en el cuaderno sobre lo que observaste. En figuras simétricas como las anteriores, el punto A´ se llama simétrico de A, el punto B´, simétrico de B, y así sucesivamente.

238


2

Las siguientes figuras son simétricas, el eje de simetría es el segmento rojo. El punto A´ es el simétrico de A, B´ es el simétrico de B y C´ es el simétrico de C. B´ A´

B

C´

A C

a) Une con segmentos punteados los puntos A, B y C con sus simétricos. b) Comprueba que la distancia de A al eje de simetría es la misma que la de su simétrico A´ al eje. Haz lo mismo con B y B´, y con C y C´. Registra las medidas en tu cuaderno. c) Reúnete con un compañero para elaborar una explicación de por qué el eje de simetría y el segmento que une A con su simétrico A´ son perpendiculares. R. P.

•

En grupo discute tus respuestas. Comenten la siguiente información.

En figuras simétricas la distancia de un punto al eje de simetría es igual a la distancia de su simétrico al mismo eje. La medida de ambas distancias se calcula sobre el segmento de recta que los une, ya que este segmento es perpendicular al eje de simetría. 3

Verifica que se cumpla la información anterior para estas figuras simétricas. C B

D D´

A

C´

E B´ E´ A´

•

Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Comenten si un punto es simétrico o tiene simetría.


239

Lección 86 Simetría III PRE GUNTA INICIAL

¿Qué propiedades deben cumplir dos figuras simétricas? 1

Las dos figuras son simétricas con respecto a la línea roja.

A

A´ D

D´

B

B´

C

C´

a) Completa las tablas. Mide lo que se indica. Segmento AB AD BC CD

Medida del segmento

3.1 3.1 3.1 3.1

cm cm cm cm

Segmento A´B´ A´D´ BĆ´ C´D´

Medida del segmento

3.1 3.1 3.1 3.1

cm cm cm cm

b) El segmento AB es el correspondiente del segmento A´B´. ¿Cómo son sus medidas: diferentes o iguales?

Son iguales.

c) Verifica si esto sucede con los demás segmentos correspondientes. Anota tus resultados y conclusiones en tu cuaderno. 2

Traza la figura simétrica al siguiente triángulo.

a) Nombra los vértices de ambas figuras y verifica si cada lado mide lo mismo que su correspondiente en la otra figura.

240


3

Completa las tablas a partir de los rombos simétricos. Mide lo que se indica. Ángulo formado en el vértice

Medida del ángulo

A B C D

126 54 126 54

D´

�

�

A´

D

�

�

C´ C Ángulo formado en el vértice

Medida del ángulo

A´ B´ C´ D´

126 54 126 54

B´

A

�

� �

B

�

a) El ángulo formado en el vértice A es correspondiente al ángulo formado en A´. i)

Son iguales.

¿Cómo son sus medidas, diferentes o iguales?

ii) Verifica si esto sucede con los demás ángulos correspondientes. Anota tus resultados en tu cuaderno. 4

Traza la figura simétrica al rectángulo.

B

∙

C

∙

D

∙

A

∙

D A

C B

• Nombra los vértices de ambas figuras y verifica, para cada ángulo, si mide lo mismo que su correspondiente. Compara tus resultados con el resto del grupo, lean la siguiente información y coméntenla. Revisen la pregunta de incicio de la lección y comenten qué otras propiedades pueden añadir. En figuras simétricas la medida de lados correspondientes, así como la de ángulos correspondientes, es la misma. Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos

241

Lección 87 Simetría IV PRE GUNTA INICIAL

¿Cómo es la figura simétrica de un rombo o de un rectángulo? 1

En cada caso, traza la reflexión respecto al segmento azul, como en el ejemplo. a)

b)

A

P

∙

P

A’

c)

d)

M

E

∙

∙

E

M

2

Comenta con dos o tres compañeros cómo resolviste la actividad anterior. Redacten en sus cuadernos un procedimiento para localizar puntos simétricos respecto a un eje de simetría.

3

Traza la reflexión de los puntos A, B y C del triángulo respecto al segmento de recta rojo.

A

C

∙

∙

C

B A

∙

B

a) El triángulo ABC es un triángulo equilátero. Mide sus lados o sus ángulos para verificarlo. b) Une los tres puntos que trazaste anteriormente. ¿El triángulo que se forma es también un triángulo equilátero? Justifica tu respuesta:

R. T. Sí es equilátero porque se conservan las medidas de los ángulos y de los segmentos. 242


4

Para cada una de las siguientes figuras efectúa lo que se pide. D

a) Traza la reflexión de los puntos A, B, C y D. Une los puntos para obtener un cuadrilátero simétrico a ABCD. A

•

La figura ABCD es un trapecio isósceles. ¿El cuadrilátero que trazaste es también un trapecio isósceles? Justifica tu respuesta.

B

R. T. Sí, porque DA y BC son paralelos, entonces D�A� y B�C� también lo son; además, puesto que ∙DB∙ � ∙CA∙, entonces ∙D�B�∙ � ∙C�A�∙.

D� B� C�

b) Traza la reflexión de los puntos A, B, C y D. Une los puntos para obtener un paralelogramo simétrico a ABCD.

•

C

A�

C� C

B�

La figura ABCD es un rombo. ¿El cuadrilátero que trazaste es también un rombo? Justifica tu respuesta.

D� D

R. T. Sí, porque los lados de la figura que resulta de la reflexión siguen siendo iguales.

B

A

c) Traza la figura simétrica al rectángulo ABCD.

•

Explica por qué la figura que trazaste es un rectángulo con las mismas medidas.

A

D

D�

A�

B

C

C�

B�

R. T. Porque los lados de la reflexión tienen la misma medida que los de la figura original, también se conservan los ángulos.

•

Compara tus resultados con tus compañeros. Establezcan por qué una figura simétrica a un triángulo equilátero es también un triángulo equilátero. Señalen con qué otras figuras pasa esto. Analicen sus conclusiones con respecto a lo que respondieron en la pregunta inicial.


243

Lección 88 Sectores circulares PRE GUNTA INICIAL

El radio del círculo es 2 cm y el área coloreada mide 9.42 cm 2. ¿Cuál es la medida del ángulo marcado? Considera π � 3.14.

1

Lee el problema y efectúa lo que se pide.

Se quiere colocar un ruteador inalámbrico en una bodega con forma rectangular en la que se han instalado unas oficinas. El alcance del ruteador es de 48 m.

7 234.56 m2 a) ¿Cuál es la superficie máxima de cobertura que puede abarcar? _______________ b) Si se coloca el ruteador sobre una de las paredes, ¿cuál es la superficie máxima de

3 617.28 m2 ¿Y en una esquina? ______________ 1 808.64 m2 cobertura que puede abarcar? ______________ c) Traza un ejemplo de cada área de cobertura.

R. T. El área que abarca en d) Indica la relación entre las tres áreas que calculaste. __________________________

una esquina es la mitad de la que abarca en la pared y la cuarta parte de la que _____________________________________________________________________

abarca en el centro. _____________________________________________________________________ 2

Efectúa lo que se pide.

El área de cobertura que trazaste cuando el ruteador está en una pared o en una esquina es un sector circular, que es la superficie del círculo delimitada por un ángulo central. Hay una relación entre la medida del ángulo central con el área del sector circular que delimita. Para descubrirla, mide los ángulos centrales de los siguientes sectores circulares y completa la tabla.

244

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

vii)

viii)

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida

Círculo Ángulo central Parte coloreada del círculo

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

vii)

viii)

90�

180�

270�

120�

150�

230�

160�

290�

1 4

1 2

3 4

1 3

5 12

23 36

4 9

29 36

a) Si el radio de cada círculo midiera 3 cm, ¿cuál sería el área de todo el círculo? (con2 sidera que π � 3.14) 28.26 cm

b) Completa la tabla.

Círculo Área coloreada (cm2) 3

4

ii)

iii)

iv)

7.065

14.13

21.195

9.42

11.775

vi)

vii)

18.055

12.56

viii) 22.765

Observa que los sectores circulares de la actividad 2 determinan arcos de círculo señalados con una línea gruesa roja. Encuentra la longitud de la línea. Recuerda que el radio mide 3 cm y considera π � 3.14. Aproxima a tres cifras decimales. i) 4.71

ii) 9.42

iii)

iv)

14.13

6.28

v) 7.85

vi)

vii)

12.037 8.373

viii) 15.177

Calcula las áreas coloreadas ( A) y la longitud de los arcos rojos (L). El radio de los círculos mide 10 cm. Considera que π � 3.14 y aproxima a tres cifras decimales.

a)

b)

c) 38�

20�

A � L� 6

v)

Discute con dos o tres compañeros un procedimiento para calcular el área de un sector circular conociendo el radio y el ángulo central. Escríbanlo en sus cuadernos.

Círculo Longitud del arco (cm) 5

i)

34.889 cm2 6.978

A �

cm

L�

66.289 13.258

120�

cm2

A �

104.667 cm2

cm

L�

20.933 cm

Calcula el área de la parte coloreada. El radio del círculo mide 5 cm. Considera π � 3.14. A�

36.99

cm2 4.33

7

Revisa tu respuesta a la pregunta inicial con el grupo. Discutan cuál es el procedimiento y la solución correcta.

Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona

60�

245

Lección 89 Trapecios y coronas circulares PRE GUNTA INICIAL

¿Cuál es el área de la figura? Considera que π � 3.14.

10 cm 5 cm

1

Resuelve el problema con un compañero. Consideren π � 3.14.

Una pista de atletismo tiene las siguientes medidas en metros. 9.76

84.39

36.50

9.76

a) ¿Cuál es el perímetro de la parte interior de la pista (marcada con rojo)? 398 m b) ¿Y el de la parte exterior de. la pista (señalada con azul)? c) ¿Cuál es el área que ocupan los carriles de la pista?

459.2928 m

4 183.588864 m2

d) Compara tus respuestas y estrategias de solución con las de dos compañeros. Una corona circular es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

2

246

Un trapecio circular es una superficie limitada por dos radios y una corona circular.

En pareja discute cuál es el método para calcular el área de una corona circular si se conocen las longitudes de los radios de las circunferencias concéntricas. También discutan cómo calcular el área y el perímetro de un trapecio circular si conocen la longitud de los radios y el ángulo que forman. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida

3

Calcula el área total de las zonas rojas en cada salvavidas. Considera π � 3.14.

El radio de los salvavidas mide 5 dm y el del agujero 2.5 dm. a)

b)

A 4

29.4375 dm2

�

A

�

23.55

dm2

Calcula el área de cada figura. Las partes curvas son la mitad o la cuarta parte de una circunferencia. 6 cm

a)

' 3 cm

A

12.36375 �

cm2

2.1 m

b) 1m

0.8 m

A

�

1.7394

m2

0.3 m

•

Compara tus respuestas de las actividades 3 y 4 con las de tus compañeros. Comenten si tuvieron que hacer algún trazo sobre las figuras para facilitar el cálculo y qué fórmulas utilizaron.

Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona

247

Juegos y retos Buscando espías Buscando espías se juega en parejas. Cada persona necesita dos tableros como los que se ilustran a continuación. 4

Y

4

3

3

2

2

1

1

Y

X

4 3

2

0

1

1

2

3

X

4 3

4

2

1

0

1

1

2

2

3

3

4

4

Tablero 1

1

2

3

4

Tablero 2

Reglas 1. Cada jugador marca tres puntos en el plano ubicados sobre una misma línea recta, sobre los vértices de la cuadrícula del tablero 1; cada punto representa un espía. La línea sobre la que se encuentran los espías debe abarcar todo el plano; representa el canal de comunicación entre los espías. Aquí hay dos ejemplos.

Y

Y

X

2. Se sortea quién será el jugador 1.

248

X

3.

4.

5. 6. 7.

El jugador 1 intenta adivinar dónde están los espías de su contrincante, mencionando una coordenada al jugador 2, por ejemplo: (3, 4). Solo son válidas las coordenadas con números enteros. El jugador 2 revisa su tablero 1. Si el jugador 1 atina a un espía, el jugador 2 dice “acertaste”; si solo acierta una coordenada de alguno de los espías, dice “casi”; si acierta a la línea, menciona “línea”; y, en cualquier otro caso, “fallaste”. Cuando un jugador atina a un espía o a la línea, tiene derecho a seguir tirando. Si falla, cede el turno a su contrincante. Los jugadores deben indicar los resultados de sus tiros en el tablero 2, por ejemplo, con taches cuando fallen y con círculos si aciertan a un espía o a la línea. Gana quien logre tres aciertos primero, es decir, quien haga decir “acertaste” tres veces a su contrincante.

PISTAS Y ESTRATEGIAS

Recuerda que un punto en el plano cartesiano se denota con una pareja de valores ( x , y ) que se llaman coordenadas. Para ubicar un punto de coordenadas ( x , y ) en el plano, el valor x se localiza en el eje x y el valor y , en el eje y . El punto es la intersección de la línea vertical imaginaria que pasa por el eje x y la horizontal que pasa por el y . Por ejemplo: El punto de coordenadas (−2, 3) se localiza así: 4

El punto de coordenadas (0, −3) está sobre el eje y .

Y

4

3

3

2

2

1

1

Y

X

4 3 2 1 0 1

1

2

3

4

X

4

3 2 1 0 1

2

2

3

3

4

4

1

2

3

4

Para ganar el juego, observa que algunas líneas tienen muchos puntos, cuyas coordenadas son enteras. Para ubicar a tus espías puedes buscar rectas que tengan pocos puntos con coordenadas enteras, pero por lo menos debe haber tres.

249

Lección 90 Gráficas de relaciones lineales I PRE GUNTA INICIAL

¿Qué diferencia hay entre la gráfica de la función y � 2 x , y la gráfica de la función y � −2 x ? 1

Observa las gráficas y haz lo que se pide.

a) Un automóvil que viaja por una carretera plana a 50 m sobre el nivel del mar (snm) empieza a subir por una pendiente hacia una casa ubicada a 250 m snm. Traza una línea recta que una los dos puntos rojos. Contesta de acuerdo con la gráfica resultante. i) ¿A qué altura sobre el nivel del mar estará el automóvil tras avanzar horizontalmente 200 m?

Y

300

A 100 m ) m e ( c l n a a c v i t A r e v

200 100

100

200

300

400

500

600

700

800

ii) Escribe cuántos metros debe recorrer el automóvil en forma horizontal para llegar a la casa. Debe recorrer 800 m

X

iii) Completa la tabla. Avance horizontal (m)

x

0

200

400

600

800

y

50

100

150

200

250

iv) ¿Qué pasa con los valores de y si aumentan los de x ? R. T. También aumentan. v) ¿Cuántos metros sube el automóvil por cada 200 m que avanza horizontalmente? R. T. Sube 50 m

vi) ¿Y por cada 100 m? R. T. Sube 25 m vii) Escribe la ecuación que relaciona el avance horizontal con el vertical, es decir, que relaciona los valores de x con los de y . y �

1 4

x

� 50

viii) La <
1 4

La gráfica de una función de la forma y = mx + b es una línea recta. A m se le llama pendiente de la recta. Esta función es creciente si la pendiente es un número positivo. En este caso, cuando aumenta el valor de x , también aumenta su correspondiente valor de y .

250

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Proporcionalidad y funciones

b) Un ciclista se encuentra a 250 m snm y empieza a descender por una pendiente que llega a 0 m snm. Traza una línea que una los puntos rojos. Contesta de acuerdo con la gráfica. i)

Y 300 v e A r t v i a c a n l c e ( m )

200 100

Escribe a qué altura sobre el nivel del mar estará el ciclista tras avanzar 150 m horizontalmente.

100

200

300

400

500

600

700

800

X

Avance horizontal (m)

A 200 m snm ii) Escribe cuántos metros debe avanzar el ciclista en forma horizontal para llegar al nivel del mar. Debe avanzar 750 m iii) Completa la tabla. x

0

150

300

450

600

750

y

250

200

150

100

50

0

iv) ¿Cuántos metros baja el ciclista por cada 150 m que recorre en forma horizontal? Baja 50 m

¿Y por cada 100 m? Baja 33.333 m

v) Escribe la ecuación que relaciona el avance horizontal con el vertical. y �

−

1 x + 250 3

vi) Anota el valor de m de la ecuación anterior.

−

1 3

Una función de la forma y � mx � b es decreciente si la pendiente es un número negativo. En este caso, cuando aumenta el valor de x , el valor correspondiente de y disminuye. 2

Contesta.

a) Si el número de lados de un polígono aumenta, ¿qué sucede con la suma de sus ángulos interiores? También aumenta.

¿La función que relaciona el número de

lados y la suma de los ángulos interiores es creciente o decreciente? Es creciente. b) ¿La función T � 100 − 0.001 h, que relaciona la altura sobre el nivel del mar con el punto de ebullición, es creciente o decreciente? Es decreciente. 3

Compara tus respuestas de esta lección con las de tus compañeros.

4

Revisa tu respuesta a la pregunta inicial y determina si las funciones son crecientes o decrecientes.

Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos

251

Lección 91 Gráficas de relaciones lineales II PRE GUNTA INICIAL

¿Cuántos puntos necesitas para graficar una función de la forma y � mx � b? 1

Lee la situación y efectúa lo que se pide.

En un depósito de agua hay 240 litros, pero, por una fuga, se están perdiendo 0.25 litros cada minuto. a) Escribe algebraicamente la función que relaciona el número de minutos transcurridos con la cantidad de litros de agua en el depósito. y ∙ 240 − 0.25x

b) Elabora la gráfica de la función en el siguiente espacio.

240 220 200 180 160 s o r t i l

140 120 100 80 60 40 20

80

160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 minutos

c) ¿La función es creciente o decreciente? Es decreciente. 2

Encuentra dos parejas de valores de la función y anota si es creciente o decreciente.

a) y � 1 x − 2 2 x

0

y

−2

b) y � 5 x � 1 6 2 −

1

La función es creciente.

252

x

0

1

y

1 6

31 6

La función es creciente.


3

Trabaja con un compañero.

a) Observen el valor de m en las funciones de la página anterior y en las de la lección pasada. Anoten la relación entre m y el que la función sea creciente o decreciente.

Si m es positiva, la función es creciente; si es negativa es decreciente. 4

Grafica y contesta.

a) Elabora la gráfica que relaciona grados centígrados con Fahrenheit. Recuerda que 0 �C equivale a 32 �F y 0 �F, aproximadamente a −18 �C. F



50 40 30 20 10 C



40



30



20



10



0

10

20



10 20



30



i)

¿A qué temperatura en grados Fahrenheit corresponden −10 �C?

R. T. Corresponden a 14 F �

ii) ¿Y 5 �C?

R. T. Corresponden a 41 F �

iii) ¿A qué temperatura en grados centígrados corresponden 15 �F?

R. T. Corresponden a

9.4444 C

−

�

iv) Si la temperatura en una región de Estados Unidos de América es 40 �F, ¿hace mucho calor?

R. T. No. Hace frío porque la temperatura es un poco mayor

que 4 C. �

5



253

Lección 92 Gráficas de relaciones lineales III PRE GUNTA INICIAL

¿Qué diferencia hay entre la gráfica de la función y � 2 x , y la gráfica de la función y � 2 x � 1? 1

Lee las situaciones y contesta.

a) La tabla de la derecha muestra algunos registros del grado de alcohol en la sangre de una persona que ingirió cinco cervezas con alimento pero ya dejó de beber. Traza la gráfica.

Tiempo en horas

Grados de alcohol

1 4 7

0.90 0.45 0.00

1

0.8

l o h o c 0.6 l a e d s 0.4 o d a r G0.2

0

1

2

3

4

5

6

7 Horas

i)

De acuerdo con la gráfica, ¿el nivel de alcohol va creciendo o disminuyendo conforme transcurre el tiempo?

Va disminuyendo.

ii) Aproximadamente cuántos grados de alcohol registraba esta persona en el momento en que dejó de beber? 1.05

grados de alcohol.

iii) En la Ciudad de México es delito conducir un vehículo con 0.40 grados de alcohol. ¿Cuánto debe esperar aproximadamente la persona antes de manejar?

Aproximadamente 4 horas, 24 minutos. iv) ¿Aproximadamente qué nivel de alcohol tendría esta persona en la sangre media hora antes de que llegue a cero?

Tendría 0.075 grados de alcohol.

v) Si la función que corresponde a este fenómeno es de la forma y � mx � b, ¿el valor de m es positivo o negativo?

Negativo.

función es decreciente. ¿Cuál es el valor de b? 254

b = 1.05

¿Por qué?

Porque la


b) Se ha visto en cierta especie de serpientes de Veracruz que la relación entre su longitud y la de su cola es lineal. En la tabla se presentan, en centímetros, dos de sus especímenes. Traza la gráfica. Relación entre largo de la cola y largo total Largo de la cola (cm) 6 14

Y

Largo total (cm) 45.5 105

130 120 110 100 ) m90 c ( l 80 a t 70 o t o 60 g r a 50 L 40 30 20 10 0

i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Largo de la cola (cm)

¿Cuál es la longitud de una serpiente cuya cola mide 15 cm?

ii) ¿Y la de una cuya cola mide 1 cm?

X

Es 112.4375 cm

Es 8.3125 cm

iii) Cuando nacen, estas serpientes miden aproximadamente 8 cm. ¿Cuál es el largo de la cola de una serpiente recién nacida?

Es 0.958 cm

iv) ¿Existe una serpiente cuya cola mida 0.5 cm?

No.

¿Por qué?

R. T. Porque la

mínima longitud es 0.958 cm c) Dos compañías de telefonía celular, A y B, cobran una renta mensual y una tarifa por minuto en las llamadas. Enseguida se grafican los cobros de cada compañía.

Costo ($)

Tarifas telefónicas de A y B A

125

B

100 75 50 25 0

i)

2

¿Cuál es la renta mensual de la compañía A?

ii) ¿Y de la compañía B?

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Minutos

$25.00

$50.00

iii) Discute con tus compañeros en qué situaciones conviene contratar cada una. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos. 2

Comenta tu respuesta a la pregunta inicial.


255

Lección 93 Comportamiento de gráficas lineales I PRE GUNTA INICIAL

¿Qué diferencia hay entre la gráfica de la función y � 2 x � 3, y la gráfica de la función y � 4 x � 3? 1


Un parque donde hay 100 árboles se desea reforestar sembrando 20 diarios. a) Completa la tabla.

Tiempo (días) Árboles

1

2

3

4

5

6

7

120

140

160

180

200

220

240

b) Escribe una función que permita saber el número de árboles que hay en el parque cada día. Denota con y el número de árboles que hay, y con x el número de días transcurridos a partir del momento en que inicia la reforestación.

20x � 100

y �

c) Grafica la ecuación anterior en el plano cartesiano. d) Supón que en el parque había originalmente 140 árboles.

300 280

Anota la ecuación correspondiente.

260 240

20x � 140

y �

e) Grafica la ecuación anterior en el plano cartesiano.

220

s e l 200 o b r 180 á e 160 d d 140 a d i 120 t n a 100 C

f) Supón que en el parque había originalmente cuatro árboles. Anota la ecuación correspondiente.

20x � 4

y �

g) Grafica la ecuación anterior en el plano cartesiano. h) Compara tus ecuaciones y gráficas con las de tus compañeros. Corrijan si es necesario.

80 60

Las ecuaciones que anotaste tienen la forma y � mx � b y su gráfica es una recta en el plano cartesiano.

40 20 1

2

3 4

5 6 Días

7 8

9 10 11

i) Escribe qué tienen en común y en qué se diferencian los segmentos de recta que trazaste.

R. T. Tienen la misma inclinación, pero varía su posición.

j) Anota qué tienen en común y en qué se diferencian las ecuaciones que anotaste.

R. T. El coeficiente de x es igual, pero el término independiente es distinto. k) Si cambia el número de árboles que se siembran por día, ¿la recta sería paralela a la primera?

256

No.

¿Por qué?

R. T. Porque la razón de cambio variaría.


2

Grafica las funciones y completa las tablas. Después responde.

a) y � 2 x � 1 x y

0 −1

1 1

−

Y

6

b) y � 2 x − 4

5 x

0

−

y

2

0

4

4

3 2 1

c) y � 2 x − 1 x y

0 1

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

0

y

1 2

2

3

4

5

6

7

8

X

2

1

−

3

1

4 5

d) y � 2 x − 3 4

x

1

6

3 4 1 − 4 −

e) ¿Qué tienen en común las ecuaciones? R. f) ¿Qué valor varía?

T El coeficiente de x es 2.

R. T. El término independiente.

g) ¿Qué tienen en común las rectas del plano cartesiano?

R. T. Son paralelas.

R. T. Cruzan el eje Y en distintos puntos.

h) ¿En qué se diferencian?

i) Escribe otra ecuación cuya gráfica sea una línea similar a las anteriores y trázala en el plano cartesiano.

2x � 5

y �

La gráfica de una ecuación de la forma y � mx � b es una línea recta y m determina su inclinación. El valor de m es la pendiente de la recta. Las rectas que tienen la misma pendiente son paralelas. 3


Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente

257

Lección 94 Comportamiento de gráficas lineales II PRE GUNTA INICIAL

¿Qué diferencia hay entre la gráfica de la función y � 2 x � 5, y la gráfica de la función y � 2 x − 1? 1


En un experimento la temperatura inicial de una sustancia, 20 �C, aumenta 5 �C cada minuto. a) Completa la tabla. Tiempo (minutos) Temperatura (°C)

0 20

1

2

3

4

5

6

25

30

35

40

45

50

b) Escribe una ecuación que permita obtener la temperatura cada minuto. Denota con x el

tiempo y con y la temperatura.

5x � 20

y �

c) Grafica la ecuación anterior en el plano cartesiano. 90 80 70 60 ) C 50 ( a 40 r u 30 t a r e 20 p m 10 e T 0 10 20 30 40

d) Supón que la temperatura aumenta 10 �C cada minuto. Anota la ecuación correspondiente.

10x � 20

y �

e) Grafica la ecuación anterior en el plano cartesiano de la izquierda.



f) Supón que la temperatura disminuye 10 �C cada minuto. Anota la ecuación correspondiente.

10x � 20

y � −

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tiempo (minutos)

g) Grafica la ecuación anterior en el plano cartesiano de la izquierda. h) Supón que la temperatura disminuye 5 �C cada minuto. Anota la ecuación correspondiente y grafícala.

5

20

y � − x �

i) ¿Cómo son las rectas que trazaste?

R. T. No paralelas y pasan por el mismo punto.

j) Anota qué tienen en común y en qué se diferencian las ecuaciones que anotaste.

R. T. Tienen el mismo término independiente, pero el coeficiente de x varía. k) Si la temperatura inicial de la sustancia fuera 10 �C y aumentara 5 �C cada minuto,

R. T. Pasaría por el punto (0, 10) y sería un recta paralela a la de la ecuación y � 5x � 20. ¿cómo sería la gráfica?

258


2

Grafica las funciones en el plano cartesiano de abajo y completa las tablas. Después contesta.

a) y � − x � 2 x y

0 2

8

2 0

7 6 5

b) y � x � 2

4 3

x

0

y

−

2

2

2

0

1

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

c) y � 1 x � 2 2 x

0

y

−

4

1

2

3

4

5

6

7 8

2

2

3

0

4 5

d) y � 2 x � 2

6 7

x

0

2

y

−

1

0

8

e) ¿Qué tienen en común las ecuaciones?

R. T. El término independiente.

R. T. El coeficiente de x .

f) ¿Qué valor cambia?

g) ¿Qué tienen en común las rectas que trazaste?

R. T. Pasan por el mismo

punto (0, 2). h) ¿Cuál es la diferencia entre las rectas?

R. T. La inclinación.

i) Escribe otra ecuación cuya gráfica sea similar a las anteriores y trázala en el plano cartesiano. 3

=

y

3x + 2

−

Encuentra en las siguientes funciones el valor de y cuando x es 0.

a) y � −2 x � 8 si x � 0, y �

8

b) y � 3 x − 2

si x � 0, y �

−

c) y � x � 2

2

d) y � −4 x − 5

Si x � 0, y �

−

4

si x � 0, y �

2 5


Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente

259

Lección 95 Gráficas de probabilidad I PRE GUNTA INICIAL

Si se lanzan 20 veces dos dados, ¿cuántas veces se espera que la suma de los puntos sea 2? 1

Efectúa lo que se indica.

Se lanzan dos dados de distinto color y se observa la suma de los puntos. Completa la tabla. Puedes usar calculadora; aproximen hasta tres décimos. Suma de los puntos

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Número de formas de obtener la suma

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

Probabilidad de obtener esa suma

1 36

1 18

1 12

1 9

5 36

1 6

5 36

1 9

1 12

1 18

1 36

• 2

Compara tus resultados con los de tus compañeros y, con ayuda del profesor, determina si son correctos. Después expresen la probabilidad con números decimales. Completa la gráfica poligonal de probabilidad con los resultados que obtuviste.

0.25

d a d i l i b a b o r P

0.2

0.15 0.1

0.05

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Suma de puntos a) ¿Qué suma tiene mayor probabilidad de salir? _______________________________ La suma 7. b) ¿Qué sumas tienen la misma probabilidad de salir que 3? _________________________ Solo 11.

• 3

260

Compara tu gráfica con las de tu grupo. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos. Trabaja en equipo. Lancen 50 veces dos dados y registren sus resultados en la siguiente tabla.

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad

2

Suma de los puntos Número de veces obtenido

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

11

12

R. P.

Probabilidad frecuencial

a) ¿Qué suma tuvo una mayor probabilidad frecuencial? ___________________ R. P. b) ¿Hay alguna suma que tenga la misma probabilidad frecuencial que 4? ___________ R. P. 4

Elabora, en grupo, una gráfica poligonal con los resultados obtenidos. R. P.

l a i c n e u c e r f d a d i l i b a b o r P

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Suma de puntos a) Comparen la gráfica anterior con la que completaron en la actividad 2. ¿En qué se parecen y en qué son distintas? Expliquen su respuesta. _______________________ R. P. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ b) Comparen sus resultados con el resto del grupo y, con ayuda del profesor, regístrenlos en la siguiente tabla. Suma de los puntos

2

Número de veces obtenido

R. P.

3

4

5

6

7

8

9

10

Probabilidad frecuencial

c) Elaboren una gráfica en el pizarrón con los datos de la tabla anterior y compárenla con la de la actividad 2. Comenten en grupo sus respuestas a la pregunta inicial. Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio

261

Lección 96 Gráficas de probabilidad II PRE GUNTA INICIAL

¿Qué gráfica es la más representativa de una situación de probabilidad: la gráfica de probabilidad clásica o la gráfica de probabilidad frecuencial? 1

En equipo, considera el experimento aleatorio que se presenta. Efectúen lo que se indica.

En una bolsa no transparente se colocan quince tarjetas con los siguientes números.

a) Consideren los siguientes eventos que resultan de sacar una tarjeta al azar. E1: Se obtiene un número par E2: Se obtiene un número impar

E3: Se obtiene un número mayor que 100 E4: Se obtiene un número menor que 100

b) Completen la tabla para calcular el número de casos favorables de cada uno de los resultados. Para calcular la probabilidad de cada evento, dividan el número de casos favorables del evento entre el número de resultados posibles (15). Evento

E1

E2

E3

E4

Casos favorables del evento

10

5

5

10

Probabilidad clásica

2 3

1 3

1 3

2 3

Los eventos E1 y E4. c) ¿Qué evento es el más probable?__________________________________________ Los eventos E2 y E3. d) ¿Qué evento es el menos probable?_________________________________________ e) En el siguiente plano traza la gráfica de la probabilidad frecuencial. Antes de que la grafiques contesta lo siguiente.

R. T. El punto que i) ¿Qué significado tiene en la gráfica el evento más probable? __________________ le___________________________________________________________________ corresponde se encuentra más arriba que los demás. R. T. El punto que le ii) ¿Qué significa en la gráfica el evento menos probable? _____________________ corresponde se encuentra más abajo que los demás. _________________________________________________________________

262

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad

R. P.

f) Recorten papeles y numérenlos con los números de las tarjetas. Colóquenlos en una bolsa y efectúen el experimento 50 veces; registren los resultados en la siguiente tabla. Tengan en cuenta que un mismo número puede ser un resultado favorable para dos eventos diferentes. Por ejemplo, si sale el papel con el número 500 el resultado es favorable para los eventos 1 y 3.

l a i c n e u c e r f d a d i l i b a b o r P

Resultado

R1

Número de veces obtenido

R. P.

R2

R3

R4

Frecuencia relativa

g) En el plano del inciso e), grafiquen los resultados anteriores. Comparen sus resultados y anoten sus conclusiones en sus cuadernos. 2

En el siguiente plano se graficaron la probabilidad clásica y frecuencial (se sacaron 100 pelotas para calcular esta probabilidad) del experimento de extraer de una bolsa una pelota y observar su color. En la bolsa hay 20 pelotas: cinco son rojas, cuatro son azules, ocho son verdes y tres son negras.

a) ¿Qué gráfica representa la probabilidad clásica y cuál representa la probabilidad

La azul representa la probabiloidad clásica y la roja, la frecuencial. frecuencial? _____________________________________________________________ b) Explica en tu cuaderno cómo determinaste tu respuesta anterior. La probabilidad frecuencial y la clásica de un evento son más parecidas mientras más veces se repite el experimento. 3


Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio

263

TIC Sistemas de ecuaciones en la hoja de cálculo Para hacer la gráfica de un sistema de ecuaciones se puede utilizar una hoja de cálculo. Supongamos que queremos graficar las rectas y � −1 x � 2 y y � 2 x � 1. 2 a) El procedimiento es: abrir una hoja de cálculo y poner el nombre de las rectas y de las literales: escribir Recta “A” en la celda A1; Recta “B”, en la celda D1; x , en las celdas A2 y D2; y y , en las celdas B2 y E2. b) Después, dar el valor a cada una de las literales: escribir −4 en las celdas A3 y D3; en las celdas A4 y D4, la fórmula �A3�1 y �D3�1, respectivamente para los valores de x . Para los valores de y , escribir en las celdas; B3 la fórmula �−(A3/2)�2 y en E3, �(D3*2)�1. Para completar los valores de ambas literales, seleccionar las celdas A4: A11, B3:B11, D4:D11, y E3:E11, y dar clic en el menú Edición / Rellenar / Hacia abajo. Observa que no tuvimos que hacer este procedimiento con cada columna. c) Para trazar las gráficas hay que seleccionar las celdas A1:B11 y dar clic en el menú Insertar / Gráfico, con lo que aparecerá el asistente para gráficos. En el paso 1 de 4 selecciona el tipo de gráfico XY (Dispersión) y un subtipo que no contenga marcadores. Da clic en Siguiente. d) En el paso 2 de 4 selecciona la pestaña Serie y da un clic en el botón Agregar. En el campo Nombre escribe �Hoja1!$D$1; en el campo Valores de X , �Hoja1!$D$3:$D$11; y el campo Valores de Y , �Hoja1!$E$3:$E$11. Da clic en Finalizar . En este ejemplo se usó una versión particular de una de las aplicaciones de hoja de cálculo. En otras versiones o en otras aplicaciones se pueden efectuar las mismas funciones pero posiblemente los pasos varíen un poco. Si estás en ese caso, pide ayuda a tu profesor para que investigues cómo hacerlo.

•

264

Elige un sistema de ecuaciones de este libro y grafícalo utilizando una hoja de cálculo.

Matemáticas para la vida La producción

La producción es la actividad económica que aporta valor agregado por creación y suministro de bienes y servicios, es decir, es cualquier utilización de recursos que permita transformar uno o más bienes en otro u otros. Los bienes pueden cambiar en sus características o en su ubicación. Por ejemplo, producción es transformar fresas en mermelada, pero también es transportar la mermelada de Guanajuato al Distrito Federal. El proceso de producción muchas veces se vale de las matemáticas para producir más con menos y así obtener mayores ganancias. Resuelve lo siguiente junto con un compañero. 1. En una fábrica de ropa compran 57 000 botones al mes a $0.35 cada uno. Uno de los gerentes

sugiere comprar una máquina que cuesta $50 000.00 y permitirá fabricar cada botón a $0.10, pero habrá que pagar $9 000.00 al mes por concepto de gasto de energía, operación y mantenimiento de la máquina. a) Expliquen por qué la expresión c � 0.35 � 57 000 x sirve para calcular cuánto se ha gastado en botones comprados mes con mes. b) Anoten una expresión para calcular cuánto se gastaría para fabricar los botones mes con mes. c) Usando sus ecuaciones, determinen en qué mes el ahorro por fabricar botones compensa el precio de la máquina. 265

Evaluación Subraya la respuesta correcta. 1

¿Cuál es la solución del sistema x + y = 5 2 x – 3 y = –5?

a) x � 2 y y � 3 2

c) x � 7 y y � −2

d) x � −7 y y � 2

El valor de una botella de vidrio y su contenido es de $17.00. Si la botella vale $8.50 menos que su contenido, ¿cuál es el valor de la botella?

a) $4.25 3

b) x � −2 y y � 5

b) $4.50

c) $8.50

d) 12.75

En un cine se venden boletos para adulto en $30.00 y para niño, en $20.00. Un día se vendieron 42 boletos y se recaudaron $1 010.00. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

¿Qué sistema de ecuaciones sirve para resolver el problema? a)

30 x � 20 y � 42 x � y � 1 010

b) 30 x � 20 y � 1 010 x � y � 42

c)

20 x � 30 y � 42 x � y � 1 010

d) 20 x � 30 y � 42 x � y � 42

4

¿Dónde está graficado un sistema de ecuaciones lineales con una sola solución?

a)

5

c)

d)

c)

d)

¿Cuál es un par de figuras simétricas?

a)

266

b)

b)

Bloque 5

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