CAPÍTULO 9 PERÍMETROS Y SUPERFICIES DE QUIOS
s e t a r c ó p i H
M
atemático griego, precursor de Euclides. Entre los mayores logros de Hipócrates está el haber demostrado que las áreas de 2 círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Esto es equivalente a haber descubierto que el área de un círculo 2 es πr , sin determinar el valor de π. Es posible que llegara a esta conclusión al considerar al círculo como el límite de un polígono regular. Uno de los problemas más importantes para los griegos era el de la cuadratura del círculo o de cualquier fi gura en general, la cual se defi ne así: La cuadratura de una fi gura plana es la construcción con regla y compás de un cuadrado con la misma superfi cie que la fi gura plana original. En esa época sólo se habían realizado las cuadraturas cuadr aturas de diversas figuras planas de lados rectos, sin embargo Hipócrates fue el primero en cuadrar una figura con lados curvados cur vados conocidos como lúnulas. Logró trazar una lúnula de área igual al triángulo que es mitad de un cuadrado dado. F D
E
A
B
C
Área de la lúnula AEDF = Área del triángulo ADB
Definiciones Perímetro. Es la suma de los lados de un polígono. Superfcie o área. Es la región del plano limitada por una fgura en dos dimensiones.
Perímetro y área de una figura plana Las siguientes órmulas se emplean para determinar el perímetro y el área de una fgura.
Triángulos Equilátero
b
Isósceles
b
a
Escaleno
a
h
h
h
b
b
b
Perímetro: P = 3b
Perímetro: P = 2a + b
Área: A =
bh
Perímetro: P = a + b + c
bh
Área: A =
2
c
a
Área: A =
2
Área de un triángulo en unción de sus lados (órmula de Herón de Alejandría). A
Con
s
a+b+c =
2
=
s(s
a) (s
b) ( s
)
c
, donde: s = semiperímetro , a, b, c = lados del triángulo y h = altura
EJEMPLOS
s o 1 l p m e j E
Determina el área del triángulo cuya base y altura son 6 y 4 cm, respectivam re spectivamente. ente. Solución
Se sustituyen los valores en la órmula y se obtiene: A =
bh 2
Por tanto, el área del triángulo es de 12 cm2
=
( 6 cm )( 4 cm ) 2
=
24 cm 2 2
= 12 cm2
bh 2
Polígonos regulares Perímetro. El perímetro se defne como el producto del número de lados por la medida de cada c ada lado del polígono. Área. Es el semiproducto del perímetro por la apotema. Apotema. Es la longitud del segmento que une el centro del polígono y el punto medio de uno de los lados. b
Perímetro: P = nb Pc
Área: A = 2 Donde: n = Número de lados del polígono b = Lado del polígono c = Apotema
b
b
c b
b b
EJEMPLOS
s o 1 l p m e j E
Determina el perímetro y el área de un pentágono regular de lado 4 cm y apotema 2.7 cm. Solución
En un pentágono el número de lados es 5, entonces el perímetro es: P = 5(4) = 20 cm
Para hallar el área se aplica la órmula: A =
Pc 2
( 20 ) ( 2.7 )
=
2
=
54 2
= 27 cm2
Por tanto, el perímetro y el área son: 20 cm y 27 cm2, respectivamente. 2
Determina el área de un octágono regular, regular, si uno de sus lados mide 3 cm y el segmento que une un vértice con el centro c entro del octágono mide 4 cm. Solución
La apotema c es el segmento perpendicular a uno de los lados en su punto medio, esto genera un triángulo rectángulo, en consecuencia: (4)2 = (1.5)2 + c2
16 = 2.25 + c2
c=
13.75
c = 3.7
3
Luego, el área del octágono regular es:
4 A =
Por consiguiente, el área mide 44.4 cm2
8 ( 3) ( 3.7) 2
=
88.8 2
= 44.4 cm2
c
Circunferencia y círculo Longitud de la circunerencia. Es el perímetro de un círculo y se defne como el doble producto de su radio por π o el producto del diámetro por π. Cálculo del círculo. Es el área o superfcie limitada por la circunerencia y se denomina como el producto de el radio al cuadrado. Perímetro
Área
P = 2π r = Dπ
A = πr 2 =
1 4
π D2
r
π
por
D O
Donde: r = Radio, D = Diámetro y π = 3.14159 …
Sector y segmento circular Perímetro de un sector circular. Se nombra así a la suma de los radios y el arco que subtienden. Área de un sector circular. Se defne como el producto del área del círculo por la racción ángulo que orman los radios del sector circular. Perímetro
n 360º
, donde
n
es el
Área
P = a + 2r
A=
p r
2
n
360°
=
a
ar 2
Donde:
n
r
r = Radio, n = Grados sexagesimales a = Longitud de arco
r
O
⎛ p nr ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 180° ⎠
Perímetro de un segmento circular. Se denomina así a la suma de la cuerda y el arco que subtienden los radios. Área de un segmento seg mento circular. Es igual a la dierencia del sector circular correspondiente, menos el área del triángulo que orman los radios y la cuerda que subtienden. Perímetro
Área
P=a+m
A=
Donde: r = Radio , n = Grados sexagesimales m = Cuerda , h = Altura del triángulo a = Arco =
2p rn 360°
p r
a 2
n
360°
−
mh
m
2 r
n O
r
h
EJERCICIO 31 Calcula el perímetro y la superficie de las siguientes figuras:
1. Rectángulo
5. Pentágono regular
1.7 m 5.5 m
8m
2.5 m 2. Triángu Triángulo lo equilátero
6. Triángu Triángulo lo escaleno
7.1 m 8.25 m
24.72 m
2.3 m 32.5 m
8.3 m 3. Trapecio isósceles
7. Cuadrado
11 m 6.8 m
6.6 m
9 cm
6.8 m
14 m 4. Triángu Triángulo lo isósceles
9 cm 8. Rombo 2.5 m
20 m
18.9 m
3m 4m
12.5 m Determina las superficies de:
9. Rectángulo de 10 y 15 m. 10. Paralelogramo de base x (x – 1) m y altura ( x x – 2) m. 11. Triángulo de base 14 dm y altura 9 dm. 12. Trapecio de bases 6 y 4 dm y altura de 3.5 dm. 13. Círculo de radio 30 cm. 14. Círculo de diámetro 18 cm
Resuelve los siguientes problemas:
15. Encuentra el área de de un cuadrado si el radio del círculo inscrito es de 10 cm. 16. Por impermeabilizar impermeabilizar el techo de una casa rectangular rectangular de 12.5 por 15 m se pagaron $500. ¿Cuál es el precio por metro cuadrado? 17. Se quiere pintar una habitación que que mide 10 metros de rente por 7 de de ondo y 2.5 de alto, dicha dicha habitación tiene 4 2 ventanas de 1 m de alto por 1.8 m de largo. ¿Cuál será el importe si se pagan $5 por m ? Considera la pintura para el techo y una puerta de 1.5 m × 1.8 m. 18. Precisa la base y la altura del triángulo que tiene 486 m2 de área, si la base es los
3 4
de la altura.
19. Un trapecio tiene 400 400 m2 de área, los lados paralelos tienen 35 y 45 m. ¿Cuál es el valor de la altura? 20. ¿Cuántos círculos enteros enteros de 4 cm de radio se pueden cortar de una hoja de lata de 80 cm de largo por 65 cm de ancho y cuál es el área total de ellos? 21. Encuentra el área del triángulo que tiene como longitud longitud de sus lados: a) a = 13 , b = 9 , c = 10
b) a = 7 , b = 16 , c = 11
c) a = 8 , b = 5 , c = 12
22. El área de un paralelogramo está dada dada por la expresión expresión x (x 2 + 17) m2, la base es igual a ( x x + 5) m, y su altura es igual x – 2) m. Determina el valor de x y el área de este cuadrilátero. a ( x 23. Encuentra el área del del sector circular si: el radio mide 4 cm y el ángulo central es de 45° b) el radio mide 1 cm y el ángulo central es de 60° c) el diámetro mide 6 cm y el ángulo central es de 90° d) el diámetro mide 8 cm y el ángulo central es de 240° 24. Determina el área del segmento segmento circular si: a)
a) b) c)
Ú
el radio del círculo es 2 cm y el ángulo central es de 90° el radio del círculo y la cuerda correspondiente al segmento circular miden 3 cm el radio del círculo mide 8 cm y la cuerda correspondiente al segmento mide 8 2 cm
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Área de figuras combinadas Se obtienen las áreas por separado de cada una de las fguras, y se realizan las operaciones necesarias para hallar el área que se pide. EJEMPLOS
s o 1 l p m e j E
Se inscribe una circunerencia de radio r en un cuadrado, determina el área que existe entre las 2 fguras. Solución
El área sombreada se obtiene al restar al área del cuadrado el área del círculo, entonces: As = (2r )2 – (πr 2 ) = 4r 2 – πr 2 = r 2 (4 – π)
Por tanto, el área sombreada es As = r 2 (4 – π)
r
5. Si el D ABC es rectángulo y los D AEC , D BDA, D CFB son equiláteros, demuestra que:
D A
B
AΔ BDA + AΔ CFB = AΔ AEC F E C
6. Los triángulos ABD y BCD son equiláteros de lado 10 cm; Q, R, S y T son los puntos medios de los lados de los triángulos. Determina el área sombreada.
Q
D
C
P
R
A
B
T
7. En un cuadrado ABCD de lado 10 cm se inscriben 2 semicircunerencias, como se muestra en la fgura. Encuentra el área sombreada.
8. Se inscribe un cuadrado de lado 20 dm en una circunerencia. Determina el área sombreada que se muestra en la fgura.
A
B
C
D
A
B
C
D
9. La fgura ABCD es un cuadrado y r = el área sombreada si R = 12 mm.
2 3
R. Determina
A
B r
R O C
D
10. Calcula la cantidad cantidad de vitral vitral opaco que que se necesita en la siguiente ventana de tipo bizantino. 1m 8 dm
11. Si la fgura ABCD es un cuadrado y el área A’B’C’D’ tiene 392 cm2, determina el área sombreada.
B
A A’
B’
D’
C’
D
C
12. Precisa el área y el perímetro de de la zona sombreada si OC 24 mm y los arcos AD, AB, BC y CD son cuartos de circunerencia.
D
=
A
C
O
B
13. Encuentra el área sombreada si la fgura ABCD es un cuadrado de lado 16 mm, los puntos E , F , G, H son puntos medios del cuadrado ABCD, y los puntos I , J , K , L son puntos medios del cuadrado HEFG.
E
A
J
I H
F
L D
14. Halla el área de la zona sombreada si la fgura ABCD es un cuadrado de lado 16 mm, y AB, BC , CD y DA son semicircunerencias.
15. La fgura ABCD es un cuadrado de lado 32 cm, R y S son puntos medios de OC y OB respectivamente, y las fguras de las esquinas del cuadrado son cuartos de circunerencia. Determina el área sombreada.
B
K C
G
A
B
D
C
A
B S
O R D
C
16. Si el triángulo ABC es equilátero y OA 16 dm : a) Calcula el área del triángulo más pequeño. b) Calcula la suma de todas las superfcies de los triángulos si la fgura se proyecta infnitamente.
B
=
O A
C
17. Determina el área de la zona sombreada en la siguiente fgura si el diámetro del círculo mayor mide 18 cm.
18. Encuentra el área de la zona sombreada si AC cuadrado.
=
2 cm
y ABCD es un
A
B
D
C
19. Determina el área y perímetro de la zona sombreada en la siguiente fgura, si ABDC y DCFE son cuadrados de lado 1 cm.
D
B
A
20. Precisa el área y perímetro de la zona sombreada en la siguiente fgura, si ABCD es un cuadrado de lado 4 cm y E es el punto medio de CD .
E
F
C
A
B
O
D
Ú
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E
C
