INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
4
01. 01. Si: Si:
3
C R UZ UZ SA SA C O
2
P(x) (x ) = 4 x + 2x - ax + 3 x + b
04. ¿Qué número número falta? falta?
Indicar el valor de “a+b”, si es divisible por:
4
2
16
x 2x + 1. 4
a)
2 25
27
8
b) 32
c)
25 2
39 32
17
17
13
13
x 8
d) 14
13
e) 16
a) 8 d) 34
17
b) 16 e) 51
c) 17
02. Los ángulos interiores interiores de un triángulo triángulo equilátero son (x-y)º; z rad y (x+y+z)g Calcular x, y ^ z . a) x =
379 19 1 ;y= ;z= 6 6 3
b) x =
379 19 2 ;y= ;z= 3 16 3
05. La figura muestra muestra un cuadrado cuadrado mágico multiplicativo, el cual se caracteriza por que al multiplicar los 3 números de cada línea l ínea (horizontal, vertical o diagonal) diagonal ) se obtiene siempre el mismo resultado. Hallar la suma de las cifras del número que debe ir en el centro del cuadrado. 5
1 29 1 ;z= c) x = ; y = 3 2 3
9 1
2 1 379 d) x = ; y = ; z = 3 3 3 e) x =
a) 6 d) 12
379 19 1 ;y= ;z= 6 6 2
03. En el gráfico mostrado se tiene un sistema de engranajes y poleas. La polea p olea A de radio 4m gira un ángulo de 30º. ¿Qué ángulo gira el engranaje C si el radio de la polea B es 6m? B
b) 9 e) 7
c) 3
06. Colocar los número números s del 1 al 12, uno en cada círculo, de manera que la suma de los números de cada fila sea 22. Dar como c omo respuesta la suma de los números correspondientes a las cuatro esquinas.
A
C
a) 20º d) 29º
b) 18º e) 22º
c) 31º
a) 10 d) 22
b) 14 e) 16
c) 18
1 III OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICA
2do. de Secundaria
III OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICA
TALENTOS C R UZ SA C O 2 0 1 0
07. Un alumno de C RUZ SAC O pensó en 3 dígitos y escribió todos los números de 3 cifras diferentes que se pueden formar con ellos. Luego sumó todos los números que obtuvo y su resultado fue N. Hallar la suma de las cifras de N, sabiendo que la suma de los dígitos originales es 14. a) 11 d) 14
b) 12 e) 17
c) 13
08. Si dos números suman 25. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar su producto? a) 100 d) 156
b) 144 e) 156, 25
c) 154
12. Si se cumple que: ab7cd(m) = 7607(9)
Hallar el valor de “a+b+c+d+m” a) 16 d) 13
b) 18 e) 20
c) 17
13. El número telefónico de Pili es de 6 cifras y capicua, si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego todo se multiplica por 11 y finalmente añadimos la tercera cifra , obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de Pili? a) 985589 d) 327723
b) 816618 e) 648846
c) 640046
09. ¿Cuántos triángulos con lados de longitud entera puede construirse si el lado mayor 14. En una proporción geométrica de razón 7/8, la suma de los términos es 585 y la tiene 7? diferencia de los consecuentes es 56. Hallar el mayor de los antecedentes. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15
e) 16
10. Calcular la suma de las cifras del resultado de la siguiente operación. 3
b) 21 e) 24
b) 161 e) 167
c) 134
15. Si el M.C.M. de A y B es igual a 2A y el MCD es A/3. Hallar el valor de A sabiendo ademas que: A-B=145.
984x985x986+ 985
a) 20 d) 23
a) 157 d) 176
c) 22
a) 335 d) 435
b) 165 e) 505
c) 515
11. Dados los siguientes conjuntos de números naturales iguales
16. De 500 postulantes a las universidades A, B y C, 320 no se presentaron a A; 220 no se presentaron a C; 260 no se presentaron a B. Si los que postulan a una sola universidad son 320. ¿Cuántos postulan a las 3 universidades?
A = {a + 2; a +1} B = {7 - a ; 8 - a } C = {b +1; c +1} D = {b+ 2; 4}
Determinar el valor de: “a+b+c” a) 2 b) 5 c) 7 d) 10 e) 12
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a) 20 d) 30
b) 19 e) 25
c) 28
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C R UZ SA C O
17. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 19. Si se cumple que: 8 al número 300 para que el producto a89(m) = 81m(n) = 6mp(12) resultante tenga 126 divisores? ¿Cuál es el valor de “a+m+n+p”? a) 3 d) 9
b) 5 e) 10
c) 6
18. ¿Cuál es el menor número que al ser dividido por 7, 11 y 13 en cada caso genera un residuo máximo?
a) 31 d) 27
b) 33 e) 24
20. Si: abb ab
= 7b9 ab
c) 35
x
Hallar “x”. a) 1011 d) 10071
b) 10001 e) 1111
c) 1000
a) 5 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
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01. Resoluci ón:
En (1) : B6 30º4 B 20º En (2) : C 20º
Por el método de HORNER: 1 4 2 -a 3 b 2 8 -4 20 -10 -1 32-2a a-16 4
27131313 =393 3 171717 8 = x x 34
25 2a 0 a
Rpta:
E
25 15 45
x y º 60º x y 60º1 1 2 3 3 10g 200g g x y z 60º 60º 9 3 200 Luego: x y z ; pero como 3 1 1 200 z x y 3 3 3 199 3 x y 3 Resolviendo (1) y (3) 379 19 1 x ; y ; z 6 6 3 Rpta:
z
9
C
1
75
Todos los números deben sumar: 12 13 78 1 2 3 12
2 Cada lado suma: 22 los 4 lados suman: 22 4 88 El exceso: 88 78 10
A
x
y
w
z
x y z w 10
Rpta:
A
07. Resoluci ón:
A
A
C
Sean los números: abc,acb,bac,cab,cba,bca abc +
ra 4m A 30º rB 6m
acb bac
Se observa:
bca cab
BrB ArA 1 Además:
A
1 5 6
06. Resoluci ón:
03. Resoluci ón:
B
Rpta:
3 225 5
De la condición
B
D
05. Resoluci ón:
02. Resoluci ón:
rad
Rpta:
448 32 163
Por ser divisible:
zrad 60º
A
04. Resoluci ón:
10 (16-a) (25-2a) (a+b-16)
25 2 a b 16 0 a b 16
Rpta:
cba N 3108
B C 2
2 a b c 14 2
cif N 3 1 0 8 cif N 12
Rpta:
B
1
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08. Resoluci ón:
TALENTOS C R UZ SA C O 2 0 1 0
12. Resoluci ón:
Si los números suman 25, podemos llamar a uno 12,5 x y al otro 12,5 x ; en2 tonces su producto será: 12,5 x2 , expresión que tomará su máximo valor cuando se le reste lo menos posible, es decir, 2 cuando x sea mínimo, lo cuál ocurre cuando x = 0. Producto máximo = 12,5 2 0 156,25 Del argumento anterior se deduce la siguiente propiedad: “Si la suma de dos números es constante, su producto será máximo cuando estos sean iguales”. Rpta: E 09. Resoluci ón:
Si el lado mayor mide 7, el mayor de los lados restantes puede medir, por existencia de triángulos 7 , 6 ,5 ó 4 2º lado 3º lado #s 4 4 1 5 5ó4ó3 3 6 6ó5ó4ó3ó2 5 7 7ó6ó5ó4ó3ó2ó1 7 En total hay :1 3 5 7 16triángulos.
Rpta:
E
A partir de la relación dada: ab7cd m 7607 9
7 m ; m 9
Para calcular a, b, c el numeral 7607 9 debe convertirse al sistema octanario. 7607 9 7 93 6 92 09 7 5596 Base 10 5596 8 4 699 8 3 87 8 7 10 8 2 1
Entonces: 7607 9 12734 8 Comparando:
ab7cd 8 12734 8
a 1; b 2 ; c 3 ; d 4
a b c d m 18
B
13. Resoluci ón:
Sea el # telefónico: abccba Del enunciado: a 11 b 11 c 985 abc11 985 Expresando 985 en base 11 por divisiones sucesivas. 985 81611
Por inducción: 3 1 2 3 2 2
3 2 3 4 3 3
a 8 abc11 81611 b 1 c 6
3 3 4 5 4 4 3 984 985 986 985 985
Rpta:
C
Entonces:
abccba 816618
11. Resolución:
Para que los conjuntos sean iguales deben tener los mismos elementos, luego: Si A = B a 2 8 a a 3
Los elementos de A son 5;4 Si A=D b 2 5 b 3 Finalmente en el conjunto “C”: b 1 4 c 1 5 c 4 a b c 10 Rpta:
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Rpta:
a 112 11b c 985
10. Resoluci ón:
cif 9 8 5 22
7< m< 9 m= 8
B
14. Resoluci ón:
a c 7 y b - d = 56 b d 8 a b c d 585 a c 7 a c b d 7 8 b d 8 b d 8
Reemplazando:
D
Rpta:
585 15 b d 8
2
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Despejando dato: b d 312 b 184 b d 56 d 128 Reemplazando en la proporción: a 7 ; a = 161 184 8 c 7 ; c = 112 Rpta: B 128 8
Por dato:
CDP 126
3n 3 3 3n 1 126 n 6 o
a
n
b
x p m c
o
o
o
o
N 11 10 N 11 1 N 13 12 N 13 1 o
N MCM 7,11,13 1 o
N 1001 1
N 1001k 1 k mínimo k 1 N 1001 1 N 1000
Rpta:
C
19. Resoluci ón:
a89 m 81m n 6mp12
Rpta:
9 m
D
c b p 320 a n b 220 a m c 260
C
n 12
a m n p 35
2 a b c m n p 800 2 320 m n p 800 m n p 160 Dato: a b c m n p x 500 320 160
Rpta:
; m n ;
Luego vinculando desigualdades: 9 < m < n <12 m = 10 ; n = 11 Por descomposición polinómica. a102 81098112111m6122 1012p 100a 89 989 984 p De donde a = 9 ; p = 5
B
x=20
o
N 7 6 N 7 1
16. Resoluci ón:
A
C
18. Resoluci ón:
15. Resoluc ión :
Según los datos: M.C.M. A;B 2A A M.C.D A;B 3 Por propiedad: A A B 2A 3 2A B 3 También: A B 145 2A A 145 3 A 435
Rpta:
Rpta:
C
Rpta:
C
20. Resoluci ón:
Haciendo:
k ab abx
abbk 7b9
ak2 bk b 7 9 b
A
k ( ak + b ) = 7 9
17. Resoluci ón:
Multiplicando «n» veces por 8 a 300 se tendrá: P 300 8 8 8 8 300 8n "n"veces De donde se tiene: P 22 3 52 23n Reduciendo: 3n 2 P 2 52 31
k=7
a7 b 9
1 2 a =1 b =2 Reemplazando: 7 1212x 7 x 22 x 3
Descomposición canónica 3
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