AUPSJB
– – B i oestad Laboratorio oest adí í sti ca, ca, Añ Añ o 2013 20 13 Docentes:
F acul tad de Cienci as de l a Salu Salu d Escuela Escuela Prof esional de M edicin a H umana Cur Cu r so: B i oestadí oestadística sti ca
LABORATORIO Nº 12
INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL
Gialina Toledo Méndez Edward Huamaní Alhuay Mirian Mattos Marreros Jorge Mamani Callo Elsi Bazán Rodríguez Sara Aquino Dolorier Gladis Vera Nuñes Elsa Guillen Guillen Modesto Alcántara R. Alicia Bustamante
Objetivo:
El estudiante deberá calcular intervalos de confianza para estimar la media y proporción. Utilizar el nivel de confianza apropiado según planteamiento del problema Determinar el tamaño muestral adecuado para un trabajo de investigación. Desarrollar el presente laboratorio con el manejo del software estadístico SPSS Vs 18.0, y Excel. A fin de que el desarrollo de la tarea sea más ágil y dinámica.
1.2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL ( 2
NORMAL CON
CONOCIDA 1
El intervalo de Confianza con Coeficiente de confianza 2
varianza poblacional
X
Z
de la media poblacional
con
conocida es expresado como:
X 2
) DE UNA POBLACIÓN
Z
n
2
X
entonces
n
Z 2
n
;
X
Z
n
2
Dónde: 1
X
n
n i
1
X es la media muestral i
Z es el valor crítico de la distribución Normal Estándar correspondiente a una confianza del 2
100. %
100(1
)% , es decir P Z
Z
2
2
Observación Si la población es finita de tamaño N y
n N
correspondiente para la media poblacional
X
Z 2
Coordinadora: Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
n
0.05 , entonces el Intervalo de confianza está dado por
.
N
n
N
1
;
X
Z 2
. n
N
n
N
1
Bioestadística Bioestadística Año 2013
Página 1
AUPSJB
– Bi oestadísti ca, Añ Laboratorio o 2013
B) SI LA VARIANZA POBLACIONAL
2
ES DESCONOCIDA
CASO I. MUESTRAS GRANDES ( n 30 ) 1
El intervalo de Confianza con Coeficiente de confianza 2
varianza poblacional
de la media poblacional
con
desconocida es expresado como:
X
s
Z
;
n
2
X
Z
s n
2
Donde: n
X i 1
2
s
2
i
n X
2
es la Varianza Muestral
n 1
Observación Si la población es finita de tamaño N y
n N
correspondiente para la media poblacional
X
0.05 , entonces el Intervalo de confianza está dado por
s
Z 2
n
.
N
n
N
1
;
X
s . n
Z 2
N
n
N
1
CASO II. MUESTRAS PEQUEÑAS ( n 30 )
X
s
t
n -1
2
X
t
n
2
n -1
s
X
.Entonces
n
s
t 2
n -1
n
;
X
t
2
n -1
s n
Dónde:
t 2
n -1
es el valor crítico de la distribución t
Student con n 1 grados de libertad
correspondiente a un nivel de confianza del 100. % , es decir P T
t
n -1
2
2
Observación Si la población es finita de tamaño N y media poblacional
n N
0.05 , entonces el Intervalo de confianza para la
cuando la varianza poblacional es desconocida, está dado por:
X
s
t 2
n -1
Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
n
.
N
n
N
1
;
X
t
2
n -1
s n
.
N
n
N
1
Bioestadística Año 2013
Página 2
AUPSJB
– Bi oestadísti ca, Añ Laboratorio o 2013
1.3. INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL El intervalo de Confianza para la proporción poblacional está dado por:
p
p
pq ˆ
Z
ˆ
ˆ
;
n
2
p
Z
ˆ
pq ˆ
ˆ
, donde q ˆ
n
2
1
p ˆ
n
X Dónde:
i 1
p ˆ
i
Número de éxitos en la muestra
n
n
Observación Cuando el muestreo es sin reemplazamiento de una población finita de tamaño N y
n N
0.05 ,
el Intervalo de confianza para la proporción poblacional es:
p
p
pq ˆ
Z
ˆ
N
ˆ
n
2
n
;
1
N
p ˆ
Z
pq
N
n
n
N
1
ˆ
2
ˆ
2.1. TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA LA ESTIMACIÓN DE UNA MEDIA i)
Si el muestreo es con reemplazo resuelva la ecuación d
Z 2
Z n
2
n
para despejar n
2
2
2
d
ii) Si el muestreo es sin reemplazo se hace uso de la corrección por población finita y se debe resolver: d
Z 2
n
.
N
n
N
1
para hallar n
2
N . Z . n
2
2
2
d (N
1)
2
2
Z . 2
2.1.1 ESTIMACION DE i)
2
Se extrae una muestra piloto o preliminar de la población y se calcula su varianza. Luego 2
se toma esta varianza como una estimación de . ii) También a partir de estudios anteriores o similares es posible obtener estimaciones de 2
Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
Bioestadística Año 2013
Página 3
AUPSJB
– Bi oestadísti ca, Añ Laboratorio o 2013
2.2. TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA LA ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCION El procedimiento para seleccionar el tamaño de muestra es: i)
Elija d el error máximo permisible y un coeficiente de confianza
ii)
Hallar el valor de Z en la tabla estadística para la distribución normal
1
2
iii)
Si el muestreo es con reemplazo resuelva la ecuación d
pq
Z 2
Z n
2
n
para despejar n
pq
2
2
d
iv) Si el muestreo es sin reemplazo se hace uso de la corrección por población finita y se obtiene la fórmula: 2
N . Z . pq n
2
2
d (N
1)
2
Z . pq 2
Donde: N : Tamaño poblacional p : Proporción estimada de característica principal de la variable en estudio q : Proporción estimada de característica secundaria de la variable en estudio
d : Error máximo tolerable Z 2 : Valor tabular correspondiente a la distribución normal estándar considerando una
confianza 100(1
2.2.1 ESTIMACION DE
)% p :
Si p se desconoce la solución para este problema puede ser de dos formas: i)
Una forma será tomar una muestra piloto y calcular una estimación para el valor p .
ii) Otra forma seria igualar el valor p 0,5 solamente si es imposible obtener una mejor estimación de p ya que la muestra puede ser mas grande de lo necesario. Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
Bioestadística Año 2013
Página 4
AUPSJB
– Bi oestadísti ca, Añ Laboratorio o 2013
EJEMPLO 1: Para determinar la estatura media de los varones adultos peruanos, se tomó una muestra al azar de 10 de ellos en la que se obtuvo los valores: 162, 176, 169, 165, 171, 169, 172, 168, 167 y 175 cm. a) Calcule una estimación puntual para la media poblacional µ b) Determinar un intervalo de confianza para la estatura media de la población con una confianza del 95%
Solución: a) La estimación puntual para µ es :
_____=_______
b) Como n= ______ y es menor a 30 con ______ desconocida se aplicará la formula X
s
t 2
________
t 2
X
t 2
n -1
=___________ ;
X
t
n
t
n
_________;
s n -1
n -1
X
2
2
X
s
n -1
dónde:
n 2
s
________;
________
s =_______________
n -1
n
________ ; _________
Entonces el intervalo de confianza para
Interpretación: __________________________________________________________________
EJEMPLO2: En una muestra de 100 personas hay 60 alérgicas a la aspirina AA. Calcular un Intervalo de confianza para la proporción poblacional con un nivel de: a) 95%
b) 99%
Solución: El intervalo pedido es: p
p ˆ
pq ˆ
Z 2
a) IC 95% :
______
n
_______; p
Z
ˆ
ˆ
;
p ˆ
Z
2
________;
pq ˆ
ˆ
n
q ________ ; ˆ
n=______
2
Entonces el intervalo de confianza para p
________ ; _________
Interpretación: __________________________________________________________________
b) IC 99% :
______
_______
Z 2
Entonces el intervalo de confianza para p
________ ; _________
Interpretación: __________________________________________________________________
Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
Bioestadística Año 2013
Página 5
AUPSJB
– Bi oestadísti ca, Añ Laboratorio o 2013
EJEMPLO 3: Un médico desea conocer el valor medio de glucosa en la sangre en ayunas (mg/100ml) de pacientes atendidos en una clínica para diabéticos durante el transcurso de los últimos 10 años. Determine el número de registros que el médico debe examinar para obtener un intervalo de confianza de 90% para µ si la dimensión requerida para el intervalo es de 6 unidades y una muestra piloto presenta una varianza de 60.
Solución: Analizando el enunciado completar lo siguiente: Z 2 _________;
________
Z n
2
2
2
2
2
32
d
2
________ ; d _________
2
___________ ; Redondeando n
_________
EJEMPLO 4: El administrador de un hospital desea saber qué proporción de pacientes dados de alta están inconformes con la atención recibida durante su hospitalización. Si d=0.05 , el coeficiente de confianza es de 90% y no se dispone de ninguna otra información, a) ¿Qué tan grande debe ser la muestra? b) ¿Qué tamaño debe tener si el valor de p es de aproximadamente 0.25?
Solución: Si se omite la corrección por población finita, completar para los casos: a)
______ Z n
b)
2
pq
2
________; p ______ ; q _______ y
________ Redondeando, n es de: __________
2
d
Z
2
pq
d ________
2
2
______
n
______ Z
______ Z
2
________; p ______ ; q _______ y
d ________
2
2
2
d
Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
_________ Redondeando, n es de: __________
Bioestadística Año 2013
Página 6
AUPSJB
– Bi oestadísti ca, Añ Laboratorio o 2013
ACTIVIDAD N° 9 1. En un hospital se desea hacer un estudio sobre los pesos de los recién nacidos. Por estudios anteriores se sabe que media poblacional
=3
kg y una desviación estándar
=0.25
Para
comprobar si esto ocurre realmente se recogen los datos de 20 bebes elegidos aleatoriamente y se tiene: 3.2
3.7
4.2
4.6
3.7
3.0
2.9
3.1
3.0
4.5
4.1
3.8
3.9
3.6
3.2
3.5
3.0
2.5
2.7
2.8
a) Hallar la Media y Varianza de los pesos: X __________ S 2=________ b)
Calcule un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional con la muestra obtenida suponiendo que la varianza poblacional se desconoce.
c) Calcule el tamaño de muestra al 99% de confianza para estimar la media con un error permisible de 0.4 kg. con varianza poblacional conocida.
2. Una muestra de 100 familias escogidas al azar de una población de 1000 familias reveló el siguiente número de hijos por familias:
N° de hijos
0
1
2
3
4
N° familias
20
25
30
15
10
a) Calcule un intervalo de confianza del 95% para la proporción de familias que tienen a los más un hijo ¿Se puede confiar que el 50% de todas las familias tiene a lo más un hijo? b) Calcule un intervalo de confianza del 95% para el número medio de hijos por familia ¿Es seguro que el número medio de hijos por familia sea uno? c) Calcule el tamaño de la muestra para estimar la proporción de familias con 2 hijos con d=0.25 y un 99% de confianza.
Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
Bioestadística Año 2013
Página 7
AUPSJB
3.
– Bi oestadísti ca, Añ Laboratorio o 2013
Un equipo de investigación médica está seguro sobre un suero que han desarrollado el cual curará cerca del 75% de los pacientes que sufren de ciertas enfermedades. a) Establezca un intervalo de confianza del 95% para la proporción de pacientes que se curaran según los médicos. b) ¿Qué tamaño debe ser la muestra para que el grupo pueda estar seguro en un 98% que la proporción muestral de los que se curan está dentro de más o menos 0.04 de la proporción de todos los casos que el suero curará?
4.
Acabas de completar un estudio sobre una patente médica para jugadores de baloncesto, diseñado para que mejoren su salto, driblen más rápido, y engañen a sus oponentes mirando como suben y bajan al mismo tiempo. Se llama elixir MJ y está aprobado por Shaquille O'Neal, Pau Gasol y Michael Jordan. Si hacemos un test encuentras que una muestra de 16 jugadores federados que tomaron el elixir durante 2 semanas pueden saltar una media de 56 cm. Los datos de toda la población reunidos por entrenadores universitarios de todo el país dan un salto medio de 50 cm con una desviación típica de 15 cm. a) ¿Qué tamaño de muestra se necesitaría para tener un 90% de confianza al estimar la media poblacional con un error de 3 cm? b) Si el tamaño de la población es N= 1200 ¿Qué tamaño de muestra se necesitaría para un nivel de confianza del 99% con una amplitud de intervalo de 8 cm?
5. Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461. Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de significancia de 8%.
Coordinadora: Gialina Toledo Méndez
Bioestadística Año 2013
Página 8
