Bloque 1 2 Sec

La matemática para un propósito específico

Designar una función activa a la matemática que aprendemos en la escuela significa, entre otras cosas, emplear nuestras habilidades matemáticas para tomar decisiones en la vida cotidiana. Esto incluye la posibilidad de estar conscientes de las consecuencias factibles de nuestros actos y decisiones. La matemática es una herramienta muy útil, pues nos sirve para entender y participar en la vida social y productiva del lugar donde vivimos. Por ejemplo, las matemáticas permiten simplificar algunas tareas, como administrar un negocio donde es necesario dominar operaciones básicas con enteros, porcentajes e interés compuesto, así como analizar la probabilidad de un acontecimiento. O bien, para diseñar y construir edificios necesitamos un amplio dominio de relaciones entre las medidas de ángulos, ángulos entre rectas, trazo de triángulos y cálculo de áreas.

B l  lo   q o   ue  1  16

Aprendizajes esperados 1.

Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.

2.

Resuelve problemas que implican calcular el área y el perímetro del círculo.

3.

Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren procedimientos recursivos.

4.

Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

17

Aprendizajes esperados 1.

Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.

2.

Resuelve problemas que implican calcular el área y el perímetro del círculo.

3.

Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren procedimientos recursivos.

4.

Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

17

Lección 1 Multiplicaciones y divisiones con números enteros Eje: sentido numérico y pensamiento

algebraico Tema: problemas multiplicativos

Contenido Resolución de multiplicaciones

y divisiones con números enteros

La tarjeta de crédito La mamá de Adriana recibió un resumen del estado de su cuenta de ahorro. En este se registran los depósitos y retiros durante un mes. En la tabla se están los datos . 3/05 3/05 depósito pago de Descripción de cheque nómina Valor $716.50 $6 779.58 $8 550.75 $15 330.33 Saldo Fecha

4/05 4/05 retiro de Servicio Ramírez/ cajero aut gasolina –$2 000.00 –$408.50 $13 330.33 $12 921.83

5/05 5/05 retiro de Superprecio cajero aut supermercado –$2 000.00 –$450.00 $10 921.83 $10 471.83

1. Reúnete con un compañero. Respondan Respondan en sus cuadernos. a) De acuerdo con la tabla, ¿qué significa que en el resumen del estado de cuenta haya dos

cantidades por –$2 000.00? ¿Cuál es la suma de cantidades negativas? Escríbanla como multiplicación con dos factores.

Que hubo dos retiros de $2 000.00; –$4 858.00

b) En el siguiente mes, la mamá de Adriana retiró $500.00 del cajero automático una vez por semana

durante tres semanas. Escriban cómo aparecerán los retiros en el resumen del estado de cuenta. Expresen el total de retiros como una suma de ellos y una multiplicación con dos factores.

R. T. –500 + (–500) + (–500) = 3(–500) 3 (–500) = –$1 500

c) En el siguiente mes gastó $900.00 por semana, durante cuatro semanas, para comprar despensa.

Escriban como multiplicación la cantidad que gastó en víveres durante el mes. Usen los datos que aparecerán en el resumen del estado de cuenta.

4(–900) = –$3 600

d) Escriban una conclusión sobre la suma de números negativos y la multiplicación de un número

Oriéntate

Una multiplicación se puede escribir de diversas maneras, dependiendo del contexto o la situación. Por ejemplo: 3 por –70 se puede escribir como (3)(–70), 3 × (–70) o 3 · (–70).

positivo por un número negativo. ¿Qué relación hay entre ambas? R. T. Sumar varias veces el

mismo número negativo es lo mismo que multiplicar el número de veces que se repite por el número negativo.

2. Responde el siguiente planteamiento en tu cuaderno.

a) Adrián y Álvaro juegan con dos dados, uno blanco (cuyos valores representan cantidades positivas)

y uno rojo (cuyos valores representan cantidades negativas). Cada quien tira tres veces ambos

dados. Deciden tener en cuenta solo las tiradas donde los resultados sean iguales para calcular y determinar los puntos obtenidos. i) En un turno, Adrián obtiuvo los resultados de la tabla. Complétala.

Resultados Operación 5, 5, 5 5+5+5 Dado blanco Dado rojo –4,, –4, –4 –4, –4 (–4) (–4) + (–4 (–4)) + (–4 (–4))

3(5)

3(–4)

Resultado

Puntos obtenidos

15 –12

15 –12

ii) En otro turno, Álvaro tiró y obtuvo con el dado rojo –6, –6, –6. Escribe una multiplicación que

permita determinar los puntos negativos que obtuvo.

3 (–6)= –18

iii) Casi al terminar el juego, Adrián sacó tres veces –2

y Álvaro, Álvaro, tres veces –3. ¿Quién obtuvo mayor

cantidad de puntos negativos?

Álvaro.

iv) Escribe dos multiplicaciones que permitan determinar el resultado del inciso anterior.

3(–2) = –6 ; 3(–3) = –9

v) Álvaro escribió: 3 × (?) = –6. ¿Cuánto representa el valor desconocido?

–2

vi) Elabora, de manera grupal, una conclusión sobre el signo del resultado al multiplicar un número

R.T. Al multiplicar un número positivo por un número negativo se obtiene como resultado un número negativo.

positivo por un número negativo.

18

Bloque 1 Lección 1

Lección 1

Un paso adelante 3. Reúnete con un compañero. Analicen la tabla y complétenla. n

m

n(m) 

–m

n(–m )

3

4

3(4) = 12

3(–4) = –12

4

5

8

–9

12

–9

–3

6

–2

–6

4(5) = 20 8(–9) = –72 12(–9) = –108 –3(6) = –18 –2(–6) = 12

–4 –5 9 9 –6 6

4(–5) = –20 8(9) = 72 12(9) = 144 –3(–6) = 18 –2(6) = –12

Oriéntate El opuesto de un número o inverso aditivo de un número a es aquel que sumado a a da como resultado 0.

4. Analiza, con el grupo y la ayuda del profesor profesor,, los resultados del ejercicio anterior an terior.. Valídenlos Valídenlos y escriban en sus cuadernos una conclusión acerca de las operaciones que hicieron. 5. Analiza la tabla con el grupo. Complétenla y respondan las preguntas de abajo en sus cuadernos. ×

4

–3

–8

8

+2

8

–2

–8 24 –28 40

–6 6 –18 21 –30

–16 16 –48 56 –80

16 –16 48 –56 80

6 –7 10

Oriéntate Recuerda que para indicar que un número es positivo, no es necesario escribir el signo +.

a) De acuerdo con los resultados, ¿cuál es el signo del producto cuando se multiplica un número po-

sitivo por un número negativo, un número negativo por un número positivo, un número positivo por un número positivo, y un número negativo por un número negativo?

Negativo; negativo; positivo; positivo.

b) Con ayuda del profesor, analicen los resultados y valídenlos. Escriban una conclusión acerca de las

operaciones que llevaron a cabo en la tabla. 6. Responde el planteamiento en tu cuaderno.

a) Horacio se encarga de la contabilidad en un centro comercial. El mes pasado registró en su balance

mensual la compra de cinco estantes para pa ra la bodega a un precio de $1 200.00 cada uno. ¿Cuál de las operaciones corresponde al planteamiento? (1200)(5)

(1200)(1200)

(–1200)(5)

(–1200)(3).

b) En un contexto similar al del planteamiento anterior, ¿qué representa la siguiente operación

(–1200) + (–1200) + (–1200) + (–1200)? ¿Y (–200)(2)(3)? ¿Cuál es el signo del producto cuando se multiplica un número negativo y dos números positivos? Que se compraron cuatro estantes

a $1 200.00. Tres veces la compra de dos objetos de $ 200.00 cada uno. Negativo.

c) Analiza, con tus compañeros y la ayuda del profesor, la respuesta a la última pregunta del inciso b).

¿Es posible generalizar este hallazgo? Propongan otros casos. Analicen y escriban una conclusión. Lección 1

Bloque 1

19

Lección 1 Multiplicaciones y divisiones con números enteros Profundiza

Analiza, con el grupo, la siguiente información. Escriban en sus cuadernos una conclusión. Leyes de los signos para la multiplicación (+) (+) = + Positivo por positivo es igual a positivo. (+) (–) = – Positivo por negativo es igual a negativo. (–) (+) = – Negativo por positivo es igual a negativo. (–) (–) = + Negativo por negativo es igual a positivo. 7. Resuelve los siguientes planteamientos en tu cuaderno. a) Una constructora es contratada para edificar unas oficinas. La compañía promete entregar

la obra concluida en una fecha convenida o pagar $1 300.00 de indemnización por cada día de retraso. i) El costo de la obra es de $84 500.00; sin embargo, a la fecha, llevan cuatro días de retraso.

Selecciona la expresión con la cual se resuelve el planteamiento anterior anterior.. Puedes identificar más de una opción. • 84500 – 1300 – 1300 – 1300 – 1300 = • 84500 – 4(1300) = • 84500 + 4(–1300) = • 84500 + 1300 + 1300 + 1300 + 1300 = Comparen sus respuestas y elaboren una conclusión. ii) Comparte con el grupo tu argumento. Comparen Escriban una multiplicación que permita iii) La constructora demoró 34 días en completar la obra. Escriban determinar la cantidad que debe descontarse del total acordado inicialmente.

84 500 – 34(1 300) = $40 300.00 8. Responde con un compañero.

Agustín y Arturo juegan con una perinola, cuyas seis caras tienen las siguientes leyendas: +1 (toma 1), +2 (toma 2), –1 (pon 1), –2 (pon 2), – 3 (pon 3), TT (toma todo: fin del juego). a) Al terminar la primera ronda del juego obtuvieron los siguientes resultados. Completen la tabla. Primera ronda

4 veces (–2)

3 veces (1)

6 veces (–3) 4 veces (–1)

5 veces (2 (2)

Operación

4(–2)

3(1)

6(–3)

4(–1)

5(2)

Resultado

–8

3

–18

–4

10

b) Determinen qué resultados se obtuvieron en la segunda ronda del juego. Observen que las

operaciones se han escrito de dos formas equivalentes. Copien la tabla en sus cuadernos y anoten los valores que faltan. Segunda ronda

20 Bloque 1 Lección 1

Forma 1

6 (–1) = –6

4( –2 ) = –8 2( 2(–3 –3)) = –6

Forma Fo rma 2 –6 ÷ –1= 6 –8 ÷ 4 = –2

1(

1 )=1

–6 ÷ 2 = (–3 (–3)) 1 ÷ 1 = 1

10 (2) = 20 20 ÷ 2 = 10

Lección 1

De forma grupal analicen la siguiente información y escriban en sus cuadernos una conclusión. Leyes de los signos para la división (+) ÷ (+) = + Positivo entre positivo es igual a positivo. (+) ÷ (–) = – Positivo entre negativo es igual a negativo. (–) ÷ (+) = – Negativo entre positivo es igual a negativo. (–) ÷ (–) = + Negativo entre negativo es igual a positivo. 9. Responde el planteamiento en tu cuaderno. a) Pablo entrenó para una competencia de natación. Lograba nadar 40 m en 40 segundos. En el en-

trenamiento final hizo el recorrido diez veces y las diferencias de tiempo, en cada ocasión, fueron: –2, –2, –2,–2, –2, –2, –1, –1, –1, 0. i) ¿Cuál fue el tiempo acumulado que disminuyó en los seis primeros seis recorridos? ii) ¿Cuál fue el tiempo acumulado que disminuyó en los diez recorridos?

12 segundos.

15 segundos.

Analiza la siguiente información y escribe en tu cuaderno cómo la aplicarías en el ejercicio anterior: para efectuar multiplicaciones o divisiones con números con signo, primero se observan los signos de los elementos (positivos o negativos); después, se aplica la ley de los signos; y por último, se hacen las operaciones indicadas. 10. Determina los números faltantes para que el resultado sea el indicado. Usa la información del recuadro anterior. Observa que solo un número cumple con la operación. a) (+9) c)

(–5)

= –45

(–10) ( –9) = 90

e) (–25) (–10) = 250 g) (–12) ÷

(–12)

=1

(–8)

b) (–48) ÷ d)

(–90) ÷ 10 = –9

f) 30 ÷ h)

=6

5

(–2) ·

= –15

5

= 25

11. Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Valídenlas con la ayuda de su profesor. 12. Debate y analiza, con ayuda de su profesor, el comportamiento del signo de los factores en una multiplicación. Examinen las diferencias y similitudes entre las leyes de los signos para la multiplicación y la división. Escriban una conclusión. TIC

Explora el sitio www.e-sm.com.mx/matret2-021a. Resuelve las operaciones de multiplicación con números enteros. Si tienes errores, revisa de nuevo las actividades 3 y 5 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-021b. Resuelve las operaciones de división con números enteros. En caso de error, revisa la retroalimentación que se te presenta o repasa de nuevo la actividad 8 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 1 en la bitácora de la página 66.

Una base científica en la Antártida registró una disminución de la temperatura de 5 ºC por hora. Si a cierta hora hay una temperatura de –3 °C, ¿qué temperatura se registrará seis horas después? –33 C °

Lección 1 Bloque 1 21

Lección 2 Productos y cocientes de potencias Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Crecimiento de algunas bacterias Braulio estudia la reproducción de algunas bacterias. De acuerdo con su investigación, algunas se reproducen dividiéndose en dos. A este proceso se le conoce como bipartición.

Contenido Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

1. Responde con un compañero lo siguiente. a) Si el proceso de bipartición se repite con las nuevas bacterias, ¿cuántas bacterias habrá después

de cinco procesos?

32

b) Describan el procedimiento en su cuaderno y explíquenlo con un esquema o un diagrama. Compártanlo

con sus compañeros y anoten una conclusión. c) La siguiente tabla representa el número de bacterias a partir de las biparticiones (pasos). Analícenla

y complétenla.

Oriéntate En la potencia de números enteros, el exponente indica la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Por ejemplo: 3

2 =2×2×2

3

2  = 8

Oriéntate Los elementos de una potencia son:  

Exponente

52 Base

Pasos (biparticiones)

Número de bacterias (multiplicación de factores)

Número de bacterias (potencia)

Número de bacterias (resultado)

1

2

21

2

2

2×2

22

4

3

2×2×2

23

4

2 × 2 × 2 × 2

24

8 16

5

2 × 2 × 2 × 2 × 2

25

32

d) ¿Qué relación se observa en los datos de la tabla? Escriban una conclusión al respecto. e) Obtengan, retomando lo trabajado en la tabla y el inciso anterior, el resultado de las siguientes

expresiones. 24 = 2

 2 × 2 × 2 = 16

×

22 × 22 = (2

 2) × (2 × 2) = 16

×

21 × 21 × 21 × 21 =

23 × 21 = (2

 2 × 2 ) × 2 = 16

×

22 × 21 · 21 = (2

 2 ) × 2 × 2 = 16

×

2 × 2 × 2 × 2 = 16

f) ¿Es correcta la expresión 25 = 22 · 23? Argumenten por qué.

R. T. Sí, porque en total se multiplica 5 veces el número 2.

22

Bloque 1 Lección 2

Lección 2

2. La tabla muestra el desarrollo de productos de potencias de la misma base. Complétala. Productos (misma base)

Multiplicación de factores (desarrollo)

Número de factores

Base y exponente

Resultado

22 · 22

(2 · 2)(2 · 2)

4

24

16

33 · 32

(3 · 3 · 3)(3 · 3)

5

35

243

5

(3)

__1

1 ___

(_13_)2 · (_13_)3

(_ ·_ )(_ · 3 3 3 1

1

1

_1 · _1 ) 3

3

5

243

3. Escribe, con el grupo y la ayuda del profesor, un procedimiento para calcular productos de potencias enteras positivas con la misma base. Utilicen la tabla anterior.

Lee, con el grupo, la siguiente información. Propongan ejemplos relacionados. Ley de los exponentes Cuando se multiplican dos o más potencias con la misma base, el resultado es una potencia con la misma base y el exponente es la suma de los exponentes de los factores.  + a  · a  = a Por ejemplo: 75 × 7 = 75 + 1 = 76 = 117 649. n

m

m

Oriéntate

El exponente de un número fraccionario afecta tanto al numerador como al denominador cuando la fracción está en paréntesis.

(__23 )2 = __23 = __49 (__23 )2 ≠ __23 2 2

n

2

4. Trabaja en grupo. Justifiquen, con base en la información anterior y con la ayuda de su profesor, que 21 = 2. Escriban una conclusión en sus cuadernos. 5. Lee el planteamiento y responde las preguntas en tu cuaderno.

Para hacer un diseño de tarjetería, Bernardo debe cortar un cuadrado de papel de 4 cm de lado en cuatro cuadrados del mismo tamaño, como se muestra en el esquema de la derecha.

4 cm

a) ¿Cuál es el área del cuadrado grande? ¿Cuál es el área de uno de los cuadrados pequeños?

¿Cuántas veces cabe el área de uno de los cuadrados pequeños en el cuadrado grande? Escribe los resultados como potencias. Analiza que lo anterior se puede expresar como

__

4 =_ 4 = 4 × 4 = 4 × 1 = 4. _ 2

2

2

1

2

4

4

16 = 42 cm2; 4 = 2 2 cm2; 4 veces

1

b) Reúnete con un compañero. Describan el procedimiento o los pasos para calcular un cociente

de potencias con la misma base. 6. En la siguiente tabla aparece el desarrollo de la división de potencias con la misma base. Analiza el ejemplo del inciso 5 a) y completa la t abla; escribe los desarrollos que se indican. División (misma base) 3 _ 5

3

2

5 __ 5

5

2

10 _ 5 2

10

Factores desarrollados (dividendo sobre divisor)

Número de factores en numerador (dividendo)

denominador (divisor)

Resultado

Exponente del resultado

3×3×3×3×3 3×3

5

2

33 = 27

3

5×5×5×5×5 5×5

5

2

53 = 125

3

5

2

103 = 1 000

3

__ __ 10  10  10  10  10 _________________ ×

×

10

×

 10

×

×

Lección 2

Bloque 1 23

Lección 2 Productos y cocientes de potencias Lee, con el grupo, la siguiente información. Propongan ejemplos relacionados. Ley de los exponentes Cuando se dividen dos potencias con la misma base, el resultado es una potencia con la misma base y el exponente resultante es la resta del exponente del dividendo y el exponente del divisor.

 _ n

a

m

n – m

= a

a

11 Por ejemplo: ___ = 119 – 7 = 112. 117 9

Un paso adelante 7. Reúnete con un compañero. Contesten en sus cuadernos lo que se pide.

Juan, el herrero, elabora un árbol de metal como el que se muestra en el esquema de la izquierda. Para ello cortó varillas como se indica en la tabla. Fracción de varilla  0

1 __

_2_

_1_

_2_

_7_

8 __

9

9

3

3

9

9

1

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6

a) La varilla que utiliza en el paso 1 tiene 1 m de longitud. Observen que cada varilla del paso 2 mide 1 __ m. Completen la tabla con esta información. 3

Pasos

Medida de cada pieza

Desarrollo

Resultado

2

(__13 )

1 __

_1_

3

3

3

(__13 )

1 __ × _1_

1

2

3

4

(__3 )

5

(__3 )

6

(__3 )

1

1

3

__1

4

5

9

1 _1_ × __ × _1_

3

1

__1

3

3

__1 3

×

×

__1 3

__1 3 ×

3

×

__1 3

1 ___

3

__1 3 ×

27 ×

__1 3

__1

1 __

3

81 1 ___

×

__1 3

243

b) Comprueben que (_1_)  × (_1_)  es la medida de cada pieza del paso 6. Escriban la medida que tendría 2

3

3

3

cada varilla en el paso 10. (__1 )5= (__1 )2 × (__1 )3; (__1 )9 3 3 3 3 c) ¿Cuál es el valor del exponente desconocido en la siguiente expresión? 3

(__13 )2 × (__13 )3 × (__13 )? = (__13 )8 d) Validen los resultados con ayuda de su profesor. Comparen el procedimiento que usaron para

determinar la respuesta del inciso c) con los de sus compañeros.

24

Bloque 1 Lección 2

Lección 2

Profundiza 8. En un laboratorio se construyó un cubo de vidrio con arista de 1 mm. Lleva a cabo en tu cuaderno lo que se indica. a) Expresa la medida de la arista en centímetros y en decímetros.

0.1 cm; 0.01 dm

b) La expresión 1 × 10–3 m es la forma de enunciar la medida de la arista en notación científica.

Expresa con notación científica la medida de la arista en decímetros.

1 × 10–2 dm 1 R. T. Porque _____ 1 000 m = 0.001 m

1 m. c) Explica por qué se puede expresar la medida de la arista como el cociente ____ 1 000

d) Escribe el valor en notación decimal en los siguientes casos.  i) 1 × 10–4 = 1 = ii) _____ 10 000

Oriéntate

0.0001

Una manera de interpretar una fracción es como una división: el numerador se divide entre el denominador.

0.0001

9. Transforma a notación decimal o notación científica las siguientes expresiones. a) 5 × 10–6 = 1 = d) __ 10

2 = b) ___ 100

0.000005

1 × 10–1

2 × 10–2

e) 3 × 10–2 =

0.00002

c) 2 × 10–5=

0.03

Múltiplos

10. Las potencias de 10 aparecen en muchos asuntos prácticos de medida. Contesta, en tu cuaderno, las preguntas con base en la información que se proporciona en la tabla de la derecha, relativa a los múltiplos del metro en el Sistema Internacional de Unidades. a) Una reserva natural de forma rectangular mide 1 km de largo por 1 hm de ancho. Escribe la ex-

presión que permite hallar su área. Usa el metro como unidad de medida en forma de potencia.

10  m × 10  m = 10  m 3

2

5

2

b) ¿Cuántos hectómetros caben en 1 terámetro? Anota la expresión que te permite hallar el resultado;

emplea el metro como unidad de medida en forma de potencia. ___ 1012 102

= (10)

Valor

Símbolo

Nombre

101 m

dam

decámetro

2

10  m

hm

hectómetro

103 m

km

kilómetro

106 m

Mm

megámetro

109 m

Gm

gigámetro

1012 m

Tm

terámetro

1015 m

Pm

petámetro

 = 10  m

12 × 2

10

11. Escribe, en grupo, una justificación de por qué se deben sumar los exponentes cuando se multiplican potencias de la misma base. Anoten ejemplos.

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-025a . Analiza cada paso de los procedimientos para multiplicar y dividir potencias de la misma base. Redacta una justificación de qué ocurre con los exponentes cuando se dividen potencias de la misma base. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-025b . Modifica los valores de las bases y los exponentes para observar varios ejemplos. Si tienes dudas, revisa las actividades 6 y 11 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 2 en la bitácora de la página 66.

Durante una danza, un listón de 6 m se corta en dos partes, posteriormente cada una se vuelve a cortar en dos y así sucesivamente. ¿Cuánto mide cada pieza de listón después de repetir el proceso seis veces? 6 __ Exprésalo como potencia. 26 Lección 2 Bloque 1 25

Lección 3 Cálculo de potencias Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos Contenido

Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Móviles con cuadrados

Carlos construye un móvil para colgarlo en el techo. Utiliza piezas cuadradas de metal con las medidas que se indican en las siguientes figuras.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

1 mm

2 mm

4 mm

8 mm

16 mm

1. Reúnete con un compañero. Lleven a cabo lo que se indica en sus cuadernos. Oriéntate

Una sucesión es un conjunto de números o figuras que cumplen con un patrón de comportamiento.

a) Describan el comportamiento que sigue la sucesión de cuadrados. R. T. El lado de cada

cuadrado de la sucesión mide el doble que el lado del cuadrado que le precede.

b) Completen la tabla y resuelvan la operación solicitada. Observen el ejemplo.

Área del cuadrado

Número de figura

Medida del lado (mm)

Medida del lado (expresada en potencia de base 2)

Operación

Resultado

2

2

21

(21)(21) = (21)2

4

3

4

22

(22)(22) = (22)2

4

8

5

16 32

23 24 25

(23)(23) = (23)2 (24)(24) = (24)2 (25)(25) = (25)2

16 64 256 1 024

6

c) Describan los pasos que siguieron para resolver (22)2.

R. T. Calcular 22 y el resultado obtenido elevarlo al cuadrado.

d) De acuerdo con la sucesión anterior, ¿qué figura corresponde a la expresión 28 × 28 = (28)2?

Figura 9.

e) Consideren la figura 1 y completa las operaciones. 21 ÷ 21 = 2

0

1

2 ÷2

1

21 – 1 = 2

=1

0

f) Escribe, con el grupo y la ayuda del profesor, una justificación acerca de la igualdad a0 = 1. Básense en su análisis del inciso e).

g) Usen la tabla del inciso b) para obtener el resultado de las siguientes expresiones. (32)2 = 32 · 32 =

81 81

34 =

81

31 · 31 · 31 · 31 =

30 =

1

81

h) Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Elaboren una explicación sobre el comportamiento de los resultados y escriban la conclusión en sus cuadernos. 26 Bloque 1 Lección 3

Lección 3

Un paso adelante 2. Lee el siguiente planteamiento y responde lo que se pide.

Carlos construye otro móvil, pero ahora utiliza cubos de metal con diferentes medidas para cada arista, tal como se indica con las siguientes figuras. Figura 1

1 mm

Figura 2

3 mm

Figura 3

Figura 4

9 mm

27 mm

Oriéntate

Recuerda que una arista es la línea donde se unen dos caras de un cuerpo sólido.

a) Escribe la sucesión de potencias que representa el valor de una arista de cada cubo.

30, 31, 32, 33,

 

Arista

…

b) La tabla muestra la relación entre el número de figura y su volumen (V). Complétala con un com-

pañero. Empleen la potencia que representa el valor de cada arista (L) para demostrar la equivalencia entre potencias. Volumen del cubo V = L3

V=L×L×L

Desarrollo por productos

Resultado (mm)

Resultado (expresado en potencia de base 3)

1

V = (30)3

V = (30)(30)(30)

(1)(1)(1)

1

30

2

V = (31)3

(31)(31)(31)

(3)(3)(3)

33

3

V = (32)3

(3)(3)(3)(3)(3)(3)

4

(33)3 (34)3

(32)(32)(32) (33 (33)(33) (34)(34)(34)

27 729 19 683 531 441

Figura

5

(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3) (3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3) (3)(3)(3)(3)

36

39 312

c) De acuerdo con la tabla anterior, ¿por qué (32)3 = 36= (9)(9)(9)? Escriban en su cuaderno una

explicación y propongan algunos ejemplos. Lee, con el grupo, la siguiente información y propongan ejemplos relacionados. Ley de los exponentes La potencia de una potencia de un número a es igual a la misma base, cuyo exponente es el resultado del producto de ambos exponentes. (a )  = a  · Por ejemplo: (52)3 = 52 × 3 = 56. n m

n

m

3. Resuelve las operaciones aplicando la propiedad anterior. Primero obtén el valor de la potencia y después haz la operación indicada. a) (24)2 = 28 = 256

b) (32)2 + (21)2 = 34 + 22 = 85

c) (41)3 · (32)2 = 43 × 34 = 64 × 81 = 5 184d) (32)3 + (22)3 =

36 + 26 = 793

Lección 3

Bloque 1

27

Lección 3 Cálculo de potencias Profundiza 4. Reúnete con un compañero. Coloquen el número o los números que faltan para que la igualdad sea verdadera. Considera que algunos ejercicios pueden tener más de una solución; lo importante es que se mantenga la igualdad. a) (33)2 = 3 6

R. T. b) ( 2

6

) 2 = 212

c) ((0.5)2)3 = 0.56

R. T. d) ( 7 2 )3 = 7

2 4

2 e) ((__23 ) ) = (___ ) 3

6

8

5. Revisen y validen las respuestas de los incisos a) al e) con la ayuda del profesor. Elijan algunos y describan, con el grupo, el procedimiento para establecer la igualdad. 6. Resuelve lo siguiente retomando lo analizado sobre división de potencias con la misma base.

a) Aplica las propiedades de la división de potencias. Escribe el resultado con potencias.

_

2 i) 23 =

2

2–1

ii)

2 = _ 3

21

2

2

b) ¿Por qué los resultados son diferentes? Explica en tu cuaderno el procedimiento que usaste, el

resultado que obtuviste y la diferencia en él. c) Comparte tu resultado con tus compañeros de grupo. Analicen diferencias y escriban en su cuade rno

una conclusión al respecto. Oriéntate

Cuando estudiaste notación científica se mencionó que las potencias negativas de base 10 son números del tipo 10– , donde n es un número diferente a 0.

_

_

1  = 0.0001 = 10–4 10000 1 = 0.000001 = d) 1000000 a)

1 10–2 = ___ = 0.01 100 1 10–3 = ____ = 0.001 1000

b)

_

_ 100

1 = 0.001 = 10–3 1000

10–6

e)

c) 1  = 0.01 = 10–2

1 = 0.00000001 = 100000000

10–8

8. Compara tus respuestas con las de tus compañeros de grupo. Comenten qué procedimiento siguieron para responder el planteamiento.

n

1 10–1 = __ = 0.1 10

_

7. Escribe en forma de potencia las siguientes expresiones. Observa el ejemplo.

9. Completa la siguiente tabla, donde se indica un cociente de potencias, su desarrollo y el resultado obtenido.

__ __

Operación

Desarrollo

Desarrollo de factores

Potencia

Resultado

3 _

33 – 3 = 30

3 · 3 · 3 = 27 3 · 3 · 3 27

30 = 1

1

4 · 4 = 16 = _ 1 4 · 4 · 4 64 4

4–1 = __14

0.25

3

33 4 _ 2

43 5 _ 2

5

3

3 _ 1

33

42 – 3 = 4–1

52 – 3 = 5–1

5 · 5 __1 _________ = 5 · 5 · 5 5

5–1 =

__1

31 – 3 = 3–2

3 __1 ________ = 3 · 3 · 3 9

3–2 =

__1

5

9

0.2

0.1

a) Compara tus resultados con los de tus compañeros. Escriban una conclusión del caso en el que un

cociente de potencias da como resultado un número menor a 1. 28 Bloque 1 Lección 3

Lección 3

Lee, con el grupo, la siguiente información y propongan varios ejemplos al respecto. Ley de los exponentes Una potencia con exponente entero negativo es igual a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo. _1 – a  = n

n

a

_

Por ejemplo: 7–3 = 13 , (__83 )–2 = (__38 )2 7

Oriéntate

10. Obtén el resultado de las siguientes potencias. a) (__35 )  = –2

(_53_)2

b) (__12 )  = –3

c) (__23 )  = –1

23

_

3 __ 2

11. Determina los números que faltan para que las expresiones representen una igualdad.

–3 a) (__35 )  = ( 5

3 ) 3

b)

3 = _ ( 31 ) 3

5

–2 3

–3

c)

(__12 )

 + (__12 )

El inverso o recíproco de un número se expresa al escribir una fracción con numerador 1 y con el número inicial como denominador. Por ejemplo, el inverso de 3 es __13 .

–2

–2 2  + (__1 )

=

0

2

12 5

12. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento y respondan en sus cuadernos las preguntas. a) El profesor Felipe se encontró con la siguiente respuesta de un alumno: 3–2 = (–3)(–3) = 9.

Argumenta si es correcta o no. R.

T. No es correcta, ya que : 3–2 =

__1 9

b) Determinen el valor de x  para que se cumpla la igualdad.

3 =1 _ 2x 

320

 = 10

x 

13. Organiza con el grupo un debate sobre la siguiente afirmación:“Una fracción unitaria elevada a un número entero negativo es igual al número del denominador elevado a la misma potencia que la fracción, pero con signo positivo”. Propongan 1 –2 ejemplos y escriban una conclusión. R. T. (__1 )-3 = 93; (___ )  = 782

9

78

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-029a . Si tienes dudas respecto a las potencias de una potencia, revisa la actividad 9 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-029b . Resuelve las operaciones con diferentes niveles de dificultad hasta llegar al avanzado. Si tienes errores o dudas, consulta los recuadros de información.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 3 en la bitácora de la página 66.

Una molécula de almidón de maíz mide aproximadamente 30 micras (µm) de diámetro, es decir, unos 0.00003 m. Expresa en forma de potencia su diámetro. 3(10−5) m Lección 3 Bloque 1

29

Lección 4 Relaciones entre ángulos Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

¿Qué polígonos se forman? En la casa de Denise hay un patio rectangular. Con motivo de las posadas, su papá colocó una serie de luces de colores como se muestra en el esquema. Serie

Patio

Figura 1

Figura 2

1. Analiza las figuras anteriores y contesta las preguntas. a) ¿Cómo es la recta que representa la serie de luces con respecto a los lados azules del rectángulo?

Perpendicular. b) ¿Cuántos ángulos se formaron entre la recta que representa la serie y los lados azules del rectángulo?

Ocho. c) ¿Cuánto miden los ángulos que se formaron entre la recta que representa la serie y los lados azules

del rectángulo?

90

°

d) ¿Cómo son entre sí los ángulos que se formaron entre la recta que representa la serie y los lados

Iguales.

azules del rectángulo?

La recta que representa la serie de luces divide al rectángulo en dos polígonos.

Dos rectángulos.

e) ¿Qué polígonos se formaron?

Iguales.

f) ¿Cómo son entre sí?

El papá de Denise movió un poco la serie de luces y quedó como se muestra en el esquema. Serie

Patio

Figura 3

Dos trapecios.

g) ¿Qué polígonos se formaron? h) ¿Cómo son entre sí?

30

Bloque 1 Lección 4

Iguales.

Lección 4

i) ¿Es perpendicular la recta que representa la serie de luces con respecto a los lados azules del

No.

rectángulo?

 j) ¿Cuántos ángulos se formaronn entre la recta que representa la serie y los lados azules del rectángulo?

Ocho.

Marca, en la figura anterior, los ángulos que se formaron, cada uno con

un color diferente. k) Usa tu transportador y mide los ángulos que se formaron entre la recta que representa la regla y

150 , 30  30 , 150 °

los lados azules del rectángulo.

°

°

°

Serie 150

°

30

°

Patio 30

°

l) ¿Qué relación encuentras entre las medidas de los ángulos que acabas de medir? Se

parejas de ángulos iguales.

forman

150

°

Marca, en la figura y con una misma letra minúscula,

los ángulos que tienen igual medida.

2. Comenta, con el grupo, las diferencias y similitudes entre las figuras 2 y 3. Redacten en su cuaderno las conclusiones.

Un paso adelante 3. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y contesten las preguntas. Observen que se trata de dos segmentos paralelos cruzados por otro segmento.

E

B

A D C

Figura 4

F

a) Midan la distancia del punto A al punto C y luego la del punto B al punto D. b) ¿Cómo son entre sí los segmentos AC y BD?

Iguales

c) ¿Cómo son entre sí los segmentos AB y CD, de acuerdo con la distancia entre ellos?

Paralelos. d) A la recta que pasa por EF se le llama transversal de los segmentos AB y CD. ¿Cómo definen transversal ?

R. T. Es una recta que cruza a ambas rectas.

e) Comenten con el grupo su definición. Redacten en su cuaderno una en común.

Lección 4

Bloque 1

31

Lección 4 Relaciones entre ángulos Profundiza 4. Reúnete con dos compañeros. Observen la figura 5; lean, analicen y discutan las afirmaciones de los recuadros verdes para llevar a cabo lo que se pide. E

2

Oriéntate

3

A

El símbolo ∠ indica ángulo. Por ejemplo, ∠1 significa “ángulo 1”.

B

1 4

6 7

C

5

D

8 F

Figura 5 Oriéntate

Cuando se menciona una pareja de ángulos no importa el orden, es decir: ∠1 y ∠2 es

lo mismo que

Los ángulos opuestos por el vértice, en un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, son parejas de ángulos que comparten un vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. La medida de los ángulos opuestos por el vértice es la misma. a) Escriban las cuatro parejas de ángulos opuestos por el vértice de la figura 5.

1y

∠

3

∠

2y

∠

4

∠

5y

∠

7

∠

6y

∠

8

∠

∠2 y ∠1.

Los ángulos adyacentes, en un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, son aquellas parejas de ángulos que comparten un vértice y un lado. La suma de los ángulos adyacentes es igual a 180°. b) Escriban las ocho parejas de ángulos adyacentes de la figura 5.

2y

∠

6y

∠

∠ ∠

1

∠

1y

∠

5

∠

4

∠

5y

∠

4y

∠

8

∠

3

∠

8y

∠

3y

∠

7

∠

2

7y

∠

6

Los ángulos alternos internos, en un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, son parejas de ángulos que se encuentran entre las paralelas y los lados opuestos de la transversal; no comparten vértice, pero sí un lado y tienen la misma medida. c) Escriban las dos parejas de ángulos alternos internos.

3y

∠

5

∠

4y

∠

6

∠

Los ángulos alternos externos , en un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, son parejas de ángulos que se encuentran fuera de las paralelas y los lados opuestos de l a transversal; no comparten vértice pero tienen la misma medida. d) Escriban las dos parejas de ángulos alternos externos.

2y

∠

8

∠

1y

∠

7

∠

Las parejas de ángulos correspondientes, en un par de líneas paralelas cortadas por una transversal, están del mismo lado de la transversal; no comparten vértice pero tienen la misma medida. e) Escriban las cuatro parejas de ángulos correspondientes de la figura 5.

2y

∠

6

∠

3y

∠

7

∠

1y

∠

5

∠

4y

∠

8

∠

f) Compartan con el grupo sus respuestas. Concluyan sobre las características de cada ángulo dado. 32 Bloque 1 Lección 4

Lección 4

5. Deduce las medidas de los ángulos restantes y completa las tablas de acuerdo con las características dadas anteriormente. E

B

2 1 3 4

A

C

D

6

5

7

8 = 114°

F

Figura 6 Ángulo

∠1

Medida

66

°

∠2

114

°

∠3

66

°

∠4

∠5

∠6

∠7

∠8

114

66

114

66

114°

°

°

Nombre

1 y ∠3, ∠2 y ∠4, ∠5 y ∠7, ∠6 y ∠8

∠

3 y ∠5, ∠4 y ∠6

Ángulos alternos internos

Ángulos adyacentes

Ángulos alternos externos

°

Parejas de ángulos

Ángulos opuestos por el vértice Ángulos correspondientes

°

∠

2 y ∠6, ∠3 y ∠7, ∠1 y ∠5, ∠4 y ∠8

∠

2 y ∠1, ∠1 y ∠4, ∠4 y ∠3, ∠3 y ∠2, ∠6 y ∠5, ∠5 y ∠8, ∠8 y ∠7, ∠7 y ∠6 ∠

2 y ∠8, ∠1 y ∠7

∠

6. Analiza, con el grupo y la ayuda del profesor, el uso de los ángulos en la vida cotidiana. Redacten en su cuaderno dos situaciones breves que lo ejemplifiquen. TIC

Explora el sitio www.e-sm.com.mx/matret2-033a. Interactúa con la simulación y, en tu cuaderno, elabora una explicación de la relación entre las rectas paralelas y los ángulos que se forman. Coméntala con un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-033b. Efectúa las actividades y resuelve los problemas de la parte final. Compara tus respuestas con las de un compañero.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 4 en la bitácora de la página 67. Lección 4 Bloque 1 33

Lección 5 Ángulos interiores de triángulos y paralelogramos Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

Ángulos interiores En la ciudad donde vive Ana, hay tres calles que forman un triángulo: a partir del mapa se trazaron tres segmentos de tal forma que sus intersecciones forman los vértices de un triángulo, tal como se muestra en la figura. a b d

e h

f

c  j

g

i

k

l

Figura 1 1. Analiza la figura anterior y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Qué polígono se forma en la figura 1?

Triángulo

b) ¿Qué ángulos están dentro del polígono?

c, h y j.

c) ¿Cuánto suman los ángulos b y c, e y h, e i y j? Identifica dos ángulos opuestos.

180°. R. T. Dos ángulos opuestos: c y a, b y d …

d) Revisa las respuestas a los incisos anteriores con el grupo y la ayuda del profesor. Validen los

resultados y escriban una breve conclusión. Lee, con el grupo, el siguiente planteamiento; propongan varios ejemplos relacionados. Un ángulo interno o interior se forma dentro del

polígono, con dos lados consecutivos.

Ángulo interior

Un ángulo externo o exterior se forma fuera del polígono, con un lado y la prolongación del lado

consecutivo.

Ángulo exterior

2. Clasifica en la siguiente tabla los ángulos del triángulo que se forma en la figura 1, retomando lo visto anteriormente. Ángulos internos

Ángulos externos

Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos adyacentes

c

b, d

c y a, b y d

a y b, b y c, c y d, d y a

h

e, g

f y h, e y g

e y h, h y g, g y f, f y e

 j

i; k

 j y h, i y k

 j y k, I y j, l y k, l y k, l e i

a) ¿Qué ángulos de la figura 1 tienen la misma medida? a b) ¿Cuánto suman dos ángulos adyacentes de la figura 1?

34

Bloque 1 Lección 5

y c, b y d, h e I, j y l, e y g, f y h 180°

Lección 5

Un paso adelante 3. Reúnete con un compañero. Sigan las instrucciones y contesten las preguntas. a) Tracen un triángulo en una hoja. No importa el tipo de triángulo. b) Nombren los vértices de su triángulo. c) Recorten el triángulo. Luego córtenlo en tres partes de manera que en cada una quede un ángulo

de los indicados. Posteriormente peguen los pedazos en sus cuadernos; hagan coincidir los vértices de los ángulos, como se muestra a continuación.

B

B A

A

C

C Figura 2

Figura 3

Llano.

d) ¿Qué tipo de ángulo formaron los tres ángulos internos del triángulo?

180°

e) ¿Cuánto suman los ángulos internos de su triángulo?

f) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Redacten, en sus cuadernos, una conclusión

al respecto. 4. Haz lo que se pide y contesta en tu cuaderno. a) Observa el siguiente paralelogramo y traza una de sus diagonales.

A

B

D

C Figura 4

b) ¿Qué figuras se obtienen al trazar la diagonal? ¿Qué características tienen?

Dos triángulos; tienen tres lados y tres ángulos.

c) Observa la figura que quedó y determina cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de

un paralelogramo.

Oriéntate Recuerda que un paralelogramo es un polígono de cuatro lados en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos e iguales, y los ángulos opuestos son iguales. Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de cualquier polígono.

360°

d) A partir de la diagonal trazada, ¿cómo demostrarías que la suma de los ángulos interiores de todo

paralelogramo es igual a la respuesta de la pregunta anterior? R. T. Cómo la diagonal divide al paralelogramo en dos

triángulos y la suma de los tres ángulos de todo triángulo son 180 °, entonces 180° × 2 = 360°.

e) Comparte tus respuestas con el grupo. Redacten en sus cuadernos una conclusión general. Lección 5

Bloque 1

35

Lección 5 Ángulos interiores de triángulos y paralelogramos Profundiza 5. Reúnete con dos compañeros. Observen la figura 5; lean, analicen y contesten en sus cuadernos. Justifiquen sus respuestas. B M N 2 1

A

C

Figura 5 a) Si el segmento MN es paralelo al lado AC del triángulo, entonces…

1

i) ¿a qué ángulo es igual el ángulo A?

∠

ii) ¿a qué ángulo es igual el ángulo C?

∠

iii) ¿cuánto mide el ángulo B?

2

129

°

iv) ¿a qué es igual la suma del ángulo 1, el ángulo 2 y el ángulo B?

180

v) ¿a qué es igual la suma del ángulo A, el ángulo B y el ángulo C?

180

°

°

b) Revisen sus respuestas con ayuda de su profesor y validen los resultados. Corrijan lo necesario. 6. Reúnete con dos compañeros. Observen la figura 6; a partir de lo discutido previamente,  justifiquen, en sus cuadernos, las afirmaciones dadas. Q

P

Q

R

P

S

Figura 6

4

3

R

1

S

2

R. T. Sí. Al trazar una de las dos diagonales, el paralelogramo se divide a) Los ángulos internos de todo paralelogramo suman 360°. en dos triángulos, en cada uno la suma de las medidas de los ángulos es de 180 . °

b) Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.

ángulos alternos internos para justificarlo.

R. T. Se puede usar los

c) Compartan y comenten, en grupo y con ayuda de su profesor, sus justificaciones. Redacten en sus

cuadernos una conclusión grupal. 7. Reúnete con dos compañeros. Observen las figuras 7 y 8; analicen cada afirmación y su  justificación. a) La suma de los ángulos externos de cualquier triángulo es igual a 360°.

5 2 1 4

1 + 3

Figura 6

36

Bloque 1 Lección 5

6

4 = 180°

2 +

5 = 180°

3 +

6 = 180°

Entonces, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 540°. Sabemos que 1 + 2 + 3 = 180°, por tanto: 4 + 5 + 6 = 360°.

Lección 5

b) En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él.

1 + 4 = 180° 1 + 2 + 3 = 180° Entonces, 1 + 4 = 1 + 2 + 3.

5 2 6

3

1 4

Se resta 1 en ambos lados y se obtiene 4 = 2 + 3.

Figura 7

c) Compartan y comenten, en grupo y con ayuda de su profesor, otros ejemplos de las dos afirmaciones anteriores. Redacten, en sus cuadernos,una conclusión grupal. 8. Retoma las afirmaciones de los ejercicios 5 y 6 para calcular y justificar, en tu cuaderno, el valor del ángulo que se pide.

B

a)

b)

C 30°

13°

A

130°

D

137

°

B=

x

x

70°

60

°

=

a

c)

b d

e c

h

f

 j

g

i

k

l

Si a = 90°, b=

90

h=

45

°

°

c+ h+ j=

90

°

c=

135

°

i=

180

°

90

°

d= j=

135

°

e=

45

°

b+ g+ k=

k=

f=

135

°

45

°

l=

g=

135

°

45

°

360

°

9. Organiza un debate grupal, con ayuda de tu profesor, acerca de por qué el triángulo sirve para justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de un paralelogramo.

TIC Explora http://www.e-sm.com.mx/matret2-037a. Efectúa las actividades y resuelve los ejercicios. Elabora una explicación de por qué, para todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 5 en la bitácora de la página 67. Lección 5 Bloque 1

37

Lección 6 Construcción de triángulos, dados ciertos datos Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

La tarea: construcción de triángulos Se quiere trazar un triángulo que tenga un lado de 4 cm y otr o de 6 cm. 1. Contesta las preguntas y haz lo que se pide. a) ¿La información dada para trazar el triángulo es suficiente? Justifica en tu cuaderno la respuesta. b) ¿Puedes trazar dos o más triángulos diferentes con las medidas dadas?

No

c) Si tu respuesta es afirmativa, traza en tu cuaderno dos o más triángulos diferentes con esas medidas. d) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden trazar con esas medidas?

cuaderno la respuesta.

Justifica en tu

R. T. Tantos como se quiera.

e) Discute con tu grupo, con ayuda del profesor, qué información extra es necesaria para que cualquiera

trace el mismo triángulo. Registren sus conclusiones en sus cuadernos. 2. Retoma la información anterior para responder los siguientes planteamientos. a) Si se quiere trazar un triángulo con las medidas de ángulos de 40° y 60°, ¿solo se puede construir

un triángulo?

No.

b) Traza en tu cuaderno dos triángulos diferentes que tengan, cada uno, un ángulo de 40° y otro de 60°. c) ¿Cuántos ángulos interiores tiene un triángulo?

riores de un triángulo?

3

¿Cuánto suman los ángulos inte-

180

°

d) ¿Cuántos triángulos se pueden trazar dados dos ángulos?

la respuesta. e) ¿Cuántos triángulos se pueden trazar dados tres ángulos?

la respuesta.

Infinid ad.

Justifica en tu cuaderno

Infinid ad.

Justifica en tu cuaderno

f) Discute con tu grupo, con ayuda del profesor, qué información extra es necesaria para que cualquiera

trace el mismo triángulo. Registren sus conclusiones en sus cuadernos. 3. Si se quiere que varias personas tracen el mismo triángulo, ¿cuál es la información mínima que se les debe dar (incluyendo medida de ángulos y lados) para construirlo? Responde en tu cuaderno.

Los tres lados del triángulo, un lado y los dos ángulos contiguos o bien dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

4. Comparte tu respuesta del inciso anterior con tu grupo. Redacten en sus cuadernos una conclusión grupal.

Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Contesten las preguntas y efectúen lo que se pide. a) El perímetro de un triángulo es igual a 18 cm. ¿Cuánto mide cada lado? No es posible saberlo. b) ¿Cuántos triángulos cumplen con la condición anterior?

en el cuaderno.

38

Bloque 1 Lección 6

Infinid ad.

Justifiquen sus respuestas

Lección 6

c) Tracen en sus cuadernos tres triángulos que cumplan con la condición dada en el inciso a). d) Compartan y comparen sus trazos con los del resto del grupo. Discutan sobre la posibilidad de que

todos tracen el mismo triángulo. 6. Construye los triángulos indicados. a) Un triángulo con las medidas 3 cm, 5 cm y 4 cm.

b) Un triángulo con las medidas 6 cm, 3 cm y 2 cm.

R. T. No se puede construir con esas medidas.

c) Compartan sus trazos con el grupo y analicen la construcción de l os triángulos anteriores. Registren

sus conclusiones grupales en sus cuadernos. Lección 6

Bloque 1 39

Lección 6 Construcción de triángulos, dados ciertos datos Profundiza 7. Desarrolla con dos compañeros lo que se pide. a) Cada uno trace en una hoja un triángulo. b) Describan, en otra hoja, los pasos para trazar el triángulo que ya hicieron en la primera. c) Intercambien las hojas de instrucciones. Conserven la que tiene el triángulo y no la muestren a sus

compañeros de equipo. d) Sigan las instrucciones de la hoja intercambiada. Tracen el triángulo indicado; no se pueden hacer

aclaraciones de ningún tipo, solamente pueden seguir las instrucciones descritas. e) Al terminar, sobrepongan las hojas donde está el triángulo original y el triángulo trazado por algún

compañero. f) ¿Obtuvieron triángulos iguales?

R. P.

g) Comenten en equipo los resultados que obtuvieron y escriban una breve conclusión sobre el trabajo

efectuado. Resalten errores y aciertos en las instrucciones. h) Compartan con el grupo sus conclusiones. 8. Reúnete con un compañero para resolver la siguiente actividad. Sin trazar los triángulos, pongan una ✔ dentro del paréntesis si es posible construirlo y un ✘ si no se puede.

a) Un triángulo cuyas medidas laterales son 5 cm, 50 cm y 10 cm.

(

b) Un triángulo cuyas medidas laterales son 4 cm, 2 cm y 6 cm.

(✔ )

c) Un triángulo cuyas medidas laterales son 12 cm, 6 cm y 13 cm.

(✔ )

✘

)

d) ¿Cuántos triángulos de los anteriores es posible construir? Expliquen por qué.

R. T. b) y c) porque ninguno de los lados es mayor a la suma de los otros dos lados que configurarían el triángulo.

e) Comparen, con ayuda de su profesor, sus respuestas con las del resto del grupo. Concluyan si es

posible construir un triángulo conociendo las medidas de sus tres lados. Escriban sus conclusiones.

R. T. Sí, siempre que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera sea siempre mayor a la longitud del lado restante.

40 Bloque 1 Lección 6

Lección 6

9. Completa, con tu grupo y la ayuda del profesor, la siguiente tabla. En la columna “¿Es posible su construcción?” deberán escribir Sí  o No . En caso de que la respuesta sea Sí , en la columna “¿Cuántos?” deberán anotar 1 si solo es posible trazar un único triángulo y +1 si es posible hacer más de uno con esos datos. Datos

a) Un triángulo cuyas medidas laterales son

5 cm, 4 cm y 3 cm

b) Un triángulo con un lado de 3 cm, otro de 6 cm y el ángulo comprendido entre

¿Es posible su construcción?

¿Cuántos?

Sí.

1

Sí.

1

ellos de 60º

c) Un triángulo cuyos ángulos internos son

de 30º, 60º y 100º

No.

Oriéntate d) Un triángulo con un lado de 10 cm

y dos ángulos contiguos de 35º y 50º

e) Un triángulo isósceles con un lado de 4

cm y otro de 6 cm

f) Un triángulo cuyos ángulos miden 50º,

70º y 60º

Sí.

1

Sí.

2

Sí.

Una infinidad.

Los ángulos contiguos son aquellos que están a los extremos de un mismo segmento.

g) Discutan y justifiquen cada respuesta en sus cuadernos.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-041a. Explora la sección de las propiedades de los triángulos. En tu cuaderno explica qué importancia tiene la propiedad de la rigidez para saber cuándo es posible trazar un único triángulo. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-041b. Manipula y analiza los ejemplos que aparecen en la sección "Construcción de triángulos a partir de sus lados y ángulos". Explica los procedimientos diferentes a los que ya conoces.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 6 en la bitácora de la página 67.

Toma siete palitos de madera y córtalos con estas medidas: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con tres palitos? 12 Lección 6 Bloque 1

41

Lección 7 Cálculo de áreas de figuras compuestas Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

Calculando áreas 1. Se va a construir un jardín en una secundaria. La figura es un esquema de la forma que tendrá. Con base en lo anterior contesta las preguntas.

A

B

C

F

E

a) ¿Qué polígonos observas en la figura anterior?

D

Un cuadrado, dos triángulos y un tra-

pecio. b) Si el área del triángulo verde es de 32 m2, ¿cuál es el área del cuadrado?

Redacta tu procedimiento para encontrar el área del cuadrado.

64 m2.

R. T. El área total es un

cuadrado formado por dos triángulos iguales; si un triángulo mide 32 m2, dos medirán 64 m2. 8 m.

c) ¿Cuánto mide un lado del cuadrado?

Redacta tu procedimiento.

R. P.

d) Si E es punto medio del lado FD y C es punto medio del lado BD, ¿cuál es el área del triángulo

rojo?

8 m2.

Redacta tu procedimiento.

R. T. Como FD mide 8 y E

es su punto medio, entonces ED mide 4 y análogamente para CD, con esos datos se calcula el área. e) ¿Cuál es el área del trapecio?

24 m2.

Redacta tu procedimiento. R.T.

El área

total es 64 m2, los dos triángulos juntos tienen un área de 40 m2; por lo tanto, el área del trapecio es 24 m2. f) Con ayuda de tu profesor, comparte tus procedimientos con el grupo. Compárenlos y redacten en

su cuaderno un procedimiento general.

42

Bloque 1 Lección 7

Lección 7

Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero. Observen la figura, contesten las preguntas y hagan lo que se les pide.

Emilio trabaja en una empresa de mensajería. Este verano solicitó a su proveedor de cajas que las hiciera como se muestra en la figura. Estima cuánto cartón requerirá una caja. 20 cm

7 cm 30 cm

Seis.

a) ¿Cuántas caras tiene la caja?

b) ¿Qué forma tienen las caras de la caja?

Rectángulos. 7 cm

210 cm2 30 cm Hay dos de 600 cm2, dos de 210 cm2 y d) Tracen en sus cuadernos cada una de las caras de la caja y calculen las áreas. dos de 140 cm2 1 900 cm2 e) ¿Cuánto es la suma de todas las áreas de las caras de la caja? c) Una de las caras es

 ¿Cuál es su área?

f) ¿Cuántos cm2 de cartón se necesitan para hacer la caja?

1 900 cm2

g) Comenten y comparen, grupalmente, sus respuestas. 3. Un artesano ha sido contratado para forrar adornos con papel amate. Le han dado a elegir entre adornos con forma piramidal y cúbica. El pago por pieza forrada será el mismo sin importar lo que decida. Le han dado los esquemas que se muestran en la imagen. Con base en las figuras, responde en tu cuaderno. 10 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

a) Sin hacer cálculos, ¿qué figura deberá elegir el artesano para emplear menos papel?

La Pirámide.

b) Contesta considerando la pirámide. ¿Qué forma tiene la base? ¿Cuál es el área de la base? ¿Qué

forma tienen las caras laterales? ¿Cuál es el área de una cara lateral? ¿Cuál es el área total de las caras de la pirámide?

Cuadrada; 25 cm2; triangular; 25 cm2; 125 cm2

c) Contesta considerando el cubo. ¿Qué forma tiene la base? ¿Cuál es el área de la base? ¿Qué

forma tienen las caras laterales? ¿Cuál es el área de una cara lateral? ¿Cuál es el área total de las caras del cubo?

Cuadrada; 25 cm2; cuadrada; 25 cm2; 150 cm2

d) ¿En la construcción de qué figura se emplea más papel? Compara con tu respuesta inicial.

Cubo.

e) Comparte tus respuestas con el grupo. Corrijan las que sean necesarias. Lección 7

Bloque 1

43

Lección 7 Cálculo de áreas de figuras compuestas Profundiza 4. Reúnete con dos compañeros. Resuelvan los siguientes problemas de cálculo de áreas en sus cuadernos. a) Federico desea pintar la fachada de su casa de la siguiente manera: puerta de color café, ventanas

sin pintar y el resto de color azul. Observen el esquema. 1m 10 m 1.5 m 5m 2m

4m 2m

1m

 i) ¿Qué superficie se pintará de color azul? Expliquen su respuesta. 44 m2. ii) Compartan su procedimiento con sus compañeros de grupo. Analicen las diferencias y escriban

una conclusión. b) Determinen el área de la figura. Expliquen cómo usaron el reticulado.

68.5 cuadrados (la unidad de medida es un cuadrado de la retícula). c) Martín quiere forrar un prisma pentagonal con papel aluminio para repujado. La mamá de Martín

le dio solo una hoja de 576 cm2.  4.1 cm

21 cm

6 cm

 i) ¿Cuál es el área lateral del prisma? ¿Le alcanzará la hoja para forrar el prisma? Describan su

procedimiento en su cuaderno. 630 cm2.

No le alcanzará.

d) Validen sus respuestas de los incisos anteriores con el grupo y la ayuda del profesor. Comparen

los procedimientos usados y decidan cuál es más eficiente. 44 Bloque 1 Lección 7

Lección 7

e) Andrea obtuvo la siguiente superficie al despegar una caja de chocolates.

4 cm

1 8  c m 

 i) ¿De qué cuerpo geométrico se trata?

3.5 cm

Pirámide hexagonal.

ii) Si Andrea desea hacer cajas con la forma anterior para cinco de sus amigas, ¿cuánto papel

necesitará?

1 290 cm2

iii) Describan en su cuaderno el procedimiento para obtener el área total de la figura. f) Consideren sus respuestas anteriores y respondan: ¿cuánta cartulina se requiere para construir una

caja cúbica de 50 cm de arista?

15 000 cm2

g) ¿Cuánto vidrio se requiere para construir una pecera sin tapa con las siguientes medidas: 70 cm de

largo, 35 cm de ancho y 50 cm de alto? 12 950 cm2 Tracen la pecera a escala en sus cuadernos. h) Comenten entre ustedes los resultados que obtuvieron y escriban en su cuaderno una breve con-

clusión sobre el trabajo efectuado. i) Con ayuda de su profesor, compartan sus conclusiones con el grupo. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-045a. En tu cuaderno, elabora un resumen de los procedimientos que encontraste en la guía interactiva para el cálculo del área de los cuerpos geométricos. Comparte tu escrito con un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-045b. Explica cómo calcular el área de las caras de los prismas y las pirámides. Si tienes dudas, revisa las actividades 2 y 3 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 7 en la bitácora de la página 67.

En la figura se muestra un ejemplo de prisma oblicuo. Considera que este prisma oblicuo tiene las siguientes medidas: apotema, 8.6 cm; lado, 10 cm; y alto, 20 cm. Calcula su área total.

1 716 cm2 Lección 7 Bloque 1 45

Lección 8 Resolución de problemas de porcentaje I Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra; y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

Las encuestas Un reportero deportivo hizo una encuesta para una nota periodística sobre el deporte favorito de las personas. Las opciones: futbol, basquetbol, natación y volibol. Estos fueron los resultados: futbol, 22; basquetbol, 14; natación, 9; y volibol, 5. 1. Reúnete con un compañero. Respondan lo siguiente. a) ¿A cuántas personas se les preguntó?

A 50 personas.

b) Si consideramos el total de los encuestados como 100%, ¿qué porcentaje representan las personas

44%

a las que les gusta el futbol?

28%

c) ¿Qué porcentaje representan las personas a las que les gusta el basquetbol?

18%

d) ¿Qué parte del total representan las personas a las que les gusta la natación?

10%

e) ¿Qué parte del total representan las personas a las que les gusta el volibol?

f) Hugo efectuó una nueva encuesta, pero ahora considerando 100 personas. En ella, 28 respondieron

que su deporte favorito es la natación. ¿Qué porcentaje representan del total?

28%

g) Validen las respuestas anteriores, con el grupo y la ayuda de el profesor. Escriban en su cuaderno

un procedimiento para conocer el porcentaje que representa una cantidad respecto a otra. 2. Reúnete con un compañero. Resuelvan en sus cuadernos lo siguiente. a) Hilda trabaja en una tienda de ropa; su jefe la puso a etiquetar los precios de toda la tienda,

ya que por final de temporada la ropa de invierno tiene descuento. Oriéntate

En una cantidad, 10% equivale a una décima parte de ella.

i) Las bufandas tienen 12% de descuento. Si su precio regular es de $350.00, ¿cuál será su nuevo

precio? $308.00 ii) Discutan y escriban el procedimiento que emplearon para responder la pregunta anterior. iii) El precio de un suéter ya con descuento incluido es de $180.00. Si se aplicó 20% de descuento,

¿cuál era su precio original? $225.00 iv) Discutan y escriban el procedimiento que emplearon para responder la pregunta anterior. b) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros, guiados por el profesor. Escriban un proce-

dimiento para responder a los incisos i) y iii). Úsenlo para completar la tabla.

46

Bloque 1 Lección 8

Precio original

Descuento aplicado

Nuevo precio

Ahorro obtenido

$400.00

12%

$525.00

22%

$352.00 $409.50

$48.00 $115.50

$600.00 $1 020.00

7% 36%

$558.00

$42.00

$652.80

$367.20

Lección 8

Un paso adelante 3. A partir de lo analizado anteriormente, responde en tu cuaderno los siguientes planteamientos referentes a capacidad. a) Mariano trabaja en una empresa que almacena y traslada productos químicos. En la planta de al-

macenamiento tienen un contenedor para oxígeno de 80 000 litros. Por medidas de seguridad solo llenan el contenedor a 92%. ¿Cuántos litros tendrá el contenedor si se llena a su capacidad segura?

73 600 L

b) Una pipa transporta 8 000 litros de agua. Si el contenedor está a 90% de su capacidad, ¿qué

capacidad tiene la pipa?

8 888.8 L

c) Una pipa tiene un tanque de gasolina de 300 litros. Por cada 100 km recorridos gasta 12% de

combustible. ¿Qué porcentaje del tanque le quedará después de haber recorrido 550 km?

5%

44%

d) El usar porcentajes facilita la interpretación y el análisis de información. Por ejemplo, se consultó a

los estudiantes de una escuela secundaria sobre el tipo de mascotas que prefieren. Los resultados están representados en la gráfica de la derecha.

10% 25% 15%

i) Si se considera que hay 360 estudiantes, ¿cuántos prefieren los gatos?

90 estudiantes.

20%

ii) ¿Cuántos estudiantes prefieren las tortugas y los peces?

25%

108 estudiantes.

iii) ¿Qué porcentaje de estudiantes prefiere los mamíferos?

234 estudiantes.

iv) ¿A cuántos estudiantes no les gustan las mascotas?

18 estudiantes.

e) Un gafete de forma circular tiene 35% de su superficie pintado con rojo y 25%, con negro. Si el

área es de aproximadamente 33.5 cm2, ¿qué superficie corresponde al color rojo? ¿Qué superficie corresponde a la tinta negra?

11.725 cm2 de rojo; 8.375 cm2 de negro

gato perro pez hámster tortuga ninguno

f) Rodrigo está habilitando una cancha de tenis. Actualmente hay pasto en 25% de la mitad de la

cancha. Si la superficie es de 195.62 m2, ¿qué superficie tiene pasto?

24.4525 m2

g) Valida tus respuestas a los incisos anteriores con el grupo y la ayuda del profesor. Corrijan lo necesario.

Lee la siguiente información con el grupo. Propongan algunos ejemplos. Un porcentaje indica una parte de una cantidad: 100% representa el total de la cantidad; así, 1% representa la centésima parte del total. Cuando se habla de tanto por ciento  de una cantidad se hace referencia a un porcentaje. Para obtener el porcentaje dado de cierta cantidad, se multiplica la cantidad por el porcentaje que se desea obtener y se divide entre 100. Por ejemplo, para obtener 20% de 1750:

_

(20)(1750) = 0.2(1750) = 350. 100

4. Calcula los porcentajes. Usa el procedimiento del recuadro anterior. a) 5.5% de 35 =

1.925

c) 9.95% de 1274 =

126.763

b) 33% de 1256 = d) 49% de 28 =

414.48 13.72 Lección 8

Bloque 1

47

Lección 8 Resolución de problemas de porcentaje I Profundiza 5. Reúnete con un compañero. Respondan los siguientes planteamientos. a) Una familia reparte sus ingresos de esta forma: 50% para alimentación; 15% para la renta y

mantenimiento del hogar; 10% para diversión familiar; 5% para transporte; y el resto para ahorro. i) Si su ingreso mensual es de $8 600.00, ¿cuánto dinero se ocupa para la alimentación? $4 300.00 ii) ¿Cuánto dinero se ocupa para la diversión familiar?

$860.00

iii) Del dinero destinado para el transporte, 20% se gasta en el transporte urbano. ¿Cuánto dinero

representa este gasto?

$86.00

iv) El fin de semana, la familia gastó $215.00 en el cine, ¿qué porcentaje representa del dinero

25%

asignado para la diversión familiar?

total de la familia?

¿Qué porcentaje representa del ingreso

2.5%

v) Analicen, con el grupo, su respuesta del inciso anterior y expongan sus resultados. Comenten el

procedimiento que siguieron para responder. Escriban en sus cuadernos una conclusión. Lee, con el grupo, la siguiente información. Señalen cómo se usa en la actividad 6. El porcentaje se puede obtener con la regla de tres; por ejemplo, obtener 15% de 80 se escribe como se muestra a continuación. 100% 80 15% que es igual a x  = 15 ∙ 80 x  100 Así, 15% de 80 es 12. Este procedimiento es útil cuando se conoce la cantidad de un porcentaje dado, pero se desconoce de qué porcentaje es. Por ejemplo, ¿qué porcentaje representa 30 de 150? 100% 150 30 que es igual a: x  = 30 ∙100 = 20 x  150 Así, 30 representa 20% de 150.

_

_

6. Determina las respuestas de los siguientes planteamientos. Usa la información del recuadro anterior.

20%

a) ¿Qué porcentaje es 18 de 90? b) ¿Qué porcentaje es 10 de 346?

 2.89%

~

7. Reúnete con un compañero. Resuelvan los siguientes planteamientos. Usen lo visto en la lección. a) En un partido de futbol, el equipo visitante tuvo la posesión del balón 60% del tiempo. ¿Cuántos

minutos representa? (El tiempo reglamentario de un partido es de 90 minutos.) 54 minutos. b) En el Día del Amor y la Amistad, una librería ofreció 15% de descuento en todo su catálogo. Si un

libro cuesta $110.00, ¿cuánto se debió pagar? 48 Bloque 1 Lección 8

$93.50

Lección 8

c) En una escuela de 640 estudiantes, 96 tienen hermanos en la preparatoria. ¿Qué porcentaje re-

15%

presenta del total?

d) Al comprar un refrigerador, Hortensia pagó $1 565.20 más 16% de IVA. ¿Cuánto pagó en total?

$1 815.632 e) Hugo pidió al banco un préstamo de $25 000.00, pero de esa cantidad le retuvieron 5% para

gastos de autorización. ¿Cuánto le dieron en efectivo?

$23 750.00

f) El precio de una casa, en cierta zona de la ciudad, se ha incrementado 12%, 8.5% y 9%, cada año,

respectivamente, durante tres años. i) ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento total en ese periodo?

32.4568%

ii) Diana y Jorge ahorran $20 000 al año para comprar una casa. Hace tres años, la vivienda

costaba $300 000.00 y ellos tenían $78 000. Expliquen en qué situación se encuentran ahora para comprar la casa.

R. T. Actualmente tienen ahorrado $138 000.00, el precio de la casa

es de $397 370.40. El aumento del precio de la casa fue mayor a lo que ahorraron. g) Si aumentamos 25% a una cantidad cualquiera y después disminuimos la cantidad resultante 25%,

¿el resultado final es mayor, menor o igual a la cantidad cualquiera? Expliquen en sus cuadernos.

R. T. El resultado es menor, es 93.75% de la cantidad original.

h) Una chamarra que costaba $225.00 bajó 15% de precio. Dos semanas después bajó 15% sobre

el precio ya rebajado. Una promoción menciona que la chamara ha sido rebajada 30%. ¿Es cierto? Expliquen en sus cuadernos.

R. T. No. La rebaja es de 27.75% del valor original.

i) Un comerciante calcula el precio de los productos que vende aumentando 30% al precio que ha

pagado. Al costo incrementado se carga 16% de impuestos. ¿Cuánto pagó el comerciante por un producto que vende por $105.56, con impuesto incluido?

$70.00

8. Validen los resultados del ejercicio 7, de los incisos del a) al f), con el grupo y la ayuda del profesor. Para los incisos del g) al i), argumenten el procedimiento para encontrar la respuesta. Corrijan lo necesario. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-049a. Resuelve los problemas y, en tu cuaderno, explica paso a paso el procedimiento que seguiste y cómo aplicaste los porcentajes para hacerlo. Comenta tus resultados con un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-049b. Elige uno o dos problemas, resuélvelos y explica qué sucede cuando cambias los valores en cada caso. Comenta tu explicación con un compañero.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 8 en la bitácora de la página 67.

Del total de agua del planeta, 97% está en los océanos y 3% es agua dulce. De esta, 69.7% es agua congelada, 30% es subterránea y 0.3% se encuentra en los ríos, lagos y pantanos. ¿Qué porcentaje representa el agua de los ríos, lagos y pantanos del total de agua del planeta?

0.0009%

Lección 8 Bloque 1 49

Lección 9 Resolución de problemas de porcentaje II Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra; y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa

Un problema de mezclas Ignacio trabaja en una empresa que empaca y distribuye arroz. Actualmente usa dos variedades: el arroz con cascarilla y el arroz sin cascarilla. Con mezclas de estos dos tipos de arroz, la empresa tiene a la venta cinco productos diferentes con las siguientes características. Productos comerciales Extra

Del campo

Saludable

Rápido

Integral

100% sin cascarilla

5% con cascarilla 95% sin cascarilla

50% con cascarilla 50% sin cascarilla

25% con cascarilla 75% sin cascarilla

100% con cascarilla

1. Reúnete con un compañero. Rspondan en sus cuadernos los siguientes planteamientos. a) Un costal del arroz tipo “Saludable” tiene 50 kg. ¿Cuántos kilogramos de arroz con cascarilla

tiene el bulto?

25 kg

b) En un empaque de 1 kg del tipo “Rápido”, ¿cuánto arroz con cascarilla hay?

250 g

c) En un empaque de 1.5 kg de arroz “Del campo”, ¿cuánto arroz con cascarilla se tiene?

75 g

d) ¿En qué caso hay proporción mitad y mitad?

En el saludable.

e) Expliquen cómo respondieron la pregunta anterior.

R. T. Porque la mezcla es 50% y 50%.

f) El departamento de ventas considera comercializar un nuevo empaque de 1.9 kg del arroz “Del

campo”. ¿Cuántos gramos de arroz sin cascarilla tendrá el empaque?

1 805 g

g) El departamento de ventas quiere crear otro producto para su comercialización. Usará 50% de arroz “Extra”, 25% de arroz “Rápido” y 25% de arroz “Saludable”. ¿Qué porcentaje de esta

mezcla es arroz con cascarilla?

18.75%

h) Un nuevo producto de arroz comercial tiene una razón de __14 kg de arroz “Rápido” por cada kg de

arroz "Extra". ¿Cuánto arroz con cascarilla hay en 5 kg de este nuevo producto?

250 g

i) El departamento de control de calidad mezcló 400 g del arroz “Saludable” con 200 g del “Rápido”.

¿Cuánto arroz sin cascarilla hay en esta mezcla? Compartan su respuesta con sus compañeros del grupo. Acuerden un procedimiento para resolver el problema.

350 g

2. Reúnete con un compañero. Lean el planteamiento y respondan. a) Una compañía refresquera tiene tres tipos de refrescos frutales: uno con 10% de fruta, otro con

20% de fruta y otro que se elabora mezclando, a partes iguales, los dos refrescos anteriores. ¿Qué porcentaje de fruta tiene el tercer refresco?

15%

b) Compartan su respuesta con sus compañeros de grupo y escriban sus conclusiones.

R. P.

50

Bloque 1 Lección 9

Lección 9

Un paso adelante 3. El recuadro de información nutricional en los productos ayuda a decidir qué tipo de alimentos es más conveniente consumir como parte de un plan de alimentación saludable. Observa los datos del recuadro de información nutricional que aparece en la caja de una marca de cereal y responde las siguientes preguntas. Información nutrimental

a) Al comer 30 g de cereal, una persona consume 25% de la vitamina C que necesita

durante el día. ¿Cuántos gramos de cereal se necesitan para obtener 100% de la

120 g

vitamina C requerida?

b) ¿Qué porcentaje de vitamina C se cubre con __12 taza de leche descremada?

2% c) ¿Cuántos gramos de cereal debería comer una persona para cubrir 100% de hierro?

Vitaminas y Minerales IDR para población general que cubre Vitamina B1 Vitamina B2 Vitamina B5 Niacina Ácido fólico Vitamina B12 Vitamina C Ácido pantoténico Calcio Hierro Zinc

Por 30 g de cereal 48% 50% 54% 46% 13% 12% 25% 38% 9% 22% 22%

Por 30 g de cereal 1 con  __  2 taza de leche semidescremada 55% 52% 54% 47% 15% 34% 27% 38% 26% 23% 27%

136.36 g d) Una persona consumió 50 g de cereal. ¿Qué porcentaje ingirió de ácido pantoténico?

63.3 g

e) Al ingerir una taza de leche con 30 g de cereal, ¿qué porcentaje de zinc se consumió?

32%

f) La ingesta diaria recomendada de vitamina C es de 60 mg. ¿Cuántos miligramos de vitamina C

 aportan 50 g de cereal?

25 mg

g) Presenta a tus compañeros del grupo el resultado que obtuviste en el inciso anterior. Analicen las

dificultades presentadas y propongan estrategias para solucionarlo. 4. Responde, en tu cuaderno, el siguiente planteamiento. a) En promedio, se sugiere que una persona ingiera 1.5 litros de agua por día. i) Alrededor de 25% del agua incorporada al organismo proviene de alimentos sólidos consumidos

durante todo el día. ¿Qué cantidad de agua proviene de la ingesta directa de líquidos?

75%

ii) Israel es deportista y antes de ingerir alimentos hizo un entrenamiento. Al terminar bebió 1.2

litros de agua. ¿Qué porcentaje del total diario recomendado ingirió?

80%

iii) Durante un día de mucho calor, Isaías ingirió un total de 2.1 litros de agua. ¿Qué porcentaje

del total diario recomendado ingirió?

140%

iv) Comparte la respuesta anterior con tus compañeros de grupo. Analicen y escriban el procedi-

miento para resolver el planteamiento y anoten una conclusión. Lee, de manera grupal, la siguiente información. Propongan ejemplos. El porcentaje se refiere a partes proporcionales de 100. Sin embargo, hay situaciones que nos llevan a considerar un valor mayor a 100%. Por ejemplo, la expresión 125% significa que se agrega 25% de un valor o magnitud dada a ese mismo valor o magnitud.

Oriéntate 1 gramo = 1000 miligramos

Lección 9

Bloque 1

51

Lección 9 Resolución de problemas de porcentaje II Profundiza 5. Resuelve los siguientes planteamientos. Considera lo anterior sobre cálculo de porcentajes. a) Una playera deportiva está confeccionada con dos tipos de fibras sintéticas: 75% de poliamida y Oriéntate

Una razón es una comparación entre dos cantidades mediante su cociente, en la que se determina cuántas veces contiene una a la otra.

25 ___ 75

25% de elastano. ¿Qué razón tiene el elastano con respecto a la poliamida?

=

__1 3

b) Un suéter tiene 80% de algodón y 20% de fibra sintética. ¿Qué razón presenta el algodón con

80 ___ 20

respecto a la fibra sintética?

=4

c) Unas calcetas deportivas contienen _ de elastano y _ de algodón. Expresa los valores anteriores

1 4

3 4

25% de elastano y 75% de algodón. 1 d) En una blusa, la razón de fibras sintéticas con respecto a fibras naturales es _. ¿Qué porcentaje en forma de porcentaje.

9

de fibras naturales tiene la blusa?

90%

e) Valida, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados obtenidos. Corrijan lo que sea neceario. 6. Reúnete con un compañero. Respondan los siguientes planteamientos en sus cuadernos.1 a) En 2005, el área metropolitana de la Ciudad de México tenía una población de 19.23 millones,

equivalente a 19% de la población total del país. ¿Cuántos habitantes había en México en 2005?

 101.21 millones

~

b) Los habitantes de las zonas urbanas representan 76.5% de la población total de México. Si se considera que en 2010 había 112 millones de mexicanos, ¿cuántos vivían en las zonas no urbanas?

26.32 millones

c) Se estima que en el año 2025 habrá 140 millones de habitantes en México; de esos, 17.5 millones

serán mayores de 60 años. ¿Qué porcentaje representará del total de la población?

12.5%

d) En el año 2000 había 492 617 extranjeros viviendo en México, de los cuales 77.9% proviene de

Estados Unidos de América. ¿A cuántos extranjeros equivale este porcentaje?

383 749

e) Compartan la respuesta de la pregunta anterior con sus compañeros del grupo. Acuerden un

procedimiento común y escriban una conclusión. Oriéntate

El Impuesto al Valor Agregado (IVA) es un impuesto que se aplica a varios productos al momento de pagar por ellos.

7. Responde el planteamiento en tu cuaderno. a) Irma comprará un horno de microondas que cuesta $1 500.00 más 16% de IVA. ¿Cuánto pagará?

$1 740.00

b) Describe el procedimiento que usaste para determinar la cantidad total que deberá pagar Irma.

R. P.

Lee, en grupo, la siguiente información. Propongan varios casos para comprobar el funcionamiento del procedimiento. Un procedimiento directo para calcular el IVA con una tasa de 16% es multiplicar la cantidad inicial por 1.16, por ejemplo: Cantidad: $3 515.00 Tasa de IVA: 16 por ciento

3515 · 1.16 = 4077.40

Se pagará un total de $4 077.40.

1. Fuente http://www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/geografia/publicaciones/delimex05/dzmm_2005_0.pdf Fecha y hora de consulta: 07/10/2012 - 18:17

52 Bloque 1 Lección 9

Lección 9

8. Reúnete con un compañero. Resuelvan las siguientes situaciones sobre el cálculo de IVA. Empleen la información del recuadro anterior. Contesten en sus cuadernos. a) Isidoro quiere comprar una bicicleta que cuesta $2 500.00 más 16% de IVA. ¿Cuánto pagará? $2 900.00 b) Ana compró un bolígrafo y pagó $29.00 con 16% de IVA incluido en el precio. ¿Cuánto pagó por

16% de IVA? $4.00 c) Comparen, grupalmente y con ayuda del profesor, sus respuestas y procedimientos. Lee, de manera grupal, la siguiente información. Propongan varios casos para comprobar el funcionamiento del procedimiento. Un procedimiento directo para calcular el precio de un producto sin IVA (si la tasa del IVA es 16%) es dividir entre 1.16 el total pagado. Total: $116.00 116 ÷ 1.16 = 100 Tasa de IVA: 16 por ciento

El costo del producto sin IVA es $100.00.

9. Completa la tabla. Cantidad pagada presentará un informe de pagado gastos a su jefe, completar la siguiente ta bla. a) Iván Gastos, compras Total Tasapero del necesita IVA IVA pagado sin IVA

artículos de papelería

$203.00

16%

$28.00

$175.00

libros

$364.00

0%

0

$364.00

celular (zona fronteriza)

$222.00

11%

$22.00

$200.00

gasolina

$348.00

16%

$48.00

$300.00

refacciones de cómputo

$319.00

16%

$44.00

$275.00

discos compactos

$232.00

16%

$32.00

$200.00

total

$1 688.00

------

$174.00

$1 514.00

a) Corrobora, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de la tabla. 10. Haz, de acuerdo con lo estudiado en esta lección, un debate grupal sobre los diferentes contextos en los que se aplica o usa el porcentaje. Propongan un ejemplo para cada caso y escriban sus conclusiones en sus cuadernos. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-053a . Resuelve los problemas y verifica tus respuestas. En tu cuaderno, elabora una explicación, usando tus propias palabras, del procedimiento para calcular un porcentaje. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-053b . Manipula y analiza los ejemplos que aparecen y, si tienes dudas, consulta las actividades 7 y 8 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 9 en la bitácora de la página 67.

El 10 de marzo de 2012 el precio de la gasolina tipo magna cambió de $9.91 a $10.00. ¿Qué porcentaje aumentó? 0.908% Lección 9 Bloque 1 53

Lección 10 Interés compuesto y crecimiento poblacional Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos

Oriéntate Para conocer la tasa de interés por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de pago.

Préstamo bancario Juan quiere solicitar un préstamo de $20 000.00 para remodelar su tienda, por lo que buscó opciones. Ahora está analizando cuál le conviene. 1. Reúnete con un compañero. Lean los planteamientos y respondan en sus cuadernos.

a) Juan fue a las oficinas de una caja de ahorro donde le explicaron que podrían prestarl e $20 000.00 por un año con una tasa de interés simple de 2% mensual. En esta opción, él debe pagar 2% de $20 000.00 cada mes y un pago final de $20 000.00. Completa las tablas con esta información. Meses

2% de $20 000.00

Meses

2% de $20 000.00

Pago 1

$400.00

Pago 8

$400.00

Pago 2

$400.00

Pago 9

$400.00

Pago 3

$400.00

Pago 10

$400.00

Pago 4

$400.00

Pago 11

$400.00

Pago 5

$400.00

Pago 12

$400.00

Pago 6

$400.00

Pago 7

$400.00

Pago final

$20 000.00

Oriéntate Debido al redondeo de decimales, es muy probable que el último pago difiera con respecto a lo que se pagaba mes con mes.

54

b) ¿Cuánto habrá pagado Juan al final del año? $24 800.00 c) Posteriormente Juan fue al banco y le explicaron que le podrían prestar $20 000.00 por un año, con una tasa de interés mensual de 3.16% y con pagos fijos de $2 028.50 al mes. En esta opción, los intereses generados cada mes se calculan a partir de la deuda inicial del mes. Completen la tabla con esta información. A

B

C

D

E

F

Deuda al inicio del mes

Tasa de interés mensual

Interés generado

Deuda + interés mensual (A + C)

Pago mensual

Saldo al final del mes (D – E)

enero

$20 000.00

3.16%

$632.00

$20 632.00

$2 028.50

$18 603.50

febrero

$18 603.50

3.16%

$587.87

$19 191.37

$2 028.50

$17 162.87

marzo

$17 162.87

3.16%

$542.35

$17 705.22

$2 028.50

$15 676.72

abril

$15 676.72

3.16%

$495.38

$16 172.10

$2 028.50

$14 143.60

mayo

$14 143.60

3.16%

$446.94

$14 590.54

$2 028.50

$12 562.04

 junio

$12 562.04

3.16%

$396.96

$12 959.00

$2 028.50

$10 930.50

 julio

$10 930.50

3.16%

$345.40

$11 275.90

$2 028.50

$9 247.40

agosto

$9 247.40

3.16%

$292.22

$9 539.62

$2 028.50

$7 511.12

septiembre

$7 511.12

3.16%

$237.35

$7 748.47

$2 028.50

$5 719.97

octubre

$5 719.97

3.16%

$180.75

$5 900.72

$2 028.50

$3 872.22

noviembre

$3 872.22

3.16%

$122.36

$3 994.59

$2 028.50

$1 966.09

diciembre

$1 966.09

3.16%

$62.13

$2 028.21

$2 028.21

0

Bloque 1 Lección 10

Lección 10

d) ¿Cuánto habrá pagado Juan al final del año? ¿En cuál de las dos opciones paga menos interés?

$24 341.71; le conviene la segunda opción. Un paso adelante

2. Contesta, en tu cuaderno, las preguntas del siguiente planteamiento.

Juan sigue buscando otras opciones de préstamo. Fue a otro banco, donde le prestan $20 000.00 a un año con una tasa de interés anual de 39% y con pagos cuatrimestrales de $8 473.00. a) Para el caso del primer cuatrimestre, que comprende enero, febrero, marzo y abril, ¿cuál es el interés

que se genera? ¿Cuál sería el interés cuatrimestral?

$2 600.00; 13%

b) ¿Cuánto adeudará Juan al iniciar el segundo cuatrimestre?

$14 127.00

c) ¿Cuánto pagará Juan en el último periodo?

$8 464.28

d) ¿Cuánto habrá pagado Juan al final del año?

$25 410.28

e) Compara los tres casos analizados anteriormente con los del grupo y determinen qué opción

conviene más a Juan. Escriban una breve j ustificación al respecto.

La segunda opción, porque al finalizar el año pagaría menos dinero de intereses.

f) Analicen, con ayuda del profesor, la diferencia en el cálculo de interés entre la primera opción que

encontró Juan y las otras dos opciones que le ofrecían los bancos. Escriban una breve conclusión al respecto. Lee, de manera grupal, la siguiente información. Manifiesten dudas y respóndanlas con ayuda de su profesor. En el interés compuesto, los intereses generados en cada periodo se calculan multiplicando la tasa de interés por el saldo inicial del periodo. 3. Retomando lo ya trabajado, responde el siguiente planteamiento en tu cuaderno. a) Jacinto quiere invertir $12 000.00 con una tasa de interés anual de 25.5%. ¿Cuánto recibirá después

de cinco años? Completa la tabla con la información anterior. Año

Capital inicial

Tasa de interés

Intereses generados

Saldo anual (capital inicial + intereses)

1

$12 000.00

25.5%

$3 060.00

$15 060.00

2

$15 060.00

25.5%

3

$18 900.30 $23 719.88 $29 768.45

25.5%

$3 840.30 $4 819.58 $6 048.57 $7 590.95

$18 900.30 $23 719.88 $29 768.45 $37 359.40

4 5

25.5% 25.5%

b) ¿Cuánto obtendrá Jacinto después de seis años?

$46 886.05

c) Si retira $1 500.00 al final de cada año, ¿cuánto obtendrá después de cinco años?

$24 928.32

d) Reúnete con un compañero. Describan, en sus cuadernos, el procedimiento o los pasos que siguie-

ron para resolver este planteamiento. Con ayuda de su profesor, validen los resultados obtenidos y escriban una conclusión en sus cuadernos. Lección 10

Bloque 1

55

Lección 10 Interés compuesto y crecimiento poblacional Lee, en forma grupal, la información. Expresen sus dudas y respóndanlas con ayuda de su profesor. El cálculo de interés compuesto para un periodo determinado se obtiene con la fórmula Cf = Ci × [(1 + i)] . En ella Cf es el capital final; Ci, el capital inicial; i, el interés del periodo; y n, el número de periodos. Por ejemplo, el capital final al invertir $2 000.00 a cinco años con una tasa de interés anual de 6% es $2000 × (1 + 0.06)5 = $2000 × (1.06)5 = $2000 × 1.338 = $2676.00 n 

Profundiza 4. Usando la información de los recuadros anteriores, resuelve en tu cuaderno las siguientes preguntas. a) Javier invertirá $18 000.00 durante ocho meses, con una tasa de interés mensual de 1.5%. ¿Cuánto

obtendrá por los intereses?

$2 276.87

b) Julián invierte en una caja de ahorros $2 000.00, con un interés anual de 5.5% durante tres años.

¿Cuánto dinero recibirá al final?

$2 348.48

5. Reúnete con un compañero. Completen la tabla y respondan en sus cuadernos. Apliquen lo trabajado previamente para aplicarlo a la siguiente situación de crecimiento poblacional.

El oso panda es una especie en peligro de extinción: actualmente existen unos 1 600 pandas en estado salvaje en los bosques de China y su tasa de crecimiento anual es de apenas 9%. Completen la siguiente tabla. Supongan que la tasa de crecimiento anual se conserva en los próximos años. Año

Población inicial

Tasa de crecimiento

2012

1 600

9%

2013

1 744 1 901 2 072

9% 9% 9%

2014 2015

Estimación del número de pandas al final del año

1 744 1 900.96 2 072.09 2 258.48

a) De acuerdo con las condiciones de vida de los pandas en estado salvaje, se estima que cuando

existan unos 2 500 ejemplares esta especie dejará de estar en peligro de extinción. Considerando la actual tasa de crecimiento, ¿en qué año se alcanzará esta cantidad? Si la tasa de crecimiento aumenta gradualmente un punto porcentual cada a ño, ¿cuántos pandas habrá en 2015?

En 2017. Habrá 2 385 pandas en el 2015.

b) Validen sus resultados con ayuda de su profesor. Corrijan lo que sea necesario. 6. Responde, en tu cuaderno, los siguientes planteamientos; usa lo trabajado en el inciso anterior. a) En una colmena de abejas hay aproximadamente 10 000 obreras. En condiciones favorables de

clima, su tasa de crecimiento mensual es de 7.2%. ¿Cuántas abejas habrá en cuatro meses?

13 206 abejas.

b) México tenía en 2010 una población de 108 400 000 habitantes. Si su tasa de crecimiento anual

es de 1% y se mantiene en los siguientes años, ¿cuántos habitantes habrá en 2015?

113 929 489 habitantes.

Lee, con el grupo, la siguiente información. Propongan algunos ejemplos. La tasa de crecimiento poblacional es la razón, expresada en porcentaje, del aumento de población entre la población inicial; por ejemplo, si una población pasa de 50 a 60 individuos, la tasa de 10 crecimiento es de __ = 0.2, es decir, de 20%. 50 56 Bloque 1 Lección 10

Lección 10

7. Lee el siguiente planteamiento y completa la tabla con base en la información anterior.

En el año 2010, la población indígena del país era 13.1% de la población total y creció a una tasa de 1.9% anual. Considera que esta tasa se mantiene constante y estima la población indígena para los siguientes dos años. Año

Población indígena Tasa de crecimiento (millones)

2012

1 744 1 900.96 2 072.09

2013

15.0253

2010 2011

Aumento de población

Población al final del año

1 744 9% 9% 9%

1 744 1 900.96 2 072.09 2 258.48

1.9%

1 744 1 901 2 072

8. Reúnete con un compañero. Resuelvan en sus cuadernos los siguientes problemas con base en lo visto en la lección.

a) En 2010 la tasa de crecimiento de la población joven (de 15 a 24 años) es de 0.08% anual, pero

cada año decrece 0.01%. Elaboren una tabla en la que indiquen la población actual, la tasa de crecimiento por año y el número de jóvenes por año durante un periodo de cinco años. Año

Población total: 108.4 millones Jóvenes 18.7%

Adolescentes 9.6% Adultos  jóvenes 9.1%

2010 2011 2012 2013 2014

Población de  jóvenes 20 270 800 20 287 016.64 20 301 217.5516 20 313 398.2822 20 323 554.9813

Tasa de crecimiento 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04

Población al fi nal del año 20 287 016.64 20 301 217.5516 20 313 398.2822 20 323 554.9813 20 331 684.4033

Fuente: Estimaciones del Consejo Nacional de Población (Conapo) con base en Proyecciones de la Población de México 2005–2050.

b) Presenten los resultados a sus compañeros de grupo. Luego elaboren, de manera grupal y con ayuda

de su profesor, una conclusión sobre la tendencia que refleja la tabla en relación con el número de  jóvenes en los próximos años. c) Escriban una conclusión sobre el concepto de tasa de crecimiento poblacional . Comenten y pro-

pongan otros casos. 9. Haz, de acuerdo con lo estudiado en esta lección, un debate grupal sobre los conceptos de interés compuesto y crecimiento poblacional. Elaboren una conclusión. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-057a . Resuelve los problemas y verifica tus respuestas. Explica, en tu cuaderno, las diferencias que hay entre el interés simple y el compuesto. Si tienes dudas, revisa los conceptos y las actividades 2 y 3 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-057b . Manipula los valores de la interacción y comenta con un compañero qué sucede con el dinero invertido conforme aumenta el tiempo.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 10 en la bitácora de la página 67.

Tasa de crecimiento de la población hablante de algunas lenguas indígenas maya 1.1 1.0 tojolabal tzeltal 0.9 tepehua 0.8 cuicateco 0.6 mazahua 0.4 otomí 0.4 mayo -0.7 Fuente: XI Censo General de Población y Vivienda 2000

¿Qué significa que la lengua mayo tenga una tasa de crecimiento negativa? Elabora una explicación en tu cuaderno.

R. T. Que la población disminuyó. Lección 10 Bloque 1 57

Lección 11 Comparación de dos o más eventos Eje: manejo de la información Tema: nociones de probabilidad

Contenido Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”

La kermés En una kermés hay un puesto de paletas de dulce que tiene un cartel de promoción que dice: "Si adivinas el sabor de la paleta antes de que la saques de la bolsa es gratis, si no, pagarás el precio de la paleta". La bolsa de paletas es oscura y no puede verse su contenido. 1. Responde en tu cuaderno. a) La persona que atiende el puesto sabe que en la bolsa hay diez paletas de cereza y dos de limón.

¿Qué sabor es más probable obtener? ¿Y menos? Explica.

Sabor cereza es más probable, limón es menos probable.

b) Cuando se terminaron las paletas de la bolsa, la persona que atiende el puesto agregó cinco paletas

de cereza y cinco de limón. ¿Qué es más probable sacar: una de cereza o una de limón? Explica.

Hay la misma probabilidad.

c) Más tarde se volvió a vaciar la bolsa con paletas. Ahora agregaron otro sabor, así que la bolsa

tenía diez de sabor cereza, dos de sabor limón y dos de sabor tamarindo. ¿De qué sabor es más probable sacar? Explica.

Cereza.

d) Escribe, en grupo y con ayuda del profesor, la importancia de conocer los resultados posibles al

hablar acerca de cuándo es más probable y cuándo es menos probable que suceda un evento. 2. Analiza el siguiente planteamiento y responde las preguntas en tu cuaderno.

Los equipos de futbol Coyotes y Linces se van a enfrentar el próximo fin de semana. Los Coyotes han tenido una mala temporada y están al final de la tabla de posiciones. Los Linces han ganado todos los partidos y están en primer lugar de la tabla. a) En el partido del fin de semana, ¿qué es más probable: que ganen los Linces o los Coyotes? Explica.

R.T. Los linces tienen más probabilidad de ganar dado que han tenido un mejor torneo y parece que tienen un mejor equipo. b) ¿Qué similitudes y diferencias encuentras entre las situaciones de las actividades 1 y 2? R. T. La primera situación depende del azar y la segunda, de la habilidad de los jugadores. c) Concluye, en grupo y con ayuda del profesor, cómo se justifica que un evento “sea más probable que suceda”. Escriban la conclusión en su cuaderno. 3. Responde los siguientes planteamientos en tu cuaderno.

El grupo de segundo grado de una secundaria organiza una rifa de una computadora para obtener recursos con el fin de viajar a la capital del país y visitar el Museo Nacional de Antropología. Para esta rifa se imprimieron un total de 100 boletos. a) En el grupo hay 100 alumnos. Suponiendo que todos compraron un boleto, ¿alguno de los alumnos

tiene más probabilidad de ganar? ¿Por qué? R. T. No, todos los alumnos tienen la misma probabilidad de ganar si cada quien compra el mismo número de boletos. b) Suponiendo que, de los alumnos, las mujeres compran 60 boletos y los hombres, 40, ¿es más o menos probable que un hombre gane? Explica.

R.T. Menos probable, ya que las mujeres compraron más boletos.

c) Si alguien quiere asegurar éxito en la rifa, ¿cuántos boletos tendría que comprar? Explica.

Tendría que comprar todos los boletos.

d) Karla no compró boletos para la rifa. ¿Ganará el premio? Explica usando las palabras resultados posibles .

No. R. P.

4. Propón y analiza, de forma grupal, eventos que sean más probables que otros. Escriban en su cuaderno una justificación para cada caso.

58

Bloque 1 Lección 11

Lección 11

Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Consigan un par de dados de seis caras, efectúen las actividades que se indican y respondan en sus cuadernos. a) ¿Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar un dado?

Seis.

b) Completen la siguiente tabla, que muestra la cantidad de resultados que se pueden obtener al

lanzar dos dados.

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

1, 6

2, 1

2, 2

2, 3

2, 4

2, 5

2, 6

3, 1

3, 2

3, 3

3, 4

3, 5

3, 6

4, 1

4, 2

4, 3

4, 4

4, 5

4, 6

5, 1

5, 2

5, 3

5, 4

5, 5

5, 6

6, 1

6, 2

6, 3

6, 4

6, 5

6, 6

c) ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener?

36

d) ¿El resultado (1,1) es más probable que (6,6)?

No.

e) Al lanzar los dados, ¿qué es más probable: que salga un número par en cualquiera de los dados o

que la suma de los puntos obtenidos sea 10?

Número par en cualquiera de los dados.

f) Escriban una justificación. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo. Anoten

una conclusión. R. T. Hay 27 casos de los 36 posibles en los que hay un número par en

alguno de los dos dados; en cambio hay únicamente tres casos en los que la suma da 10.

6. Reúnete con un compañero. Respondan, en sus cuadernos, los siguientes planteamientos. a) Consigan una moneda. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda

al aire?

Dos.

b) Efectúen varios volados. Completen la siguiente tabla con los resultados obtenidos. Volados efectuados

1

Resultado

R. P.

2

3

i) ¿Cuántas veces cayó águila? ii) ¿Cuántas veces cayó sol?

4

5

6

7

8

9

10

R. P.

R. P.

c) Hagan este experimento cinco veces y respondan los siguientes cuestionamientos. Lección 11

Bloque 1

59

Lección 11 Comparación de dos o más eventos i) ¿Consideran que el número de veces que cae sol es muy diferente al número de veces que cae

águila? Escriban sus ideas y compártanlas con sus compañeros de grupo.

Se espera que, en

la mayoría de los casos, el número de veces que sale sol o águila sea cercano a 5. ii) ¿Qué es más probable que caiga, sol o águila? Es

igual de probable que caiga sol o águila.

iii) Efectúen un debate grupal y escriban, en sus cuadernos, una conclusión.

Profundiza 7. Lee el siguiente planteamiento y responde las preguntas en tu cuaderno. Usa lo visto en la lección. a) Kevin juega con su hermanito al juego de serpientes y escaleras. En este se utilizan dos dados; en

cada turno el jugador lanza los dados y avanza en el tablero el número que resulta de la suma de los puntos de cada dado. i) Al lanzar los dados, ¿de cuántas formas se puede obtener como resultado 2? De ii) Escribe las sumas que dan como resultado 2.

una forma.

1+1

iii) Al lanzar los dados, ¿de cuántas formas se puede obtener como resultado 3? De iv) Escribe las sumas que dan como resultado 3.

dos formas.

2 + 1; 1 + 2

v) De acuerdo con el número de sumas posibles, ¿qué es más probable que se obtenga al lanzar

los dados: 2 o 3?

Que se obtenga 3

vi) Comparte tu respuesta con tus compañeros de grupo. Elaboren una conclusión al respecto. vii) Al lanzar los dados, ¿de cuántas formas se puede obtener como resultado 1? Justifiquen la

respuesta.

De ninguna forma: el resultado más pequeño posible es dos. 8. Reúnete con un compañero. Respondan, en su cuaderno, los siguientes planteamientos. Usen la tabla de la actividad 5 b). a) Al lanzar dos dados, ¿qué es más probable que se obtenga como resultado: 5 o 12? Justifiquen su

respuesta y escriban los casos que suman 5 y 12.

Es más probable 5.

b) Al lanzar dos dados, ¿qué es más probable que se obtenga como resultado: 2 o 12? Justifiquen

su respuesta y escriban los casos que suman 2 y 12.

Es igual de probable

c) Al lanzar dos dados, ¿cuál es el resultado que tiene más posibilidades de salir? Justifiquen su respuesta.

7. Porque es el resultado que se puede obtener de más formas (6) al lanzar dos dados. d) Al lanzar dos dados, ¿qué es más probable que se obtenga como resultado: 1 o 13? Justifiquen

su respuesta y escriban los casos que suman 1 y 13. No es posible obtener ni 1 ni 13. Lee, de forma grupal, la siguiente información. Escriban algunos ejemplos, como el caso del lanzamiento de una moneda. El conjunto de todos los resultados posibles de un evento se llama espacio muestral. 60 Bloque 1 Lección 11

Lección 11

9. Responde los planteamientos en tu cuaderno. En cada uno escribe y analiza el espacio muestral. a) Karina mete en una caja cinco canicas rojas y tres azules, posteriormente cierra los ojos y se dispone

a sacar una canica. ¿Qué es más probable que saque: una roja o una azul?

Roja.

b) Dos amigos juegan con dos dados, uno de ellos recibe un dulce si obtiene dos puntos y el otro,

un dulce si obtiene siete puntos. ¿Se trata de un juego equitativo? ¿Ambos jugadores tienen las misma posibilidades de ganar? ¿Alguno de los dos jugadores tiene ventaja sobre el otro? Explica.

No es un juego equitativo ya que tiene ventaja el que debe obtener 7 puntos.

c) En una escuela secundaria hay el mismo número de hombres y mujeres. Si elegimos a un estudiante

al azar, ¿qué es más probable que sea: hombre o mujer?

Es igual de probable.

10. Lee el siguiente planteamiento y completa la tabla. Escribe el espacio muestral con ayu da de un diagrama de árbol. a) Al lanzar una moneda dos veces se tienen los siguientes posibles resultados: AA, AS, SA y SS.

Volado 1 águila sol

Volado 2 águila sol águila sol

Número de lanzamientos de la moneda

Número de resultados posibles

Resultados posibles

Número de casos en que sale al menos un águila

Número de casos en que sale al menos un sol

2

4

AA, AS, SA, SS

3

3

3

8

AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS

7

7

4

16

AAAA, AAAS, AASA, ASAA, SAAA, AASS, ASAS, ASSA, SAAS, SASA, SSAA, ASSS, SASS, SSAS, SSSA, SSSS

15

15

b) De acuerdo con lo anterior, ¿qué es más probable que se obtenga: sol o águila?

Es igual de probable.

11. Debate con el grupo sobre el concepto de espacio muestral . Relaciónenlo con los conceptos más probable que… y menos probable que… Escriban sus conclusiones. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-061a. Efectúa varias veces las actividades de azar que se plantean y compara tus resultados con la actividad 6 de esta lección. Comenta con un compañero ambos resultados. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-061b. Explica, en tu cuaderno, qué es un suceso simple y qué un suceso compuesto. Si tienes dudas revisa las actividades 6 y 7 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 11 en la bitácora de la página 67.

A

Se deja caer un bolita por un camino hecho con placas de metal. El esquema representa una vista desde arriba. Si la bolita no está cargada, ¿qué es más probable que tome: el camino izquierdo Es igual de o el derecho? probable. Lección 11 Bloque 1 61

Lección 12 Media aritmética y mediana Eje: manejo de la información Tema: análisis y representación de datos

Contenido Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos

La evaluación de empleados 1. Una empresa evaluó a sus empleados, las calificaciones que obtuvo cada departamento fueron las siguientes. Departamento 1 empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

calificación

6

8

10

5

6

9

5

8

Departamento 2 empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

calificación

10

10

7

9

9

6

9

8

Departamento 3 empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

calificación

9

9

5

5

6

10

7

7

a) Comprueba, en tu cuaderno, que al menos la mitad de los empleados de cada departamento tiene

calificación igual o más alta que la mediana de sus calificaciones. b) Si la empresa premiara al departamento con más empleados que hayan obtenido una calificación

mayor o igual a 8, ¿qué departamento ganaría? Responde y justifica tu respuesta en tu cuaderno.

El departamento 2.

c) Comparte, con ayuda del profesor, tu respuesta con el grupo. Redacten una conclusión en su cua-

derno; mencionen en qué tipo de problemas es útil el uso de la mediana. 2. Reúnete con un compañero. Respondan los siguientes planteamientos. Apliquen el procedimiento del inciso anterior. a) Daniel tiene una tienda de libros. Sus ventas de la semana pasada fueron: $350.00, $500.00,

$390.00, $510.00, $712.00, $560.00 y $800.00. ¿Cuál fue su venta total? En la siguiente semana quiere ganar igual cantidad de dinero con la misma venta en todos los días. ¿Cuánto debe vender por día para lograr su objetivo? Respondan en sus cuadernos.

$3 822.00; $546.00

b) Un grupo de estudiantes de la Secundaria 132 participará en la Olimpiada de Conocimiento de

Matemáticas. Sus edades son 9, 10, 14, 11, 10, 11, 12, 13, 13, 12 y 11. i) ¿Consideran que la menor edad es la representativa de ese grupo? ¿Por qué?

R. T. No porque la edad menor, en este caso 9 años, solamente la tiene un estudiante. ii) ¿Consideran que la mayor edad es la representativa de ese grupo? ¿Por qué?

R. T. No porque la mayor edad, en este caso 13 años, solamente la tienen dos estudiantes. 62

Bloque 1 Lección 12

Lección 12

R.T. 11

iii) ¿Cuál sería la edad representativa de ese grupo?

¿Por qué? porque

es

la edad que más se repite en el grupo, la tienen tres estudiantes. iv) Compartan sus respuestas con el grupo. Comparen sus estrategias y escriban, en su cuaderno,

cómo obtuvieron la edad representativa.

Un paso adelante 3. Reúnete con un compañero. Lean el planteamiento y contesten las preguntas.

La biblioteca de la escuela dio a conocer el total de libros consultados por los alumnos en una semana. Los resultados son lunes: 12, martes: 16, miércoles: 18, jueves: 9, viernes: 15. a) Ordenen de mayor a menor el número de libros prestados.

El viernes.

b) ¿Qué día se encuentra a la mitad de la lista? c) ¿Cuál es el valor asociado a ese día?

18, 16, 15, 12, 9

15

d) El sábado asistieron algunos profesores a un taller y consultaron trece libros en la biblioteca.

Reordenen la lista de mayor a menor y reubiquen el nuevo dato.

18, 16, 15, 13, 12, 9

e) En esta nueva lista de datos, ¿cuál es el valor que se encuentra a mitad de la lista? ¿Qué estrategia

pueden usar para obtener un dato que represente el valor que se encuentra a mitad de la lista? Respondan en su cuaderno.

R. P.

f) Compartan su resultado anterior con el grupo. Concluyan cómo obtener el valor central de una

lista de datos. 4. Reúnete con un compañero. Resuelvan, en su cuaderno, los siguientes planteamientos. a) Elijan nueve compañeros de su grupo. Pregunten a cada uno su edad y escriban las edades en

sus cuadernos. Calculen la edad promedio, ordenen las edades de menor a mayor, y localicen el valor central. De las dos respuestas anteriores, ¿cuál puede representar al conjunto de edades? Justifiquen su respuesta. b) En grupo, y con ayuda de su profesor, validen sus respuestas. Escriban una conclusión.

Lee, en grupo y con ayuda del profesor, la siguiente información. Relaciónenla con las actividades anteriores y propongan un ejemplo para cada concepto. Dos de las medidas de tendencia central son media y mediana. Por lo general se encuentran cerca de la mitad de la distribución y son valores utilizados para representar conjuntos de datos. La media es el promedio de un conjunto de datos. Se encuentra al dividir la suma de los valores numéricos de un conjunto de datos entre el número total de datos. La mediana es el número que se localiza en el centro de un conjunto de datos ordenados de mayor a menor o viceversa. Si en el centro de la serie se encuentran dos datos, la mediana es la media de esos dos datos del centro.

Lección 12

Bloque 1

63

Lección 12 Media aritmética o mediana

Profundiza 5. Reúnete con dos compañeros. Resuelvan los siguientes planteamientos con la información del recuadro anterior.

a) Se pesó y midió a un grupo de diez niños. A continuación se muestran los resultados. Niño

Estatura (cm)

Peso (kg)

1

113

22

2

115

20

3

117

23

4

110

21

5

114

25

6

115

26

7

118

26

8

116

23

9

120

21

10

110

25

i) ¿Qué procedimientos matemáticos efectuarían para encontrar a los niños de menor y mayor peso

de acuerdo con su estatura?

R. P.

ii) Se desea elegir a un niño que pueda representar al grupo en peso y estatura. ¿Qué niño esco-

gerían? Al niño 3 o al niño 8. Justifiquen su respuesta en sus cuadernos. iii) Para resolver el planteamiento anterior, ¿deben hacer uso de la media aritmética o de la me-

diana? R. T. Ambas. Argumenten su respuesta en su cuaderno. iv) Validen, en grupo y con ayuda del profesor, sus respuestas. Corrijan lo que sea necesario y

escriban una conclusión en su cuaderno. 6. Resuelve los siguientes planteamientos a) Juan Luis fue al supermercado a comprar pasta y se encontró con diferentes precios.

64 Bloque 1 Lección 12

Pasta

Precio ($)

italiana

17.50

integral

22.40

con especias

19.90

económica

15.70

precocida

26.30

Lección 12

$20.36

i) Determina el precio promedio de las pastas.

ii)La mamá de Juan Luis le encargó comprar una pasta de precio intermedio. Ordena las pastas de

acuerdo con su precio.

70, 17.50, 19.90, 22.40, 26.30 Con especias.

iii)¿Qué pasta eligió Juan Luis?

b) Se le preguntó a diez estudiantes de primero de secundaria el número de televisiones que tienen

en su casa. Estos fueron los resultados: 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1.

1.5

i) ¿Cuántas televisiones tienen en promedio?

ii) En grupo, y con ayuda del profesor, analiza la conveniencia de expresar el promedio teniendo en

cuenta el contexto. En ocasiones no se pueden manejar cantidades decimales. c) En un grupo de la secundaria “Independencia” efectuaron una consulta a los estudiantes: les

preguntaron la talla de zapatos que usan. Estos fueron los resultados. Talla

22

22.5

23

23.5

24

24.5

25

25.5

26

26.5

Alumnos

1

3

2

3

5

6

2

4

2

1

i) ¿Cuánto alumnos tiene la escuela?

29

ii)¿Cuál es la talla promedio de los alumnos ?

24.25

iii)¿El profesor de educación física informó que de la talla 21 no hubo alumnos. Si agregamos este

dato al cálculo del promedio, ¿cambia el resultado? Escribe tus ideas en tu cuaderno.

No.

iv)¿Calcula la mediana de las tallas. Describe en tu cuaderno cómo lo hiciste.

24.5

v) En grupo, y con ayuda del profesor, validen los resultados. 7. Debate, grupalmente y con la ayuda del profesor, las diferencias del uso de la media aritmética y la mediana en la comparación de dos grupos de datos. Redacten, en su cuaderno, una conclusión.

TIC

Consulta www.e-sm.com.mx/matret2-065a. Responde las preguntas y, en tu cuaderno, registra tus conclusiones. Compara tus respuestas con las de un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-065b. Resuelve las actividades de nivel 10, para encontrar la media aritmética y la mediana de un conjunto. Si tienes errores, revisa de nuevo las actividades 4 y 5 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 12 en la bitácora de la página 67.

Calcula la media y mediana de tus calificaciones por bimestre del año pasado. Explica, en tu cuaderno, por qué es más útil usar la media que la mediana. Lección 12 Bloque 1 65

Bitácora Lección 1 Durante el proceso de fabricación de un teléfono celular, se verifica que sus componentes internos tengan una diferencia mínima en cuanto a tamaño. La siguiente tabla muestra las diferencias de tamaño de siete tarjetas de procesamiento de datos. Pieza

1

2

3

4

5

6

7

Diferencia de tamaño (mm)

–1

–1

–2

1

0

–2

–2

a) El estándar de fabricación indica que cada tarjeta debe tener un largo de 12.5 cm. Si colocamos

las siete tarjetas formadas una tras otra y considerando la diferencia en su medida, ¿cuál es la 86.8 cm

longitud total?

b) ¿Cuál es el promedio en la diferencia de tamaño en estas siete piezas?

–1 mm

c) Si colocamos las tarjetas 3, 6 y 7 formadas una tras otra, ¿cuál es la diferencia que se tendría con

respecto a tres tarjetas con la medida del estándar?

6 mm más corto.

Lecciones 2 y 3 a) Un terreno de forma rectangular mide 25 m de largo y 24 m de ancho. ¿Cuál es su área? 600 m2

b) La cara de uno de los cubos tiene 40 cm de perímetro. Escribe el volumen del cubo en forma de (20)3 cm3

potencia.

c) Escribe las siguientes operaciones como potencia del número correspondiente. 24

i) 22 · 22 =

84

ii) 82 · 82 · 80 = iii) 102 · 102 · 106 = 7 = iv) __ 1 2

7

7

3  · 3  · 3 v) _______ = 2 1

3

3

66 Bloque 1

4

36

1010

Bitácora Lecciones 4 y 5 a) Determina la medida de los ángulos y y x. Las

rectas L1 y L2 son paralelas. 140° 90°

x x =

50

°

b) Determina la medida de los ángulos y y x del

siguiente paralelogramo. A

B

36° 72°

L2

y L1

y =

D

130

x =

°

y C

x

36

°

y =

72

°

Lección 6 a) Traza un triángulo con dos lados de 5 cm y un ángulo de 30º. i) ¿Cuántos triángulos es posible construir con estos datos? Justifica tu respuesta en el cuaderno.

Hay dos triángulos posibles: si el ángulo de 30  está entre los dos lados de 5 cm o si es adyacente a solo uno de ellos. °

Lección 7 a) Se han dibujado triángulos equiláteros en la cara de un icosaedro. La base de los triángulos dibu-

 jados mide aproximadamente 4.6 cm y su altura es de 4 cm. ¿Cuál es el área aproximada de cada cara? ¿Cuál es el área aproximada total del icosaedro?

Área de una cara: 82.8 cm2; área del icosaedro: 1 656 cm2

Lecciones 8, 9 y 10 a) Si se sabe que 30% de lo que pesa una semilla de girasol es aceite, ¿cuánto aceite se podrá extraer

en 450 kg de semillas de girasol?

135 kg

b) En una escuela se vacunó contra la influenza a 90% de los estudiantes. Si se sabe que hay

800 alumnos, ¿cuántos no están vacunados?

80 alumnos.

Lecciones 11 y 12 a) Joaquín obtuvo las siguientes calificaciones: 5, 7, 6, 7, 8, 8, 8, 8. ¿Cuál es su promedio?

7.125

b) Una bolsa de dulces tiene 100 paletas de varios sabores: 15 de mora, 25 de piña, 10 de limón,

30 de naranja y 20 de uva. ¿Qué es más probable que salga si se sacan dos paletas: una de mora y una de piña, o una de limón y una de naranja? Es

más probable obtener una mora y una de piña.

Bloque 1

67

Laboratorio de matemáticas

Multiplicación de números con signo en el plano cartesiano 1. Multiplica (–2)(3).

a) Ubicar el primer factor (–2) en el eje x .

b) Unir el (–2) con el 1 en el eje y. y 

y 

1

1

x 

x  –2

–2

1

c) Localizar el segundo factor (3) sobre el eje y.

1

d) Trazar un segmento paralelo al segmento verde

que pase por el punto (3), localizado en el eje y .

y 

y 

3

3 1

x  –2

1

x 

1 –2

1

e) La solución es el punto donde se corta el nuevo segmento con el eje x . En este caso la solución es

(–2)(3) = –6.

x  3

1

y  –6

–2

1

f) El primer factor de la multiplicación siempre se va a unir con 1. En este caso se da la relación 2 a 1

y desconocemos con quién se relacionará el segundo factor. Para conocer dicho número podemos plantear la siguiente proporción: – __21 = __n3 , ¿Qué valor tiene n? ¿Cómo se relaciona este planteamiento con el procedimiento del plano cartesiano? Explica en tu cuaderno. n = –6. g) Efectúa las siguientes multiplicaciones con ambos métodos (en el plano cartesiano, con proporciones).

i) (2)(4) = 8

ii) (–3)(–2) = 6

iii) (–5)(2) = –10 iv) (4)(–1) = –4

v) (–4)(–0.5) = 2

h) Después de efectuar el ejercicio anterior contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno. i) ¿Se obtiene el mismo resultado con ambos métodos? Justifica tu respuesta. Sí. ii) Si multiplicas dos números positivos, ¿en qué cuadrante se efectuarán los trazos? En el I. iii) Si multiplicas dos números negativos, ¿en qué cuadrante se efectuarán los trazos? En el II y en IV. iv) Si multiplicas un número positivo y un número negativo, ¿en qué cuadrante se efectuarán los

trazos? En el I y en el III. v) Si multiplicas un número negativo y un número positivo, ¿en qué cuadrante se efectuarán los trazos? En el II.

68

Bloque 1

En el tintero

Comprobar con regla y compás la igualdad entre dos ángulos 1. Se sabe que el ángulo a es igual al ángulo b por ser alternos externos. A continuación se muestra un técnica. Reproduce los pasos en tu cuaderno para que la aprendas y después la apliques para resolver problemas más complicados. b

a

a) Para comprobar que los ángulos son iguales, abre el compás a cualquier medida y traza un arco

colocando la punta metálica sobre el vértice del ángulo a y cortando ambos lados del ángulo. b

a

b) Lleva a cabo lo del punto anterior con el ángulo b. b

a

c) Ahora, para comprobar si son dos ángulos iguales hay dos opciones: i) Mide la distancia entre los puntos que cortan el arco y cada uno de los lados del ángulo, 1.9 cm

b

a 1.9 cm

ii) O simplemente verifica con el compás que haya la misma distancia (abertura del compás) entre

cada uno de los puntos indicados anteriormente. d) Con base en el procedimiento anterior, comprueba si las siguientes parejas de ángulos son iguales.

b

Sí.

No

a

b

a

i)

ii) Bloque 1

69

Bloque 1 Evaluación

Lee con atención los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1. Angélica debía $130.00 en la tienda. Posteriormente, pidió fiados cinco paquetes de galletas de $12.00 cada uno. ¿Qué expresión representa su deuda? A) (130) + (–5)(12)

B) (–130) + 5(–12)

C) (–130) – 5(–12)

D) (130) – 5(12)

2. Si un gigámetro (1 Gm) = 10 9 m, ¿a qué distancia equivalen 1 000 Gm? A) 106 m

B) 1012 m

C) 1 0009 m

D) 1027 m

C) 415

D) 48

3. ¿A qué equivale la expresión (4 3)(45)? A) 1615

B) 168

4. ¿A qué equivale el número 5 –3? A) 125

1 B) ___ 125

1 C) –___ 125

D) –125

5. Si las rectas del mismo color son paralelas entre sí, ¿cómo están relacionados los ángulos f, g, h y e? A) f = h, g = e

B) f = e, g = h

C) f = g, e = h

D) f = g = h = e

e h f g

6. Si el cuadrilátero azul es un paralelogramo, ¿cuánto miden los ángulos l y m? A) l = 42°, m = 42°

B) l = 21°, m = 21°

C) l = 42°, m = 21°

D) l = 21°, m = 42°

m

117° 42°

l

n

7. ¿Cuál es el área total (área de todas las caras) de un cubo cuya arista mide 12 m? A) 72 m2

B) 144 m2

C) 864 m2

D) 1 728 m2

8. Una tarjeta postal mide 7 cm × 5 cm. Al fotocopiarse, se redujo 50% el área de la misma con respecto al área original. ¿Cuál es la nueva área?

70

Bloque 1 Evaluación

A) 40 m2

B) 35 m2

C) 30 m2

D) 17.5 m2