´ CALCULO 3 ´ LECTURA 2. CILINDROS Y SUPERFICIES CUADR ATICAS Cami Ca milo lo Andr An dr´ ´ es es Ram Ra m´ırez ır ez S´ anch an chez ez Polit´ ecnico ecnic o Grancolomb Granc olombiano iano
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´ Indice
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1. PLANOS Y TRAZAS
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2. CILINDROS Y GENERATRICES
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´ 3. SUPERFICIES CUADRATICAS
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4. EJERCICIOS
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Introducci´ on
As´ı como la gr´afica de una ecuaci´on de la forma f (x, y ) = 0 es por lo general una curva en el plan xy (Por ejemplo 4x2 + y 2 = 25 es un c´ırculo de radio 5 ), la gr´afica de una ecuaci´on con tres variables es generalmente una superficie en el espacio. Una funci´on F de tres variables ( x, y y z ) asocia un n´umero real F (x,y,z ) con cada terna ordenada de n´umero reales. En la lectura anterior trabajamos con funciones de valores vectoriales que a partir de un vector de n componentes generaba otro vector de n componentes. En este caso se tiene una terna de n´umeros reales (x,y,z ) que genera un n´umero real. La gr´afica de la ecuaci´on F (x,y,z ) = 0
Es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x,y,z ) satisfacen la ecuaci´on, este tipo de ecuaciones reciben el nombre de superficies. En esta lectura abordaremos dos tipos de superficies, por un lado trabajaremos planos y trazas que son aticas que, ecuaciones cuyas componentes son lineales y seguido abordaremos el tema de superficies cuadr´ como su nombre lo indica, son ecuaciones cuyas componentes tienen como grado mayor dos.
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CILINDROS Y GENERATRICES
1. PLANOS Y TRAZAS
Este es el ejemplo m´as sencillo de superficies en el cual todos los coeficientes son lineales, dando como ecuaci´on Ax + By + Cz + D = 0
´ En el curso de Algebra Lineal se hace un estudio de c´omo encontrar la ecuaci´on de un plano al cual pertenecen dos vectores (o tres puntos). Para bosquejar este tipo de superficies es ´util examinar sus intersecciones con los planos que componen el espacio R3 , es decir, el plano xy , el plano xz y el plano y z . La traza de la superficie S en un plano es la intersecci´on del plano con S EJEMPLO 1.1. Considere
el plano 2x + 3y + z = 6. Para encontrar su traza en el plano xy se requiere que z = 0, por lo tanto, la ecuaci´on se redice a 2 x + 3y = 6 y esta corresponde a una recta en el plano xy . De manera similar, en el plano xz se requiere que y = 0 y la ecuaci´on se reduce a 2x + z = 6 la cual tambi´en es una recta en el plano xz . Por ´ultimo, en el plano yz , cuando x = 0 la ecuaci´on resultante es 3y + z = 6, una recta en el plano y z . La figura 1 muestra las porciones de estas trazas que se encuentran en el primer octante. Todas juntas dan una idea del plano 2 x + 3y + z = 6 en el espacio.
Figura 1: trazas y plano con ecuaci´ on 2x + 3y + z = 6
2. CILINDROS Y GENERATRICES
La siguiente superficie que se estudiar´a se llama cilindro haciendo una definici´on m´as general que la com´unmente utilizada en geometr´ıa de bachillerato (cilindro circular recto). Sea C una curva en un plano y L una recta no paralela a ese plano. El conjunto de puntos en las rectas paralelas a L que intersecan a C se llama cilindro y las rectas que forman al cilindro se llaman generatrices.
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CILINDROS Y GENERATRICES
que C es la curva x 2 + y 2 = 16 en el plano xy (esto es una circunferencia de radio 4 centrada en el origen), las generatrices van a ser rectas verticales que pasan por la curva C . En la figura 2, parte izquierda, se muestra una generatriz del cilindro y en la parte derecha el cilindro como una uni´on de todas sus generatrices. EJEMPLO 2.1. Suponga
Figura 2: cilindro generado por la curva C : x 2 + y2 = 16 con generatrices verticales La traza de esta superficie en cualquier plano horizontal z = c es una circunferencia de radio 4 y centro (0 , 0, c) en el eje z . De esta manera, el cilindro es la gr´afica de la ecuaci´on x 2 + y 2 − 16 = 0 de tres variables (de la forma F (x , y , z) = 0); aunque la variable z t´ecnicamente falta (o es libre). cilindros no solo pueden tener generatrices verticales, la gr´afica de la ecuaci´on 4y 2 + 9 y2 − 36 = 0 aparece en la figura 3 y es un cilindro el´ıptico en donde sus generatrices son paralelas al eje x y su traza a cada plano perpendicular al eje x es una elipse trasladada a lo largo de este eje. EJEMPLO 2.2. Los
Figura 3: cilindro el´ıptico con generatrices paralelas al eje x EJEMPLO 2.3. Por
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otro lado, la gr´afica de la ecuaci´on x2 + z − 4 = 0 aparece en la figura 4 y es un cilindro parab´olico
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´ SUPERFICIES CUADRATICAS
en donde sus generatrices son paralelas al eje y y su traza a cada plano perpendicular al eje y es una par´abola (z = 4 − x2 ) trasladada a lo largo de este eje.
Figura 4: cilindro parabolico con generatrices paralelas al eje y Los cilindros aparecen de manera natural al graficar una ecuaci´on en el espacio tridimensional que tenga solo dos variables, la variable que no aparece en la ecuaci´on (variable libre) ser´a el eje por el que las generatrices son paralelas. Adem´a s si se traza la curva en el plano determinado por las variables de la ecuaci´on, esta dar´a un claro indicio de como se comporta el cilindro.
´ 3. SUPERFICIES CUADR ATICAS
atica, algunos ejemplos La gr´afica de una ecuaci´on de tres variables x, y y z de segundo grado se llama superficie cuadr´ de estas son los conos, las esferas, los elipsoides e hiperboloides. La ecuaci´on general de este tipo de superficie es
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + H = 0
Se dice que esta ecuaci´on es de segundo grado especial pues no contiene t´erminos con los productos xy , xz o y z . La tabla 1 muestra las gr´ a ficas de los seis tipos b´asicos de superficies cuadr´aticas centradas en el origen. Todas estas superficies son sim´ etricas con respecto al eje z pero si se quiere escoger otro eje de simetr´ıa se deber´a modificar la respectiva ecuaci´ on. El estudio de las superficies cuadr´aticas se hace con respecto a las trazas de ´estas con los planos paralelos a x y y y z . EJEMPLO 3.1. Clasifique
cada una de las siguientes superficies cuadr´aticas
a. 4x2 + 4y2 − 25z 2 + 100 = 0 b. 9x2 + 4z 2 − 36y = 0 c. y2 − 9x2 − 4z 2 = 36 d. x2 + 2z 2 − 6x − y + 10 = 0 ´ SOLUCI ON
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´ SUPERFICIES CUADRATICAS
a. 4x2 + 4y2 − 25z 2 + 100 = 0 Al dividir ambos lados de la ecuaci´on entre − 100 se llega a la forma x2
25
+
y 2
25
z 2
−
4
+ 1 = 0
Igualando a 1 x2
y2
−
+
z 2
=1 25 25 4 Seg´ un la tabla 1, este tipo de ecuaci´on corresponde a un hiperboloide de dos hojas con simetr´ıa al eje z . La figura 5 muestra la gr´afica de ´esta superficie. −
Figura 5: superficie cuadr´ atica con ecuaci´on 4x2 + 4y2 − 25z 2 + 100 = 0 b. 9x2 + 4z 2 − 36y = 0 Al dividir ambos lados de la ecuaci´on entre 36 se llega a la forma x2
4 Igualando a
+
z 2
9
−
y
1
=0
y
1
y
=
x2
+
z 2
1 4 9 Seg´ un la tabla 1, este tipo de ecuaci´on corresponde a un paraboloide el´ıptico con simetr´ıa al eje y . La figura 6 muestra la gr´ afica de ´esta superficie. c. y2 − 9x2 − 4z 2 = 36 Al dividir ambos lados de la ecuaci´on entre 36 se llega a la forma y2
36
−
x 2
4
−
z 2
9
=1
Esta ecuaci´on se puede escribir como la forma de un hiperboloide de dos hojas −
x2
4
−
z 2
9
+
y2
36
=1
Con el eje y como eje de simetr´ıa. La figura 7 muestra la gr´afica de ´esta superficie. d. x2 + 2z 2 − 6x − y + 10 = 0 Esta ecuaci´on es diferente a las estudiadas en los ejemplos anteriores porque tiene componentes lineales y cuadradas en la variable x lo cual indica un desplazamiento en estos ejes. 5
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´ SUPERFICIES CUADRATICAS
Figura 6: superficie cuadr´ atica con ecuaci´on 9x2 + 4z 2 − 36y = 0
Figura 7: superficie cuadr´ atica con ecuaci´on y 2 − 9x2 − 4z 2 = 36
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EJERCICIOS
Para saber que tipo de ecuaci´on es, primero se debe completar cuadrados x2 + 2z 2 − 6x − y + 10 2
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(x − 6x) + 2 z − y + 10 (x2 − 6x + 9) + 2z 2 − y + 10 − 9 (x − 3)2 + 2z 2 − y + 1 (x − 3)2 + 2z 2 (y − 1)
= = = = = =
0 0 0 0 y−1
(x − 3)2 + 2z 2
Al comparar la ecuaci´on con la tabla 1, se aprecia que representa un paraboloide el´ıptico, pero este se has trasladado del origen de manera que su v´ertice no es (0 , 0, 0) sino (3, 1, 0). en la figura 8 se muestra la gr´afica de ´esta superficie.
Figura 8: superficie cuadr´ atica con ecuaci´on x2 + 2z 2 − 6x − y + 10 = 0
4. EJERCICIOS
Describa las trazas de la superficie dada en los planos xy , xz y y z , luego haga un bosquejo de dicho plano. 1. 3x + 2y + z = 6 2. 2x + 4y + z = 4 3. 3x + 2y + 10 z = 20 Clasifique las siguientes superficies cuadr´aticas (Utilice la tabla 1)
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EJERCICIOS
3. y = 4x2 + 9z 2 4. z = y 2 − x2 4 5. x = y 2 + x2 6. 4x2 + y 2 + 4z 2 − 4y − 24z + 36 = 0 7. 4y 2 + z 2 − x − 16y − 4z + 20 = 0 8. Pruebe que la proyecci´ on en el plano xy de la intersecci´on del plano z = y y el paraboloide z = x 2 + y 2 es una circunferencia (figura 9)
Figura 9: plano y paraboloide
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Superficie
Ecuaci´on
EJERCICIOS
Superficie
Ecuaci´on
z2 x2 y 2 = + 2 c2 a2 b x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2
Todas las trazas son elipses. Si a = b = c , la elipsoide es una esfera.
z x2 y 2 = 2+ 2 c a b
Las trazas paralelas al plano z = k son elipses. Las trazas paralelas a los planos x = k y y = k son par´ abolas (k ≥ 0). El eje del paraboloide esta indicado por la variable lineal.
2
2
z x y = 2− 2 c a b
Las trazas paralelas al plano z = k son hip´erbolas. Las trazas paralelas a los planos x = k y y = k son par´ abolas. El eje esta indicado por la variable lineal.
Tabla 1: superficies cuadr´ aticas
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Las trazas paralelas al plano z = k son elipses. Las trazas paralelas a los planos x = k y y = k son hip´erbolas cuando k = 0. Son rectas si k = 0 El eje de simetr´ıa est´a indicado por la variable ubicada al lado izquierdo de la igualdad.
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 =1 a2 b c
Las trazas paralelas al plano z = k son elipses. Las trazas paralelas a los planos x = k y y = k son hip´erbolas. El eje de simetr´ıa esta indicado por la variable con coeficiente negativo.
−
x2 y2 z2 − + =1 a2 b2 c2
Las trazas paralelas al plano z = k son elipses (si k > c o k < −c). Las trazas paralelas a los planos x = k y y = k son hip´erbolas. El eje de simetr´ıa esta indicado por la variable con coeficiente positivo.
