Bases Da Mecânica e Da Termodinâmica Dos Meios Contínuos

Adalberto B. M. S. Bassi

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Bases da Mecânica e da Termodinâmica Termodinâmica dos Meios Contínuos

Universidade Estadual de Campinas Instituto de Química Campinas 2011

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP Sistemas de Bibliotecas da UNICAMP / Diretoria de Tratamento da Informação Bibliotecário: Maria Lúcia Nery D. de Castro – CRB-8ª / 1724

B294b

Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bases da mecânica e da termodinâmica dos meios contínuos / Adalberto Adalberto B. M. S. Bassi. Bassi. -- Campinas, SP: UNICAMP/Instituto de Química, 2011. “Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) (http:// www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)” 1. Termodinâmica. 2. Química. Química. 3. Físico-química. Físico-química. I. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Química. II. Título. CDD – 541.369 – 540 – 541.3

ISBN 978-85-268-0948-2 (Suporte: Papel) ISBN 978-85-268-0949-9 (Suporte: Internet)

Palavras Chave:

Mecânica; Termodinâmica; Meios Contínuos; Álgebra Tensorial; Análise Tensorial; Termomecânica; Não Linearidade; Materiais; Matemática Aplicada; Físico-Química

Keywords:

Mechanics; Thermodynamics; Continuous Media; Tensor Algebra; Tensor Analysis; Thermomechanics; Non Linearity; Materials; Applied Mathematics; Physical Chemistry Equipe:

Capa: Giancarlo M. Stein dos Santos Editor: João Carlos de Andrade Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Química Caixa Postal 6154 13084-970 Campinas (SP)

2011© Adalberto B. M. S. Bassi Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) (http://www.chemkeys.com) sob licença l icença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)

Sobre o Autor Adalberto B. M. S. Bassi nasceu em 1945, em Niterói, RJ e formou-se Qu´ımico Industrial em 1966, pela antiga Escola Nacional de Qu´ımica da Universidade do Brasil, hoje Escola de Qu´ımica da UFRJ. Fez p´ os-gradua¸cão no Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas e ingressou no corpo docente do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1970, onde permanece até o presente momento. Doutorou-se pelo Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1976, com uma tese na área de interpreta¸caõ, por meios mecânico-quânticos, de intensidades roto-vibracionais de moléculas em estado gasoso. Em 1977, fez p´ osdoutorado junto ao Quantum Theory Project da University of Florida e, posteriormente, nesta mesma a´rea foram defendidos, sob sua orienta¸caõ, trabalhos de mestrado e doutorado. Dedicou-se, ent˜ ao, a diversas atividades acadêmico-administrativas, entre as quais destacam-se a de Diretor do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP e a de Pr´ o-Reitor de Ensino de Gradua¸cão da mesma Universidade. Ultimamente, restringe suas atividades acadêmico-administrativas apenas a fun¸ cões eletivas de representa¸caõ, junto aos o´rgãos colegiados superiores do Instituto e da Universidade, porque prioriza a pesquisa, a orienta¸caõ e o ensino em Mecˆ anica e Termodinˆ amica dos Meios Cont´ınuos, bem como em Termodinˆ amica dos Processos Homogêneos.

i

Preˆ ambulo A mecânica dos meios cont´ınuos é um desenvolvimento da antiga mecˆ anica dos fluidos, a qual não considerava a segunda lei da termodinˆ amica. Ambas são ciências para o mundo macroscópico, ou seja, como também faz qualquer outra ciência cl´ assica, por causa da utiliza¸caõ do cálculo diferencial e integral, elas extrapolam o comportamento macrosc´ opico para regi˜ oes microsc´ opicas, onde na verdade tal comportamento n˜ ao ocorre. Ali´ as, a confirma¸caõ experimental da corre¸caõ dos resultados obtidos mediante esta extrapola¸ cão, em todas as ciências cl´ assicas, foi o principal motivo porque tantos excelentes cientistas do passado defenderam ardorosamente a continuidade da mat´ eria. Hoje, sabe-se que esta extrapola¸ caõ é correta desde que sejam considerados exclusivamente os seus resultados no mundo macrosc´ opico. A mecânica dos meios cont´ınuos, porém, n˜ ao é só um aperfei¸coamento da mecˆ anica dos fluidos. Ao incorporar a segunda lei e, em consequência, propriedades como a energia de Gibbs, ela mostra suas profundas ra´ızes na termodinˆ amica clássica. Porém, ao contr´ ario desta mas como faz a mecˆ anica newtoniana, a mecˆ anica dos meios cont´ınuos considera que os valores das grandezas materiais variam no tempo e no espa¸ co. Por isto, os seus processos n˜ ao são homogêneos e atemporais, como os da termodinˆ amica clássica. Também por isto, ela n˜ ao est´ a restrita a processos limites, nem a apenas interligar estados de equil´ıbrio. Ela pretende que o seu modelo represente o mundo macrosc´ opico real de modo muito mais pr´ oximo e detalhado do que o faz o modelo da termodinˆ amica clássica. Por outro lado, o uso intenso de funcionais constitutivos evidencia a absor¸ cão, por parte da mecˆ anica dos meios cont´ınuios, dos conceitos b´ asicos da termodinˆ amica dos processos irrevers´ıveis. Estas duas ra´ızes s˜ a o t˜ ao fundamentais quanto aquela na mecˆ anica dos fluidos. A elas é adicionado o arsenal matem´ atico que a análise tensorial disponibiliza, facilitando um enfoque pragm´ atico e computacional extremamente util ´ para a engenharia dos materiais. A uni˜ ao de teorias que se sintetizou na mecˆ anica dos meios cont´ınuos apresenta um enorme potencial, inclusive porque a an´ alise tensorial é uma poderosa ferramenta matem´ atica moderna, absolutamente n˜ ao dispon´ıvel na época em que a termodinˆ amica clássica foi desenvolvida. De acordo com a mecˆ anica dos meios cont´ınuos, o que se conserva é a energia total, não é a energia interna. A conserva¸ cão da energia é colocada como um dos pilares desta ciência, junto com as conserva¸ co˜es da massa e dos momentos linear e angular. Por outro lado, frequentemente a segunda lei da termodinˆ amica é tratada como uma mera condi¸ caõ limitante, a ser inclu´ıda na constru¸caõ dos funcionais constitutivos. Por isto, embora a existência das mencionadas ra´ızes termodinˆ amicas, este nome nem sempre é associado à mecˆ anica dos meios cont´ınuos. Ali´ as, os t´ıtulos das sete referências b´ asicas listadas na bibliografia evidencia a diversidade de nomes usados para designar esta ciência. Este autor prefere manter associadas as palavras mecˆ anica e termodinˆ amica, como fazem os ii

t´ıtulos da primeira e quarta referências. Isto parece correto porque come¸ ca-se a perceber uma baixa utiliza¸cão do potencial antes mencionado, n˜ ao sob o enfoque da engenharia ou do desenvolvimento de “softwares”, mas sim sob o aspecto conceitual f´ısico-qu´ımico. De fato, feita exce¸ cão a numerosos trabalhos puramente matem´ aticos, parece haver pouco interesse em tentar melhorar o entendimento dos conceitos fundamentais em que se baseia a mecˆ anica dos meios cont´ınuos. Pelo contr´ ario, percebe-se a tendência de apenas aplic´ a-los, de modo cada vez mais eficiente e produtivo, naquilo que j´ a se sabe conduz a resultados experimentalmente corretos. Logo, estreitar a associa¸caõ entre a mecˆ anica e a termodinˆ amica, a primeira fortemente matemática e a segunda intensamente conceital, parece proveitoso para esta ciência. Talvez, um dos maiores motivos deste aparente desinteresse esteja nos conhecimentos matemáticos necess´ arios para uma precisa compreens˜ ao conceitual do que as equa¸co˜es refletem. De fato, trata-se de uma base matem´ atica incomum entre qu´ımicos e até mesmo entre f´ısicos, a não ser nos seus aspectos puramente operacionais. O objetivo deste texto é ajudar na aquisi¸caõ desta base matem´ atica conceitual, sem a qual é realmente imposs´ıvel entender o significado f´ısico das equa¸ cões utilizadas pela mecˆ anica dos meios cont´ınuos. Este texto n˜ ao se destina a matem´ aticos, mas sim a leitores que possuam conhecimentos apenas operacionais, ou rudimentares, de c´ alculo diferencial e integral. Ele inicia-se com um longo cap´ıtulo de a´lgebra e c´ alculo tensorial, seguido por um cap´ıtulo de cinemática onde alguns conceitos f´ısicos come¸ cam a aparecer. A parte fundamental do segundo cap´ıtulo é a sua se¸ caõ sobre movimento, mas a compreens˜ ao deste conceito exige a leitura das se¸co˜es anteriores, principalmente da primeira. A u´ltima se¸caõ deste cap´ıtulo é um pouco mais complexa, mas n˜ ao pode deixar de ser entendida, porque será usada em cap´ıtulos posteriores. O terceiro cap´ıtulo, sobre balanceamento, engloba a conceitua¸caõ f´ısica principal. No u´ltimo cap´ıtulo são colocadas algumas no¸co˜es b´ asicas sobre os funcionais constitutivos. Este texto segue, em suas linhas gerais, o apêndice e os primeiros três cap´ıtulos da segunda referência citada procurando, porém, ser mais acess´ıvel para o leitor n˜ ao matemá tico. Devido a` forte admira¸caõ do autor pela pen´ ultima referência, este texto é inevitavelmente influenciado por ela. Sofre, também, as consequências de ser o autor muito interessado na termodinˆ amica dos processos homogêneos, que é uma vis˜ ao temporal da termodinˆ amica clássica, muito u ´til no estudo de estados da matéria homogêneos, mas nã o est´ aveis, tais como vidros, l´ıquidos superresfriados etc. A primeira referência é extremante atual e abrangente. A ultima, ´ por causa da proposi¸caõ da desigualdade de Clausius-Duhem, é geralmente considerada o marco inicial da mecˆ anica e termodinˆ amica dos meios cont´ınuos. Sem demérito para dezenas de outras excelentes referências, o autor considera as sete selecionadas como os marcos principais desta teoria. Campinas, janeiro de 2011.

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Sum´ ario 1 An´ alise Tensorial Elementar 1.1 S´ımbolos, Fun¸caõ e Funcional, Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2 Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Produto Interno de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem . . . . 1.2.5 Transposi¸cão de Tensor Simples, de Segunda Ordem e Troca entre Índice e Super´ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Composi¸ca˜ o de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Tensor de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Regras para Transforma¸ caõ de Componentes de Vetor e de Tensor de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Determinante e Tra¸ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Produto Interno, Invers˜ ao, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.11 Elemento de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.12 Produto Externo e Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.13 Teoremas para a Mecˆ anica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . . 1.2.14 Espa¸co Euclideano de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cálculo Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Diferencia¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Aplica¸co˜es da Diferencia¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Derivadas Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Operadores para a Mecˆ anica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . 2 Cinem´ atica 2.1 Configura¸cão e Deforma¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Gradiente de Deforma¸cão . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deforma¸ cão 2.1.3 Mudan¸ ca de Configura¸cão Referencial . . . . . . . . . 2.2 Tra¸caõ e Rota¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tra¸caõ e Rota¸caõ Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Conceito B´ asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Descri¸cões Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . 2.5 Deforma¸ cão Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

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1 1 8 8 9 10 12 17 20 21 22 25 33 36 41 45 50 51 51 58 66 70 75

82 82 82 84 87 87 89 94 94 95 99

2.5.1 Conceito e Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Velocidade de Altera¸ cão da Tendência de Deforma¸cão . 2.6 Mudan¸ ca de Estrutura Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Transforma¸caõ Euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Transforma¸co˜es Galileiana e R´ıgida Independente de t . 2.6.3 Aplica¸co˜es para Grandezas Cinem´ aticas . . . . . . . . . 2.6.4 Derivada Temporal Corotacional . . . . . . . . . . . .

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99 101 104 104 107 108 111

3 Balanceamento 3.1 Equa¸co˜es de Balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equa¸co˜es de Balanceamento na Configura¸cão Corrente . . . . . . 3.1.2 Equa¸co˜es de Balanceamento na Configura¸cão Referencial . . . . . 3.1.3 Compatibilidade Cinem´ a tica da Superf´ıcie Singular . . . . . . . . 3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Dinˆ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Momentos Linear Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 For¸ca e Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Tensor de Tra¸ cão de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Balanceamento de Momentos Linear e Angular . . . . . . . . . . . 3.3.5 Balanceamento de Energia Ciné tica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Balanceamento de Energias Total e Interna . . . . . . . . . . . . . 3.4 Equa¸co˜es Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Equa¸co˜es de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descri¸caõ Material 3.4.2 Condi¸ cões de Fronteira do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Equa¸co˜es de Campo em Estrutura Referencial Arbitr´ aria . . . . .

112 112 112 118 122 123 126 126 128 129 131 133 135 139 139 141 142

4 Princ´ıpios B´ asicos das Teorias Constitutivas 4.1 Campos B´ asicos, Fun¸co˜ es e Funcionais Constitutivos 4.2 Princ´ıpio de Objetividade Material . . . . . . . . . . 4.2.1 Conceito Fundamental . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Aplica¸caõ a` Configura¸caõ Referencial . . . . . 4.2.3 Aplica¸ca˜ o a Classes Particulares de Materiais 4.3 Material Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 145 147 147 148 150 151

v

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Cap´ıtulo 1 An´ alise Tensorial Elementar 1.1

S´ımbolos, Fun¸c˜ ao e Funcional, Matriz

Nota¸c˜ ao 1.1.1 (S´ımbolos) O campo dos n´ umeros reais é representado por . A não ser no caso de s´ımbolos convencionais, como por exemplo o tensor elemento de volume e, de um modo geral escalares (tensores de ordem zero) ser˜ ao representados por letras min´ usculas em itálico (a, α,...), vetores (tensores de primeira ordem) por letras min´ usculas romanas em negrito (u, v, . . . ) e tensores (de qualquer ordem salvo nula e primeira) por letras mai´ usculas itálicas (T , F ,. .. ). O tensor identidade será representado 1 , enquanto que a matriz identidade será representada por [1]. Entretanto, letras itálicas min´ usculas e mai´ usculas poder˜ ao ter outros significados, desde que estes sejam explicitamente informados. Trechos em negrito correspondem a chamadas no ´ındice e, quando deseja-se ressaltar uma palavra, ela é sublinhada por tra¸ co duplo. S´ımbolos matem´ aticos :



∈ pertence a ou pertencente a; ⊂ subconjunto de; ∀ para todo; ∃ existe; {·} conjunto constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ; (·) conjunto ordenado constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ; [·] matriz constitu´ıda pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ; ·[·] aplica¸caõ do tensor representado pelo primeiro · ao tensor representado pelo segundo; | onde; 

término de demonstra¸ cão.

Defini¸ca õ 1.1.1 (Fun¸c˜ ao e Funcional) Sejam dois conjuntos, A e B, de escalares, vetores, tensores, ou de n-uplas (por exemplo, se n = 2 são duplas, o que significa o mesmo que pares ordenados) constitu´ıdas por escalares, vetores, ou tensores. Por

1

defini¸caõ, uma regra que relaciona cada elemento de A a, no máximo, um u ńico elemento de B, é uma fun¸c˜ B. A express˜ ao g : a b a ao g representada por g : A A, b B indica que, quando a fun¸cão for aplicada ao espec´ıfico elemento a, que ser´ a chamado o argumento da fun¸caõ, este elemento ser´ a relacionado ao espec´ıfico elemento b, chamado imagem da fun¸cã o, formando o par ordenado (a, b). Por exemplo, cos : π/3 0, 5 π/3, 0, 5 , formando o par ordenado (π/3, 0, 5). O conjunto de todos os pares ordenados criados pela fun¸cão g é a pr´ opria fun¸caõ g, porque tal conjunto explicita a regra que relaciona cada elemento de A a, no máximo, um elemento de B. ao correspondente ao arO par ordenado (a, b), portanto, é o elemento da fun¸c˜ gumento a (não a` imagem b, porque vários argumentos podem corresponder a` mesma ´ muito frequente o uso da representa¸c˜ ao g(a) para imagem, mas não o vice-versa). E indicar b, ou seja, define-se b g(a) e costuma-se afirmar que “b é fun¸ca˜ o de a” para indicar que b é a imagem correspondente ao argumento a, através da fun¸caõ g. Se o conjunto B for constitu´ıdo exclusivamente por escalares (ou vetores, ou tensores etc.), costuma-se afirmar que g é uma “fun¸cão escalar” (ou vetorial, ou tensorial etc.), para indicar que a imagem da fun¸caõ g é necessariamente escalar (ou vetorial, ou tensorial etc.). Por outro lado, a representa¸ca opria fun¸caõ g, õ g( ) é utilizada para indicar a pr´ portanto g g( ). Se, para um espec´ıfico conjunto de argumentos a da fun¸caõ g : a b, a toda imagem b de a corresponder um uńico argumento a, g será dita fun¸cão de um para um em e g −1 : b a a será a inversa em da fun¸caõ g. Neste caso poder-se-´ a, também, afirmar que a fun¸caõ g é invert´ıvel em . Evidentemente, existe a possibilidade de que abranja todos os poss´ıveis argumentos da fun¸ cão, situa¸cão esta em que a express˜ ao “em ” é omitida. Sejam, agora, dois conjuntos, C e D, de escalares, vetores, tensores, fun¸ cões h : A B ou de n-uplas constitu´ıdas por escalares, vetores, tensores ou fun¸ cões h : A B. Por defini¸caõ, uma regra que relaciona cada elemento de C a, no máximo, um u ńico elemento de D, é um funcional representado por : C D. Um tipo extremamente simples de funcional é a fun¸cão, já discutida, porque a defini¸caõ de funcional é uma amplia¸ caõ da defini¸caõ de fun¸cão, logo não exclui esta u´ltima. Por isto, tudo o que se seguiu a` seten¸ca de defini¸cão de fun¸caõ, até ao fim do parágrafo anterior, pode ser analogamente colocado para funcional. Porém, usa-se o nome funcional apenas quando pelo menos um, entre os argumentos e imagens de considerados, for uma fun¸caõ, ou uma n-upla contendo pelo menos uma fun¸cão, porque, quando isto não ocorrer, seria uma in´ util complica¸caõ usar o nome funcional, ao invés de fun¸ caõ, já que esta é uma denomina¸caõ muito mais conhecida. c˜ ao Considerando esta restri¸cão, o exemplo mais simples de funcional é a composi¸ de fun¸c˜ oes, que pode ser grafada g 3 = g 2 g1 , onde g1 é a fun¸cão argumento, = g 2 é o funcional e g 3 é a fun¸caõ imagem, logo g 3 = g 2 g1 é um caso espec´ıfico da express˜ ao mais geral g 3 = (g1 ). Impor = g 2 é igual a impor que, se g 1 : x y e g3 : x z , exista g2 : y z . Conforme ser´ a exemplificado a seguir, a existência de g2 : y z corresponde a uma simplifica¸caõ t˜ ao radical, em rela¸cão a` express˜ ao g3 = (g1 ), sendo ario para explicar g1 : x y e g3 : x z , que o próprio conceito de funcional é desnecess´ a composi¸caõ de fun¸co˜es, assim como é desnecess´ ario para explicar a fun¸caõ. Por isto, não se usa o nome funcional no caso de composi¸caõ de fun¸co˜es, a qual é também chamada fun¸cão de fun¸c˜ ao. Como a imagem z é a mesma, é usual escrever g(x) = g(y), ao invés

→

∈

→

|

→ | ∈

∈

≡

·

≡ · ∈ D D

D → | ∈ D

→

D D

D D

→

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→

F →

F

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F →

→

F

◦

◦

F

→

F

→

2

◦

→ →

da representa¸cão mais rigorosa g3 (x) = g 2 (y). Para exemplificar uma composi¸caõ de fun¸co˜es, seja y = g 1 (x) = sen x e z = g 2 (y) = cos y, logo z = g3 (x) = cossen x, onde a fun¸cão sen é o argumento que o funcional cos relaciona a` fun¸caõ imagem cos sen. Note que, para que o funcional cos defina o elemento (x, z ) da sua fun¸caõ imagem cos sen, basta que seja conhecido o elemento (x, y) da sua fun¸caõ argumento sen. Isto ocorre porque existe a fun¸ cão g 2 : y z , neste exemplo dada por cos : y z . Em geral, porém, o conhecimento da fun¸ cão imagem de um funcional, ou mesmo de apenas um elemento dela, exige o conhecimento de mais do que um u ´ nico elemento de pelo menos uma entre as fun¸ cões presentes no seu argumento. Coerentemente com o afirmado no par´ agrafo anterior, usar-se-´ a o nome funcional somente quando houver esta exigência, que n˜ ao existe no caso da composi¸cão de fun¸co˜es. Os tipos mais conhecidos de funcionais s˜ ao a deriva¸caõ e a integra¸caõ, que são regras que relacionam fun¸co˜es entre si e que exigem o conhecimento de mais do que um unico ´ elemento das fun¸cões argumento. A deriva¸caõ e a integra¸caõ são exemplos de funcionais universais, no sentido que s˜ ao regras que n˜ ao dependem de caracter´ısticas espec´ıficas do problema a ser resolvido. Por isto, mais uma vez, a deriva¸ cão e a integra¸caõ costumam ser apresentadas sem que o conceito de funcional seja previamente colocado. Mas existem funcionais n˜ ao universais, cuja compreens˜ ao exige que o conceito de funcional seja previamente apresentado. Eles aparecem em v´ arias ciências f´ısicas. Por exemplo, na mecˆ anica e termodinˆ amica dos meios cont´ınuos s˜ ao utilizados funcionais constitutivos, cujas formas dependem de especificidades do material considerado.

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◦

→

→

Nota¸c˜ ao 1.1.2 (Einstein) Um super´ındice, geralmente, é escrito entre parêntesis, para não ser confundido com um expoente. Por exemplo, pode-se ter ai ou a(i) , de acordo com a preferência quanto a numerar a por meio de ´ındices ou super´ındices i = 1, 2, 3, . . . (considere que a não necessariamente seja um escalar). Por´ em, de acordo com a nota¸ cão de Einstein, os parêntesis s˜ ao omitidos do super´ındice. Outra caracter´ıstica desta nota¸ cão é que, num produto, quando um mesmo indicador aparecer uma vez como ´ındice e outra como super´ındice, subentende-se o somat´ orio do produto para todos os valores poss´ıveis do indicador. Por exemplo, ai bi , sendo i = 1, 2ou3, implica em a1 b1 + a 2 b2 + a 3b3 , enquanto que a i bi representa o somat´ orio a 1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Mas, se o indicador aparecer duas vezes como ´ındice, ou como super´ındice, o somat´ orio não estar´ a subentendido. Portanto tanto ai bi como ai bi se referem a um u ´ nico entre os poss´ıveis valores permitidos para i. Para indicar a 1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , ou a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , deve-se respectivamente escrever 3i=1 ai bi , ou 3i=1 ai bi . O indicador somativo pode ser um ´ındice e um super´ındice que apresentem a mesma base. Por exemplo, sendo i = 1, 2 ou 3, tem-se T i i = T 1 1 + T 2 2 + T 3 3 . Podem, tamb´ em, ocorrer dois ou mais indicadores somativos. Por exemplo, g i j T i j indica a aplica¸ caõ sequencial dos somat´ orios em i e em j, sendo indiferente qual dos dois somatórios é o primeiro a ser efetuado. Ap´ os efetuado o primeiro somat´ orio (se i = 1, 2 ou 3, aplicando inicialmente o somat´ orio em i a gi j T i j ter-se-á g1 j T 1 j + g2 j T 2 j + g3 j T 3 j ), aparecem termos formados por fatores com ´ındice e super´ındice alfanum´ ericos iguais, o que exige a aplica¸caõ dos somat´ orios correspondentes a` parte alfabética dos ´ındices e super´ındices, para cada um destes termos. A nota¸ cão de Einstein ser´ a subentendida a partir deste ponto do texto.

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

3

Defini¸ca õ 1.1.2 (Matriz) Seja um conjunto A, cujos elementos n˜ ao necessariamente sã o escalares e seja o conjunto I , formado pelos m primeiros n´ umeros naturais (os números naturais s˜ ao os inteiros positivos). Suponha que exista uma fun¸caõ ordenadora φ : I A tal que, i I , φ : i ai ai A, ou φ : i ai a i A, de acordo com o s´ımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai ou ai . Logo, a fun¸caõ φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (a1 , a2 , . . . , am−1 , am ) (ai )m i=1 , ou (a1 , a2 , . . . , am−1 , am ) (ai )m i=1 , usando elementos do conjunto A e representando por ai , ou a i , o elemento que ela associa a cada n´ umero natural i. Neste texto, tal conjunto ordenado ser´ a geometricamente representado, respectivamente, pela matriz coluna [ai ] i ou [a ], onde a 1 ou a 1 é colocado na linha superior, a 2 ou a 2 na linha logo abaixo da linha superior e assim sucessivamente, até a m−1 ou a m−1 na linha logo superior a` linha inferior e am ou am na linha inferior. Note que, embora neste texto o s´ımbolo [ai ], ou [ai ], sempre indique a mencionada matriz coluna, outras representa¸ cões geométricas s˜ ao poss´ıveis para o conjunto ordenado considerado. Por exemplo, poderia ser imaginada uma representa¸ cão sob a forma de uma matriz linha, ou mesmo uma matriz circular, onde fosse colocado a1 ou a1 na posi¸caõ em que se encontra o n´ umero doze no mostrador de um rel´ ogio anal´ ogico, seguido no 2 sentido hor´ ario pelos demais elementos a 2 ou a etc., espa¸cados entre si por arcos de igual comprimento. O que é significativo, portanto, é o conjunto ordenado, n˜ ao a representa¸caõ geométrica por matriz coluna que foi para ele convencionada. Seja, agora, o mesmo conjunto A e sejam os conjuntos I e J , respectivamente formados pelos m e pelos n primeiros n´ umeros naturais. Suponha que exista uma fun¸ caõ ordenadora φ : I J A tal que, i I e j J , tenha-se ou φ : (i, j) a i j ai j A, ou φ : (i, j) ai j ai j A, ou φ : (i, j) ai j ai j A, ou φ : (i, j) ai j ai j A,

→

∀ ∈

→ | ∈

≡

≡

× → → | ∈

→ | ∈

∀ ∈ ∀ ∈ → | ∈

→ | ∈ → | ∈

de acordo com o s´ımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai j , ai j , ai j ou ai j . Logo, a fun¸ caõ φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (ai j )m,n i=1, j =1 , m,n i i j m,n ou (ai j )m,n i=1, j =1 , ou (a j )i=1, j =1 , ou (a )i=1, j =1 , usando elementos do conjunto A e re-

presentando por ai j , ou ai j , ou ai j , ou ai j , o elemento que ela associa a cada par ordenado de n´ umeros naturais (i, j). Note a conven¸ cã o adotada, no sentido de que a ordem esquerda/direita dos indicadores (sejam eles ´ındices ou super´ındices), no elemento de A associado ao par ordenado, sempre é a ordem esquerda/direita conforme a qual, no par considerado, aparecem os n´ umeros naturais. j m,n m,n i Neste texto, o conjunto ordenado (ai j )m,n i=1, j =1 , ou (ai )i=1, j =1 , ou (a j )i=1, j =1 , ou (ai j )m,n a geometricamente representado, respectivamente, pela matriz retangular i=1, j =1 , ser´ [ai j ], ou [ai j], ou [ai j ], ou [ai j ], onde o indicador a` esquerda sinaliza a linha enquanto que o indicador a` direita mostra a coluna, independentemente deles aparecerem como ´ındices ou super´ındices. Novamente, o que é significativo é o conjunto ordenado, n˜ ao a representa¸cão geométrica por matriz retangular que foi para ele convencionada. Por exemplo, seja A o infinito conjunto cont´ avel dos quocientes das divis˜ oes de todos os n´ umeros naturais por todos os n´ umeros naturais e seja a fun¸cão φ tal que a imagem do par ordenado (i, j) seja o quociente i/j, logo a imagem do par ordenado ( j, i) seja o quociente j/i. No caso do par ordenado (i, j), tal imagem pode ser representada por ai j , ou ai j , ou a i j , ou ai j . Por outro lado, se o par ordenado for ( j, i), a representa¸caõ 4

poderer´ a ser a j i , ou a j i , ou a j i , ou a j i . Note que a fun¸caõ φ foi definida de modo tal que, nestas oito poss´ıveis representa¸ cões da sua imagem, o indicador a` esquerda sempre seja o numerador do quociente, independentemente dele ser ´ındice ou super´ındice e, também, independentemente da letra usada neste indicador ser i ou j (analogamente para o indicador a` direita). Escolhamos, arbitrariamente, o s´ımbolo ai j, ou seja, consideremos ai j = i/j. Neste j caso, a fun¸cão φ criou o conjunto ordenado (ai j )m,n = i/j, geometricamente i=1, j =1 ai

|

representado pela matriz retangular [ai j ]. Como foram inclu´ıdos, como numeradores, os números naturais desde i = 1 até i = m, a matriz apresenta m linhas. Por outro lado, foram considerados os denominadores desde j = 1 até j = n, logo a matriz tem n colunas. Mas, se de modo igualmente arbitr´ ario escolhermos o s´ımbolo a j i , logo considerarmos i a j i = j/i, a fun¸caõ φ criar´ a o conjunto ordenado (a j i ) jn,m =1, i=1 a j = j/i, geometricamente representado pela matriz retangular [a j i ]. Esta, evidentemente, apresenta n linhas e

|

m colunas. Note que as matrizes [ai j ] e [a j i ] são iguais nas suas respectivas partes quadradas, as quais contêm um n´ umero l de linhas e colunas igual ao menor entre m e n, l, j =l ou seja, a i j = a j i ii= =1, j =1 . Mas, nas suas respectivas partes restantes, todos os elementos de cada uma das duas matrizes s˜ ao diferentes daqueles apresentados pela outra. i Isto mostra que, se m = n, então [ai j ] = [a j ], o que pode confundir quem est´ a acostumado a` simbologia usada nos livros did´ aticos elementares de a´lgebra matricial. Aliás, as representa¸co˜es [A] e [A]i j , respectivamente para uma matriz e para os elementos que a formam, embora muito encontradas em tais livros, n˜ ao são usadas neste texto. De fato, conforme a nota¸caõ para aplica¸cão de tensor a tensor 1.2.6, que ser´ a posteriormente apresentada, M [N ] indicará a aplica¸caõ do tensor representado por M ao tensor representado N , logo não indicar´ a que [N ] seja uma matriz (para evidenciar o contraste, o s´ımbolo [ ] foi inclu´ıdo imediatamente ap´ os a`quele de matriz, [ ], na nota¸cão para s´ımbolos 1.1.1). A diferen¸ca entre a simbologia usada neste texto e aquela que aparece nos livros didáticos elementares de a´lgebra matricial deve-se ao fato de que os mencionados livros usam s´ımbolos adequados a um conceito de matriz semelhante ao de uma tabela, enquanto que o conceito de matriz apresentado no presente texto ressalta a a¸ cão da fun¸caõ ordenadora φ e, por isto, utiliza uma simbologia mais coerente com este enfoque. Cabe, ainda, lembrar que, ao se representar um conjunto ordenado, n˜ ao é exigido que se informe o valor final assumido por cada um dos indicadores. Logo, s˜ ao absolutamente corretas,

|

·

· ·

j por exemplo, as representa¸cões simplificadas (ai ), ao invés de (ai )m es i=1 e (ai ), ao inv´ de (ai j )m,n i=1, j =1 . Conforme j´ a afirmado, o indicador a` esquerda (ou a` direita), na representa¸caõ escolhida para o elemento do conjunto A, em geral tem algum outro significado especial al´ em de, na forma matricial, fornecer a linha (ou a coluna) a que o elemento pertence. No exemplo anterior, o significado especial era ser o valor do numerador do quociente, independentemente de qual fosse a letra usada para simbolizar tal valor e, também, independentemente deste indicador ser um ´ındice ou um super´ındice. Porém, o significado especial pode, também, determinar se o indicador é ´ındice ou super´ındice, conforme, por exemplo, ser´ a mostrado na defini¸caõ de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15.

5

No exemplo anterior, se i fosse o numerador e j o denominador do quociente, i seria a letra usada no indicador a` esquerda e j naquele da direita, logo o par ordenado seria (i, j). Ao se trocar (i, j) por ( j, i), se troca an´ aloga n˜ ao fosse efetuada no quociT

ente a fun¸cão ordenadora, φ, seria transformada na fun¸cão ordenadora φ, a qual será apresentada na defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Esta troca de fun¸ cões T i

l, j =l ordenadoras produziria a j = ai j m,n es de a j i = ai j ii= i=1, j =1 , ao inv´ =1, j =1 . De um modo geral, as letras usadas nos dois indicadores aparecem em diversas express˜ oes envolvidas no desenvolvimento matem´ a tico ao qual a matriz se relaciona e, ao se trocar (i, j) por l, j =l ( j, i), para se obter a j i = a i j ii= aloga deve ser efetuada em tais express˜ oes. =1, j =1 troca an´ Se for esquecida a necess´ aria troca em alguma das express˜ oes envolvidas, provavelmente um erro grave ser´ a cometido. Aconselha-se, ent˜ ao, muita cautela no uso de igualdades, j i para m = n, do tipo [ai ] = [a j ].

|

|

|

Defini¸ca õ 1.1.3 (Delta de Kronecker) O delta de Kronecker, representado por j δ i j , δ i , δ i j ou δ i j , é um real nulo sempre que i = j, mas igual a` unidade se i = j. Entretanto, pressup˜ oe-se que as possibilidades de igualdade e desigualdade entre os indicadores i e j se refiram a`s grandezas que estes indicadores representam, o que cria a exigência de que as mencionadas grandezas sejam compar´ aveis, na teoria considerada. Em geral, a satisfa¸caõ desta exigência é subentendida, mas em alguns casos pode ser conveniente explicit´ a-la, como por exemplo na defini¸caõ de matrizes transposta e inversa ´ evidente que o fato dos indicadores serem ´ındices ou super´ındices, ou mesmo 1.1.4. E estarem a` esquerda ou a` direita, n˜ ao afeta o valor do delta de Kronecker, ao contr´ ario do que, por exemplo, será mostrado na defini¸caõ de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15.



Defini¸ca õ 1.1.4 (Matrizes Transposta e Inversa) Seja um conjunto A e sejam os conjuntos I e J , respectivamente formados pelos m e pelos n primeiros inteiros positivos. Suponha que exista uma fun¸caõ φ : I J A tal que, i I e j J , tenha-se j

× →

j

∀ ∈

∀ ∈

T

→ a | a ∈ A. Suponha, também, que exista uma outra fun¸cão φ: J × I → A tal que, ∀ j ∈ J e ∀ i ∈ I , tenha-se φ: ( j, i) →a | a = a . Enquanto a fun¸cão φ φ : (i, j)

i

i

T i j T

T

cria o conjunto ordenado

(ai j )m,n i=1, j =1 ,

T i j

j

i

a fun¸cão φ cria o conjunto ordenado

sendo o primeiro conjunto geometricamente representado pela matriz

  T

segundo pela matriz retangular a j que a matriz

  T i a j

i

  T i a j

n,m

,

j =1, i=1 retangular [ai j ] e o

. A matriz [ai j] tem m linhas e n colunas, enquanto j T

apresenta n linhas e m colunas. Define-se [ai ]

≡  T i a j

, sendo [ai j ]T

denominada a transposta da matriz [ai j ]. i Note que, embora tanto [ai j ]T quanto [a j ] apresentem n linhas e m colunas, [ai j ]T =



[a j i ]. De fato, conforme colocado na defini¸ cão 1.1.2, [ai j ] e [a j i ] sã o iguais nas suas respectivas partes quadradas, mas nas suas respectivas partes restantes todos os elementos de cada uma das duas matrizes s˜ ao diferentes daqueles apresentados pela outra. Ao j j T contr´ ario, [ai ] e [ai ] nã o são iguais nas suas respectivas partes quadradas, mas todos os elementos de [ai j ] estão presentes em [ai j ]T e v.v. Note, ainda, que esta n˜ ao é a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta, que ser´ a apresentada posteriormente 6

(defini¸cão 1.2.17). A partir deste ponto do texto e até ao final desta defini¸ cão 1.1.4, imponha m = n. Assim sendo, se [ai j ] = [ai j ]T a matriz é dita simétrica, enquanto que, se [ai j ] = [ai j ]T , a matriz é chamada antissim´ etrica . j j −1 A matriz inversa de [ai ], grafada [ai ] e definida de modo a que [ai j ]−1 [ai j ] = [ai j ][ai j ]−1 = [1], onde [1] é a matriz unidade, corresponde a um ordenamento de ele-

−

−1

× I → A tal que, ∀ j ∈ J e ∀i ∈ I , = δ , portanto [a ] ≡ a .

mentos do conjunto A produzido pela fun¸caõ φ : J −1

tenha-se φ : ( j, i)

−1

→

a j

i

|

−1

i

k

i j −1 a ak j

k

a j ai = δ j ,

k

i



i

j −1

  −1 i j

Esta coloca¸caõ explicita a exigência de que o conjunto A contenha tanto os elementos T i

−1 i

j j ai , quanto os elementos a j . Note que, como a j = a i , os elementos de [ai j ] e [ai j ]T j são os mesmos, logo é suficiente que [ai ] exista para que [ai j ]T exista. Por outro lado, j não é suficiente que [ai ] exista para que [ai j ]−1 exista, porque n˜ a o h´ a garantia alguma

−1 i

de que existam os elementos a j , logo, de que exista algum conjunto A que contenha −1 i

tanto os elementos a i ,j quanto os elementos a j . A matriz [ai j ] é dita singular quando [ai j ]−1 não existir e é dita ortogonal quando [ai j ]T = [ai j ]−1 . A escolha da matriz [ai j] foi totalmente arbitr´ a ria. Semelhantemente ao que foi apresentado para transposi¸ caõ, simetria, antissimetria, invers˜ ao, singularidade e ortogoj nalidade da matriz [ai ], definem-se transposi¸co˜es, simetrias, antissimetrias, invers˜ oes, singularidades e ortogonalidades das matrizes [ai j ], [ai j ] e [ai j ]. De acordo com a defini¸cão de matriz 1.1.2, o indicador a` esquerda (ou a` direita) na representa¸caõ escolhida para o elemento do conjunto A, independentemente deste indicador ser um ´ındice ou um super´ındice e, também, independentemente de qual seja a letra usada para simbolizar o seu valor, em geral tal indicador tem algum outro significado especial além de, na representa¸caõ matricial, indicar a linha (ou a coluna) a que pertence o elemento. De fato, no exemplo fornecido pela defini¸cão 1.1.2, o significado especial do indicador a` esquerda era referir-se ao numerador do quociente. Deve-se ressaltar que as defini¸co˜es apresentadas para matriz transposta e para matriz inversa, respectivamente

T i a j = a i j

e



−1 i

a j ai k = δ j k ,

−1 i ak j a j = δ k i



, indicam que, ao

se efetuar a transposi¸caõ ou a invers˜ ao, os mencionados significados especiais dos dois indicadores s˜ ao trocados entre si. No caso da primeira igualdade, para matriz transposta, a troca é evidente. No caso das ultimas ´ duas igualdades, para evidenciar a troca faz-se necessário informar que a defini¸cão de matriz inversa subentende que sejam considerados compará veis, em termos de δ j k e δ k i (veja a defini¸caõ de delta de Kronecker 1.1.3), somente indicadores que apresentem o mesmo significado especial. Define-se, ainda, a j −T

matriz inversa transposta [ai ]

      ≡ −T j

ai

=

T −1 i

a j

=

−1 T i a j ,

cujos significa-

dos especiais dos dois indicadores s˜ ao os mesmos da matriz original. Evidentemente, defini¸co˜es an´ alogas existem para as matrizes [ai j ], [ai j ] e [ai j ].

7

´ Algebra Linear

1.2 1.2.1

Espa¸co Vetorial

Defini¸ca õ 1.2.1 (Espa¸co Vetorial Real) Um espa¸co vetorial real V é um conjunto que dispõe de duas opera¸co˜es: I. v + u V se v V e u V (adi¸cão) e

∈

∈

∈ II. αv ∈ V se v ∈ V e α ∈  (multiplica¸caõ escalar), as quais satisfazem as seguintes regras: ∀ (u, v, w) ∈ V e ∀(α, β ) ∈ , 1. v + u = u + v (comutatividade da adi¸caõ). 2. v + (u + w) = (u + v) + w (associatividade da adi¸cão). 3.

∃0 ∈ V tal que v + 0 = v, chamado vetor nulo e representado do mesmo modo que o escalar nulo, este u´ltimo denominado zero (defini¸caõ do vetor nulo).

4.

∀v ∈ V ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = 0 (operacionalidade da adi¸cão).

5. α(β v) = (αβ )v (associatividade escalar da multiplica¸caõ escalar). 6. (α + β )v = α v + β v (distributividade escalar da multiplica¸ caõ escalar). 7. α(v + u) = α v + αu (distributividade vetorial da multiplica¸caõ escalar). 8. 1v = v , onde 1 é o escalar um (operacionalidade da multiplica¸ caõ escalar). Usando o conceito de diferen¸ca entre n´ umeros reais, é estabelecido o conceito de continuidade em . Logo, a opera¸caõ multiplica¸caõ escalar implica em que qualquer espa¸co vetorial real contenha infinitos vetores, sendo cont´ınua a varia¸ cão entre eles. Estabelecese, assim, o conceito de continuidade em espa¸co vetorial. Note ainda que, de acordo com a presente defini¸caõ, é um espa¸co vetorial.





Defini¸ca õ 1.2.2 (Base) Um conjunto de vetores (ci )ni=1 é denominado uma base do espa¸co vetorial real V se e somente se

∀a , . . . , a ∈ , se a c + . . . + a c = 0 então a = . . . = a = 0, logo, 1

1 1

n

1

n n

n

(1) h´ a independˆ encia linear entre os elementos de (ci )ni=1 1

n

∀u ∈ V tem-se u c + . . . + u c 1

n

= u , onde u 1 , . . . , un

e

∈ , logo,

(2) o conjunto ordenado (ci )ni=1 abrange o espa¸co V . Neste texto, os vetores de base ser˜ ao representados por ci (ci )ni=1 ou di (di )ni=1 . Perceba que, ao contr´ ario do que ocorre com o indicador i = 1, . . . , n, o uso subentendido da nota¸caõ de Einstein 1.1.2 nã o implica em que un cn seja um somatório, porque n apresenta um uńico valor.

∈

8

∈

Defini¸ca õ 1.2.3 (Componente) De acordo com a defini¸caõ de base 1.2.2, se (ci )ni=1 for uma base de V e u V , então u = ui ci . Cada elemento ui (ui )ni=1 , denominado componente de u, é bem definido em rela¸caõ a` base (ci )ni=1 .

∈

∈

Defini¸ca õ 1.2.4 (Dimens˜ ao de Espa¸co Vetorial Real) Um espa¸co vetorial real pode ter muitas bases, mas todas elas contém o mesmo n´ umero de elementos. Tal n´ umero é chamado dimens˜ ao se trate da ao, cuja representa¸c˜ ao é dim. Note que, mesmo que n˜ dimensão de um espa¸co vetorial real, mas sim da dimensão de alguma outra grandeza, o s´ımbolo é este. Por exemplo, se (ci )ni=1 for uma base de V , então dim V = n. Neste texto ao finita . somente ser˜ ao considerados espa¸cos vetoriais reais de dimens˜

1.2.2

Produto Interno de Vetores

Defini¸ca õ 1.2.5 (Produto Interno de Vetores) O produto interno é uma fun¸caõ g : V V com as seguintes propriedades: u, v, w V e α ,

× → 

∀

∈

∀ ∈ 

1. g(u, v) = g(v, u) (simetria), 2. g(u + αv, w) = g(u, w) + αg(v, w) (por causa da simetria, bilinearidade, ao invés de apenas linearidade, de acordo com a defini¸caõ 1.2.10, adiante),



3. g(u, u) > 0 se u = 0 (defini¸ cão positiva).

Coment´ ario 1.2.1 (Espa¸co Vetorial Real com Produto Interno) Um espa¸co vetorial para o qual exista uma fun¸caõ g : V V bilinear, simétrica e de defini¸caõ positiva é denominado espa¸co vetorial com produto interno. Neste texto ser˜ ao considerados apenas espa¸cos vetoriais reais com produtos internos .

× → 

Defini¸ca õ 1.2.6 (Espa¸co Vetorial Euclideano) De acordo com a defini¸caõ de produto interno 1.2.5, o produto interno é qualquer fun¸ cão g : V V bilinear, simétrica e de defini¸caõ positiva. Se existir uma uńica e bem determinada, entre tais fun¸cões, por meio da qual u V , sendo V um espa¸co vetorial real de dimens˜ a o finita e com produto interno, se defina a norma u = u u, a imagem de tal fun¸cão espec´ıfica ser´ a a mostra a pr´ opria defini¸caõ representada por u v , ao invés de g(u, v), conforme j´ de norma. Neste caso, V será um espa¸co vetorial euclideano. Num espa¸co vetorial euclideano pode-se considerar qualquer vetor como um objeto de comprimento bem definido, comprimento este dado pela norma do vetor considerado. Note que, como n˜ ao há restri¸caõ quanto ao n´ umero finito de dimens˜ oes, a palavra comprimento tem, aqui, um significado generalizado em rela¸cã o ao usual. Se u = 1, u é chamado vetor unidade, o qual é representado por e.

× → 

∀ ∈

·

| | √ ·

| |

Coment´ ario 1.2.2 (Imposi¸c˜ ao aos Espa¸cos Vetoriais) A partir deste ponto do texe euclideano . to, ser´ a subentendida a imposi¸cão de que todo espa¸co vetorial ´ Defini¸ca õ 1.2.7 (Vetor Proje¸c˜ ao) Sendo u , v V ambos não nulos, para a espec´ıfica fun¸caõ produto interno que, de acordo com a defini¸ cão de espa¸co euclideano 1.2.6, define a norma, define-se também o ˆ angulo θ(u, v), entre u e v , por meio de f (θ) = u v/( u v ), u v , o que garante ser onde exige-se obediência a` desigualdade de Schwarz u v

∈

| · | ≤ | || |

9

· | || |

|f (θ)| ≤ 1. Note que esta defini¸caõ da fun¸caõ f não precisa coincidir com a defini¸caõ da fun¸caõ cos. Mas, sempre que esta coincidência ocorrer, para que exista a fun¸ cão arccos impõe-se, adicionalmente, que 0 ≤ θ ≤ π. Ser´ a subentendido, a partir deste ponto do texto, que f = cos e que 0 ≤ θ ≤ π, o que corresponde a` defini¸caõ comum do aˆngulo plano θ. Os vetores u e v são ortogonais se u · v = 0, logo cos θ = 0 e θ = π/2. Todo

vetor apresenta um bem definido aˆngulo em rela¸cã o a cada um dos vetores c1 , . . . , cn de qualquer base (defini¸cão de base 1.2.2) bem determinada do espa¸co considerado. O ao do vetor, em rela¸caõ a` base considerada. Note conjunto destes aˆngulos define a dire¸c˜ que, como θ(u, v) [0, π], neste texto a dire¸caõ, em rela¸cão a determinada base, inclui também o sentido (para um lado, ou para o lado oposto ao primeiro). Entretanto, a dire¸caõ é considerada uma caracter´ıstica do vetor, assim como a sua norma. Em outras palavras, dado um vetor e duas poss´ıveis bases do espa¸ co considerado, os dois correspondentes conjuntos de aˆngulos indicam a mesma dire¸caõ do vetor. Note ainda que, como n˜ a o h´ a restri¸ca˜ o quanto ao n´ umero finito de dimens˜ o es, a palavra dire¸caõ apresenta, aqui, um significado generalizado em rela¸ca˜ o ao usual. A proje¸c˜ ao do vetor v sobre o vetor u é dada por v u/ u = v cos θ(u, v). Considera-se que e = u / u é o vetor unidade na dire¸c˜ ao de u e que (v e)e = v cos θ(u, v)e é o vetor proje¸ca õ de v na dire¸caõ de u.

∈

· || || ·

||

||

Coment´ ario 1.2.3 (Igualdade Entre Vetores) As defini¸cões de espa¸co vetorial euclideano 1.2.6 e de vetor proje¸ cão 1.2.7 indicam que todo vetor é completamente caracterizado por sua norma e sua dire¸caõ. Logo, dois vetores iguais apresentam iguais normas e iguais dire¸co˜es. Nota¸c˜ ao 1.2.1 (Produto Interno de Vetores de Base gi j ) Será usada a representa¸caõ g i j = c i c j , onde (ci , c j ) ( ck )nk=1 , sendo (ck )nk=1 uma base de V , de acordo com a defini¸caõ de base 1.2.2. Usando a defini¸caõ de produto interno 1.2.5, tem-se g i j = g j i .

·

∈

Coment´ ario 1.2.4 (Decomposi¸c˜ ao do Produto Interno de Vetores) De acordo com a defini¸caõ de componente 1.2.3 e com a nota¸ caõ para produto interno de vetores n de base 1.2.1, se (ci )i=1 for uma base de V (defini¸cão de base 1.2.2) e u, w V , então u = u i ci , w = w j c j e u w = g i j ui w j , que é a decomposi¸ca õ do produto interno de vetores (de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, a primeira igualdade subentende um somatório em i, logo subentende n termos no segundo membro, a segunda um somat´ orio em j, logo também subentende n termos no segundo membro, enquanto que a terceira igualdade subentende um somat´ orio em i e um em j, logo n2 termos no segundo membro).

∈

·

1.2.3

Base Dual

Coment´ ario 1.2.5 (Obten¸c˜ ao de Componente) Seja (ci )ni=1 uma base de V . Necessariamente existe um vetor c 1 não nulo e ortogonal a todos os vetores c i ( c j ) jn=2 . Se a proje¸caõ (defini¸caõ de vetor proje¸cão 1.2.7) de c1 sobre o vetor c1 for bem determinada, ent˜ ao c1 será bem determinado. Pode-se, portanto, construir um conjunto de vetores (ci )ni=1 tal que c i c j = δ i j (ou c i c j = δ j ,i porque a comutatividade do produto interno torna indiferente usar δ i j ou δ j i). Note que esta u´ltima igualdade indica que o aˆngulo θ entre c i e c i satisfaz a` desigualdade 0 θ < π/2 e, também, que a pro je¸caõ de cada um

∈

·

·

≤

10

destes dois vetores, sobre o outro, é o inverso da norma deste outro. De acordo com a defini¸caõ de base 1.2.2, u V tem-se u j c j = u, logo ci u = δ i j u j = ui . Portanto, de acordo com a defini¸ cão de componente 1.2.3, obtém-se o i´ esimo componente de u na base (ci )ni=1 efetuando o produto interno dos vetores u e caõ de componente, ci . Convém ressaltar a diferen¸ca entre este procedimento para obten¸ vá lido para uma base qualquer, em rela¸ cão ao procedimento mais conhecido, porém válido exclusivamente para base ortonormal. O coment´ ario 1.2.7, adiante, esclarecer´ aa coerência entre os dois procedimentos.

∀ ∈

·

Defini¸ca õ 1.2.8 (Base Dual) Seja: 1. A combina¸cão linear ai ci = 0, logo (ai ci ) c j = 0, ou ai δ i j = 0, portanto a j = 0. Então, a i ci = 0 se e somente se a i = 0 para i = 1, . . . , n, logo os vetores (ci )ni=1 são linearmente independentes.

·

2. As decomposi¸co˜es (u = u i ci , w = w j c j ) V . Então, de acordo com a nota¸ caõ gi j i j i j para produto interno de vetores de base 1.2.1, u w = g i j u w = g i j u c w, o que indica que u = g i j ui c j . Portanto, u é uma combina¸caõ linear dos vetores presentes no conjunto (ci )ni=1 .

∈

·

·

De acordo com os anteriores itens 1 e 2 e com a defini¸ cã o de base 1.2.2, se (ci )ni=1 for uma base de V , então (ci )ni=1 também será uma base de V . Se (ci )ni=1 e (ci )ni=1 forem duas bases de V relacionadas entre si pela express˜ ao ci c j = δ i j , elas formam um par de bases duais, ou uma é a base dual da outra. Portanto, se u V , então u = ui ci = ui ci , onde ui = gi j u j , de acordo com o item 2 e lembrando que gi j = g j i (nota¸caõ 1.2.1). O componente ui de u (defini¸caõ de componente 1.2.3) passa a ser chamado componente contravariante de u, enquanto que o componente ui será chamado componente covariante de u. Evidentemente, é arbitr´ aria a escolha de qual componente é covariante e qual é contravariante.

·

∈

Coment´ ario 1.2.6 (Fun¸co ˜es gi j e g i j ) Toda base apresenta sua base dual, cada uma delas bem determinada a partir da outra. Assim como, u V , é arbitr´ aria a escolha de qual base corresponde aos componentes covariantes e qual aos componentes contravariantes de u, as express˜ oes matem´ aticas referentes a cada uma, de um par de bases duais, sã o an´ alogas a`s express˜ oes referentes a` outra. Tem-se, ent˜ ao, utilizando o coment´ ario sobre obten¸cão de componente 1.2.5 na primeira linha, a defini¸cão de base dual 1.2.8 na segunda e a nota¸caõ g i j para produto interno de vetores de base 1.2.1 na terceira:

∀ ∈

ui = c i u ui = g i j u j gi j = c i c j

·

·

ui = c i u, onde ui = g i j u j , sendo gi j = c i c j .

·

e e e

·

Note que, de acordo com a segunda linha de equa¸co˜es, as duas fun¸co˜es gi j : u j u i e g i j : u j ui permitem, respectivamente, abaixar e levantar o ´ındice dos componentes de u. Usando esta segunda linha, pode-se escrever

→

→

u = u i ci = g i j u j ci = u j c j , u = u i ci = g i j u j ci = u j c j ,

11

logo logo

c j = g i j ci c j = g i j ci ,

e

o que mostra que estas fun¸co˜es tamb´ em permitem transformar qualquer base na sua base dual. Usando estas u ´ ltimas equa¸cões tem-se

ci = g i j c j = g i j g j k ck = δ i k ck ,

g i j g j k = δ i k .

ou

Nota¸c˜ ao 1.2.2 (Base Dual) Representando por β uma base, sua base dual ser´ a re∗ presentada β . Defini¸ca õ 1.2.9 (Base Ortonormal) Uma base é dita ortogonal se ci c j = 0 quando i = j. Uma base é dita ortonormal se, além disto, ci = 1 i. Neste u ´ltimo caso, de acordo com a defini¸caõ de espa¸co vetorial euclideano 1.2.6, os vetores da base ser˜ ao representados ei , para i = 1, . . . , n.



| |

·

∀

Coment´ ario 1.2.7 (Base Ortonormal Dual) De acordo com a nota¸cão gi j para produto interno de vetores de base 1.2.1 e com as defini¸ cões de delta de Kronecker 1.1.3 e de base ortonormal 1.2.9, numa base ortonormal gi j = δ i j . Usando esta igualdade e a tranforma¸caõ entre bases duais apresentada no coment´ ario 1.2.6, sobre fun¸cões g i j e g i j , tem-se e j = gi j ei = δ i j ei = e j , j. Portanto, uma base ortonormal é idêntica a` sua base dual. Logo, numa base ortonormal n˜ ao existe distin¸cão entre componentes contravariantes e covariantes, todos os ´ındices podem ser escritos no mesmo n´ıvel e obtém-se o i-ésimo componente de u efetuando o produto interno dos vetores ei e u.

∀

1.2.4

Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem

Defini¸ca õ 1.2.10 (Transforma¸c˜ ao n-Linear) A fun¸caõ T : U V é chamada de transforma¸caõ linear do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V se, (u, w) U e α , T (u + αw) = T (u) + αT (w). A fun¸cão T : U U V é chamada de transforma¸ caõ bilinear do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V se, (u1, u2 , w) U e α , T (u1 + α w, u2 ) = T (u1 , u2 ) + αT (w, u2 ) e T (u1 , u2 + αw) = T (u1 , u2 ) + αT (u1 , w). Se, entre estas duas igualdades, apenas uma for v´ alida, a transforma¸cão somente ser´ a linear em rela¸cão a` espec´ıfica variável que sofre combina¸caõ linear na express˜ a o válida. Por isto, toda transforma¸caõ bilinear é uma transforma¸caõ linear T : U U V , mas o vice-versa n˜ ao é verdade. Analogamente, uma transforma¸c˜ ao n-linear T : U n V , do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V , ocorre quando, (u1 , u2, . . . , un , w) U e α , tem-se T (u1 , . . . , ui + α w, . . . , un ) = T (u1 , . . . , ui , . . . , un ) + αT (u1 , . . . , w, . . . , un ), para i = 1, . . . , n. Para n 2, toda transforma¸cão n-linear é uma transforma¸cão (n 1)-linear T : U n V , mas o vice-versa não é verdade. A transforma¸caõ linear aqui apresentada é uma fun¸cão (de imagem) vetorial. Lembrando que, de acordo com a defini¸caõ de espa¸co vetorial 1.1.1, é um espa¸co vetorial, a presente defini¸ cão engloba, como caso particular, n a transforma¸caõ n-linear escalar T : U .



→ ∀

× →

∀

∈

∈

∀ ∈ ∀ ∈ 

× →

→

∀

∈

≥

→



∀ ∈  −

→

Nota¸c˜ ao 1.2.3 (Espa¸co de Transforma¸c˜ ao Linear) O conjunto formado por todas as transforma¸co˜es lineares do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V é um espa¸co de transforma¸c˜ ao linear representado por (U, V ) = T : U V T é linear .

L

12

{

→ |

}

Defini¸ca õ 1.2.11 (Espa¸co Vetorial de Transforma¸ca õ Linear) A defini¸caõ de espa¸co vetorial real 1.2.1 e a nota¸caõ de espa¸co de tranforma¸cão linear 1.2.3 mostram que (U, V ) ser´ a um espa¸co vetorial de transforma¸c˜ ao linear se e somente se, neste conjunto, forem definidas as opera¸ co˜es adi¸cão e multiplica¸cão escalar e tais opera¸co˜es satisfizerem as regras enumeradas de 1 a 8 na defini¸ caõ 1.2.1. Para que isto ocorra é suficiente que, para (T, S ) (U, V ) e α , w U :

L

∈L

∈ ∀ ∈

1. (T + S )(w) = T (w) + S (w) (defini¸cão de adi¸caõ de transforma¸cões lineares) e 2. (αT )(w) = αT (w) (defini¸cão de multiplica¸caõ de transforma¸caõ linear por um escalar).

Defini¸ca õ 1.2.12 (Produto Tensorial de Vetores ou Tensor Simples) v V e U , o produto tensorial de v por u, representado por v u é, por defini¸caõ, u

∀ ∈

∀ ∈

⊗

uma transforma¸caõ linear de U para V tal que, w U , (v u )(w) = (u w )v. A transforma¸caõ linear produto tensorial de dois vetores, representada v u, é também denominada tensor simples. Portanto, um tensor simples é uma espec´ıfica transforma¸ cão linear de um espa¸co vetorial para outro.

∀ ∈

⊗

⊗

·

Teorema 1.2.1 (Base de Espa¸co Vetorial de Transforma¸cão Linear) Se (ci )ni=1 dα )ni=1 αm=1 será uma e (dα )m α=1 forem bases de V e U respectivamente, o conjunto (ci base do espa¸co vetorial de transforma¸caõ linear (U, V ) apresentado na defini¸caõ 1.2.11. m Demonstra¸cao: ˜ Seja (ci )ni=1 a base dual de (ci )ni=1 , (dα )m α=1 a base dual de (dα )α=1 e ai α um escalar. Sejam, também, as opera¸ co˜es adi¸caõ e multiplica¸caõ por escalar apresentadas na defini¸cão de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear 1.2.11. Se ai α ci dα = 0 então, usando as defini¸cõ es de produto tensorial 1.2.12 e de base dual 1.2.8, tem-se ai α (ci d α )(dβ ) = ai α (dα d β )ci = ai α δ αβ ci = ai β ci = 0, o que implica em ai α = 0, para i = 1, . . . , n e α = 1, . . . , m, porque (ci )ni=1 é uma base (defini¸cão de base 1.2.2). Portanto, (ci dα )ni=1 αm=1 é um conjunto de elementos linearmente independentes

⊗

L

∈

⊗

⊗

·

⊗

entre si. Além disto, seja ci T (dα ) = T i α , T (U, V ). Ent˜ ao, v V e u U , v T (u) = v i ci T (uα dα ) = v i uα ci T (dα ) = T i α vi uα . Por outro lado, v (ci dα )(u) = v j c j (ci dα )(uβ dβ ) = v j uβ (c j ci )(dβ dα ) = v j uβ δ ji δ β α = v i uα . Substituindo este resultado na igualdade anterior tem-se v T (u) = T i α v (ci dα )(u), logo T (u) = T i α (ci dα )(u). Portanto, (ci dα )ni=1 αm=1 abrange o espa¸co (U, V ). Logo, de acordo com a defini¸caõ de

·

⊗

·

·

⊗ base 1.2.2, (c ⊗ d ) i

·

n m α i=1 α=1

·

·

∀ ∈ L

∀ ∈ · ⊗

·

· ⊗ L é uma base de L(U, V ).

∀ ∈

·

⊗



Coment´ ario 1.2.8 (Decomposi¸c˜ ao de Transforma¸c˜ ao Linear) O teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear) mostra que, embora nem toda transforma¸cão linear entre espa¸cos vetoriais seja um tensor simples (defini¸caõ de produto tensorial 1.2.12), toda transforma¸cão linear entre espa¸cos vetoriais é uma combina¸ caõ linear de tensores simples. Coment´ ario 1.2.9 (Dimens˜ ao de Espa¸co de Transforma¸c˜ ao Linear) De acordo com o teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸ caõ linear) e a defini¸caõ de din m mensão 1.2.4, dim(ci dα )i=1 α=1 = (dim V )(dim U ), logo dim (U, V ) = (dim V )(dim U ).

⊗

L

13

Defini¸ca õ 1.2.13 (Espa¸co de Produto Tensorial) Sempre que o espa¸co de transforma¸cão linear representado, de acordo com a nota¸cão 1.2.3, por (U, V ) = T : U caõ V T é linear for, de acordo com a defini¸caõ 1.2.11, um espa¸co vetorial de transforma¸ linear, (U, V ) poder´ a optativamente ser denominado espa¸co de produto tensorial de V por U e ser representado por V U , ou seja, ter-se-á (U, V ) = V U . Sua

|

L

L

}

⊗

{

L

→

⊗

base (ci dα )ni=1 αm=1 , onde (ci )ni=1 e (d)m ao bases de V e U respectivamente, ser´ a α=1 s˜ α n chamada uma base produto de V U . Evidentemente, (ci d )i=1 αm=1 , (ci dα )ni=1 αm=1 e (ci dα )ni=1 αm=1 também são bases produto de V U .

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

Defini¸ca õ 1.2.14 (Tensor de Segunda Ordem) Toda transforma¸caõ linear T no espa¸co de produto tensorial V V (defini¸caõ 1.2.13) é denominada um tensor de segunda ordem.

⊗

Defini¸ca õ 1.2.15 (Componente Assoc. de Tensor de Segunda Ordem) Sejam (ci ) e (ci ) um par de bases duais de V . Então, um tensor de segunda ordem T no espa¸co de produto tensorial V V pode ser representado em termos de qualquer uma entre as quatro bases produto (ci c j ), (ci c j ), (ci c j ) e (ci c j ), de V V . Geralmente, os componentes de T associados a uma destas bases diferir˜ ao dos componentes associados às outras, usando-se a simbologia T = T i j ci c j = T i j ci c j = T i j ci c j = T i j ci c j , onde os escalares T i j , T i j , T i j e T i j sã o os componentes associados de T . O componente associado contravariante é T i j , o componente associado covariante é T i j , ´ importante distinguir enquanto que T i j e T i j são componentes associados mistos. E não apenas o n´ıvel (em cima ou em baixo) mas também a posi¸ cão relativa (` a direita ou a` esquerda) dos ´ındices e super´ındices dos componentes de T . De fato, em geral T i j = T j i . Note que, no teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸caõ linear), para T (U, V ), (U, V ) = V U (defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13), u U , (ci ) uma base de V e (dα ) uma base de U , considerou-se T (u) = T i α (ci dα)(u).Houve, portanto, coerência com a simbologia aqui adotada para componente associado de tensor de segunda ordem. Entretanto, tomou-se o cuidado de substituir a letra c , com ´ındice em letra romana, pela letra d, com ´ındice em letra grega, para sublinhar que tratava-se de bases de espa¸cos vetoriais diferentes, ao contr´ ario do que ocorre com o tensor de segunda ordem (defini¸cão de tensor de segunda ordem 1.2.14).

⊗ ⊗

⊗

⊗

⊗ ⊗

⊗

⊗ ⊗

⊗



∈ L

L

⊗

∈

⊗

Coment´ ario 1.2.10 (C´ alculo de Componente Assoc. de Tensor) Sejam (ci ) e i (c ) um par de bases duais de V e seja T um tensor de segunda ordem no espa¸ c o de produto tensorial V V . Então, T i j = c i T (c j ), T i j = c i T (c j ), T i j = c i T (c j ) e T i j = ci T (c j ). De fato, cm T (cn ) = cm (T i j ci c j )(cn ) = T i j (ci cm )(c j cn ) = T i j δ i m δ j n = T m n, onde usaram-se seguidamente as defini¸co˜es de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15 (primeira igualdade), produto tensorial 1.2.12 (segunda igualdade) e base dual 1.2.8 (terceira igualdade). Analogamente para T i j , T i j e ´ importante notar que o indicador a` direita, em T i j , T i j , T i j e T i j , é sempre o T i j . E

·

⊗

·

·

·

⊗

·

·

·

·

vetor da direita no tensor simples pertencente ao conjunto de base, que também é o vetor ao qual é aplicada a transforma¸caõ T , na express˜ a o para o c´ alculo do componente de T associado a` base considerada.

14

Note que, no teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸caõ linear), para T (U, V ), (U, V ) = V U (defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13), u U , (ci ) uma base de V e (dα ) uma base de U , mostrou-se que ci T (dα ) = T i α implica em T (u) = T i α (ci dα )(u). Isto é coerente com o c´ alculo de componente associado de tensor de segunda ordem aqui apresentado e com o segundo par´ agrafo da defini¸cã o de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15.

∈ L

L

⊗

∈

·

⊗

Nota¸c˜ ao 1.2.4 (Tensor de Segunda Ordem como uma Matriz) De acordo com a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, as matrizes ˜es matriciais do tensor T em rela¸caõ [T i j ], [T i j ], [T i j ] e [T i j ] sã o as representa¸co às correspondentes bases produto. Portanto, um tensor de segunda ordem pertencente ao espa¸co V V pode ser representado por matrizes quadradas de dimens˜ ao dim V . Coerentemente com a defini¸ cão de matriz 1.1.2, nestas representa¸cões o indicador mais à esquerda se refere a` linha e o mais à direita fornece a coluna, independentemente de se tratar de ´ındice ou super´ındice. Além disto, o indicador a` esquerda tem o significado especial de apontar o vetor tamb´ em a` esquerda, na base produto a` qual o componente se associa, enquanto que o indicador a` direita se relaciona ao vetor tamb´ em a` direita. De acordo com o coment´ ario 1.2.10 (c´ alculo de componente associado de tensor de segunda ordem), pode-se também afirmar que o indicador a` direita mostra qual é o vetor ao qual é aplicada a transforma¸caõ T , na express˜ a o para o c´ alculo do componente de T associado a` base escolhida. Por outro lado, o fato de cada indicador ser um ´ındice ou um super´ındice informa quanto ao componente considerado ser contravariante, covariante ou mixto. Logo, se A for o conjunto de todos os poss´ıveis componentes do tensor de segunda ordem T , associados a bases do espa¸co V V , enquanto que I e J forem dois conjuntos, cada um deles formado pelos primeiros m números naturais, ent˜ ao a fun¸caõ ordenadora φ : I J A fornece os significados (esquerda-direita) e (em cima-em baixo) de ambos os dois indicadores, significados estes que n˜ ao dependem da letra utilizada para simbolizar o valor de cada indicador. Igualdades, como a exemplificada por [T i j ] = [T j i ], são portanto corretas e correspondem, na base produto associada ao componente em foco, a` mesma troca de indicadores. De fato, para o componente misto usado como exemplo, no caso do primeiro membro da igualdade a base produto deve ser escrita (ci c j ), enquanto que, para o segundo membro, ela deve ser anotada (c j ci ). Note que as duas grafias representam exatamente a mesma base produto, o que garante a igualdade. Em outras palavras, o elemento de matriz T 3 5 , por exemplo, é exatamente o mesmo, independentemente de 3 ser o valor tomado por i I e 5 ser atribu´ıdo a j J , ou v.v. Mesmo assim, aconselha-se muita cautela no uso da igualdade [T i j ] = [T j i ], por causa das raz˜ oes já apontadas na defini¸caõ de matriz 1.1.2. Note também que, de acordo com a defini¸ cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4, geralmente as representa¸ co˜es matriciais de um tensor de segunda ordem não são nem simétricas, nem antissimétricas (por exemplo, T 3 5 = T 5 3 e T 3 5 = T 5 3 ).

⊗

⊗

× →

⊗

⊗

∈

∈



 −

Coment´ ario 1.2.11 (Componente Associado de Tensor Simples) Considerando o coment´ ario 1.2.10 (c´ alculo de componente associado de tensor de segunda ordem), para (v, u) V e T = u v tem-se (u v )i j = ci ( u v )(c j ). Mas, usando a defini¸caõ de tensor simples 1.2.12 tem-se ci (u v)(c j ) = ci (v c j )u. Decom-

∈

⊗

⊗

15

· ⊗

· ⊗

· ·

pondo antes o vetor v e, depois, também em o vetor u em suas respectivas componentes contravariantes, de acordo com a defini¸ c˜ cao aõ de base dual 1.2.8, tem-se ci ( v c j )u = ( v k ck c j )u = ci (v ( v k δ k j )u = v j ci u = uk ck v j ci = uk v j δ k i = ui v j . Po Portan rtanto, to, ci (v (u v)i j = ui v j e, de acordo com a defini¸c˜ cao aõ 1.2.15 de componente associado contravariante T i j de tensor de segunda ordem, u v = (u v)i j ci c j = ui v j ci c j . componen ntes associad associados os dos tentenAs seguin seguintes tes igualda igualdades, des, portant portanto, o, definem definem os compone i j j i i j i sores sores simple simpless u v = u v ci c j = ui v c c j = u v j ci c = ui v j c c j e = v i u j ci c j = v i u j ci c j = v i u j ci c j = v i u j ci c j . v u = v Logo, de acordo com a nota¸ c˜ cão ao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, no caso covariante a representa¸c˜ c˜ ao ao matricial matric ial de um tensor simples simple s pode ser escrita

· ⊗

⊗

·

·

·

· ·

·

⊗

⊗

⊗

[(v

[(u

portanto

⊗

⊗

⊗ u)

i j]

⊗ v)

i j]

=

=

     

[(u

⊗

⊗

⊗

⊗

v1u1 v1 u2 v1 u3 . . . v1 un v2u1 v2 u2 v2 u3 . . . v2 un v3u1 v3 u2 v3 u3 . . . v3 un .. . vn u1 vn u2 vn u3 . . . vn un u1v1 u1 v2 u1 v3 . . . u1 vn u2v1 u2 v2 u2 v3 . . . u2 vn u3v1 u3 v2 u3 v3 . . . u3 vn .. . un v1 un v2 un v3 . . . un vn

⊗ v)

i j]

= [(v

T i j]

⊗ u)

⊗

⊗

⊗

     

⊗

e

,

,

onde utilizou-se a representa¸c˜ cão ao para matriz transposta colocada na defini¸ cão ao de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Isto evidencia que, geralmente, v u = u v. Mesmo para base ortonormal esta desigualdade em geral persiste mas, de acordo com o coment´ ario i j i j 1.2.7 (base ortonormal dual), neste caso ci c j = c c j = ci c = c c . Por isto, para os componentes associados dos tensores simples em base ortonormal , tem-se ui v j = ui v j = ui v j = ui v j e v i u j = v i u j = vi u j = vi u j (embora ui v j = v i u j , basta escrever um entre estes dois ultimos ´ conjuntos de igualdades, porque a permuta¸c˜ cao aõ entre i e j transforma um conjunto no outro).

⊗  ⊗ ⊗ ⊗

⊗

⊗



Coment´ ario 1.2.12 (Transforma¸c˜ ario c˜ ao ao Escalar Escala r Bilinear Biline ar e Tensor) Seja (u, v) V e seja o tensor de segunda ordem T V V . V . Seja (ci ) uma base de V . V . De acor acordo do com a defini¸c˜ cao aõ de base dual 1.2.8, tem-se u = u = u i ci = u i ci e v = v = v i ci = v i ci. Usando o coment´ ario ario 1.2.10, para o cálculo alculo de componentes associados associados de tensor de segunda ordem, tem-se ent˜ ao ao u T ( T (v) = ui v j T i j = ui v j T i j = ui v j T i j = ui v j T i j . Seja, também em representada representada por T por T ,, a transforma¸c˜ cão ao escalar bilinear bilinear (defini¸c˜ cao aõ de transforma¸c˜ cao n aõ n-linear -linear 1.2.10) T : (u, v) u T ( T (v), a qual, sempre que seu argumento for um par ordenado de vetores pertencentes p ertencentes a alguma poss´ poss´ıvel base do espa¸ co vetorial V , V , produz como imagem o correspondente componente associado do tensor de segunda ordem T V V . V . Logo, de acordo com a defini¸ c˜ cao aõ de tensor de segunda ordem 1.2.14, a toda transforma¸c˜ cão ao linear T no no espa¸co co de produto tensorial tensorial V V , V , a qual qu al é uma transf t ransforma¸ orma¸c˜ cao aõ linear

∈

∈ ⊗

·

∈

→ ·

∈ ∈ ⊗ ⊗

⊗

16

c˜ ao ao escala esc alarr bilinea bil inearr T : V V T : V V , V , corresponde uma transforma¸c˜ que define os componentes associados de T em T em qualquer base de V , V , porque T ( T (u, v) = u T ( T (v) e vice-versa vice-versa.. Pa Para ra (u, v, u , v ) V V e considerando T = u v , pode-se ent˜ ao ao escrever (u v )(u, v) = u (u v )(v) logo, usando a defini¸c˜ cao aõ de produto tensorial 1.2.12, (u v )(u, v) = (u u )(v v ) , o que mostra que u v é uma transf tra nsform orma¸ a¸c˜ cao aõ escalar bilinear T : V V . Além em disto, se (u, v) for um par ordenado de vetores pertencentes a alguma poss´ poss´ıvel base do espa¸ co co vetorial vetorial V V ,, (u u )(v v ) ser´ a o correspondente   componente associado de u v , conforme mostrado no coment´ ario ario 1.2.11 (componente associado de tensor simples).

→

× × → 

⊗ ⊗

·

∈

· × × → 

⊗

⊗ · ∈

⊗ ·

⊗

·

·

Defini¸c˜ cao a õ 1.2.16 (Transforma¸c˜ c˜ ao ao Tensori ens orial al Identidad Ident idade) e) A transforma¸c˜ cão ao tenen cão ao 1.2.14, represorial identidade é um tensor de segunda ordem, conforme a defini¸ sentado por 1 e tal que 1 (v) = v . Note que, enquanto o tensor identidade 1 V V , V , o escalar unidade 1 .

∈ ⊗ ⊗

∈

Coment´ ario 1.2.13 (Componente Associado do Tensor Identidade) De acordo ario com a defini¸c˜ cao aõ de transforma¸ transforma¸c˜ cao aõ tensorial identidade 1.2.16 e o coment´ ario ario 1.2.10 (c´ alcualculo de componente associado de tensor de segunda ordem), tem-se 1 i j = c i 1 (c j ) = c i c j . Mas o coment´ ario ario 1.2.6 (fun¸c˜ cões oes gi j e g i j ) mostra que ci c j = g i j . Logo Logo,, 1 i j = gi j , onde 1 i j é, e, conforme confo rme a defini¸ definic˜ çao aõ de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, o componente associado contravariante do tensor 1 . Po Portan rtanto, to, g i j é o compo com po-nente associado contravariante da transforma¸ cão ao tensorial tensorial identida identidade. de. Po Porr outro outro lado, lado, cão ao de base dual 1.2.8 mostra que c i c j = δ i j . Por1 i j = c i 1 (c j ) = c i c j . Mas a defini¸c˜ tanto, tem-se 1 i j = δ i j para este componente associado misto da transforma¸ cão ao tensorial tensorial

·

·

·

·

·

·

identidade. identidade. Analogament Analogamente, e, para o outro componente associado misto tem-se 1i j = δ i j e, para o componente associado covariante, 1i j = g i j . Pode-se ent˜ ao ao escrever 1 = 1 i j ci c j = 1 i j ci c j = 1i j ci

⊗ c ⊗c

⊗ c ⊗ c .

⊗c

j

= 1i j ci

j

⊗ c , ou

i j = δ i j ci c j = δ i j i Note, Note, portan portanto to,, que que apenas apenas a j = gi j representa¸c˜ cão ao matricial dos conjuntos de componentes associados mistos do tensor iden-

1 = g i j ci

⊗ c

j

⊗

j tidade, respectivamente representados por 1 i j e por 1i , coincide com a matriz unidade,

simbolizada [1]. Logo, [1 i j ] = [1] e [1i ]j = [1], mas [ 1 i j ] = [g i j ] = [1] e [1i j ] = [gi j ] = [1]. Note, tamb´ também, em, que as matrizes [1 i j ] = [gi j ] e [1i j ] = [gi j ] são ao simétricas, etricas, de acordo com a defini¸c˜ cao aõ de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Logo, nas quatro representa¸ c˜ coes o˜es matriciais do tensor identidade n˜ ao ao apenas se pode po de trocar os indicadore indicadoress i e j , conforme colocado na nota¸c˜ cao aõ matricial matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, como tamb´ também em cada representa¸c˜ cão ao é igua ig uall a` sua transposta, ao contr´ ario do que geralmente ocorre. ario



1.2. 1.2.5 5



Tra rans nspos posi¸ i¸ c˜ cao a õ de Tensor ensor Simple Simples, s, de Segund Segunda a Ordem Ordem e Troca entre Índice Indi ce e Super Sup er´ ´ındice ındi ce

cao aõ liDefini¸c˜ cao a õ 1.2.17 (Transforma¸c˜ c˜ ao ao Linear Lin ear Transpo rans posta) sta) Para toda transforma¸c˜ T near A V U , U , define-se a correspondente transforma¸ c˜ cão ao linear A U V , V , denominada transforma¸c˜ U , ocorra cao a õ linear transposta de A, tal que, v V e u U , T v A(u) = u A (v) (veja a defini¸c˜ cão ao de espa¸co co de produto tensorial 1.2.13 para notar

·

∈ ⊗ ·

∀ ∈

17

∈ ⊗ ⊗ ∀ ∈

que, por defini¸c˜ cão, ao, A age sobre u e AT sobre v). Sublinh Sublinhe-s e-see que esta é a defini¸ defini¸ c˜ cao aõ da transposi¸c˜ cao aõ de uma transforma¸c˜ cao aõ linear, cujo efeito não ao é, e, necessariamente, o de transpor a matriz que represente um conjunto de componentes associados a` mencionada transforma¸c˜ cao aõ linear (a defini¸c˜ cao ão 1.1.4 se refere a` transposi¸c˜ cão a o e a` invers˜ ao ao de matrizes).

Coment´ ario ario 1.2.14 (gi j ou g i j Aplicado a Componente de Tensor) Conforme o coment´ ario ario 1.2.6 (fun¸c˜ cões oes gi j e g i j ), a fun¸c˜ cão ao g i j levanta levanta o ´ındice de um componente de um vetor vetor,, enqu enquan anto to que que a fun¸ fun¸ cão ao gi j abaixa o ´ındice ındice de um componen componente te de um vetor. Sem mudar a posi¸c˜ cão ao relativa, a` direita ou à esquerda, esquer da, dos ´ındices ındice s e super sup er´´ındices, ındic es, estas fun¸c˜ coes o˜es apresentam efeito an´ alogo sobre os componentes associados de um tensor alogo de qualquer ordem T . T . Po Porta rtan nto, T i j = gk j T i k = gi k T k j , T i j = gi k T k j = g k j T i k , k De fato, de acordo com o coment´ ario ario T i j = g k j T i k = g i k T k j e T i j = g i k T k j = g k j T i . 1.2.10 (c´ alculo de componentes associados de tensor de segunda ordem), tem-se g alculo tem-se gk j T i k = gk j ci T ( T (ck ) = g k j ck T T (ci ) = c j T T (ci ) = c i T ( T (c j ) = T i j , onde foi usada a defini¸c˜ cão ao de transforma¸c˜ cao aõ linear transposta 1.2.17 na segunda e quarta igualdades. igualdades. Demonstra¸ Demonstra¸ cões oes análogas alogas podem ser feitas nos demais casos. Usando a nota¸c˜ cão ao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4 tanto para o tensor T como, de acordo com o coment´ ario 1.2.13 (componente associado do tensor identidade), ario tamb´ também em para o tensor identidade, identidade, tem-se ent˜ ao a seguinte tabela, na qual cada linha contém em uma express˜ expre ss˜ ao tensorial e uma express˜ ao ao matricial com o mesmo significado, ao porque o indicador k representa o mesmo somat´ orio, tanto de acordo com a nota¸ orio, c˜ cao aõ de Einstein 1.1.2, como em rela¸c˜ cão ao as a`s regras elementares de multiplica¸c˜ cao aõ matricial:

·

·

·

·

T i j = g k j T i k = g i k T k j

ou

[T i j ] = [T i k ][g ][gk j ] = [g i k ][T ][T k j ] ,

T i j = g i k T k j = g k j T i k T i j = g k j T i k = g i k T k j T i j = g i k T k j = g k j T i k

ou ou ou

[T i j ] = [gi k ][T ][T k j ] = [T i k ][g ][g k j ] , [T i j ] = [T i k ][g ][g k j ] = [g i k ][T ][T k j ] e [T i j ] = [gi k ][T ][T k j ] = [T i k ][g ][gk j ] .

∈

Coment´ ario 1.2.15 (Transposi¸c˜ ario cao a õ de Tensor Simples) Para (u, w1 ) U e (v, w2 ) V , V , de acordo com a defini¸c˜ cao aõ de transforma¸ transforma¸ c˜ cao aõ linear transposta 1.2.17 tem-se w1 (v T u) (w2 ) = w 2 (v u)(w1 ) = (w2 v)(u w1 ) = w 1 (u v)(w2 ), onde foi usada a defini¸c˜ cao aõ T de produto tensorial 1.2.12. 1.2.12. Logo, para o tensor simples u v tem-se que (v u) = u v ou, de acordo com a nota¸ c˜ cão ao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, em termos das respectivas representa¸c˜ coes o˜es matriciais dos conjuntos de componentes associados, por exemplo escolhidos covariantes, [(v u)iT j ] = [(u v)i j ]. Mas, de acordo com o coment´ coment´ ario T 1.2.11 (componente associado de tensor simples), tem-se [(u v)i j ] = [(v u)i j ] . A compara¸c˜ cao ão entre as duas ultimas u ´ltimas igualdades mostra que [(v u)iT j ] = [(v u)i j ]T , ou seja, para um tensor simples, transpor a transforma¸ c˜ cão ao linear implica em transpor a matriz matriz que a represent representa. a. No coment´ coment´ ario 1.2.16 ver-se-á que, na transposi¸c˜ cao aõ de tensor de segunda ordem, em geral isto n˜ ao ao ocorre.

∈

· ⊗

·

·

· ⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗ ⊗

· ⊗ ⊗

⊗ ⊗

Coment´ ario 1.2.16 (Transposi¸c˜ ario cao a õ de Tensor de Segunda Ordem) Se A for um tensor de segunda ordem em V V , V , demonstra-se demonstra-se a existˆ existência encia das seguintes seguintes rela¸ cões oes j ij i entre os componentes de A de A,, grafados A grafados A , A j , A , A i e A i j , respectivament respectivamentee associados as a`s

⊗

18

T j i

A = A T j

ij

A

i i = A j

T

i

=

j

i

i

i

j

j

·

·

j

T

i

T j i

T

i

T

i

   

j

j

A j = A i = ci A(c ) = c T

A j i = A i j =

i

i

T j

j

j

T

i

i

j

j

T j i

= [(AT ) j i ] , = [(AT ) j i ] e

T

(ci ) = (A )

T

(ci ) = (AT ) j i , logo A j i = [(AT ) j i ] ,

· ·A c · A(c ) = c · A i

T j

   

T j i

= c A(c j ) = c j A (c ) = (A ) j , logo A

j

i

⊗ V simbolizadas por (c ⊗ c ), (c ⊗ c ), (c ⊗ c ) e (c ⊗ c ): c · A(c ) = c · A (c ) = (A ) , logo A = [(A ) ] ,

quatro bases produto de V

i

, logo A j T

onde, em cada linha, usou-se a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4 na primeira igualdade, o coment´ ario 1.2.10 (c´ alculo de componente associado de tensor de segunda ordem) na segunda e na quarta igualdades, a defini¸cão de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 na terceira igualdade e a transforma¸cão em matriz do conjunto inicial de componentes, antes da primeira igualdade, ocorrendo o mesmo com o conjunto final de componentes, ap´ o s a quarta igualdade. Na igualdade matricial que ocorre em cada linha, a defini¸caõ de matrizes transposta e inversa 1.1.4 pode ser aplicada a` matriz no primeiro membro, enquanto que, de acordo com a nota¸caõ matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, a troca dos ´ındices i e j pode ser aplicada a` matriz no segundo membro. Obtém-se assim, respectivamente para cada linha: [A i j ]T = [(AT )i j ] , [A i j ]T = [(AT )i j ] , [A i j ]T = [(AT )i j ] e [A i j ]T = [(AT )i j ] . Portanto, as representa¸ cões matriciais dos componentes associados contravariantes de T A e A são matrizes transpostas uma da outra, o mesmo acontecendo com as representa¸co˜es matriciais dos componentes covariantes. Entretanto, as representa¸ cões matriciais de qualquer um entre os dois componentes associados mistos de A e AT nã o são matrizes transpostas uma da outra.

Defini¸ca õ 1.2.18 (Tensores Simétrico e Antissimétrico) O tensor de segunda ordem S V V é dito simétrico se S T = S e antissim´ etrico se S T = S . Para (u, v) V e usando a defini¸cão de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 tem-se, ent˜ ao, que u S (v) = v S (u) se S for simétrico e u S (v) = v S (u) se S for antissimétrico.

∈ ⊗ ∈ · ·

−

·

− ·

Nota¸c˜ ao 1.2.5 (Subespa¸cos Sim´ etrico e Antissimétrico) Definem-se os subespa¸cos de V V

⊗

T

{ ∈ ⊗ V |S

Sym (V ) = S V

}

= S

e

(Sym de “symmetric” e Skw de “skew-symmetric”). 19

T

{ ∈ ⊗ V |S = −S }

Skw (V ) = S V

Coment´ ario 1.2.17 (Transposi¸ca õ de Tensores Simétrico e Antissimétrico) O comentário 1.2.16 (transposi¸cão de tensor de segunda ordem) mostra que: j j 1. Para S Sym (V ) tem-se [S i j ]T = [S i j ] , [S i j ]T = [S i ] , [S i ]T = [S i j ] e [ S i j ]T = [ S i j ] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja simétrico, somente suas representa¸ cões matriciais contravariante e covariante s˜ ao matrizes simétricas.

∈

2. Para S Skw (V ) tem-se [S i j ]T = [S i j ] , [S i j ]T = [S i j ] , [S i j ]T = [S i j ] e [S i j ]T = [S i j ] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja antissimétrico, somente suas representa¸ cões matriciais contravariante e covariante s˜ ao matrizes antissimétricas.

∈ −

1.2.6

−

−

−

Composi¸ ca õ de Tensores de Segunda Ordem

Defini¸ca õ 1.2.19 (Composi¸ ca õ de Tensores de Segunda Ordem) A composi¸ca õ de tensores de segunda ordem A B é tal que (A B)(v) = A(B(v)), v V . Esta igualdade deixa evidente que a composi¸caõ de tensores de segunda ordem é apenas um caso particular da composi¸caõ de fun¸cões, apresentada na defini¸ cão de fun¸caõ e funcional 1.1.1. Se (A, B) V V , tanto A como B transformam vetores percencentes a V em outros vetores também pertencentes a V . Neste caso, A(B(v)) é um vetor pertencente a V , portanto A B V V . Seja A = A i j ci c j , B = B mn cm cn e v = v k ck . De acordo com a defini¸cão de produto tensorial de vetores 1.2.12 tem-se (cm cn )(v) = v n cm , logo B(v) = B mn v n cm e V (ci c j )(B(v)) = B j n v n ci , portanto A(B(v)) = A i j B j n v n ci . Então, (Ak j B j n v n )dim k=1 é o conjunto dos componentes do vetor (A B)(v) associados a` base (ck ), podendo o vetor (A B)(v) ser representado pela matriz coluna [Ak j B j n v n ], onde o super´ındice k indica a

◦

∈ ⊗ ◦ ∈ ⊗ ⊗

⊗

⊗

◦

∀ ∈

⊗

◦

◦

linha a que se refere o elemento considerado. Por outro lado, as representa¸ cões matriciais j n de A na base (ci c ), B na base (cm c ) e v na base (ck ) são, respectivamente, [Ai j ], [B mn ] e [v k ]. A expressão tensorial (A B)(v) = Ai j B j n v n ci corresponde, portanto, a` express˜ ao matricial [Ai j B j n v n ] = [Ai j ][B j n ][v n ], porque o indicador n representa o mesmo somatório, tanto de acordo com a nota¸ cão de Einstein 1.1.2, como em rela¸cão a`s regras elementares de multiplica¸cão matricial, analogamente acontecendo com o indicador j. A propriedade associativa da multiplica¸cão matricial permite escrever [Ai j B j n v n ] = [Ai j ][B j n ][v n ] = ([Ai j ][B j n ]) [v n ] = [(AB)i n ][v n ]. Como [Ak j B j n v n ] e [v n ] são, respectivamente, as representa¸ co˜es matriciais dos vetores (A B)(v) e v, necessariamente [(AB)i n ] é a representa¸cão matricial do tensor de segunda ordem A B. Logo, a composi¸caõ de tensores de segunda ordem produz um tensor de segunda ordem cuja representa¸caõ matricial é a multiplica¸cão matricial elementar das matrizes que representam os tensores que se comp˜ oem, devendo a ordem da composi¸caõ ser a ordem da multiplica¸caõ. Evidentemente, a conclus˜ ao seria a mesma, caso a base produto usada fosse oui tra. Note, também, que [A j ][B j i ] não é a representa¸caõ de uma composi¸cão, porque

⊗

⊗

◦

◦

◦

[Ai j ][B j i ] = [(AB)i i ] = (AB)i i , ou seja, a ocorrência de duplo somat´ orio (veja a nota¸caõ de Einstein 1.1.2) reduz a matriz a um uńico escalar. Por simplicidade, a não ser quando 20

conste informa¸caõ em contr´ ario, a partir deste ponto do texto a composi¸ caõ de tensores de segunda ordem n˜ ao mais ser´ a escrita A B, mas sim AB.

◦

Coment´ ario 1.2.18 (Composi¸ ca õ com Tensor Simples) Usando as defini¸cões de produto tensorial 1.2.12, de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 e de composi¸ cã o de tensores de segunda ordem 1.2.19, para u U , v V e A V U tem-se:

∈

∈

∈ ⊗

∈ ⊗ ⊗ · · ⊗ ⊗ ⊗ 2. Se w ∈ U , então ((u ⊗ v)A)(w) = (u ⊗ v)(A(w)) = u (v · A(w)) = u (w · A (v)) = (u ⊗ A (v))(w), logo (u ⊗ v)A = u ⊗ A (v). 1. Se w V , então (A(u v))(w) = A((u v)(w)) = A(u(v w)) = A(u)(v w) = (A(u) v)(w), logo A(u v) = A(u) v. T

T

T

Coment´ ario 1.2.19 (Transposi¸ca õ de Composi¸ca õ) Usando a defini¸cã o de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 e a defini¸cão de composi¸caõ de tensores de segunda ordem 1.2.19, se (v, u) V e, além disto, (A, B) V V , tem-se u (AB)(v) = u A(B(v)) = B(v) AT (u) = A T (u) B(v) = v B T (AT (u)) = v (B T AT )(u). Porém u (AB)(v) = v (AB)T (u), logo (AB)T = B T AT .

· ·

·

1.2.7

∈

·

·

·

∈ ⊗

·

·

Tensor de ordem k

Defini¸ca õ 1.2.20 (Tensor de Ordem k) Conforme colocado na defini¸ cão de tensor de 2

⊗ ≡ ⊗

segunda ordem 1.2.14, tal tensor existe no espa¸ co de produto tensorial V V V , o qual foi apresentado na defini¸cão 1.2.13. Analogamente, um tensor de ordem k existe k

⊗ V . De acordo com a defini¸caõ de base dual 1.2.8, sendo (c ) e (c ) um par de bases duais de V , as quatro bases produto de ⊗ V são c ⊗ c , c ⊗ c , ario 1.2.9 c ⊗ c e c ⊗ c , o que mostra que dim ⊗ V = (dim V ) , conforme o coment´ no espa¸co de produto tensorial

2

i

i

i

i

i

j

2

j

j

i

j

2

(dimensão de espa¸co de transforma¸cão linear). Semelhantemente, as 2k bases produtos k vetores

k vetores

 ⊗  ⊗   ⊗  ⊗ 

k

k

de V são (ci . . . c j ), . . . , (ci . . . c j ), logo dim V = (dim V )k . Portanto, em concordˆ ancia com a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, tem-se T = T i j ci c j = T i j ci c j = T i j ci c j = T i j ci c j , enquanto que

⊗

⊗

⊗

⊗

k vetores

⊗

⊗

k vetores

 ⊗  ⊗ 

 ⊗  ⊗ 

para o tensor de ordem k tem-se T = T i...j ci . . . c j = . . . = T i...j ci . . . c j . De acordo com o coment´ ario 1.2.12 (transforma¸cão escalar bilinear e tensor de segunda 2

∈⊗

ordem), a cada tensor de segunda ordem T V corresponde uma transforma¸ cão escalar bilinear T : V V , onde V V V 2 , tal que, para (u, v) V , tenha-se T (u, v) = u T (v), o que produz T (ci , c j ) = T i j , T (ci , c j ) = T i j , T (ci , c j ) = T ji e T (ci , c j ) = T i j , sendo verdadeira a afirma¸caõ rec´ıproca. Analogamente, a cada tensor de ordem k, grafado

× → 

·

T

× ≡

k

∈⊗ V , corresponde uma transforma¸cão k vetores

   i

j

∈

escalar k-linear T : V k

k vetores

i...j

  

→  tal que

T (c , . . . , c ) = T , . . . , T (ci , . . . , c j ) = T i...j e vice versa. Como caso especial de tensor de ordem k define-se, em analogia a (u v )(u, v) = (u u )(v v ) (coment´ ario 1.2.12), o produto tensorial de k vetores k vetores

⊗

k vetores

·

k produtos internos

 ⊗  ⊗     ·  ·  (u

...

v ) (u, . . . , v) = (u u ) . . . (v v ), 21

·

onde (u , . . . , v , u, . . . , v) V . Conforme a nota¸caõ matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, um tensor de segunda

∈

2

⊗

ordem, pertencente ao espa¸ co V , é representado por uma matriz quadrada (matriz de ordem 2) de dimens˜ a o dim V . Coerentemente, um tensor de ordem k, pertencente ao k

⊗

espa¸co V , é representado por uma matriz de ordem k (por exemplo, matriz c´ ubica para k = 3) de dimens˜ a o dim V . Note que esta defini¸caõ mostra que um tensor de primeira ordem é um vetor.

1.2.8

Regras para Transforma¸ca õ de Componentes de Vetor e de Tensor de Segunda Ordem

¯ = (¯ci ), Defini¸ca õ 1.2.21 (Matrizes de Transforma¸ca õ) Seja duas bases β = (ci ) e β ¯ k j c j . De acordo com a defini¸caõ de base dual do mesmo espa¸co vetorial V e seja c¯k = M ¯ k j c j ci = M ¯ k i . Seja, também, as bases β ∗ = (ci ) 1.2.8, c j ci = δ j i . Portanto, ¯ck ci = M ¯∗ = (¯ci ), respectivamente bases duais de β e β ¯, de acordo com a nota¸cão para base e β ¯ j i c¯ j . Assim como c¯k = M ¯ j c j implica em c¯k ci = M ¯k i , dual 1.2.2. Seja, ainda, ci = T k ¯ j i c¯ j implica em c¯k ci = T ¯k i . Logo, T ¯k i = M ¯ k i e ci = M ¯ j i c¯ j , ou tem-se que ci = T ¯ k j c¯k . Portanto, se c¯k = M ¯ k j c j , então c j = M ¯ k j c¯k e v.v. Note que, em M ¯k j, c j = M ¯ e β ¯∗ , enquanto que o o indicador a` esquerda se refere a qualquer uma entre as bases β

·

·

·

·

·

indicador a` direita corresponde a qualquer uma entre as bases β e β ∗ , independentemente de cada indicador ser ´ındice ou super´ındice. Seja M um tensor de segunda ordem no espa¸ co de produto tensorial V V . Então, de acordo com o coment´ ario 1.2.10 (c´ alculo de componente associado de tensor de segunda j ¯ = ¯ck M (¯c j ). Como M ¯ j = ¯ck c j , conclui-se que c j = M (¯c j ). Logo, ordem), tem-se M k k j k ¯ ¯c j , do tensor M : ¯c j c j (¯c j , c j ) V, M M k é o componente, associado a` base c¯ V V . Pode-se, então, escrever ci c j = c i M (¯c j ). Mas, de acordo com a defini¸cão de base dual 1.2.8, ci c j = δ i j = c¯i c¯ j , logo c¯ j c¯i = ci M (¯c j ). Usando a defini¸cã o de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 tem-se, ent˜ ao, c¯ j ¯ci = ¯c j M T (ci ), o que implica em c¯i = M T (ci ). ¯ = (¯ci ), bem como suas bases duais, respecEm resumo, seja duas bases β = (ci ) e β ¯∗ = (¯ci ), pertencentes a um espa¸co vetorial V . Seja, também, o tivamente β ∗ = (ci ) e β tensor de segunda ordem

⊗

·

⊗

·

·

i

∈ ⊗ V tal que c

1. M V

⊗

·

·

·

·

→ |

· ·

∈

∈

·

= M (¯ci ) e c¯i = M T (ci ). Então:

j ¯ k , ¯ k j = ¯ck c j , c¯k = M ¯ k j c j Seu componente M associado à base ¯ck c¯ j , é tal que M ¯ k j c¯k . e c j = M ¯ k j , associado a` base ¯ck c¯ j , é tal que M ¯ k j = ¯ck c j , c¯k = M ¯ k j c j Seu componente M ¯ k j ¯ck . e c j = M

∈ ⊗ V tal que c = N (¯c ) e c¯

2. N V

i

i

i

⊗

·

⊗

·

= N T (ci ). Então:

¯ k j , associado a` base ¯ck Seu componente N ¯ k j c¯k . e c j = N

22

⊗ c¯ , é tal que N ¯ j

k j

¯ k j c j = ¯ck c j , c¯k = N

·

¯k j , associado a` base ¯ck c¯ j , é tal que N ¯k j = ¯ck c j , c¯k = N ¯k j c j Seu componente N ¯k j ¯ck . e c j = N

⊗

·

Evidentemente, o tensor M do item 1 não é o tensor N do item 2. Ali´ a s, o uso do coment´ ario 1.2.32, sobre propriedades do tensor inverso (a ser posteriormente apresentado), mostra que que o tensor N é o tensor inverso transposto do tensor M e v.v., ou seja, N = M −T . ¯ = (¯ci ), β ∗ = (ci ) e De acordo com a defini¸cão de matriz 1.1.2, as bases β = (ci ), β ¯∗ = (¯ci ) podem ser respectivamente representadas pelas matrizes coluna, formadas por β elementos vetoriais, [ci ], [¯ci ], [ci ] e [¯ci ]. Por outro lado, considerando a nota¸caõ matricial para tensor de segunda ordem 1.2.3, o tensor M definido no item 1 pode ser representado ¯ j ] e [M ¯ k j ], dependendo da base por qualquer uma entre as duas matrizes quadradas [M k escolhida para represent´ a-lo ser, respectivamente, c¯k ¯c j ou c¯k ¯c j . Analogamente, o tensor N definido no item 2 pode ser representado por qualquer uma entre as duas ¯ k j ] e [N ¯ k j ], dependendo da base escolhida para represent´ matrizes quadradas [N a-lo ser, respectivamente, c¯k ¯c j ou c¯k ¯c j . Como ser´ a notado a seguir, a possibilidade de transposi¸cão e invers˜ ao de matrizes torna desnecess´ a rio utilizar ambos os itens 1 e 2. Coerentemente com as coloca¸ cões iniciais será, portanto, considerado apenas o item 1. Além disto, as combina¸ cões lineares entre vetores de base fornecidas pelas representa¸ cões mistas do tensor costumam ser mais u ´ teis do que aquelas produzidas pelas representa¸ cões covariante e contravariante. Por este motivo, a partir deste ponto somente a representa¸ cão mista do item 1 ser´ a usada. j ¯ k c j pode ser diretamente escrita em termos matriciais, porque, A igualdade c¯k = M em [c j ], o ordenamento da base β se reflete na sequência de linhas, enquanto que, em j ¯ k ], [M o indicador a` direita se refere a qualquer uma entre as bases β = (ci ) e β ∗ = (ci ) ¯ k j c j corresponde a [¯ck ] = [M ¯ k j ][c j ], porque o e representa a coluna. Logo, c¯k = M indicador j representa o mesmo somat´ orio, tanto de acordo com a nota¸caõ de Einstein 1.1.2, como em rela¸caõ a`s regras elementares de multiplica¸ caõ matricial. ¯∗ se reflete na sequência de ¯ k j c¯k , o ordenamento da base β Já na express˜ ao c j = M ¯ j ], o indicador à esquerda se refere a qualquer linhas de [¯ck ], enquanto que, em [M k ∗ ¯ ¯ uma entre as bases β = (¯ci ) e β = (¯ci ) e representa a linha. No que se refere a [¯ck ], é ¯∗ deixe de indicar a linha. Mas, no que se refere a impossivel que o ordenamento da base β

⊗

⊗

⊗

⊗

¯ k ], pode-se alterar a fun¸cão ordenadora, usando [M ¯k ] [M j

j T

  ≡ T

¯ j M

k

¯ k j ], ao invés de [M

em conformidade com o colocado na defini¸ caõ de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Em

  T

¯ j M

k

¯ = (¯ci ) e β ¯∗ = (¯ci ) , o indicador a` direita se refere a qualquer uma entre as bases β

¯ k j c¯k corresponde a [c j ] = [M ¯ k j ]T [¯ck ], com o e representa a coluna. Portanto, c j = M ¯ k j ] não costuma ser uma indicador k representando o mesmo somat´ o rio. Note que [M ¯ j = M ¯ j k = ¯c j ck , logo [M ¯ j ] = [M ¯ j ]T . matriz simétrica porque, geralmente, ¯ck c j = M k k k Como uma base não pode ser previlegiada em rela¸cã o a qualquer outra, a trans¯ k j ] não é singular. Portanto, forma¸cão inversa deve existir, o que garante que a matriz [M

·



23

·



a existência das igualdades ¯ k j ][c j ] [¯ck ] = [M

e

¯ k j ]T [¯ck ] [c j ] = [M

e

¯ k j ]−T [c j ] . [¯ck ] = [M

garante a existência das igualdades ¯ k j ]−1 [¯ck ] [c j ] = [M

¯ k j ]−1 De acordo com a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4, tem-se [M

    −1

¯ j M

k

−1

. Em

¯ j M

k

≡

, o indicador a` direita se refere a qualquer uma entre as bases

¯ = (¯ci ) e β ¯∗ = (¯ci ) e indica a coluna, o que evidencia ser correta a primeira entre as β −1

k

¯ j c¯k , u ´ ltimas duas equa¸cões destacadas. Tal equa¸caõ pode, também, ser escrita c j =M onde o indicador k representa o mesmo somat´ orio que ocorre na multiplica¸cão matricial. ¯k ] Por outro lado, [M

j −T

    ≡ −T j

¯k M

−1

¯ j = M

k T

  −T j

¯k . Em M

o indicador a` direita

se refere a qualquer uma entre as bases β = (ci ) e β ∗ = (ci ) e indica a coluna, o que evidencia ser correta também a segunda entre as ultimas ´ duas equa¸cões destacadas, a −1

k

¯ j c j , onde o indicador j representa o mesmo qual também pode ser escrita c¯ =M somatório que ocorre na multiplica¸caõ matricial. ¯ forem ambas orO coment´ ario 1.2.7 (base ortonormal dual) mostra que, se β e β tonormais, ter-se-´ a c j = c j e c¯ j = c¯ j . Considerando as quatro equa¸ co˜es matriciais j j j j ¯ ]T = [M ¯ ]−1 e [M ¯ ] = [M ¯ ]−T , logo exigirá que a destacadas, isto exigir´ a que [M k k k k j ¯ matriz [M k ] seja ortogonal. Ap´ o s o terceiro par´ agrafo, foi referido exclusivamente o ¯ k j de um tensor de segunda ordem M , associado a` base c¯k ¯c j , tal que componente M ¯ k j = ¯ck c j , c¯k = M ¯ k j c j e c j = M ¯ k j c¯k . Coloca¸cões semelhantes podem ser feitas para M as outras três representa¸cões matriciais do tensor de M , citadas no terceiro par´ agrafo. k

⊗

·

Coment´ ario 1.2.20 (Transforma¸c˜ ao de Componentes de Vetor) Seja as bases β ∗ ∗ i ¯ = (¯ci ) (logo, β = (c ) e β ¯ = (¯ci )), do mesmo espa¸co vetorial V e seja v V . = (ci ) e β Ent˜ ao, v = v j c j = v¯k c¯k = v j c j = v¯k ¯ck . Considerando a defini¸cã o das matrizes de ¯ k j c j e c j = M ¯ k j c¯k , logo v j c j = v¯k ¯ck = v¯k M ¯ k j c j e transforma¸caõ 1.2.21, tem-se ¯ck = M ¯ j c¯k , ou v j = M ¯ j v¯k e v¯k = M ¯ j v j . Utilizando o colocado na mesma v¯k ¯ck = v j c j = v j M k k k defini¸caõ citada, em termos matriciais pode-se, ent˜ ao, escrever

∈

¯ j ]T [¯v k ] [v j ] = [M k Lembrando que

¯ k j ][c j ] [¯ck ] = [M

e e

¯ j ][v j ] . [¯ vk ] = [M k ¯ k j ]T [¯ck ] , [c j ] = [M

conclui-se que a matriz que transforma os componentes contravariantes v¯k (covariantes v j ) ¯ = (¯ci ) (β ∗ = (ci )), nos componentes contravariantes do vetor v, representado na base β ¯∗ = (¯ci )), é a transposta v j (covariantes v¯k ) do vetor v, representado na base β = (ci ) (β da matriz que transforma as bases no sentido oposto. 24

¯ forem ambas ortonorO coment´ ario 1.2.7 (base ortonormal dual) mostra que, se β e β mais, ter-se-á c j = c j e c¯ j = ¯c j , logo v j = v j e v¯ j = v¯ j . Neste caso, a u´ltima senten¸ca do par´ agrafo anterior precisa ser simplificada, devendo-se, em substitui¸caõ a`quela senten¸ca, afirmar que a matriz que transforma os componentes v¯k do vetor v, representado ¯ = (¯ci ), nos componentes v j do vetor v, representado na base β = (ci ), é a na base β transposta da matriz que transforma as bases no sentido oposto.

Coment´ ario 1.2.21 (Transforma¸c˜ ao de Componentes de Tensor) Seja duas ba¯ = c¯i (logo, β ∗ = (ci ) e β ¯∗ = (¯ci )) do mesmo espa¸co vetorial V e seja ses β = ci e β A um tensor de segunda ordem em V V . De acordo com a defini¸caõ de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, A = A i j ci c j = A¯i j ¯ci ¯c j = A i j ci c j = A¯i j c¯i ¯c j = Ai j ci c j = A¯i j ¯ci ¯c j = Ai j ci c j = A¯i j ¯ci ¯c j . Nos quatro casos apresentados a seguir, além destes resultados ser´ a também utilizado o coment´ ario 1.2.10 (cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem), a defini¸ cão das matrizes de transforma¸caõ 1.2.21 e a defini¸caõ de matriz 1.1.2:

{ }

{ }

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

¯ i m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i A(¯c j ) e Am n = cm A(cn ). Considerando c¯i = M ¯ j n cn , obtém-se A¯i j = M ¯ i m M ¯ j n Am n , ou [A ¯i j ] = [M ¯ i m ][Am n ][M ¯ j n ]T . ¯c j = M

·

·

¯ i m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i A(¯c j ) e Amn = cm A(cn ). Considerando c¯i = M

·

−1 j

·

¯ n cn , obtém-se A¯i j = M ¯i c¯ =M j

m

−1 j

¯ n Amn , ou [A ¯i j ] = [M ¯ i m ][Amn ][M ¯ j n]−1 . M −1

i

¯ m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i A(¯c j ) e Amn = cm A(cn ). Considerando c¯i =M

·

−1

·

i

¯ j n cn , obtém-se A¯i j =M ¯ m M ¯ j nAmn , ou [A ¯i j ] = [M ¯ i m ]−T [Amn ][M ¯ j n ]T . ¯c j = M −1

i

¯ m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i A(¯c j ) e Am n = cm A(cn ). Considerando c¯i =M

·

−1 j

¯ n c , obtém-se A ¯c =M j

1.2.9

¯i j

n

−1

i −1 j

·

¯ m M ¯ n Am n , ou [A ¯i j ] = [M ¯ i m ]−T [Am n ][M ¯ j n ]−1 . =M

Determinante e Tra¸ co

Defini¸ca õ 1.2.22 (Permuta¸c˜ ao) Seja o conjunto I , formado pelos n 2 primeiros n números naturais. Chama-se permuta¸ca õ a uma fun¸cão σ : I I tal que σ : (i)ii= =1 n (σ(i))ii= I . Uma permuta¸ caõ que envolva exclusivamente a =1 σ(i) = σ( j) i = j, (i, j) inversão do ordenamento de dois elementos adjacentes é chamada transposi¸c˜ ao . Toda permuta¸cão é uma sequência de transposi¸ cões, mas diversas sequências de transposi¸co˜es podem corresponder a` mesma permuta¸caõ. Todas as sequências de transposi¸ cões que correspondem a uma mesma permuta¸cão envolvem um n´ umero de transposi¸co˜es com a mesma paridade, embora tal n´ umero possa variar de uma sequência para outra. Por isto, as permuta¸co˜es são classificadas em pares ou ´ımpares. O sinal da permuta¸c˜ ao, representado (sinal σ), será +1 quando a permuta¸caõ for par e ser´ a 1 quando a pern muta¸caõ for ´ımpar. Entre as n! poss´ıveis permuta¸cões de (i)ii= ao permuta¸co˜es =1 , metade s˜ pares (como n 2, o valor de n! é sempre um inteiro par).

|



∀ 

≥

→

∈

−

≥

25

→

Defini¸ca õ 1.2.23 (Fun¸c˜ ao n-linear Alternante) Seja V um espa¸co vetorial e seja, de acordo com a defini¸cão de dimensão de espa¸co vetorial 1.2.4, dim V = n. Seja, em conformidade com a defini¸caõ de transforma¸cão n-linear 1.2.10, a fun¸caõ n-linear w : V n . ao n-linear alternante sempre que, (v1 , . . . , vn ) V , Esta fun¸cão ser´ a uma fun¸c˜

∀

∈

w(vσ(1), . . . , vσ(n) ) = (sinal σ)w(v1 , . . . , vn ) .

→

n Uma fun¸caõ n-linear alternante ser´ a n˜ ao trivial quando existir um conjunto (vi )ii= =1 tal que w(v1 , . . . , vn ) = 0.

∈ V



Coment´ ario 1.2.22 (Redu¸cão no N´ umero de Permuta¸co ˜es Distingu´ıveis) De acordo com a defini¸cã o de permuta¸cã o 1.2.22, s˜ ao permuta¸co˜es pares metade das n! n poss´ıveis permuta¸cões do conjunto ordenado (vi )ii= V . Se dois entre os vetores que for=1 mam este conjunto forem iguais, a cada permuta¸caõ par corresponder´ a uma permuta¸caõ ´ımpar dela indistingu´ıvel, o que reduzir´ a o n´ umero de permuta¸co ˜es distingu´ıveis para n!/2. Se m vetores forem iguais, o n´ umero de permuta¸co˜es distingu´ıveis ser´ a n!/m!.

∈

Coment´ ario 1.2.23 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte I) Conforme o coment´ ario 1.2.22, sobre redu¸cão no n´ umero de permuta¸co˜es distingu´ıveis, se uma n fun¸caõ qualquer f : V n tiver como argumento um conjunto ordenado (vi )ii= V =1 que contenha dois vetores iguais, para cada permuta¸ cão par do argumento existir´ a uma permuta¸cão ´ımpar do mesmo argumento tal que as duas imagens, produzidas por f , se jam iguais. Portanto, se w for uma fun¸caõ n-linear alternante, conforme sua defini¸caõ

→

∈

1.2.23, mesmo que w seja n˜ ao trivial ter-se-´ a w(. . . , u, . . . , v, . . .) = 0 quando u = v. n Como consequência deste fato, se (vi )ii= caõ V for, de acordo com o item 1 da defini¸ =1 de base 1.2.2, linearmente dependente e w for uma fun¸caõ n-linear alternante, ent˜ ao w(v1 , . . . , vn ) = 0, mesmo que w seja n˜ ao trivial. Logo, se w for uma fun¸cão n-linear alternante e w(v1 , . . . , vn ) = 0, ent˜ ao o conjunto n (vi )ii= V será linearmente independente. Como, de acordo com a defini¸ cão 1.2.23, =1 dim V = n, considerando o item 2 da defini¸cã o 1.2.2 tem-se que o conjunto (vi )ni=1 abrangerá V . Portanto, pode-se afirmar que, se w for uma fun¸caõ n-linear alternante n não trivial, existirá um conjunto (vi )ii= V tal que w(v1 , . . . , vn ) = 0, o qual será uma =1 i=n base (ci )i=1 de V .

∈



∈

∈



Teorema 1.2.2 (Unicidade da Propor¸c˜ ao entre Fun. n-lin. Altern.) Sejam w e  w duas fun¸co˜es n-lineares alternantes e seja w não trivial. Existe apenas um valor λ tal que, (v1 , . . . , vn ) V , tenha-se w  (v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ). a o trivial, existe o conjunto de vetores (ci )ni=1 tal que Demonstra¸cao: ˜ Como w é n˜ w(c1, . . . , cn ) = 0 e tal conjunto é uma base de V (coment´ ario 1.2.23, sobre fun¸ cão n-linear alternante e base de espa¸ c o vetorial - parte I). Suponha que (v1 , . . . , vn ) V e que va = vai ci para a = 1, . . . , n, logo w(v1 , . . . , vn ) = w(v1i1 c i1 , . . . , vnin c in ) = i1 n n in ´ltima igualdade provém da n-linearidade i1 =1 . . . in =1 v1 . . . vn w(ci1 , . . . , cin ), onde a u de w(v1 , . . . , vn ), conforme a defini¸cão 1.2.10 desta propriedade. No somat´ orio m´ ultiplo, todos os termos que contenham vetores de base repetidos s˜ ao nulos. Portanto, o somat´ orio múltiplo simplifica-se num somatório sobre todas as n! permuta¸co˜es de c1 , . . . , cn , ou seja, σ w(v1 , . . . , vn ) = σ v1 (1) . . . vnσ(n) w(cσ(1) , . . . , cσ(n) ). Considerando que, de acordo com a defini¸ caõ de fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23, w(cσ(1) , . . . , cσ(n) ) = (sinal σ) w(c1 , . . . , cn ), tem-se w(v1 , . . . , vn ) = αw(c1 , . . . , cn ),

∀

∈

∈



∈

 



26



σ (1)

onde α = σ (sinal σ) v1 . . . vnσ(n) . Em analogia, w (v1 , . . . , vn ) = αw (c1 , . . . , cn ). w (c1 ,...,cn ) 1 ,...,vn )  Como w(c1 , . . . , cn ) = 0, tem-se α = ww((v c1 ,...,cn ) , logo w (v1 , . . . , vn ) = w(c1 ,...,cn ) 



w(v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ). Note que, como os reais w (v1 , . . . , vn ) e w(v1 , . . . , vn ) independem de qual for a base escolhida para o espa¸co V em que se encontram os vetores ´ ltima express˜ ao indica que o real λ = w  (c1 , . . . , cn )/w(c1 , . . . , cn ) não v1 , . . . , vn , esta u depende de qual for a base escolhida.  Se Coment´ ario 1.2.24 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte II)  n n n w : V e w : V forem duas fun¸co˜es n-lineares alternantes e w : V for não trivial (defini¸ cão de fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23), existe uma base de V , grafada n (ci )i=1 , tal que w(c1 , . . . , cn ) = 0 (coment´ ario 1.2.23, sobre fun¸caõ n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I). Tem-se, ent˜ ao, w (c1 , . . . , cn ) = λw(c1, . . . , cn ), onde λ = 0 se w : V n for trivial. Por outro lado, como λ não depende do conjunto de vetores utilizado na express˜ ao w  (v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ) (teorema da unicidade da propor¸caõ entre fun¸cões n-lineares alternantes 1.2.2), w : V n será trivial se λ = 0. n  Portanto, w : V será não trivial se e somente se λ = 0. Isto indica que, se (ci )ni=1 for uma base de V tal que w(c1 , . . . , cn ) = 0 e se w : V n for qualquer fun¸caõ

→

→

→



→

→

→  →



ao trivial, ent˜ ao (ci )ni=1 será, também, tal que w  (c1 , . . . , cn ) = 0. n-linear alternante n˜



Teorema 1.2.3 (Dependˆ encia da Propor¸c˜ ao entre Fun. n-lin. Altern.) Seja n w : V uma fun¸caõ n-linear alternante n˜ a o trivial e seja a fun¸cão T w : V n tal que T w (v1, . . . , vn ) = w(T (v1 ), . . . , T ( vn )), onde (v1, . . . , vn ) V e T V V é uma transforma¸caõ linear. O valor λ , tal que T w (v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ), é determinado apenas por T . caõ linear T : v u , onde (v, u) V , Demonstra¸cao: ˜ Seja T V V uma transforma¸  n n sejam w : V e w : V duas fun¸cões n-lineares alternantes n˜ a o triviais (defini¸cã o de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23) e seja uma fun¸cão T w : V n tal que T w (v1 , . . . , vn ) = w(u1 , . . . , un ) = w(T (v1 ), . . . , T ( vn )) [eq.1]. Evidentemente, T w também é uma fun¸caõ n-linear alternante logo, por causa do teorema da unicidade da propor¸cão entre fun¸co˜es n-lineares alternantes 1.2.2, existe um uńico λ tal que T w (v1, . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ) [eq.2]. Analogamente, T w (v1 , . . . , vn ) =  w (T (v1 ), . . . , T ( vn )) [eq.3], sendo T w (v1 , . . . , vn ) = λ w (v1 , . . . , vn ) [eq.4]. Porém, devido ao mesmo teorema 1.2.2, existe um unico ´ µ tal que w (v1, . . . , vn ) = µw(v1 , . . . , vn ) [eq.5]. Subtituindo a eq.5 na eq.4 obtém-se T w (v1 , . . . , vn ) = λ µw(v1 , . . . , vn ) [eq.6]. Como, de acordo com o teorema 1.2.2, a eq.5 é v´ alida tanto para o argumento v1 , . . . , vn como para o argumento u1, . . . , un , substituindo a eq.5 na eq.3 obtém-se T w (v1 , . . . , vn ) = µw(T (v1 ), . . . , T ( vn )). Substituindo antes a eq.1 e depois a eq.2 nesta u ´ ltima express˜ ao obtém-se T w (v1 , . . . , vn ) = µλw(v1 , . . . , vn ), que comparada com a eq.6  produz λ = λ, desde que µ = 0. Mas, de acordo com o coment´ ario 1.2.24, sobre fun¸caõ n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte II, por causa da eq.5 o fato de que tanto w como w são n˜ ao triviais implica em µ = 0. Portanto λ = λ e as eqs.2 e 4 mostram que λ não depende de qual é a fun¸ cão n-linear alternante n˜ ao trivial considerada, ou seja, λ depende apenas de T . 

→

∈

∈ 

→

∈ ⊗

→ ∈ ⊗

→

→

∈

→

 

∈





∈











Defini¸ca õ 1.2.24 (Determinante de Transforma¸ca õ Linear) Seja a transformaao, det T ¸caõ linear T V V . O determinante desta transforma¸c˜ , é definido pela igualdade (det T )w(v1 , . . . , vn ) = w(T (v1), . . . , T ( vn )), (v1 , . . . , vn ) V e

∈ ⊗

∀

27

∈ ∈

n

∀w : V → |w é n-linear alternante não trivial. Note que det é uma fun¸caõ que, apli-

cada ao argumento T , produz como imagem o real λ apresentado no teorema 1.2.3, sobre a dependência da propor¸caõ entre fun¸co˜es n-lineares alternantes, real este que depende apenas de T . A defini¸cão desta fun¸caõ, portanto, é poss´ıvel por causa do que foi demonstrado no teorema citado. O dom´ınio da fun¸ cão det é V V , porque T V V , enquanto que o seu contradom´ınio é , porque λ . Pode-se, então, escrever det : V V . Note, também, que na defini¸caõ 1.2.25 ser´ a apresentado o conceito de determinante de uma matriz, enquanto que agora est´ a sendo apresentado o conceito de determinante de uma transforma¸caõ linear.



⊗

∈ 

∈ ⊗

⊗ → 

Coment´ ario 1.2.25 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte III) Se ja uma fun¸cão n-linear alternante n˜ ao trivial w : V n . Há um conjunto (ci )ni=1 tal que w(c1 , . . . , cn ) = 0 e este conjunto é uma base de V , conforme o coment´ ario 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I. De acordo com a defini¸caõ de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24 e o teorema 1.2.3, sobre a dependência da propor¸cão entre fun¸co˜es n-lineares alternantes, (detT )w(c1, . . . , cn ) = w(T (c1 ), . . . , T ( cn )) = T w (c1 , . . . , cn ) = w(d1 , . . . , dn ), onde d i = T ci , para i = 1, . . . , n. Esta express˜ ao mostra que, quando (ci )ni=1 for uma base de V tal que w(c1, . . . , cn ) = 0 e di = T ci para i = 1, . . . , n, se det T = 0 então (di )ni=1 será uma base de V tal que w(d1 , . . . , dn ) = 0. Mas, além de suficiente (uso do “se”), a condi¸ cão det T = 0 também é necess´ aria (uso do “somente se”) para que (di )ni=1 seja uma base de V tal que w(d1 , . . . , dn ) = 0. De fato,

→













aplicando a` igualdade T w (c1 , . . . , cn ) = (det T )w(c1 , . . . , cn ) o teorema 1.2.2, referente a` unicidade da propor¸caõ entre fun¸co˜es n-lineares alternantes, percebe-se que det T = 0 implica em T w trivial, logo implica em T w (c1 , . . . , cn ) = w(d1 , . . . , dn ) = 0. Portanto, a seten¸c a completa diz que, se (ci )ni=1 for uma base de V tal que w(c1 , . . . , cn ) = 0 e se di = T ci para i = 1, . . . , n, então (di )ni=1 será uma base de V tal que w(d1 , . . . , dn ) = 0 se e somente se det T = 0.







Defini¸ca õ 1.2.25 (Determinante de Matriz) Seja [M i j ] uma matriz (defini¸cã o de matriz 1.1.2) quadrada com n linhas e n colunas (tanto i como j poderiam ser super´ındices). O determinante desta matriz , det[M i j ] é, por defini¸caõ, det[M i j ] =



(sinal σ) M σ(1)1 . . . Mσ (n) n ,

σ

onde o somat´ orio ocorre sobre todas as n! permuta¸co˜es do conjunto ordenado de n´ umeros naturais (1, 2, 3, . . . , n) referente a`s linhas da matriz. Note que na defini¸ cão 1.2.24 foi apresentado o conceito de determinante de uma transforma¸ cão linear, enquanto que agora está sendo apresentado o conceito de determinante de uma matriz. A partir da presente defini¸caõ demostram-se os conhecidos resultados da a´lgebra matricial elementar det([Ai j ][B j k ]) = det[Ai j ]det[B j k ] , por causa das regras de multiplica¸ cão matricial e det([Ai j ]T ) = det[Ai j ] , por causa da comutatividade da multiplica¸ cão escalar, a qual produz σ (sinal σ) M σ(1)1 . . . Mσ (n) n = σ (sinal σ) M 1 σ(1) . . . Mn σ(n) .





Nesta defini¸caõ de determinante de matriz, ambos os dois indicadores da matriz foram, arbitrariamente, considerados ´ındices. Evidentemente, cada um deles, independentemente do outro, poderia ser um ´ındice ou um super´ındice. 28

Coment´ ario 1.2.26 (Rela¸ca õ entre Determ. de Transf. Lin. e de Matriz) O determinante de uma transforma¸ cão linear pode ser calculado em termos dos seus componentes associados a`s bases produto (ci c j ) e (ci c j ), sendo (ci )ni=1 uma base de V . De fato, a defini¸cão de determinante de transforma¸ cão linear 1.2.24 mostra que (det T )w(c1 , . . . , cn ) = w(T (c1 ), . . . , T ( cn )) = w((T i1 j1 ci1 c j1 )(c1 ), . . . , (T in jn cin

⊗

⊗

⊗

⊗

c jn )(cn )) = w((c j1 c1 )T i1 j1 ci1 , . . . , (c jn cn )T in jn cin ) = w(δ j11 T i1 j1 ci1 , . . . , δ j nn T in jn cin ) = w(T i11 ci1 , . . . , T inn cin ), onde foi usada a defini¸cão de produto tensorial de vetores 1.2.12. Tem-se w(T i11 ci1 , . . . , T inn cin ) = ni1 =1 . . . nin =1 T i11 . . . T inn w(ci1 , . . . , cin ), por causa da

·

·

 

n-linearidade de w(v1 , . . . , vn ), conforme a defini¸cão 1.2.10 desta propriedade. Neste múltiplo somat´ orio, todos os termos que contenham vetores de base repetidos s˜ ao nulos. Portanto, o somat´ orio m´ ultiplo simplifica-se num somatório sobre todas as n! permuta¸co˜es σ (1) de c1, . . . , cn , ou seja, w(T i11 ci1 , . . . , T inn cin ) = σ T 1 . . . T σ(n)n w(cσ(1) , . . . , cσ(n) ). Como, nesta u´ltima igualdade, o primeiro membro é igual a (detT )w(c1 , . . . , cn ), enquanto que, de acordo com a defini¸caõ de fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23, w(cσ(1) , . . . ,



cσ(n) ) = (sinal σ) w(c1 , . . . , cn ), tem-se (det T )w(c1 , . . . , cn ) =



σ (1)



σ (sinal

σ) T

σ (1)

1

...

T σ(n)n w(c1 , . . . , cn ), logo det T = σ (sinal σ) T 1 . . . T σ(n)n = det[T i j ], de acordo com a defini¸caõ de determinante de matriz 1.2.25, sendo [T i j ] a matriz formada pelos componentes de T associados a` base considerada, ci c j . Analogamente, obtém-se det T = det[T i j ]. De acordo com o coment´ ario 1.2.14, sobre gi j ou gi j aplicado a componente de tensor, tem-se T i j = g k j T i k = g i k T k j e T i j = g k i T k j = g j k T i k , logo

{ ⊗ }

j det T = det[T i j ] = det[T i ] = det[gk j T i k ] = det[gk i T k j ] = det[g i k T k j ] = det[g j k T i k ] .

Conforme o coment´ ario 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade, tem-se para os componentes contravariantes e covariantes respectivamente 1 i j = g i j e j j 1i j = gi j , enquanto que para os componentes mistos tem-se 1 i j = δ i j e 1i = δ i . Mas o coment´ ario 1.2.6, sobre fun¸co˜es gi j e gi j , mostra que gi k gk j = δ i j . Ent˜ a o, de i i ik acordo com a express˜ ao destacada, det 1 = det 1 j = det[δ j ] = det[g gk j ]. Como o indicador k representa o mesmo somat´ orio, tanto usando a nota¸cão de Einstein 1.1.2, como em rela¸caõ a`s regras elementares de multiplica¸ caõ matricial, tem-se det[g i k gk j ] = det([g i k ][gk j ]). Considerando a defini¸caõ de determinante de matriz 1.2.25, conclui-se que det[g i k gk j ] = det([g i k ][gk j ]) = det[g i k ]det[gk j ] e det[δ i j ] = 1, logo det[g i k ]det[gk j ] = 1. Em resumo, enquanto os determinantes dos componentes mistos do tensor identidade são iguais a 1, o mesmo acontecendo, evidentemente, também com o produto destes determinantes, para os determinantes dos componentes contravariante e covariante somente se garante que o produto deles é igual a 1. Além disto, de acordo com o coment´ ario 1.2.7, ik kj sobre base ortonormal dual, numa base ortonormal gk j = δ k j e g = δ , portanto det[gk j ] = det[δ k j ] = det[g k j ] = det[δ k j ] = 1, o que simplifica a equa¸caõ destacada para j det T = det[T i j ] = det[T i ] = det[T i j ] = det[T i j ] .

Coment´ ario 1.2.27 (Propriedades de Determinantes - Parte I) A fun¸cã o det : V V , apresentada na defini¸caõ de determinante de transforma¸ cão linear 1.2.24, tem as seguintes propriedades:

⊗ → 

29

1. det(u v) = 0, (u, v) V . De fato, det(u v)w(t1 , . . . , tn ) = w((u v)(t1 ), . . . , (u v)(tn )) = w((v t1 )u, . . . , (v tn )u), por causa da defini¸cão de produto tensorial de dois vetores, ou tensor simples, 1.2.12. Mas w((v t1 )u, . . . , (v tn )u) = 0 por causa da dependˆ encia linear entre os vetores presentes no argumento de w (coment´ ario 1.2.23, sobre fun¸caõ n-linear alternante e base de espa¸ co vetorial parte I).

⊗

⊗

∀

∈

·

⊗

·

⊗ ·

·

2. det(α1 ) = αn , onde α e 1 é, de acordo com a defini¸ cã o 1.2.16, a transforma¸caõ tensorial identidade para o espa¸co vetorial V de dimensão n. De fato, det(α1 )w(v1, . . . , vn ) = w(α1 (v1 ), . . . , α1 (vn )) = w(αv1 , . . . , αvn ). Mas, por causa da n-linearidade de w, tem-se det(α1 )w(v1 , . . . , vn ) = αn w(v1 , . . . , vn ), ou det(α1 ) = α n .

∈

3. det(ST ) = (det S )(det T ), porque det(ST )w(v1 , . . . , vn ) = w(ST (v1), . . . , S T (vn )) = w(S (T (v1 )), . . . , S (T ( vn ))) = det(S )w(T (v1 ), . . . , T ( vn )) = det(S ) det(T )w(v1 , . . . , vn ), ou det(ST ) = det(S ) det(T ) = det(T S ). 4. det S T = det S . De fato, de acordo com o coment´ ario 1.2.26, sobre determinante de transforma¸cão linear e de matriz, tem-se det S T = det[(S T ) i j ]. Mas, de acordo com o coment´ ario 1.2.16, sobre transposi¸ cão de tensor de segunda ordem, [(S T ) i j ] = [S i j ]T , logo det S T = det([S i j ]T ). Conforme a defini¸cão de determinante de matriz 1.2.25, det([S i j ]T ) = det[S i j ]. Portanto, det S T = det[S i j] = det S , a u ´ltima igualdade sendo novamente devida ao coment´ ario 1.2.26.

Defini¸ca õ 1.2.26 (Tra¸co de Transforma¸ca õ Linear) Semelhantemente a` defini¸caõ da fun¸cão determinante de transforma¸ cã o linear 1.2.24, de acordo com a qual det : V V , um outro escalar pode ser a imagem da mesma transforma¸ cão linear, por meio de uma outra fun¸caõ. Para definir esta outra fun¸ cão, suponha que w : V n seja uma fun¸caõ n-linear alternante n˜ ao trivial e que a fun¸cão Tw : V n seja tal que Tw (v1 , . . . , vn ) = ni=1 w(v1 , . . . , T ( vi ), . . . , vn ), onde (v1 , . . . , vn ) V e T V V é uma transforma¸caõ linear. Demonstra-se que Tw também é uma fun¸caõ n-linear alternante. Logo, por causa do teorema 1.2.2, sobre a unicidade da propor¸ cão entre fun¸co˜es nlineares alternantes, existe um uńico µ tal que Tw (v1, . . . , vn ) = µw(v1, . . . , vn ). O teorema 1.2.3, sobre dependˆ encia na propor¸ cão entre fun¸co˜es n-lineares alternantes, foi demonstrado por meio da fun¸ caõ T w : V n tal que T w (v1 , . . . , vn ) = w(T (v1 ), . . . , T ( vn )). Ele podia, porém, ser também demonstrado usando-se, ao inv´ es n de T w , a fun¸caõ Tw : V n tal que Tw (v1 , . . . , vn ) = i=1 w(v1 , . . . , T ( vi ), . . . , vn ). Portanto, demostra-se que µ não depende da escolha da fun¸caõ w, ou seja, µ depende apenas de T . Seja a transforma¸cão linear T V V . O tra¸co desta transforma¸c˜ , ao, trT é definido pela igualdade (trT )w(v1 , . . . , vn ) = ni=1 w(v1, . . . , T ( vi ), . . . , vn ), (v1 , . . . , vn ) V e w : V n w é n-linear alternante n˜ ao trivial. Note que trT é o valor µ apresentado no par´ agrafo anterior, o qual depende apenas de T . O dom´ınio da fun¸cão tr é V V , porque T V V , enquanto que o seu contradom´ınio é , porque trT . Pode-se, ent˜ ao, escrever tr : V V , analogamente a det : V V .

⊗ → 









∈

→

→

∈ ⊗



∈ 

→



→





∈ ⊗

∈ ⊗

∀

→ | ∈ ⊗



∀



⊗ → 

⊗ → 

30

∈ 

∈ 

Coment´ ario 1.2.28 (Rela¸ca õ entre Tra¸co de Transf. Lin. e de Matriz) O tra¸co de uma transforma¸caõ linear pode ser calculado em termos dos seus componentes associados a`s bases (ci c j ) e (ci c j ), sendo (ci )ni=1 uma base de V . De fato, a defini¸caõ de tra¸co de transforma¸cão linear 1.2.26 mostra que (trT )w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , T (ci ), . . . , cn ) = ni=1 w(c1, . . . , (T k j ck c j )(ci ), . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , (c j ci )T k j ck ,

⊗

⊗

 

⊗







·

. . . , cn ) = ni=1 w(c1, . . . , δ j i T k j ck , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , T k i ck , . . . , cn ), onde usouse a defini¸caõ de produto tensorial de vetores 1.2.12. Neste m´ ultiplo somat´ orio, todos os termos que contenham vetores de base repetidos são nulos. Por isto, para i = 1 existe apenas o termo w(T 1 1 c1, c2 , . . . , cn ) = T 1 1 w(c1 , c2 , . . . , cn ), onde a igualdade é causada pela n-linearidade da fun¸cão w (defini¸cão de fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23), para i = 2 existe apenas o termo w(c1 , T 2 2 c2 , . . . , cn ) = T 2 2 w(c1, c2 , . . . , cn ) etc.. Portanto, (trT )w(c1, . . . , cn ) = T i i w(c1 , . . . cn ), ou trT = T i i onde, de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, T i i é soma dos elementos diagonais da matriz [T i j ], chamada tra¸co da matriz [T i j ], logo tr[T i j ] = [T i i ] = T i i . Analogamente para os componentes associados a` base (ci c j ). Tem-se, portanto,

⊗

trT = T i i = tr[T i j ] = T i i = tr[T i j ] . De acordo com o coment´ ario 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor, tem-se T i i = T i i = g i j T i j = g i j T i j . Mas, em termos matriciais, tr[T i j ] = tr[gk j T i k ] = tr([T i k ][gk j ]) = tr[g i k T k j ] = tr([g i k ][T k j ]), havendo express˜ o es an´ alogas para tr[T i j ] (notar que [gi j T i j ] = gi j T i j é um uńico escalar, logo n˜ ao representa uma composi¸caõ de tensores de segunda ordem, de acordo com sua defini¸ cão 1.2.19). Portanto, embora trT = tr[T i j ] = tr[T i j], os tra¸cos das matrizes T i j e T i j não precisam ser iguais a trT . Mas, de acordo com o coment´ ario 1.2.7, sobre base ortonormal dual, numa base ik ik ortonormal gk j = δ k j e g = δ , logo [gk j ] = [g i k ] = [1]. Então, numa base ortonormal os tra¸cos das matrizes T i j e T i j são iguais a trT . , apresenComent´ ario 1.2.29 (Propriedades de Tra¸cos) A fun¸ca˜ o tr : V V tada na defini¸cão de tra¸co de uma transforma¸caõ linear 1.2.26, tem as seguintes propriedades:

⊗ → 



1. tr(αS + T ) = αtrS + trT . De fato, tr(αS + T )w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , (αS + T )(ci ), . . . , cn ) = ni=1 αw(c1 , . . . , S ( ci ), . . . , cn ) + ni=1 w(c1 , . . . , T ( ci ), . . . , cn ) = (αtrS + trT )w(c1 , . . . , cn ), por causa da n-linearidade da fun¸cão w (defini¸cã o de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23). Portanto o tra¸ co é uma fun¸caõ linear do espa¸co V V (o qual é o espa¸co das transforma¸cões lineares do espa¸co vetorial V para o próprio espa¸co vetorial V ) para o espa¸co . Note que o determinante é uma fun¸ caõ não linear do espa¸co V V para o espa¸co .





⊗

 

⊗





2. tr1 = n. De fato, tr1 w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , 1 (ci ), . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , cn ) = nw(c1 , . . . , cn ), por causa da defini¸cão de transforma¸cão tensorial identidade 1.2.16.

31

3. tr(v u) = v u. De fato, sendo (ci ) uma base do espa¸co vetorial V , para (v, u) V tem-se tr(v u)w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , (v u)(ci ), . . . , cn ) = n n j i=1 w(c1 , . . . , (u ci )v, . . . , cn ) = i=1 w(c1 , . . . , (u ci )v c j , . . . , cn ), onde usou-se a defini¸caõ de produto tensorial de vetores 1.2.12. Neste m´ ultiplo somat´ orio, todos os termos que contenham vetores de base repetidos s˜ ao nulos. Por isto, para i = 1 existe apenas o termo w((u c1 )v 1 c1 , c2 , . . . , cn ) = (u c1 )v 1 w(c1 , c2 , . . . , cn ), onde a igualdade é causada pela n-linearidade da fun¸caõ w (defini¸cão de fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23), para i = 2 existe apenas o termo w(c1 , (u c2 )v 2 c2 , . . . , cn ) = (u c2 )v 2 w(c1 , c2 , . . . , cn ) etc.. Portanto, tr(v u)w(c1, . . . , cn ) = ( ni=1 u ci v i )w(c1 , . . . , cn ) = (u v)w(c1 , . . . , cn ).

⊗ ∈



·

·

⊗





⊗

·

·

·

·

·

⊗

·



·

4. tr(S T ) = trS . De fato, de acordo com o coment´ ario 1.2.28, sobre rela¸caõ entre tra¸co de transforma¸caõ linear e de matriz, tem-se tr(S T ) = (S T )i i = (S T )i i . Mas, de acordo com o coment´ ario 1.2.16, sobre transposi¸cão de tensor de segunda ordem, [(S T )i j ] = [S i j ]T , logo (S T )i i = tr[(S T )i j ] = tr([S i j ]T ) = tr[S i j ] = S i i = trS onde o coment´ ario 1.2.28 foi novamente usado. 5. tr(ST ) = tr(T S ). De fato, novamente de acordo com o coment´ ario 1.2.28, temse tr(ST ) = (ST )i i = (ST )i i . Mas (ST )i i = tr[(ST )i j ] = tr([S i k ][T k j ]), onde a segunda igualdade prov´ em da defini¸ caõ de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19. Analogamente, tem-se (T S )i i = tr[(T S )i j ] = tr([T i k ][S k j ]). Como tanto i, como k e j podem assumir valores inteiros desde 1 até n, de acordo com a a´lgebra matricial elementar a soma dos elementos diagonais da matriz produto [S i k ][T k j ] é igual a` soma dos elementos diagonais da matriz produto [T i k ][S k j ], logo tr(ST ) = (ST )i i = (ST )i i = (T S )i i = (T S )i i = tr(T S ). Note que o terceiro item do coment´ ario 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, mostra que det(ST ) = det(T S ), semelhantemente a tr(ST ) = tr(T S ). Porém, enquanto det(ST ) = (det S )(det T ), geralmente tem-se tr(ST ) = (trS )(trT ).



Coment´ ario 1.2.30 (Propriedades de Determinantes - Parte II) det(1 + u v) = 1+ u v. De fato, det(1 + u v)w(c1 , . . . , cn ) = w((1 + u v)(c1 ), . . . , (1 + u v)(cn )) = w((c1 + (v c1 )u), . . . , (cn + (v cn )u)), onde foram usadas as defini¸cões de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24 e de produto tensorial de vetores 1.2.12. Como, de acordo com a defini¸caõ de fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23, w é uma fun¸caõ n-linear, tem-se w((c1 +(v c1 )u), . . . , (cn +(v cn )u)) = w(c1, . . . , cn )+ ni=1 w(c1 , . . . , (v ci )u, . . . , cn )+ termos envolvendo mais do que um ´ unico vetor u no argumento de w . Mas, de acordo com o coment´ ario sobre redu¸cã o no n´ umero de permuta¸co˜es distingu´ıveis 1.2.22, tais termos s˜ ao nulos, porque v ci . Portanto, usando novamente a defini¸caõ 1.2.12 tem-se det(1 + u v)w(c1, . . . , cn ) = w(c1, . . . , cn ) + ni=1 w(c1 , . . . , (u v)(ci ), . . . , cn ) = (1 + tr(u v))w(c1 , . . . , cn ), onde au ´ltima igualdade provém do uso da defini¸ caõ de tra¸co de transforma¸caõ linear 1.2.26. A utiliza¸cão do terceiro item do coment´ ario 1.2.29, referente a propriedades de tra¸ cos, mostra que det(1 + u v)w(c1 , . . . , cn ) = (1 + u v)w(c1, . . . , cn ).

·

⊗

·

·

⊗

·



·

· ∈  ⊗



⊗

·

⊗

⊗

·

32

⊗

⊗

1.2.10

Produto Interno, Invers˜ ao, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de Segunda Ordem

Defini¸ca õ 1.2.27 (Produto Interno de Tens. de Segunda Ordem) O produto interno de dois tensores de segunda ordem (A, B) V V é, por defini¸caõ, T 2 A B = tr(AB ). A fun¸caõ : (V V ) é bilinear, simétrica e de defini¸ caõ positiva, qualidades estas mostradas, para fun¸co˜es, na defini¸cão de produto interno de vetores 1.2.5.

·

·

⊗

∈ ⊗

→

Coment´ ario 1.2.31 (Propriedades do Produto Interno Tensorial) Pode-se facilmente mostrar que:

· 2. A · B = B · A, 1. 1 A = trA,

T

T

∈ ⊗ V tem-se (AB) · C = B · (A C ) = A · (CB ), 4. (v ⊗ u) · A = v · A(u) e 5. se (c ) for uma base de V , então (c ⊗ c ) · (c ⊗ c ) = (c ⊗ c ) · (c ⊗ c ) = n . 3. para (A,B,C ) V

n i i=1

i

j

i

i

j

j

i

2

j

Defini¸ca õ 1.2.28 (Norma de Tensor de Segunda Ordem) A norma de um tensor de segunda ordem A V V é, por defini¸cão, A = A A = trAAT . Mostra-se

∈ ⊗

| |

facilmente que, numa base ortonormal, A =



| | √ ·



√

(A1 1 )2 + (A1 2 )2 + . . . + (An n )2 , enquanto

que, em qualquer base, A = (A1 1 )2 + (A1 2)2 + . . . + (Ann)2 (analogamente para a representa¸cão contravariante e para a outra representa¸ cão mista).

| |

Nota¸c˜ ao 1.2.6 (Aplica¸ c˜ ao de Tensor a Tensor) Sejam M e N dois tensores de ordem k = 0, 1, 2, 3 . . .. O conceito de aplica¸caõ do tensor M ao tensor N é grafado M [N ] e difere do conceito de composi¸cão de tensores de segunda ordem apresentado na defini¸ cão 1.2.19. Por exemplo, para h (escalar, ou tensor de ordem zero), (v, u, w) V

∈

∈ ⊗

ordem), T

V (tensor de ordem k

∈

∈ V ⊗ V ≡⊗ V (tensores de segunda

(vetores, ou tensores de primeira ordem), (A, B) k≥2

2

≥ 2), tem-se:

1. M [h] = hM , ou seja, a aplica¸caõ de um tensor de ordem k = 0, 1, 2, 3 . . . a um escalar é o produto deste escalar pelo tensor considerado; 2. v[u] = v u, conforme a defini¸cão de produto interno de vetores 1.2.5;

·

3. T [u] = T (u), conforme mostrado a seguir; 4. (v

⊗ u)[w] = (v ⊗ u)(w) = (u · w)v, conforme a defini¸caõ de tensor simples 1.2.12; 5. A[B] = A · B = tr(AB ), conforme a defini¸cão de produto interno de tensores de T

segunda ordem 1.2.27 e

6. (v u)[B] = (v u) B = v B u, conforme o quarto item do coment´ ario sobre propriedades do produto interno tensorial 1.2.31.

⊗

⊗ ·

·

33

O item 4 é um caso especial do item 3, v´ alido quando a transforma¸caõ linear for um tensor simples, ou seja, quando T = v u. Além disto, o item 6 é um caso especial do item 5, válido quando A = v u. Para explicar o item 3, considere os componentes de T e de u associados a`s suas respectivas bases. Supondo que i seja o indicador (´ındice ou super´ındice) mais a` direita nos componentes de T e que j seja o indicador de u , cada componente de T (u) ter´ a todos os indicadores dos componentes de T , salvo o u ´ltimo a` direita e ser´ a a soma dos produtos dos componentes de T e u que apresentam i = j. Logo, como a ordem de T é k 2, a ordem de T (u) é k 1. Coerentemente com o exposto na defini¸ cão de transforma¸caõ n-linear 1.2.10, isto indica que a aplica¸cã o de T a um argumento formado por k 1 vetores produz como imagem um vetor. Por isto, a representa¸cão matricial de A(u) é a matriz coluna resultante do produto matricial elementar entre a matriz quadrada que representa A e a matriz coluna que representa u. Por outro lado, embora a representa¸ cão matricial da composi¸caõ de tensores de segunda ordem, simbolizada A B ou AB conforme sua defini¸cão 1.2.19, também seja o resultado de um produto matricial elementar, ela n˜ ao é simbolizada A(B) e, conforme mostra a pen´ ultima linha, A[B] tem outro significado. Ou seja, a composi¸caõ A B não é a aplica¸cã o de A a B, mas sim a aplica¸caõ de B a u, seguida da aplica¸caõ de A ao vetor disto resultante, logo (A B)(u) = A(B(u)) = (AB)(u). O anterior item 1 mostra que a aplica¸cão de um tensor a um escalar (tensor de ordem 0) n˜ ao reduz a ordem do tensor. Os itens 2, 3 e 4 mostram que a aplica¸ cão de um tensor a um vetor (tensor de ordem 1) reduz em uma unidade a ordem do tensor. Os itens 5 e 6 indicam que a aplica¸caõ de um tensor a um tensor de ordem 2 reduz em duas unidades a ordem do tensor. Esta é a regra geral envolvida no conceito de aplica¸ cão de tensor a tensor. Evidentemente, n˜ ao se pode aplicar um tensor a outro cuja ordem seja superior àquela do primeiro.

⊗

⊗

≥ −

−

◦

◦

◦

Defini¸ca õ 1.2.29 (Tensor Inverso de Segunda Ordem) Seja o tensor de segunda ordem A V V e seja A −1 V V AA−1 = A −1 A = 1 , sendo A−1 u ´ nico e denominado inverso de A. Quando A−1 existir, A será denominado invert´ıvel ou n˜ ao singular e, no caso contr´ ario, A será chamado singular. De acordo com os itens 2 e 3 do coment´ ario 1.2.27, AA −1 = A −1 A = 1 implica em det(A−1 ) = (det A)−1 , logo A é invert´ıvel somente se det A = 0. Demonstra-se, porém, que A é invert´ıvel se e somente se det A = 0.

∈ ⊗

∈ ⊗ |





Coment´ ario 1.2.32 (Propriedades do Tensor Inverso) Se, de acordo com a defini¸cão de tensor inverso 1.2.29, A e B forem invert´ıveis, demonstra-se que: 1. (AB)−1 = B −1 A−1 e 2. (A−1)T = (AT )−1 = A −T , onde A−T é o tensor inverso transposto do tensor A.

⊗ V , o subespa¸co Inv (V ) =

Nota¸c˜ ao 1.2.7 (Subespa¸co Invert´ıvel) Define-se, em V F V V F é invert´ıvel .

{ ∈ ⊗ |

}

Defini¸ca õ 1.2.30 (Tensor Ortogonal de Segunda Ordem) O tensor de segunda ordem Q V V é denominado uma transforma¸ caõ linear ortogonal se ele preservar

∈ ⊗

34

o produto interno em V , isto é, se, (u, v) V , ocorrer Q(u) Q(v) = u v. De acordo com a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17, Q(u) Q(v) = v QT Q(u), o que indica, por causa da simetria do produto interno de vetores apresentada na sua defini¸caõ 1.2.5, que QT Q = 1 ou, considerando a defini¸caõ de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, que QT = Q −1.

∀

∈

·

·

·

·

Coment´ ario 1.2.33 (Propriedades de Tensor Ortogonal) Demonstra-se que:

|

|

1. det Q = 1, sendo a transforma¸cão ortogonal pr´ opria se det Q = 1 e impr´ opria se det Q = 1,

− 2. |Q(v)| = |v|, logo a transforma¸cão ortogonal preserva a norma do vetor, de acordo sua defini¸caõ 1.2.6 e

3. θ(Q(v), Q(u)) = θ(v, u), logo a transforma¸cão ortogonal preserva o aˆngulo entre os vetores, de acordo com sua defini¸caõ 1.2.7. 4. Se B = QAQT (ou se A = QT BQ), de acordo com o item: (a) 3 do coment´ ario 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, tem-se det B = det(QAQT ) = det(QT QA) = det(1 A) = det A. Considerando o coment´ ario 1.2.26, sobre a rela¸caõ entre determinante de transforma¸ cão linear e de matriz, igualdade an´ aloga a det B = det A pode ser escrita para qualquer uma das quatro poss´ıveis representa¸ co˜es matriciais de A e B , desde que, evidentemente, as representa¸ cões de A e B sejam do mesmo tipo. (b) 5 do coment´ ario 1.2.29, sobre propriedades de tra¸ cos, tem-se trB = tr(QAQT ) = tr(QT QA) = tr(1 A) = trA. Considerando o coment´ ario 1.2.28, sobre a rela¸caõ entre tra¸co de transforma¸cão linear e de matriz, igualdade an´ aloga a trB = trA pode ser escrita para qualquer uma das quatro poss´ıveis representa¸co˜es matriciais de A e B, desde que, evidentemente, as representa¸ cões de A e B sejam do mesmo tipo.

Defini¸ca õ 1.2.31 (Grupo de Tensores de Segunda Ordem) O conjunto G de tensores de segunda ordem ser´ a denominado um grupo quando ele apresentar as seguintes propriedades, onde o produto AB não necessariamente indica a composi¸ caõ, conforme sua defini¸caõ 1.2.19:

∈

∈ G,

1. se (A, B) G ent˜ ao AB

∈

2. se (A,B,C ) G ent˜ ao A(BC ) = (AB)C , 3.

∃ 1 ∈ G tal que, ∀A ∈ G, tenha-se 1 A = A1 = A, onde 1 é o tensor identidade, conforme sua defini¸caõ 1.2.16 e

4.

−1

∀A ∈ G ∃ A

tal que AA−1 = A −1 A = 1 .

Nota¸c˜ ao 1.2.8 (Grupos Especiais) Os grupos abaixo citados possuem representa¸ cões espec´ıficas:

35

1. Considerando o caso espec´ıfico em que, na defini¸ caõ de grupo de tensores de segunda ordem 1.2.31, AB indique a composi¸caõ A B, percebe-se que, usando a nota¸caõ para subespa¸co invert´ıvel 1.2.7, Inv (V ) é um grupo. Por isto, Inv (V ) é também denominado grupo linear geral de V , ou GL(V ).

◦

2. Considerando a defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, o conjunto (V ) = Q V V Q é ortogonal forma um grupo denominado grupo ortogonal de V .

O

3.

4.

{ ∈ ⊗ |

(V ) = Q (V ) det Q = 1 , onde o conjunto + (V ) forma um grupo porque o elemento identidade do conjunto (V ) pertence a este seu subconjunto. O subconjunto de (V ) cujos elementos apresentam o valor 1 como determinante não formam um grupo, porque n˜ a o h´ a elemento identidade neste subconjunto. O + oprio, ou subgrupo (V ) do grupo (V ) é denominado grupo ortogonal pr´ ao rota¸cões. grupo rotacional de V , porque seus elementos s˜

O

+

}

{ ∈O | O O O

}

O

O

−

U (V ) = {T ∈ V ⊗ V || det T | = 1}, denominado grupo unimodular de V , porque seus elementos s˜ ao chamados tensores de segunda ordem unimodulares.

{ ∈ ⊗ V | det T = 1}, denominado grupo linear especial de V .

5. SL(V ) = T V Evidentemente, tem-se

O 1.2.11

+

(V )

 ⊂

SL(V ) (V )

O

 ⊂ U

(V )

⊂ GL(V ) .

Elemento de Volume

Defini¸ca õ 1.2.32 (Classe e Base de Orienta¸ca õ Positiva) Duas fun¸co˜es alternantes n-lineares não triviais w1 : V n e w2 : V n (defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23) s˜ ao ditas equivalentes se w1(c1 , . . . , cn ) = λw2 (c1 , . . . , cn ) λ , ario 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co λ > 0 e, conforme o coment´ vetorial - parte I, (ci )ni=1 é uma base de V tal que w2 (c1 , . . . , cn ) = 0. De acordo com o coment´ ario 1.2.24, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte II, a u ńica outra possibilidade existente, além de λ > 0, é λ < 0. A rela¸c˜ ao de equivalência w1 (c1, . . . , cn ) = λw 2 (c1 , . . . , cn ) λ e λ > 0 separa o conjunto das fun¸co˜es alternantes n-lineares não triviais w em duas classes. De acordo com a teoria de conjuntos, toda rela¸ cão de equivalˆ encia produz uma parti¸cão, do conjunto a que ela se aplica, em subconjuntos chamados classes. Classes não se interceptam, a uni˜ ao delas coincide com o conjunto que as contém e os elementos que formam cada classe s˜ ao ditos equivalentes entre si. No presente caso, os elementos são as fun¸co˜es w, as classes são duas e são denominadas:

→

→

| ∈ 



| ∈ 

classe com orienta¸c˜ ao positiva de fun¸cões w de V , grafada ∆, que contém fun¸co˜es alternantes n-lineares não triviais w cujos valores w(c1 , . . . , cn ) apresentam todos eles o mesmo sinal (positivo ou negativo, de acordo com qual for a espec´ıfica base (ci )ni=1 utilizada) e classe com orienta¸c˜ ao oposta de fun¸co˜es w de V , grafada ∆oposta , que contém fun¸co˜es alternantes n-lineares não triviais w cujos valores w(c1, . . . , cn ) também apresentam, todos eles, o mesmo sinal, o qual é: 36

negativo no caso de, para a mesma base (ci )ni=1 , a classe ∆ apresentar sinal positivo, ou positivo no caso de, para a mesma base (ci )ni=1, a classe ∆ apresentar sinal negativo. Note que metade das fun¸co˜es w encontra-se em cada uma das duas classes. Se (ci )ni=1 for uma base de V tal que, w ∆, tenha-se w(c1 , . . . , cn ) > 0, esta ser´ a uma base n orientada positivamente . Portanto, se (ci )i=1 não for orientada positivamente, w ∆ ter-se-á w(c1 , . . . , cn ) < 0. Além disto, se (ci )ni=1 for orientada positivamente, w ∆oposta ter-se-á w(c1 , . . . , cn ) < 0. Logo, se esta base n˜ ao for orientada positivamente, w ∆oposta ter-se-á w(c1 , . . . , cn ) > 0. Evidentemente, se forem trocados entre si os conjuntos de fun¸cões arbitrariamente rotulados ∆ e ∆oposta , as bases de orienta¸caõ positiva passar˜ ao a ser as bases não orientadas positivamente e vice-versa.

∀ ∈

∀ ∈ ∀ ∈

∀ ∈

Defini¸ca õ 1.2.33 (Transforma¸c˜ ao Linear Orienta¸c˜ ao Preservante) Seja a transforma¸cão linear, no caso tensor de segunda ordem, A V V e seja (v1 , . . . , vn ) V . A transforma¸ caõ A será orienta¸c˜ ao preservante se, w ∆, ocorrer que Aw ∆ Aw (v1 , . . . , vn ) = w(A(v1), . . . , A(vn )), onde ∆ é a classe das fun¸ cões alternantes n-lineares não triviais com orienta¸cão positiva, conforme a defini¸cã o de classe e base de orienta¸caõ positiva 1.2.32. Evidentemente, se A for orienta¸caõ preservante, ent˜ ao w ∆oposta ter-se-á que Aw ∆oposta Aw (v1 , . . . , vn ) = w(A(v1 ), . . . , A(vn )). De acordo com a defini¸cão de determinante de transforma¸ cão linear 1.2.24, A w (v1 , . . . , vn ) = (det A)w(v1 , . . . , vn ). Logo, a transforma¸caõ A será orienta¸caõ preservante se e somente se det A > 0. Por exemplo, sejam (ci )ni=1 e (¯ci )ni=1 duas bases do espa¸co V e seja a transforma¸caõ linear, no caso tensor de segunda ordem A, tal que c¯i = A(ci ), para i = 1, . . . , n, logo (A(c1 ), . . . , A(cn )) = (¯c1 , . . . , c¯n ). Se det A > 0 ou det A < 0, as bases (ci )ni=1 e (¯ci )ni=1 ao igual ou oposta . terão respectivamente orienta¸c˜

∈ ⊗ ∀ ∈

|

∀ ∈

∈

∈

∈

|

Defini¸ca õ 1.2.34 (Fun¸c˜ ao e Tensor Elemento de Volume) Seja V um espa¸co vetorial tridimensional, seja (ei )3i=1 uma base ortonormal de V orientada positivamente e seja uma fun¸caõ alternante trilinear n˜ ao trivial com orienta¸ cão positiva w : V 3 , logo w ∆, de acordo com a defini¸caõ de classe e base de orienta¸caõ positiva 1.2.32. Impondo w : (e1, e2, e3 ) 1, a fun¸caõ ser´ a bem definida, representada por e e denominada elemento de volume. De fato, devido a` defini¸cã o de fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23, a imposi¸ caõ e : (e1 , e2 , e3 ) 1 implica em e(e1 , e2 , e3 ) = 1 , e(e2 , e3 , e1 ) = 1 , e(e3 , e1 , e2 ) = 1 , e(e3 , e2 , e1 ) = 1, e(e1 , e3 , e2 ) = 1 e e(e2 , e1, e3) = 1, onde todas as permuta¸co˜es pares (defini¸caõ de permuta¸cão 1.2.22) s˜ ao positivas porque e ∆. A mesma defini¸caõ 1.2.23 indica, também, que o valor da imagem da fun¸ cão e será nulo sempre que, no seu argumento, estiver repetido um dos três vetores da base (ei )3i=1 . Por outro lado, a defini¸caõ de transforma¸caõ n-linear 1.2.10 mostra que, dadas as informa¸co˜es anteriores, a imagem de e(u, v, w) é bem definida (u, v, w) V . Logo, para definir completamente uma fun¸cão n-linear alternante n˜ ao trivial basta informar um u ´ nico elemento da fun¸caõ,

→

∈

→

→ −

−

−

∀

∈

37

∈

tal como faz a imposi¸cão e : (e1 , e2 , e3 ) 1. Conforme colocado na defini¸caõ de tensor de ordem k, numerada 1.2.20, a fun¸caõ elemento de volume, e, é a transforma¸caõ escalar correspondente ao tensor elemento de co de produto tensorial V V V , volume, e, de terceira ordem, o qual pertence ao espa¸

→

⊗ ⊗

3

∈⊗

ou seja, e V . Um tensor de terceira ordem pode ser representado em termos dos componentes associados a qualquer uma de suas 23 = 8 bases. Mas, de acordo com o coment´ ario 1.2.7, sobre base ortonormal dual, as oito bases s˜ ao iguais entre si, porque 3 3 a base considerada é ortonormal. Tem-se, ent˜ ao, e = i=1 j=1 3i=k i j k ei e j ek , onde i j k = e(ei , e j , ek ) é um dos 33 = 27 componentes do tensor de terceira ordem 3 3 3 e, associados a` base (ei e j e k )i=1 ca do j =1 k=1 . De acordo com a primeira senten¸ parágrafo anterior,

  

⊗ ⊗

⊗ ⊗

1. 1 2 3 =  2 3 1 =  3 1 2 = 1 [permuta¸co˜es pares de (1,2,3)], 2. 3 2 1 =  1 3 2 =  2 1 3 =

−1 [permuta¸cões ´ımpares de (1,2,3)] e

3. são nulos os demais 21 componentes (algarismo 1, 2 ou 3 repetido no ´ındice de ). Por causa destes valores assumidos, i j k é denominado s´ımbolo de permuta¸ca õ. Ainda de acordo com a defini¸cão 1.2.20, os 27 valores do s´ımbolo de permuta¸ cão podem ser ordenados de modo a formar uma matriz c´ ubica com um valor no centro do cubo, um valor no centro de cada uma das seis faces, um valor no meio de cada uma das doze arestas e um valor em cada um dos oito vértices. Entre todos estes valores, apenas n˜ ao são nulos aqueles localizados no meio de seis arestas. Os seis pontos correspondentes formam um hex´ agono regular num plano perpendicular a` diagonal do cubo que passa pelos vértices onde se localizam 1 1 1 e 3 3 3 . Se o hexágono for substitu´ıdo por dois triˆ angulos equiláteros cujos centros coincidam com o centro do hex´ agono, formando assim uma figura com forma de estrela de seis pontas, o triˆ angulo que contiver  1 2 3 corresponder´ a a`s permuta¸cões pares.

Coment´ ario 1.2.34 (Propriedades do S´ımbolo de Permuta¸c˜ ao) Sejam a, b e c três pares ordenados bem determinados, sendo cada elemento do par escolhido entre os trˆ es algarismos 1, 2 e 3. Evidentemente, existem 3! = 6 poss´ıveis ordenamentos do conjunto a, b, c , constitu´ıdo por estes três pares. Sejam, também, os três pares ordenados (i, l), ( j, m), (k, n), onde i, j, k, l, m e n são ´ındices do s´ımbolo de permuta¸caõ. Para estes pares de ´ındices, s´ o é permitido o ordenamento dado por ((i, l), ( j, m), (k, n)). O conjunto ordenado ((i, l), ( j, m), (k, n)) poder´ a ser igualado a qualquer uma das seis poss´ıveis permuta¸co˜es do ordenamento do conjunto a, b, c . Analogamente, suponha que s´ o existam os pares a e b, considere que os dois pares ordenados de ´ındices ( j, m) e (k, n) sejam sempre mantidos na ordem (( j, m), (k, n)) e que este conjunto ordenado possa ser igualado a qualquer uma das duas poss´ıveis permuta¸ cões do ordenamento de a, b . Ainda, considere apenas o par a e que (k, n) possa ser igualado a a. De acordo com a defini¸caõ de fun¸caõ e tensor elemento de volume 1.2.34, para os 33 = 27 componentes  i j k do tensor e demonstra-se que:

{

}

{

}

{ }

1. Existem 33 33 = 36 = 729 poss´ıveis produtos i j k l m n , entre os quais 6 6/2 = 18 iguais a 1, outros 18 iguais a 1 e os restantes 693 nulos. Os 18 produtos iguais a 1 são obtidos igualando ((i, l), ( j, m), (k, n)) a`s 6 permuta¸co˜es de cada um dos

×

×

−

38

três conjuntos distintos a, b, c 1 , a, b, c 2 e a, b, c 3 , os quais sã o os u ńicos que não anulam o produto nem produzem resultado negativo. Por exemplo, podese considerar a, b, c 1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3) , a, b, c 2 = (1, 2), (2, 3), (3, 1) e a, b, c 3 = (1, 3), (2, 1), (3, 2) . Os 18 produtos iguais a 1 são obtidos igualando ((i, l), ( j, m), (k, n)) a`s 6 permuta¸co˜es de cada um dos três conjuntos distintos a, b, c 4 , a, b, c 5 e a, b, c 6 , os quais são os u ´ nicos que não anulam o produto nem produzem resultado positivo. Por exemplo, pode-se considerar a, b, c 4 = (1, 3), (2, 2), (3, 1) , a, b, c 5 = (1, 1), (2, 3), (3, 2) e a, b, c 6 = (1, 2), (2, 1), (3, 3) .

{

{ { {

}

} {

} { } {

{ } { } { } } { } { } } { } {

} }

} {

{ −

}

{ } {



}

2. Existem 32 3 2 = 34 = 81 somat´ orios de produtos 3i=1 i j k i m n = δ j m δ k n δ j n δ k m , entre os quais 6 iguais a 1, outros 6 iguais a 1 e os restantes 69 nulos. Os 6 somat´ orios de produtos iguais a 1 s˜ ao obtidos igualando (( j, m), (k, n)) a`s 2 permuta¸co˜es de cada um dos três conjuntos distintos a, b 1 , a, b 2 e a, b 3 , os quais sã o os u ´ nicos que n˜ ao anulam o somat´ orio de produtos nem produzem resultado negativo. Por exemplo, pode-se considerar a, b 1 = (1, 1), (2, 2) , a, b 2 = (1, 1), (3, 3) e a, b 3 = (2, 2), (3, 3) . Os 6 somat´ orios de produtos iguais a 1 são obtidos igualando (( j, m), (k, n)) a`s 2 permuta¸co˜es de cada um dos três conjuntos distintos a, b 4 , a, b 5 e a, b 6 , os quais sã o os u ńicos que não anulam o somat´ orio de produtos nem produzem resultado positivo. Por exemplo, pode-se considerar a, b 4 = (1, 2), (2, 1) , a, b 5 = (1, 3), (3, 1) e a, b 6 = (2, 3), (3, 2) .

×

{ } { { } {

−

−

− { } { } { } { } { }

} { } { } { } { } { } { } { } { } { }

}

 

3. Existem 32 = 9 duplos somat´ orios de produtos 3i=1 j3=1 i j k i j n = 2δ k n , entre os quais 3 iguais a 2 e os restantes 6 nulos. Os 3 duplos somat´ orios de produtos iguais a 2 s˜ ao obtidos igualando (k, n) a cada um dos três pares ordenados distintos a1 , a 2 e a3 , os quais sã o os u ńicos que não anulam o duplo somat´ orio de produtos (resutado negativo é imposs´ıvel). Por exemplo, pode-se considerar a1 = (1, 1), a2 = (2, 2) e a3 = (3, 3). 4. Existe 1 tr´ıplice somat´ orio de produtos

   3 i=1

3

j =1

3

k=1 i j k i j k

= 6.

Note que resultado an´ alogo ao apresentado no item 2 seria obtido se o ´ındice repetido fosse o segundo ou o terceiro. Além disto, resultado an´ alogo ao apresentado no item 3 seria obtido se os ´ındices repetidos fossem o primeiro e o terceiro, ou o segundo e o terceiro.

Coment´ ario 1.2.35 (Propriedades dos Componentes do Tensor e) Seja V um espa¸co vetorial tridimensional, seja (ei )3i=1 uma base ortonormal de V orientada positivamente, conforme a defini¸cão de classe e base de orienta¸caõ positiva 1.2.32 e seja (ci )3i=1 outra base do mesmo espa¸co. Seja A V V tal que ci = A(ei ), para i = 1, 2, 3, logo (c1 , c2 , c3) = (A(e1), A(e2 ), A(e3)), portanto seja A uma transforma¸cão linear da base (ei )3i=1 para a base (ci )3i=1 , o que indica que A é um tensor de segunda ordem. De acordo com o coment´ ario 1.2.25, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial Parte III, se e somente se det A = 0 tem-se que, se (ei )3i=1 for uma base de V tal que w(e1 , e2 , e3 ) = 0, ent˜ ao (ci )3i=1 será uma base de V tal que w(c1, c2 , c3 ) = 0. Em termos dos seus componentes covariantes associados a` base produto (ci c j ck )3i=1 j3=1 k3=1 (conceito an´ alogo ao que se encontra na defini¸ caõ de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15), o tensor tridimensional de terceira ordem e,

∈ ⊗







39

⊗ ⊗

apresentado na defini¸ca˜ o de fun¸caõ e tensor elemento de volume 1.2.34, pode ser escrito e = ei j k ci c j c k . Por outro lado, em termos da fun¸ cão alternante trilinear não trivial com orienta¸cão positiva e : V 3 correspondente a este tensor, denominada fun¸caõ elemento de volume e também apresentada na defini¸ cão 1.2.34, tem-se ei j k = e(ci , c j , ck ) = e(A(ei ), A(e j ), A(ek )) = (det A)e(ei , e j , ek ) = (det A)i j k , onde a pen´ ultima igualdade é devida a` defini¸caõ de determinante de transforma¸caõ linear 1.2.24 eau ´ltima novamente utiliza a defini¸caõ 1.2.34. De acordo com o coment´ ario 1.2.6, sobre as fun¸co˜es gi j e gi j , tem-se gi j = ci c j = A(ei ) A(e j ) = e j AT A(ei ) = (AT A) j i = (AT A)i j , onde usou-se as defini¸co˜ es de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 e de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19 na terceira igualdade, o coment´ ario 1.2.10 sobre c´ alculo de componente associado de tensor de segunda ordem na pen´ ultima igualdade e o fato de que o tensor de segunda T ordem (A A) é simétrico, conforme a defini¸ cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18, na u´ltima igualdade. Tem-se, ent˜ ao, det[gi j ] = det[(AT A)i j ] = (det[A]i j )2 = (det A)2 , onde a pen´ ultima igualdade é devida ao terceiro e ao quarto item do coment´ ario 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, enquanto que a ultima ´ deve-se ao coment´ ario 1.2.26, sobre determinante de transforma¸ cão linear e de matriz. Definindo g = det[gi j ], tem-se det A = g. Para os componentes covariantes do elemento de volume obtém-se, ent˜ ao,

⊗ ⊗

·

→

·

·

±√

ei j k =

±√ g 

i j k ,

onde, de acordo com a defini¸cão de transforma¸cão linear orienta¸caõ preservante 1.2.33, o sinal positivo ocorrer´ a quando A for orienta¸caõ preservante. Para os componentes contravariantes do elemento de volume obtém-se ei j k =

±(√ g)

−1

i j k =

±(√ g)  , √ = ± g e , porque, de acordo com a −1

ijk

ijk onde a primeira igualdade deve-se a que i j k defini¸caõ de matrizes de transforma¸cão 1.2.21, se ck = A(ek ), ent˜ ao ek = A T (ck ) e v.v.. Já a segunda igualdade resulta da considera¸ ca˜ o de que i j k = i j k , de acordo com a já mencionada defini¸cão 1.2.34. As duas u ´ ltimas express˜ oes destacadas mostram que os quatro itens do coment´ ario 1.2.34, sobre propriedades do s´ımbolo de permuta¸ cão, podem ser escritos em termos dos componentes covariantes e contravariantes do tensor elemento de volume. Em especial,

1. no primeiro item usa-se ei j k el m n no lugar de i j k l m n ,

     

2. no segundo item usa-se = δ j m δ k n δ j n δ k m ,

−

3. no terceiro item usa-se 2δ k n e 4. no quarto item usa-se i j k = 6.

3 ijk ei m n = δ jm δ kn i=1 e

3 i=1

3 i=1

3

j =1

3

j =1

j k n δ m no

− δ

ei j k ei j n = 2δ kn no lugar de 3

k=1

     

ei j k ei j k = 6 no lugar de

40

3 i=1 i j k i m n

lugar de 3 i=1

3 i=1

3

j =1 i j k i j n

3

j =1

3

=

k=1 i j k

Defini¸ca õ 1.2.35 (Rela¸c˜ ao entre Tensor e e Determinante) Se T V V e T = T i j ci c j ent˜ ao, de acordo com o coment´ ario 1.2.26, sobre rela¸cão entre determinante de transforma¸cão linear e de matriz, tem-se det T = det[T i j ]. Usando o primeiro item ao final do coment´ ario 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor elemento de volume e, demonstra-se ent˜ ao que, para os componentes contravariantes e l m n e covariantes ei j k deste tensor, tem-se

∈ ⊗

⊗

1 det T = el m n ei j k T i l T j m T kn . 6 Já os seis tipos de componentes mistos do tensor e, respectivamente referentes a cada uma das 23 2 bases mistas, não apresentam rela¸co˜es simples com det T .

−

1.2.12

Produto Externo e Produto Vetorial

∀ ⊗ − ⊗

∈

Defini¸ca õ 1.2.36 (Produto Externo de Vetores) (v, u) V , o produto externo de v por u, notado v u, é definido por v u = v u u v. Esta defini¸caõ mostra que o argumento da fun¸cão produto externo s˜ ao dois vetores, logo seu dom´ınio é V 2 , enquanto que a imagem desta fun¸cão é uma transforma¸caõ linear, resultante da subtra¸cão de dois produtos tensoriais (defini¸caõ 1.2.12 de produto tensorial de vetores ou tensor simples), a qual pertence a V V . Por isto, : V 2 V V . A partir desta defini¸ cão pode-se facilmente demonstrar que a imagem de é um tensor de segunda ordem (defini¸ cão de tensor de segunda ordem 1.2.14) bilinear (defini¸cão de transforma¸cão n-linear 1.2.10) e antissimétrico (defini¸cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18).

∧

∧

⊗

∧

∧

→ ⊗

Coment´ ario 1.2.36 (Produto Externo como Base para Skw (V )) Seja a base produto (ci c j )in=1 jn=1 (defini¸caõ de espa¸co de produto tensorial 1.2.13) de V V . Neste −1 n caso, (ci c j )ni=1 a uma base para Skw (V ), onde usou-se a nota¸caõ para su j =2 i < j ser´ bespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5. Foi imposto i < j porque os demais elementos de (ci c j )in=1 jn=1 ou são nulos, ou têm mesmo m´ odulo mas sinal oposto a elementos −1 n inclu´ıdos em (ci c j )ni=1 encia, tem-se que, de acordo com j =2 i < j. Como consequˆ o coment´ ario 1.2.9 (dimens˜ ao de espa¸co de transforma¸caõ linear), se dim V = n, então −1 n dim V V = n 2 e dim Skw (V ) = n(n 1)/2, porque dim(ci c j )ni=1 j =2 i < j = n(n 1)/2. De fato, o n´ umero de elementos desta base é igual a` soma dos elementos da progress˜ ao linear 1, 2, 3, . . . , (n 1), cujo valor é n(n 1)/2. Em particular, para dim V = 3 tem-se dim Skw (V ) = 3. −1 n Para mostrar que (ci c j )ni=1 e uma base de Skw (V ) considere a decomposi¸caõ j =2 i < j ´ W = W i j ci c j = W j i c j ci , onde, de acordo com a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, a primeira igualdade é v´ alida para qualquer tensor desta ordem, enquanto que a segunda igualdade provém da troca entre os indicadores i e j. De acordo com o coment´ ario 1.2.17, sobre transposi¸cão de tensores simétrico e antissimétrico, para W antissimétrico tem-se W i j = W j i , portanto W = (W i j ci c j + W j i c j ci )/2 = (W i j ci c j W i j c j ci )/2 = W i j ci c j / 2 = W i j ci c j i < j, onde a pen´ ultima igualdade provém da defini¸ cão de produto externo de vetores 1.2.36 e a ultima ´ do fato de que W i j ci c j = W j ic j ci e W i i ci ci = 0. Note que o duplo somatório é sobre todos os i e j em W i j ci c j / 2, mas apenas sobre i < j em W i j ci c j i < j.

⊗ ∧

⊗

|

∧

∧

|

⊗

−

−

⊗

−

|

⊗

⊗ −

∧

|

−

∧

⊗

∧

∧

− ∧

⊗

∧

∧

41

∧ |

∧ |

⊗

Defini¸ca õ 1.2.37 (Fun¸c˜ ao Linear Dualidade) Seja tridimensional o espa¸co vetorial V . Como, de acordo com o coment´ ario 1.2.36, sobre produto externo como base para ca õ Skw (V ), o espa¸co Skw (V ) também é tridimensional, (u, v, w) V define-se a fun¸ linear dualidade τ : Skw (V ) V τ (u v) w = e(u, v, w). Em palavras, se a fun¸caõ τ for aplicada a` transforma¸caõ bilinear u v, denominada produto externo de vetores de acordo com a sua defini¸caõ 1.2.36 e pertencente ao espa¸co a como imagem um vetor pertencente ao espa¸ co V . Este vetor ser´ a tal Skw (V ), produzir´ que seu produto interno, com qualquer outro vetor w V , produzir´ a um escalar igual ao escalar obtido quando a fun¸caõ elemento de volume do espa¸co V , grafada e de acordo com a sua defini¸caõ 1.2.34, for aplicada ao conjunto ordenado dos três vetores (u, v, w) V . A fun¸cão τ tem inversa, ou seja, a cada tensor antissimétrico corresponde um e apenas um vetor, vetor este ao qual corresponde um e apenas um tensor antissimétrico. Note que, como e é uma fun¸caõ trilinear alternante n˜ a o trivial, de acordo com o coment´ ario 1.2.23, sobre fun¸caõ n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I, se os vetores u, v e w não forem linearmente independentes entre si, ent˜ ao e(u, v, w) = 0. Isto ocorrer´ a sempre que w for uma combina¸cão linear de u e v . Mas ocorrer´ a, também, sempre que u e v forem colineares. Aliás, neste caso ter-se-´ a e(u, v, w) = 0 qualquer que seja o vetor w , logo τ (u v) w = 0 qualquer que seja o vetor w , o que exige τ (u v) = 0 (note que, de acordo com a defini¸caõ de espa¸co vetorial real 1.2.1, o primeiro 0 é o escalar zero, enquanto que o segundo simboliza vetor nulo). Por outro lado, sempre que os vetores u, v e w forem linearmente independentes entre si, eles formarão uma base (ci , c j , ck ) do espa¸co vetorial tridimensional V . Neste caso, o tensor e, tamb´ em apresentado na defini¸ caõ 1.2.34, apresentar´ a componentes associados às bases produto do espa¸co V V V provenientes desta base de V . Aos componentes covariantes e contravariantes poder´ a ser aplicado o conte´ udo do coment´ ario 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor e.

→ |

∀

∧ ·

∈

∧

∈

∈

∧ ·

∧

⊗ ⊗

Nota¸c˜ ao 1.2.9 (Vetor Associado a Tensor Antissimétrico) Seja o tensor antissimétrico W ca˜ o 1.2.18 e com a nota¸cã o para suSkw (V ), de acordo com sua defini¸ bespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5. Seja, também, a fun¸ cão linear dualidade τ , conforme sua defini¸caõ 1.2.37. Aplicando esta fun¸caõ a W obtém-se o vetor associado ao tensor antissimétrico W , representado por < W > τ (W ) e denominado vetor axial. Para entender a raz˜ ao desta denomina¸caõ, considere (u, v, w) V e Q V V . Usando novamente a defini¸caõ 1.2.37, < Q(u) Q(v) > Q(w) = e(Q(u), Q(v), Q(w)) = (det Q) e(u, v, w) = (det Q) w, onde na segunda igualdade utilizou-se a defini¸caõ de determinante de transforma¸ caõ linear 1.2.24. Porém, se Q for ortogonal (defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30) o produto interno vetorial ser´ a invariante, ou seja, Q() Q(w) = w. Substituindo esta u´ltima igualdade na anterior tem-se < Q(u) Q(v) > Q(w) = (det Q)Q() Q(w), ou < Q(u) Q(v) > = (det Q) Q(). Lembrando que, de acordo com o coment´ ario 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, se Q for um tensor ortogonal ent˜ ao det Q = 1, obtém-se < Q(u) Q(v) > = Q(). Portanto, ainda conforme o coment´ ario 1.2.33, um tensor de segunda ordem ortogonal transforma os vetores u , v e respectivamente em Q(u), Q(v) e Q(), preservando os m´ o dulos e os aˆngulos entre os vetores. Mas < Q(u) Q(v) > , embora tendo o mesmo m´ odulo de Q(), tanto pode coincidir com este vetor como pode apontar no sentido oposto a ele, dependendo da transforma¸ cão ortogonal ser pr´ opria ou

∈

≡

∧

∧

·

∧

±

∧

·

∧

·

·

∧

∧

∧

±

∧ ∧

∈

·

∧

·

∧

∧

42

∈ ⊗

∧

imprópria. Como, de acordo com o coment´ ario 1.2.36, sobre produto externo como base para Skw (V ), tem-se W = W i j ci c j i < j se W Skw (V ) e, como o que foi afirmado para u, v e também é v´ alido para cada um dos conjuntos ci , c j , ci c j com i < j, todo vetor < W > associado a um tensor antissim´ etrico W é denominado vetor axial.

∧ |

∧

∈

{

∧ }

Coment´ ario 1.2.37 (Propriedades do Vetor Axial) Seja (ci , c j , ck ) uma base de V . De acordo com a defini¸caõ de fun¸cão linear dualidade 1.2.37 tem-se τ (ci c j ) ck = e(ci , c j , ck ) = e i j k , onde a u ´ltima igualdade provém do coment´ ario 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor e. Mas ei j k = e i j l c l ck , logo τ (ci c j ) = e i j k ck e, usando a nota¸cão para vetor associado a tensor antissim´ etrico 1.2.9, < c i c j >= ei j k ck . Obtém-se, de forma an´ aloga, as quatro express˜ oes

∧ ·

·

1. < c i 2. < c i 3. < c i 4. < c i

∧c ∧c ∧c ∧c

j j j j

>= τ (ci

∧ c ) = e >= τ (c ∧ c ) = e >= τ (c ∧ c ) = e >= τ (c ∧ c ) = e i

i i

j

ijk

j

i j k

j

j i k

j

ij k

∧

∧

ck = ei j k ck ,

ck = ei j k ck , ck = ei j k ck

e

ck = e i j k ck ,

para os 23 = 8 tipos de componentes do tensor de terceira ordem e. Como, de acordo com o coment´ ario 1.2.36, sobre produto externo como base para Skw (V ), tem-se W = Skw (V ), usando a primeira equa¸c˜ W i j ci c j / 2 se W ao destacada mostra-se que < W > = e i j k W i j ck / 2. Para uma base ortonormal (conforme a sua defini¸ cão 1.2.9) de V , orientada positivamente (de acordo com a defini¸ cã o de classe e base de orienta¸caõ positiva 1.2.32), a defini¸caõ de fun¸cão e tensor elemento de volume 1.2.34, junto com as express˜ oes destacadas, mostram que τ : e 1 e2 e 3 , τ : e 2 e3 e 1 e τ : e 3 e1 e 2 . Além disto, para tal base simplifica-se a express˜ ao < W > = e i j k W i j ck / 2. Por exemplo, para o componente do vetor < W > com k = 1 tem-se < W >1 = i j 1 W i j /2 = (W 2 3 W 3 2 )/2 = W 2 3 = W 2 3 , onde, para a segunda igualdade, usou-se novamente a defini¸cã o 1.2.34 . Analogamente, obtém-se < W >2 = W 3 1 e < W >3 = W 1 2 . Para esta base especial a forma matricial do tensor antissim´ etrico W , em termos dos componentes do vetor a ele associado, é portanto escrita

∧

∈

∧ →

∧ →

∧ →

−

[W i j ] =

 −

0 < W >3 < W >2

< W >3 0 < W >1

−

− < W >

2

< W >1 0

 

.

Defini¸ca õ 1.2.38 (Produto Vetorial) O produto vetorial de u por v, grafado u v, é definido por u v , (u, v) V . Portanto, o vetor produto vetorial de dois vetores é o vetor associado ao produto externo destes vetores. Logo, considerando a nota¸caõ para vetor associado a tensor antissimétrico 1.2.9, o vetor produto vetorial é um tipo especial de vetor axial, tipo este que, para o caso de u e v serem vetores de base, j´ a foi utilizando no coment´ ario 1.2.37, sobre propriedades do vetor axial. Considerando a defini¸caõ de produto externo de vetores 1.2.36, percebe-se que a fun¸ cão

× ≡

∧

∀

∈

43

×

2

× : V → V é bilinear e antissimétrica (o vetor produto vetorial passa a apontar no sentido oposto quando u e v trocam de posi¸caõ). De acordo com o mesmo coment´ ario 1.2.37, tem-se = e (u ∧ v) c / 2 onde, usando de novo a defini¸cão 1.2.36, (u ∧ v) = (u ⊗ v) − (v ⊗ u) . Mas, de acordo ij

ij

ij k ij

ij k

com o coment´ ario 1.2.10, para o c´ alculo de componentes associados de tensor de segunda ordem, (u v)i j = ci (u v)c j . Logo, considerando a defini¸ cão de produto tensorial de vetores 1.2.12, (u v)i j = (ci u)(v c j ). Como u = u k ck e v = v k ck tem-se, então, (u v)i j = u i v j , portanto (u v)i j = u i v j u j v i , ou = e i j k (ui v j u j v i )ck / 2 = (ei j k ui v j + e j i k u j v i )ck / 2 = e i j k ui v j ck , onde na pen´ ultima igualdade utilizou-se o fato de que e j i k = ei j k , conforme a defini¸caõ de fun¸caõ e tensor elemento de volume 1.2.34 e, na u ´ ltima igualdade, o fato de que i e j são dois indicadores que podem ser trocados. Como u v , conclui-se que u v = ei j k ui v j ck . Usando novamente a defini¸cão 1.2.34, agora para o caso especial de uma base ortonormal de V orientada positivamente, obtém-se u v = (u2v3 u3v2 )e1 + (u3v u1 v3 )e2 + (u1 v2 u2 v1 )e3 , que é a defini¸caõ elementar de produto vetorial.

⊗

· ⊗ ⊗ · ∧

⊗

·

−

∧

−

−

−

−

× ≡

∧

×

×

−

Coment´ ario 1.2.38 (Propriedades do Produto Vetorial) Demonstra-se que:

× v = −W (v), onde W é um tensor antissimétrico. 2. (u × v) × w = (u · w)v − (v · w)u. 3. |u × v| = |u| |v| − |u · v| . 4. |u × v| = |u||v|senθ(u, v). Defini¸ca õ 1.2.39 (Produto Triplo) ∀(u, v, w) ∈ V , o produto triplo de u por v e w, grafado [u, v, w], é definido por [u, v, w] ≡ ( u × v) · w = ·w = e(u, v, w), 1. < W >

2

2

2

2

onde usou-se a defini¸cão de produto vetorial 1.2.38 na pen´ ultima igualdade e, na u ´ltima igualdade, a defini¸caõ de fun¸cão linear dualidade 1.2.37, junto com a nota¸ caõ 1.2.9 para vetor associado a tensor antissimétrico. Como, usando novamente a defini¸ cão 1.2.38, u v = ei j k ui v j ck , considerando w = wl cl tem-se [u, v, w] = ei j k ui v j wk . Logo, caõ e(u, v, w) = ei j k ui v j wk , resultado este que pode ser obtido diretamente da defini¸ de fun¸caõ e tensor elemento de volume 1.2.34. De fato, e(u, v, w) = e(ui ci , v j c j , wk ck ) = 3 3 3 i j k i j k ultima igualdade provém da i=1 j =1 k=1 u v w e(ci , c j , ck ) = e i j k u v w , onde a pen´ trilinearidade de e, conforme a defini¸caõ 1.2.10 desta propriedade. No somatório m´ ultiplo 3i=1 j3=1 3k=1 ui v j wk e(ci , c j , ck ), são nulos todos os termos que contenham vetores de base repetidos. Portanto, o somat´ orio m´ ultiplo simplifica-se num somat´ o rio sobre todas as 3! = 6 permuta¸co˜es de c1 , c2 , c3, ou seja, e(u, v, w) = σ (1) σ(2) σ (3) cã o de v w e(cσ(1) , cσ(2) , cσ(3) ). Considerando que, de acordo com a defini¸ σ u fun¸caõ n-linear alternante 1.2.23, e(cσ(1) , cσ(2), cσ(3) ) = (sinal σ)e(c1 , c2 , c3 ), tem-se ent˜ ao que e(u, v, w) = λe(c1 , c2, c3 ), onde λ = σ (sinal σ)uσ(1) v σ(2) wσ(3) (note que esta demonstra¸caõ é semelhante a`quela do teorema 1.2.2, sobre unicidade da propor¸ caõ entre fun¸co˜es n-lineares alternantes). Usando novamente a defini¸ cão 1.2.34, agora para uma base ortonormal de V orientada positivamente, tanto esta ultima ´ express˜ a o, como a igualdade e(u, v, w) = ei j k ui v j wk produzem e(u, v, w) = u1 v 2 w3 + u2 v 3 w1 + u3 v 1 w2 u3 v 2 w1 u1 v 3 w2 u2 v 1 w3.

×

  

  





−

−

−

44

Coment´ ario 1.2.39 (Determinante, Tra¸co e Produto Triplo) Usando a defini¸caõ de determinante de matriz 1.2.25 e n = 3, tem-se det[M i j ] = M 3

σ (3)



σ (sinal

σ) M 1

σ(1)

M 2

σ (2)

, onde [M i j] é uma matriz quadrada de três linhas e três colunas. Consideσ (i)

σ (i)

σ (i)

rando M 1 = uσ(i) , M 2 = v σ(i) e M 3 = wσ(i) , i = 1, 2, 3, tem-se det[M i j ] = σ (1) σ (2) σ(3) v w = e(u, v, w)/e(c1 , c2 , c3 ), onde a u´ltima igualdade se deve ao σ (sinal σ)u uso da defini¸cão de produto triplo 1.2.39. Mas, de acordo com o coment´ ario 1.2.26, sobre j a rela¸caõ entre determinante de transforma¸ cão linear e de matriz, det M = det[M i ], logo det M = e(u, v, w)/e(c1, c2 , c3 ). Por outro lado, conforme a defini¸cão de determinante de transforma¸caõ linear 1.2.24, (det M )e(c1 , c2 , c3 ) = e(M (c1 ), M (c2 ), M (c3 )) o que indica que u = M (c1 ), v = M (c2 ) e w = M (c3 ). Portanto, a defini¸caõ 1.2.39 ainda mostra que e(M (c1 ), M (c2 ), M (c3 )) [M (c1 ), M (c2 ), M (c3 )] det M = = . e(c1 , c2, c3 ) [c1 , c2 , c3]



Analogamente, demonstra-se que tr M =

1.2.13

[M (c1 ), c2, c3 ] + [ c1 , M (c2 ), c3 ] + [ c1 , c2, M (c3 )] . [c1 , c2 , c3 ]

Teoremas para a Mecˆ anica dos Meios Cont´ınuos

∈ ⊗

∈ 

será Defini¸ca õ 1.2.40 (Autovalor e Autovetor) Seja A V V . O escalar λ um autovalor de A se v V v = 0, chamado autovetor de A associado ao autovalor λ, tal que A(v) = λ v. Note que λ = 0 se e somente se A = 0.

∃ ∈ | 

Teorema 1.2.4 (Condi¸c˜ ao Nec. e Suf. de Autovalor) Tem-se A(v) = λ v, para A V V , v V v = 0 e λ , se e somente se det(A λ1 ) = 0. Demonstra¸cao: ˜ A igualdade A(v) = λv pode ser escrita (A λ1 )(v) = 0. Seja (ci )ni=1 uma base de V , logo v = ni=1 v i ci e v i (A λ 1 )(ci ) = 0. Portanto, o conjunto de vetores ((A λ1 )(ci ))ni=1 é linearmente dependente, de acordo com o item 1 da defini¸ cão de base 1.2.2. Como ((A λ1 )(ci ))ni=1 é linearmente dependente, o coment´ ario 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I, afirma que, se w for uma fun¸caõ alternante n-linear n˜ ao trivial, então w((A λ1 )(c1 ), . . . , (A λ1 )(cn )) = 0. Logo, de acordo com a defini¸caõ de determinante de transforma¸caõ linear 1.2.24, tem-se det(A λ1 ) = w((A λ1 )(c1 ), . . . , (A λ1 )(cn )) / w(c1 , . . . , cn ) = 0. Por outro lado, seguindo o mesmo racioc´ınio, mas na sequência oposta, tem-se que, se det(A λ1 ) = 0, ent˜ ao A(v) = λ v. 

∈ ⊗

∈ | 

∈

−



−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

Defini¸ca õ 1.2.41 (Equa¸c˜ ao Caracter´ıstica) Observando a defini¸cão de determinante de matriz 1.2.25 e o coment´ ario 1.2.26, sobre a rela¸cão entre determinante de transforma¸cã o linear e de matriz, percebe-se que a igualdade det(A λ1 ) = 0, apresentada no teorema da condi¸cão necess´ aria e suficiente de autovalor 1.2.4, pode ser escrita ( λ)n + I 1( λ)n−1 + . . . + I n−1 ( λ) + I n = 0. O membro esquerdo desta u´ltima expressão é um polinˆ omio de grau n em λ, onde n é a dimens˜ ao do espa¸co vetorial V . Os coeficientes I 1, . . . , In são fun¸cões escalares de A denominadas invariantes principais ao caracter´ıstica da transforma¸caõ linear de A. A u ´ltima igualdade é chamada equa¸c˜

−

−

−

−

45

∈ ⊗

A V V . Em geral, a equa¸ caõ caracter´ıstica de A pode não apresentar ra´ızes reais. Porém , se ela apresentar ra´ızes reais, estas ultimas ´ serão os autovalores de A.

Teorema 1.2.5 (Cayley-Hamilton: tensor satisfaz sua eq. caract.) O teorema de Cayley-Hamilton, cuja demonstra¸cão é omitida, mostra que A satisfaz a sua própria equa¸caõ caracter´ıstica, ou seja, ( A)n + I 1 ( A)n−1 + . . . + I n−1( A) + I n 1 = 0, sendo A2 = A A, A3 = A (A A), A4 = A (A (A A)). . . , onde usou-se a defini¸ caõ de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19.

◦

◦ ◦

−

− ◦ ◦ ◦

−

Coment´ ario 1.2.40 (Eqs. Caract. de Tensores de Dimens˜ ao 2 e 3) Prova-se que, para dim V = 2 (conforme a defini¸caõ de dimens˜ a o de espa¸co vetorial real 1.2.4) e A V V , a equa¸cão caracter´ıstica de A, de acordo com a sua defini¸caõ 1.2.41, é λ2 (trA)λ+det A = 0. Para dimV = 3 e A Inv (V ) (nota¸cão para subespa¸co invert´ıvel 1.2.7), a equa¸cão caracter´ıstica de A é λ3 + (trA)λ2 (tr(A−1 )det A)λ + det A = 0, sendo costumeiro o uso dos s´ımbolos I A = trA, II A = tr(A−1 )det A e III A = det A.

∈ ⊗ −

−

∈

−

∈ ⊗

Coment´ ario 1.2.41 (Rela¸ca õ entre A e 1 + A) Para dim V = 3, A V V e B = 1 + A, demonstra-se que I B = 3 + I A , II B = 3 + 2I A + II A e III B = 1 + I A + II A + III A , onde foram utilizados os s´ımbolos apresentados no fim do coment´ ario 1.2.40, sobre equa¸co˜es caracter´ısticas de tensores de dimens˜ ao 2 e 3. Isto indica que: 1. trB = 3 + trA , 2. tr(B −1 )det B = 3 + 2trA + tr(A−1 )det A e 3. det B = 1 + trA + (1 + tr(A−1 ))det A . Se A

≈ 0 então det A << trA, logo tr(B

−1

)det B

≈ 3 + 2trA e det B ≈ 1 + trA .

Teorema 1.2.6 (Espectral: autovalores de tensor sim´ etrico) O teorema espectral, cuja demonstra¸ cão é omitida, mostra que, se S Sym (V ) (nota¸cão para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5), existir´ a uma espec´ıfica base ortonormal (e j ) jn=1 , do espa¸co vetorial n-dimensional V , tal que S possa ser escrito sob a forma S = jn=1 λ j e j e j j ( j) jn=1 λ j . Esta igualdade mostra que s˜ ao nulos todos os componentes S i j associados aos elementos com i = j da base (ei e j ), enquanto que S j j = λ j . Tal base especial (e j ) jn=1 de V é uńica, sendo denominada base principal de S . Tem-se S (ei ) = jn=1 λ j (e j e j )(ei ) = jn=1 δ i j λ j e j = λ i ei . Logo, considerando a defini¸caõ de autovalor e autovetor 1.2.40, os reais λ j são n autovalores de S , nenhum deles nulo se S = 0, cada um deles associado a um dos n autovetores e j (cada autovalor se associa ao aotovetor de mesmo ´ındice). Como existem n autovalores λ j , todas as ra´ızes da equa¸caõ caracter´ıstica de um tensor simétrico S , de acordo com defini¸caõ 1.2.41 desta equa¸caõ, são reais. Mas tais ra´ızes podem ser, ou n˜ ao, distintas entre si. Portanto, considera-se que ´ındices de λ numericamente distintos tanto possam corresponder ao mesmo autovalor, como a autovalores diferentes entre si.

∈

|∀ ∈



∃ ∈



⊗



⊗

⊗





Coment´ ario 1.2.42 (Diagonaliza¸ca õ) De acordo com o teorema espectral 1.2.6, referente aos autovalores do tensor S Sym (V ), a matriz dos componentes de S associados à base (ei e j ) é uma matriz diagonal [λ j ] , cujos elementos λ j (o ´ındice j indica a

⊗

∈

46

linha e a coluna) s˜ ao n = dimV autovalores de S , o que indica que todas as ra´ızes da equa¸caõ caracter´ıstica s˜ ao reais. Pode-se, ainda, construir uma matriz quadrada [ei j ] , também com n linhas e colunas, justapondo os autovetores associados aos autovalores mencionados. Nesta constru¸ cão, o autovetor e j corresponde a` j-ésima coluna de [ei j ] , enquanto que a linha i desta matriz contém os componentes, associados ao i-ésimo vetor de uma base arbitrariamente considerada de V , (ci )ni=1 , de todos os n autovetores. A representa¸cão matricial do tensor S , na base (ck ci ), é a matriz [S k i ]. A igualdade S (ei ) = λi ei pode, ent˜ ao, ser escrita em termos matriciais, por meio da express˜ ao [S k i ] [ei j ] = [ei j ][λ j ]. Como (e j ) jn=1 é uma base ortonormal de V , temse [ei j ] [ei j ]T = [1], ou [ei j ]−1 = [ei j ]T , logo, de acordo com a defini¸caõ de matrizes transposta e inversa 1.1.4, a matriz [ei j ] é ortogonal. De acordo com o coment´ ario 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, tem-se det[S k i ] = det[λ j ] e t r [S k i ] = tr[λ j ].

⊗

Defini¸ca õ 1.2.42 (Espa¸co Caracter´ıstico) Seja λ um autovalor de T V V . Denomina-se espa¸co caracter´ıstico de T associado a λ ao conjunto de autovetores V λ = v V T v = λ v .

∈ ⊗

{ ∈ |

}

Coment´ ario 1.2.43 (Componente Vetorial em Rela¸c˜ ao a Tensor Sim´ etr.) De acordo com o teorema espectral 1.2.6, referente aos autovalores do tensor S Sym (V ), a espec´ıfica base ortonormal (e j ) jn=1 do espa¸co vetorial n-dimensional V , tal que S = n e j é, também, o conjunto dos n autovetores de S . Ao invés de continuar j =1 λ j e j considerando que distintos ´ındices de λ tanto possam corresponder ao mesmo autovalor, como a autovalores diferentes entre si, a partir deste ponto do texto passa-se a utilizar λ, µ, . . . para indicar autovalores numericamente diferentes, enquanto que ´ındices em λ, µ, . . . distinguem diferentes autovetores correspondentes ao mesmo autovalor. Ent˜ ao, de dλ acordo com a defini¸caõ de espa¸co caracter´ıstico 1.2.42, (eλi )i=1 é uma base de V λ , onde dλ = dimV λ é denominado degenera¸c˜ ao do autovalor λ. Sejam λ e µ dois autovalores distintos de S . Sejam v V λ e u V µ . Demonstra-se facilmente que v u = 0, ou seja, que v e u são mutuamente ortogonais. De acordo com o mesmo teorema 1.2.6, se v V ent˜ ao v = λ vλ , onde v λ V λ , estendendo-se a soma sobre todos os espa¸cos caracter´ısticos de S e, em cada espa¸co caracter´ıstico, envolvendo um u ńico vetor v λ . Evidentemente, cada vetor v λ pode ser expresso em termos dos seus λ componentes, associados a` correspondente base (eλi )di=1 . Portanto, todo vetor v V é formado por componentes ortogonais entre si, cada componente correspondendo a um dos autovalores distintos de um arbitr´ ario S Sym (V ).

∈



⊗

∈

·

∈



∈

∈

∈

∈

Teorema 1.2.7 (Comuta¸c˜ ao de Composi¸ca õ de Tensores) Seja T V V e, de acordo com a nota¸cão para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5, S Sym (V ). Ter-se-á ST = T S se e somente se T preservar os espa¸cos caracter´ısticos de S , ou seja, se a aplica¸caõ de T a todos os vetores pertencentes a cada espa¸ co caracter´ıstico de S reproduzir respectivamente o mesmo espa¸ co caracter´ıstico de S . Demonstra¸cao: ˜ Suponha que S e T comutem e que S vλ = λvλ . Neste caso, S (T vλ ) = T (S vλ ) = λ(T vλ ). Portanto, de acordo com a defini¸ cão de espa¸co caracter´ıstico 1.2.42, (vλ , T vλ ) V λ , ou seja, se S e T comutam o espa¸co caracter´ıstico é preservado. Por outro lado, se (vλ , T vλ ) V λ , então S (T vλ ) = λ(T vλ ) = T (λvλ ) = T (S vλ ), logo cão de composi¸caõ de tensores de segunda ordem λ S (T vλ ) = λ T (S vλ ). Mas a defini¸

∈ ⊗ ∈

∈





∈

47









1.2.19 mostra que λ S (T vλ ) = S (T λ vλ ) e λ T (S vλ ) = T (S λ vλ ). Como, de acordo com o coment´ ario 1.2.43, sobre componente vetorial em rela¸ caõ a tensor simétrico, tem-se v = λ vλ , pode-se escrever S (T v) = T (S v). Logo, se o espa¸co caracter´ıstico é preservado, ent˜ ao S e T comutam. 



Coment´ ario 1.2.44 (Comuta¸ca õ de Tensores Sim´ etrico e Ortogonal) Prova-se que, de acordo com a defini¸caõ de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, existe apenas um subespa¸co de V que é preservado por toda e qualquer transforma¸ cão ortogonal, sendo tal subespa¸co o pr´ oprio espa¸co V . Portanto, considerando o teorema sobre comuta¸ cão de composi¸caõ de tensores 1.2.7 e utilizando as nota¸ co˜es para subespa¸cos simétrico e antissimétrico e para grupos especiais, respectivamente 1.2.5 e 1.2.8, tem-se que S a com toda e qualquer transforma¸caõ ortogonal Q (V ) se e somente Sym (V ) comutar´ se S apresentar um uńico espa¸co caracter´ıstico, o qual ser´ a pr´ oprio espa¸co n-dimensional V , ou seja, se e somente se todos os n autovalores de S forem iguais entre si. Utilizando o coment´ ario 1.2.42, sobre diagonaliza¸ cão, percebe-se que, para que todos os n autovalores sejam iguais entre si, é necess´ ario e suficiente que S = λ 1 , onde λ . Mas a defini¸caõ da transforma¸caõ tensorial identidade 1.2.16 mostra que 1 comuta com qualquer tensor de segunda ordem.

∈

∈O

∈

Defini¸ca õ 1.2.43 (Tensor de Defini¸c˜ ao Positiva, Negativa e Semi-Defini¸ca õ) Até ao momento foram mencionadas apenas fun¸ cões de defini¸cão positiva, conforme mostrado na defini¸caõ de produto interno de vetores 1.2.5. Um tensor de segunda ordem ao positiva , ou de semi-defini¸cão positiva, respectivamente T V V será de defini¸c˜ se, v V v = 0, ocorrer que v T v > 0 ou v T v 0. Analogamente, T será de defini¸ cão negativa, ou de semi-defini¸cão negativa, respectivamente se, v V v = 0, ocorrer que v T v < 0 ou v T v 0.

∈ ⊗ ∀ ∈ |  ·

·

· ≤

· ≥

∀ ∈ | 

Teorema 1.2.8 (Tensor Sim´ etrico de Defini¸c˜ ao Positiva ou Negativa) Um tensor simétrico será de defini¸caõ positiva ou negativa, de acordo com a defini¸cão 1.2.43 destas caracter´ısticas tensoriais, se e somente se todos os seus autovalores forem, respectivamente, positivos ou negativos. Demonstra¸cao: ˜ O teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simétrico, mostra que v V v = 0, tem-se v S v = v i v j ei S e j = v i v j λ j ei e j = v i v j λ j δ i j = (v i )2 λi . 

∀ ∈ | 

·

·

·

Coment´ ario 1.2.45 (Determinante de Tens. Sim. de Def. Pos. ou Neg.) Se ja, de acordo com sua defini¸ cão 1.2.43, um tensor simétrico de defini¸ cão positiva ou negativa S e seja [S i j ] a representa¸caõ matricial deste tensor. De acordo com o coment´ ario sobre diagonaliza¸caõ 1.2.42, det[S i j ] = det[λ j ]. Mas, de acordo com o teorema sobre tensor simétrico de defini¸ caõ positiva ou negativa 1.2.8 e com a defini¸caõ de determinante de matriz 1.2.25, tem-se respectivamente det[S i j ] > 0 ou det[S i j ] < 0 logo, considerando a defini¸cão de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, S é n˜ ao singular. Entretanto, o fato de S ser não singular n˜ ao exige que S seja de defini¸caõ positiva ou negativa. Teorema 1.2.9 (Quadrado de Tens. Sim. de Def. Pos. ou Neg.) Para todo tensor simétrico de defini¸caõ positiva S , existe um u ńico tensor simétrico de defini¸ caõ positiva − + + 2 ńico tensor simétrico de defini¸ cão negativa S tais que (S ) = (S − )2 = S . S e um u Os autovalores de S + são, respectivamente, as ra´ızes quadradas positivas dos autovalores de S associados aos mesmos autovetores. Os autovalores de S − são, respectivamente, 48

as ra´ızes quadradas negativas dos autovalores de S associados aos mesmos autovetores. Como, de acordo com o teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simétrico, S = ni=1 λi ei ei , tem-se S + = ni=1 λi ei ei e S − = ni=1 λi ei ei . Demonstra¸cao: ˜ De acordo com o teorema sobre tensor simétrico de defini¸ cão positiva ou negativa 1.2.8, S e j = λ j e j j, λ j > 0. Impondo (S  )2 = S , tem-se (S  )2 e j = λ j e j .





⊗

√

|∀  ±





⊗



−√

⊗

 ±



Se e somente se S e j = λ j e j ter-se-á S (S e j ) = λ j S  e j , ou (S  )2 e j = λ j e j . Evidentemente, de acordo com o mesmo teorema 1.2.8, existe um uńico S  de defini¸caõ positiva, S + e um u ńico S  de defini¸cão negativa, S − . 

Nota¸c˜ ao 1.2.10 (Tensor Raiz Quadrada) O tensor simétrico de defini¸caõ positiva + S apresentado no teorema 1.2.9, sobre quadrado de tensor simétrico de defini¸ cão posi+ tiva ou negativa, costuma ser representado por S = S e denominado tensor raiz quadrada de S .

√

Teorema 1.2.10 (Decomposi¸ca õ Polar) invert´ıvel 1.2.7): 1.

∀F ∈ Inv (V ) (ver nota¸caõ para subespa¸co

∃ (V, U ) ∈ Sym (V ) (ver nota¸caõ para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5), sendo ambos V e U de defini¸caõ positiva (conforme a defini¸caõ de tensor de defini¸ cão positiva, negativa e semi-defini¸caõ 1.2.43) e

∃ Q ∈ O(V ) (ver nota¸cão para grupos especiais 1.2.8), tais que F = QV = UQ. Al´ em disto, as transforma¸cões V , Q e U são unicamente √ √ determinadas, respectivamente por V = F F , Q = F V e U = QV Q = F F 2.

−1

T

T

T

(ou as transforma¸co˜es U , Q e V são unicamente determinadas, respectivamente por U = F F T , Q = U −1 F e V = Q T U Q = F T F ). õ de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17, Demonstra¸cao: ˜ De acordo com a defini¸ca ( v, u ) V , v F T F u = F u F v = F v F u = u F T F v. Porém, v F T F u = u (F T F )T v, logo (F T F )T = F T F , portanto F T F Sym (V ). Além disto, para v = 0 tem-se v F T F v = F v F v > 0, porque é imposs´ıvel ter F v = 0, uma vez que F Inv (V ). Logo, de acordo com a defini¸caõ 1.2.43, F T F é uma transforma¸caõ linear de defini¸caõ positiva. Analogamente, F F T Sym (V ) e F F T é uma transforma¸caõ linear de defini¸caõ positiva. Defina-se V = F T F . De acordo com a nota¸ cão para tensor raiz quadrada 1.2.10, V será simétrica de defini¸caõ positiva e, de acordo com o coment´ ario 1.2.45, sobre determinante de tensor simétrico de defini¸ cão positiva ou negativa, V será não singular. −1 Pode-se, ent˜ ao, definir Q = F V e U = QV QT . De acordo com o coment´ ario 1.2.19, sobre transposi¸ cão de composi¸caõ, tem-se QQ T = F V −1 (F V −1 )T = F V −1 V −T F T . Como V = V T implica em V −1 = V −T quando V for não singular, tem-se ent˜ ao QQT = F V −2F T = F (F T F )−1 F T = F F −1 F −T F T , tendo sido, na u ´ ltima igualdade, usado o primeiro item do coment´ ario 1.2.32. Portanto QQ T = 1 , logo Q (V ). Tem-se, também, U 2 = QV QT (QV QT ) = QV (V QT ). Porém, V QT = (QV T )T = (QV )T e F = QV , logo U 2 = QV (QV )T = F F T . Como F F T é um tensor simétrico de defini¸ caõ positiva, de acordo com o teorema 1.2.9, sobre quadrado de tensor simétrico de defini¸ caõ positiva ou negativa, existe um tensor ((F F T ) )2 = F F T . Mas, embora impor U = QV QT seja suficiente para garantir que U 2 = F F T , impor U 2 = F F T não é suficiente para garantir que U = QV QT , ou seja, esta u´ltima igualdade é

√

∀

·

√

∈

·

·

·

·

·

√ ∈

∈O

49

∈

·

·

∈



mais restritiva. De fato, de acordo com o coment´ ario 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, a u´ltima igualdade exige que det U = det V e trU = trV . Esta exigência implica na restri¸cão (F F T ) = F F T , ou seja, como V é simétrico de defini¸cão positiva, necessariamente U também é simétrico de defini¸caõ positiva, logo U = F F T . 

√

√

∀ ∈ ⊗

∃ ∈

V V , A Coment´ ario 1.2.46 (Decomposi¸ c˜ ao Cartesiana) T Sym (V ) e B Skw (V ) (nota¸cão para subsepa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5) tais que T = A + B, sendo as transforma¸co˜es A e B unicamente determinadas, respectivamente por A = (T + T T )/2 e B = (T T T )/2. Note que, de acordo com a defini¸ cão de tensores simétrico e antissim´ etrico 1.2.18, estas duas ultimas ´ igualdades tornam evidente que A Sym (V ) e B Skw (V ).

∃ ∈

−

∈

∈

1.2.14

Espa¸co Euclideano de Pontos

Defini¸ca õ 1.2.44 (Espa¸co Euclideano de Pontos) Seja  um conjunto de pontos no espa¸co n e seja V um espa¸co vetorial euclideano, de acordo com sua defini¸ cão 1.2.6. Considerando a defini¸caõ de dimensão 1.2.4, seja n a dimensã o de V . Se, (x, y)  v V tal que

E



∀

E ∃ ∈

1. v seja u ´ nico, grafado v = y

∈

− x e chamado vetor diferen¸ca entre y e x,



∀x ∈ E , x − x = 0 ∈ V , 3. ∀x ∈ E e ∀v ∈ V , ∃ y ∈ E , u ´ nico e tal que v = y − x, ou y = x + v e 4. ∀(x,y,z ) ∈ E , (x − y) + (y − z ) = (x − z ), ent˜ ao E será grafado E e denominado espa¸co euclideano de pontos de dimens˜ ao n, ao de E . Define-se a fun¸c˜ ao distˆ anenquanto que V será chamado espa¸co de transla¸c˜ cia entre dois pontos (x, y) ∈ E por d(x, y) = |v| = (x − y) · (x − y). A defini¸caõ de 2.











espa¸co vetorial real 1.2.1 indica que tal espa¸co contém infinitos vetores e é cont´ınuo. Por causa da condi¸caõ 3 da presente defini¸cão, isto por sua vez implica em continuidade em espa¸co euclideano de pontos , ou seja, implica em que o espa¸co euclideano de pontos seja o espa¸co n , provido das anteriores quatro condi¸cõ es e da defini¸cã o de distˆ ancia entre dois pontos. A mesma condi¸caõ 3 mostra, tamb´ em, que dados um ponto x e um vetor v, o ponto y está bem definido, mas o mesmo ponto y pode corresponder a diversos pares (x, v). De modo an´ alogo, dados os pontos x e y, o vetor v está bem definido, mas o mesmo vetor v pode corresponder a diversos pares (x, y). Note que, quando n = 1, ter-se-á = V = e a fun¸caõ distância ser´ a o módulo da diferen¸ca entre dois reais, d(x, y) = x y .



E  | − | Defini¸ca õ 1.2.45 (Espa¸co Tangente) Seja E = {v = (x, v)| v = y − x, ∀y ∈ E}, logo seja v o vetor diferen¸ca entre um ponto fixo x ∈ E e um ponto qualquer y ∈ E e seja E o conjunto de todos os vetores diferen¸ca entre y e x, ∀ y ∈ E . Considerando o item 2 da defini¸cão de espa¸co euclideano de pontos 1.2.44 percebe-se que E contém 

x

x

x



x



x

exatamente os mesmos vetores que V , mas:

1. com a restri¸cão de serem considerados vetores diferen¸ca para um ponto fixo x;

50

2. sem que tenham sido definidas as opera¸cões de adi¸caõ e multiplica¸caõ por escalar, as quais, de acordo com a defini¸cão de espa¸co vetorial real 1.2.1, caracterizam tais espa¸cos. Entretanto, tais opera¸co˜es est˜ ao definidas em V . Por isto, para defini-las em x basta impor que v x + ux = (v + u)x e αvx = (αv)x . Efetuando esta imposi¸cão x será grafado co tangente de em x. x e denominado espa¸ orficos, o que é representado por x = V e significa Os espa¸cos x e V são ditos isom´ ca õ paralelismo que um é a c´ o pia do outro. A fun¸caõ ix : V x , chamada fun¸ euclideano , estabelece uma correspondência de um para um, conforme apresentado na defini¸caõ de fun¸caõ e funcional 1.1.1, entre V e x . A composi¸caõ de fun¸co˜es, também 1 apresentada na mencionada defini¸ cão 1.1.1, τ x, y = iy i− : x y , que transforma x vx = (x, v) vy = (y, v), é denominada fun¸c˜ ao transla¸cão paralela dos vetores em ao o mesmo x para os vetores em y . Portanto, vx = (x, v) x e uy = (y, u) y s˜ vetor se e somente se v = u . Desta forma, vetores em diferentes espa¸ cos tangentes podem ser somados como se estivessem no mesmo espa¸co vetorial.

E

→

E

1.3 1.3.1

E E ∼

E

E

→ E E ◦

E

E

E → E

∈ E

∈ E

C´ alculo Tensorial Diferencia¸c˜ ao

a aberto quando os eleDefini¸ca õ 1.3.1 (Subconjunto Aberto) Um subconjunto ser´ mentos que o constitu´ırem, embora possam situar-se t˜ ao pr´ oximo quanto o desejado de elementos n˜ ao pertencentes ao subconjunto considerado, jamais alcan¸ carem tais elementos estranhos ao subconjunto. Um intervalo aberto é um subconjunto escalar, ordenado, cont´ınuo e aberto, representado por (a, b) (lembre que é cont´ınuo, conforme afirmado na defini¸caõ de espa¸co vetorial real 1.2.1, além de ser escalar e ordenado), o que indica que a e b são respectivamente cotas inferior m´ axima e superior m´ınima n˜ ao pertencentes ao subconjunto. Se a cota a, b, ou ambas, pertencerem ao subconjunto, usar-se-´ a respectivamente a representa¸ cão [a, b) , (a, b] , ou [a, b] , que respectivamente correspondem a um intervalo fechado abaixo, fechado acima, ou fechado abaixo e acima.

⊂

⊂



⊂

⊂

Defini¸ca õ 1.3.2 (Derivada Escalar em Escalar) Considerando a defini¸cã o de subconjunto aberto 1.3.1, seja f : (a, b) uma fun¸caõ aplic´ avel a qualquer escalar t (a, b) , cuja imagem também seja um escalar. Se, (t + h) (a, b) , existir o limite indicado na express˜ a o a seguir, a derivada de f no valor t do seu argumento será, por defini¸cão,

∈

→

⊂ 

˙ = df = lim 1 (f (t + h) f (t) dt h→0 h

− f (t)), ou

∀

1 lim (f (t + h) h→0 h

∈

⊂ 

˙ = 0, − f (t) − hf (t))

˙ onde f (t) , logo f ˙ : (a, b) . De acordo com a segunda entre as duas equa¸ cões ao o(h) de modo a que conjuntamente destacadas, definindo a corre¸c˜

∈ 

o(h) = f (t + h)

→ 

˙ tem-se − f (t) − hf (t),

lim

h→0

51

1 o(h) = 0, logo h

lim

|h|→0

1 o(h) = 0, h

| ||

|

conforme ser´ a mostrado na defini¸caõ 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar. ˙ Tradicionalmente, df = f (t)dt ´ e o diferencial de f . Se dt for um acréscimo arbitr´ ario em t, restrito apenas pela condi¸ca˜ o de que (t, t + dt) (a, b) ou seja, se dt não necessariamente for um acr´ escimo infinitesimal (conforme, por exemplo, a defini¸ cão de diferencial fornecida por Tom M. Apostol, Calculus, Vol. I, Wiley, 2a. ed., New York, ˙ ser´ 1967), ent˜ ao hf (t) a o diferencial de f . Porém, diversos livros did´ aticos de c´ alculo exigem que diferenciais sejam infinitesimais. Por isto, evitam-se equ´ıvocos n˜ ao chamando ˙ (onde a n˜ hf (t) ao exigência de que h seja infinitesimal é colocada j´ a como hip´ otese) de ˙ é denominado derivada direcional de f no escalar t, diferencial. Pelo contr´ ario, hf (t) para o escalar h.

∈

⊂ 

Defini¸ca õ 1.3.3 (Derivada Vetorial, Tensorial ou de Pontos, em Escalar) A defini¸caõ de derivada escalar de escalar 1.3.2 pode ser estendida para fun¸ co˜es cujos argumentos continuem pertencendo a (a, b) (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), mas cujas imagens sejam tensores de ordem superior a zero. Para isto, seja W um espa¸co normatizado, o que significa que o espa¸co W dispõ e ou de uma norma, ou de uma fun¸caõ distância (os conceitos de limite e convergˆ encia s´ o fazem sentido num espa¸co para o qual seja definida uma norma, ou uma fun¸cão distˆ ancia) e seja f : (a, b) W uma fun¸caõ aplic´ avel a um escalar, que varie dentro de (a, b) , fun¸caõ esta cuja imagem perten¸ca a W . Neste texto, são considerados somente os seguintes espa¸ cos W :

⊂ 

→

⊂ 



E

(a) W = , que é um caso especial de W = V e de W = , cuja norma e fun¸caõ distância é u = d(x, y) = x y (derivada escalar de escalar, j´ a apresentada em sua defini¸caõ 1.3.2), ou

| |

| − |

(b) W = V , cuja norma, de acordo com a defini¸cão de espa¸co vetorial euclideano 1.2.6, é u = u u (derivada vetorial de escalar), ou

| | √ · (c) W = V ⊗ V , sendo V ⊗ V um espa¸co de produto tensorial, de acordo com a sua defini¸caõ 1.2.13, cuja norma, considerando a defini¸caõ de norma de tensor de segunda √ ordem 1.2.28, é |A| = trAA (derivada tensorial de escalar), ou (d) W = E , cuja fun¸caõ distância, de acordo com a defini¸caõ de espa¸co euclideano de pontos 1.2.44, é d(x, y) = (x − y) · (x − y) (derivada de pontos, de escalar). Se, ∀(t + h) ∈ (a, b) ⊂ , existir o limite indicado na expressão a seguir, a derivada de T



f no valor t do seu argumento ser´ a, por defini¸caõ,

1 df f ˙ (t) = = lim ( f (t + h) dt h→0 h

− f (t)) ,

onde f ˙ (t) W 1 , sendo W 1 = V (V é o espa¸co de transla¸caõ de ) quando W = (item (d)) e W 1 = W nos três primeiros casos. A u´ltima equa¸cão destacada pode ser escrita

∈

1 lim (f (t + h) h→0 h

E

− f (t) − hf ˙ (t)) = 0 ,

logo

porque: 52

lim

|h|→0

1 f (t + h) h

| ||

E

− f (t) − hf ˙ (t)| = 0 ,

(a) quando W = , f (t + h) f (t) hf ˙ (t) = x = 0 exige x = 0 e v.v. (portanto, na ˙ mencionada defini¸cão 1.3.2, a condi¸caõ limh→0 h1 (f (t + h) f (t) h f (t)) = 0 é ˙ = 0), satisfeita se e somente se lim|h|→0 1 f (t + h) f (t) hf (t)



−

−

| |

−

−

− (b) quando W = V , f (t + h) − f (t) − hf ˙ (t) = u = 0 exige |u| = 0 e v.v., (c) quando W = V ⊗ V , f (t + h) − f (t) − hf ˙ (t) = A = 0 exige |A| = 0 e v.v., (d) quando W = E , sendo f (t + h) − f (t) = u e hf ˙ (t) = v, f (t + h) − f (t) − hf ˙ (t) = u − v = w = 0 exige |w| = 0 e v.v.. Pode-se definir a transforma¸caõ linear D f (t) :  → W (defini¸caõ 1.2.6 de transforma¸cão n-linear), cuja forma depende de t ∈ (a, b), por meio da igualdade |h|

|

− |

Df (t)[h] = h f ˙ (t) ,

onde o produto h f ˙ (t) deixa evidente a linearidade da transforma¸ caõ aplicada a h. Logo, de acordo com a nota¸cão para aplica¸caõ de tensor a tensor 1.2.6, D f (t) é um tensor que, se for aplicado ao tensor h, produzir´ a como resultado o mencionado produto. Como h é um escalar, considerando o item 1 da mencionada nota¸cão 1.2.6 conclui-se que D f (t)[h] = hDf (t), logo Df (t) = f ˙ (t). Porém, embora Df (t) e f ˙ (t) sejam o mesmo tensor, enquanto que hf ˙ (t) representa o escalar h multiplicando um tensor que é a imagem do argumento t através da fun¸caõ f ˙ , Df (t)[h] representa a fun¸caõ (transforma¸caõ) Df (t), cuja forma depende de t, aplicada ao argumento h. Portanto, o principal significado da ultima ´ igualdade destacada é alterar o argumento ao qual a fun¸ cão é aplicada (evidentemente, ˙ no caso da citada defini¸caõ 1.3.2 pode-se definir Df (t)[h] = hf (t)). Tem-se, então, 1 lim f (t + h) f (t) Df (t)[h] = 0 . |h|→0 h A equa¸caõ destacada no in´ıcio desta defini¸ caõ tem exatamente a mesma abrangência desta u ´ ltima igualdade, sendo uma consequência da outra. Mas, ao contr´ ario da express˜ ao inicial, esta u ´ ltima est´ a escrita de modo tal que a defini¸caõ de derivada, adequada para fun¸co˜es f : (a, b) W , possa ser facilmente estendida para fun¸cões f : W , onde é um subconjunto aberto, de acordo com a j´ a mencionada defini¸cão 1.3.1, conjunto este que n˜ ao se restringe exclusivamente ao intervalo (a, b) . Logo, assim como a igualdade apresentada na defini¸cão de derivada escalar de escalar 1.3.2 é uma particulariza¸caõ daquela destacada no in´ıcio da presente defini¸ cão, a u ´ ltima equa¸caõ destacada é uma particulariza¸cão de express˜ oes mais gerais, que ser˜ ao apresentadas nas defini¸cões de gradiente de campo real, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5 e gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor 1.3.6. Note que, enquanto f : (a, b) W , como h tem-se Df (t) : W 1 , onde W 1 = W se W = e W 1 = V se W = . Logo, de acordo com a defini¸ cão de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4 e considerando uma extens˜ ao da defini¸cã o de espa¸co de produto tensorial 1.2.13, Df (t) ( , W 1 ) = W 1 . Semelhantemente ao colocado na mencionada defini¸cão 1.3.2, D f (t)[h] = hf ˙ (t) é a derivada direcional de f no escalar

| ||

D

−

−

|

→

D →

⊂ 

 E

→

E

∈L 

∈ 

 →

⊗

t, para o escalar h. Ainda em analogia ao apresentado na defini¸ cão 1.3.2, mas agora de acordo com a u´ltima equa¸caõ aqui destacada, definindo a corre¸ca õ o(h) de modo a que 53

1 |h|→0 |h|

f (t + h)

− f (t) = D f (t)[h] + o(h), tem-se lim | o(h)| = 0. Defini¸ca õ 1.3.4 (Campo) Seja D ⊂ E|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e seja f : D → W . Tais fun¸cões f são denominadas campos. Se, conforme afirmado na defini¸caõ de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar 1.3.3 e utilizando a defini¸caõ 1.2.45 de espa¸co tangente E , 1. W = , então a fun¸cão f : x ∈ D →  f (x) ∈  é um campo escalar aplicado a D; 2. W = E ∼ = V , entã o a fun¸caõ f : x ∈ D → f (x) ∈ E é um campo vetorial aplicado a D; 3. W = E ⊗ E ∼ = V ⊗ V , entã o a fun¸caõ f : x ∈ D → f (x) ∈ E ⊗ E é um campo tensorial de segunda ordem aplicado a D; 4. W = E , então a fun¸caõ f : x ∈ D →  f (x) ∈ E é um campo de pontos aplicado a D, ou uma deforma¸cão de D. x

x

x

x

x

x

x

Defini¸ca õ 1.3.5 (Gradiente de Campo Esc., Vet., Tens. ou de Pontos) Seja o campo f : W , de acordo com sua defini¸cã o 1.3.4. A fun¸caõ f : W é dita diferenciável em x é aberto (defini¸caõ de subconjunto aberto 1.3.1), se existir uma transforma¸cão linear Df (x) : V W 1 , logo, de acordo com a defini¸caõ de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4 e considerando uma extens˜ ao da defini¸caõ de espa¸co de produto tensorial 1.2.13, Df (x) (V, W 1 ) = W 1 V , onde

D →

D →

∈ D ⊂ E|D

→

∈L

⊗

E

V é o espa¸co de transla¸cão do espa¸co euclideano de pontos ,

E ∼= V , ou W = E ⊗ E ∼= V ⊗ V , ou W = E e = E e W = V se W = E , W = W se W  tal que, ∀v = y − x|(x, y) ∈ D , logo v ∈ V , 

W = , ou W = 1

x

x

x

1

1 f (x + v) lim |v|→0 v

| ||

− f (x) − Df (x)[v]| = 0 .

Esta igualdade pode ser obtida substituindo t por x e h por v na u´ltima equa¸caõ destacada na defini¸caõ 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar. A tranforma¸caõ linear Df (x) (V, W 1 ) = W 1 V , definida de modo uńico pela u´ltima expressão destacada, transforma v num elemento do espa¸co W 1 . Ela é chamada gradiente de f em x e é grafada grad f (x), ou f (x), ou x f (esta é a simbologia utilizada neste texto). A transforma¸caõ linear x f é:

∈ L

⊗

∇

∇

∇

Um tensor de primeira ordem u quando W = (a fun¸caõ f : x f (x) é um campo escalar), portanto neste caso x f [v] = u [v] = u v (item 2 da nota¸caõ 1.2.6, para aplica¸caõ de tensor a tensor).

∇



·

∈ D →

∈ 

Um tensor de segunda ordem A quando W = x (a fun¸cão f : x f (x) e x ´ um campo vetorial), portanto neste caso x f [v] = A[v] = A(v) (item 3 da nota¸caõ 1.2.6, para aplica¸caõ de tensor a tensor, com k = 2).

∇

54

E

∈D→ 

∈ E

Um tensor de terceira ordem T quando W = x f (x) cão f : x x (a fun¸ e um campo tensorial de segunda ordem), portanto neste caso x f [v] = x x ´ T [v] = T (v) (item 3 da nota¸caõ 1.2.6, para aplica¸cã o de tensor a tensor, com k = 3).

E ⊗ E

E ⊗ E

∈ D → ∇

∈

Um tensor de segunda ordem A quando W = (a fun¸cão f : x f (x) é uma deforma¸caõ), portanto neste caso x f [v] = A[v] = A(v) (item 3 da nota¸caõ 1.2.6, para aplica¸caõ de tensor a tensor, com k = 2).

∇

E

∈ D →

∈ E

Em analogia ao apresentado na mencionada defini¸ caõ 1.3.3, mas agora de acordo com a equa¸cão aqui destacada, definindo a corre¸c˜ ao o(v) de modo a que f (x + v) f (x) = 1 x f [v] + o(v), tem-se lim|v|→0 |v| o(v) = 0. Sendo h , fazendo hv = v , grafando v por v  e substituindo v por hv na primeira equa¸caõ destacada, tem-se

∇

|

∈

−

|

1 lim f (x + hv) |hv|→0 hv

| ||

− f (x) − ∇ f [hv]| = 0. x

Supondo v fixo e n˜ ao nulo, o real h será a u ńica vari´ avel desta equa¸caõ, uma vez que x é um parâmetro. Considerando a linearidade da transforma¸ cão x f , esta equa¸caõ pode, ent˜ ao, ser escrita 1 lim f (x + hv) f (x) h x f [v] = 0. |h|→0 h

∇

| ||

−

− ∇

|

Esta, conforme colocado na defini¸ cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar, ser´ a satisfeita se e somente se limh→0 h1 ( f (x + hv) f (x) h x f [v]) = 0, logo

−

− ∇

∇ f [v] = lim h1 (f (x + hv) − f (x)). x

h→0

Sendo t , fazendo x + tv = x, grafando x por x e substituindo x por x + t v na equa¸caõ anterior, tem-se x+tv f [v] = limh→0 h1 ( f (x + (t + h)v) f (x + tv)), ou

∈ 

∇

∇

−

1 x f [v] = lim ( f (x + (t + h)v) h→0 h

− f (x + tv))



. t=0

A diferen¸c a entre as duas u´ltimas equa¸cõ es destacadas reside no fato de que, na primeira, antes foi imposto t = 0 e, em seguida, foi efetuado o limite, enquanto que a grafia da segunda indica que antes foi efetuado o limite e, posteriormente, foi imposto t = 0. Como a ordem conforme a qual estas duas opera¸ cões são efetuadas n˜ a o afeta o resultado final, o primeiro membro de ambas é o mesmo. A forma da ultima ´ express˜ ao destacada é decorrente do fato de v e x terem sido supostos parˆ ametros, logo esta condi¸caõ não pode ser alterada. Mas nada impede que t seja considerada a vari´ avel do seu membro direito, ao invés de h. Aliás, isto é equivalente a procedimento adotado na mencionada defini¸caõ 1.3.3, mas em sentido oposto. Neste caso, f (x + tv) é uma fun¸cão do argumento t, f (x + (t + h)v) é a mesma fun¸caõ, agora aplicada ao argumento t acrescido de h e, de acordo com a primeira igualdade destacada na citada defini¸caõ 1.3.3, lim h→0 h1 (f (x + (t + h)v) f (x + tv)) = dtd f (x + tv), ou d . f (x + tv) x f [v] = dt t=0

∇

55

 

−

Logo, a aplica¸caõ da transforma¸caõ linear gradiente de f em x, x f , ao vetor v , representada por x f [v], produz o valor da derivada dtd f : (a, b) W , para t = 0, da fun¸cão f de argumento escalar x + tv, onde x e v são constantes (se x e v não fossem constantes, o argumento seria um ponto do espa¸co euclideano de pontos, ao invés de um escalar). Tal valor é a derivada direcional de f no ponto x, para o vetor v. Note que, neste caso, a denomina¸cão derivada direcional é, sob aspecto geométrico, especialmente apropriada. Para casos an´ alogos, como os que foram e ser˜ ao apresentados, esta denomina¸ cão é, por extensão, mantida.

∇

∇

→

´lDefini¸ca õ 1.3.6 (Grad. Esc., Vet., Ten. ou de Pontos, em Vet. ou Ten.) A u tima equa¸cão destacada na defini¸caõ 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar, permite outras generaliza¸co˜es além daquela referente a` defini¸cã o de campo 1.3.4, onde f : W , sendo é aberto (defini¸caõ de subconjunto aberto 1.3.1), o que conduz ao conceito de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, apresentado na sua defini¸ caõ 1.3.5. De fato, sejam W 1 e W 2 dois espa¸cos normatizados, escolhidos entre aqueles listados de (a) a (d) no come¸co da citada defini¸caõ 1.3.3, mas excluindo-se as possibilidades W 1 = e W 1 = , porque já consideradas. A fun¸caõ F : W 2 é dita diferenciável em X W 1 é aberto, se existir uma transforma¸caõ linear DF(X ) : W 1 W 3 , logo, de acordo com a defini¸caõ de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4 e considerando uma extens˜ ao da defini¸cã o de espa¸co de produto tensorial 1.2.13, DF(X ) (W 1 , W 3) = W 3 W 1 , onde W 3 = W 2 se W 2 = e W 3 = V se W 2 = , tal que, (X + Y ) , logo Y W 1

D→

D ⊂ E|D

D →

E

∀

lim

|Y |→0

→ ∈ L

 E ∈ D ⊂ |D ⊗ ∈

∈D

 E

1 Y

| | | F(X + Y ) − F(X ) − DF(X )[Y ]| = 0 .

Note que: 1. A equa¸cão anterior é a u´ltima equa¸cão destacada na citada defini¸ caõ 1.3.3, após as substitui¸co˜es de

∈

t (a, b)

⊂

h por Y .

∈ D ⊂ W | D é aberto e

por X

1

2. A transforma¸caõ linear DF(X ) é determinada de modo unico ´ pela express˜ ao destacada, é denominada gradiente de F em X e é grafada ∂ F(X ) ou ∂ X F (esta é a simbologia utilizada neste texto). 3. Em analogia ao apresentado na mencionada defini¸ caõ 1.3.5, mas agora de acordo com a equa¸cão aqui destacada, definindo a corre¸c˜ ao o(Y ) de modo a que F(X + 1 Y ) F(X ) = ∂ X F [Y ] + o(Y ), tem-se lim|Y |→0 |Y | o(Y ) = 0.

−

|

|

4. De modo an´ alogo ao efetuado na citada defini¸caõ 1.3.5, demonstra-se que

 

d ∂ X F[Y ] = F(X + tY ) dt

, t=0

onde (F, ∂ X F) : W 2 , sendo W 1 é aberto e dtd F : (a, b) W 2 . Denomina-se derivada direcional de F no vetor ou tensor X , para o vetor ou tensor Y , a ∂ X F[Y ].

D→

D⊂ 56

|D

→

5. Considerando os tipos de espa¸co listados no in´ıcio da mencionada defini¸ cão 1.3.3, as possibilidades W 1 = e W 1 = já foram discutidas. Restam W 1 = V e alculo de ∂ X F [Y ] W 1 = V V . No quadro a seguir, para o c´ W 2 é utilizada a nota¸cão para aplica¸cão de tensor a tensor 1.2.6. Por simplicidade, W 1 = V é combinado s´ o com W 2 = e W 2 = V , enquanto que W 1 = V V apenas com W 2 = . Por analogia, outras possibilidades podem ser calculadas.



⊗

∈ ⊗





L(W , W ) V  V ⊗ V V ⊗ V  V ⊗ V  V ⊗ V

W 1 W 2 V V V V V V V V V

⊗ ⊗

E

1

2

∂ X F

∈ L(W , W ) 1

v A

v

⊗u A v⊗u

2

∈

∂ X F [Y ] W 2 v[u] = v u A[u] = A(u) (v u)[w] = (u w)v A[B] = A B = tr(AB T ) (v u)[B] = v B(u)

⊗ ⊗

·

·

·

·

Nota¸c˜ ao 1.3.1 (Derivada e Gradiente Generalizados) Se a transforma¸caõ linear considerada indicar a tendência de varia¸ cã o de uma fun¸cão num determinado escalar, ela ser´ a chamada derivada, como nas defini¸co˜es de derivada escalar em escalar (s´ımbolo ˙ Df (t) = f (t)) e de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar (s´ımbolo D f (t) = f ˙ (t)), respectivamente 1.3.2 e 1.3.3. Se a transforma¸ cão linear considerada indicar a tendência de varia¸caõ de uma fun¸caõ num determinado ponto, vetor ou tensor, ela ser´ a chamada gradiente, como nas defini¸co˜es de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos (s´ımbolo Df (x) = x f ) e de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor (s´ımbolo D F(X ) = ∂ X F), respectivamente 1.3.4 e 1.3.5. Como s´ımbolo genérico desta transforma¸ cão linear, abarcando todos estes casos, neste texto é utilizado D ( ), onde o primeiro representa o s´ımbolo escolhido para a fun¸ cão, enquanto que o segundo representa a vari´ avel que define a forma da transforma¸caõ linear. O s´ımbolo genérico da aplica¸caõ desta transforma¸caõ linear a uma determinada vari´ avel, ou seja, o s´ımbolo genérico de derivada direcional, neste texto é D ( )[ ]. Conforme colocado na mencionada defini¸caõ 1.3.2, pode-se entender D ( )[ ] como uma generaliza¸caõ do conceito de diferencial, portanto D ( ) como uma opera¸cão que gera um diferencial, ou seja, uma opera¸caõ de diferencia¸caõ, o que justifica o t´ıtulo da presente subse¸ cão. Estes s´ımbolos genéricos podem ser usados em qualquer circunstˆ ancia, mas s˜ ao obrigatórios sempre que n˜ ao se tratar de algum caso espec´ıfico, entre aqueles neste texto citados, para os quais outros s´ımbolos tamb´ em s˜ ao aceitos e, inclusive, costumam ser mais usados. Portanto, se W e W 1 forem quaisquer dois espa¸cos normatizados (defini¸caõ 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar) e lembrando que normas se anulam quando os respectivos elementos se anulam e v.v., bem como distâncias se anulam quando as correspondentes diferen¸ cas entre elementos se anulam e v.v.:

∇

··

·

·· ·

··

D→

· · ·

∈ D ⊂ |D

1. A fun¸caõ F : W 1 é dita diferenci´ avel em X W é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), se existir uma transforma¸ caõ linear DF(X ) : W 2 W 3 tal que, (X + Y ) , sendo Y W 2 ,

∀

∈D

lim

|Y |→0

∈

→

1 Y

| | | F(X + Y ) − F(X ) − DF(X )[Y ]| = 0 .

Quando W for provido de norma ter-se-´ a W 2 = W , mas quando W for provido de 57

E

fun¸cão distˆ ancia isto não ocorrer´ a (por exemplo, para W = ter-se-á W 2 = V ). Por outro lado, quando W 1 for provido de norma ter-se-´ a W 3 = W 1 , mas quando W 1 for provido de fun¸cão distância isto n˜ ao ocorrer´ a (por exemplo, para W 1 = ter-se-á W 3 = V ). De acordo com a defini¸cão de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4, DF(X ) (W 2 , W 3) = W 3 W 2 , correspondendo esta u´ltima igualdade a uma extens˜ ao do conceito de espa¸co de produto tensorial, conforme a sua defini¸caõ 1.2.13.

E

∈ L

⊗

−

2. Define-se a corre¸c˜ ao o(Y ) de modo a que F (X + Y ) F(X ) = D F(X )[Y ] + o(Y ), 1 logo a express˜ ao destacada no item 1 implica em lim|Y |→0 |Y | o(Y ) = 0.

|

|

3. Demonstra-se que a derivada direcional d DF(X )[Y ] = F (X + tY ) dt

1.3.2

 

d F : (a, b) dt

, onde t=0

→ W . 3

Aplica¸co ˜es da Diferencia¸c˜ ao

Coment´ ario 1.3.1 (Gradientes de φ , sendo φ(A, v) = v A(v)) Seja a fun¸caõ real bilinear φ : V V V , definida por φ(A, v) = v A(v), onde A V V e ( u, v) V . Lembrando do coment´ ario 1.2.12, sobre transforma¸ cão escalar bilinear e tensor, onde é discutido que todo tensor A, al´ em de ser uma fun¸ caõ vetorial linear A : V V , corresponde a uma fun¸caõ escalar bilinear A : V V tal que A(u, v) = u A(v), onde o primeiro A representa a fun¸caõ escalar biliner a ser aplicada ao argumento (u, v), enquanto que o segundo representa o tensor A a ser aplicado ao vetor v, percebe-se que φ(A, v) = A(v, v) = v A(v). Porém, s˜ ao interessantes as express˜ oes dos gradientes ∂ v φ e ∂ A φ da fun¸caõ φ(A, v). Além disto, o c´ alculo de tais gradientes ilustra, para o caso de fun¸cã o de m´ ultiplas variáveis, o uso do item 4 da defini¸caõ 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor e a obediência ao item 3 da mesma defini¸caõ. De fato, de acordo com o mencionado item 4 tem-se

⊗ × →

·

·

∈ ⊗

× → 

·

∈ →

·



d φ(A, dt

d (( dt



v + tu) v + tu) A(v + tu)) ∂ v φ[u] = = , onde ∂ v φ é o gradiente t=0 t=0 de φ em v e ∂ v φ[u] é a derivada direcional de φ em v, na dire¸cã o de u (note que A é ignorado nestas nota¸cões e denomina¸cões, porque é suposto constante). Como (v + tu) A(v + tu) = v A(v) + t v A(u) + t u A(v) + t 2 u A(u), ent˜ ao ∂ v φ[u] = v A(u)+ u A(v). Mas, de acordo com a defini¸caõ de transforma¸ caõ linear transposta 1.2.17, v A(u) = u AT (v), logo v A(u) + u A(v) = (A + AT )(v) u = (A + AT )(v)[u] , provindo a u ´ltima igualdade da segunda linha da tabela presente no item 5 da citada defini¸caõ 1.3.6. Tem-se, portanto,

·

·

· ·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

∂ v φ = (A + AT )(v).

·

·

·

·

·

Note que φ(A, v + u) = (v + u) A(v + u) = v A(v) + v A(u) + u A(v) + u A(u) = φ(A, v) + ∂ v φ[u] + u A(u). Comparando esta igualdade com a imposi¸caõ efetuada no item 3 da mencionada defini¸cão 1.3.6, tem-se o(u) = u A(u). Se e = u/ u , lim|u|→0 ( u A(u) / u ) = lim|u|→0 ( u e A(e) ) = 0, resultado este de acordo com 1 a exigência de que lim|Y |→0 |Y | o(Y ) = 0.

·

| ·

|| |

| || · | | 58

|

·

| |

∂ A φ[B] =

d φ(A dt

+ tB, v)



t=0

=

d ( dt

v (A + tB)(v))

·



t=0

, onde ∂ A φ é o gradiente de φ

em A e ∂ A φ[B] é a derivada direcional de φ em A, na dire¸caõ de B (note que v é ignorado nestas nota¸cões e denomina¸co˜es, porque é suposto constante). Como v (A+tB)(v) = v A(v)+t v B(v), tem-se ∂ A φ[B] = v B(v). Mas, de acordo com au ´ltima linha da tabela no item 5 da citada defini¸caõ 1.3.6, v B(v) = (v v)[B], logo ∂ A φ = v v .

·

·

·

·

·

⊗

⊗ Note que φ(A + B, v) = v · (A + B)(v) = v · A(v) + v · B(v) = φ(A, v) + ∂ φ[B]. A

Portanto, comparando esta igualdade com a imposi¸ caõ efetuada no item 3 da mencionada defini¸caõ 1.3.6, obtém-se o(A) = 0, ficando satisfeita a exigência de que 1 lim|Y |→0 |Y | o(Y ) = 0.

|

|

·

∈

Coment´ ario 1.3.2 (Gradiente de φ , sendo φ(A) = u A(v)) Sejam (u, v) V vetores constantes e seja a fun¸caõ real linear φ : V V , definida por φ(A) = u A(v) (convém sublinhar que, conforme colocado no in´ıcio do coment´ ario 1.3.1, sobre gradientes de φ, sendo φ(A, v) = v A(v), esta u ´ltima, a fun¸caõ escalar bilinear A : V V e a fun¸caõ vetorial linear A : U V já foram definidas, n˜ ao podendo ser confundidas entre si, ou com a quarta fun¸cã o agora apresentada). De acordo com o item 4 da defini¸ cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se, para a derivada direcional de φ em A, para B,

⊗ → 

·

· × → 

→

d ∂ A φ[B] = φ(A + tB) dt

 

t=0

d = ( u (A + tB)(v)) dt

·

 

= u B(v) .

·

t=0

Como, considerando a u´ltima linha da tabela existente no item 5 da mencionada defini¸ cão 1.3.6, u B(v) = (u v)[B], então

·

⊗

∂ A φ = u

⊗ v.

Note que φ(A + B) = u (A + B)(v) = u A(v) + u B(v) = φ(A) + ∂ A φ[B]. Portanto, comparando esta igualdade com a imposi¸ cão efetuada no item 3 da citada defini¸caõ 1.3.6, 1 obtém-se o(A) = 0, ficando satisfeita a exigência de que lim|Y |→0 |Y | o(Y ) = 0. Considerando o coment´ ario 1.2.46, sobre decomposi¸caõ cartesiana de tensor, bem como o coment´ ario 1.2.15, sobre transposi¸caõ de tensor simples, as parcelas aditivas simétrica e antissimétrica de ∂ A φ são, respectivamente, (u v+v u)/2 e (u v v u)/2. Por outro lado, o item 4 da mencionada defini¸caõ 1.3.6 mostra que A Sym(V ) implica em ∂ A φ Sym(V ) e v.v., enquanto que A Skw(V ) implica em ∂ A φ Skw(V ) e v.v.. Portanto, se A Sym(V ) tem-se ∂ A φ = (u v + v u)/2 ,

·

·

·

|

⊗

∈

mas se

⊗

∈ ∈

∈

∈

⊗

∈

⊗ v − v ⊗ u)/2 .

A Skw(V ) tem-se ∂ A φ = (u

|

⊗−⊗

⊗

Coment´ ario 1.3.3 (Gradiente de Tra¸co) Tem-se d ∂ A tr[B] = tr(A + tB) dt

 

t=0

d = (trA + t trB) dt

 

t=0

∂ A tr = 1 , onde utilizou-se 59

·

= trB = 1 B = 1 [B], ou

o item 4 da defini¸caõ 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, para a primeira igualdade, o primeiro item do coment´ ario sobre propriedades de tra¸cos 1.2.29 para a segunda, o primeiro item do coment´ ario sobre propriedades do produto interno tensorial 1.2.31 para a quarta e a pen´ ultima linha da tabela presente no item 5 da mencionada defini¸caõ 1.3.6, para a quinta igualdade. Note que tr(A+B) = trA+trB = trA+∂ A (trA)[B]. Portanto, comparando esta igualdade com a imposi¸cão efetuada no item 3 da citada defini¸ caõ 1.3.6, obtém-se o(A) = 0, ficando 1 satisfeita a exigência de que lim|Y |→0 |Y | o(Y ) = 0.

|

|

Coment´ ario 1.3.4 (Gradiente de Determinante) De acordo com o item 4 da defini¸cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se

 

d ∂ A det[B] = det(A + tB) dt

t=0

d w((A + tB)(v1 ), . . . , (A + tB)(vn )) = dt w(v1, . . . , vn )

 

, t=0

onde, para a segunda igualdade, utilizou-se a defini¸ cão de determinante de transforma¸ cão linear 1.2.24. A fun¸caõ n-linear alternante w((A + tB)(v1), . . . , (A + tB)(vn )) pode ser decomposta nas seguintes parcelas aditivas: 1. um termo independente de t, w(A(v1 ), . . . , A(vn )) = w(v1 , . . . , vn ) det A ; 2. a soma de n termos de ordem 1 em t, t 3. termos cuja ordem, em t, é superior a 1.



n i=1

w(A(v1 ), . . . , B(vi ), . . . , A(vn )) ;

Por isto, ∂ A det[B] = =



n i=1

w(A(v1 ), . . . , B(vi ), . . . , A(vn )) = w(v1 , . . . , vn )

ou ∂ A det[B] = det A



n i=1



n i=1

w(A(v1 ), . . . , A A−1 B(vi ), . . . , A(vn )) , w(v1, . . . , vn )

w(v1 , . . . , A−1 B(vi ), . . . , vn ) = det A tr(A−1B) w(v1 , . . . , vn )

onde, na u ´ ltima igualdade, foi utilizada a defini¸ ca˜ o de tra¸co de transforma¸cão linear 1.2.26. Mas, usando a pen´ ultima linha da tabela apresentada no item 5 da mencionada defini¸caõ 1.3.6, tem-se tr(A−1 B) = A −T B = A −T [B], logo

·

∂ A det = (det A)A−T . Note que, de acordo com a imposi¸cão apresentada no item 3 da citada defini¸ caõ 1.3.6, o(B) corresponde à soma das parcelas com mais de um B em que se decomp˜ oe a fun¸caõ n-linear alternante w((A + B)(v1 ), . . . , (A + B)(vn )) / w(v1 , . . . , vn ). Isto garante que lim|B|→0 |B1 | o(B) = 0, porque w é linear e porque, conforme a sua defini¸ cão 1.2.28, a

| |

|

|

| |

norma B de um tensor de segunda ordem B é um real tal que B/ B seja um tensor de norma igual a` unidade. 60

Coment´ ario 1.3.5 (Diferencia¸c˜ ao em Cadeia) Sejam W 1 , W 2 e W 3 espa¸cos normatizados, como aqueles apresentados na defini¸ cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar. Sejam, tamb´ em, 1 W 1 1 é aberto (defini¸caõ de subconjunto aberto 1.3.1) e 2 W 2 2 e´ aberto. Sejam, ainda, φ : 1 W 2 , ψ : 2 W 3 e φ( 1 ) avel em X avel em φ(X ) 2 . Seja φ diferenci´ 1 e seja ψ diferenci´ 2 . Como este coment´ ario n˜ ao se restringe a algum caso espec´ıfico, entre aqueles citados neste texto, os s´ımbolos s˜ ao utilizados em concordˆ a ncia com a nota¸cão de derivada e gradiente generalizados 1.3.1. De acordo estas considera¸ cões e com a defini¸caõ de fun¸caõ e funcional 1.1.1, a composi¸cã o de fun¸co˜es ψ φ, tal que (ψ φ)( 1) = ψ(φ( 1 )), é diferenciável em X , obtendo-se, Y (X + Y ) 1 , que

D ⊂ D

D ⊂

D ⊂ |D

|D

∈D

D →

◦ ∈D

∀ |

D → ∈ D

◦ D

D

◦

D(ψ φ)(X )[Y ] = D(ψ(φ(X )))[Y ] = Dψ(φ(X ))[Dφ(X )[Y ] ]. Nesta express˜ ao destacada:

◦

A derivada de ψ φ se refere aos mesmos X e Y aos quais também se refere a derivada de φ, enquanto que a derivada de ψ respectivamente se refere a φ(X ) e a Dφ(X )[Y ]. A expressão mostra que, impondo isto, a derivada de ψ φ se iguala a` derivada de ψ. A esta igualdade costuma-se chamar regra de diferencia¸c˜ ao em cadeia

◦

Dφ(X )[Y ] representa, em rela¸caõ a φ(X ), o mesmo que Y representa, em rela¸caõ a X . De fato, Y é uma varia¸caõ no valor X que, quando Y 0, define a derivada da fun¸cã o que tem X como vari´ avel. Analogamente, Dφ(X )[Y ] é uma varia¸caõ no valor φ(X ) que, quando Dφ(X )[Y ] 0, define a derivada da fun¸cão que tem ao destacada no item 1 φ(X ) como variável. Além disto, de acordo com a express˜ da referida nota¸caõ 1.3.1, Y 0 implica em Dφ(X )[Y ] 0 e v.v..

| | →

|

|→

| | →



|

|→

◦

D(ψ(φ(X ))) = Dψ(φ(X )), porque no primeiro termo a deriva¸caõ da fun¸caõ ψ φ ocorre em X , como em D(ψ φ)(X ), enquanto que no segundo termo a deriva¸ca˜ o da fun¸cão ψ ocorre em φ(X ). Esta desigualdade indica a necessidade de n˜ ao se usar o mesmo s´ımbolo nos dois u´ltimos termos da igualdade destacada (p.e., n˜ ao utilizar Dψ(φ(X )) em ambos os termos).

◦

Coment´ ario 1.3.6 (Gradientes Escalar e Vetorial em Campo Vetorial) Seja a fun¸caõ escalar de vetor ϕ : ϕ V e aberto, (defini¸caõ de subconjunto aberto ϕ ´ 1.3.1) a fun¸caõ vetorial de vetor h : h V V h e´ aberto e, de acordo com a defini¸caõ de campo 1.3.4, o campo vetorial g : g V g é aberto.

D ⊂ → |D D ⊂ → |D D ⊂ E → |D

(ϕ g)(x) = ϕ(g(x)) : De acordo com o coment´ ario sobre diferencia¸caõ em cadeia 1.3.5, se g for deriv´ avel em x avel em g(x), para a ϕ e se ϕ for deriv´ g , se g(x) composi¸cão ϕ g : g existe a derivada direcional

◦

∈ D ∈ D ◦ D →  ∇ (ϕ ◦ g)[v] = ∇ ϕ(g(·))[v] = ∂ uϕ|u g [∇ g[v]], onde (v + x) ∈ Dg , u ∈ D assume o valor g (x) e, em ∇ ϕ(g(·))[v], o ´ındice x em ∇ é fundamental para indicar que se trata do gradiente em x da composi¸caõ, não do gradiente de ϕ em g(x), cujo s´ımbolo não seria ∇. Por outro lado, grafar apenas ∇ ϕ(g)[v] não esclareceria que x é o argumento de g. Note que a composi¸cão ϕ ◦ g x

x

= (x)

ϕ

x

x

x

nao poderia ser grafada ϕg porque, conforme a defini¸caõ de composi¸caõ de tensores 61

de segunda ordem 1.2.20, o s´ımbolo ϕg, para indicar composi¸caõ, seria espec´ıfico para tais tensores.

|

Tanto o s´ımbolo ∂ u ϕ u=g(x) , quanto o s´ımbolo ∂ g(x) ϕ são corretos, mas utilizou-se o primeiro para sublinhar o fato de que a express˜ ao do gradiente, num genérico vetor u, deve ser utilizada no espec´ıfico vetor g(x). A defini¸cão de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5 mostra que x g é um tensor de segunda ordem. Como ϕ é uma fun¸cão escalar de um vetor, ∂ u ϕ u=g(x) é

∇

|

um vetor. De acordo com as linhas 2 e 3 da tabela do item 5 da defini¸ cão 1.3.6, de gradientes escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, temT se ent˜ ao ∂ u ϕ u=g(x) [ x g[v]] = ∂ u ϕ u=g(x) x g(v) = ( x g) (∂ u ϕ u=g(x) ) v,

|

∇

|

· ∇

∇

|

·

onde a u ´ ltima igualdade decorre do uso da defini¸ caõ de transforma¸cão linear transposta 1.2.17. Logo, usando novamente a linha 2 da mencionada tabela, tem-se T x ϕ(g( ))[v] = ( x g) (∂ u ϕ u=g(x) )[v], ou o vetor

∇

·

∇

|

∇ ϕ(g(·)) = (∇ g) x

x

T

|

(∂ u ϕ u=g(x) ).

(h g)(x) = h (g(x)) : De acordo com o mencionado coment´ ario 1.3.5, se g for derivável em x g , se g(x) h e se h for derivável em g(x), para a composi¸caõ h g : g V existe a derivada direcional

◦

∈D ◦ D →

∈D

∇ (h ◦ g)[v] = ∇ h(g(·))[v] = ∂ uh|u g [∇ g[v]], onde (v+x) ∈ Dg e u ∈ Dh assume o valor g(x). Como no item anterior, ∇ g é um tensor de segunda ordem. Como h é uma fun¸caõ vetorial de um vetor, ∂ u h|u g x

x

= (x)

x

x

= (x)

tamb´ em é um tensor de segunda ordem. Logo, de acordo com a linha 3 da citada tabela, ∂ u h u=g(x) [ x g[v]] = ∂ u h u=g(x) ( x g(v)) = (∂ u h u=g(x) x g)(v) = (∂ u h u=g(x) ´ ltima igualdade deve-se a` x g)[v] = ∂ u h u=g(x) x g[v], onde a u defini¸caõ de composi¸caõ de tensores de segunda ordem 1.2.19. Tem-se, portanto, x h(g( ))[v] = ∂ u h u=g(x) x g[v], ou o tensor de segunda ordem

| ∇ ◦ ∇

|

∇

·

|

|

|

∇

∇

∇ ∇ h(g(·)) = ∂ uh|u

=g(x)

x

|

◦ ∇

∇ g. x

Note que este coment´ ario apresenta as u´teis express˜ oes dos gradientes escalar e vetorial em campo vetorial, ilustra o uso da regra de diferencia¸ cão em cadeia mostrada no coment´ ario 1.3.5, aprofunda a compreens˜ ao do uso dos s´ımbolos utilizados na diferencia¸ caõ e, ainda, sublinha a necessidade de se trabalhar com derivadas direcionais e, s´ o ap´ o s obtida a expressão final, escrever esta express˜ a o em termos de gradientes. De fato, se este n˜ ao tivesse sido o procedimento, percebe-se facilmente os absurdos que poderiam ter sido obtidos.

Coment´ ario 1.3.7 (Diferencia¸c˜ ao de Produto) A álgebra linear contém diversos tipos de produtos, mas todos eles têm uma propriedade em comum, a saber, a bilinearidade. Seja, ent˜ ao, a opera¸caõ bilinear π : W 1 W 2 W 3 , a qual atribui, φ(X ) W 1 e ψ(X ) W 2 , o produto π(φ(X ), ψ(X )) W 3 , onde φ : X φ(X ) W 1 e ψ : X ψ(X ) W 2 , sendo W é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e W é normatizado (defini¸caõ 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos,

∀

∈ ∈ D →

∈

× → ∈ D ⊂ |D 62

∈ D →

∀

∈

∈

em escalar). Define-se f (X ) = π(φ(X ), ψ(X )), X , logo f : W 3 . Sejam φ e ψ diferenciáveis em X W . A bilinearidade de π(φ(X ), ψ(X )) garante, ent˜ ao, que f é diferenciável em X , sendo, (X + Y ) ,

∈ D ⊂

∀ ∈ D

∀

D →

∈D

D f (X )[Y ] = π(Dφ(X )[Y ], ψ(X )) + π(φ(X ), Dψ(X )[Y ]) .

Coment´ ario 1.3.8 (Diferencia¸c˜ ao de Tensor ao Quadrado) Se A V V , então ∂ A A2 [B] = BA + AB. De fato, usando o item 3 da defini¸caõ 1.3.6 de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se ∂ A A2 [B] = dtd (A + tB)2 .

∈ ⊗

Mas

d ((A + tB)(A + tB)) dt

= B(A + tB) + (A + tB)B, logo

d (A dt

+ tB)

2





t=0

t=0

= BA + AB.

Coment´ ario 1.3.9 (Diferencia¸c˜ ao de Tensor Inverso) Se, de acordo com a defini¸caõ de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, A V V for invert´ıvel, ent˜ ao ∂ A A−1 [B] = A−1 BA −1 . De fato, usando o item 3 da defini¸caõ 1.3.6 de gradiente escalar,

∈ ⊗

−

−1

vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se ∂ A A [B] =

d (A dt

+ tB)

−1

−1



t=0

(como A é invert´ıvel e t é arbitrário, existe t não nulo tal que (A+tB) exista, além disto ocorrer em t = 0). Como (A + tB)−1(A + tB) = 1 , então dtd ((A + tB)−1 (A + tB)) = 0, ou ( ddt (A + tB)−1 )(A + tB) + (A + tB)−1 dtd (A + tB) = 0, ou ( ddt (A + tB)−1 )(A + tB) = −1

−(A + tB) B, ou −A BA . −1

d (A + tB)−1 dt

−(A + tB)

=

−1

−1

−1

B(A + tB) , logo

d (A dt

+ tB)

−1



t=0

=

Coment´ ario 1.3.10 (Diferencia¸c˜ ao de Tra¸co de Tensor Inverso) Se, conforme a defini¸caõ de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, A V V for invert´ıvel, então ∂ A tr(A−1 ) = (A−2)T . De fato, usando a regra de diferencia¸ cão em cadeia apresentada no coment´ ario 1.3.5 e, em seguida, o afirmado no coment´ ario sobre diferencia¸caõ de tensor inverso 1.3.9, obtém-se ∂ A tr(A−1 )[B] = ∂ tr(A−1 )[∂ A A−1 [B]] = ∂ tr(A−1 )[A−1 BA −1], onde o ´ındice A−1 foi omitido no s´ımbolo ∂ , para evitar redundˆ ancia. Note, porém, que embora redundˆ ancias sejam deselegantes e denotem inexperiência ou desaten¸ cão, elas não são erradas. Por isto, na d´ uvida, corra o risco de ser redundante, antes de correr aquele de errar. Usando o item 4 da defini¸cão 1.3.6 de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, seguido dos itens 1 e 5 do coment´ ario sobre propriedades de tra¸cos 1.2.29, tem-se que ∂ tr(A−1 )[A−1BA −1 ] = dtd tr[A−1 + tA−1 BA −1] = tr(A−1 BA −1 ) =

∈ ⊗

−

−

−2

−1

−



t=0

−2

tr(A B), logo ∂ A tr(A )[B] = tr(A B). Considerando a pen´ ultima linha da tabela do item 5 da citada defini¸caõ 1.3.6, novamente o coment´ ario 1.2.29 e também o coment´ ario 1.2.19, sobre transposi¸caõ de composi¸cão, tem-se ∂ A tr(A−1 )[B] = (A−2 )T [B], logo ∂ A tr(A−1 ) = (A−2 )T .

−

−

caõ Coment´ ario 1.3.11 (F´ ormulas para Diferencia¸c˜ ao de Produtos) Seja a fun¸ escalar f e as fun¸co˜es vetoriais h e q, sendo o argumento delas uma vari´ avel pertencente a W é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). De acordo com o coment´ ario 1.3.7, sobre difernecia¸caõ de produtos, tem-se que:

D ⊂ |D

1. para W =



˙ f h = f ˙ h + f h˙ ˙ q h = q˙ h + q h˙

  ·

·

63

·

2. para W =

E ∇(f h) ∇(q · h)

= h f + f h = ( q)T (h) + ( h)T (q)

⊗∇ ∇

∇ ∇

3. para W = V ∂ (f h) = h ∂f + f∂ h ∂ (q h) = (∂ q)T (h) + (∂ h)T (q)

⊗

·

∇

Note que, coerentemente com a simbologia adotada, os parˆ entesis ap´ os os s´ımbolos e ∂ indicam que a fun¸cã o, a` qual o gradiente é aplicado, é o produto de duas fun¸ cões. Portanto, tais parêntesis n˜ ao indicam qual é o valor da vari´ avel que define a forma da opera¸cão gradiente, porque tal valor apareceria como ´ındice dos s´ımbolos e ∂ .

∇

Coment´ ario 1.3.12 (Derivada e Gradiente de Ordem Superior) Seja F : W W 1 diferenci´ avel em X é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). Ent˜ ao, conforme a nota¸cão de derivada e gradiente generalizados 1.3.1, DF(X ) : W 2 W 3 e DF(X ) W 3 W 2 , logo DF : X W DF(X ) DF( ) W 3 W 2 . Seja DF : W W 3 W 2 diferenci´ avel em X . Ent˜ ao D2 F(X ) : W 2 W 3 W 2 e D2 F(X ) W 3 W 2 W 2 , logo D2 F : X W D2 F(X ) D2 F( ) W 3 W 2 W 2 , onde D2 F(X ) é uma fun¸caõ derivada ou gradiente de segunda ordem. Procedendo sucessivamente desta forma, pode-se atingir derivadas ou gradientes de ordem cada vez maior, enquanto as fun¸co˜es forem diferenci´ aveis. Evidentemente, as correspon-

→

⊗

D⊂

∈ D|D

∈ ⊗ D ⊂ → ⊗ ∈ ⊗ ⊗ ⊗

∈ D ⊂

→

∈D⊂

∈

→

→

D ⊂ ⊗ → ⊗ ∈ D ⊂

dentes derivadas direcionais s˜ ao DF(X )[Y ], D2 F(X )[Y ] etc., para (X + Y ) , logo Y W 2 . Evidentemente também, n˜ ao se trata de composi¸cão de fun¸co˜es, ao contr´ ario do que ocorre no coment´ ario 1.3.5, sobre diferencia¸cão em cadeia.

∈ D

∈

W W 1 for diferenci´ avel em X é Defini¸ca õ 1.3.7 (Classe C k ) Se F : aberto (defini¸caõ de subconjunto aberto 1.3.1) e, conforme o coment´ ario 1.3.12, sobre derivada e gradiente de ordem superior, DF : W W 3 W 2 for cont´ınua em , afirmar-se-á que F pertence a` classe C 1 . Se D F : avel em W W 3 W 2 for diferenci´ X e D2 F : W W 3 W 2 W 2 for cont´ınua em , afirmar-se-á que DF pertence à classe C 1 e F pertence a` classe C 2. Procedendo sucessivamente desta forma, pode-se concluir que F pertence a` classe C k , onde, necessariamente, k é um inteiro maior ou igual a` unidade. Uma fun¸caõ é dita suave (“smooth”) quando ela pertencer a alguma classe C k . Seja é um espa¸co euclideano de pontos, de acordo com a sua defini¸ caõ 1.2.44. O ponto x será regular se todos os campos tensoriais para este fim considerados forem suaves neste ponto mas, se isto n˜ ao ocorrer, ele ser´ a singular. Uma superf´ıcie em será seccionalmente suave quando ela for constitu´ıda por pontos regulares salvo, no máximo, sobre um n´ umero finito de curvas. Um subconjunto de será uma regi˜ ao regular quando for totalmente envolvido por uma superf´ıcie a ele pertencente, que o separe do restante de e, além disto, a superf´ıcie envolvente for seccionalmente suave.

D ⊂

D ⊂ →

⊗

→

∈ D|D

D ⊂ → ⊗ D ⊂ → ⊗ D

⊗

D

E ∈ E

E

E

E

64

Coment´ ario 1.3.13 (Gradiente de Gradiente de Campo Escalar) Seja é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e seja φ : φ pertence a` classe 2 ario 1.3.12, sobre derivada e gradiente de ordem superior e C . Considerando o coment´ de acordo com a defini¸caõ de classe C k 1.3.7, tem-se então que, sendo V o espa¸co de transla¸caõ de ,

D → |

D ⊂ E|D

E ∃∇ φ : V →  tal que ∇φ : x ∈ D ⊂ E → ∇ φ ∈ ∇ φ ⊂ V seja cont´ınua em D e, além disto, ∃∇ ∇φ : V → V tal que ∇∇φ : x ∈ D ⊂ E → ∇ ∇φ ∈ ∇ ∇φ ⊂ V ⊗ V seja cont´ınua em D. Aten¸cão: não usar o s´ımbolo ∇ , o qual, conforme a defini¸caõ de laplaciano de campo esx

D

x

x

D

x

2

calar ou vetorial 1.3.14, representa uma transforma¸ cão completamente diferente daquela aqui proposta. Seja v V . Na expressão f (x+ v) f (x) = x f [v]+o(v), apresentada na defini¸cão de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5, pode-se, ent˜ ao, impor que f = φ, o que resulta na igualdade

∈

−

∇

∇

∇

vφ

x+

− ∇ φ = (∇ ∇φ)[v] + o(v), x

x

na qual cada um dos termos é um vetor e, de acordo com a terceira linha da tabela no item 5 da defini¸caõ 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, ( x φ)[v] = ( x φ)(v), porque x φ é um tensor de segunda ordem. Deve-se sublinhar que esta igualdade n˜ ao representa uma composi¸caõ de fun¸co˜es ( φ é aplicável a um ponto de , não a um vetor). A aplica¸cão de x a φ antecede qualquer opera¸cão sobre v, o que é o oposto do que acontece na composi¸ cão. Impondo u V , pode-se efetuar o produto interno da igualdade destacada por u,

∇∇

∇∇

∇∇

E

∇

∇

∇

∈

∇

v φ[u]

x+

− ∇ φ[u] = u · (∇ ∇φ)(v) + o(v), x

x

porque o(v) indica alguma corre¸caõ, a qual é fun¸cão de v . Mas, porque f (x + u) x f [u] + o(u), tem-se

∇ ∇ vφ[u] = φ(x + v + u) − φ(x + v) + o(u) e ∇ φ[u] = φ(x + u) − φ(x) + o(u).

− f (x) =

x+ x

Substituindo estas duas igualdades na u´ltima express˜ ao destacada tem-se

u (

· ∇ ∇φ)(v) = φ(x + v + u) − φ(x + v) − φ(x + u) + φ(x) + o(u) + o(v) , x

cujo segundo membro n˜ ao se altera com a troca entre u e v, logo

u (

· ∇ ∇φ)(v) = v · (∇ ∇φ)(u) . x

x

Considerando a defini¸cão de tensores simétrico e antissim´ etrico 1.2.18, percebe-se que, se o gradiente do gradiente de um campo escalar pertencer a` classe C 2 , ele será um tensor simétrico. Este coment´ ario, al´ em de exemplificar o uso do conceito de derivada e gradiente de ordem superior, apresentado no coment´ ario 1.3.12, produz um resultado muito u ´ til para a mecˆ anica dos meios cont´ınuos. 65

Teorema 1.3.1 (Fun¸ca õ Inversa) O teorema da fun¸caõ inversa, cuja demonstra¸cão é omitida, mostra que, para W é aberto (defini¸caõ de subconjunto aberto 1.3.1), se a fun¸caõ F : W pertencer a` classe C k e for de um para um em , respectivamente de acordo com as defini¸cões de classe C k 1.3.7 e de fun¸caõ e funcional 1.1.1, ent˜ ao a transforma¸caõ linear DF(X ) ser´ a invert´ıvel X e, além disto, também pertencer´ a à classe C k a fun¸cão inversa de F em , grafada F−1 conforme a mesma defini¸caõ 1.1.1. Como exemplo de transforma¸ cão linear invert´ıvel pode-se considerar o caso em que DF(X ) V V , o qual obedece à defini¸caõ de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29.

D ⊂ |D

D→

D

D

∀ ∈ D

∈ ⊗

1.3.3

Sistemas de Coordenadas

D ⊂ E|D

é aberto (defini¸cã o de Defini¸ca õ 1.3.8 (Sistema de Coordenadas) Seja subconjunto aberto 1.3.1). Um sistema de coordenadas é uma fun¸ca˜ o de um para um que pertence a` classe C 2 , respectivamente de acordo com as defini¸ co˜es de fun¸cão e n funcional 1.1.1 e de classe C k 1.3.7, grafada ψ : . De acordo com o teorema 1.3.1, sobre fun¸caõ inversa, isto garante que ψ −1 existe e pertence a` classe C 2. Se x , então ψ:x (x1 , . . . , xn ) é um sistema de coordenadas, sendo (x1 , . . . , xn ) = ψ(x) as coor, tal que χi : x xi para i = 1, . . . , n, é uma denadas de x. Cada fun¸cão χi : esima fun¸c˜ ao coordenada do sistema de coordenadas ψ, também ela pertencente a` i-´ 2 classe C . Seja χ = ψ −1, portanto seja x = χ(x1 , . . . , xn ) = χ(χ1 (x), . . . , χn (x)).

D →

→

D → 

∈D

→

esima coordenada Seja, ainda, a fun¸caõ λi : , a qual define a curva da i-´ passando por x quando t = 0, curva esta grafada λi (t) = χ(x1 , . . . , xi + t, . . . , x n ), onde x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn são mantidos fixos. Como λi (t) , a tangente a esta curva no ponto x é um vetor ci (x) e o espa¸co tangente de em x, isomórfico x , onde x ´ ao espa¸co de transla¸caõ V de , conforme a defini¸caõ de espa¸co tangente 1.2.45. Tem-se ci (x) = λ˙ i (t) = dtd χ(X + tY ) , onde X = ψ(x) e Y = (0, . . . , 0, xi = 1, 0, . . . , 0). t=0 t=0 Mas, de acordo com o item 4 da defini¸ cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se que dtd χ(X + tY ) = ∂ X χ[Y ]. Portanto,

 → D

∈ E E



E



ci (x) = λ˙ i (t)



t=0

= ∂ X χ[Y ] =

∈ D



E

t=0

∂χ 1 (x , . . . , xn ) , i ∂x

onde a u´ltima igualdade indica que o c´ alculo de ∂ X χ[Y ] pode ser efetuado pelo método ∂χ n tradicional, porque x = χ(x1 , . . . , x ) mostra que o argumento de χ (e de ∂x e um i) ´ conjunto de escalares independentes entre si.

Teorema 1.3.2 (Base de Espa¸co Tangente) O conjunto ordenado (ci (x))ni=1 é uma base do espa¸co tangente x . v Demonstra¸cao: ˜ x pode-se definir uma curva passando por x quando t = 0, a saber λ(t) = x +tv , onde t . Mas, de acordo com a defini¸caõ de sistema de coordenadas 1.3.8, λ(t) = x+tv = χ(χ1 (x+tv), . . . , χn (x+tv)), sendo χ i (x+tv) = (x+tv) i . Portanto, para x e v fixos,

E ∀ ∈ E ∈ E ∈

˙ v = λ =

n

dχ i ∂χ dχ i n 1 v v ci (x + tv) , ((x + t ) , . . . , (x + t ) ) = i dt ∂χ dt i=1



66

onde, na terceira igualdade da u´ltima express˜ ao destacada, foi novamente usada a defini¸cão 1.3.8. A express˜ ao destacada independe de t. Para t = 0 ela pode ser escrita i ˙ v = dχ λ = dt

 

ci (x) .

t=0

Esta u ´ltima express˜ ao indica que o conjunto ordenado (ci (x))ni=1 abrange todo o espa¸co em disto, os vetores ci (x) são derivadas parciais em rela¸caõ a variáveis index . Como, al´ pendentes, eles s˜ ao linearmente independentes entre si. Logo, de acordo com a defini¸ cão de base 1.2.2, eles formam uma base para x . 

E

E

Defini¸ca õ 1.3.9 (Campo de Bases) De acordo com o item 2 da defini¸caõ de campo 1.3.4, ci (x) e um campo vetorial aplicado a , motivo porque o conjunto x ´ ordenado (ci (x))ni=1 é dito um campo de bases (uma base para cada ponto x, de acordo com o teorema sobre base de espa¸co tangente 1.3.2). Cada campo de bases é chamado base natural, no espa¸co V de transla¸caõ de , das correspondentes coordenadas (xi )ni=1 que o originam, por meio das fun¸cões λi (t) apresentadas na defini¸caõ de sistema de coordenadas 1.3.8.

∈ E

D ⊂ E

E

Coment´ ario 1.3.14 (Tensor M´ etrico e Base Natural Dual) A base natural vista na defini¸caõ de campo de bases 1.3.9, (ci (x))ni=1 , é contravariante. Sua base dual covariante é (ci (x))ni=1 . Os produtos internos gi j (x) = ci (x) c j (x) e g i j (x) = ci (x) c j (x) são, respectivamente, componentes covariantes (obtidos a partir da base contravariante) e contravariantes (obtidos a partir da base covariante) do tensor m´ etrico do sistema de coordenadas para o ponto x. Note que, conforme o coment´ ario 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade, o tensor m´ etrico do sistema de coordenadas é a forma assumida pelo tensor identidade em cada ponto x, em termos das bases naturais contravariante e covariante referentes a determinado sistema de coordenadas. Considerando, de acordo com a defini¸cão de sistema de coordenadas 1.3.8, x i = χ i (x) e x = χ(x1 , . . . , xn ), tem-se xi = χ i (χ(x1, . . . , xn )). Logo, usando a regra de diferencia¸ cão em cadeia apresentada no coment´ ario 1.3.5, a saber D f (X )[Z ] = Dψ(φ(X ))[Dφ(X )[Z ] ], tem-se

·

∂x i 1 (x , . . . , xn ) = δ i j = j ∂x i ∂χ (x1 , . . . , xn ) = xχ j ∂x i c j (x) , onde: xχ



∇ ∇ ·



·

∂χ (x , . . . , x ) = ∇ χ · ∂x x

1

i

n

j

todos os membros foram divididos pelo acréscimo escalar [Y ], a primeira igualdade prov´ em do fato das coordenadas serem independentes entre si, i

∇ χ

tanto

x

quanto

∂χ (x1 , . . . ∂x j

, xn ) são vetores,

a terceira igualdade provém do uso da linha 2 da tabela no item 5 da defini¸ cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial ou de pontos, em vetor ou tensor e

67

a quarta igualdade considera a express˜ ao destacada na defini¸cão de sistema de coordenadas 1.3.8. Como, de acordo com a defini¸cã o de base dual 1.2.8, ci (x) c j (x) = δ i j , a express˜ ao destacada mostra que ci (x) = x χi . Portanto, x as duas bases naturais duais das coordenadas (x1 , . . . , xn ), no espa¸co V de transla¸caõ de , são, para i = 1, . . . , n,

∇

ci (x) =

∀

∂χ 1 (x , . . . , xn ) i ∂x

·

E

ci (x) =

e

i

∇χ, x

respectivamente a base contravariante e a covariante das mesmas coordenadas.

Coment´ ario 1.3.15 (Transforma¸c˜ ao de Sistema de Coordenadas) Considerann do a defini¸caõ de sistema de coordenadas 1.3.8, sejam os dois sistemas ψ : n e ψ¯ : , onde é aberto (defini¸caõ de subconjunto aberto 1.3.1) e ¯ sejam (x1, . . . , xn ) = ψ(x) e ( x¯1 , . . . , ¯ xn ) = ψ(x) as correspondentes coordenadas de x. Suponha que a transforma¸caõ de coordenadas seja dada por

D→

D → 

D ⊂ E|D

xi = x i (¯ x1 , . . . , ¯ xn ) e x¯i = x¯i (x1, . . . , xn ) . Impondo xi = χ i (x) e x¯i = χ¯i (x), para i = 1, . . . , n e aplicando o gradiente em x, para i a equa¸caõ destacada a` esquerda tem-se x χi = jn=1 ∂ ∂xx¯j (¯ x1 , . . . , x¯n ) x χ¯ j , enquanto que

∇



∂ x ¯i



∇

para aquela a` direita tem-se x χ¯i = jn=1 ∂x j (x1 , . . . , xn ) x χ j . Note que estas u ´ltimas duas igualdades podem ser obtidas pelos métodos tradicionais de deriva¸ cão, porque xi e x ¯i são fun¸co˜es escalares de escalares e, conforme indica a defini¸ caõ de campo 1.3.4, χi e χ¯i são campos escalares. Como, de acordo com o coment´ ario 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, i i i i c (x) = x χ e c¯ (x) = x χ¯ , tem-se

∇

∇

∇

n

∂x i 1 (¯ c (x) = x , . . . , x¯n ) c¯ j (x) j x j =1 ∂ ¯ i

∇



Além disto, c i (x) =

∂χ (x1 , . . . ∂x i

χ(¯ ¯ x1 , . . . , ¯ xn ), logo ci (x) =

n

e

, xn ) e c¯i (x) = ∂χ (x1 , . . ∂x i

. , xn )

∂ x ¯j

∂ ¯ xi 1 (x , . . . , xn ) c j (x) . c¯ (x) = j j =1 ∂x i



∂ χ ¯ (¯ x1 , . . . , x¯n ), onde x = χ(x1 , . . . , xn ) ∂ x ¯i j = jn=1 ∂ ∂ x¯χ¯j (¯ x1 , . . . , x¯n ) ∂ ∂xx¯ i (x1 , . . . , xn )



= =

(x1 , . . . , xn )¯c j (x). As primeiras duas igualdades provém do mesmo coment´ ario 1.3.14, enquanto que a seguinte espress˜ ao para x utiliza a já citada defini¸caõ 1.3.8. A express˜ ao que liga ci (x) a c¯ j (x) pode ser obtida pelos métodos tradicionais de deriva¸ cã o e uma expressão an´ aloga existe para c¯i (x). Tem-se, portanto, ∂x i

∂ ¯ x j 1 (x , . . . , xn ) c¯ j (x) ci (x) = i ∂x

e

∂x j 1 (¯ x , . . . , x¯n ) c j (x) . c¯i (x) = i ∂ ¯ x

As quatro igualdades destacadas podem ser escritas, em analogia ao exposto na defini¸caõ de matrizes de transforma¸caõ 1.2.21, ¯ j i c¯ j (x) c (x) = M i

c¯ j (x)

i

e e

¯ i j c j (x) , c¯i (x) = M

−1 j

¯i ci (x) =M

−1

¯ j c j (x) , c¯ (x) =M

68

i

o que permite a associa¸caõ ∂x i ¯ M j = j , ∂ ¯ x i

i

−1 j

∂ ¯ xi ¯ M j = j , ∂x −1

∂ ¯ x j ¯ M i = ∂x i

∂x j j ¯ e M i = . ∂ ¯ xi

Feita esta associa¸caõ, as regras de transforma¸ caõ de componentes de vetor e de tensor, respectivamente apresentadas nos coment´ arios 1.2.20 e 1.2.21, são diretamente aplic´ aveis.

Coment´ ario 1.3.16 (Deforma¸c˜ ao em Termos de Coordenadas) Seja uma deforma¸cã o, conforme o item 4 da defini¸ cã o de campo 1.3.4, κ : , sendo é aberto (defini¸caõ de subconjunto aberto 1.3.1), logo x = κ(x), onde x e x κ( ). Sejam, também, as correspondentes coordenadas, de acordo com a defini¸ cão de sistema de coordenadas 1.3.8, (x1 , . . . , xn ) = ψ(x) e (x1 , . . . , xn ) = ψ (x) e as fun¸cões inversas dos sistemas de coordenadas, respectivamente χ e χ. A deforma¸cão, que ocorre de um ponto x para um ponto x, também pode ser entendida como a altera¸ cão das coordenadas associadas a x para aquelas referentes a x, por meio da express˜ ao xα = κ α (x1 , . . . , xn ), para α = 1, . . . , n. Como x = κ(x) = χ(x1 , . . . , xn ), usando a express˜ ao da deforma¸caõ em termos de coordenadas e a igualdade xi = χ i (x), mostrada na citada defini¸caõ 1.3.8, pode-se escrever n n ∂ χ ∂κ α i κ = x xχ . α i ∂x α=1 i=1 ∂ x

D → E

E|D ∈ D



 

∇

            ∇

D⊂ ∈ D

onde utilizou-se deriva¸cão tradicional. De acordo com o coment´ ario 1.3.14, sobre tensor m´ etrico e base natural dual, a expressão destacada inclui os vetores ∂ χ 1 (x , . . . , xn ) = cα (x) = cα (κ(x)) e α ∂ x

     

∇χ x

i

= c i (x) .

α

Além disto, ela também inclui o escalar ∂κ (x1 , . . . , xn ) e, considerando a defini¸cã o de ∂x i gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5, o tensor de segunda ordem x κ. Isto indica que os dois vetores no segundo membro formam um tensor simples. Tal tensor deve ser cα (κ(x)) ci (x), não ci (x) cα (κ(x)), porque x κ é aplicado a um vetor diferen¸ca entre pontos pertencentes, ambos, a , produzindo um vetor diferen¸ca entre pontos pertencentes, ambos, a κ( ). Obtém-se, então,

∇

⊗



⊗

D

∇

 D

n

∇

∂κ α 1 (x , . . . , xn ) cα (κ(x)) x κ = i i=1 ∂x





i

⊗ c (x) ,

onde o somat´ orio sobre α obedece a` nota¸ca˜ o de Einstein 1.1.2. A u ´ ltima express˜ ao destacada mostra componentes mixtos do tensor gradiente de deforma¸c˜ ao, associados à base produto correspondente a`s bases naturais contravariante e covariante de quaisquer dois sistemas de coordenadas, referindo-se cada sistema de coordenadas a um ponto distinto do espa¸co euclideano de pontos. De fato, de acordo com a defini¸ caõ de tensor de segunda ordem 1.2.14, a express˜ ao destacada indica que ∂κ α 1 α ( x κ) i = (x , . . . , xn ) . i ∂x

∇

69

Portanto, utilizando a base produto mencionada, os componentes do gradiente da deforma¸cão são as derivadas parciais das fun¸cões escalares de escalares κ α : (x1 , . . . , xn ) xα , para α = 1, . . . , n, que fornecem a deforma¸cão em termos das rela¸cões entre as coordenadas destes dois pontos. Mas, usando o coment´ ario 1.2.15, sobre transposi¸caõ de tensor simples, tem-se que

→



n

∂κ α 1 ( x κ) = (x , . . . , xn ) ci (x) i i=1 ∂x

∇

T



⊗ c (κ(x)) , logo ((∇ κ)



α

x

T

)i

α

∂κ α 1 = (x , . . . , xn ) . i ∂x

De fato, de acordo com o coment´ ario 1.2.16, sobre transposi¸cão de tensor de segunda i T i ordem, A j = (A ) j . O conceito de tensor gradiente de deforma¸ cão é de extrema importˆ ancia para a termodinˆ amica dos meios cont´ınuos, usando-se, geralmente, os componentes associados agora mostrados.

1.3.4

Derivadas Covariantes

Defini¸ca õ 1.3.10 (Componente de Gradiente de Campo) O gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos foi apresentado na defini¸ cão 1.3.5. No coment´ ario 1.3.16, sobre deforma¸cão em termos de coordenadas, foram indicados os componentes do gradiente de campo de pontos, associados a` base produto correspondente a`s bases naturais contravariante e covariante de quaisquer dois sistemas de coordenadas, referindo-se cada sistema de coordenadas a um ponto distinto do espa¸co euclideano de pontos. Ser´ a, agora, considerado um uńico sistema de coordenadas, aplic´ a vel a todos os pontos do espa¸co euclideano e os dois campos de bases naturais, um contravariante e o outro covariante, referentes a este sistema de coordenadas (defini¸ cão de campo de bases 1.3.9 e coment´ ario 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual). De fato, os componentes dos gradientes dos campos escalar, de bases naturais, vetorial e tensorial de segunda ordem, associados aos dois campos de bases mencionados, apresentam especial interesse para a mecˆ anica dos meios cont´ınuos. Portanto, seja ψ o sistema de coordenadas, de acordo com sua defini¸ cão 1.3.8 e sejam (x1 , . . . , xn ) = ψ(x) as correspondentes coordenadas, ou x = χ(x1 , . . . , xn ), onde x é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). De acordo com o j´ a citado coment´ ario 1.3.14, sejam, x, (ci (x))ni=1 e (ci (x))ni=1 as bases naturais, respectivamente contravariante e covariante, referentes a estas coordenadas.

∈ D ⊂ E|D

∀

D → 

1. Campo escalar f : : o gradiente de f é um vetor, portanto seus componentes s˜ ao produtos internos do vetor gradiente pelos vetores de base. Logo, de acordo com a defini¸caõ de base dual 1.2.8, os componentes covariantes do gradiente de f são dados por

∇ f · c (x) = ∇ f [c (x)] = lim 1t (f (x + tc (x)) − f (x)) , x

i

x

i

t→0

i

onde na u ´ ltima igualdade usou-se sequencialmente a express˜ ao para derivada direcional da citada defini¸cão 1.3.5, seguida da defini¸caõ de derivada escalar em es-

70

∂χ 1 n i n 1 1 calar 1.3.2. Como ci (x) = ∂x i (x , . . . , x ) = limt→0 t (χ(x , . . . , x + t, . . . , x ) χ(x1 , . . . , xn )), onde na primeira igualdade usou-se o mencionado coment´ ario 1.3.14 1 e na segunda a citada defini¸caõ 1.3.2, tem-se limt→0 t (χ(x1 , . . . , xi + t, . . . , xn ) χ(x1 , . . . , xn ) tci (x)) = 0. Portanto, limt→0 1t χ(x1 , . . . , xi +t , . . . , x n ) = limt→0 1t (x +tci ). Usando o conceito de composi¸ caõ de fun¸co˜es apresentado na defini¸caõ de fun¸cão e funcional 1.1.1 tem-se, ent˜ ao, x f c i (x) = limt→0 1t (f χ(x1 , . . . , xi + t , . . . , x n ) f χ(x1 , . . . , xn )), ou

−

−

−

∇ ·

− ◦

◦

∇ f · c (x) = ∂ (f ∂x ◦ χ) (x , . . . , x ) . x

Se

∇ f = x

ci (x) =





∂ (f ◦χ) n 1 j =1 ∂x j (x , . . .

∂ (f ◦χ) j n j =1 ∂x j δ i

=

1

i

, xn ) c j (x), ent˜ ao

∂ (f ◦χ) , ∂x i

x

∇ f · c (x) x

i

=

logo

n

∇ f =

n

i





∂ (f ◦χ) n j =1 ∂x j

c j (x)

·

◦

∂ (f χ) 1 (x , . . . , xn ) c j (x) . j ∂x j =1

Portanto, os componentes covariantes do vetor gradiente de um campo escalar, evidentemente associados a` correspondente base natural covariante de um sistema de coordenadas de um espa¸co euclideano de pontos, s˜ ao as derivadas parciais de f χ em rela¸caõ às mencionadas coordenadas. Tais escalares costumam ser grafados

◦

◦

∂ (f χ) 1 (x , . . . , xn ) = f , j (x) , j ∂x sendo denominados derivadas covariantes de campo escalar . Tem-se, então, j

∇ f = f (x) c (x) , x

,j

que claramente mostra ser o nome derivada covariante proveniente do fato de que trata-se dos componentes, do gradiente campo escalar f (x), associados a` base natural covariante referente ao ponto x (derivadas contravariantes n˜ ao ser˜ ao tratadas neste texto). Como deseja-se utilizar a nota¸ cão de Einstein 1.1.2, esta é a raz˜ ao porque o indicador referente a` coordenada de deriva¸caõ (no caso, j) aparece como ´ındice, não como super´ındice do s´ımbolo do campo (no caso, f ). 2. Campo de bases naturais: as bases naturais s˜ ao (ci (x))ni=1 (contravariante) e (ci (x))ni=1 (covariante). Para cada i fixo tem-se ci : x ci (x) x , sendo o gradiente de ci um tensor de segunda ordem grafado Γi (x) = x ci x x . i i i i c (x) e Γ (x) = xc Analogamente, c : x x x . Os componentes de Γi e Γi associados a`s bases produto naturais s˜ ao os s´ımbolos de Christoffel, a seguir relacionados (nas express˜ oes abaixo, todas as grandezas dependem de x, motivo porque esta dependência ser´ a omitida até ao final deste item):

∈ D →

∈ D →

Γi = Γi j k c j Γi = Γi j

k

∇ ∈ E ⊗ E

⊗ c = Γ c ⊗ c = Γ

k j

i j k

k

c j

k

⊗c = Γ c ⊗ c = Γ

k j

ij

i j j k

k

71

c

k

= Γi j k c j

k

= Γi

⊗c c ⊗c

i k j j

∈ E ∇ ∈ E ⊗ E

j k

⊗ c c ⊗ c j

k

k

e .

Note que os s´ımbolos de Christoffel n˜ ao representam componentes associados de algum tensor de terceira ordem, porque o indicador i não se refere a` base associada, mas sim ao fato de se tratar de um componente do gradiente de c i (primeira entre as u ´ ltimas duas linhas destacadas) ou de ci (segunda entre as u´ltimas duas linhas destacadas). De acordo com a segunda igualdade do item 2 do coment´ ario 1.3.11, sobre f´ ormulas para diferencia¸caõ de produtos, tem-se que 0 = (ci c j ) = ( ci )T (c j )+( c j )T (ci ) = (Γi )T (c j ) + (Γ j )T (ci ). Seja Γi = Γi m k cm c k , logo, (Γi )T = Γi m k ck c m . Analogamente, seja Γ j = Γ j m k cm ck , logo (Γ j )T = Γ j m k ck cm . Substituindo (Γi )T e (Γ j )T na express˜ ao de (ci c j ) obtém-se (ci c j ) = Γi j k ck +Γ j i k ck = 0 , ou Γi j k = Γ j i k .

∇ · ⊗

⊗ ∇ ·

∇

∇

⊗

⊗

∇ ·

−

Usando sempre o mesmo produto (ci c j ), mas cm c k ao invés de cm c k e ´ cm ck ao invés de c m ck , obtém-se Γi j k = Γ j i k ao invés de Γi j k = Γ j i k . E fácil perceber que n˜ ao são obten´ıveis mais outras igualdades an´ alogas a estas duas. j i De fato, usando (c c i ), ao invés de (c c j ), apenas se intercambiam i e j nos dois s´ımbolos de ambas as duas u´ltimas igualdades, cabendo, ainda, lembrar que o produto interno é comutativo.

⊗

·

⊗

⊗

−

·

−

⊗

·

Porém, considerando o coment´ ario 1.3.14, Γi (x) = x ci = x χi , onde xi = χ i (x). Então, de acordo com o coment´ ario 1.3.13, sobre gradiente de gradiente de campo escalar, x χi é simétrico, porque a defini¸caõ 1.3.8 afirma que χ i pertence a` classe C 2 . Portanto, c m Γi cn = c n Γi cm , ou c m Γi j k (c j ck )cn = c n Γi j k (c j ck )cm , ´ fácil perceber que, embora Γi = Γi j k c j ck = Γi j k c j ck , ou Γi m n = Γi n m . E não existe uma rela¸caõ an´ aloga para Γi j k . Como a simetria é uma propriedade que muito facilita os cálculos, apenas a igualdade destacada costuma ser utilizada. Esta, pode ent˜ ao ser re-escrita

∇

∇∇

·

·

·

Γi k j = Γi j

k

=

∇∇

⊗

−Γ

j

i k

=

⊗

−Γ

i

k

·

⊗

⊗

j .

Por causa da existência desta ultima ´ express˜ ao destacada, usa-se um uńico s´ımbolo de Christoffel. Geralmente, escolhe-se o componente Γ j i k , freq¨ uentemente chaecie. mado o s´ımbolo de Chistoffel de segunda esp´ 3. Campo vetorial v : V : de acordo com a primeira igualdade do item 2 do coment´ ario 1.3.11, sobre fórmulas para diferencia¸cão de produtos, tem-se (todas as grandezas dependem de x, motivo porque esta dependência ser´ a omitida até ao i i i final deste item) v = (v ci ) = c i v + v ci . Mas, usando o primeiro item

D →

∇ ∇ da presente defini¸caõ, ∇v

i

=



n j =1

⊗∇

∂ (v i ◦χ) ∂x j

∇

(x1 , . . . , xn ) c j = v i , j c j . Por outro lado,

usando o segundo item da presente defini¸ caõ tem-se ci = Γi = Γi j k c j Portanto, v = v i , j ci c j + v i Γi j k c j ck .

∇

∇

⊗

k

⊗ c .

⊗

Considerando que, no primeiro termo do segundo membro da u´ltima equa¸cão destacada, tanto i quanto j são indicadores mudos, eles poder ser respectivamente

72

∇v em termos da derivada

substitu´ıdos por j e k, disto resultando a express˜ ao de covariante do componente contravariante do vetor v, j

∇v = v

c

k

⊗ c

, k j

, sendo v j, k = v j, k + v i Γi j k .

Alternativamente, pode-se considerar v = (vi ci ) = ci vi + v i ci , sendo vi ◦χ) vi = jn=1 ∂ (∂x (x1 , . . . , xn ) c j = vi, j c j e ci = Γi = Γi j k c j ck . Portanto, j a express˜ ao de v em termos da derivada covariante do componente covariante do vetor v é v = v i, j ci c j + vi Γi j k c j ck , ou

∇



∇

∇

∇

∇v = v

j, k

c j

k

⊗c

⊗

∇ ∇

⊗∇

⊗

, sendo v j, k = v j, k

−v

i

⊗

∇

Γ j i k ,

onde foi utilizado Γi j k = Γ j i k . Os escalares v j , k e v j, k representam, respectivamente, componentes associados a bases produto mista e covariante do tensor x v . Estes escalares s˜ ao denominados derivadas covariantes de campo vetorial. Note que, semelhantemente ao colocado no final do item 1, o indicador referente a` coordenada de deriva¸ caõ (no caso, k) aparece como ´ındice porque a correspondente base natural no ponto x (no caso, (ck (x))nk=1 ) é covariante, justificando o nome derivada covariante.

−

∇

4. Campo tensorial de segunda ordem. A aplica¸caõ, a um tensor de segunda ordem, da opera¸caõ gradiente e dos s´ımbolos de Chistoffel selecionados no item 2 desta defini¸cão produz um tensor de terceira ordem. Os componentes de tal tensor, a seguir apresentados sem demonstra¸ cã o, são escalares denominados derivadas covariantes de campo tensorial de segunda ordem . Informa-se, portanto, que: (a) Para a representa¸cã o mista do campo tensorial de segunda ordem A(x) = Ai j (x) ci (x) c j (x) tem-se

⊗

∇A = A¯

i j, k

onde Ai j, k =

ci

j

k

⊗c ⊗c

∂ (Ai j ◦χ) ∂x k

, sendo A¯i j, k = A i j, k + Al j Γl i k

−A

i l

Γ j l k ,

(x1, . . . , xn ).

(b) Para a representa¸cã o mista do campo tensorial de segunda ordem A(x) = Ai j (x) ci (x) c j (x) tem-se

⊗

∇A = A¯

j i ,k

onde Ai j, k =

ci

⊗ c ⊗ c j

k

j

, sendo A¯i j, k = A i j, k + Ai l Γl j k

∂ (Ai ◦χ) (x1 , . . . ∂x k

−A

j l

Γi l k ,

, xn ).

(c) Para a representa¸cão contravariante do campo tensorial de segunda ordem A(x) = A i j (x)ci (x) c j (x) tem-se

∇A = A¯

ij ,k

onde Ai j, k =

⊗ c ⊗ c ⊗ c i

j

k

∂ (Ai j ◦χ) (x1, . . ∂x k

, sendo A¯i j, k = A i j, k + Al j Γl i k + Ai l Γl j k , . , xn ).

73

(d) Para a representa¸ cão covariante do campo tensorial de segunda ordem A(x) = Ai j (x)ci (x) c j (x) tem-se

⊗

∇A = A¯

ij,k

onde Ai j , k =

ci

j

k

⊗c ⊗c

, sendo A¯i j , k = A i j , k

∂ (Ai j ◦χ) (x1 , . . . ∂x k

−A

lj

Γi l

k

−A

il

Γ j l k ,

, xn ).

Note que o nome derivada covariante pode ser justificado do mesmo modo j´ a apresentado no final do item 3.

Nota¸c˜ ao 1.3.2 (Derivada Covariante) A aplica¸cão do gradiente transforma um tensor de ordem 0, 1 ou 2 respectivamente num tensor de ordem 1, 2 ou 3. Mas, nos três casos, ao se aumentar em uma unidade a ordem do tensor, na defini¸caõ de componente de gradiente de campo 1.3.10 foi adicionado um ´ındice, n˜ ao um super´ındice, aos componentes associados do tensor. Isto ocorreu porque, conforme ent˜ ao explicado, a deriva¸caõ efetuada foi covariante. A v´ırgula presente nos s´ımbolos das derivadas covariantes indica que tais grandezas resultam da aplica¸caõ de uma ou mais deriva¸co˜es covariantes e, ao mesmo tempo, separa dos outros ´ındices aqueles que foram adicionados em decorrência da realiza¸ cã o de tais opera¸co˜es. Na citada defini¸caõ 1.3.10, sempre apenas um ´ındice é separado a` direita da v´ırgula, porque uma unica ´ deriva¸caõ covariante é realizada. Mas, a cada nova deriva¸caõ covariante porventura executada, um ´ındice é adicionado a` direita dos ´ındices anteriormente posicionados ap´ os a v´ırgula, os quais se referem a deriva¸ cões anteriormente efetuadas (existe, sempre, uma uńica v´ırgula). Coment´ ario 1.3.17 (Derivada Covariante de 1 e de e) De acordo com a defini¸caõ de transforma¸caõ tensorial identidade 1.2.16, 1 v = v mas, considerando o coment´ ario 1.3.7, sobre diferencia¸caõ de produto, D f (X )[Y ] = π(Dφ(X )[Y ], ψ(X ))+π(φ(X ), Dψ(X ) [Y ]). Como consequência, a derivada covariante de 1 é necessariamente nula, independentemente da representa¸ cão (uma das duas mistas, contravariante ou covariante) escolhida para 1 . De acordo com o coment´ ario 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade, j 1 = g i j ci c j = δ i j ci c j = δ i ci c j = gi j ci c j . Mas, de acordo com o coment´ ario 1.3.14, sobre tensor m´ etrico e base natural dual, gi j (x) = ci (x) c j (x) e g i j (x) = c i (x) c j (x), ou seja, os componentes g i j e gi j , do tensor métrico de um sistema de coordenadas de um espa¸co euclideano de pontos, s˜ ao fun¸co˜es do ponto considerado. Portanto, embora os campos escalares g i j e g i j não sejam fun¸co˜es constantes de x, suas derivadas covariantes s˜ ao nulas, logo g i j , k = 0 e g i j, k = 0. De fato, a u´ltima express˜ ao destacada, no item 1 da defini¸caõ de componente de gradiente de campo 1.3.10, deixa evidente que o valor da derivada covariante depende n˜ ao só do campo escalar considerado, −1 como tamb´ em, por meio da fun¸ cão χ = ψ , do sistema de coordenadas utilizado. Considerando a defini¸caõ de campo de bases 1.3.9 e o coment´ ario 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, isto é an´ alogo a dizer que o valor da derivada covariante depende n˜ ao só do campo escalar considerado, como também dos campos de bases duais definidos pelo sistema de coordenadas. No caso dos componentes gi j e gi j do tensor métrico, a dependência em x destes componentes é compensada pela dependência em x

⊗

⊗

⊗

⊗

·

74

·

das correspondentes bases (ci c j ) e (ci c j ), de modo a que 1 = g i j ci c j = g i j ci c j , ou seja, de modo a que gi j , k = 0 e g i j, k = 0. O coment´ ario 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor e, indica que, sendo g = det[gi j ], tem-se ei j k = g i j k e ei j k = ( g)−1 i j k , onde o s´ımbolo de permuta¸cão i j k independe de x. Como a derivada covariante de gi j é nula, por causa do coment´ ario 1.3.5, sobre diferencia¸cão em cadeia, o mesmo ocorre com a derivada covariante de det[gi j ] (o coment´ ario 1.3.4, sobre gradiente de determinante, fornece tal gradiente, no tensor gi j ). Logo, a derivada covariante de e é nula, independentemente da representa¸cão ser qualquer uma entre as 23 = 8 poss´ıveis. Por exemplo, para as derivadas covariantes das representa¸ co˜es covariante e contravariante tem-se respectivamente ij k ei j k , l = 0 e e , l = 0. Conclui-se, portanto, que os componentes do tensor métrico e do tensor elemento de volume apresentam derivadas covariantes nulas embora, em geral, tais componentes sejam fun¸co˜es de x.

⊗

⊗

⊗

±√

⊗

± √

Coment´ ario 1.3.18 (Propriedades do S´ımbolo de Christoffel Γi j k ) Utilizando a expressão apresentada no item 4d da defini¸caõ de componente de gradiente de campo 1.3.10 e a igualdade gi j , k = 0, apresentada no coment´ ario 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, obtém-se uma express˜ ao que relaciona o s´ımbolo de Christoffel de segunda espécie aos componentes covariantes dos tensores métricos, para um dado sistema de coordenadas, a saber Γi j k



1 ∂g l i ∂g l k = g j l + 2 ∂x k ∂x i

−

∂g i k ∂x l



.

Outra propriedade importante é a regra de transforma¸ cão entre s´ımbolos de Christoffel de segunda espécie relativos a dois diferentes sistemas de coordenadas de um espa¸ co euclideano de pontos, dada por ¯ j = Γr s Γ i k

1.3.5

t

∂x r ∂ ¯ x j ∂x t ∂ 2 xr ∂ ¯ x j + i k . ∂ ¯ xi ∂x s ∂ ¯ xk ∂ ¯ x ∂ ¯ x ∂x r

Operadores para a Mecˆ anica dos Meios Cont´ınuos

Defini¸ca õ 1.3.11 (Divergˆ encia de Campo Vetorial) De acordo com a defini¸caõ de encia deste campo vetorial é um campo 1.3.4, seja o campo vetorial u(x). A divergˆ campo escalar definido por div u(x) = tr( x u). De fato, para x u fornecido em termos da derivada covariante do componente contravariante do vetor u, conforme o item 3 da defini¸caõ de componente de gradiente de campo 1.3.10, tem-se tr( x u) = tr(¯ u j , k c j ck ) . Mas, de acordo com os itens 1 e 3 do coment´ ario 1.2.29, sobre propriedades de tra¸cos, tr(¯ u j , k c j ck ) = u¯ j , k tr(c j ck ) = u¯ j , k c j ck = u¯ j, k δ k j = u¯k, k . Por outro lado, para

∇

∇

∇

⊗

⊗

⊗

·

∇ u fornecido em termos da derivada covariante do componente covariante do vetor u, tem-se tr(∇ u) = tr(¯ u c ⊗ c ) = u¯ tr(c ⊗ c ) = u¯ c · c = u¯ g = u ¯ , onde x

x

j, k

j

k

j, k

j

k

j, k

j

k

j, k

j k

k ,k

a pen´ ultima igualdade é devida ao coment´ ario 1.2.6, sobre fun¸cões gi j e g i j , enquanto que a u ´ltima provém do coment´ ario 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor. Portanto,

∇ u) = u¯

div u(x) = tr(

x

j, k (x)

75

g j k (x) = u¯k, k (x).

Defini¸ca õ 1.3.12 (Rotacional de Campo Vetorial) De acordo com a defini¸cã o de campo 1.3.4, seja o campo vetorial u(x). O rotacional de u(x) é um campo vetorial definido por rot u(x) =< ( x u)T cão 1.2.9, para vetor x u >, onde foi utilizada a nota¸ associado a tensor antissimétrico, o que indica que rotu(x) é um campo vetorial axial. De acordo com o coment´ ario 1.2.46, sobre decomposi¸caõ cartesiana, ( x u)T e xu ´ o dobro da parte antissim´ etrica do tensor x u, mas com sinal oposto. Portanto, rot u é o vetor axial correspondente a` parte antissim´ etrica do gradiente do vetor ( 2u). De acordo com o item 3 da defini¸caõ de componente de gradiente de campo 1.3.10, tem-se u = u¯k, j ck c j = u¯k, j ck c j . Portanto:

∇

−∇

∇

∇

∇

⊗

−∇

−

⊗

∇

1. Para x u fornecido em termos da derivada covariante do componente covariante do vetor u tem-se, de acordo com o coment´ ario 1.2.15, sobre transposi¸caõ de tensor u = u¯k, j (c j c k c k c j ) = u¯k, j c j c k , onde a u simples, ( u)T ´ltima igualdade deve-se a` defini¸caõ de produto externo de vetores 1.2.36. De acordo T com a mencionada nota¸cão 1.2.9, < ( x u)T x u >= τ (( x u) x u), logo j k rot u(x) = u¯k, j τ (c c ). De acordo com o coment´ ario 1.2.37, sobre propriedades j k i j k j k i do tensor axial, τ (c c ) = e ci = e i c , onde e j k i = e(c j , ck , ci ) e e j ki = e(c j , ck , ci ). Mas, conforme a defini¸ ca˜ o de fun¸caõ e tensor elemento de volume 1.2.34, e : V 3 é uma fun¸cão alternante trilinear n˜ ao trivial de orienta¸caõ positiva, logo e(c j , ck , ci ) = e(ci , c j , ck ) e e(c j , ck , ci ) = e(ci , c j , ck ), portanto e j k i = e ij k e e j ki = e i j k , ou seja,

∇

−∇

∧ ∧

⊗ − ⊗

∧

∇

∇

−∇

−∇

→

rot u(x) = eij k u¯k, j (x)ci (x) = e i j k u¯k, j (x)ci (x) , onde, de acordo com o coment´ ario 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, as u ´ nicas grandezas independentes de x são eij k e ei j k . 2. Analogamente, para x u dado em termos da derivada covariante do componente contravariante do vetor u, obtém-se

∇

rot u(x) = ei jk ¯ uk, j (x)ci (x) = ei jk ¯uk, j (x)ci (x) .

Coment´ ario 1.3.19 (Rotacional e Divergˆ encia de Campo Vetorial) De acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, sejam os campos vetoriais u(x) e v(x) cte , sendo v(x) cte = vl cl (x) um campo tal que seus componentes (vl )nl=1 , no campo de bases (cl (x))nl=1 , independam de x. Portanto, v(x) cte é um campo vetorial constante, ou independente de x, em rela¸caõ ao campo de base, logo em rela¸cão ao sistema de coordenadas escolhido, mas não em rela¸cão ao espa¸co euclideano de pontos. Conforme a defini¸ cão de rotacional de campo vetorial 1.3.12, tem-se v rot u = vl cl eij k u ¯k, j ci = vl eij k u¯k, j δ l i = vi eij k u ¯k, j , ou v (x) cte rot u(x) = v i eij k u¯k, j (x), porque v j independe de x por hip´ otese e, de acordo com o coment´ ario 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, também eij k independe de x. Por outro lado, de acordo com a defini¸ caõ de produto vetorial 1.2.38, tem-se u v =<

|

|

|

| ·

·

·

×

76

u v >= e ij k ui v j ck = eij k ui v j ck = w k ck , logo, considerando a defini¸caõ de divergência de campo vetorial 1.3.11, tem-se div (u(x) v (x) cte ) = div(wk (x)ck (x) ) = w¯k, k (x).

∧

×

|

Porém wk (x) = eij k v j ui (x), portanto w¯k, k (x) = eij k v j ¯ui, k (x) e div(u(x)

× v(x)|

cte )

=

v j eij k u¯i, k (x) = v i ek i j u ¯k, j (x) . Como, conforme a defini¸ cão de fun¸caõ e tensor elemento de volume 1.2.34, e : V 3 é uma fun¸cão alternante trilinear n˜ ao trivial de orienta¸caõ positiva, tem-se ek i j = e ij k , logo div(u(x) v(x) cte ) = v i eij k u ¯k, j (x) . A express˜ ao

→

×

|

v(x) cte rot u(x) = div(u(x)

| ·

× v(x)|

cte )

é uma defini¸cão alternativa do campo vetorial rotacional de u(x). Sugere-se comparar o conceito agora apresentado para v (x) cte = v l cl (x) com o conceito de 1 = g i j ci c j = gi j ci c j , conforme discutido no mencionado coment´ ario 1.3.17.

|

⊗

⊗

Defini¸ca õ 1.3.13 (Divergˆ encia de Campo Tensorial) De acordo com a defini¸caõ de campo 1.3.4, seja o campo tensorial de segunda ordem A(x). A divergˆ encia deste campo tensorial, div A(x), é um campo vetorial definido por v(x) cte

| · div A(x) = div(A

T

(x)(v(x) cte )),

|

onde v(x) cte foi definido no coment´ ario 1.3.19, sobre rotacional e divergência de campo vetorial. Informa-se, sem demonstra¸caõ, que a partir desta defini¸cão se obtém:

|

1. div A(x) = A¯i j, j (x)ci (x), onde o componente A¯i j, j (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸ cão contravariante A(x) = A i j (x)ci (x) c j (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (c) do quarto item da defini¸caõ de componente de gradiente de campo 1.3.10.

⊗

2. div A(x) = g j k A¯i j, k (x)ci (x), onde o componente A¯i j, k (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸ cão mista A(x) = Ai j (x)ci (x) c j (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (a) do quarto item da citada defini¸caõ 1.3.10. Porém, considerando o coment´ ario 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor, tem-se g j k A¯i j, k = A¯i k, k = A¯i j, j , a u ´ltima igualdade sendo devida ao fato de k ser um ´ındice mudo somativo. O resultado, portanto, é o mesmo do item 1.

⊗

3. div A(x) = A¯i j , j (x)ci (x), onde o componente A¯i j , j (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸ cão mista A(x) = Ai j (x)ci (x) c j (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (b) do quarto item da defini¸ cão 1.3.10.

⊗

4. div A(x) = g j k A¯i j , k (x)ci (x), onde o componente A¯i j , k (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸ cão covariante A(x) = A i j (x)ci (x) c j (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (d) do quarto item da mencionada defini¸caõ 1.3.10. Analogamente ao afirmado no item 2, tem-se g j k A¯i j , k = A¯i k, k = A¯i j , j , portanto o resultado é o mesmo do item 3.

⊗

77

Defini¸ca õ 1.3.14 (Laplaciano de Campo Escalar ou Vetorial) De acordo com a defini¸caõ de campo 1.3.4, sejam os campos escalar φ(x) e vetorial h(x). Os laplacianos destes campos s˜ ao respectivamente o campo escalar definido por 2x φ = div( x φ) e o campo vetorial definido por 2x h = div( x h).

∇

∇

∇

∇

1. Considerando o item 1 da defini¸cão de componente de gradiente de campo 1.3.10, para φ(x) tem-se x φ = φ , j (x)c j (x). Logo, usando-se defini¸caõ de divergência de campo vetorial 1.3.11 tem-se

∇ 2

c j (x)) = (φ¯, j ), k g j k = g j k φ¯, j k (x) ,

∇ φ = div(φ x

, j (x)

onde a u´ltima igualdade provém do uso da nota¸ caõ de derivada covariante 1.3.2. 2. Considerando o item 3 da citada defini¸ caõ 1.3.10, para h (x) tem-se x h = ¯hi , j ci ¯ i, j ci c j . Usando o item 2 da defini¸cão de divergˆ c j = h encia de campo tensorial 1.3.13 obtém-se, para a representa¸ caõ mista de x h,

∇

⊗

⊗

∇

2

j k ¯ ¯i

∇ h = g x

h

, j k (x) i (x) .

c

Por outro lado, usando o item 4 da defini¸caõ 1.3.13 obtém-se, para a representa¸ caõ covariante de x h, j k ¯ 2 ¯ i , j k (x)ci (x) . h x h = g

∇

∇

Note que, nas u´ltimas duas express˜ o es destacadas, foi usada a j´ a mencionada nota¸cão 1.3.2.

Coment´ ario 1.3.20 (Express˜ oes para Divergˆ encia e Laplaciano) De acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, seja um campo escalar f (x), dois campos vetoriais u(x) e arios v(x) e um campo tensorial de segunda ordem A(x). Serão utilizados os coment´ 1.2.6, sobre fun¸co˜es gi j e g i j , 1.2.10, sobre c´ alculo de componente associado de tensor de segunda ordem, 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor, 1.2.18, sobre composi¸caõ com tensor simples, 1.2.29, sobre propriedades de tra¸cos, 1.2.31, sobre propriedades do produto interno tensorial, 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e e as defini¸co˜es 1.1.2, de matriz, 1.2.34, de fun¸cão e tensor elemento de volume, 1.2.38, de produto vetorial, 1.3.10, de componente de gradiente de campo, 78

1.3.11, de divergência de campo vetorial, 1.3.12, de rotacional de campo vetorial, 1.3.13, de divergência de campo tensorial, 1.3.14, de laplaciano de campo escalar ou vetorial, para demonstrar as quatro express˜ oes (a dependência em x é omitida): 1. div(f u) = u

· ∇f + f div u

(a) div(f u) = ( f u )i , i = ( fui ), i , usando a defini¸cão 1.3.11 em termos do componente contravariante do vetor f u e, em seguida, o fato de que se trata da multiplica¸caõ de um escalar por um vetor. (b) u

j

· ∇f = u c · f j

,i

ci = u j f , i δ j i = f , i ui , usando item 1 da defini¸caõ 1.3.10.

(c) f div u = f ¯ ui, i , usando a defini¸caõ 1.3.11 em termos do componente contravariante do vetor u. Logo, ( fui ), i = f , i ui + f ¯ ui, i . Como as regras comuns para deriva¸cão de escalares foram obedecidas, pode-se considerar demonstrada a express˜ ao. Lembrar que a barra indica que um termo, espec´ıfico para cada um dos dois casos, deve ser adicionado a`s derivadas covariantes dos campos escalares f (x)ui (x) e ui (x), para se obter as correspondentes derivadas covariantes dos respectivos campos vetoriais. 2. div(A(u)) = u div AT + tr(A u)

·

∇

(a) div(A(u)) = ( A(u) )i , i usando a defini¸cão 1.3.11 em termos do componente contravariante do vetor A(u). Mas A(u) = Ai j uk (ci c j )ck = Ai j uk (c j ck )ci = Ai j uk δ j k ci = Ai j u j ci , logo (A(u))i = Ai j u j , ou div(A(u)) =

⊗

·

( Ai j u j ), i . (b) u div AT = uk ck ( AT )i j, j ci = uk ( AT )i j, j δ ki = ( AT )i j, j ui = A¯ j i, j ui = A¯i j, i u j , usando na primeira igualdade o item 1 da defini¸ cã o 1.3.13 e, na

·

·

quarta igualdade, a defini¸caõ 1.1.2. (c) tr(A u) = tr(A(¯ u j, i c j ci )) = tr(¯ u j, i A(c j ci )) = u¯ j, i tr(A(c j ci )), usando o item 3 da defini¸cão 1.3.10, para a componente covariante do vetor, na primeira igualdade e, na terceira igualdade, o primeiro item do coment´ ario 1.2.29. Mas, utilizando o primeiro item do coment´ ario 1.2.18, tem-se A(c j ci ) = A(c j ) ci , logo tr(A(c j c i )) = tr(A(c j ) c i ) = A(c j ) c i = Ai j , onde na segunda igualdade foi usado o terceiro item do coment´ a rio 1.2.29 e, na terceira, o coment´ ario 1.2.10. Portanto, tr(A u) = A i j u ¯ j, i .

∇

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

·

⊗

⊗

∇

Logo, ( Ai j u j ), i = A¯i j, i u j + A i j u¯ j, i , podendo-se considerar demonstrada a expressão. 3. div(u

× v) = v · rot u − u · rot v 79

(a) div(u v) = (u v)l, i g i l usando a defini¸c˜ cao aõ 1.3.11 em termos do componente covariante do vetor u v e lembrando que, de acordo com o coment´ ario ario 1.2.6, g i l = g l i . Mas, Mas, de acord acordoo com a defin defini¸ i¸ cão ao 1.2.38, u v = ei j k ui v j ck , ou = e j k l u j v k cl = e l j k u j v k cl , sendo a ultima u ´ ltima igualdade devida a` defini¸c˜ cao aõ u v = e 1.2.34, logo (u v)l = el j k u j v k , portanto (u v)l, i g i l = (el j k u j v k ), i g i l = (g i l el j k u j v k ), i , sendo a ultima u ´ ltima igualdade devida a que, de acordo com o il coment´ ario ario 1.3.17, g 1.3.17, g , i = 0. Tem-se, então, ao, div(u v) = (gi l el j k u j v k ), i .

×

×

×

×

×

×

×

×

(b) v rot u = v = v l cl ei jk ¯ uk, j ci , usando os componentes componentes contrav contravariantes ariantes do vetor u , de acordo com o item 2 da defini¸c˜ cão ao 1.3.12. 1.3.12. Conside Considerand randoo que cl ci = δ l i , tem-se ent˜ ao ao v rot u = e = e i jk ¯ uk, j v i = eki j ¯ u j, i v k = g i l ek l j ¯ u j, i v k , onde a ultima u ´ltima igualdade é devida ao coment´ ario ario 1.2.14. 1.2.14. Como, Como, de acordo com a defini¸ cão ao 1.2.34, e(ck , cl , c j ) = e( e (cl , c j , ck ), tem-se v rotu = g = g i l el j k ¯ u j , i v k .

·

·

·

·

·

(c) u rot v = ei jk ¯ v k, j ui , obtido permutando u com v na express˜ ao ao v rot u =

·

·

ei jk ¯ uk, j v i , calculada calculada no anterior anterior item (b). Por´ Porém, em, em analogia analogia mas diferentemen temente te do efetua efetuado do no item item (b), (b), pode-s pode-see fazer fazer ei jk ¯v k, j ui = e j i k ¯ v k, i u j = g i l e j l k ¯ v k, i u j . Como, conforme a defini¸c˜ cao aõ 1.2.34, e(c j , cl , ck ) = e(cl , c j , ck ), tem-se u rot v = g = g i l el j k ¯v k, i u j .

−

− ·

Portanto, (g (g i l el j k u j v k ), i = g i l el j k ¯ u j , i v k + g i l el j k u j v¯k, i . Como Como as regras comuns comuns para deriva¸c˜ cao aõ de escalares foram obedecidas, a express˜ ao ao pode ser considerada demonstrada. 4.

2

2

2

∇ (u · v) = ∇ u · v + 2∇u · ∇v + u · ∇ v (a) ∇ (u · v) = g (u · v) = g (u c · v c ) 2

j k

= g j k (ui vl δ i l ), j k = g j k (ui vi ), j k , onde a primeira igualdade provém em do item 1 da defini¸ de fini¸ cão ao 1.3.14. ¯ i , j k ci v l cl = g j k u ¯ i , j k vl δ i l = g j k u ¯ i , j k vi , onde a primeira (b) 2 u v = g j k u igualdade prov´ em em do item 2 da defini¸ c˜ cão ao 1.3.14, para representa¸ c˜ cao aõ mista.

∇ ·

(c)

j k

,j k

i

i

l

l

,j k

·

i

cao aõ c ck ) (¯vi, j ci c j ), de acordo com o item 3 da defini¸c˜ 1.3.10 1.3.10,, para a componen componente te contra contrav variant ariantee de u e covariante de v. Porém, em, v¯i, j ci c j = g j k v¯i, j ci ck , por causa do coment´ ario ario 1.2.14. Logo, u v =

∇u · ∇v = (u¯ ⊗

⊗

·

,k i

⊗

⊗

∇ · ∇

g j k u ¯i , k ¯vi, j (ci ck ) (ci ck ) = g j k u¯i , k ¯vi, j , onde a ultima u ´ltima igualdade iguald ade é devida ao item 4 do coment´ ario ario 1.2.31. 2 (d) u v = ul cl g j k v¯i , j k ci = ul g j k v¯i , j k δ l i = g j k ui v¯i , j k , onde a primeira igualdade igualdade é provenien proveniente te do item 2 da defini¸ cão ao 1.3.14 1.3.14,, para represen representa¸ ta¸ cão ao covariante.

· ∇

⊗ · ⊗ ·

¯i , j k vi +2g Logo, g Logo, g j k (ui vi ), j k = g j k u +2g j k u ¯i , k ¯ regras comuns comuns vi, j +g j k ui v¯i , j k . Como as regras para deriva¸c˜ cao aõ de escalares foram obedecidas, a express˜ ao ao pode ser considerada demonstrada. Este coment´ coment´ ario, ario, além em de apresentar quatro express˜ oes de grande utilidade para a mecˆ oes aanica dos meios cont´ cont´ınuos, exemplifica o uso de derivadas covariantes covariantes no c´ alculo tensorial. 80

Tal uso pode ser muito conveniente porque, conforme mostrado, as express˜ oes oes se reduzem a fun¸c˜ coes o˜es escalares, para as quais as regras comuns de deriva¸c˜ cão ao são ao aplicáveis. aveis.

Teorema eore ma 1.3.3 1.3 .3 (Divergˆ (Di vergˆ encia) enci a) Seja um um espa¸co co euclideano de pontos, conforme a sua defini¸c˜ cao aõ 1.2.44 e seja é regular, de acordo com a defini¸ c˜ cão ao de classe C k , 1.3.7. Se

E

R ⊂ E|R

R

R

R

∂ indicar indic ar a superf sup erf´´ıcie de , enquanto que da que da indicar o diferencial da area a´rea de ∂ de ∂ e dv d v o diferencial do volume de ,

R

cao aõ 1.3.4), de m´ odulo odulo unitário, ario, n(x) indicar um campo vetorial (conforme a sua defini¸c˜ normal a ∂ , dirigido para fora de e

R φ : R →  , h : R → V

R A : R → V ⊗ V forem campos, respectivamente escalar, ⊗ V forem

e vetorial e tensorial de segunda seg unda ordem, or dem, que apresentem dep endência encia em e m x suave x suave (de acordo com a j´ a citada defini¸c˜ cao aõ 1.3.7),

ent˜ ao ao 1. 2. 3. 4.

   

da = ∂ R φ(x) n(x) da =

·

 ∇    ∇ R

x φ dv

,

∂ R

da = h(x) n(x) da =

R div h(x) dv ,

∂ R

A(x)(n(x)) da = da =

divA(x) dv R divA

∂ R

h(x)

da = ⊗ n(x) da =

R

x

e

dv . h dv.

A demonstra¸c˜ cao aõ do teorema teor ema da divergência encia é omitida. omitid a.

Teorema 1.3.4 (Fun¸c˜ cao a õ Identicamente Nula em ) Seja um espa¸co co euclideano de pontos, conforme a sua defini¸c˜ cão ao 1.2.44 e seja é aberto abe rto (defini¸ (defin i¸c˜ cao aõ de subconjunto aberto 1.3.1). Seja, também, em, φ : W W uma fun¸c˜ cao aõ cont´ınua, ınua , onde ond e W ´ W é um espa¸co co normatizado, de acordo com o colocado na defini¸ c˜ cão ao 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar. Se, , ocorrer N φ( φ (x) dv = dv = 0, então, ao, x , ter-se-á φ(x) = 0, ou seja, ent˜ ao ao φ será identicamente nulo em . , como φ é cont´ınua tal que Demonstra¸c˜ cao: ˜ Se φ(x◦ ) = 0 para algum x◦ φ(x) = 0 x . Logo, usando-se o teorema do valor médio edio do c´ alculo integral tem-se φ (x) dv = K φ(x¯), onde K ´ K é o volume volu me de e o valor médio edio x¯ , logo φ(x¯) = 0, N φ( portanto N φ( φ (x) dv = 0, o que contraria a hip´ otese otese inicial. inicial. 

D → ∀N ⊂ D

  ∀ ∈ N





E E D ⊂ E|D

∈ D

N

81



D

∀ ∈ D

∃N ⊂ D

∈ N



Cap´ıtulo 2 Cinem´ atica 2.1

Configur figura a¸c˜ c˜ ao ao e Defo De form rma¸ a¸c˜ ao

2.1.1 2.1.1

Gradie Gra dien nte de Deform Deforma¸ a¸ c˜ ao

As ciˆ c iências encia s natura na turais is utiliza u tilizam m fun¸ fu n¸c˜ coes, o˜es, chamadas estruturas referenciais ou observadores, aplicáveis aveis aos corpos e aos instantes pertencentes a algum espa¸ co-tempo, o qual é uma abstra¸c˜ cao aõ mental do universo material real que se sup˜ oe contenha estes corpos e instantes. oe Tal aplica¸c˜ cao aõ produz imagens, destes conjuntos corpo-instante, as quais pertencem a algum espa¸co co capaz de descrever matematicamente a abstra¸ c˜ cao ão mental considerad considerada. a. Uma estrutura referencial , ou observador, de Newton, φ, é apli ap lic´ cável avel a conjuntos corpoco-tempo po de Newton Newton, instante pertencentes ao espa¸co-tem , que é a abstra¸ c˜ cao aõ mental correspondente a` suposi¸c˜ cão ao de que o universo material real seja governado pelas leis da mecânica anica cl´ assica. assica. A aplica¸c˜ cao aõ de uma estrutura referencial, ou observador, de Newton a conjuntos corpoinstante instante pertencentes pertencentes ao espa¸ co-tempo de Newton produz imagens no espa¸co co produto do espa¸co co euclideano de pontos tridimensional, , pelo espa¸co co unidimensional dos n´ umeros umeros reais, , ou seja, φ : .

W

E  W → E ×  Isto permite que qualquer ponto pertencente a E seja associado a qualquer instante pertencente a  e v.v., o que indica que o tempo e o ponto s˜ ao considerados independentes. ao

Deve ser notado que diferentes observadores de Newton registrar˜ ao ao de modo diferente os fatos que ocorram em . Na subse¸c˜ cão ao 2.6.1 ser´ a discutida a rela¸c˜ cao ão entre estes diferentes registros registros mas, ao longo de todo o presente presente texto, apenas ap enas estruturas referenciais referenciais de Newton serão ao consideradas. consideradas. Seja o s´ımbolo utilizado para representar um corpo pertencente a . Como omo φ é uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao aõ de um para um em (veja a defini¸c˜ cao aõ 1.1.1 de fun¸c˜ cao aõ e funcional), n˜ ao ao só em o tempo é uma vari´ avel independente do conjunto de pontos que forma avel a imagem de , como também em em o o tempo e são ao independen independentes. tes. Po Porr isto, isto, nada impede impe de a existência encia de uma u ma fun¸ f un¸c˜ cão ao de para , de um para um em , válida alida em qualquer cao a õ de . Uma espec´ instante. instante. Tal fun¸c˜ cão ao é chamada cham ada uma configura¸c˜ espec´ıfica configura¸c˜ cao aõ de , grafada κ, será considerada a configura¸c˜ cao a õ referencial de . Se X for o ponto material pertencente a que corresponde ao ponto matem´ atico atico X , tem-se então ao

W

B

B

E ×  B

B

W

W B

E

B

B

B

κ :

B → E

e 82

κ(X) = X .

B

B ∈ E

(2.1)

A imagem do corpo na configura¸cão κ é grafada κ , logo X . As coorκ denadas (ver a defini¸caõ 1.3.8 de sistema de coordenadas) de X, (X α , α = 1, 2, 3) são as coordenadas referenciais , também chamadas coordenadas materiais, porque o ponto material X é matematicamente identificado pelo ponto X . Seja χ uma configura¸caõ arbitr´ aria, também chamada configura¸c˜ ao corrente, de . Tem-se, então χ : e χ(X) = x , portanto

B

B

χκ = χ κ−1

◦

B

B → E : B → B κ

χ

∈ B ⊂ E

, logo x = χ κ (X) = χ(κ−1 (X)),

(2.2)

onde x , as coordenadas de x sã o as coordenadas correntes , grafadas (xi , χ i = 1, 2, 3) e χ é a imagem do corpo na configura¸cão χ. A fun¸caõ χκ é denominada deforma¸c˜ ao de desde κ até χ. Em termos das coordenadas (X α , α = 1, 2, 3) e (xi , i = 1, 2, 3), a deforma¸caõ χκ pode ser escrita

∈ B ⊂ E B B

B

xi = χ iκ (X 1 , X 2 , X 3 ),

(2.3)

˜es de deforma¸ c˜ ao χiκ pode ser abreviaonde o argumento (X 1 , X 2 , X 3 ) das fun¸co damente escrito (X α ). Define-se, também, o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸c˜ ao, de χ em rela¸cão a κ no ponto X, F κ (X) =

∇X χ

κ

.

(2.4)

Quando n˜ ao houver d´ uvidas sobre qual é a configura¸caõ referencial, o ´ındice pode ser i omitido tanto em χκ como em F κ (não pode ser omitido em χκ porque a fun¸caõ χ tem outro significado, j´ a apresentado). Isto ser´ a suposto a partir deste ponto do texto. Como a fun¸cão φ é de um para um em , χ κ é de um para um em κ , o que implica em ser F não singular, ou seja, implica em que

B

B



J = det F = 0,

(2.5)

de acordo com a defini¸caõ de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29. Em rela¸cão a`s coordenadas (xi , i = 1, 2, 3) e (X α , α = 1, 2, 3), respectivamente referentes a` configura¸caõ deformada e referencial, F pode ser representado em termos α=3 dos seus componentes associados a` base (ci (x) cα (X))ii=3 =1 α=1 , ou seja,

⊗

∂χ i F = F α ci (x) c (X) e F = (F )α c (X) ci (x) , onde F α = (F )α = , ∂X α (2.6) de acordo com o coment´ ario 1.3.16 (deforma¸cão em termos de coordenadas). Note que a fun¸caõ deforma¸cão apresentada pela eq. 2.3 n˜ ao precisa ser fornecida em coordenadas cartesianas, sendo utilizado um componente de car´ ater contravariante (defini¸caõ de base dual 1.2.8) em x, referente a` base natural (defini¸caõ de campo de bases 1.3.9) (ci (x))3i=1 e um componente de car´ ater covariante em X, referente a` base natural (cα (X))3α=1 . São também poss´ıveis outras representa¸ cões do tensor gradiente de deforma¸ caõ, em rela¸caõ a pontos do espa¸co euclideano. Mas a representa¸ cão fornecida pelas eqs. 2.6 é particularmente simples, porque envolve apenas as derivadas parciais escalares ∂χ i /∂X α . i

⊗

α

T

T

i

α

83

⊗

i

T

i

2.1.2

Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deforma¸ c˜ ao

De acordo com a defini¸cão 1.3.5 de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, o gradiente de deforma¸caõ, F , é uma transforma¸cão linear F : V V , no espa¸co de transla¸caõ V de (defini¸caõ de espa¸co euclideano de pontos 1.2.44). Tal transforma¸caõ satisfaz a` express˜ ao

→

E

− χ (X ) = F (X )[ X − X ] + o(X − X ), onde lim |o(X − X )| = 0, (2.7) sendo  = | X − X | a norma (defini¸cã o de espa¸co vetorial euclideano 1.2.6) do vetor X − X ∈ V | (X, X ) ∈ B . A eq. 2.7 mostra, portanto, que o valor F (X ) determina χκ (X)

κ

0

0

0

0

0

→0

0

0

0

0

κ

o valor de χκ (X) em rela¸caõ ao valor χκ (X0 ), a menos de um erro de segunda ordem

| − X | .

em  = X

0

Em outras palavras, numa aproxima¸ cão de primeira ordem o vetor

imagem do vetor X X0 , após a aplica¸cão da transforma¸cão F (X0 ) a este vetor, é o vetor χκ (X) χκ (X0 ) (χκ (X), χκ (X0 )) χ . O verdadeiro vetor imagem do vetor X X 0 , após a aplica¸caõ da transforma¸caõ F (X0 ) a este vetor, é F (X0 )[ X X0 ] V . Logo, definindo

−

− |

∈B

−

dX = X

−X

0

e

∈

−

dx = F (X0 )[ X

− X ] , 0

tem-se

dx = F (X0 )dX ,

(2.8)

sendo dx uma aproxima¸cão de primeira ordem ao vetor χκ (X) χ κ (X0 ) e (X, X0 ) ca õ definidora dos diferenciais dX e dx, mostra que a κ . A eq. 2.8, chamada equa¸ defini¸caõ de diferencial independe dos valores das normas dos vetores dX e dx, embora

−

B

∈

tal independência esteja limitada pela obediência a` condi¸caõ (X, X0 )

∈ B . Porém: κ

1. Devido à continuidade do espa¸co euclideano de pontos, se for imposto que a norma de dX seja infinitesimal, isto implicará em que, se X0 ao X κ , ent˜ κ , logo (χκ (X), χκ (X0 )) ca˜ o de que a norma de χ . Portanto, se X0 κ , a imposi¸ dX seja infinitesimal será suficiente para garantir que seja satisfeita a exigência da eq. 2.7 de que (χκ (X), χκ (X0)) ao seja necess´ aria para que esta χ , embora n˜ satisfa¸caõ ocorra.

∈ B

∈ B

∈B

∈ B

∈ B

|

−

|

2. Como a defini¸cão de gradiente exige que lim→0 ( o(X X 0 ) /) = 0 (eq. 2.7), a imposi¸caõ de que a norma de dX, grafada  conforme j´ a colocado, seja infinitesimal, corresponde a` imposi¸cão de que o(X X0 ) = 0 , logo, por causa da eq. 2.7, tamb´ em de que χ κ (X) χκ (X0 ) = d x e, considerando a eq. 2.8, de que a norma deste ultimo ´ vetor também seja infinitesimal. Estas três imposi¸ co˜es, porém, são desnecess´ arias à satisfa¸caõ de qualquer uma entre as eqs. 2.7 e 2.8.

−

| − |

Fatos absolutamente an´ alogos a estes correspondem a` defini¸caõ costumeira de diferencial de escalar. A correta defini¸ cão de diferencial de escalar pode, por exemplo, ser encontrada em Tom M. Apostol, Calculus: Volume I e II , Wiley, segunda edi¸caõ, New York, 1969, onde é utilizada uma equa¸ cão escalar an´ aloga a` eq. 2.8. Muitos livros de matem´ atica, porém, no conceito de diferencial destacam a opcional imposi¸ cão de infinitésimo, ao invés da equa¸caõ definidora dos diferenciais (ao invés da eq. 2.8, ou 84

de uma equa¸caõ an´ aloga a ela). Tal enfoque é replicado por in´ umeros livros de f´ısica, f´ısico-qu´ımica e engenharia, mas sem consequências prejudiciais ao desenvolvimento da correspondente teoria, porque a equa¸ caõ definidora, embora algumas vezes seja apenas subentendida ou mesmo ignorada, n˜ ao obstante isto ela sempre existe. Mas a atemporalidade da termodinˆ amica tradicional, ao exclu´ı-la de qualquer espa¸co-tempo quadridimensional, tem como consequˆ encia a poss´ıvel inexistência da equa¸cao ˜ definidora, quando ent˜ ao o conceito de diferencial passa a ser unicamente o de infinit´ esimo. Isto leva a termodinˆ amica tradicional a diversos ilogismos matem´ aticos, conforme mostrado por Clifford A. Truesdell, Rational Thermodynamics, Springer, New York, 1984.

Evidentemente, porém, a imposi¸ca˜ o de que a norma de dX seja infinitesimal não é errada, uma vez que a defini¸caõ de diferencial permite qualquer norma tal que (X, X0 ) caõ de que a norma de dX seja infinitesimal pode, inclusive, ser muito u´til κ . A imposi¸ para simplificar a compreens˜ ao de diversos conceitos matem´ a ticos. Por exemplo, de acordo com o anterior item 2, tal imposi¸cão corresponde a` obrigatoriedade de que ocorra o(X X0 ) = 0 e χκ (X) χκ (X0 ) = dx = F (X0 )dX, sendo tamb´ em infinitesimal a norma de dx, o que pode ajudar na compreens˜ ao do significado da transforma¸caõ linear F (X0 ). De fato, este é o modo costumeiramente utilizado pelos livros de texto para apresentar, ao leitor iniciante, o conceito de derivada de escalar. Mas um infinitésimo não precisa ser um diferencial, assim como um diferencial n˜ ao precisa ser um infinitésimo. Por exemplo, seja o vetor A, que representa uma a´rea plana de dimens˜ ao finita. Tal vetor é perpendicular ao plano que contém a area ´ e tem como norma o valor da a´rea. Neste caso, certamente a norma de A não é infinitesimal, mas A pode ser um diferencial, ou seja, pode-se ter dX = A, obedecendo dX a alguma equa¸caõ definidora do tipo da eq. 2.8. Mas, se a a´rea considerada n˜ ao for plana, haver´ a um vetor para cada sub-´ area plana que ela contenha, sendo poss´ıvel que cada sub-´ area plana se reduza a apenas um ponto (imagine, por exemplo, a a´rea de uma superf´ıcie esférica). Neste caso, cada area ´ plana ser´ a infinitesimal, o mesmo ocorrendo com a norma do vetor A que a representa, logo, se A for um diferencial, com a norma de dX = A. Por´ em, o simples fato de que seja infinitesimal o valor de A , sem que exista uma equa¸caõ definidora de diferenciais, não permite que se escreva dX = A, ou seja, nã o permite que se afirme que A é um diferencial, j´ a que para um diferencial a equa¸caõ definidora por hip´ otese existe. Seja ou n˜ ao infinitesimal o valor de A , o vetor unidade na dire¸caõ de A (defini¸caõ de vetor proje¸caõ 1.2.7) é o vetor A/ A = (v1 v2 )/ v1 v2 , onde v1 e v2 são vetores linearmente independentes que tangenciam a superf´ıcie plana considerada (seja ou não infinitesimal a´rea de tal superf´ıcie). Conforme colocado na eq. 2.2, sejam κ e χ respectivamente a imagem do corpo na configura¸caõ referencial e numa configura¸ caõ arbitrária, contendo κ a a´rea (infinitesimal ou n˜ ao) tangenciada pelos vetores v1 e v2 . Imponha-se que cada um dos vetores v 1 e v 2 possa ser definido por dois pontos do espa¸co euclideano, sendo ambos os pontos pertencentes a κ . Portanto, seja v1 = X1 X10 e v2 = X2 X20 , onde (X1 , X10 , X2 , X20 ) ´rea for infinitesimal, isto κ . Se a citada a exigirá que as normas de v1 e v2 sejam infinitesimais. Se a citada a´rea n˜ ao for infinitesimal, esta exigência n˜ ao mais existir´ a, mas nada impedirá que normas infinitesimais sejam consideradas. Evidentemente, normas infinitesimais de v1 e v2 não implicam em área infinitesimal.

∈

B |

−

|

−

| |

| | | |

B

−

×

| × |

B B

B

∈ B

85

B

−

Sejam as normas dos vetores X 1 X10 e X 2 X20 infinitesimais ou n˜ ao, por meio da eq. 2.8 obtém-se os correspondentes vetores imagens, ap´ os a aplica¸caõ da transforma¸caõ F (X10 ) e F (X20 ) respectivamente, bem como definem-se os diferenciais d X1 = X1 X10 e dX2 = X2 X20 , com seus correspondentes diferenciais imagens, dx1 = F (X10 )dX1 e dx2 = F (X20 )dX2 . Porém, se for imposto que as normas dos vetores X1 X 10 e X2 X20 sejam infinitesimais, de acordo com o anterior item 2 os diferenciais imagens, respectivamente F (X10 )dX1 e F (X20 )dX2 , serão iguais aos correspondentes vetores χκ (X1 ) χκ (X10 ) e χ κ (X2 ) χκ (X20 ). Por isto, tal imposi¸caõ em muito simplifica as expressões dos vetores unidade perpendiculares a` superf´ıcie, numa configura¸caõ arbitr´ aria. De fato tem-se, ent˜ ao, os vetores unidade perpendiculares ` a superf´ıcie

−

−

−

−

−

−

−

−

eκ =

|

dX1 dX1

× dX × dX | 2

e =

e

2

|

F dX1 F dX1

× F dX , × F dX | 2

2

respectivamente referentes a` configura¸caõ referencial e arbitr´ aria. Note que, nestas u ´ltimas equa¸cões destacadas, foram omitidos os pontos que definem as formas dos operadores gradiente. Isto ocorreu porque, além de ter sido imposto que que as normas dos vetores X 1 X10 e X 2 X20 fossem infinitesimais, foi adicionalmente imposto que fosse também infinitesimal a a´rea que eles tangenciam, o que implica na coincidência dos pontos X10 e X20 . Implica, também, em que seja infinitesimal a a´rea tangenciada pelos vetores dx1 e dx2 . Portanto, a mencionada imposi¸ cão adicional n˜ ao apenas permite a omiss˜ ao dos pontos que definem as formas dos operadores gradiente, como também implica em que

−

−

|dX × dX | = da 1

2

| F dX × F dX | = da

e

κ

1

2

sejam as equa¸co˜es definidoras dos diferenciais correspondentes as ` a´reas planas, os quais são infinitesimais. Seja um vetor v do espa¸co de transla¸caõ V de . Considerando infinitesimal o diferencial daκ , tem-se que v e da = v (F dX1 F dX2 ) = F (F −1 v) (F dX1 F dX2 ). De acordo com a defini¸cã o de produto triplo 1.2.39, F (F −1 v) (F dX1 F dX2 ) = [F dX1 , F dX2 , F (F −1 v)]. Mas, [F dX1 , F dX2 , F (F −1 v)] = det F [dX1 , dX2 , (F −1 v)], de acordo com o coment´ ario 1.2.39, sobre determinante, tra¸ co e produto triplo. Considerando a eq. 2.5 e usando novamente a defini¸ cão 1.2.39 tem-se, ent˜ ao, v e da = J (F −1v) (dX1 dX2 ) = J (F −1v) eκ daκ = v JF −T eκ daκ , sendo a u ´ltima igualdade devida a` defini¸cão de transforma¸ caõ linear transposta 1.2.17. Portanto, e da = J F −T eκ daκ .

·

·

·

×

×

·

E

·

·

×

×

·

·

Analogamente, seja v3 = X3 X30 , onde (X3 , X30 ) ao pertencente κ , um vetor n˜ ao plano dos vetores v1 e v2 . Defina-se o diferencial dX3 = X3 X30 , bem como o seu diferencial imagem dx3 = F (X30 )dX3 , correspondentes a` equa¸cão definidora 2.8 e imponha-se que X3 X 30 e daκ sejam infinitesimais. De acordo com o anterior item 2, neste caso dx3 = χκ (X3) χκ (X30 ). Tem-se, ent˜ ao, o volume infinitesimal dv = dx3 dx1 dx2 = F dX3 F dX1 F dX2 . Usando novamente a defini¸caõ 1.2.39 e o coment´ ario 1.2.39, tem-se que F dX3 F dX1 F dX2 = det F dX3 dX1 dX2 = J dvκ , logo dv = J dvκ . Isto indica que, se J = 1, a deforma¸cão preserva o volume. A rela¸c˜ ao entre os diferenciais infinitesimais de ´ area referencial e arbitr´ aria ,

−

| −

|

| |

·

× | | | |

|

· |

∈B

−

× ·

| × | |

86

| |

−

||

·

×

|

õ entre os diferenciais infinitesimais de volume referencial e bem como a rela¸ca arbitr´ ario, respectivamente e da = J F −T eκ daκ

| |

dv = J dvκ ,

e

(2.9)

muito u ´ teis para a mecˆ anica dos meios cont´ınuos, foram facilmente obtidas por causa da grande simplifica¸cão proveniente de terem sido consideradas infinitesimais as normas dos diferenciais daκ e dX3 .

2.1.3

Mudan¸ ca de Configura¸c˜ ao Referencial

B

Seja κ uma outra configura¸cão referencial de , definida de modo an´ alogo a` configura¸caõ referencial κ (eq. 2.1), pertencendo as imagens de ambas as duas configura¸cões ao espa¸co euclideano de pontos , correspondente a` estrutura referencial de Newton φ. A composi¸caõ λ = κ κ−1 : , tal que X = λ(X) = κ(κ−1 (X)) ,





E ◦



E → E



ao referencial de κ para κ. Seja χ κ definida é chamada uma mudan¸ca de configura¸c˜ de modo an´ alogo a χ κ (eq. 2.2). As deforma¸co˜es desde cada uma das duas configura¸ co˜es referenciais κ e κ , até a configura¸caõ arbitr´ aria χ , respectivamente χκ e χκ , são relacionadas entre si por meio da composi¸caõ

  ◦ − ∇   ∇

χκ = χ κ λ :

Se dX = X λ) dX =

B → B κ

χ

,

    

tal que x = χ κ (X) = χ κ (λ(X)) = χ κ (X) .



∇X χ

´ ltima equa¸cão destacada X0 , de acordo com a u

χκ [

κ

0

∇X (χ ◦

dX =

0

 κ

λ dX], onde a u´ltima igualdade é devida ao coment´ ario 1.3.5, sobre X 0 X0 diferencia¸caõ em cadeia. Porém χκ [ λ dX] = ( χκ λ) dX ou, usando X X 0 0 X0 X0 a eq. 2.4, F κ (X) =

∇

  ∇

∇X χ = ∇Xχ ◦ ∇X λ κ

   κ

  ◦ ∇

e, sendo

F κ = F κ P , onde

2.2

∇

Tra¸c˜ ao e Rota¸c˜ ao

P (X) =

∇X λ = ∇X (κ ◦ κ

  ∇   F κ ( X ) =

X

χκ .



−1

),

(2.10)

O gradiente da deforma¸cão (eq. 2.4) é uma medida da deforma¸ caõ no ponto X . κ Mas outras medidas existem, cujos significados f´ısicos s˜ ao, até, mais evidentes. Como o gradiente da deforma¸cão F é n˜ a o singular (eq. 2.5), de acordo com o teorema da decomposi¸caõ polar 1.2.10 h´ a dois tensores simétricos (defini¸ cão de tensores simétrico e antissim´ etrico 1.2.18) de defini¸caõ positiva (defini¸cão de tensor de defini¸caõ positiva, negativa e semi-defini¸ caõ 1.2.43), U e V e um tensor ortogonal (defini¸cã o de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30), R, determinados de modo uńico a partir de F , tais que

∈ B ⊂ E

F = RU = V R ,

U =

√

F T F

,

T

V = RU R =

√

F F T e R = F U −1 . (2.11)

õ a R, tensor direito de estiramento a U e tensor Denomina-se tensor de rota¸ca esquerdo de estiramento a V , onde direito e esquerdo referem-se a` posi¸caõ do tensor, 87

◦

◦

em rela¸cão a R, na composi¸cão F = R U = V R (note que é esta composi¸caõ que dá origem ao nome decomposi¸ cão polar). Estas denomina¸co˜es provêm da interpreta¸cão f´ısica destes tensores. De fato, de acordo com o teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simétrico, como os tensores U e V são simétricos, para cada um deles existe uma base ortonormal, do espa¸co vetorial tridimensional, tal que o tensor possa ser representado como uma matriz diagonal de autovalores. Al´ em disto, de acordo com o teorema 1.2.8 (tensor simétrico de defini¸ caõ positiva ou negativa), como U e V são de defini¸cão positiva, todos os seus autovalores s˜ ao positivos. Por isto, U e V representam estiramentos puros, ao longo de três eixos ortogonais entre si. Mas, como a aplica¸cão de tensor ortogonal a dois vetores preserva o produto interno entre eles, R representa uma rota¸caõ pura. Logo, o gradiente de deforma¸ cão resulta de um estiramento puro U seguido de uma rota¸cão R, ou da mesma rota¸caõ R seguida de um estiramento V = U . Enquanto que ambos os tensores de estiramento medem a tra¸ cão, ou mudan¸ca de forma, o tensor de rota¸caõ mede a mudan¸ca de orienta¸caõ, ou rota¸caõ. Como U 2 = F T F e V 2 = F F T , o uso dos itens 3 e 4 do coment´ ario 1.2.27, sobre 2 propriedades de determinantes - parte I, mostra que (detU ) = (det F )2 = (det V )2 . Mas, de acordo com o coment´ ario 1.2.45, sobre determinante de tensor simétrico de defini¸caõ positiva ou negativa, como U e V são simétricos de defini¸cão positiva, seus correspondentes determinantes s˜ ao positivos. Pode-se, portanto, escrever



|

|

det U = det V = det F .

(2.12)

Sejam os autovalores e autovetores de U respectivamente vi e ei , para i = 1, 2, 3, logo seja U ei = vi ei (de acordo com a nota¸caõ de Einstein 1.1.2, n˜ ao ocorre somat´ orio T T sobre o ´ındice i). Como V = RU R , tem-se V (Rei ) = RU R (Rei ) = RU (ei ) = v i (Rei ). Portanto U e V tˆ em os mesmos autovalores e seus autovetores diferem apenas pela rota¸cao ˜ R. Os autovalores vi , todos eles positivos, s˜ ao chamados estiramentos principais e os ˜es princicorrespondentes autovetores, mutuamente ortonormais, s˜ ao chamados dire¸co pais. Utilizando as eqs. 2.12, U e V podem ser obtidos a partir de F , calculando-se a raiz quadrada dos tensores simétricos de defini¸ cão positiva F T F e F F T , respectivamente. Para isto, basta considerar o teorema 1.2.9, sobre quadrado de tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa e a nota¸caõ 1.2.10, para tensor raiz quadrada. Mas, para ao de Cauchy efeito de c´ alculo, é mais conveniente introduzir os tensores de tra¸c˜ Green direito e esquerdo , respectivamente definidos por C = U 2 = F T F e B = V 2 = F F T .

(2.13)

Usando a representa¸ caõ F = F jβ c j cβ do gradiente de deforma¸cão (eqs. 2.6), bem como o coment´ ario 1.2.15, sobre transposi¸caõ de tensor simples e a defini¸ca˜ o de matrizes transposta e inversa 1.1.4, tem-se F T F = F i α F jβ (cα ci )(c j cβ ) e F F T = F i α F jβ (c j cβ )(cα ci ) . Por meio do item 1 do coment´ ario 1.2.18, sobre composi¸caõ com tensor simples, obtém-se (cα ci )(c j cβ ) = ((cα ci )(c j )) cβ . Considerando a defini¸caõ de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12 e, em seguida, o coment´ ario 1.2.6, sobre fun¸cões gi j e g i j , tem-se ((cα ci )(c j )) cβ = (ci c j )cα cβ = g i j cα cβ , logo

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

88

⊗

⊗

·

⊗

⊗

(cα ci )(c j cβ ) = g i j cα cβ . Analogamente, (c j cβ )(cα ci ) = g α β c j ci . Logo, F T F = gi j F i α F jβ cα cβ e F F T = g α β F i α F jβ c j ci = g α β F i α F jβ ci c j , porque F F T é simétrico. Tem-se, portanto,

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗ ⊗

C α β = g i j F i α F jβ

⊗

⊗ ⊗

e

B i j = g α β F i α F jβ ,

e

[B i j ] = [F i α][gα β ][F jβ ]T .

ou, na forma matricial, [C α β ] = [F i α ]T [gi j ][F jβ ]

Convém lembrar que g i j e g α β são, de acordo com a eq. 2.6 e com o comentário 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, respectivamente um componente covariante do tensor métrico referente ao sistema de coordenadas no ponto x da configura¸caõ deformada e um componente contravariante do tensor métrico referente ao sistema de coordenadas no correspondente ponto X da configura¸caõ referencial. Como exemplo, considere a deforma¸cão x = χ κ (X), dada em coordenadas cartesianas tanto na configura¸ caõ referencial como na deformada e definida por meio das express˜ oes x = X + κY ,

y = Y

e

z = Z .

(2.14)

Esta deforma¸caõ é chamada cisalhamento simples e κ > 0 é chamado quantidade de cisalhamento. Usando as eqs. 2.3 e 2.6, conforme as quais F i α = ∂χi /∂X α , tem-se a forma matricial 1 κ 0 [F i α ] = 0 1 0 . (2.15) 0 0 1

 

 

Note que, como det F = 1, de acordo com a eq. 2.9 o cisalhamento simples preserva o volume. Sugere-se acompanhar pelo livro (p. 6 e 7) o tratamento restante deste exemplo.

2.3

Tra¸c˜ ao e Rota¸c˜ ao Lineares

Os tensores de tra¸caõ e rota¸cão mostrados na se¸caõ 2.2 podem representar quaisquer deforma¸co˜es. Mas, nesta se¸caõ, somente ser˜ ao consideradas deforma¸co˜es suficientemente pequenas para que a imposi¸cão da linearidade, nos tensores que que as representam, cause erros desprez´ıveis. De acordo com a eq. 2.8, tem-se dx1 dx2 = F dX1 F dX2 = d X2 (F T F ) dX1 = d X2 CdX1 ,

·

·

·

·

onde a segunda igualdade provém da defini¸ cão de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 e a terceira igualdade prov´ em da eq. 2.13. A express˜ ao destacada mostra que dx1 dx2

·

− dX · dX = dX · (C − 1 ) dX C − 1 E = 1

2

2

1

= 2 dX2 E dX1 , onde

·

(2.16)

(2.17) 2 ao de Green - St. Venant, ou tensor de tra¸cão referené chamado tensor de tra¸c˜ cial (de acordo com a defini¸caõ de transforma¸cão tensorial identidade 1.2.16, o s´ımbolo 1 representa o tensor identidade). Analogamente, tem-se dX1 dX2 = F −1 dx1 F −1 dx2 = d x2 (F −T F −1) dx1 = d x2 B −1 dx1 , logo

·

·

·

89

·

dx1 dx2

·

− dX · dX 1

2

−1

= dx2 (1

· − B ) dx = 2 dx · e dx 1 − B e = 1

2

1

, onde

(2.18)

−1

(2.19) 2 õ de Almansi - Hamel, ou tensor de tra¸ca õ corrente. é chamado tensor de tra¸ca Se não houver deforma¸caõ (ou para deforma¸caõ infinitesimal), χκ (X) χ κ (X0 ) = X X0 (X, X0 ) a que o(X X0 ) = 0 e F = 1 . Portanto, κ , logo a eq. 2.7 indicar´ a eq. 2.13 mostrar´ a que C = B = 1 e as eqs. 2.17 e 2.19 respectivamente produzir˜ ao E = 0 e e = 0. Por isto,

− ∀

∈ B

−

−

para deforma¸coes ˜ pequenas os tensores E e e n˜ ao diferem muito de tensores nulos.

Para tratar adequadamente deforma¸ cões pequenas, utiliza-se o vetor deslocamento u = x X. Em rela¸cão a` configura¸cão referencial, κ, o vetor deslocamento pode ser escrito u(X) = χ κ (X) X

−

−

(sendo χκ definido pela eq. 2.2), o que permite obter o tensor gradiente referencial de deslocamento u = F (X) 1 , H (X) = X onde foi usada a eq. 2.4. Mas o vetor deslocamento também pode ser escrito em rela¸ cão à configura¸caõ corrente, χ, tendo-se ent˜ ao

∇

−

u(x) = x

−1

−χ

κ

(x) ,

o que produz o tensor gradiente espacial de deslocamento −1

∇x u = 1 − F

h(x) =

∇x χ

porque, do acordo com a eq. 2.4,

−1 κ

( x) ,

= F −1 (x). Evidentemente,

para deforma¸coes ˜ pequenas os tensores H e h tamb´ em n˜ ao diferem muito de tensores nulos.

Utilizando as equa¸co˜es acima destacadas para H (X) e h(x), bem como as eqs. 2.13, 2.17 e 2.19, tem-se E =

C −1

e =

1 −B −1

2

2

= =

F T F −1

2

=

1 −(F F T )−1

2

(H +1 )T (H +1 )−1 2

=

=

1 −(1 −h)T (1 −h)

2

H + H T + H T H 2 h + hT hT h = . 2

−

e

(2.20)

Sublinhe-se que, ao contr´ ario do conceito de infinitesimal apresentado na subse¸ caõ 2.1.2, o conceito de deforma¸ cão pequena independe do m´ odulo do vetor X X0 , enquanto

∀ ∈ B | |

−

−

que, X odulo pequeno para o vetor χ κ (X) X. Usando a primeira κ , implica em m´ das duas eqs. 2.20 e simbolizando qualquer conjunto de termos de ordem igual ou superior a dois em H por meio de o(2), obtém-se E = E + o(2), onde



H + H T E = 2



90

(2.21)

õ infinitesimal introduzido por Cauchy na teoria cl´ é o tensor de tra¸ca assica da elasticidade. Numa aproxima¸ cão de primeira ordem em rela¸caõ a H considera-se o(2) = 0, logo E = E , portanto imp˜ oe-se a linearidade da defini¸cão de E a partir de H . Evidentemente, tal aproxima¸caõ se justifica somente se H for suficientemente pr´ oximo de um tensor nulo, ou seja, somente se a deforma¸ cão for suficientemente pequena para que o erro causado seja desprez´ıvel. Evidentemente, para tra¸ cão infinitesimal E = E = 0. A segunda das eqs. 2.11 indica que U = F T F logo, usando a defini¸caõ de H antes





√ √ destacada, tem-se U = (H + 1 ) (H + 1 ) = 1 + H + H + H H . A quarta das eqs. √ 2.11 mostra que R = F U = (H + 1 )/ 1 + H + H + H H . Considere, agora, o desenvolvimento em série de MacLaurin (1 + x) = 1 + nx + n(n − 1)x /2! + . . ., o qual contém um n´ umero finito de termos se n for um inteiro positivo e, caso contr´ ario, converge √ para x < 1. Fazendo n = 1/2 e x = H + H + H H tem-se 1 + H + H + H H = 1 + (H + H )/2 + o(2). Fazendo n = −1/2 e x = H + H + H H tem-se (H + √ 1 )/ 1 + H + H + H H = (H + 1 )(1 − (H + H )/2 + o(2)) = 1 + (H − H )/2 + o(2). Portanto, √ F F = 1 + U = + o(2) = 1 + E + o(2) e



T

T

−1

T

T

T

2

n

2

T

T

T

T

T

T

T

H +H T

T

R =

T

T

T

 

2

F U −1 = 1 +

H −H T

2

onde



R =

T

+ o(2) =

1 + R + o(2),

(2.22)

T

− H

H

(2.23) 2 õ infinitesimal, em analogia ao tensor de tra¸caõ infiniteé chamado tensor de rota¸ca simal, E . Note que, de acordo com o coment´ ario sobre decomposi¸caõ cartesiana 1.2.46, E e R são, respectivamente, a parte simétrica e a parte antissim´ etrica do tensor H . Pode-se obter interpreta¸ cões geométricas para os componentes do tensor infinitesimal de tra¸caõ E , em rela¸cão a um sistema de coordenadas cartesianas. Para isto:

  



1. Seja dX1 = dX2 = s0 e1. Neste caso, eq. 2.16 indica que dx1 dx2 s20 e1 e1 = 2s20 e1 E e1 , ou dx1 dx2 s20 = 2s20 E 1 1 . De acordo com a subse¸cão 2.1.2, a eq. 2.8 define os diferenciais dx1 = F (X10 )dX1 e dx2 = F (X20 )dX2 , respectivamente em rela¸caõ aos diferenciais dX1 = X1 X10 e dX2 = X2 X20 . Estes u ´ ltimos são arbitr´ arios, sujeitos apenas a` restri¸ca˜ o de que (X1 , X10 , X2 , X20 ) κ . Mas, porque

·

· −

· −

−

−

·

∈ B

s´ o faz sentido comparar diferenciais correspondentes ` a mesma equa¸cao ˜ definidora,

a igualdade dX1 = d X2 implica não apenas em vetores respectivamente com igual norma e dire¸cão (dire¸caõ inclui sentido), conforme colocado no coment´ ario 1.2.3, sobre igualdade entre vetores, mas também com igual ponto de aplica¸ cão no espa¸co euclideano de pontos tridimensional. Logo, dx1 = dx2 e dx1 d x2 = s2 , onde o comprimento s é o comprimento s0 após deforma¸cã o. Note que a dire¸cã o de dx1 = d x2 não precisa ser a mesma de d X1 = d X2 . Tem-se, portanto,

·

(s s2 s20 E 1 1 = = 2 2s0

−

91

− s )(s + s ) 0

2s20

0

e analogamente para E 2 2 e E 3 3 . Numa deforma¸caõ suficientemente pequena para que se possa considerar E = E , também pode-se impor s + s0 = 2s0 , portanto





E1 1 =

s

−s

0

s0

.



A última igualdade destacada mostra que os componentes diagonais do tensor E , em rela¸caõ a um sistema de coordenadas cartesianas, s˜ ao as altera¸co˜es de comprimento sofridas, por unidade de comprimento original. 2. Seja dX1 = s0 e1 e dX2 = s0 e2 . Neste caso, eq. 2.16 indica que dx1 dx2 s20 e1 e2 = 2s20e2 E e1 , ou dx1 d x2 s 20 cos(π/2) = 2s20 E 2 1 . A eq. 2.8 mostra que dx1 dx2 = F dX1 F dX2 = s 20 F e1 F e2 = s 20 F e1 F e2 cos θ, onde θ [0, π] é o ângulo formado entre os dois vetores ap´ os a deforma¸caõ. Logo, F e1 F e2 cos θ =

·

·

· −

·

·

·

|

||

|

|

||

−

∈

·

|

2E 2 1 = 2E 1 2 (para confirmar que E é simétrico veja as eqs. 2.13 e 2.17). Se γ = π/2 θ , ter-se-á

−

senγ E 1 2 E 2 1 = = , 2 F e1 F e2 F e1 F e2

|

||

| |

||

|

onde γ é o simétrico da altera¸ cã o sofrida no aˆngulo entre os dois vetores, como consequência da deforma¸caõ. Numa deforma¸caõ suficientemente pequena para que se possa considerar E = E , também pode-se impor F e1 = F e2 = 1 e senγ = γ , obtendo-se γ E1 2 = E 2 1 = . 2



|



| |

|

 

Os outros componentes de E , fora da diagonal, têm interpreta¸ cões an´ alogas a esta. 3. Como F = 1 + H , de acordo com o coment´ ario 1.2.41, sobre a rela¸caõ entre A e 1 +A, para H 0, tem-se det F 1+trH . Por outro lado, de acordo com a segunda das eqs. 2.9, para diferenciais de volume infinitesimais tem-se dv = det F dvκ , que neste caso pode ser escrito dv = det F dvκ , porque det F 1. Numa deforma¸caõ suficientemente pequena para que se possa considerar E = E tem-se H 0 logo, se adicionalmente forem impostos diferenciais de volume infinitesimais,

≈

≈

|

≈



dv

− dv

κ

dvκ

det F dvκ = dvκ

− dv

κ

| ≈

3

− 1 = trH =

= det F



E i i ,

i=1

onde a u ´ltima igualdade é devida a` eq. 2.21. Portanto, a soma dos elementos diagonais de E é a altera¸cão de volume sofrida, em rela¸cão a um volume infinitesimal original.





Pode-se, tamb´ em, interpretar os componentes do tensor infinitesimal de rota¸ cão, R, em rela¸caõ a um sistema de coordenadas cartesianas. Para isto, considere dX = s 0 (cos θ e1 + sen θ e2 ), logo considere que dX forme um ângulo θ com e1 . De acordo com a eq. 2.8, tem-se dx = F dX = (1 + H ) dX = (1 + E + R) dX, onde a segunda igualdade deve-se a` defini¸caõ do gradiente referencial de deslocamento, H , enquanto que a terceira provém das eqs. 2.21 e 2.23. Seja dxh o vetor proje¸cã o de dx sobre o plano definido por e1 e e2 , sendo s a norma deste vetor proje¸caõ. Considere que e3 seja perpendicular

 

92

ao mencionado plano. Como o outro vetor componente de dx é paralelo a e3 , tem-se dX dx e3 = dX dxh e3 = s0 s senw, onde w é o aˆngulo de rota¸cão desde dX até dxh . Tem-se, portanto,

× ·

×

s0s senw = dX

·

× dx · e

3

= d X

 

× (1 + E + R) dX · e

3

= d X

 

× (E + R) dX · e

3

.

Substituindo dX = s0 (cos θ e1 + sen θ e2 ) na igualdade destacada e efetuando-se as opera¸cões indicadas, entre os vetores de base ortonormais ei , obtém-se



− 21 sen2θ(E − E

−

 −



s0 s senw = s 20 (R2 1 + cos 2θE1 2

  11

2 2 )) .



Numa deforma¸cão suficientemente pequena para que se possa considerar E = E , também pode-se impor s = s0 e senw = w. Neste caso, a u´ltima igualdade destacada toma a forma 1 w = R2 1 + cos 2θE 1 2 sen2θ(E1 1 E2 2 ) . 2 Esta igualdade mostra que w depende de θ, ou seja, o ângulo de rota¸cão desde dX até dxh depende do aˆngulo entre os vetores dX e e1 . Mas convém lembrar que, por causa da eq. 2.8, que define dx em fun¸cã o de dX, o vetor dX = X X 0 necessariamente apresenta norma e dire¸caõ (dire¸cão inclui sentido) completamente arbitr´ arias, sendo bem estabelecido apenas o seu ponto de aplica¸caõ, X0 . Logo, o aˆngulo θ é necessariamente arbitrá rio e a u ´ ltima equa¸caõ destacada define w em fun¸cão de θ, assim como a eq. 2.8 define dx em fun¸cão de dX. Evidentemente, os tensores E e R não dependem de θ. De fato, eles respectivamente são a parte simétrica e antissim´ etrica do tensor gradiente referencial de deslocamento H = F 1 (texto logo ap´ os a eq. 2.23), o qual, assim como o gradiente de deforma¸caõ F , depende apenas do ponto de aplica¸cão do vetor dX (veja a eq. 2.4). Seja





−

 

−



1 2π < w >= w(θ) dθ 2π 0 o aˆngulo médio de rota¸caõ desde dX até d xh , quando o aˆngulo θ, entre d X e e1 , variar desde 0 até 2π rd. Integrando, para θ variando entre desde 0 até 2π rd, a pen´ ultima igualdade destacada, percebe-se que



< w >= R2 1 .

  

Interpreta¸cões an´ alogas valem para R1 3 e R3 2 , que são os outros dois componentes n˜ ao nulos do tensor antissim´ etrico, correspondentes ao mesmo vetor axial. Foi efetuado um estudo das interpreta¸ co˜es geométricas dos tensores de tra¸ caõ infinitesimal, E e de rota¸cão infinitesimal, R, que respectivamente s˜ ao as partes simétrica e antissim´ etrica do gradiente referencial de deslocamento, H . Tratamento semelhante pode ser feito usando-se o gradiente espacial de deslocamento, h. Porém, h = 1 F −1 e H = F 1 diferem apenas em o(2), conforme pode ser mostrado efetuando-se o desenvolvimento em série de F −1 , em termos de F . Portanto, numa deforma¸caõ suficientemente pequena para que se possa considerar E = E , tem-se h = H . Tem-se, ainda, as expressões para componentes dos tensores de tra¸ca õ e de rota¸c˜ ao infinitesimais, em termos de derivadas do vetor deslocamento em coordenadas cartesianas da configura¸ cão corrente,



−

−



 

1 E i j = 2

∂u i ∂u j + ∂x j ∂x i



e 93

 

Ri j

1 = 2

∂u i ∂x j

−

∂ u j ∂x i



.

(2.24)

2.4 2.4.1

Movimento Conceito B´ asico

Desde o in´ıcio do presente cap´ıtulo, a vari´ avel tempo foi utilizada apenas para explicar, nos primeiros par´ agrafos da subse¸caõ 2.1.1, o conceito de estrutura referencial, ou observador. Isto ocorreu porque, devido ao fato de serem espa¸ cos produtos ambos os espa¸cos entre si relacionados por meio do observador de Newton, φ, existe uma fun¸caõ que, ao ser aplicada ao corpo material , produz uma imagem de no espa¸co euclideano de pontos tridimensional . Tal fun¸caõ, de um para um em e v´ alida em qualquer instante, foi chamada configura¸cão. A teoria desenvolvida até a este ponto do texto é consequência da existência da fun¸cão configura¸caõ e, por isto, independe da vari´ avel tempo, logo é atemporal. A perda conceitual envolvida em toda teoria atemporal é devida ao fato de que, evidentemente, numa teoria atemporal perdem a separa¸ cão temporal eventos que, numa teoria temporal, ocorrem em instantes distintos. Por exemplo, para a teoria atemporal até agora desenvolvida, as configura¸ cões arbitrárias de poderiam ser distinguidas entre si por meio da aplica¸cão, ao s´ımbolo χ, de um ´ındice identificador. Neste caso, o valor do ´ındice n˜ ao seria o valor da vari´ avel tempo, mas sim uma identifica¸ cão da configura¸cão considerada. Mas, na teoria temporal, a cada instante t, pertencente a determinado intervalo temporal, corresponde uma unica ´ configura¸caõ. Logo, para o mencionado intervalo, o valor t indica qual é a configura¸caõ considerada, por isto mesmo chamada configura¸ caõ corrente. O s´ımbolo χ( , t) (defini¸caõ de fun¸cão e funcional 1.1.1) é mais apropriado do que o uso de t como um ´ındice, uma vez que t é uma variável que se altera de modo cont´ınuo. Al´ em disto, o uso de t como ´ındice terá um outro significado, que ser´ a apresentado na subse¸ca˜ o 2.5.1. Na teoria temporal a fun¸ cão espacial χ( , t) é uma configura¸caõ, assim como, na teoria atemporal, a fun¸caõ espacial χ, que pode ser grafada χ( ), é uma configura¸caõ. Constitui-se a uńica diferen¸ca na determina¸cão, por meio do valor t, de qual é a configura¸cão, ou seja, desaparece a fun¸caõ χ( ), considerada v´ alida em qualquer instante, sendo substitu´ıda pela fun¸ caõ χ( , t), espec´ıfica para o instante t. Uma sequência temporal cont´ınua de configura¸ co˜es χ( , t) : é, por defini¸caõ, um movimento de , simbolizado por

B

E

B

B

B

·

·

·

·

χ =



·

·

B χ(·, t) : B → E| χ(·, t) varia continuamente para t

B → E

# <

#

t
 ∈

.

Note que o s´ımbolo χ passa a ter, a partir deste ponto do texto, significado distinto do anterior, apresentado na primeira subse¸ caõ. Altera¸ cões an´ alogas ocorrer˜ ao com outros s´ımbolos, mas a mudan¸ca de significado n˜ ao mais ser´ a destacada. Evidentemente, como a fun¸cão espacial configura¸caõ χ( , t) varia continuamente para t# < t < t# , o mesmo acontece com a imagem do corpo em . O conjunto χ de fun¸cões, chamado movimento, é uma fun¸caõ espacial-temporal

· B E

χ :

B ×  → E ,

tal que

x = χ(X, t).

(2.25)

Enquanto o s´ımbolo χ(X, t) indica que tanto o valor X como o valor t são fornecidos, sendo a fun¸cão espacial-temporal movimento χ = χ( , ) a eles aplicada e disto resultando como imagem o ponto χ(X, t) = x, o s´ımbolo χ( , t) indica que apenas o valor t é fornecido, sendo a fun¸caõ espacial-temporal movimento χ = χ( , ) a ele aplicada e disto resultando

·

94

··

··

·

B

E

como imagem a fun¸caõ χ( , t), que aplicada ao corpo produz a imagem dele em , no instante t (tal imagem é o conjunto dos pontos x). Isto confirma que χ( , t) é a fun¸caõ espacial configura¸cão, que produzir´ a x se for aplicada a X. ao do movimento de por meio da sequência Tem-se, também, a representa¸c˜ temporal cont´ınua de deforma¸cões, em rela¸cão a` configura¸caõ referencial κ, a qual, assim como acontece com o corpo material , permanece independente do tempo e v´ alida em qualquer instante,

·

B

B



·

−1



#

B → B | χ (·, t) = χ(·, t) ◦ κ varia cont. para t < t < t , t ∈  , onde B é a imagem do corpo B na configura¸caõ χ(·, t). Assim como acontece com o χκ = χκ ( , t) :

κ

t

κ

#

t

conjunto χ de fun¸co˜es (que é o movimento), também o conjunto χκ de fun¸co˜es (que é a representa¸cão do movimento) é uma fun¸caõ espacial-temporal χκ :

B ×  → E ,

x = χ κ (X, t) = χ(κ−1 (X), t).

tal que

κ

(2.26)

Note que, para um ponto fixo X da imagem da configura¸caõ referencial, o conjunto das imagens x = χ κ (X, t) da fun¸caõ temporal χκ (X, ) :

·  → E

forma uma curva no espa¸co euclideano de pontos. Tal curva, chamada caminho ou trajet´ oria do ponto X , é, respectivamente, a imagem κ , ou do ponto X do corpo da fun¸caõ temporal χ κ (X, ), ou da fun¸caõ temporal χ(X, ). Os vetores velocidade, v e acelera¸c˜ ao , a do ponto X são, por defini¸caõ, respectivamente a primeira e a segunda derivada temporal da posi¸ cão deste ponto, quando esta se altera ao longo do caminho percorrido pelo ponto X κ , ou seja,

∈B ·

B

·

∈B

v : a :

B ×  → V κ

B ×  → V κ

∂χ κ (X, t) ∂t

tal que

v(X, t) =

tal que

∂ 2 χκ (X, t) a(X, t) = , ∂t 2

e

(2.27)

(2.28)

E

onde V é o espa¸co de transla¸ca˜ o de e χκ (X, t) é derivável em rela¸caõ a t, o mesmo ocorrendo com a sua derivada temporal. Por outro lado, χ κ (X, t) é derivável em rela¸caõ a X , produzindo a express˜ ao do gradiente de deforma¸c˜ ao da configura¸cão corrente no instante t, configura¸caõ esta grafada χ( , t), em rela¸cão a` configura¸caõ referencial κ, no ponto material X da imagem desta u ´ltima,

·

F κ (X, t) =

∇X χ (·, t) . κ

(2.29)

Na atemporalidade, a eq. 2.29 se reduz a` eq. 2.4. A partir deste ponto do texto, ser´ a implicitamente considerado que as fun¸cões satisfazem as condi¸co˜es necess´ arias para que as opera¸cões indicadas possam ser efetuadas, sem que isto precise ser de cada vez afirmado.

2.4.2

Descri¸co ˜es Material e Espacial

Os vetores velocidade (eq. 2.27) e acelera¸cão (eq. 2.28), bem como o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸ cão (eq. 2.29), são exemplos de quantidades f´ısicas atribu´ıdas 95

a cada ponto de um corpo material, quantidades estas cujos valores variam de ponto para ponto do citado corpo e, dado um ponto fixo X (logo, dado um ponto fixo X), variam com a altera¸caõ exclusivamente temporal de x = χ κ (X, t) (eq. 2.26), ou seja, variam a medida que o ponto X prossegue no seu caminho, definido pela fun¸ caõ temporal χκ (X, ). Embora a modifica¸caõ temporal destes dois vetores e tensor dependa apenas da altera¸ cão temporal

·

de x = χκ (X, t), existem outras quantidades f´ısicas cujas modifica¸co˜es temporais, além de dependerem da altera¸caõ temporal de x = χκ (X, t), também dependem diretamente do instante considerado. O estudo de tais quantidades pode basear-se em dois enfoques alternativos, os quais levam a`s mesmas conclus˜ oes:

• enfocando-se inicialmente como evolui o valor da quantidade considerada, ao longo do caminho percorrido pelo ponto X ∈ B , como efetuado no final da subse¸caõ anκ

terior para os vetores velocidade e acelera¸ cão e conforme poderia ser efetuado para o tensor gradiente da deforma¸caõ (obtendo-se a correspondente derivada parcial temporal), ou

• enfocando-se inicialmente como se altera o valor da quantidade considerada, de ponto para ponto da imagem da configura¸caõ corrente do corpo.

O primeiro enfoque corresponde a` descri¸caõ material, ou referencial, ou lagrangeana da quantidade, enquanto que o segundo é chamado descri¸ cão espacial, ou eulerico˜es, considere uma configura¸ caõ referenana. Para melhor apresentar estas duas descri¸ cial κ e uma quantidade f´ısica cujos valores Q perten¸cam a um espa¸co W . Na descri¸caõ material, os valores Q são definidos, em rela¸cão ao movimento χ do corpo material , por meio da fun¸caõ temporal f (X, ) : W . Seja f = f (X, ) o conjunto espacial cont´ınuo de tais fun¸co˜es temporais, que engloba todos os pontos de κ e somente estes pontos. Tem-se, ent˜ ao,

·  →

f :

B ×  → W, κ

{

·}

B

B

tal que Q = f (X, t).

A segunda entre as equa¸co˜es acima destacadas, an´ aloga a`s eqs. 2.27, 2.28 e 2.29, é a descri¸cão material da quantidade f´ısica cujo valor é Q W . Já a descri¸caõ espacial da mesma quantidade é dada pela fun¸ cão espacial f ( , t) : t W . Considerando a

∈

·   B → · 

sequência temporal cont´ınua de tais fun¸co˜es, grafada f = f ( , t) , tem-se

 B ×→  

f : Evidentemente,

W,

t

tal que Q = f (x, t) .

Q = f (x, t) = f (χκ (X, t), t) = f (X, t).

(2.30)

Na mecânica dos meios cont´ınuos, a eq. 2.30 é escrita por meio da simbologia (an´ aloga à utilizada na termodinˆ amica tradicional) f = f (X, t) = f (x, t),



onde Q foi substitu´ıdo por f e f (x, t) foi substitu´ıdo por f (x, t). Esta simbologia simplificada pode causar equ´ıvocos, especialmente quando forem envolvidas diferencia¸ cões. Tais equ´ıvocos podem ser evitados escrevendo-se explicitamente as vari´ aveis envolvidas, como por exemplo em ∂f (X, t)/∂t, para a derivada temporal na descri¸cão material e 96

∂f (x, t)/∂t, para a derivada temporal na descri¸caõ espacial. Como as duas descri¸ cões são igualmente diferenci´ aveis, tanto em rela¸cão ao tempo quanto em rela¸caõ ao ponto (X ou x conforme o caso), a diferen¸ca entre elas se reduz a uma simples troca entre X e x. Porém, abandonando a simbologia matem´ atica rigorosa, para evitar os mencionados equ´ıvocos a mecânica dos meios cont´ınuos introduz s´ımbolos espec´ıficos, a seguir apresentados (as quais, na verdade, n˜ ao precisariam existir). Tem-se, assim, os s´ımbolos: 1. Para derivada parcial temporal de f (X, t), df ∂f (X, t) f ˙ = = , dt ∂t onde, em df/dt, evidentemente f representa a fun¸cão temporal f (X, ), a qual é uma fun¸caõ local. Note que o adjetivo “local” indica “num determinado ponto fixo do corpo ”, logo num determinado ponto fixo da imagem de alguma configura¸ cão referencial do corpo. Portanto, fixado um ponto do corpo, df/dt é a derivada uńica de uma fun¸caõ temporal.

·

B

2. Para o gradiente, no ponto X, de f (X, t), Gradf =

∇X f (·, t),

e analogamente Div para a divergência e Rot para o rotacional. 3. Para derivada parcial temporal de f (x, t), ∂f ∂f (x, t) = . ∂t ∂t 4. Para o gradiente, no ponto x, de f (x, t), gradf =

∇xf (·, t),

e analogamente div para a divergência e rot para o rotacional. As rela¸co˜es entre estas nota¸co˜es são de grande importˆ ancia. Sendo v dado pela eq. 2.27 tem-se, respectivamente para f = ψ, onde ψ é um escalar e para f = u, onde u é um vetor: ∂ψ ∂ u ˙ ψ = + (gradψ) v, + (gradu)v e (2.31) u˙ = ∂t ∂t Gradψ = F T gradψ, Gradu = (gradu)F. (2.32)

·

Nas eqs. 2.31, a derivada parcial ∂f/∂t informa a tendência de varia¸ caõ temporal de f no ponto x, considerando nula a tendˆ encia de altera¸ cão temporal na localiza¸caõ deste ponto. Esta é, portanto, a derivada a que se refere o item 3. Logo, ∂f/∂t = 0 indica que f apresenta a dependência temporal direta citada no primeiro par´ agrafo desta subse¸caõ. ˙ Por outro lado, a derivada uńica f informa a tendência de varia¸ cão temporal de f no ponto x, levando porém em considera¸ caõ a tendência de altera¸ caõ temporal na localiza¸caõ



97

deste ponto, dada pelos segundos termos dos segundos membros das eqs. 2.31. Por esta ˙ e a derivada a que se refere o item 1, que engloba a tendência total de varia¸ razão, f ´ cão de f com t, neste instante, para um determinado ponto fixo do corpo . O tensor de segunda ordem F κ (X, t) = χ ( , t) (eq. 2.29), ao ser aplicado a um X κ vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸ cão referencial, produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸ cão corrente 1 (eq. 2.7 e 2.8). Por outro lado, o tensor de segunda ordem F κ−1 (x, t) = x χ− κ ( , t), ao ser aplicado a um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸ caõ corrente, produz um vetor diferen¸ ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸caõ referencial. O tensor F κT ( X, t), embora ainda relacionado a χ ( , t) assim X κ como F κ (X, t), por causa da transposi¸cão é aplicado a um vetor diferen¸ ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸cão corrente e produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸ cão referencial (ao contr´ a rio de 1 F κ−1 (x, t), o tensor F κT ( X, t) não se relaciona a x χ− κ ( , t)). Por isto, enquanto que F pode ser aplicado a um vetor diferen¸ ca cujos componentes contravariantes se refiram a` base natural (cα (X))3α=1 (eq. 2.6), F T pode ser aplicado a um vetor cujos componentes covariantes se refiram a` base natural (ci (x))3i=1 , com é o caso do vetor gradψ = x ψ( , t), o que esclarece alguns aspectos fundamentais da primeira entre as eqs. 2.32. Quanto a` segunda equa¸cão, se o tensor de segunda ordem gradu for fornecido k=3 k=3 j na base mista (c j (x) ck (x)) j j=3 c k (x)) j j =3 =1 k=1 , ou na base covariante (c (x) =1 k=1 , a composi¸cão (gradu)F fornecer´ a o resultado indicado. Para o caso espec´ıfico em que u = v tem-se, usando a eq. 2.27, o gradiente material da velocidade,

∇

B

·

∇

∇

·

∇

·

·

∇ ·

⊗

Gradv =

⊗

∇X v(·, t) = ∇X ∂t∂ χ (·, t) = ∂t∂ ∇X χ (·, t) = ∂t∂ F (X, t) = F˙ , κ

κ

onde foi usada a eq. 2.29 na pen´ ultima igualdade. Logo, ˙ Gradv = F

(2.33)

˙ ou, para o gradiente espacial da e, usando a segunda eq. 2.32, tem-se (gradv)F = F , velocidade , gradv = F˙ F −1 . (2.34) Re-escrevendo a eq. 2.26, x = χκ (X, t), sob a forma x = x(X, t) (em analogia a f = f (X, t)) e usando a simbologia apresentada no item 1, eq. 2.27 mostra que v = x˙ . ¨ . Portanto, usando a segunda entre as eqs. 2.31 Analogamente, obtém-se a = v˙ = x ao em fun¸c˜ ao da velocidade , chega-se a` express˜ a o da acelera¸c˜

a =

∂ v + (gradv)v. ∂t

(2.35)

Serão a seguir apresentadas, sem demonstra¸ caõ, duas u ´teis equa¸co˜es complementares: GradJ = J div(F T ) Div(JF −T ) = 0

e

e

div(J −1 F T ) = 0;

gradJ = 98

−T

−J Div(F

).

(2.36)

(2.37)

Um tipo importante de movimento, definido por meio da eq. 2.26, é dado por χκ (X, t) = x ◦ (t) + Q(t)(X

− X ),

◦

(2.38)

onde Q(t) é um tensor ortogonal dependente do tempo. Para este movimento demonstrase que

v = x˙ ◦ + w

× (x − x ) ◦

¨ ◦ + w ˙ e a = x





× (x − x ) + w × (w × (x − x )), ◦

◦

onde a velocidade angular w é definida como o vetor axial do tensor antissim´ etrico QQ˙ T , ou seja, w =< QQ˙ T >. Demonstra-se, também, que neste movimento a forma (comprimento e aˆngulo) de qualquer elemento material n˜ ao se altera. Por isto, ele é chamado movimento r´ıgido. Outro tipo importante é o movimento harmˆ onico, descrito pelo campo de acelera¸ caõ, na descri¸caõ espacial,

a(x, t) = k 2 xex + k 2y ey ,

(2.39)

onde (ex , ey ) é a base natural do sistema de coordenadas cartesianas bidimensional.

2.5

Deforma¸c˜ ao Relativa

2.5.1

Conceito e Exemplo

A eq. 2.25 definiu o movimento por meio da fun¸caõ espacial-temporal χ : que x = χ(X, t), ou x = χ(X, τ ),

B × → E , tal (2.40)

onde a vari´ avel x foi substitu´ıda por x  e a variável t foi substitu´ıda τ . Esta substitui¸caõ foi feita para permitir que a fun¸caõ espacial χ( , τ ) , que é configura¸cão no instante τ , seja comparada com a configura¸ caõ correspondente a um instante referencial t, χ( , t), embora κ : , tal que X = κ(X), continue sendo uma configura¸caõ referencial atemporal. Deseja-se, portanto, comparar configura¸ cões em momentos τ anteriores e posteriores ao instante t (o qual pode, por exemplo, ser o instante corrente). Assim como as eqs. 2.26 representam o movimento por meio da fun¸caõ χ κ : κ , que é uma sequência temporal cont´ınua de deforma¸ cões em rela¸caõ a` configura¸cão referencial atemporal κ, pode-se representar o movimento por meio da sequência temporal cont´ınua oes relativas de deforma¸c˜

·

·

B → E

B ×  → E

χt :

B ×  → E , t

1 tal que x = χ t (x, τ ) = χ(χ−1 (x, t), τ ) = χ κ (χ− κ (x, t), τ ), (2.41)

1 onde a fun¸caõ espacial χt ( , τ ) = χ( , τ ) χ−1 ( , t) = χκ ( , τ ) χ− e a t τ ´ κ ( , t) : deforma¸caõ relativa no instante τ . Em analogia ao gradiente de deforma¸cão apresentado pela eq. 2.29, define-se o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸cão relativa ,

·

· ◦

·

· ◦

·

B → B

(2.42) ∇x χ (·, τ ) , que é o gradiente de deforma¸ cão da configura¸caõ χ(·, τ ), referente ao instante τ , em rela¸caõ a` configura¸caõ χ(·, t), relativa ao momento t, no ponto x da imagem desta u´ltima F t (x, τ ) =

t

configura¸caõ. Evidentemente,

F t (x, t) = 1 . 99

(2.43)

Por outro lado, de acordo com a eq. 2.29 tem-se F κ (X, t) =

∇X χ (X, t) κ

e F κ (X, τ ) =

∇X χ (X, τ ). Usando estas duas expressões e a eq. 2.42 obtém-se κ

F κ (X, τ ) = F t (x, τ )F κ (X, t) .

(2.44)

Por exemplo, seja um movimento no plano x-y, dado em rela¸caõ à configura¸caõ referencial κ (eqs. 2.26) e considerando-se, para todas as configura¸ cões, o sistema de coordenadas cartesianas. Considere o movimento espec´ıfico dado por

x = χ κ (X,Y,t) = (X e t , Y (t + 1)) , onde X = (X, Y ).

(2.45)

Em termos de fun¸co˜es de deforma¸cão an´ alogas a` eq. 2.3, tem-se x = χ xκ (X,Y,t) = X et e y = χ yκ (X,Y,t) = Y (t + 1), logo X = x e−t e Y = y/(t + 1), ou −t 1 X = χ − κ (x,y,t) = (x e ,

y ). t+1

Usando a eq. 2.41, calcula-se a deforma¸caõ relativa −t 1 x = χ κ (χ− κ (x,y,t), τ ) = χ κ (x e ,

y τ + 1 , τ ) = (x eτ −t , y) . t+1 t+1

Aplicando as eqs. 2.6 a este caso especial tem-se F = F xX ex ex + F xY ex ey + F yX ey ex + F yY ey ey , onde (ex, ey ) é a base natural do sistema de coordenadas cartesianas e F xX = ∂χxκ /∂X = e t , F xY = ∂χxκ /∂Y = 0, F yX = ∂χyκ /∂X = 0 e F yY = ∂χyκ /∂Y = t+1. Portanto, F κ (t) = e t ex ex + (t + 1) ey ey .

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

Por outro lado, aplicando a eq. 2.42 a este caso especial tem-se, considerando a pen´ ultima equa¸caõ destacada, ∂ (x eτ −t ) F t (τ ) = ex ∂x

⊗

∂ (x eτ −t ) ex + ex ∂y F t (τ ) = eτ −t ex

⊗

+1 ∂ ( τ t+1 y) ey + ey ∂x

+1 ∂ ( τ t+1 y) ex + ey ∂y

⊗

⊗ e + τ t ++ 11 e ⊗ e x

y

y

⊗ e , y

ou

.

Evidentemente, a express˜ a o de F κ (τ ) é obtida substituindo-se t por τ na express˜ a o de F κ (t). Fazendo τ = t na expressã o de F t (τ ), percebe-se que a eq. 2.43 é satisfeita. Sustituindo-se as express˜ o es de F κ (τ ), F t (τ ) e F κ (t) na eq. 2.44, percebe-se que ela, também, é satisfeita. Na subse¸caõ 2.4.1 foi informado que o caminho ou trajet´ oria é o conjunto das imagens x = χκ (X, t) da fun¸caõ temporal χκ (X, ) : . Logo, para este caso espec´ıfico o caminho é dado pela eq. 2.45, considerando-se fixo o ponto X. Mas, para X = 0, o tempo pode ser eliminado nas fun¸co˜es de deforma¸cão x = X e t e y = Y (t + 1), obtendo-se y = Y (ln xX + 1). Logo, para o ponto fixo X com X = 0, a u ´ ltima equa¸cão fornece a coordenada y referente a cada coordenada x e v.v., evidentemente correspondendo x = (x, y) a algum instante t não diretamente explicitado pela equa¸caõ. Mas, se X = 0, ent˜ ao x = 0 e y = Y (t + 1), sendo portanto imposs´ıvel eliminar a vari´ avel t. As fun¸co˜es de deforma¸caõ ainda mostram que, neste caso especial, a configura¸ cão referencial é a

·  → E





100

configura¸caõ corrente no instante t = 0. Como outro exemplo, demonstra-se que o campo de velocidades (2.46) v(x, t) = u(y) ex , denominado escoamento newtoniano, apresenta o gradiente de deforma¸ cão relativa

e ⊗e − t) du dy

F t (τ ) = 1 + (τ

2.5.2

x

y

.

(2.47)

Velocidade de Altera¸ c˜ ao da Tendˆ encia de Deforma¸ca õ

A eq. 2.29 define o gradiente de deforma¸cão, o qual mede a tendˆ encia de deforma¸ cão da configura¸cão corrente no instante t, em rela¸cão a` configura¸caõ referencial, no ponto cão desta tendência X da imagem desta u´ltima. Uma medida da velocidade de altera¸ ˙κ (X, t), no instante t (item 1 de deforma¸cão é o valor da derivada temporal material F ˙ κ (X, t) = Gradv, onde Gradv é o da subse¸caõ 2.4.2). Mas, de acordo com a eq. 2.33, F gradiente material (item 2 da subse¸caõ 2.4.2) da velocidade v , sendo esta u ´ltima definida pela eq. 2.27. Esta equa¸ cão mostra que v é a velocidade de altera¸cão, no instante t, da posi¸caõ x ocupada pelo ponto material X naquele momento t. Logo, Gradv mede a tendência de modifica¸cão desta velocidade, dentro da imagem da configura¸ caõ corrente referente ao instante t, em rela¸caõ à configura¸caõ referencial, no ponto X da imagem desta u ´ ltima. A igualdade entre estes dois conceitos, expressa pela eq. 2.33, é matematicamente ∂ explicada pela troca de ordem de deriva¸caõ, ou seja ∂t∂ χκ ( , t) = χκ ( , t). ∂t X X ˙κ (X, t)F κ−1 (X, t). Uma análoga igualdade conceitual prov´ em da eq. 2.34, gradv = F De acordo com o item 4 da subse¸cã o 2.4.2, gradv mede a tendˆ encia de modifica¸ cão espacial da velocidade num ponto x da imagem da configura¸cão corrente, no instante t que corresponde a` configura¸cão corrente. Faz-se, portanto, necess´ ario mostrar qual é o − 1 ˙κ (X, t) com F κ (X, t). Para isto, considerando o gradiente significado da composi¸caõ de F de deforma¸cão relativa apresentado pela eq. 2.42, pode-se definir

∇

L(x, t) =

·

∇

∂ ˙ t (x, τ ) τ =t = F ˙t (x, t) , F t (x, τ ) τ =t = F ∂τ

|

|

·

(2.48)

onde a segunda igualdade ser´ a justificada no pr´ oximo par´ agrafo e ∂ F t (x, τ )/∂ τ é uma medida da velocidade de altera¸cão, no instante τ , da tendência de deforma¸cã o da configura¸caõ referente ao instante τ em rela¸caõ a` configura¸cão corrente no momento t, no ponto x da imagem desta u´ltima. Portanto, L(x, t) é uma medida da velocidade de altera¸caõ, no instante t, da tendência de deforma¸caõ da configura¸caõ corrente no momento t, em rela¸caõ a ela mesma, no ponto x da imagem desta configura¸cão. No in´ıcio da subse¸caõ 2.4.2 foi colocado que F κ (X, t) varia com t apenas devido a`

101

altera¸caõ temporal de x = χ κ (X, t) (eq. 2.25) e, no item 1 daquela subse¸caõ, foi mostrado ˙κ (X, t) = ∂F κ (X, t)/∂t. Analogamente, F t (x, τ ) que este fato pode ser simbolizado por F varia com τ apenas devido a` altera¸cão temporal de x = χt (x, τ ) (eq. 2.41). Logo, pela ˙ κ (X, t) = ∂F κ (X, t)/∂t, tem-se que F ˙ t (x, τ ) = ∂ F t (x, τ )/∂ τ , ou seja, mesma raz˜ ao que F o gradiente local da deforma¸caõ relativa é uma fun¸caõ u´ nica do tempo, o que justifica a segunda igualdade na eq. 2.48. De acordo com a eq. 2.44, F κ (X, τ ) = F t (x, τ )F κ (X, t). −1 ˙t (τ ) = F (τ )F ˙ Derivando em rela¸cão a τ tem-se, então, F (t). Mas, de acordo com a eq. ˙ ˙t (τ ) = (gradv(τ ))F (τ )F −1(t). Usando novamente a 2.34, F (τ ) = (gradv(τ ))F (τ ), logo F ˙ t (τ ) = (gradv(τ ))F t (τ ). Como F t (t) = 1 (eq. 2.43), tem-se F ˙t (t) = eq. 2.44, obtém-se F gradv(t) ou, de acordo com a eq. 2.48, L = gradv .

(2.49)

A eq. 2.49, proveniente da eq. 2.34, indica a igualdade entre as interpreta¸ co˜es conceituais de gradv e de L, ambas apresentadas no par´ agrafo anterior. Como, de acordo com a subse¸caõ 2.1.1, as estruturas referenciais, ou observadores, são de um para um no corpo material β , não apenas o gradiente de deforma¸ cão F tem inversa (eq. 2.5), como também existe a transforma¸ cão linear inversa do gradiente de deforma¸caõ relativa F t (x, τ ), definido pela eq. 2.42. Portanto, de acordo com o teorema da decomposi¸caõ polar 1.2.10, h´ a dois tensores simétricos (defini¸ cão de tensores simétrico e antissim´ etrico 1.2.18) de defini¸caõ positiva (defini¸cão de tensor de defini¸caõ positiva, negativa e semi-defini¸cão 1.2.43), U t e V t e um tensor ortogonal (defini¸cã o de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30), Rt , determinados de modo uńico a partir de F t , tais que F t = R t U t = V t Rt ,

U t =



F tT F t

,

V t = R t U t RT t

=



F t F tT e Rt = F t U t−1 , (2.50)

analogamente ao definido para a decomposi¸ caõ polar do tensor de deforma¸cão F (eqs. 2.11). Continuando a analogia, U t é o tensor direito de estiramento relativo , V t é o tensor esquerdo de estiramento relativo e R t é o tensor de rota¸ca õ relativa. As interpreta¸co˜es f´ısicas destes tensores também s˜ a o an´ alogas a`s ent˜ ao efetuadas, valendo coment´ arios e equa¸cões an´ alogas, inclusive no que se refere à defini¸caõ dos tensores de tra¸c˜ ao relativa de Cauchy-Green direito e esquerdo , respectivamente grafados C t e Bt . Para τ = t, de acordo com a eq. 2.43 tem-se F t = F tT = 1 . Logo, considerando as eqs. 2.50, U t (t) = V t (t) = R t (t) = 1 . Mantendo x e t constantes e derivando em rela¸cão a τ a primeira entre as eqs. 2.50, ˙t (τ ) = Rt (τ )U ˙ t (τ ) + R˙ t (τ )U t (τ ). Impondo τ = t nesta express˜ obtém-se F a o e usando a u ´ ltima express˜ ao destacada, bem como a eq. 2.48, tem-se ˙ t (t) + R˙ t (t) . L(t) = U

(2.51)

Como U t é simétrico tem-se a U t (τ )b = b U t (τ )a. Como os vetores a e b são arbitrários, eles podem independer de τ , logo o fato de U t ser simétrico implica em ˙ t (τ )b = b U ˙ t (τ )a, o que indica que U ˙ t (τ ) é um tensor simétrico. Analogamente, a U R˙ t (τ ) é um tensor antissimétrico. Portanto, de acordo com o coment´ ario 1.2.46, sobre decomposi¸caõ cartesiana, a eq. 2.51 mostra a decomposi¸caõ de L(t) em suas partes

·

·

·

·

102

simétrica e antissimétrica. Logo, definindo o tensor estirante ˙ t (t) = D T (t) D(t) = U e o tensor rotativo

W (t) = R˙ t (t) =

(2.52)

T

−W (t) ,

(2.53)

as eqs. 2.49, 2.51, 2.52 e 2.53 mostram que 1 (gradv + gradvT ) 2

D =

1 W = (gradv 2

e

− gradv

T

).

(2.54)

De acordo com a nota¸caõ para vetor associado a tensor antissim´ etrico 1.2.9 e o coment´ ario 1.2.37, sobre propriedades do vetor axial, o vetor axial associado ao tensor antissim´ etrico W é grafado < W >. Define-se o vetor axial w, chamado vorticidade, tal que

w =<

−2W >= rotv,

(2.55)

onde a u´ltima igualdade é devida a` defini¸caõ de rotacional de campo vetorial 1.3.12. O tensor direito de tra¸caõ relativa de Cauchy-Green é dado por C t (τ ) = F tT (τ )F t (τ ) ,

(2.56)

em analogia a` primeira entre as eq. 2.13. Os tensores de Rivlin-Ericksen, grafados An (x, t), são as n-ésimas derivadas temporais de C t (τ ) aplicadas ao instante τ = t, (n)

An (x, t) = C t

∂ n (x, t) = n C t (x, τ ) τ = t , ∂τ

|

n = 1, 2, 3, . . . .

(2.57)

Para n = 1 tem-se ˙ t (x, t) = F ˙ tT (x, t) + F ˙t (x, t) = L T + L , A1 (x, t) = C onde a primeira igualdade é justificada da mesma forma que a segunda igualdade na eq. 2.48, a segunda igualdade é obtida usando as eqs. 2.56 e 2.43 e a ultima ´ é devida a` eq. 2.48. Usando a eq. 2.49 e a primeira entre as eqs. 2.54, a equa¸caõ antes destacada produz A1 = 2D .

(2.58)

Demonstra-se, ainda, que

v˙ =

∂ v 1 ∂ v 1 + grad(v v) + 2 W v = + grad(v v) + w ∂t 2 ∂t 2

·

·

×v

(2.59)

e que, para o campo de velocidades dado pela eq. 2.46 (escoamento newtoniano), tem-se du A1 = (ex dy

⊗ e + e ⊗ e ) , y

y

x

 

du A2 = 2 dy

103

2

(ey

⊗ e )(e ⊗ e ) x

x

y

e A3 = 0. (2.60)

2.6 2.6.1

Mudan¸ca de Estrutura Referencial Transforma¸c˜ ao Euclideana

Conforme apresentado na subse¸ caõ 2.1.1, uma estrutura referencial de Newton, φ, é uma fun¸caõ que, ao ser aplicada a um conjunto corpo-instante pertencente a , produz uma imagem em , logo φ : . Como φ é uma fun¸caõ de um para um em , o tempo é uma vari´ avel independente tanto em quanto em . Porém, diferentes estruturas referenciais de Newton produzem imagens diferentes do mesmo conjunto corpoinstante, seja em como em . Mas, se as unidades de medida de espa¸ co e de tempo forem respectivamente as mesmas para todos os observadores de Newton,

E × 

W

W → E × 

E

W

B

E ×



E

1. as distâ ncias e os aˆngulos das imagens do corpo em , referentes a um mesmo instante em , serão os mesmos e

W

W , a sua imagem em  independerá da estrutura

2. para todo intervalo temporal em referencial escolhida.

Estas duas condi¸cões ser˜ ao impostas, ao se mudar de uma estrutura referencial de Newton para outra. Sejam φ e φ∗ duas estruturas referenciais de Newton e seja ∗

−1

∗ = φ ◦ φ : E × → E × ,

tal que

∗

∗

∗ : (x, t) → (x , t ),

uma mudan¸ca de φ para φ∗ . A mudan¸ca de estrutura referencial de Newton mais geral poss´ıvel, mas que obedece a` imposi¸cã o colocada no par´ agrafo anterior, é uma transao euclideana , definida forma¸cão r´ıgida dependente do tempo chamada transforma¸c˜ por x∗ = Q(t)(x x◦ ) + c(t) e t∗ = t + a , (2.61)

−

onde a , (x◦ , c(t)) e Q(t) (V ), sendo, conforme a nota¸cão para grupos especiais 1.2.8, (V ) o s´ımbolo do grupo ortogonal do espa¸ co vetorial V , o que indica que Q(t) é um tensor ortogonal de segunda ordem. Note que x◦ é um ponto referencial para x , enquanto que c (t) é um ponto referencial para x ∗ e perceba que a eq. 2.61 define x∗ como uma fun¸caõ de x e t, enquanto que t∗ é definido como fun¸caõ apenas de t. As eqs. 2.61 indicam que, se em determinado momento t forem registrados os pontos x1 e x2 pelo observador φ, logo for registrado o vetor u = x2 x1 , no correspondente momento t∗ será registrado o vetor u∗ = x ∗2 x∗1 pelo observador φ ∗ , sendo

∈ 

∈ E

O

∈ O

−

−

u∗ = Q(t)u .

(2.62)

De modo análogo, pode-se definir os vetores v = x4 x3 e v∗ = x∗4 x∗3 . De acordo com a defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, Q(t)u Q(t)v = u v . Por outro lado, considerando o segundo item coment´ ario 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, Q(t)u = u e Q(t)v = v . Estas três u´ltimas igualdades mostram que a primeira entre as eqs. 2.61 garante que os dois observadores registram os mesmos comprimentos e aˆngulos, enquanto que a segunda garante os mesmos intervalos temporais. Se a configura¸cão referencial, κ, coincidir com a configura¸cão corrente de registrada pela estrutura referencial φ no instante t, ter-se-á X = x e X◦ = x◦ . Neste caso, a diferen¸ca χκ (X, t) x◦ (t), na eq. 2.38, coincidirá com a diferen¸ca x∗ c(t), na primeira entre as eqs. 2.61. Portanto, na transforma¸cão euclideana o registro feito pela estrutura

−

|

| | | |

− ·

·

| | |

B

−

−

104

referencial φ ∗ , no momento t ∗ = t + a, é o resultado da aplica¸caõ de um movimento r´ıgido ao registro efetuado pela estrutura referencial φ, no instante t, movimento este que depende de t. Ou seja, coerentemente com o que foi colocado no primeiro par´ agrafo, os dois observadores registram exatamente os mesmos comprimentos e angulos, ˆ mas os percebem em locais do espa¸co e em instantes diferentes, sendo fixa a diferen¸ca temporal, enquanto que a diferen¸ca espacial depende do instante (t ou t∗ de acordo com o observador) em que a observa¸caõ é efetuada. De acordo com a defini¸caõ de tensor de ordem k 1.2.20, existe o espa¸co de produto n tensorial V , no qual se encontram os tensores de ordem n. Define-se a transforma¸caõ õ linear induzida, no espa¸co de produto tensorial linear Q∗ , a qual é denominada fun¸ca n V , pela rota¸caõ Q(t) da transforma¸cão euclideana entre as estruturas referenciais (prin n meira entre as eqs. 2.61). A fun¸caõ linear induzida Q ∗ : V V é uma transforma¸caõ n linear que, ao ser aplicada a um tensor de ordem n do espa¸co de produto tensorial V , transforma-o em outro tensor de ordem n pertencente ao mesmo espa¸co, sendo os dois tensores respectivamente os registros que as estruturas referenciais φ e φ∗ , onde a segunda é uma transforma¸ caõ euclideana da primeira, efetuam para um tensor de ordem n definido pelos mesmos pontos de . Por exemplo, para n = 1 tem-se Q∗ : V V , ou seja, a fun¸cão linear induzida, ao ser aplicada a um vetor do espa¸co vetorial V , transforma-o em outro vetor pertencente ao mesmo espa¸co. A eq. 2.62 mostra então que, neste caso,

⊗

⊗

⊗ →⊗

B

⊗

→

Q∗ [u] = Q u .

(2.63)

Assim como, por causa da eq. 2.62, a` transforma¸caõ linear Q ∗ : V V corresponde a eq. n n 2.63, por causa da mesma eq. 2.62 à transforma¸caõ linear Q∗ : V V corresponde

→

Q∗ [u1

⊗ u ⊗ . . . ⊗ u ⊗ u ] = Qu ⊗ Qu n−1

2

1

n

2

⊗ →⊗ ⊗ . . . ⊗ Qu ⊗ Qu n−1

n

,

(2.64)

sendo a eq. 2.63 uma forma particular da eq. 2.64 para n = 1, ou seja, para Q ∗ : V Para n = 2, tem-se Q∗ : V V V V tal que, de acordo com a eq. 2.64,

Q∗ [u1

⊗ → ⊗ ⊗ u ] = Qu ⊗ Qu 2

1

2

= Q(u1

T

⊗ u )Q 2

→ V .

,

devendo-se a u ´ltima igualdade aos dois itens do coment´ ario 2.18, sobre composi¸caõ com tensor simples. De acordo com o coment´ ario 2.8, sobre decomposi¸caõ de transforma¸caõ linear, toda transforma¸caõ linear entre espa¸cos vetoriais é uma combina¸ caõ linear de tensores simples. Portanto, o tensor de segunda ordem T V V é uma combina¸caõ linear de tensores simples u1 u2 , o que implica em

∈ ⊗

⊗

T ∗ = Q ∗ [T ] = QT QT ou T i∗1 i2 = Q i1j1 T j1 j2 (QT ) j2 i2 = Q i1j1 Qi2j2 T j1 j2 ,

(2.65)

onde a segunda equa¸caõ est´ a escrita em termos dos componentes covariantes de T ∗ e T , logo i1 , i2 , j1 , j2 = 1, . . . , d, sendo d a dimensã o de V . Note que a u ´ ltima igualdade da segunda equa¸cão é devida ao uso do coment´ ario 1.2.16, sobre transposi¸caõ de tensor de segunda ordem. n De um modo geral, para n > 0 e M V tem-se

∈ ⊗

M ∗ = Q ∗ [M ]

e

M i∗1 ...in = Q i1j1 . . . Qinjn M j1 ... jn , 105

(2.66)

onde a segunda equa¸caõ, em termos de componentes, é uma generaliza¸ cão da eq. 2.65. A segunda, entre as eqs. 2.66, evidentemente indica que, para um espa¸co vetorial V de dimensão três, pode-se efetuar inicialmente a soma Qin1M j1 ... jn

1 1

−

+ Qin2 M j1 ... jn

1 2

−

+ Qin3 M j1 ... jn

1 3

−

= (QM ) j1 ...jn

1 in

−

,

seguida da soma Qin1 1 (QM ) j1 ... jn (Q2 M ) j1 ... jn

2 1 in

−

−

2 in−1 in

−

+ Qin2 1 (QM ) j1 ...jn

2 2 in

−

−

+ Qin3 1 (QM ) j1 ... jn −

2 3 in

−

=

e assim sucessivamente até a` soma

Qi11 (Qn−1 M )1 i2 ,...i n + Qi12 (Qn−1 M )2 i2 ,...i n + Qi13 (Qn−1 M )3 i2 ,...i n = (Qn M )i1 ... in = M i∗1 ... in , porque cada um dos ´ındices i1 . . . in e j1 . . . jn assume os valores 1, 2 e 3, podendo o tensor tridimensional de segunda ordem Q(t) ser representado por uma matriz quadrada de dimens˜ ao três. Por outro lado, para n = 0 a eq. 2.61 mostra que, se um escalar for aplicado ao ponto x, o mesmo escalar ser´ a aplicado a x∗ . Logo, para n = 0 tem-se e (2.67) Q∗ : Q∗ = 1.

→

As eqs. 2.66 (n > 0) e 2.67 (n = 0) compõem a defini¸caõ matem´ atica completa da fun¸caõ ∗ linear induzida Q . Se Φ for o conjunto de todas as estruturas referenciais, pode-se definir a fun¸ cão n

→⊗ V , denominada observável, cujo argumento, φ ∈ Φ, é alguma estrutura referencial e cuja imagem, f (φ) ∈ ⊗ V , é o valor do observ´ avel f registrado pela estrutura φ. Note que f : Φ

n

esta defini¸caõ de observ´ avel considera que todas as imagens f (φ) perten¸cam ao mesmo espa¸co tensorial de ordem n, qualquer que seja a estrutura referencial escolhida. Isto é uma generaliza¸caõ do fato de que, para uma transforma¸ cão euclideana, tanto o argumento ∗ como a imagem de Q pertencem, sempre, ao mesmo espa¸co de ordem n. O conjunto de todas as transforma¸ co˜es euclideanas é chamado classe euclideana, representada por Σ. Seja Ψ uma sub-classe pertencente a Σ. O observ´ avel f é dito indiferente à estrutura referencial em Ψ, ou invariante à altera¸cão de estrutura referencial em Ψ, se f (φ∗ ) = Q ∗ f (φ) (2.68) sempre que a mudan¸ca entre estruturas referenciais pertencer a Ψ. Em palavras, o n observável f é dito indiferente a` estrutura referencial em Ψ se suas imagens em V se transformarem uma na outra de modo coerente com a eq. 2.61. Se Ψ = Σ diz-se que f é indiferente a` estrutura referencial, ou invariante a` mudan¸ca de estrutura referencial, ou objetivo, sob transforma¸caõ euclideana. Especificamente, um escalar s, um vetor u e um tensor de segunda ordem T são objetivos quando

⊗

s∗ (t∗ ) = s(t) ,

u∗ (t∗ ) = Q(t)u(t)

e

T ∗ (t∗ ) = Q(t)T (t)QT (t).

(2.69)

Como exemplo de grandezas objetivas temos escalares, vetores e tensores associados a pontos do corpo , conforme considerado para a dedu¸caõ da defini¸caõ matem´ atica ∗ completa da fun¸cão linear induzida Q . Como exemplo de grandezas n˜ ao objetivas, pode-se citar grandezas relacionadas ao movimento, conforme ser´ a mostrado na pr´ oxima subse¸caõ. Pode-se, tamb´ em, mostrar que n˜ ao são objetivos os vetores axiais associados a tensores antissimétricos ob jetivos.

B

106

2.6.2

Transforma¸co ˜es Galileiana e R´ıgida Independente de t

··

De acordo com a subse¸caõ 2.4.1, o movimento é dado pela fun¸ cão χ( , ), a qual é uma sequência temporal de configura¸cões do corpo tal que x = χ(X, t), onde t ,X e x . De acordo com a subse¸caõ 2.6.1, seja uma mudan¸ca de estrutura referencial de φ para φ∗ . Na nova estrutura referencial o movimento é representado por χ∗ ( , ), tal que x∗ = χ ∗ (X, t∗ ), onde t∗ ,X e x∗ . A eq. 2.61 mostra, então, que

B ∗

∈ E

∈

∈B

∈

··

∈ E

χ∗ (X, t∗ ) = Q(t)(χ(X, t)

∈B

∗

− x ) + c(t) e t = t + a . (2.70) Note que a eq. 2.70 pressupõe que o tempo, em W , seja definido a menos de uma cons◦

tante aditiva. De fato, os argumentos de χ e χ∗ são conjuntos ponto corporal-instante que diferem entre si apenas pela constante aditiva temporal permitida pela transforma¸ cão euclideana. Em outras palavras, cada estrutura referencial pressup˜ oe que seus registros temporais coincidam com os correspondentes valores do tempo em e todas as estruturas referenciais consideradas s˜ ao interlig´ aveis por meio de transforma¸caõ euclideana. As eqs. 2.27 e 2.28 respectivamente definiram os vetores velocidade e acelera¸ cão como derivadas parciais temporais referentes a um ponto fixo da imagem da configura¸ cão referencial, porque esta era considerada uńica. Porém, na próxima subse¸caõ ser´ a considerada a altera¸cão da configura¸caõ referencial causada por uma altera¸ caõ de estrutura referencial. Não sendo uńica a configura¸cão referencial, convém propor defini¸ co˜es mais fundamentais para os vetores velocidade e acelera¸caõ, ou seja, convém considerar um ponto fixo do corpo , ao invés de um ponto fixo da imagem da configura¸ cão referencial. Por outro lado, de acordo com a subse¸cão 2.4.2, na descri¸caõ material esta derivada parcial pode ser anotada x˙ , o que também será feito quando o ponto fixo pertencer ao corpo . Calculando a derivada parcial da eq. 2.70 tem-se, ent˜ ao,

W

B

B

∂χ ∗ (X, t∗ ) ˙ x = Q( x˙ = ∗ ∂t ∗

− x ) + Qx˙ + c˙

x˙ ∗

ou

◦

∗

− Qx˙ = Ω (x − c) + c˙ , (2.71)

˙ x x ◦ ) = QQ ˙ T Q(x x ◦ ) = QQ ˙ T (x∗ c ) = Ω (x∗ c ), sendo a primeira porque Q( igualdade devida ao fato de Q ser ortogonal, a segunda devido a` aplica¸cão da eq. 2.70 e a terceira a` defini¸caõ T ˙ (t), (2.72) Ω (t) = Q(t)Q

−

−

−

−

onde Ω (t) é denominado o tensor velocidade angular de φ∗ em rela¸cão a φ. Derivando T T T ˙ ˙ ˙ Q(t)QT (t) = 1 obtém-se Q(t)Q (t) + Q(t)Q˙ T (t) = 0 ou Q(t)Q (t) + (Q(t)Q (t))T = 0 ou, usando a eq. 2.72, Ω T = Ω , (2.73)

−

logo Ω é antissimétrico. Derivando a segunda entre as duas eqs. 2.71 obtém-se

− Q¨x = Q˙ x˙ + Ω (x˙ − c˙ ) + Ω ˙ (x − c) + ¨c . Qx˙ = Ω (x˙ − Ω (x − c) − c˙ ), onde a primeira igualdade é devida a` ¨∗ x

∗

∗

∗ ∗ ˙ T Tem-se Q˙ x˙ = QQ ortogonalidade de Q e a segunda é devida, conjuntamente, a` eq. 2.72 e à segunda entre as eqs. 2.71. Substituindo Q˙ x˙ = Ω (x˙ ∗ c˙ ) Ω 2 (x∗ c) na u´ltima equa¸caõ destacada obtém-se ˙ ¨ ∗ Q¨ x x = ¨c + 2Ω (x˙ ∗ c˙ ) + ( Ω Ω 2 )(x∗ c) . (2.74)

−

− − − 107

− −

−

Note que, de acordo com a segunda entre as eqs. 2.69, tanto a segunda entre as eqs. 2.71, quanto a eq. 2.74, deveriam apresentar o segundo membro nulo caso, respectivamente, a velocidade e a acelera¸caõ fossem vetores objetivos. Mas a eq. 2.72 mostra que, se Q(t) for uma fun¸cão constante do tempo, Ω = 0. Se, além disto, c(t) for uma fun¸caõ linear no tempo, a eq. 2.74 mostra que a acelera¸caõ ser´ a um tensor objetivo. Tal mudan¸ ca de estrutura referencial é chamada transforma¸ca õ galileiana, dada por

x∗ = Q(x

∗

(2.75) − x ) + Vt + c e t = t + a , onde a ∈ , (x , c ) ∈ E , Q ∈ O (V ) e V ∈ V . Além disto, a, x , c , Q e V são, ◦

◦

◦

◦

◦

◦

todas elas, fun¸co˜es constantes do tempo. Porém, embora a acelera¸cão seja indiferente a` mudan¸ca galileiana de estrutura referencial, a segunda entre as eqs. 2.71 mostra que a velocidade n˜ ao é objetiva nem em rela¸caõ à transforma¸caõ galileiana. De fato, a velocidade apenas é indiferente a` transforma¸ca õ r´ıgida independente do tempo entre estruturas referenciais, definida por

x∗ = Q(x

−x )+c ◦

◦

t∗ = t + a ,

e

(2.76)

onde valem para a, x◦ , c◦ e Q os mesmos coment´ a rios feitos para o caso da transforma¸cão galileiana.

2.6.3

Aplica¸co ˜es para Grandezas Cinem´ aticas

A configura¸cão referencial, κ, correspondente a` estrutura referencial φ é grafada κφ e coincide com a configura¸caõ corrente de registrada pela estrutura referencial φ no instante t◦ . Tem-se, então,

B

X = κ φ (X) = χ(X, t◦ )

e

X∗ = κ φ (X) = χ ∗(X, t∗◦ ).

∗

(2.77)

Mas, de acordo com a primeira entre as eqs. 2.70, χ∗ (X, t∗◦ ) = Q(t◦ )(χ(X, t◦ )

− x ) + c(t ) , logo ◦

◦

X∗ = Q(t◦ )(X

− x ) + c(t ). ◦

◦

Fazendo K = Q(t◦ ) um tensor ortogonal de segunda ordem e c◦ = c(t◦ ) um ponto, ambos independentes de t, obtém-se a express˜ ao, para a transforma¸cão euclideana de um ponto da imagem da configura¸cão referencial, 1 X∗ = κφ (κ− φ (X)) = K (X ∗

−x )+c ◦

◦.

(2.78)

Note que a eq. 2.78 implica em que, definida a configura¸ cão referencial κφ , estão definidas as configura¸cões referenciais correspondente a todas as estruturas referenciais obtidas por transforma¸caõ euclideana de φ. De acordo com as eqs. 2.26, em termos de deforma¸ cões o movimento, nas duas estruturas referenciais, pode ser respectivamente representado por χκ ( , ), logo x = χ κ (X, t) e χ∗κ ( , ), logo x∗ = χ∗κ (X∗ , t∗ ). Portanto, usando-se a primeira entre as duas eqs. 2.61 tem-se χ∗κ (X∗ , t∗ ) = Q(t)(χκ (X, t) x◦ ) + c(t) .

··

··

−

108

Definindo F κ∗ (X∗ , t∗ ) =

∗

∗

∇X χ (·, t ) em analogia a F (X, t) = ∇X χ (·, t) (eq. 2.29), con(κ (·))) = K de acordo com a eq. 2.78 e lembrando que K = ∗

κ

κ

κ

−1

T

∇X (κ K , a aplica¸caõ de ∇ a` u ´ltima equa¸cão destacada produz, por meio do uso em seu priX meiro membro da express˜ ao χ (X , t ) = χ (κ (κ (X)), t ), logo ∇ χ (κ (κ (·)), t ) X = ∇ χ (·, t )∇ (κ (κ (·))), deduzida a partir do coment´ ario 1.3.5, sobre diferenX X siderando que

φ∗

−1

φ

∗

κ

∗

∗

κ

∗

φ∗

∗

∗

∗

φ∗

κ

−1

∗

φ

∗

κ

−1

φ∗

∗

φ

−1 φ

cia¸cão em cadeia,

F κ∗ (X∗ , t∗ ) = Q(t)F κ (X, t)K T , ou, simplificadamente, F ∗ = QF K T .

(2.79)

Comparando a eq. 2.79 com a terceira entre as eqs. 2.69 percebe-se que o gradiente de deforma¸ca˜ o n˜ ao é um tensor de segunda ordem objetivo, em rela¸ cão a` transforma¸caõ euclideana. De acordo com o teorema 1.2.10 (decomposi¸cão polar), F = RU = V R e F ∗ = caõ positiva, R∗ U ∗ = V ∗ R∗ , sendo V , U , V ∗ e U ∗ bem determinados, simétricos e de defini¸ ∗ enquanto que R e R são bem determinados e ortogonais (veja as eqs. 2.11). A eq. 2.79 mostra, ent˜ ao, que R∗ U ∗ = F ∗ = QRUK T = QRK T KUK T e V ∗ R∗ = F ∗ = QV RK T = QV QT QRK T , logo

R∗ = QRK T ,

U ∗ = K UK T

e

V ∗ = QV QT .

(2.80)

Porque as eqs. 2.13 mostram que C = U 2 e B = V 2, tem-se também que C ∗ = KCK T

e

B ∗ = QBQT .

(2.81)

Comparando as eqs. 2.80 e 2.81 com a terceira entre as eqs. 2.69 percebe-se que o tensor de rota¸caõ R, o tensor de estiramento direito U e o tensor direito de Cauchy-Green C nã o são tensores de segunda ordem objetivos, em rela¸ cão a` transforma¸cão euclideana, enquanto que o tensor de estiramento esquerdo V e tensor esquerdo de Cauchy-Green B são objetivos em rela¸cão a esta transforma¸caõ. Derivando a eq. 2.79 em rela¸cão ao tempo obtém-se ˙ ∗ = Q F˙ K T + QF ˙ K T . F ˙ = LF , que substitu´ıdo na u´ltima equa¸caõ Considerando as eqs. 2.34 e 2.49 tem-se F destacada produz ˙ K T = QLQT QF K T + QQ ˙ T QF K T = QLQT F ∗ + QQ ˙ T F ∗ , L∗ F ∗ = QLFK T + QF devendo-se a u´ltima igualdade a` eq. 2.79. Pós-multiplicando a u ´ltima equa¸cão destacada ∗ −1 por (F ) e usando a eq. 2.72 obtém-se, ent˜ ao, L∗ = QLQ T + Ω .

(2.82)

Considerando a decomposi¸ cão de L em sua parte simétrica D (tensor estirante, eq. 2.52) e antissimétrica W (tensor rotativo, eq. 2.53), tem-se L = D + W (eq. 2.51), portanto a eq. 2.82 pode ser escrita D∗ + W ∗ = Q(D + W )QT + Ω 109

de onde, separando os termos simétricos e antissimétricos (a eq. 2.73 mostra que Ω é antissimétrico), obtém-se D∗ = QDQ T

e

W ∗ = QW QT + Ω .

(2.83)

Portanto, a terceira entre as eqs. 2.69 mostra que, enquanto que os tensores gradiente espacial da velocidade L e rotativo W não são objetivos em rela¸caõ a uma transforma¸caõ euclideana, o tensor estirante D é objetivo em rela¸cão a esta transforma¸cão. Seja u(x, t) um campo vetorial objetivo, em rela¸cão a` transforma¸cão euclideana. De acordo com a segunda entre as eqs. 2.69 tem-se, ent˜ ao,

u∗ (x∗ , t∗ ) = Q(t)u(x, t).

(2.84)

Lembrando que, de acordo com o in´ıcio da subse¸ cão 2.6.1, : (x, t) (x∗ , t∗ ), tem-se u∗(x∗ , t∗ ) = u∗ ( (x, t)), logo x u∗ ( ( , t)) = x u∗ ( , t∗ ) x ( , t) = x u∗ ( , t∗ )Q(t) onde, para a pen´ ultima igualdade, foi utilizado o coment´ ario 1.3.5, sobre diferencia¸caõ em cadeia, enquanto que para a u´ltima foi usada a primeira entre as eqs. 2.61. Logo,

∗

∇

∗·

∇

∗

∗

∗

∗ → · ∇ ∗ · ∇

·

∗

∗

∇xu (∗(·, t)) = ∇x u (·, t )Q(t). Por outro lado, aplicando ∇x a` eq. 2.84 tem-se ∇xu (∗(·, t)) = Q(t)∇xu(·, t) ∗

∗

e, igualando os segundos membros das duas u´ltimas equa¸co˜es destacadas, obtém-se ∗

∗

∇x u (·, t ) = Q(t)∇xu(·, t)Q ∗

T

(t), ou (gradu)∗ = Q(gradu)QT .

(2.85)

Portanto, se u(x, t) for um campo vetorial objetivo, gradu será um campo tensorial de segunda ordem objetivo. Analogamente, demonstra-se que, se f for um campo tensorial objetivo de grau n, então gradf será um campo tensorial objetivo de grau n + 1. Mas a eq. 2.84 mostra que a derivada ∂ ∂tu não é objetiva. Por outro lado, reescrevendo a eq. 2.84 na configura¸ cão referencial, u∗ (X∗ , t∗ ) = Q(t)u(X, t) e calculando tanto a derivada temporal, quanto o gradiente em rela¸ cão a X , obtém-se u˙ ∗ = Q u˙ + Q˙ u e (Gradu)∗ = Q(Gradu)K T , (2.86) onde

∇X (κ

−1

φ∗ (κφ

·

( ))) = K , de acordo com a eq. 2.78. Portanto, embora u(X, t) seja

um vetor objetivo em rela¸caõ a` transforma¸caõ euclideana, tanto a sua derivada temporal material, que é o vetor u˙ , quanto o tensor de segunda ordem Gradu, não são objetivos em rela¸caõ a esta transforma¸cão. Seja, agora, um campo escalar objetivo ψ, logo ψ ∗ = ψ, de acordo com a primeira entre as eqs. 2.69. Obtém-se, de modo an´ alogo ao efetuado para o campo vetorial u , que ψ˙ ∗ = ψ˙ , (gradψ)∗ = Q(gradψ)

e

(Gradψ)∗ = K (Gradψ),

(2.87)

˙ gradψ são objetivos em rela¸cão a` transforma¸caõ euclideana, enquanto que portanto ψ e Gradψ não é objetivo em rela¸caõ a esta transforma¸caõ. 110

2.6.4

Derivada Temporal Corotacional

A derivada temporal corotacional de um campo vetorial pode ser definida por 1 ◦ u= lim (u(t + h) h→0 h

− P (t + h)u(t)),

(2.88)

→

onde a transforma¸cão linear P : V V é o tensor de rota¸cão relativa Rt apresentado na se¸caõ 2.5.2, ou seja, onde impõe-se P (τ ) = Rt (x, τ ). Portanto, P (t + h) aplica ao vetor u(t) a tendência de rota¸caõ existente no ponto x = χ(t) (x, t + h) (eq. 2.41) que corresponde ao instante t + h, relativa ao ponto x no instante t. O vetor resultante é subtra´ıdo do vetor u (t + h). Mas, ao se fazer h 0, tende-se ao mesmo instante e ponto, ◦ indicando u a velocidade de altera¸caõ do vetor u em rela¸cão a` sua velocidade de rota¸caõ devida ao movimento do corpo. Como R t (x, t + h) = R t (x, t) + hR˙ t (x, t) + o(2) (defini¸caõ de derivada), Rt (t) = 1 (subse¸cão 2.5.2) e R˙ t (t) = W (t) (eq. 2.53), a eq. 2.88 pode ser escrita 1 ◦ ou u= lim (u(t + h) u(t) hW (t)u(t)) , h→0 h

→

−

◦

−

u= u˙

− W u

(2.89)

A eq. 2.89 indica, portanto, que a derivada temporal corotacional de um campo vetorial é a diferen¸ca entre a derivada temporal do campo e o resultado da aplica¸ cão do tensor rotativo ao campo vetorial (nesta equa¸caõ, evidentemente todos os termos se referem ao mesmo instante e ao mesmo ponto). Se o campo vetorial u for objetivo em rela¸caõ a` transforma¸caõ euclideana, ent˜ ao, de acordo com a segunda entre as eqs. 2.69, ∗ oes e a segunda entre u∗(t∗ ) = Q(t)u(t) e u˙ = Q˙ u + Qu˙ . Usando estas duas express˜ ◦∗ as eqs. 2.83 obtém-se u = u˙ ∗ W ∗ u∗ = Q˙ u + Qu˙ (QW QT + Ω )Qu. De acordo com ˙ T , logo Ω Qu = QQ ˙ T Qu = Q˙ u, porque Q e´ ortogonal. Substituindo a eq. 2.72, Ω = QQ ◦∗ ◦∗ este resultado na express˜ a o de u obtém-se u = Q(u˙ W u) ou, usando a eq. 2.89,

−

−

−

◦∗

◦

u = Q u . Au ´ ltima equa¸cão destacada mostra que, se o campo vetorial u for objetivo em rela¸caõ à transforma¸caõ euclideana, sua derivada temporal corotacional tamb´ em ser´ a um campo vetorial objetivo. Define-se, também, a derivada temporal corotacional de um campo tensorial de segunda ordem, S , por meio da equa¸caõ ◦

1 (S (t + h) h→0 h

S (t) = lim

T

− P (t + h)S (t)P (t + h))

(2.90)

e prova-se que impor P (τ ) = R t (x, τ ), na eq. 2.90, implica em que ◦

˙ S = S

− W S + SW . ◦

A partir da u´ltima equa¸caõ destacada demonstra-se que, se S for ob jetivo, S será ob jetivo.

111

Cap´ıtulo 3 Balanceamento 3.1

Equa¸c˜ oes de Balanceamento

3.1.1

Equa¸co ˜es de Balanceamento na Configura¸c˜ ao Corrente

A forma integral para balanceamento cl´ assico na configura¸ ca õ corrente, de qualquer grandeza material ψ, é d dt



P t

ψ dv =



∂ Pt

Φ ψ [n] da +



P t

σψ dv .

(3.1)

Na eq. 3.1: 1.

P ⊂ B, sendo P a imagem da configura¸caõ corrente de P no instante t e impondose que P seja regular (o significado de regular é apresentado na defini¸ cão de classe C 1.3.7). O s´ımbolo ∂ P representa a superf´ıcie que separa P do restante de B . Note que, embora a região P varie com o tempo, ela sempre corresponde aos mesmos pontos materiais X ∈ B , qualquer que seja o instante t, analogamente ocorrendo com ∂ P . Por isto, P e ∂ P são respectivamente denominadas imagens t

t

k

t

t

t

t

t

t

t

da configura¸caõ corrente de uma região material e de uma superf´ıcie material, enquanto que dtd P t ψ dv é a derivada uńica de uma fun¸caõ temporal.



2. v representa volume, a simboliza área e n (x, t) é um campo vetorial de norma igual à unidade, perpendicular a ∂ t e que aponta para fora da regi˜ ao t .

P

P

3. A descri¸cão espacial (subse¸ cão 2.4.2) ψ(x, t) e o seu suprimento mecânicocl´ assico dentro de t , simbolizado σψ (x, t), são campos tensoriais de ordem m, anico-cl´ assico de ψ(x, t) através de ∂ t , representado enquanto que o fluxo mecˆ por Φ ψ (x, t), é um campo tensorial de ordem m +1. Como indicam seus nomes, suprimentos e fluxos mecˆ anico-clássicos são explicados por meio de modelos cl´ assicos do comportamento da matéria.

P

P

4. A aplica¸cão de Φ ψ a n é descrita na nota¸ caõ para aplica¸cão de tensor a tensor 1.2.6. 5. Existem fluxos e suprimentos mecˆ anico-estat´ısticos, os quais são explicados por meio de modelos estat´ısticos do comportamento da matéria, mas eles n˜ ao aparecem na eq. 3.1. Eles apareceriam, como parcelas aditivas, no segundo membro dela, o 112

que a tornaria mais abrangente. Mas este texto limita-se ao enfoque cl´ assico da matéria. Como exemplos de fluxos e suprimentos mecˆ anico-clássicos pode-se citar o fluxo de massa (por defini¸ cão, inexiste suprimento mecˆ anico-clássico de massa), bem como fluxos e suprimentos de momento linear, momento angular, energia cinética, energia interna e energia total. Como exemplo de fluxo mecˆ anico-estat´ıstico podese mencionar o fluxo difusivo, para o caso de solu¸cões com ou sem rea¸cão qu´ımica e, como exemplo de suprimento mecˆ anico-estat´ıstico, pode-se lembrar suprimentos de massa de espécies qu´ımicas distintas, decorrentes de rea¸ cões qu´ımicas.

P

A eq. 3.1 mostra que, no instante t e em t , a velocidade de altera¸cão da grandeza d e o resultado da adi¸caõ de duas parcelas: P t ψ dv, dada por dt P t ψ dv , ´





P no instante t, através de ∂ P , dada por

a velocidade de ingresso ou egresso de ψ em e ∂ Pt Φ ψ nda



t

t



P

a velocidade de cria¸cão ou aniquila¸cã o de ψ em t no instante t, dada por P t σψ dv, onde o suprimento σψ pode ser devido a fontes externas e também internas, estas u ´ ltimas causadas pelo movimento do corpo. São chamadas conservativas as grandezas para as quais os correspondentes suprimentos s˜ ao devidos exclusivamente a fontes externas. Esta denomina¸ cão provém do fato de que, quando isto acontecer, para qualquer regi˜ ao material isolada (separada do restante do corpo por meio de uma superf´ıcie material ∂ imperme´ avel a` matéria e a` energia) ocorrer´ a a conserva¸caõ de P t ψ dv . A lei cl´ assica de conserva¸c˜ ao de P t ψ dv é um conjunto de condi¸ co˜es suficiente para que

B

∀x ∈ ∂ P , ∀x ∈ P ,

P

P





Φ ψ (x, t) = 0 e

σψ (x, t) = 0.

Entretanto, poderiam ser criados v´ınculos entre parcelas de Φ ψ e σψ que garantissem a conserva¸cão temporal de P t ψ dv sem que se tivesse Φ ψ = σψ = 0 na eq. 3.1, ou seja, a lei clássica de conserva¸cão poderia n˜ ao ser necess´ aria para que ocorresse a conserva¸caõ de P t ψ dv . Por outro lado, se existirem fluxos ou suprimentos mecˆ anico-estat´ısticos, impor Φ ψ = σψ = 0 na eq. 3.1 pode ser insuficiente para que ocorra a conserva¸ cão de P t ψ dv. Neste caso, a lei clássica de conserva¸cão dever´ a ser substitu´ıda por outra lei, n˜ ao apenas cl´ assica, que seja suficiente para garantir a mencionada conserva¸ cão. Porém, só quando a grandeza a alguma lei de conserva¸caõ (apenas cl´ assica ou não), ou seja, φ for conservativa existir´ só quando não existirem fontes internas de suprimento para φ. O teorema de transporte coloca que







d dt V (t)





∂ψ ψ dv = dv + V V ∂t



∂V

ψ un da ,

onde

(3.2)

⊂ E|V (t) é regular, ∂V (t) é a superf´ıcie que separa V (t) do restante de E e x não mais simboliza a representa¸cão corrente do ponto X do corpo B , mas apenas um ponto pertencente ao subconjunto V (t) do espa¸co euclideano de pontos. 113

v representa volume, a simboliza area á rea e o escalar un (x, t) é a norma do componente, perpendicular a` supe su perf´ rf´ıcie ıc ie ∂V ( ∂V (t), do vetor velocidade de um ponto x ∂V ∂ V ((t). Tal norma ser´ a afetada por sinal positivo quando o componente for dirigido para fora de V ( V (t) e por sinal negativo em caso contr´ ario. ario.

∈

ψ (x, t) é um campo tensorial suave (o significado de suave é apresentado na defini¸ cão ao k de classe C 1.3.7) para todo ponto interior a V ( V (t) (logo, ψ (x, t) n˜ ao ao precisa ser suave para todo ponto em ∂V ( ∂V (t)). Deve-se Deve-se notar que o teorema de transporte é uma vers˜ versao ˜ tridimensional da conhecida f´ ormula ormula de Laplace do cálculo, alculo, d dt



f (t)

g (t)

ψ (x, t)dx = dx =



f (t)

g (t)

∂ψ dx + ψ(f ( f (t), t)f ( f ˙(t) ∂t

− ψ(g(t), t)g˙ (t) ,

(3.3)

onde ψ onde ψ((x, t) precisa ser suave no intervalo aberto (defini¸ c˜ cao aõ de subconjunto aberto 1.3.1) (g (t), f ( ao se exigindo suavidade nos pontos terminais do intervalo, g intervalo, g((t) e f ( f (t)), não f (t). No caso particular de V ( V (t) ser uma imagem t de uma região ao material, como a superf´ superf´ıcie

P

∂V ( ∂V (t) ser´ a imagem de uma superf´ superf´ıcie material ter-se-´ a un (x, t) = x˙ (x, t) n(x, t), onde cão a o corrente do ponto X do corpo e x˙ é o vetor vet or x voltou a simbolizar a representa¸c˜ veloci velocidade dade definid definidoo pela eq. 2.27. 2.27. Neste Neste caso, a eq. 3.2 pode ser escrita, escrita, utilizando utilizando a descri¸c˜ cao ão espacial (subse¸c˜ cao ão 2.4.2) da grandeza ψ , o que exige o uso das imagens das configura¸c˜ coes o˜es correntes da regi˜ ao ao e da superf´ superf´ıcie material, respectivamente t e ∂ t ,

B

d dt



P t

ψ dv = dv =



P t

∂ψ dv + dv + ∂t



Pt ∂ P

·

P

·

ψ (x˙ n) da .

P P

(3.4)

Como um exemplo de aplica¸c˜ cao aõ da eq. 3.4 suponha ψ = 1, o que reduz esta equa¸c˜ cao aõ a

 

d x˙ n da . dv = dv = dt P t ∂ P Pt Definindo V Definindo V ((t) = P t dv e lembrando o item 2 do teorema 1.3.3 (teorema (teore ma da divergˆ encia) encia) tem-se, então, ao, dV = div x˙ dv . (3.5) dt P t Se o movimento for inco se in comp mpre ress´ ss´ıvel ıvel, ou seja, se o volume de qualquer parte de mantiver constante durante o movimento, ent˜ ao, ao, como o integrando integra ndo é cont´ cont´ınuo (sup˜ oeoese que o vetor acelera¸c˜ cao aõ possa ser definido), de acordo com o teorema 1.3.4 (fun¸c˜ cao aõ identicamente nula em ) a divergˆ encia encia da velocidade dever´ a ser nula, ou seja,



·



P

E

div x˙ = 0.

(3.6)

Note que, ao contr´ ario do que ocorre para a eq. 3.1, a satisfa¸c˜ ario cao ão da eq. 3.2 exige que ψ (x, t) seja um campo tensorial suave para todo ponto interior a` regi˜ ao ao de integra¸c˜ cao aõ V ( V (t). Esta exigência, encia, evidentement evidentemente, e, persiste para a eq. 3.4, no que se refere a` regi˜ ao ao de integra¸c˜ cao aõ t , embo e mbora ra o s´ımbolo ımb olo t represente qualquer regi˜ ao regular que seja imagem ao de uma regi˜ ao ao material, ou seja, embora este s´ımbolo n˜ ao ao informe sobre esta exigência encia adicional. adicio nal. Suponha Sup onha agora ag ora que, que , ao invés es de ψ de ψ((x, t) ser um campo tensorial tensorial suave suave para todo ponto interior a t , ele sofresse uma descontinuidade desc ontinuidade finita nos pontos p ontos de uma superf sup erf´´ıcie

P

P

P

114

orientada , interior a t , a qual, de acordo com a defini¸c˜ cão ao de classe C k 1.3.7, seria portanto uma superf´ superf´ıcie singular em rela¸ c˜ cao ão ao campo tensorial ψ (x, t). Neste caso, em o campo sofreria a descontinuidade finita o

S

P

S

+

= ψ − ψ ψ = ψ

−

(3.7)

sendo, em cada ponto x , ψ + (x) e ψ − (x) os valores limites do campo, dos dois lados de . Seja uma uma especial regi˜ ao ao t com, no máximo, aximo, uma descontinuidade finita de campos tensoriais sobre uma unica uńica superf´ sup erf´ıcie ıcie interna . Imponha-se, portanto, que todos os campos tensoriais considerados sejam suaves suaves em . Embora seja seja uma regi˜ ao ao t especial, ainda ainda não ao é suficiente su ficientemente mente espec esp ec´´ıfica para garantir gara ntir que q ue a eq. 3.4 3 .4 seja se ja aplic´ a plic´ avel. Porém, em, assim como co mo a eq. 3.4 foi escrita esc rita usando-se t e admitindo-se uma restri¸c˜ cão ao adicional não ao explicitada explicitada neste s´ımbolo, ımbolo, nada impede que ela seja grafada usando-se e admitindo-se uma an´ aloga aloga restri¸c˜ cão ao adicional. + Considere que o limite ψ aconte¸ca ca na subregi˜ ao ao + e que o limite ψ− esteja na subregião ao − . Não ao se impõe oe que a sup s uperf´ erf´ıcie ıci e seja seja material. Portanto, Portanto, os pontos do corpo correspondentes correspondentes a` descontinu descontinuidade idade finita de ψ de ψ((x, t) não ao precisam ser os mesmos em cada momento, ao contr´ ario do que ocorre com os pontos de ∂ . Logo, ario Logo, o escalar escalar velocida velocidade de un (x, t), com que cada ponto de se se move, n˜ ao ao precisa ser x˙ n. A super sup erff´ıcie ıc ie ´ é orie or ient ntad adaa de modo a que u que un (x, t) seja positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido + para . Nestas condi¸c˜ cões, oes, o teorema de transporte pode ser aplicado separadamente as ` − + duas subregi˜ oes oes e , obtendo-se respectivamente

∈ S

S V

P

S V − S P

V

V

V

V

V

S

V V ·

S

V

d dt d dt

 

V

V +

V

−

V

ψ dv = ψ dv =

 

V +

V

−

P

∂ψ dv + dv + ∂t ∂ψ dv + dv + ∂t

 

V )+ (∂ V

V ) (∂ V

−

· ψ (x˙ · n) da +

ψ (x˙ n) da +

S

  S

S

ψ + ( un )da,

−

e

ψ − un da .

Somando estas duas igualdades e usando usand o a eq. 3.7 obtém-se em-se d dt





∂ψ ψ dv = dv + dv + V V ∂t



∂ V V

ψ (x˙ n) da

·

 −  S

ψ un da .

(3.8)

Evidentemen Evidentemente, te, a eq. 3.4 pode ser considerada considerada um caso particular da eq. 3.8, espec´ espec´ıfico para ψ = 0. Igualando os segundos membros das eqs. 3.1 e 3.8, para uma regi˜ ao ao contendo contendo uma superf´ sup erf´ıcie ıci e singul sin gular ar tem-se

 



S

∂ψ dv + dv + V ∂t

V



∂ V V

·

ψ (x˙ n) da

 −  S

ψ un da = da =



∂ V V

Φ ψ [n] da +

 V

σψ dv . (3.9)

Restrinja-se, a partir de agora e até a` eq. 3.11 inclusive, a defini¸c˜ cão ao de ψ de ψ de modo a que ou ψ e σψ sejam escalares, portanto ψ (x˙ n) = (ψ x˙ ) n e Φ ψ [n] = Φ ψ n, logo ψ x˙ e Φ ψ sejam vetores que, na eq. 3.9, fazem produto interno com o vetor n,

·

·

·

⊗

·

ou ψ e σψ sejam vetores, vetores, portanto ψ (x˙ n) = (ψ x˙ )(n) (defini¸c˜ cao aõ de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12) e Φ ψ [n] = Φ ψ (n), logo ψ x˙ e Φ ψ sejam tensores de segunda ordem que, na eq. 3.9, s˜ ao ao aplicados ao vetor n . 115

⊗

No primeiro prime iro caso, é aplicável avel o item 2 do teorema t eorema 1.3.3 (teorema (t eorema da divergˆ d ivergˆ encia) encia) as ` duas integrais sobre ∂ da eq. 3.9, enquanto enquanto que, no segundo caso, é aplic´ avel o item 3 do mesmo teorema, as a`s mesmas me smas integrais. integra is. Obtém-se em-se ent˜ ao, ao, respectivamente,

V V

    V

∂ψ + div(ψ div(ψ x˙ ∂t

V

∂ψ + div(ψ div(ψ ∂t

− Φ ) ψ

  −    −  σψ dv =

⊗ x˙ − Φ )

S

σψ dv =

ψ

ψ un da e

S

ψ un da .

Lembrando que todo ponto regular r egular é um ponto interno de uma regi˜ ao cons c onstit titu u´ıda apena ap enass por pontos regulares, seja R uma uma regi˜ ao formada exclusivamente por pontos reguao lares e seja x ao, ao, para R R qualquer um dos pontos regulares pertencentes a . Ent˜ as duas ultimas u ´ ltimas equa¸c˜ coes o˜es destacadas respectivamente indicam que

V ⊂ V

∈ V

   

V

V R

∂ψ + div(ψ div(ψ x˙ ∂t

V R


− Φ ) − σ ψ

ψ



⊗ x˙ − Φ ) − σ ψ

V

dv = 0 e

ψ



dv = dv = 0.

(3.10)

A partir de agora apenas a eq. 3.10 ser´ a utilizada, porque convenciona-se que o s´ımbol bolo ψ

⊗ ˙ deve ser entendido como ψ ˙ , quando ψ for escalar, x

x

sendo ψ x˙ denominado fluxo convectivo de d e ψ . Como o integrando é cont´ cont´ınuo, de acordo com o teorema 1.3.4 (fun¸ c˜ ao ao identicamente nula em ) obtém-se, em- se, então, ao, a equa¸c˜ cão ao de balanceamento em um ponto regular, também em c˜ ao ao de camp ca mpo o, chamada equa¸c˜

⊗ E


⊗ x˙ − Φ ) − σ ψ

ψ

= 0.

(3.11)



Conforme a subse¸c˜ cao aõ 3.1.1, a lei clássica assica de conserva¸c˜ cão a o de P t ψ dv ´ dv é um conjunto conju nto de condi¸c˜ coes o˜es suficiente para que Φ ψ = σψ = 0, na eq. 3.1. Eviden Evidentem tement ente, e, em termos termos da eq. 3.11 esta lei pode ser descrita como um conjunto de condi¸c˜ coes o˜es suficiente para que, x tenha-se se divΦ ψ (x, t) = σ ψ (x, t) = 0. t , tenhaVolte, a partir de agora, a considerar que ψ (x, t) seja um campo tensorial de ordem arbitrária aria m e suponha um ponto singular qualquer x . Logo, Logo, imp˜ imp˜ oe-se oe-se apenas que , sendo uma superf´ıcie ıcie interna em na qual ψ , Φψ e σψ podem apresentar x descontinu descontinuidades idades finitas. Seja S uma uma regi˜ ao ao que contém em o ponto singular x e seja S s = S . Mantenha a area s a´rea s inalterada inalterada enquanto que o volume de S S S tende para zero, − + ou seja, fa¸ca ca (∂ S para s.. Deseja-se encontrar a forma para a qual S ) e (∂ S S ) tenderem para s tenderá a eq. 3.9, quando S limite. Para Para isto, isto, deve-se deve-se lembrar lembrar que o S tender para este limite. escalar un é positivo positivo quando o correspondente correspondente vetor velocidade for dirigido dirigido para + e deve-se impor que, no limite considerado, n também em seja dirigido dirig ido para + (ao contr´ ario ario de ser sempre dirigido para fora de S S , o que seria coerente com o segundo esclarecimento após os a eq. 3.1 mas, no limite considerado, deixaria indeterminado o sentido de n). Para encontrar a desejada forma da eq. 3.9, ela deve ser discutida termo a termo:

∀ ∈ P

∈ S S V ∩ S V V

V ⊂ V

V

∈ V

V

V V V

V

V

116

V

V , obtém-se que

1. Considerando que ∂ψ/∂t e σψ são finitos em



lim

V S →0 V S

∂ψ dv = lim V S →0 ∂t



V S

S

σψ dv = 0 .

2. Lembrando que χ κ (X, t) não precisa ser suave, embora precise ser cont´ınua, considere a possibilidade de que a descontinuidade finita do campo tensorial ψ, na a´rea s, por motivo f´ısico cause uma descontinuidade finita da velocidade x˙ nesta mesma área, dada por x˙ = x˙ + ˙x− (por exemplo, suponha que a a´rea s perten¸ca a uma frente de onda ac´ ustica que se propague num l´ıquido em movimento). Definindo ψ (x˙ n) = ψ + (x˙ + n) ψ − (x˙ − n) tem-se, então,

 



− · −

· 

lim



V S →0 ∂ VS

·

ψ (x˙ n) da =

 s

·

+

+

[ψ (x˙

· n) − ψ

−

(x˙

−

· n)] da =

  s

· 

ψ (x˙ n) da .

3. Considerando que a descontinuidade finita do campo tensorial ψ, na área s, cause uma descontinuidade finita do campo tensorial fluxo de ψ, nesta mesma a´rea, grafada Φ ψ = Φ ψ+ Φ ψ− , tem-se

 

−

lim



V S →0 ∂ V S

Φ ψ [n] da =

 s

(Φ ψ

 

−

+

− Φ ) [n] da = ψ

s



Φ ψ [n] da .

−

Lembrando que ψ = ψ +

  − ψ e definindo ψ(x˙ · n − u ) = ((x˙ · n) − ψ +

n

+

− (ψ

un )

−

(x˙ − n)

· −ψ

−

un ) ,

a forma limite da eq. 3.9 pode então ser escrita

 { s

ψ(x˙ n

· − u ) − Φ [n]} da = 0. n

ψ

(3.12)

Como o integrando é cont´ınuo, de acordo com o teorema 1.3.4 (fun¸ cão identicamente nula em ) obtém-se, então, a equa¸caõ de balanceamento em um ponto singular, tamb´ em ao de Rankine-Hugoniot chamada equa¸c˜

E

ψ(x˙ · n − u ) − Φ [n] = 0 . n

ψ

Definindo os dois escalares velocidades locais de propaga¸c˜ ao, de corpo em movimento U ± = u n x˙ ± n ,

(3.13)

S em rela¸caõ ao

− ·

logo

ψ U  = (ψ

+

un

−ψ

+

(x˙ + n))

·

− (ψ

−

un

−ψ

−

(x˙ − n)) =

·

(3.14)

−ψ(x˙ · n − u ) , n

a eq. 3.13 pode ser escrita

ψ U  + Φ [n] = 0 . ψ



(3.15)

Conforme a subse¸caõ 3.1.1, a lei clássica de conserva¸cã o de P t ψ dv é um conjunto de condi¸co˜es suficiente para que Φ ψ = σψ = 0, na eq. 3.1. Evidentemente, em termos das eqs. 3.13 e 3.15 esta lei pode ser descrita de igual modo. Se for uma superf´ıcie material ter-se-á x˙ ± = x˙ . Al´ em disto, conforme já afirmado logo ap´ o s a eq. 3.3, neste caso un = x˙ n. Portanto, de acordo com a eq. 3.14, neste caso U ± = 0 e, considerando a eq. 3.15, Φ ψ [n] = 0 (no caso de Φ ψ ser um tensor, ele não pode ser descont´ınuo e, no caso de Φ ψ ser um vetor, ou ele é cont´ınuo, ou a sua descontinuidade é perpendicular a n).

S

·

 

117

3.1.2

Equa¸co ˜es de Balanceamento na Configura¸c˜ ao Referencial

Para qualquer grandeza material ψ, sua forma integral para balanceamento cl´ assico na configura¸ca õ referencial deve ser uma express˜ ao com o mesmo formato matem´ atico da equa¸caõ 3.1, porque tal formato reflete um significado f´ısico que n˜ ao pode ser alterado ao se passar de uma configura¸ caõ corrente para a configura¸cão referencial. Tem-se, portanto, d ψκ dvκ = σκψ dvκ , (3.16) Φ κψ [nκ ] daκ + dt P κ P κ ∂ Pκ onde κ é a imagem da configura¸cão referencial de , sendo κ regular (o significado de regular é apresentado na defini¸ cã o de classe C k 1.3.7). Evidentemente, a imagem da configura¸cão referencial, κ , de uma região material, é uma fun¸cão constante de t, o mesmo ocorrendo com a imagem da configura¸caõ referencial, ∂ κ , de uma superf´ıcie material, ao contr´ ario do que acontece com as correspondentes imagens das configura¸ cões correntes, respectivamente t e ∂ t (subse¸caõ 3.1.1). Note que, até este ponto do texto, o ´ındice κ apareceu em , χ, F , nas descri¸co˜es material e espacial (subse¸cão 2.4.2) da derivada temporal de F e, somente na subse¸caõ 2.1.2, também em e, da e dv. Exclusivamente na subse¸ caõ 2.1.3 encontra-se o ´ındice κ, em F e χ. Em todos estes casos, o significado do uso do ´ındice κ, ou κ, foi claramente explicitado. Para que isto também ocorra em rela¸ cão a` eq. 3.16, deve-se inicialmente lembrar que, de acordo com o colocado na subse¸ cão 2.4.2, a eq. 2.30, a saber Q = f (x, t) = f (χκ (X, t), t) = f (X, t), em mecˆ anica dos meios cont´ınuos é escrita f = f (X, t) = f (x, t), embora a eq. 2.30 explicite que f = f . Assim como κ e ∂ κ respectivamente diferem de t e ∂ t , as eqs. 2.9 mostram que dvκ e daκ respectivamente diferem de dv e da. Por isto, de acordo com a conven¸caõ lembrada no par´ agrafo anterior e com a exigência de que as eqs. 3.1 e 3.16 sejam ambas satisfeitas, tem-se







P

P⊂B

P

P

P

P

P

B





P

P

 

P





P

ψκ (X, t) = ψ(X, t) = ψ(x, t) , Φ κψ (X, t) = Φ ψ (X, t) = Φ ψ (x, t) e σκψ (X, t) = σψ (X, t) = σ ψ (x, t) .

  

(3.17)

P

Como a imagem da configura¸caõ referencial, κ , de uma região material, matematicamente identifica tal regi˜ ao, a eq. 3.16 matematicamente identifica o que ocorre na regi˜ ao material. Por isto, ψκ (X, t) = ψ(X, t) , Φ κψ (X, t) = Φ ψ (X, t) e σκψ (X, t) = σψ (X, t) ,

(3.18)

o que indica que é a descri¸ cão material das fun¸co˜es indexadas por κ, nã o a descri¸caõ material das fun¸cões n˜ ao indexadas, que pode ser igualada a`s correspondentes grandezas materiais. Para prosseguir, deve-se utilizar as eqs. 2.9, a saber n da = JF −T nκ daκ e dv = J dvκ . Considere que:

| |

1. Como da é um escalar, aplicar um tensor ou um vetor a n e, depois, multiplicar o resultado por da é o mesmo que aplicar um tensor ou um vetor a nda. Analogamente em rela¸cão a daκ e nκ . 118

2. Para impor que nκ aponte sempre para fora da regi˜ ao κ , analogamente ao que foi imposto para n, ao invés de, em termos da igualdade n da = JF −T nκ daκ , o vetor nκ corresponder ao vetor n, deve-se substituir, nesta igualdade, J por J . De fato, enquanto que o vetor axial nκ daκ transforma-se em concordˆ ancia com esta u´ltima igualdade, o vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos do espa¸co euclideano de pontos, dX, transforma-se de acordo com a express˜ ao dx = F dX (eq. 2.8). Conforme a subse¸cão 2.1.2, a transforma¸cã o de nκ daκ pode ser escrita F dX1 F dX2 = (det F )F −T (dX1 dX2 ). Se, ao invés de F , tivéssemos um tensor ortogonal Q, como Q = Q −T e det Q = 1 ter´ıamos QdX1 QdX2 = Q(dX1 ao esta coerente com a utiliza¸caõ da defini¸caõ de produto vetorial dX2 ), express˜ 1.2.38 na nota¸caõ para vetor associado a tensor antissimétrico 1.2.9. De acordo com o coment´ ario 1.2.33, sobre propriedades do tensor ortogonal, a transforma¸ cão ortogonal preserva as normas dos vetores e os angulos ˆ entre eles.

P

| |

×

×

±

×

±

×

Adicionalmente, a transforma¸cão ortogonal pr´ opria (det Q > 0) preserva também o sentido de rota¸caõ (p.e., de 1 para 2 nos dois casos), enquanto que a imprópria (det Q < 0) reverte o sentido de rota¸ca˜ o (de 1 para 2 em um caso e de 2 para 1 no outro). Analogamente, embora a aplica¸ cão do gradiente de deforma¸cão F não preserve as normas dos vetores e os aˆngulos entre eles, se o sentido de rota¸caõ for de dX1 para dX2 e de F dX1 para F dX2 (ou de dX2 para dX1 e de F dX2 para F dX1 ), ter-se-á det F > 0 e os vetores axiais n e nκ apontar˜ ao, ambos, ou para fora, ou para dentro das respectivas regi˜ oes materiais (de acordo com as defini¸co˜es de nκ e ao para fora). Caso contr´ ario, ter-se-´ a det F < 0 e, enquanto um n, ambos apontar˜ vetor apontar´ a para dentro, o outro apontar´ a para fora (ou a defini¸caõ de nκ , ou a defini¸cão de n será violada). Por isto, deve-se impor que n da = J F −T nκ daκ .

||

3. No caso espec´ıfico de Φ ψ ser um vetor, para o primeiro termo do segundo membro da equa¸caõ 3.1 tem-se



∂ Pt

Φ ψ [n]da =

 | | ∂ Pκ



∂ Pt

·

  | |

Φ ψ n da =

J F −1 Φ ψ nκ daκ =

·

∂ Pκ

∂ Pκ

Φ ψ

−T

· |J |F

nκ daκ =

J F −1Φ ψ [nκ ]daκ .

Usando os três itens anteriores, a compara¸ cão entre as eqs. 3.16 e 3.1 indica que ψκ = Φ κψ = Φ κψ = σκψ =

| J | ψ | J | Φ F | J | F Φ | J | σ

−T

ψ

−1

ψ

ψ

onde ψκ é um tensor de ordem m, se Φ κψ for um tensor de ordem m + 1 > 1, se Φ κψ for um vetor e onde σκψ é um tensor de ordem m.

(3.19)

Como o teorema de transporte se refere a qualquer regi˜ ao regular, V (t), pertencente a um espa¸co euclideano de pontos e a qualquer campo tensorial suave em todo ponto interior a V (t), este teorema é v´ alido tanto para a descri¸caõ espacial, quanto para a descri¸cão material do campo tensorial. Portanto, usando na eq. 3.2 o tensor ψ κ (X, t), ao invés do tensor ψ(x, t), pode-se escrever d dt



V

ψκ dvκ =



V

ψ˙ κ dvκ + 119



∂V

ψκ U κ daκ ,

onde X não mais simboliza a representa¸caõ referencial do ponto X do corpo , mas apenas um ponto pertencente ao subconjunto V (t) do espa¸co euclideano de pontos, enquanto que o escalar U κ (X, t) é a norma do componente, perpendicular a` superf´ıcie ∂V (t), do vetor velocidade de um ponto X ∂V (t). Tal norma ser´ a afetada por sinal positivo quando o componente for dirigido para fora de V (t) e por sinal negativo em caso contr´ ario. Analogamente ao que foi feito ap´ o s a eq. 3.2 pode-se, agora, impor que V (t) seja a imagem κ de uma regi˜ ao material ou, desde j´ a, impor que V (t) seja a imagem κ de uma regi˜ ao material. Isto implica em que X volte a simbolizar a imagem, na configura¸ caõ referencial, do ponto X do corpo . Neste caso, como κ e ∂ κ são fun¸co˜es constantes de t, tem-se ˙ n = 0, já que X ˙ = 0. Logo, a u U κ = X ´ ltima equa¸caõ destacada produzir´ a, analogamente à eq. 3.4 mas para a descri¸cão material (subse¸caõ 2.4.2) da grandeza ψ, o que exige o uso da imagem κ da configura¸cão referencial da regi˜ ao material, imagem esta na qual o campo ψκ seja suave, a igualdade

B

∈

P

V

B

·

V

V

V

d dt



V κ



ψκ dvκ =

ψ˙ κ dvκ .

V κ

(3.20)

S (t) movendo-se dentro da região V , analogamente

Se existir uma superf´ıcie singular à eq. 3.8 obtém-se



d dt

κ



ψκ dvκ =

V κ

κ

V κ

ψ˙ κ dvκ

 −

S κ (t)

ψ  U da κ

κ

κ

,

(3.21)

onde ψκ = ψ κ+ ψκ− . O escalar U κ ter´ a sinal positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para a regi˜ ao que apresentar ψ κ+ como valor limite de ψ κ , quando X se aproximar de κ (t) e, caso contr´ ario, ter´ a sinal negativo. Igualando o segundo membro da eq. 3.21 ao segundo membro da eq. 3.16, mas para κ = κ e ∂ κ = ∂ κ nesta u ´ltima equa¸caõ, tem-se

 

−

S



V κ

ψ˙ κ dvκ

 −

S κ (t)

ψ  U da = κ

κ

κ



∂ Vκ

Φ κψ

[nκ ] daκ +

P V

P



V κ

σκψ dvκ ,

que é a igualdade an´ aloga a` eq. 3.9. Restrinja-se, apenas neste par´ agrafo, a ordem m de ψκ , impondo-se m

V

(3.22)

≤ 1. Aplicando

o item 2 ou o item 3 do teorema 1.3.3 (teorema da divergência),respectivamente quando Φ κψ é um vetor (ψκ e σκψ s˜ ao escalares) ou Φ κψ é um tensor de segunda ordem (ψκ e σκψ são vetores), obtém-se



V κ

˙ κ (ψ

−

DivΦ κψ

−

σκψ ) dvκ

=



S κ (t)

ψ  U da κ

κ

κ

.

Lembrando que todo ponto regular é um ponto interno de uma regi˜ ao constitu´ıda apenas por pontos regulares, seja κR ao formada exclusivamente por pontos κ uma regi˜ R regulares e seja X ao, κ . Ent˜ κ qualquer um dos pontos regulares pertencentes a R κ

V

para

∈ V

V ⊂ V

au ´ ltima equa¸caõ destacada indica, analogamente a` eq. 3.10, que



V κR

˙ κ (ψ

ψ κ

ψ κ ) dvκ

− DivΦ − σ 120

= 0.

V

(3.23)

Como o integrando é cont´ınuo, usando o teorema 1.3.4 (fun¸ cão identicamente nula em ) obtém-se (3.24) ψ˙ κ DivΦ κψ σκψ = 0 ,

E

−

−

que é an´ aloga a` equa¸caõ de campo 3.11. Duas igualdades u´teis são ∂ψ ψ˙ κ = J ( + div(ψ ∂t

⊗ x˙ ))

DivΦ κψ = J divΦ ψ .

e

(3.25)

Multiplicando a eq. 3.11 por J e usando as eqs. 3.25, a eq. 3.24 pode ser obtida diretamente da eq. 3.11. Retire a restri¸caõ imposta, no par´ agrafo anterior, ao valor da ordem m de ψκ e considere que, no instante t, ψκ , Φ κψ e σκψ possam apresentar descontinuidades finitas S S S num ponto XS κ (t). Seja, no instante t, X κ e seja sκ (t) = κ (t). κ κ Mantenha a a´rea sκ (t) inalterada enquanto que o volume de κS tende para zero, ou seja, fa¸ca (∂ κS )+ e (∂ κS )− tenderem para sκ (t). Deseja-se encontrar a forma para a qual tender´ a a eq. 3.22, quando κS tender para este limite. Para isto, deve-se lembrar que o escalar U κ é positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para (∂ κS )+ e deve-se impor que, no limite considerado, n κ também seja dirigido para (∂ κS )+ (ao contr´ ario de ser sempre dirigido para fora de κS , o que seria coerente com a segunda considera¸cão ap´ os a eq. 3.16 mas, no limite considerado, deixaria indeterminado o sentido de nκ ). Para encontrar a desejada forma da eq. 3.22, ela deve ser discutida termo a termo:

∈ S

V

∈ V ⊂ V

V

V ∩ S

V

V

V

V

V

1. Lembrando que ψ˙ κ e σκψ são finitos em lim S

V κ →0



V κS

S κ

V , tem-se

ψ˙ κ dvκ = lim S

V κ →0



V κS

σκψ dvκ = 0.

2. Por outro lado, lim S

V κ →0



∂ V κS

Φ κψ

[nκ ] daκ =

  sκ

Φ κψ [nκ ] daκ , onde



ψ κ

ψ + κ

ψ − κ

Φ  = (Φ ) − (Φ )

.

Portanto, neste limite a eq. 3.22 pode ser escrita

  sκ

( ψκ U κ + Φ κψ [nκ ] ) daκ = 0.



 

Como o integrando é cont´ınuo, usando o teorema 1.3.4 (fun¸ cão identicamente nula em ) chega-se a ψκ U κ + Φ κψ [nκ ] = 0. (3.26)

E

 

 

A eq. 3.26 é análoga a` eq. 3.15. Note que, tanto na descri¸cão espacial como na descri¸caõ material, a descontinuidade finita no campo, respectivamente ψ e ψκ , gera descontinuidade finita no respectivo fluxo, mas a descontinuidade finita na velocidade x˙ , também gerada na descri¸cão espacial, n˜ ao é gerada na descri¸caõ material.

   

121

3.1.3

Compatibilidade Cinem´ atica da Superf´ıcie Singular

Usando a eq. 2.33 e o fato, comentado logo ap´ os a eq. 2.34, de que v = x˙ , tem-se que ˙ Grad x˙ . F = (3.27) A eq. 3.27 é uma condi¸caõ de integrabilidade, ou seja, é a condi¸ caõ de existência de uma fun¸caõ χκ tal que x = χ κ (X, t), conforme colocado pela eq. 2.26. De fato, a eq. 3.27 iguala as derivadas segundas mistas, com ordem reversa de deriva¸caõ, da fun¸cão χκ , porque F = Gradχκ (X, t) e x˙ = ∂χ κ (X, t)/∂t (respectivamente eqs. 2.29 e 2.27, mas trocando s´ımbolos por aqueles apresentados na subse¸ cão 2.4.2). A eq. 3.27 evidencia uma necess´ aria rela¸caõ entre F e x˙ . Como consequência desta rela¸ cão, efetuando uma manipula¸ caõ matemática da eq. 3.27 obtém-se uma necess´ aria rela¸cão entre as descontinuidades finitas de F e x˙ , sobre a superf´ıcie singular. Para isto, deve-se inicialmente considerar a quarta express˜ ao do teorema da divergência 1.3.3, a seguir transcrita,



h

∂ R

V

⊗ n da =

 ∇

h dv .

R

(3.28)

P ⊂ B

Lembrando que κ é a imagem de uma configura¸cão referencial de , imagem esta por hip´ otese regular e que contém, no m´ aximo, uma descontinuidade finita de campos tensoriais sobre uma uńica superf´ıcie singular m´ ovel, κ (t), usa-se a eq. 3.28 para integrar a eq. 3.27 sobre κ , obtendo-se

S

V



V κ

F˙ dvκ =



∂ V κ

x˙

⊗n

κ

daκ .

(3.29)

Entretanto, como a eq. 3.28 exige que o campo v seja suave, a eq. 3.29 exige que F não apresente descontinuidade em κ . Nestas condi¸co˜es, é válida a eq. 3.20, o que permite que a eq. 3.29 seja escrita

V





d x˙ nκ daκ . F dvκ = (3.30) dt V κ ∂ V κ Considere a eq. 3.30 como um caso particular da eq. 3.16 (a qual é v´ alida para tensor ψκ de qualquer ordem m), para

⊗

ψκ = F , o que implica em m = 2, Φ κψ [nκ ] = x˙

⊗n

κ

e

σκψ = 0. Supondo, agora, que F apresente descontinuidade finita na superf´ıcie singular m´ ovel, caõ com a eq. 3.26 obtém-se κ (t), por compara¸

S

U κ F + x˙

   ⊗n

κ

= 0,

(3.31)

c˜ ao de compatibilidade cinem´ atica da superf´ıcie singular. A chamada condi¸ eq. 3.31 mostra que ( x˙ n κ )(nκ ) = (U κ F )(nκ ), ou x˙ = U κ a, onde o vetor a = F nκ é a descontinuidade finita de F , na dire¸cão normal a κ (t) (note que a não precisa ser normal a κ (t)). Usando novamente a eq. 3.31 tem-se, ent˜ ao, que U κ F = x˙ nκ = U κa nκ , logo F = a nκ . Portanto, a eq. 3.31 é equivalente a qualquer uma das duas igualdades



− ⊗

 ⊗



⊗

S

−  

 

  − S

 

⊗

x˙  = −U a κ

e 122

F  = a ⊗ n

κ

.

(3.32)

Tanto a eq. 3.31 como a primeira entre as eqs. 3.32 mostram que as descontinuidades finitas F e x˙ estão relacionadas entre si. Isto é de se esperar, porque a deforma¸ cão ao é descont´ınua na superf´ıcie κ (t), mas nela apresenta um χκ (X, t) evidentemente n˜ ângulo que se reflete em descontinuidades finitas em suas derivadas, descontinuidades estas cuja interrela¸caõ depende de n κ e de U κ (ou seja, depende da dire¸caõ perpendicular à superf´ıcie κ (t) e da velocidade de deslocamento da superf´ıcie nesta dire¸ cão, no ponto de κ (t) e no instante considerados). Tal aˆngulo aparece porque a superf´ıcie singular móvel afeta, de modo diferenciado, a deforma¸caõ a` sua frente, em rela¸caõ a` deforma¸caõ atrás dela. Demonstra-se que, para uma superf´ıcie singular m´ ovel que seja caracterizada pela condi¸caõ f (X, t) = 0, usando tanto a descri¸cão espacial da grandeza e a configura¸caõ corrente da parte do corpo, quanto a descri¸cão material da grandeza e a configura¸caõ referencial da mesma parte do corpo, tem-se as igualdades

   

S

S

S

P

Grad f , Grad f f ˙ U κ = , Grad f (F T )± n nκ = (F T )± n

nκ =

|

−|

n =

|

un =

|

|

grad f , grad f

|

∂f/∂t , − |grad f |

U ± U κ = . (F T )± n

e

|

|

|

|

(3.33)

(3.34)

As quatro eqs. 3.33 fornecem vetores e escalares previamente definidos, usando-se na coluna da esquerda a descri¸caõ material da grandeza e a configura¸ cão referencial de , enquanto que na coluna da direita tem-se respectivamente o mesmo vetor e escalar, mas na descri¸cão espacial da grandeza e na configura¸caõ corrente de . Já as duas eqs. 3.34, envolvendo os valores limites do gradiente de deforma¸ caõ transposto (F T )± , relacionam entre si escalares e vetores referentes as ` descri¸cões referencial (U κ e nκ ) e corrente [as velocidades locais de propaga¸caõ de em rela¸caõ ao corpo em movimento, U ± (eq. 3.14) e o vetor n].

P

P

S

3.2

Massa

B → E

B

B → B

Seja representada por β : toda configura¸cã o do corpo e seja β : β . Imponha a existência de uma fun¸ cão integr´ avel (toda fun¸caõ cont´ınua é integr´ avel, mas o oposto n˜ ao é verdade) e positiva ρβ :

B →  β

+

, chamada densidade volumétrica

de massa correspondente a` configura¸caõ β , tal que, para toda região material (subse¸caõ 3.1.1) , tenha-se M ( ) = ρβ dvβ , (3.35)

P ⊂ B

P



P β

ao de massa de , que ao ser onde β : e a distribui¸c˜ β β , enquanto que M ´ aplicada a cada uma de suas regi˜ oes materiais produz o correspondente escalar massa M ( ) daquela regi˜ ao material. Logo, a eq. 3.35 mostra que o escalar massa associado às imagens de todas todas as configura¸cões de determinada regi˜ ao material é o mesmo, ou seja, alterar este escalar implica em alterar a pr´ opria regi˜ ao material (não, apenas, em alterar a configura¸ caõ de ). Porisso, a massa é uma medida da regi˜ ao material .

P →  P ⊂ B

P

P

P

B

P ⊂ B P

P

123

| |

Tem-se a segunda entre as eqs. 2.9, a saber dv = J dvκ , onde J = det F κ (eq. 2.5), sendo, de acordo com a eq. 2.29, F κ (X, t) = χ ( , t). Logo, de modo mais expl´ıcito a X κ segunda entre as eqs. 2.9 pode ser escrita

∇

·

| ∇X χ (·, t)| dv . Definindo β : B → B , β : B → B e λ = β ◦ β : B → B u ´ ltima equa¸caõ destacada pode-se escrever, se β : X → x , dv = | det ∇x λ| dv , dv = det

1

2

β 1

κ

κ

−1 1

2

β 2

1

β 2

β 1

β 2 ,

analogamente a`

β 1

β 1

β1

a qual, junto com a eq. 3.35, mostra que

P

M ( ) =

 

P β1

P β1



ρβ 1 dvβ 1 =

P β2



ρβ 2 dvβ 2 =

P β1

− ρ | det ∇λ| ) dv

( ρβ 1

β 2

ou

= 0 , portanto

β 1

ρβ 2 =

| ∇|

ρβ 2 det λ dvβ 1 ,

ρβ 1

| det ∇x λ| ,

(3.36)

β1

porque o integrando é cont´ınuo, logo pode ser aplicado o teorema 1.3.4 (fun¸ cão identicamente nula em ) . Como β 1 e β 2 são duas configura¸co˜es quaisquer, eq. 3.36 indica que a densidade volum´ etrica de massa de uma configura¸ cão determina as densidades volumétricas de massa de todas as outras poss´ıveis configura¸ cões do corpo. Quando β 1 = κ, logo xβ 1 = X, a eq. 3.36 poderá ser escrita

E

ρ =

|

ρκ , det F κ (X, t)

|

(3.37)

onde ρκ (X, t) na verdade deve ser escrito ρκ (X), conforme ser´ a mostrado pela primeira entre as eqs. 3.94 e ρ(x, t) = ρ(X, t), de acordo com a simbologia apresentada imediatamente ap´ os a eq. 2.30. Para cada configura¸caõ corrente χ( , t) χ( , ), onde χ( , ) é o movimento do corpo (subse¸cão 2.4.1), seja a descri¸caõ espacial ρ(x, t) da densidade volum´ etrica de massa, onde x por meio da configura¸cão corrente t e t t , sendo t a imagem de considerada. Qualquer que seja o movimento χ, tem-se

B

· ∈ · ·

∈ P P ⊂ B

B

··

B

d dt



P t

ρ dv = 0 ,

(3.38)

porque a eq. 3.35 indica que a altera¸ caõ temporal da configura¸ cão corrente de uma mesma região material não modifica a massa da configura¸caõ corrente. A garantia de que a eq. 3.38 seja satisfeita para qualquer movimento χ só pode ser obtida mediante a imposi¸caõ

P

de que, na eq. 3.1 (descri¸cão espacial), se ψ = ρ , ent˜ ao

Φ ψ = 0

e

σψ = 0 .

Logo, a satisfa¸cão da eq. 3.38 é suficiente para a satisfa¸ cã o das u ´ltimas duas igualdades destacadas. Lembrando que a lei cl´ assica de conserva¸ca˜ o de P t ψ dv é o conjunto de condi¸co˜es suficientes para que Φ ψ = σ ψ = 0 na eq. 3.1 (subse¸cão 3.1.1), percebe-se que a eq. 3.38 é a lei cl´ assica de conserva¸ca õ da massa.



124

Logo, para que o movimento provoque uma altera¸c˜ cao aõ temporal da configura¸c˜ cao aõ corrente de uma mesma regi˜ ao ao material , mas esta altera¸c˜ cao aõ n˜ ao ao modifique a massa da configura¸c˜ cao aõ corrente, ou seja, para garantir que, no enfoque cl´ assico, a eq. 3.38 seja obedecida, o conceito f´ısico de regi˜ ao material de um corpo deve ser imaginado de modo ao tal que, obrigatoriamen obrigatoriamente, te, Φ ψ e σψ sejam nulos na eq. 3.1. Mas suponha, por exemplo, que por causa de difus˜ ao ocorresse uma altera¸ ao c˜ cao aõ nas concentra¸ concentra¸ c˜ coes o˜e s das da s esp´ es pécie ec iess qu´ımica ımi cass presentes em , mesmo sem que houvesse rea¸c˜ cão ao qu´ımic ım icaa em . Neste caso, o movimento incluiria as mudan¸cas cas produzidas pela difus˜ ao ao (talvez devesse, então, ao, ser chamado chamado de processo) e um conceito f´ f´ısico de , imaginado de modo a garantir que Φ ψ = σψ = 0 na eq. 3.1, em geral permitiria que a difus˜ ao ao modificasse o escalar M escalar M (( ). ). Logo, para tal conceito de a a eq. 3.38 não ao seria obedecida, embora a lei clássica assica de conserva¸c˜ cao aõ da massa continuass continuassee satisfeita. Isto seria inaceit´ avel, porque a obed ob ediˆ iênci en ciaa a` eq. e q. 3.38 é, e, conforme confo rme j´ a afirmado, a firmado, uma consequência encia da eq. 3.35, 3 .35, sendo send o esta e sta ultima u ´ ltima um postulado b´ asico asico da presente teoria. Logo, em tal situa¸c˜ cao aõ obrigatoriamente o conceito f´ısico de teria teria que ser alterado, o que exigiria exigiria que a eq. 3.1 fosse fosse modificada. modificada. De fato, se a eq. 3.1 inclu inclu´´ısse ısse fluxos fluxos ou suprimentos supri mentos estat esta t´ısticos, ıstico s, a obediˆ obe diência encia a` eq. 3.38 exigiria anula¸c˜ cao ão de outras grandezas, al´ além em de Φψ e σψ , logo eq. 3.38 não ao seria apenas a lei cl´ assica assica de conserva¸ conserva¸c˜ cao aõ da massa. Como a difusão ao não ao é explicada exp licada por p or meio me io de algum modelo mo delo cl´ assico assico do comportamento comportamento da matéria, eri a, ela não ao é englobada englobada pela eq. 3.1. Entretanto, Entretanto, se ao segundo membro da eq. 3.1 fossem adicionadas parcelas referentes ao efeito da difus˜ ao, ao, a defini¸c˜ cao aõ dada pela eq. 3.38 seria a lei clássica assica e difusiva de conserva¸c˜ cão ao da massa. Neste caso, ca so, o conceito f´ısico de seria imaginado de modo a que, adicionalmente a Φψ e σψ , fossem fosse m também em anuladas anulada s as parcelas do segundo membro da eq. 3.1 referentes ao efeito de difus˜ ao. ao. Em resumo, resumo, na teoria teoria apresen apresentada tada imp˜ oe-se que a massa de toda parte material

P

P

P

P P

P

P

P

de qualquer corpo não a o se altere durante o movimento (ou processo), o que pode ser repres represen entad tadoo pela pela eq. eq. 3.38. 3.38. De acordo acordo com o que que acont aconte¸ e¸ ca ao corpo, a obediˆ encia encia a` eq. 3.38 pode corresponder apenas a` lei clássica assica de conserva¸c˜ cao aõ da massa, ou exigir leis de converva¸c˜ cão ao mais restritivas, como no exemplo dado, onde a lei de conserva¸ c˜ caõ é clássica assica e difusi difusiv va. Leis Leis de conserva¸ conserva¸ c˜ cão ao mais restritivas exigem a adi¸c˜ cao ã o de termos ao segundo membro da eq. 3.1 e, tamb´ t amb´ em, em, exigem exige m a reformula¸ cão ao do conceito conc eito f´ısico de e a amplia¸c˜ cao aõ do conceito de movimento. Cabe, ainda, ressaltar que:

P

1. Neste texto, apenas o enfoque cl´ assico assico é considerado consid erado (difus˜ (difu s˜ ao, ao, rea¸c˜ cao aõ qu´ qu´ımica ımic a etc. etc . não ao são ao consideradas). consideradas). 2. A massa é um conceito primitivo. primitivo. Por isto, imp˜ oe-se oe-se que a distribui¸c˜ cao aõ de massa, logo também em a densidade densid ade volum´ vol umétrica etric a de massa, sejam objetivas ob jetivas sob so b transfo tr ansforma¸ rma¸ cão ao euclideana euclideana (subse¸ c˜ cao aõ 2.6.1).

B →  B.

3. Toda teoria na qual exista a fun¸c˜ cão ao ρβ : teori a para meio cont´ cont´ınuo em é uma teoria

β

+

, sendo β qualquer qualquer configura¸c˜ cao, aõ,

Por exemplo, a fun¸c˜ cão ao ρβ não ao existiria numa teoria que supusesse pontos m´ assicos assicos (locais com volume nulo e massa n˜ ao nula) imersos num ambiente de massa nula, ou ao seja, que admitisse uma distribui¸c˜ cao aõ discreta de massas. Logo, tal teoria n˜ ao ao poderia ser classificada como uma teoria para meios cont´ cont´ınuos. Para obter ob ter um conceito f´ısico realista r ealista 125

P ⊂ B

da parte , que seja coerente co erente com as parcelas inclu´ inclu´ıdas no membro membro direito da eq. 3.1 (generalizada, ou n˜ ao, ao, por meio da inclus˜ ao ao de fluxos ou suprimentos estat´ estat´ısticos), pode ser mais conveniente visualizar uma distribui¸c˜ cão ao discreta de massas do que uma distribui¸c˜ cao aõ cont´ınua. ınua. Mas, embora e mbora tal t al visualiza¸ visua liza¸c˜ cao ão discreta possa ser util u´til à compreens˜ compreensao aõ do problema, probl ema, é necess´ nece ss´ ario ario lembrar que ela é absolutamente inconsistente com qualquer teoria teor ia de meio cont´ cont´ınuo. Considerando (descri¸c˜ cão ao espacial) ψ = ρ e σψ = 0 , além em de divΦ ψ = 0 na eq. 3.11 e Φ ψ = 0 na eq. 3.13, as eqs. 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que ∂ρ + div(ρ div(ρx˙ ) = 0 e ρ(x˙ n un ) = 0 . (3.39) ∂t As eqs. 3.39 estão ao na descri¸c˜ cao aõ espacial. espacial. A segunda, segunda, entre elas, elas, indica indica que s´ o existirá descontinuidade em x˙ se houver descontinuidade em ρ e vicevice-v versa. ersa. Mas, Mas, como o valor ρ é necessariamen necessariamente te real, apenas ap enas descontinuidades descontinuidades finitas p odem ocorrer. Pode ser mais convenien conveniente te escrever esta igualdade igualdade em termos das velocidades velocidades locais de propaga¸ cão ao definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente

 · − 

ρ U  = 0 .

(3.40)

Por outro lado, para a primeira entre as eqs. 3.39 pode ser mais util ´ utilizar a descri¸c˜ cao aõ material da derivada derivada temporal da densidade densidade volum´ volum´ etrica etrica de massa. Para efetuar esta transforma¸c˜ cao aõ pode-se lembrar que, de acordo com o primeiro item do coment´ ario ario 1.3.20 (expressões oes para divergˆ encia encia e laplaciano), tem-se div(ρ div(ρx˙ ) = x˙ gradρ gradρ + ρ divx˙ , enquanto que, que, de acordo acordo com a primei primeira ra entre as eqs. 2.31, 2.31, tem-se tem-se ρ˙ = (∂ρ/∂t) ∂ρ/∂t) + x˙ gradρ gradρ. Portanto, a primeira entre as eqs. 3.39 pode ser escrita

·

ρ˙ + ρ divx˙ = 0,

·

(3.41)

ainda na descri¸c˜ cão ao espacial (lembrar a equa¸c˜ cao f aõ f = f ( f (X, t) = f ( f (x, t) da subse¸c˜ cao aõ 2.4.2). c˜ ao ao da continuida conti nuidade de. A eq. A eq. 3.41 costuma ser chamada equa¸c˜ eq. 3.6 3.6 indi indica que que divx˙ = 0 quando um fluido for incompress incompress´´ıvel. ıvel. Substituindo Substituindo esta indica¸ cão ao na eq. 3.41 tem-se, ent˜ ao, ao, que ρ˙ = 0 (3.42) quando um fluido for incompress´ incompress´ıvel, resultado este que é esperado. e sperado. A partir par tir da d a eq. e q. 3.41 obtém-se em- se duas d uas expres exp ress˜ s˜ oes oes muito uteis, u ´ teis, que serão ao apresentadas sem demonstra¸c˜ cao. aõ. Tem-se que, para qualquer quantidade tensorial ψ , ˙ = ρψ

∂ (ρψ) ρψ ) + div(ρψ div(ρψ ∂t

(3.43) ⊗ v) mas, se ψ se ψ((x, t) for uma fun¸c˜ cão ao arbitr´ aria, aria, para a imagem P de qualquer região ao material t

ter-se-á

d dt

3.3



P t

ψρdv = ψρdv =



P t

˙ ψρdv.

(3.44)

Dinˆ amica amic a

3.3.1 3.3.1

Mome Moment ntos os Linear Linear Angula Angularr

·

··

B

Seja χ( , t) uma uma config configura ura¸c˜ ção ao corren corrente te pertencen pertencente te ao movim movimen ento to χ( , ) do corpo (subse¸c˜ cão a o 2.4.1) e seja uma regi˜ ao ao material . Defin Definee-se se o vetor vetor momento momento li-

P ⊂ B

126

near de

ao P , em χ(·, t), pela expressão P(P , t) = ρ x˙ dv , (3.45) sendo P ⊂ B a imagem da configura¸c˜ cao ão corrente, no instante t, da região ao material (subse¸c˜ cão ao 3.1.1) P ⊂ B . Define-se, Define -se, também, em, o tensor tenso r antissimétrico etric o momento angular de P em em rela¸c˜ cao aõ a x ∈ E , em χ(·, t), pela expressão ao Hx (P , t) = ρ (x − x ) ∧ x˙ dv . (3.46)



P t

t

t

◦



◦

P t

◦

Os primeiros membros das defini¸c˜ cões oes dadas pelas eqs. 3.45 e 3.46 claramente indicam que, ao contr´ ario da massa, os momentos linear e angular n˜ ario ao a o s˜ ao ao medidas da regi˜ ao ao material (se¸c˜ cao aõ 3.2), uma vez que dependem de mas, ma s, tamb´ ta mbém, em , de d e t. Como Hx ( , t) é um tensor tenso r antissimétrico etric o (defini¸ (defi ni¸ c˜ cao aõ de tensores simétrico etrico e antissimétrico etrico 1.2.18), de acordo com a nota¸ c˜ cao aõ 1.2.9 (vetor associado a tensor antissim´ etrico) etrico) ele geralmente é representado como um vetor axial. Portanto, na eq. 3.46 o s´ımbolo pode ser interpretado tanto com indicando um produto externo (defini¸ c˜ ao ao de produto externo de vetores 1.2.36) como um produto vetorial (defini¸ cão ao de produto vetorial 1.2.38). Como a velocidade n˜ ao ao é ob o b jetiva sob s ob transforma trans forma¸ c˜ çao aõ euclideana (subse¸c˜ cao aõ 2.6.2), as eqs. 3.45 e 3.46 mostram que P e H tamb´ ta mbém nao aõ s˜ ao ao objetivos. As leis da dinâmica amica ser˜ ao a seguir postuladas, em conformidade com o enfoque cl´ ao assico de Newton e Euler, de acordo com o qual os movimentos s˜ ao ao produzidos pela a¸c˜ cao aõ de ca total agindo sobre for¸cas cas e torques sobre o corpo considerado. Seja f ( , t) o vetor for¸ca no instante t instante t e e seja m x ( , t) o tensor antissim´ etrico, etrico, ou vetor axial, torque to rque total t otal agindo sobre no instante t, em rela¸c˜ cao aõ a x◦ . Na mecânica, anica, for¸cas cas e torques são ao conceitos primitivos e, por isto, imp˜ oe-se oe-se que f ( , t) e m x ( , t) sejam objetivos sob transforma¸c˜ cao aõ euclideana euclideana.. Dados Dados estes conceitos, conceitos, pode-se agora enuncia enunciarr as duas leis fundamenta fund amentais is da dinâmica ami ca :

P

◦

P

P

∧

P⊂B

◦

P ⊂ B

P ∈ E P

P

◦

P

1. Existe uma estrutura referencial φ referencial φ,, chamada inercial, em rela¸c˜ cão ao a` qual, se f ( , t) ˙ ( , t) = 0, para qualquer movimento χ de qualquer regi˜ = 0, então ao P ao ao material . De fato, como a primeira primeira igualdade igualdade é indiferente indiferente a` transforma¸c˜ cão ao euclideana, mas a segunda n˜ ao ao é, e, ocorrendo esta rela¸ c˜ cao aõ causa-efeito em determinada estrutura referencial, ela n˜ ao pode ocorrer em todas as outras estruturas referenao ciais obten´ obten´ıveis, ıveis, a partir da primeira, primeira, por transforma¸ transforma¸ cão ao euclideana euclideana.. Postula-se, Postula-se, portanto, a existência encia de alguma estrutura estr utura referencial re ferencial em que tal rela¸ cão ao de causaefeito ocorra.

P ⊂B

P

P

2. Para qualquer qualquer movimen movimento to em rela¸ c˜ cao aõ a` estrutura inercial, s˜ ao ao válidas alidas a primeira e c˜ coes o˜es a seguir a segunda lei de Euler , respectivamente fornecidas pelas duas equa¸ apresentadas: ˙ ( , t) = f ( , t) P e ˙ x ( , t) = mx ( , t) . H ◦

P P

P

◦

P

(3.47) (3.48)

Evidentemente, as duas leis de Euler n˜ ao ao são ao objetivas sob transforma¸c˜ cão ao euclideana. 127

Utilizando as eqs. 3.45 e 3.46, com rela¸caõ a esta u´ltima lembrando que as defini¸co˜es de produto externo e de produto vetorial implicam em que sejam nulos tais produtos para dois vetores iguais e usando a eq. 3.44, tem-se ˙ ( , t) = P

P



P t

¨ dv ρx

˙ x ( , t) = H

e

◦

P



P t

ρ (x

− x ) ∧ x¨ dv . ◦

(3.49)

Como a acelera¸caõ é indiferente a` transforma¸caõ galileiana, quando as eqs. 3.49 forem obe˙ e H ˙ também serão indiferentes a tal transforma¸caõ. Como f ( , t) e m x ( , t) decidas P são objetivos sob transforma¸cã o euclideana, as leis de Euler s˜ ao objetivas sob transforma¸cão galileiana, ou seja, se φ for uma estrutura de referência inercial, φ∗ também será uma estrutura de referˆ encia inercial se e somente se tais estruturas estiverem entre si relacionadas por meio de uma transforma¸ cão galileiana. Logo,

P

◦

P

as leis da dinˆ amica se apresentar˜ ao conforme as mesmas express˜ oes matem´ aticas, em todas as estruturas de referˆ encia entre si relacionadas por meio de transforma¸coes ˜ galileianas.

3.3.2

For¸ca e Torque

No enfoque cl´ assico, a for¸ca total f ( , t), que age sobre decomposta em duas parcelas aditivas:

P

P ⊂ B no instante t, pode ser

a for¸ca corporal f b ( , t) que, embora seja produzida por fonte externa a , age diretamente no interior de , portanto n˜ ao é transmitida a pela superf´ıcie desta parte do corpo (p.e., for¸ca da gravidade),

P

P b

P

f ( , t) =

P



P t

ρ b dv ,

onde

B

(3.50)

b é o vetor densidade m´ assica de suprimento de for¸ca corporal e a for¸ca de contato f c ( , t), transmitida a

P

P por meio da mencionada superf´ıcie,

c

f ( , t) =

P



∂ Pt

t da ,

onde

(3.51)

t é o vetor densidade de tra¸c˜ ao superficial por unidade de a´rea. Portanto, foi considerado que a intera¸ cão entre as diferentes partes do corpo se manifesta somente por meio das for¸cas de contato, logo b = b(x, t), ou seja, a densidade m´ assica de suprimento de for¸ca corporal n˜ ao depende do que ocorra em outros pontos do corpo. Por outro lado, para x ∂ t tem-se t = t (x, t , ∂ t ), porque f c ( , t) é a for¸ca exercida, pelo restante do corpo , sobre sua parte no instante t, por meio da superf´ıcie ∂ t , sendo t a densidade desta for¸ca, por unidade de a´rea, no ponto x ∂ t . Tem-se, então, a decomposi¸caõ da for¸ca total que age sobre no instante t,

∈ P B

f ( , t) =

P

P



P ∈ P

P P ⊂ B

ρ b(x, t) dv +



t(x, t , ∂ t ) da .

P

(3.52) P Analogamente, tem-se a decomposi¸caõ do torque total mx (P , t), que age sobre P ⊂ B no instante t, em rela¸cão a x ∈ E , (x − x ) ∧ ρ b dv + (x − x ) ∧ t da . (3.53) mx (P , t) = P t

∂ Pt

◦

◦

◦



P t



◦

∂ Pt

128

◦

Conv´ em novamente destacar que o enfoque cl´ assico não permite que uma parte material ou ponto do corpo exer¸ ca qualquer influência sobre outra parte material ou ponto do mesmo corpo, a n˜ ao ser que tal influência seja transmitida por meio da superf´ıcie que delimita cada parte material considerada. Por exemplo, n˜ ao são considerados os efeitos produzidos por estruturas moleculares polarizadas.

3.3.3

Tensor de Tra¸ca õ de Cauchy

Seja n um vetor de norma unit´ a ria, dirigido para fora de t e perpendicular a ∂ t ¯ um vetor de norma unit´ no ponto x ∂ t . Seja n aria, dirigido para fora de ¯t e ¯ ∂ ¯t . O postulado de Cauchy impõe que, se ∂ t e ∂ ¯t perpendicular a ∂ ¯t no ponto x ¯ , então t(x, t , ∂ t ) = apresentarem, num ponto x ∂ t ∂ ¯t , um mesmo vetor n = n t(x, t , ∂ ¯ t ) . Portanto, o postulado de Cauchy imp˜ oe que

P

∈ P P

P P P P P

∈ P ∈ P ∩ P

P

P

t(x, t , ∂ t ) = t (x, t, n) .

(3.54)

·

Tomando a eq. 3.54 como base, impondo que t( , t, n) seja uma fun¸caõ integr´ avel (conforme j´ a colocado na se¸caõ 3.2, toda fun¸cão cont´ınua é integr´ avel, mas o oposto não é ¨ quanto b sejam finitos em t , demonstra-se que a primeira verdade) de x e que tanto x lei de Euler (eq. 3.47) implica em

B

t(x, t, n) =

−t(x, t, n) ,

(3.55)

t(x, t, n) = T (x, t)n(x, t) .

(3.56)

−

que por sua vez implica em

A eq. 3.55 reflete o princ´ıpio de Cauchy , enquanto que a eq. 3.56 representa o teorema de Cauchy . A eq. 3.56 define o tensor de tra¸ca õ de Cauchy , T (x, t), que é um campo tensorial de segunda ordem que, aplicado ao campo vetorial n (x, t), produz o vetor tra¸cão superficial t(x, t, n). A tra¸cão superficial t pode ser decomposta num componente perpendicular a` superf´ıcie, a tra¸cão normal

·

·

(n t)n = (n T n)n = (n

⊗ n)T n ,

(3.57)

onde usou-se a eq. 3.56 e a defini¸cão de produto tensorial de vetores ou tensor simples õ de cisalhamento 1.2.12 e uma tra¸ca

t

− (n · t)n = (1 − n ⊗ n)T n ,

(3.58)

onde usou-se a eq. 3.57. Se T i j forem os componentes de T , em rela¸cã o ao sistema cartesiano de coordenadas, ent˜ ao e eq. 3.56 mostra que ˜ do i-´ esimo eixo coordenado, do vetor tra¸cao ˜ T i j é o componente, na dire¸cao superficial t referente a uma superf´ıcie perpendicular ` a dire¸cao ˜ do j -´ esimo eixo coordenado.

Por este motivo, os componentes T 1 1 , T 2 2 e T 3 3 são, respectivamente, os componentes normais a`s superf´ıcies perpendiculares a`s dire¸co˜es 1, 2 e 3, enquanto que T 2 1 e T 3 1 sã o os componentes de cisalhamento da superf´ıcie perpendicular a` dire¸caõ 1, 129

T 1 2 = T 2 1 e T 3 2 são os componentes de cisalhamento da superf´ıcie perpendicular a` dire¸caõ 2, T 1 3 = T 3 1 e T 2 3 = T 3 2 são os componentes de cisalhamento da superf´ıcie perpendicular à dire¸cã o 3 (a raz˜ ao da simetria ser´ a explicada posteriormente). De um modo geral, os componentes diagonais s˜ ao chamados componentes normais e os componentes fora da diagonal s˜ ao chamados componentes de cisalhamento. Alguns espec´ıficos tensores de tra¸ cão ser˜ ao a seguir apresentados:

Tensor de Press˜ ao Hidrostática T = p1 : A eq. 3.56 mostra que, para este tensor, a tra¸caõ t sobre qualquer superf´ıcie é o vetor tra¸ cão normal p n, onde o escalar ao hidrostática . p recebe o nome press˜

−

−

−

Tensor de Tensão ou Compress˜ ao Pura, ou Uniaxial T = σ(e e): Para uma superf´ıcie perpendicular ao vetor e, cuja norma é igual a` unidade, a eq. 3.56 mostra, usando a defini¸caõ de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12, que t = σ(e e)e = σ e, ou seja, mostra que a tra¸cão sobre esta espec´ıfica superf´ıcie é o vetor tra¸caõ normal σ e, onde σ é um escalar positivo no caso de tens˜ ao e negativo no caso de press˜ ao.

⊗

⊗

⊗

⊗

Tensor de Cisalhamento Puro T = τ (c d + d c), não sendo colineares c e d : Se (c∗ , d∗ ) for a base dual de (c, d) (defini¸caõ de base dual 1.2.4), usando a eq. 3.56 tem-se d∗ c∗ τ τ t1 = T ∗ = ∗ c t2 = T ∗ = ∗ d , e d d c c

| | | |

| | | |

onde t 1 é um vetor tra¸caõ de cisalhamento em rela¸caõ a` superf´ıcie normal ao vetor de norma unit´ aria d∗ / d∗ , enquanto que t2 é um vetor tra¸caõ de cisalhamento em rela¸cão a` superf´ıcie normal ao vetor de norma unit´ aria c∗ / c∗ . Por constru¸caõ geométrica planar constata-se que o angulo ˆ entre os vetores d e d∗ é igual ao aˆngulo entre os vetores c e c ∗ , porque os dois aˆngulos apresentam dire¸co˜es perpendiculares entre si, sendo ambos agudos. Isto causa a igualdade

| |

| |

c c∗ d d∗ = , c c∗ d d∗

· · | || | | || | onde c · c = d · d = 1, logo |c| / |d | = |d| / |c | = a . Substituindo, nas primeiras duas express˜ oes destacadas, respectivamente c = |c| (c/|c|) e d = |d| (d/|d|) ∗

∗

∗

∗

tem-se, ent˜ ao,

t1 = aτ

c c

||

e

t2 = aτ

d , logo d

||

|t | = |t | = aτ . 1

2

Tensor de Tra¸c˜ ao Planar: Se, para um determinado j fixo, acontecer que T 1 j = T j 1 = 0, T 2 j = T j 2 = 0 e T 3 j = T j 3 = 0, ter-se-á um tensor de tra¸caõ planar, porque o vetor t pertencer´ a ao plano dos outros dois vetores de base. Tensores de tens˜ ao ou compressão pura, bem como tensores de cisalhamento puro, s˜ ao casos especiais de tensores de tra¸cão planar.

130

3.3.4

Balanceamento de Momentos Linear e Angular

Usando as eqs. 3.45 (defini¸cão de momento linear) e 3.52 (decomposi¸caõ da for¸ca total), numa estrutura inercial (subse¸cão 3.3.1) a eq. 3.47 (primeira lei de Euler) pode ser escrita d dt



P t

ρ x˙ dv =



P t

ρ b dv +



∂ Pt

t da .

(3.59)

A eq. 3.59, usando a eq. 3.56 (defini¸caõ do tensor de tra¸cão de Cauchy), por sua vez pode ser escrita d ρ x˙ dv = ρ b dv + T n da , (3.60) dt P t ∂ Pt P t chamada primeira lei de Cauchy . Comparando a eq. 3.60 com a eq. 3.1 tem-se que, no enfoque cl´ assico, na configura¸caõ corrente e utilizando a descri¸ caõ espacial,



ψ = ρ x˙ ,





Φ ψ = T

e

σψ = ρ b .

Portanto, T = b = 0 é uma condi¸caõ suficiente para que Φ ψ = σψ = 0 na eq. 3.1, logo T = b = 0 é a lei de cl´ assica conserva¸c˜ ao do momento linear (subse¸caõ 3.1.1). Porém, para o momento linear, tamb´ em poderia ser deduzida uma lei de conserva¸ cão não apenas cl´ assica, analogamente ao que foi indicado para o caso da massa. De fato, se a eq. 3.1 fosse generalizada por meio da adi¸caõ, ao seu segundo membro, de parcelas referentes a fluxos ou suprimentos estat´ısticos, a compara¸ cão dela com a eq. 3.60 mostraria que a conserva¸caõ do momento linear ocorreria se T = b = 0 e se, além disto, na eq. 3.1 fossem anuladas todas as parcelas referentes a fluxos ou suprimentos estat´ısticos. Deve-se adicionalmente lembrar que, conforme ressaltado na subse¸ cão 3.3.2, o enfoque clássico não permite que uma parte material ou ponto do corpo exer¸ ca qualquer influência sobre outra parte material ou ponto do mesmo corpo, a n˜ ao ser que tal influência seja transmitida por meio da superf´ıcie que delimita cada parte material considerada. Para incluir tais influências, a eq. 3.60 deveria ser alterada. Retornando ao enfoque cl´ assico e considerando ψ = ρ ˙x, Φ ψ = T e σψ = ρ b, as eqs. 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que ∂ (ρ x˙ ) + div(ρ x˙ ∂t

⊗ x˙ − T ) − ρ b = 0

e

ρ x˙ (x˙ · n − u ) − T n = 0 . (3.61) n

A primeira entre as eqs. 3.61, que é a forma local da primeira lei de Cauchy para pontos regulares, costuma ser chamada equa¸c˜ ao do movimento . Assim como ocorre com a primeira entre as eqs. 3.39, ela contém a descri¸ cão espacial da derivada temporal, mas pode ser mais u ´til a descri¸caõ material desta derivada. Para se efetuar esta transforma¸ cão, x . Por isto, uma basta perceber que a eq. 3.43 indica que ∂ (ρ x˙ ) / ∂t + div(ρ x˙ x˙ ) = ρ¨ expressão mais usual da equa¸cão de movimento é

⊗

x ρ¨

− div T = ρ b ,

(3.62)

a qual mostra que a conserva¸cão do momento linear, para um ponto regular, implica em ¨ = 0. Por outro lado, assim como ocorre com a segunda entre as eqs. 3.39, as x ` vezes é mais conveniente escrever a segunda entre as eqs. 3.61 em termos das velocidades locais de propaga¸caõ definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente

ρ U x˙  + T n = 0 . 131

(3.63)

Usando as eqs. 3.46 (defini¸cão do momento angular) e 3.53 (decomposi¸cão do torque total em materiais apolares), numa estrutura inercial a eq. 3.48 (segunda lei de Euler) pode ser escrita d dt



P t

ρ (x

− x ) ∧ x˙ dv = ◦



P t

(x

− x ) ∧ ρ b dv + ◦



∂ Pt

(x

− x ) ∧ t da .

◦

(3.64)

A eq. 3.64, usando a eq. 3.56 (defini¸caõ do tensor de tra¸cão de Cauchy), por sua vez pode ser escrita d ρ (x x◦ ) x˙ dv = (x x◦ ) ρ b dv + (x x◦ ) T n da , (3.65) dt P t P t ∂ Pt



−



∧

−

∧



−

∧

denominada segunda lei de Cauchy . Comparando a eq. 3.65 com a eq. 3.1 tem-se que, no enfoque cl´ assico, na configura¸caõ corrente e utilizando a descri¸ caõ espacial, ψ = (x

− x ) ∧ ρ x˙ ,

Φ ψ = (x

◦

− x ) ∧ T

σψ = (x

e

◦

− x ) ∧ ρb. ◦

Como o ponto x◦ é completamente arbitr´ ario, T = b = 0 é uma condi¸cão suficiente assica de conserva¸ca õ para que Φ ψ = σψ = 0 na eq. 3.1, logo T = b = 0 é a lei cl´ do momento angular . Note que os momentos linear e angular apresentam a mesma lei clássica de conserva¸caõ, cabendo considera¸co˜es an´ alogas sobre a sua generaliza¸ caõ. Logo, impor T = b = 0 na eq. 3.1 é suficiente para que ambos os dois momentos se conservem, embora, sem a imposi¸ cão desta condi¸caõ, cada um deles ainda possa ser individualmente conservado, mediante a cria¸cão de v´ınculos espec´ıficos n˜ ao permitidos pelas leis de conserva¸cão (subse¸cão 3.1.1). A substitui¸caõ de ψ = (x x◦ ) ρ x˙ , Φ ψ = (x x◦ ) T e σψ = (x x◦ ) ρ b na eq. 3.13 leva, novamente, a` segunda entre as eqs. 3.61. Por outro lado, efetuando esta mesma substitui¸cão na eq. 3.11, ap´ os várias transforma¸co˜es algébricas obtém-se, por meio do uso da eq. 3.62, T = T T , (3.66)

−

∧

−

∧

−

∧

que é a forma local da segunda lei de Cauchy para pontos regulares. O fato de T ser simétrico apresenta importante consequência. De fato, de acordo com o teorema 1.2.6 (espectral: autovalores de tensor simétrico), a simetria de T garante que existam três campos vetoriais ortonormais n(x, t) tais que, para cada um deles, T (x, t)n(x, t) = σ(x, t)n(x, t) ,

(3.67)

õ principal, enquanto que o onde o escalar real σ(x, t) (autovalor) é chamado tra¸ca vetor n(x, t) (autovetor) é denominado dire¸ca õ principal. de T (x, t). Embora ha jam três dire¸cões principais, existem no máximo três diferentes tra¸cões principais a elas correspondentes. Por exemplo, para o tensor de press˜ ao hidrost´ atica T = p1 (subse¸cão 3.3.3), toda dire¸caõ é uma dire¸caõ principal e o escalar p é a tra¸caõ principal. Aliás, uma situa¸caõ comum é a de um escoamento com press˜ ao hidrost´ atica T = p1 e densidade mássica suprimento de for¸ca corporal b = grad φ. Para esta situa¸caõ, o teorema de Bernouilli demonstra que

−

−

− −

1 v2 v grad( + φ) + v grad p = 0 e (3.68) se ∂ v/∂t = 0 , ent˜ ao 2 ρ 2 1 v se ∂ v/∂t = 0 e rot v = 0 , ent˜ ao grad( + φ) + grad p = 0 . (3.69) 2 ρ

·

132

·

3.3.5

Balanceamento de Energia Cin´ etica

Pode-se efetuar o produto interno dos termos da eq. 3.62 pelo vetor velocidade x˙ . Considerando que

x˙ ρ¨ x = ρ ddt ( 12 ˙x x˙ ) ,

· · ario 1.3.20 (exx˙ · div T = div(T x˙ ) − tr(T ∇x˙ ) , de acordo com o item 2 do coment´ T

T

pressões para divergência e laplaciano),

div(T T x˙ ) = div(T x˙ ) , de acordo com a eq. 3.66 e tr(T T x˙ ) = T grad ˙x , de acordo com a defini¸caõ de produto interno tensorial 1.2.27, obtém-se

∇

·

d 1 ( ˙x x˙ ) = div(T x˙ ) + ρx˙ b T grad x˙ . (3.70) dt 2 Tanto a primeira entre as eqs. 3.61, quanto a equa¸cão de movimento 3.62, s˜ ao equa¸co˜es vetoriais que expressam a forma local, para pontos regulares, da primeira lei de Cauchy, a qual é o balanceamento cl´ assico de momento linear, na configura¸caõ corrente e utilizando a descri¸caõ espacial, referente a uma estrutura inercial. J´ a a eq. 3.70 é escalar, porque interrelaciona as proje¸cões dos vetores, presentes na eq. 3.62, sobre a dire¸cão do vetor velocidade x˙ (nesta igualdade, todas as proje¸co˜es aparecem multiplicadas x˙ ), enquanto que a eq. 3.66, também envolvida na dedu¸caõ da eq. 3.70, é tensorial e se refere a` segunda lei de Cauchy, que é o balanceamento cl´ assico de momento angular. Por´ em, no mais as eqs. 3.61, 3.62, 3.66 e 3.70 têm exatamente as mesmas caracter´ısticas. Seja χ( , t) uma configura¸caõ corrente pertencente ao movimento χ( , ) do corpo (subse¸cão 2.4.1) e seja uma regi˜ ao material (subse¸cão 3.1.1) . Define-se a energia ao cin´ etica da região material , em χ( , t), pela express˜ ρ

·

· − ·

| |

·

P

P ⊂ B

·

1 K ( , t) = 2

P

··



B

ρ x˙ x˙ dv ,

(3.71) · sendo P ⊂ B a imagem da regi˜ ao material P ⊂ B, por meio da configura¸caõ corrente χ(·, t). Se já tivessem sido definidas as grandezas Φ e σ referentes a` energia cinética, considerando ψ = ρ x˙ · x˙ /2 na eq. 3.11 ter-se-ia a forma local, para pontos regulares, do balanceamento cl´ assico de energia cinética, na configura¸ caõ corrente e utilizando a descri¸cão espacial. Tal forma local, portanto, envolve a derivada ( ˙x · x˙ ). Como a t

P t

t

ψ

ψ

∂ ρ ∂t 2

eq. 3.70, que resulta da aplica¸caõ da eq. 3.11 aos momentos linear e angular, envolve a derivada ρ ddt ( 12 ˙x x˙ ), conv´ em relacionar entre si estas duas derivadas. Tem-se, ent˜ ao,

·

∂ ρ ( ˙x x˙ ) = ∂t 2 d ρ ρ = ( ˙x x˙ ) x˙ grad( ˙x x˙ ) (primeira entre as eqs. 2.31) dt 2 2 d 1 dρ 1 ρ = ρ ( ˙x x˙ ) + ( ˙x x˙ ) x˙ grad( ˙x x˙ ) dt 2 dt 2 2 d 1 ρ ρ = ρ ( ˙x x˙ ) [( ˙x x˙ )divx˙ + x˙ grad( ˙x x˙ )] (eq. 3.41) dt 2 2 2 d 1 ρ = ρ ( ˙x x˙ ) div[( ˙x x˙ )x˙ ] (item 1 do coment´ a rio 1.3.20). dt 2 2

·

· − · · · · − · · − · · · − · 133

·

·

(3.72)

Como x˙ é completamente arbitr´ ario, a eq. 3.72 mostra que os balanceamentos de momentos linear e angular implicam no balanceamento de energia cinética. De fato, subtra´ındo div[(ρx˙ x˙ )x˙ /2] aos dois membros da eq. 3.70 tem-se

·

∂ ρ ( ˙x x˙ ) = div[T x˙ ∂t 2

·

− ( ρ2 ˙x · x˙ )x˙ ] + ρx˙ · b − T · grad x˙ ,

(3.73)

que é a forma local do balanceamento cl´ assico de energia cin´ etica em ponto regular. Comparando a eq. 3.73 com a eq. 3.11 percebe-se que ρ ψ = ˙x x˙ , 2

·

˙ Φ ψ = T x

· − T · grad x˙ .

σψ = ρ x˙ b

e

Aplicando as u ´ltimas três equa¸co˜es destacadas a` eq. 3.1 obtém-se a forma integral de balanceamento cl´ assico da energia cinética, na configura¸ caõ corrente e utilizando a descri¸ cão espacial, referente a uma estrutura inercial, d dt



P t

ρ ˙x x˙ dv = 2

·



∂ Pt

·

T x˙ n da +



P t

· − T · grad x˙ ) dv ,

(ρx˙ b

onde

(3.74)

T x˙ n = n T T x˙ = x˙ T n = x˙ t, sendo a primeira igualdade devida a` eq. 3.66, a segunda à defini¸caõ de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 e a terceira a` eq. 3.56 (defini¸caõ de ρ ˙ ( , t) = d ˙x x˙ dv, a tensor de tra¸caõ de Cauchy). Como a potˆ encia cin´ etica K dt P t 2 eq. 3.74 pode, ent˜ ao, ser escrita

·

·

·

·



P

˙ ( , t) = K

P



·



∂ Pt

·

x˙ t da +





P t

·

ρx˙ b dv

·

 − ·  P t

T grad x˙ dv ,

·

(3.75)

onde os termos ∂ Pt x˙ t da e P t ρ x˙ b dv são absolutamente coerentes com os termos que definem as respectivas for¸cas mecˆ anicas f c ( , t) = ∂ Pt t da (eq. 3.51) e f b ( , t) = encia mecˆ anica transmitida a` região material P t ρ b dv (eq. 3.50), constituindo a potˆ , em χ( , t), P ( , t) = ρx˙ b dv . (3.76) x˙ t da +



P

·

P

P





·

∂ Pt

P t

P

·

Quanto a` eq. 3.13, a descontinuidade de x˙ sobre a superf´ıcie singular faz grad ˙x divergir sobre tal superf´ıcie. Portanto, n˜ ao existe, para a energia cinética, uma express˜ ao com a forma da eq. 3.13. O aparecimento do produto interno tensorial T grad x˙ , porém, produz mais consequências, cujas caracter´ısticas até a este ponto do texto ainda n˜ ao tinham ocorrido, do que somente impedir a existência de uma equa¸ cão de RankineHugoniot para a energia cinética. De fato, trata-se de um suprimento produzido por fonte necessariamente interna a` regi˜ ao material , o que indica que a energia cinética não é uma grandeza conservativa, portanto indica que n˜ ao existe uma lei de conserva¸caõ da energia cinética, fosse ela cl´ assica ou n˜ ao (subse¸cão 3.1.1), embora o balanceamento de energia cinética tenha sido obtido a partir dos balanceamentos de momentos linear e angular, os quais apresentam uma mesma lei de conserva¸cão. Como a lei cl´ assica de conserva¸caõ dos momentos linear e angular é T = b = 0 na eq. 3.1, ou seja, é T (x, t) = t(x, t) = 0 x ∂ e b(x, t) = 0 x , sempre que for imposta esta lei as eqs. 3.76 e 3.75 tornar-se-ão, respectivamente, P ( , t) = 0 e

·

P

| ∈ P

˙ P =0 ( , t) = K

P

 −

P t

134

·

T grad x˙ dv ,

| ∈ P P

(3.77)

˙ P =0( , t) é a potˆ encia cin´ etica sem potˆ encia mecânica. Substituindo as eqs. onde K 3.76 e 3.77 na eq. 3.75 obtém-se

P

˙ ( , t) = P ( , t) + K ˙ P =0 ( , t) . K

P

P

P

(3.78)

Deve-se, porém, lembrar que v´ınculos especiais podem permitir a conserva¸ cão dos momentos linear e angular sem que seja imposta a lei cl´ assica de conserva¸caõ de tais momentos. Em outras palavras, é poss´ıvel conservar estes momentos tendo-se, simultaneamente, ˙ ( , t) = ˙ dv . P ( , t) = 0, logo K P t T grad x Qualifica-se como homogêneo ao processo durante o qual, para todo t, qualquer

P 

P  −



·

propriedade intensiva (por exemplo densidade, press˜ ao, temperatura, concentra¸ cão etc.) apresente o mesmo valor em todos os pontos de t , embora tal valor possa variar com t. Impondo que, num processo homogêneo, a velocidade também apresente igual valor em todos os pontos, ent˜ ao, por defini¸caõ, a homogeneidade exige que grad ˙x = 0 (não confundir com o conceito de material homogêneo, a ser apresentado no final da se¸ cão 4.3). Portanto, num processo homogêneo:

P

˙ P =0 ( , t) = 0, de acordo com a eq. 3.77. 1. K

P

˙ ( , t) = P ( , t), de acordo com as eqs. 3.78 e com o primeiro item. 2. K

P

P

3. Existe a lei clássica de conserva¸cão da energia cinética e esta coincide com a lei clássica de conserva¸cão dos momentos linear e angular.

3.3.6

Balanceamento de Energias Total e Interna

Conforme um dos conceitos centrais da mecˆ anica, a energia é conservativa. Isto gera a idéia de existência de uma conservativa energia total, divis´ıvel em parcelas aditivas, as quais não precisariam ser conservativas. Uma parcela n˜ ao conservativa seria a energia cinética, já definida pela eq. 3.71. A energia cinética é um conceito fundamental da dinâmica, intimamente relacionado aos conceitos de momento linear e angular, conforme mostrado na subse¸caõ 3.3.5. Por diferen¸ca, a parte restante da energia total é denominada energia interna . Evidentemente, a energia interna deve ser n˜ ao conservativa, sua altera¸caõ compensando a altera¸caõ de energia cinética, ou seja, numa regi˜ ao material isolada (subse¸caõ 3.1.1) a potência que altera a energia cinética deve ser, a cada instante, igual e de sinal contr´ ario a` potência que modifica a energia interna. Em outras palavras, tal potência deve, apenas, transformar energia cinética em interna e vice-versa. Seja χ( , t) uma configura¸cão corrente pertencente ao movimento (subse¸ caõ 2.4.1) χ( , ) do corpo e seja uma região material (subse¸caõ 3.1.1) . Define-se a energia interna de , em χ( , t), pela express˜ ao

··

· B P ·

P ⊂ B

P

E ( , t) =



P t

ρdv,

(3.79)

assica sendo t na configura¸cão corrente e (x, t) a densidade m´ t a imagem de de energia interna . Define-se, também, a potência total trocada por t t ,

P ⊂ B

P



∂ Pt

·

x˙ t da +



∂ Pt

h da +



P t

135

·

ρ x˙ b dv +



P t

P ⊂ B

ρrdv,

(3.80)





onde os termos ∂ Pt x˙ t da e P t ρ x˙ b dv já foram comentados logo ap´ os a eq. 3.75. O escalar densidade m´ assica de suprimento de calor r = r(x, t), assim como ocorre com o vetor b, é produzido por fonte externa a (por exemplo, é uma radia¸cão proveniente de fonte externa ao corpo). Este escalar é o an´ alogo, para a energia interna, do que é o escalar x˙ b, para a energia cinética. O escalar densidade de calor condutivo superficial, h = h(x, t , ∂ t ), é o análogo, para a energia interna, do que é o escalar x˙ t para a energia cinética. Imp˜ oe-se que tanto  quanto r e h sejam objetivos sob transforma¸caõ euclideana, porque trata-se de conceitos primitivos. Semelhantemente ao postulado (eq. 3.54), princ´ıpio (eq. 3.55) e teorema de Cauchy (eq. 3.56), o princ´ıpio de fluxo t´ ermico de Fourier-Stokes afirma que

·

·

B

·

P

·

P

h(x, t , ∂ t ) = h(x, t, n) =

−q(x, t) · n(x, t) ,

(3.81)

onde q(x, t) é o vetor fluxo t´ ermico . A eq. 3.81 é a defini¸caõ de q(x, t). Usando as eqs. 3.71 (defini¸ caõ de energia cinética), 3.79 (defini¸ cão de energia interna), 3.80 (defini¸caõ de potência total trocada, nela fazendo a substitui¸ cão x˙ t = T ˙x n, de acordo com a subse¸cão 3.3.5, imediatamente ap´ os a eq. 3.74) e 3.81 (defini¸cão do vetor de fluxo térmico q ), para uma estrutura inercial obtém-se a express˜ ao para o balanceamento clássico de energia total, na configura¸cão corrente e utilizando a descri¸ caõ espacial,

·

d dt



ρ ( x˙ x˙ + ρ ) dv = P t 2

·



∂ Pt

(T x˙

− q) · nda +



P t

·

ρ (x˙ b + r) dv .

·

(3.82)

Ao se comparar a eq. 3.82 com a eq. 3.1 obt´ em-se ψ =

ρ x˙ x˙ + ρ  , 2

˙ Φ ψ = T x

·

−q

σψ = ρ (x˙ b + r) .

·

e

Portanto, a lei cl´ assica de conserva¸c˜ ao da energia total (subse¸caõ 3.1.1) é obedecida se e somente se T = q = b = r = 0 na eq. 3.82, ou seja, T e q são nulos na superf´ıcie, enquanto que b e r s˜ ao nulos em todo ponto da regi˜ ao material. Convém, ainda, lembrar que, desde a subse¸ cão 3.3.2, considera-se que densidades mássicas de suprimento n˜ a o dependam do que ocorra em outros pontos do corpo, ou seja, que a intera¸cão entre as diversas partes do corpo se manifeste somente por meio de contato superficial. At´ e ao fim da subse¸ cão anterior, isto se referia apenas ao suprimento de for¸ca corporal b e a` tra¸cão superficial t = T n. Mas, a partir da presente subse¸ cão, este conceito envolve também o suprimento de calor r e o calor condutivo superficial h = q n. As eqs. 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que

·

∂ ρ ρ ( x˙ x˙ + ρ ) + div(( x˙ x˙ + ρ )x˙ T x˙ + q) ρ (x˙ b + r) = 0 e (3.83) ∂t 2 2 ρ ( x˙ x˙ + ρ )(x˙ n un ) + q T x˙ n = 0 . (3.84) 2 A eq. 3.83 (equa¸caõ de campo) é a forma local, em pontos regulares, da eq. 3.82, enquanto que a eq. 3.84 (equa¸caõ de Rankine-Hugoniot) é a forma local da mesma equa¸ caõ, mas para pontos sobre uma superf´ıcie singular. Pode ser mais util ´ escrever a eq. 3.84 em termos das velocidades locais de propaga¸ cão definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente 1 ρ U ( + x˙ x˙ ) + T x˙ q n = 0 . (3.85) 2

·

·



−

−

·

·

· −   − ·



·   − · 136

A partir da eq. 3.85 demonstra-se que, supondo que a componente tangencial da velocidade seja cont´ınua na superf´ıcie singular, tem-se

q · n = (ρ U )  − ρ1 (n · T n) + 12 U  . −

2

(3.86)

Subtraindo a eq. 3.73 da eq. 3.83 obtém-se ∂ (ρ ) + div(ρ  x˙ + q) ∂t

− T · grad x˙ − ρ r = 0.

(3.87)

Como foi subtra´ıda a equa¸cão de campo para a energia cinética da equa¸ cão de campo da energia total, a eq. 3.87 é a equa¸ cão de campo para a energia interna. Comparando as eqs. 3.87 e 3.11 obtém-se que ψ = ρ  ,

Φ ψ =

−q

·

σψ = T grad x˙ + ρ r ,

e

resultado este absolutamente coerente com os resultados an´ alogos, obtidos para a energia cinética e para a energia total. Portanto, assim como a energia cinética, a energia interna também n˜ ao é conservativa. A eq. 3.87 contém a descri¸ cão espacial da derivada temporal, mas pode ser mais u´til a descri¸cão material desta derivada. Para se efetuar esta transforma¸caõ, nota-se que ∂ (ρ ) ∂ρ ∂ =  +ρ = ∂t ∂t ∂t

− div(ρ x˙ ) + ρ ˙ − ρ (grad ) · x˙ = ρ ˙ − div(ρ  x˙ ) ,

onde foram usadas a primeira entre as eqs. 3.39, a primeira entre as eqs. 2.31 e o item 1 do coment´ ario 1.3.20 (express˜ oes para divergência e laplaciano). Substituindo a ultima ´ expressão destacada na eq. 3.87, obtém-se

·

ρ ˙ + div q = T grad ˙x + ρ r .

(3.88)

Também em analogia ao que acontece para a energia cinética, n˜ ao existe uma equa¸caõ de Rankine-Hugoniot para a energia interna. Ou seja, ao contr´ ario do que ocorre para pontos regulares, n˜ ao é poss´ıvel decompor a eq. 3.84 numa express˜ ao para energia cinética e outra para energia interna. A medida que o ponto regular se aproximar da superf´ıcie singular, as divergências das energias cinética e interna se anular˜ ao entre si, de modo a tender para uma descontinuidade finita para a energia total (eq. 3.84). Conforme destacado logo ap´ os a eq. 3.87, para a energia interna deve-se considerar ψ = ρ  , Φ ψ = q e σψ = T grad x˙ + ρ r . Então, para a energia interna a eq. 3.1 deve ser escrita

−

·

d dt



P t

ρ  d v =

 −

∂ Pt

·

q n da +



P t

·

T grad x˙ dv +



P t

ρrdv,

(3.89)

que é o balanceamento cl´ assico de energia interna, na configura¸caõ corrente e utilizando a descri¸cão espacial, para uma estrutura inercial. Note que, conforme esperado, somando as eqs. 3.74 (balanceamento cl´ assico de energia cinética) e 3.89 obtém-se a eq. 3.82 (balanceamento cl´ assico de energia total). Em analogia a` defini¸cão de potência mecânica dada pela eq. 3.76, define-se a potˆ encia térmica Q( , t) = ρrdv. (3.90) q n da +

P

 −

∂ Pt

·

137



P t

Usando as eqs. 3.77 e 3.90, a eq. 3.89 pode ser re-escrita sob a forma ˙ ( , t) = Q( , t) E

P − K ˙ (P , t) ,

P

P =0

(3.91)

que é an´ aloga a` eq. 3.78. Somando a eq. 3.78 a` eq. 3.91 tem-se ˙ ( , t) + K ˙ ( , t) = Q( , t) + P ( , t) , E

P

P

P

P

(3.92)

conforme esperado. De acordo com o primeiro item do ultimo ´ par´ agrafo da subse¸cão 3.3.5, ˙ P =0( , t) = 0. Isto indica que, neste processo: para um processo homogêneo tem-se K

P

1. As energias cin´ etica e interna n˜ a o se transformam diretamente uma na outra, ˙ P =0 ( , t). Por isto, tanto a energia porque é anulada a potência transfer´ıvel, K cinética como a energia interna s˜ ao conservativas, apresentado respecticamente as leis clássicas de conserva¸caõ T (x, t) = 0 x ∂ , b(x, t) = 0 x e q(x, t) = 0 x ∂ , r(x, t) = 0 x . O fato de ser poss´ıvel conservar, separadamente, cada uma das duas energias, confirma que elas n˜ ao se transformam, diretamente, uma na outra.

P | ∈ P

{ | ∈ P}

| ∈ P

| ∈ P} {

˙ ( , t) = Q( , t), de acordo com a eq. 3.91, enquanto 2. Para a energia interna tem-se E ˙ ( , t) = P ( , t). Não que, considerando a eq. 3.78, para a energia cinética tem-se K se altera, portanto, a eq. 3.92, válida para qualquer processo em meio cont´ınuo.

P

P

P

P

Grafando P  ( , t) a` potência mecˆ anica correspondente a` conserva¸caõ dos momentos linear e angular sem que seja imposta a lei cl´ assica de conserva¸cão de tais momentos (ver texto imediatamente ap´ os a eq. 3.78), nos processos homogêneos costuma-se subtrair ˙ ( , t) = P ( , t), que passa a ser escrita P  ( , t) de ambos os membros da igualdade K ˙  ( , t) = P ( , t) P  ( , t), sendo P ( , t) P  ( , t) a potência mecânica corresponK ˙  ( , t) é a potência cinética do movimento dente ao movimento de corpo r´ıgido, logo K de corpo r´ıgido. Por outro lado, nos processos homogêneos costuma-se adicionar P  ( , t) a ambos ˙ ( , t) = Q( , t), obtendo-se E ˙  ( , t) = Q( , t) + P  ( , t), os membros da igualdade E chamada primeira lei da termodinˆ amica dos processos homogˆ eneos. Logo, a ˙  ( , t), a que se refere a primeira lei da termodinˆ potência interna E amica dos processos ˙  ( , t) homogêneos, não é a mesma a` que se refere a eq. 3.91. De fato, a diferen¸ca entre E ˙  ( , t), não é a potência cinética e a potência total é a potência cinética de corpo r´ıgido K

P

P P

P P − P P

P − P

P

P

P

P

P

P

P P

P

P

total definida pela eq. 3.75. Convém, ainda, lembrar que, a rigor, é irrealiz´ avel um processo em meio cont´ınuo que mantenha, ao longo de todo o seu tempo de existência, a homogeneidade de todas as suas propriedades intensivas, inclusive da velocidade pontual, mesmo supondo-se que os valores de tais grandezas possam variar no tempo. Porém, quando as velocidades de homogeneiza¸ caõ das propriedades intensivas e da velocidade pontual forem suficientemente maiores do que a velocidade de avan¸ co do processo, dentro da precis˜ ao desejada o processo pode ser considerado homogêneo. Mas, para processos em meio cont´ınuo de um modo geral, a primeira lei da termodinˆ amica deve ser fornecida em termos da energia total, ou seja, por meio das eqs. desde 3.82 até 3.86, ou de express˜ oes obtidas a partir destas igualdades.

138

3.4 3.4.1

Equa¸c˜ oes Complementares Equa¸co ˜es de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descri¸c˜ ao Material

Serão apresentadas as equa¸co˜es de campo e de Rankine-Hugoniot, na descri¸cão material, para a massa, os momentos linear e angular, a energia interna, a energia total e a energia cinética, quando existirem tais equa¸co˜es.

Massa Como, para a massa, ψ = ρ , Φψ = 0 e σψ = 0 (se¸caõ 3.2), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se ψκ = J ρ = ρ κ , Φψκ = 0 e σκψ = 0. (3.93)

||

Logo, usando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente, ρ˙ κ = 0

ρ  U

e

κ

κ

= 0.

(3.94)

Como considerar U κ = 0 seria uma particulariza¸caõ que, conforme a condi¸cão de compatibilidade cinem´ atica na superf´ıcie singular expressa pela primeira entre as eqs. 3.32, implicaria em impor x˙ = 0, a segunda entre as eqs. 3.94 pode ser escrita

 

ρ  = 0.

κ

(3.95)

Note que a primeira entre as eqs. 3.93 é a eq. 3.37.

Momento Linear Como, para o momento linear, ψ = ρ x˙ , Φψ = T e σψ = ρ b (subse¸cão 3.3.4, logo ap´ os a eq. 3.60), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se Φψκ = J T F −T = T κ

ψκ = J ρx˙ = ρ κ ˙x ,

||

||

σκψ = J ρb = ρ κ b , (3.96)

||

e

onde na primeira e terceira equa¸caõ foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93 e o tensor T κ é denominado tensor de tra¸ca õ de Piola-Kirchoff . Logo, usando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente, ¨ ρκ x

− DivT − ρ b = 0 κ

ρ ˙xU + T n

e

κ

κ

κ

κ

κ

= 0,

(3.97)

onde na primeira equa¸caõ foi usada a primeira entre as eqs. 3.94. Por meio da primeira entre as eqs. 3.32 e da eq. 3.95, a segunda entre as eqs. 3.97 pode ser escrita 2

T n  = ρ U F n  . κ

κ

κ

κ

κ

(3.98)

Usando a primeira entre as eqs. 2.9, que relaciona eκ daκ com eda e, também, o que foi colocado na subse¸cão 3.1.2, sobre a substitui¸cão de J por J , mostra-se que



∂ Pt

T n da =



∂ Pκ

139

| |

T κ nκ daκ .

(3.99)

Momento Angular De acordo com a subse¸caõ 3.3.4, a equa¸cão de Rankine-Hugoniot para os momentos linear e angular é a mesma na descri¸ caõ espacial, logo também é a mesma na descri¸caõ material. Quanto a` equa¸caõ de campo, ela é, na descri¸cão espacial, a eq. 3.66, a saber, T = T T . Considerando esta igualdade e a segunda entre as eqs. 3.96, tem-se que T κT = J F −1 T ,

||

(3.100)

logo T κT = F −1 J T F −T F T = F −1 T κ F T , onde, na u ´ltima igualdade, usou-se novamente a segunda entre as eqs. 3.96. Tem-se, portanto, F T κT = T κ F T , que indica que, embora tenha sido usada a igualdade T = T T , não foi obtida igualdade an´ aloga para o tensor T κ . Logo, o tensor de tra¸caõ de Piola-Kirchoff não é simétrico.

||

Energia Interna

−

·

Como, para a energia interna, ψ = ρ  , Φψ = q e σψ = T gradx˙ + ρ r (subse¸caõ 3.3.6, logo ap´ os a eq. 3.87), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se Φψκ =

||

ψκ = J ρ  = ρ κ  ,

−1

−|J |F

q =

−q

e

κ

˙ + ρκ r , (3.101) σκψ = T κ F

·

onde na primeira equa¸cã o foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93 e o vetor q κ é denominado vetor fluxo t´ ermico material. A aplica¸cão da terceira entre as eqs. 3.19 a σψ = T gradx˙ + ρ r inicialmente produz σκψ = J (T gradx˙ + ρ r). Mas tem-se que ˙ T ) = tr(T κ F ˙ T ) = J T gradx˙ = J tr(T (gradx˙ )T ) = tr( J T (F˙ F −1 )T ) = tr( J T F −T F ˙ , onde para a primeira e u´ltima igualdades utilizou-se a defini¸caõ de produto T κ F interno de tensores de segunda ordem 1.2.27, na segunda igualdade usou-se a eq. 2.34 e, na quarta, a segunda entre as eqs. 3.96. Usando, ainda, a primeira entre as eqs. 3.93 no termo J ρ r , chega-se ao resultado apresentado na terceira entre as eqs 3.101. Logo, usando a eq. 3.24 (lembrar que a energia interna diverge numa superf´ıcie singular), tem-se

| | · ·

·

| |

| | ·

||

||

| |

ρκ ˙ + Div q κ

− T · F ˙ − ρ κ

κ

r = 0,

(3.102)

onde foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.94. Usando a primeira entre as eqs. 2.9, que relaciona eκ daκ com eda e, também, o que foi colocado na subse¸ cão 3.1.2, sobre a substitui¸caõ de J por J , mostra-se que

| |



∂ Pt

q n da =

·



∂ Pκ

qκ nκ daκ .

·

(3.103)

Energia Total Como, para a energia total, ψ = 2ρ x˙ x˙ +ρ  , Φψ = T x˙ q e σψ = ρ (x˙ b + r) (subse¸caõ 3.3.6 logo ap´ os a eq. 3.82), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se

·

ψκ = Φψκ = σκψ =

−

·

|J | ( ρ2 x˙ · x˙ + ρ ) = ρ2 x˙ · x˙ + ρ  |J | F (T x˙ − q) = T x˙ − q |J | ρ (x˙ · b + r) = ρ (x˙ · b + r) , κ

κ

−1

T κ κ

140

κ

(3.104)

onde, na primeira e na terceira equa¸ cão, foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93. Usando a eq. 3.100 conjuntamente com a segunda entre as eqs. 3.101, confirma-se a ultima ´ igualdade da segunda equa¸cão. Logo, utilizando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente, ¨ + ) ˙ + Div(q κ T κT x˙ ) ρκ (x˙ b + r) = 0 ρκ (x˙ x 1 e ρκ ( x˙ x˙ + ) U κ + T κT x˙ q κ nκ = 0, 2

·



− 

·

−

·



− ·

(3.105)

onde, na primeira equa¸caõ, foi usada a primeira entre as eqs. 3.94. Por meio da condi¸caõ de compatibilidade cinem´ atica na superf´ıcie singular expressa pelas eqs. 3.32, a segunda entre as eqs. 3.105 pode ser escrita

q  · n = U ( ρ − < T n > ·F n ) , κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

(3.106)

onde usa-se o s´ımbolo < A >= (A+ + A− )/2 para o valor médio de A sobre a superf´ıcie singular.

Energia Cin´ etica Subtra´ındo a eq. 3.102 da primeira entre as eqs. 3.105 (veja a se¸ cão 3.3.6), obtém-se

· − Div(T x˙ ) + T · F ˙ − ρ x˙ · b = 0,

¨ ρκ x˙ x

T κ

κ

κ

(3.107)

que corresponde ao uso da eq. 3.24 para a energia cinética (lembrar que a energia cinética diverge numa superf´ıcie singular).

3.4.2

Condi¸ co ˜es de Fronteira do Corpo

A fronteira do corpo, em determinado instante t, sã o os pontos da imagem ∂ t de sua superf´ıcie material (subse¸ caõ 3.1.1), sendo nulas as velocidades locais de propaga¸ caõ U ± = u n x˙ ± n (eq. 3.14). Por isto, na fronteira a descri¸ cão espacial dos balanceamentos locais em pontos singulares, para momento linear e angular (eq. 3.63) e energia total (eq. 3.85), são respectivamente

B

− ·

T  n = 0

q · n = x˙ · T n  , onde, para a segunda equa¸caõ, considerou-se T x˙ · n = x˙ · T n, por causa da defini¸caõ e

±

±

±

±

de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17 e da equa¸caõ de campo para momento angular (eq. 3.66) T = T T . Mas, como a primeira entre as ultimas ´ duas express˜ oes destacadas ± mostra que T é bem determinado na fronteira, tem-se T = T , logo a segunda, entre tais expressões, pode ser escrita (3.108) q n = x˙ T n .

 ·

 ·

A eq. 3.108 mostra que, se a fronteira for fixa ( x˙ = 0) ou livre (T n = 0), para todas as configura¸co˜es correntes e para a configura¸cão referencial, ent˜ ao a componente normal do vetor fluxo térmico ser´ a, sempre, bem definida na fronteira. Se a componente normal do vetor fluxo térmico for, sempre, bem definida na fronteira, como, por exemplo, acontece nos dois casos citados no par´ agrafo anterior, ent˜ ao o atica, ou seja, termicamente isolante, o que corpo poder´ a apresentar uma fronteira adiab´

141

indica que a componente normal do vetor fluxo térmico ser´ a sempre nula na fronteira. Optativamente, pode-se usar, para a fronteira, a descri¸ caõ material dos balanceamentos locais em pontos singulares, para momento linear (segunda entre as eqs. 3.97) e energia total (segunda entre as eqs. 3.105). Lembrando que U κ = 0 sobre a fronteira do corpo, tem-se ent˜ ao, respectivamente,

T  n κ

κ

=0

T κ

T x˙ − q  · n = 0 .

e

κ

κ

A primeira equa¸cão mostra que T κ é bem determinado na fronteira e, para a segunda equa¸caõ, considera-se (T κT ) ± x˙ ± nκ = x˙ ± T κ± nκ . Mas, como T κ é bem determinado na fronteira, tem-se T κ± = T κ , logo a segunda, entre as u ´ ltimas duas equa¸co˜es destacadas, pode ser escrita (3.109) x˙ T κ nκ = qκ nκ .

·

·

 ·

 ·

A eq. 3.109 confirma que, se a fronteira for fixa ou livre, ent˜ ao a componente normal do vetor de fluxo térmico material ser´ a bem definida na fronteira. Evidentemente, sempre a componente normal do vetor fluxo térmico material for bem definida na fronteira, ela poderá ser nula, o que ocorre no caso de fronteira adiab´ atica.

3.4.3

Equa¸co ˜es de Campo em Estrutura Referencial Arbitr´ aria

Grandezas Objetivas nas Equa¸c˜ oes de Campo Ao longo deste cap´ıtulo, foram definidas v´ arias grandezas objetivas, em rela¸caõ a` transforma¸cão euclideana (subse¸caõ 2.6.1). Entre elas, podem ser destacadas:

P

1. O escalar massa M ( ), logo o escalar densidade volum´ etrica de massa ρ (se¸caõ 3.2). Portanto (primeira entre as eqs. 2.69), ρ∗ (x∗ , t∗ ) = ρ(x, t).

P

P

2. Os vetores for¸ca f ( , t) e torque mx ( , t) (subse¸cão 3.3.1), logo os vetores densidade mássica de suprimento de for¸ca corporal b (eq. 3.50) e tra¸caõ superficial t (eq. 3.51), assim como o tensor de tra¸caõ de Cauchy T (eq. 3.56). Portanto (respectivamente segunda e terceira entre as eqs. 2.69), ◦

b∗(x∗ , t∗ ) = Q(t)b(x, t)

e

T ∗ (x∗ , t∗ ) = Q(t)T (x, t)QT (t)

3. Os escalares densidade mássica de energia interna , densidade mássica de suprimento de calor r e densidade de calor condutivo superficial h (se¸caõ 3.3.6), logo o vetor de fluxo térmico q (eq. 3.81). Portanto, ∗ (x∗ , t∗ ) = (x, t) ,

r∗ (x∗ , t∗ ) = r(x, t)

e

q∗(x∗ , t∗ ) = Q(t)q(x, t) .

Na subse¸cão 2.6.3 foi indicado que o gradiente da velocidade L = grad x˙ satisfaz a` eq. 2.82, a qual pode ser re-escrita sob a forma (grad x˙ )∗ = Q (grad ˙x) QT + Ω ,

(3.110)

onde Ω = Q˙ QT é um tensor antissim´ etrico denominado tensor de velocidade angular de ∗ φ em rela¸caõ a φ (eq. 2.72). Tem-se, então, que: 142

A. Considerando que, de acordo com a defini¸ cão de divergência de campo vetorial 1.3.11, tem-se divu(x) = tr( x u) e que trΩ = 0, porque Ω é antissimétrico, a eq. 3.110 mostra que tr(grad x˙ )∗ = tr(Q (grad x˙ ) QT ). Mas, de acordo com o item 5 do coment´ ario 1.2.29 (propriedades dos tra¸cos), tem-se tr(Q (grad x˙ ) QT ) = tr((grad x˙ ) QT Q) = tr(grad x˙ ), porque Q é ortogonal (subse¸cão 2.6.1). Logo,

∇

(div x˙ )∗ = div x˙ . B. Considerando que, de acordo com a defini¸cão de produto interno de tensores de segunda ordem 1.2.27, tem-se A B = tr(AB T ), a eq. 3.110 mostra que, lembrando que T é objetivo (item 2), tr(T ∗ (grad x˙ )∗ ) = tr(Q T QT Q (grad x˙ ) QT )+tr(T ∗ Ω) = tr(T (grad x˙ )), por causa do item 5 do coment´ ario 1.2.29, porque Q é ortogonal e porque T ∗ é simétrico (eq. 3.66) e Ω é antissimétrico, o que causa tr(T ∗ Ω) = 0. Logo, (T grad x˙ )∗ = T grad x˙ .

·

·

·

Tem-se, ainda, que: I. A eq. 2.85 mostra que o gradiente de um campo vetorial objetivo é objetivo. Como caõ de divergência de q é objetivo (item 3), x q é objetivo e, de acordo com a defini¸ campo vetorial 1.3.11, div q = tr( x q), logo div q é um escalar objetivo, ou seja,

∇

∇

(div q)∗ = div q . II. De acordo com a defini¸caõ 1.3.13 de divergência de campo tensorial S , tem-se v divS = div(S T v) = tr( x (S T v)), onde a u ´ ltima igualdade se deve a` defini¸caõ de divergência de campo vetorial 1.3.11. Como v é um campo vetorial constante qualquer, v é objetivo. Então, o vetor S T v será objetivo se S for objetivo, porque, neste caso, (S T v)∗ = (S T )∗ v∗ = QS T QT Qv = QS T v. Logo, de acordo com a eq. 2.85, se S for objetivo ser´ a objetivo o escalar v divS = div(S T v) = tr( x (S T v)). Mas (v divS )∗ = v∗ (divS )∗ = v divS , sendo v∗ = Qv, implica em (divS )∗ = Q divS , porque Qv Qu = u QT Qv = u v (defini¸caõ de transforma¸caõ linear transposta 1.2.17). Logo, se S for objetivo ent˜ ao o vetor divS e´ objetivo. Como T é objetivo sob transforma¸caõ euclideana (item 2), ent˜ ao

·

∇

·

·

·

·

·

·

∇

·

(div T )∗ = Q div T . ´ objetiva a derivada temporal material de um campo escalar objetivo, conforme III. E indica a primeira entre as três eqs. 2.87. Portanto, como ρ e  são objetivos, respectivamente de acordo com os itens 1 e 3, (ρ) ˙ ∗ = ρ˙

e

() ˙ ∗ = ˙ .

Equa¸co ˜es de Campo As observa¸cões apresentadas na primeira parte desta subse¸cão mostram que as equa¸co˜es de campo para massa (eq. 3.41), ρ˙ + ρ divx˙ = 0 143

e para energia interna (eq. 3.88), ρ ˙ + div q = T grad ˙x + ρ r ,

·

são objetivas sob transforma¸cão euclideana. Mas na subse¸caõ 2.6.2 mostrou-se que a velocidade e a acelera¸cão n˜ ao são vetores objetivos, em rela¸cão a` transforma¸caõ euclideana, porque elas respectivamente satisfazem a` segunda entre as eqs. 2.71 e a` equa¸caõ 2.74. Logo, a equa¸cão de campo para o momento linear (eq. 3.62),

x ρ¨

− div T = ρ b ,

¨ , embora, em não é objetiva sob transforma¸ caõ euclideana, porque contém a acelera¸ caõ x rela¸caõ a` tranforma¸cão galileiana, seja indiferente a` estrutura de referência. De acordo com a eq. 2.74, tem-se ¨∗ x = x Q¨

∗

−i

, onde

i∗ = ¨c + 2Ω (x˙ ∗

− c˙ ) + (Ω ˙ − Ω )(x − c) . 2

∗

Portanto, ao se aplicar a transforma¸ cão Q aos vetores da equa¸ca˜ o de campo para o ¨ Q div T = ρ Q b , ou, como ρ, div T e b são objetivos, momento linear obtém-se ρ Q x

−

x∗ ρ∗ (¨

∗

− i ) − (div T )

∗

= ρ ∗ b∗ .

¨ ∗ i ∗ é objetivo sob transforma¸caõ euclideana. Portanto, Demonstra-se que o vetor x as equa¸cões de campo objetivas sob transforma¸caõ euclideana s˜ ao, respectivamente para massa, momento linear e energia interna,

−

ρ˙ + ρ divx˙ = 0 ,

x ρ¨

− div T = ρ(b + i)

e

ρ ˙ +div q

− T · grad x˙ = ρ r , (3.111)

onde o vetor i é nulo se φ∗ for uma estrutura de referência inercial, porque neste caso ¨ ∗ (div T )∗ = ρ ∗ b∗ , logo Ω = ¨c = 0 numa estrutura de referência inercial. Por isto, ρ∗ x i é denominado vetor densidade m´ assica de suprimento de for¸ca inercial, enquanto que b + i é o vetor densidade m´ assica de suprimento de for¸ca corporal aparente . Note que:

−

• A partir das três eqs.

3.111 e da equa¸ cão de campo para o momento angular (simetria do tensor T ) tem-se equa¸co˜es de campo objetivas para as energias cinética e total.

• A partir das equa¸co˜es de campo objetivas para massa, momentos e energias, temse as correspondentes equa¸co˜es integrais objetivas de balanceamento, bem como as correspondentes equa¸ cões objetivas de Rankine-Hugoniot.

• E´ usual se escrever b significando b + i, em qualquer estrutura de referência, com a particularidade de se considerar i = 0 se a estrutura for inercial.

• A densidade mássica de for¸ca inercial i é formada pelas parcelas de Coriolis 2Ω (x˙ − ˙ (x ¨ − i) e inercial referente a` transla¸caõ, c¨. c˙ ), centr´ıfuga −Ω (x − c), de Euler Ω • As três eqs. 3.111 apresentam as descri¸co˜es materiais das correspondentes deriva2

das temporais. Evidentemente, elas podem ser escritas em termos das descri¸ cões espaciais destas derivadas. 144

Cap´ıtulo 4 Princ´ıpios B´ asicos das Teorias Constitutivas 4.1

Campos B´ asicos, Fun¸co ˜es e Funcionais Constitutivos

De acordo com o cap´ıtulo anterior, as equa¸ cões de balanceamento locais, para pontos regulares e singulares, dependem da:

B× → E

1. fun¸cão pontual movimento χ : , fornecida pela eq. 2.25 e de todas as grandezas cinem´ aticas dela decorrentes (posi¸caõ, velocidade, gradiente de deforma¸caõ etc.); + 2. fun¸cão escalar densidade volum´ etrica de massa ρ : , cuja descri¸caõ + espacial, que pode ser escrita ρ : t , é definida pela eq. 3.35 (sendo β a configura¸caõ corrente, ou seja, retirando-se os ´ındices β do integrando e, no ´ındice do sinal de integra¸caõ, substituindo β por t);

B ×→

B ×  → 

3. fun¸cão vetorial densidade m´ assica de suprimento de for¸ca corporal b : V , cuja descri¸cão espacial, que pode ser escrita b : t V , é definida pela eq. 3.50;

B ×  →

B × →

B ×  → 

4. fun¸cão escalar densidade m´ assica de suprimento de calor r : , cuja descri¸caõ espacial, que pode ser escrita r : t , é definida pela eq. 3.80;

B ×→ 5. fun¸cão tensorial de Cauchy T : B ×  → V ⊗ V , cuja descri¸caõ espacial, que pode ser escrita T : B ×  → V ⊗ V , é fornecida pela eq. 3.56; 6. fun¸cão escalar densidade m´ assica de energia interna  : B ×  →  , cuja descri¸caõ espacial, que pode ser escrita  : B ×  → , é definida pela eq. 3.79 e 7. fun¸cão vetorial de fluxo térmico q : B ×  → V , cuja descri¸cão espacial, que pode ser escrita q : B ×  → V , é definida pela eq. 3.81. t

t

t

Além destas sete fun¸cões, deve-se agora introduzir a fun¸ caõ escalar temperatura, por + defini¸caõ positiva, grafada θ : . A temperatura é suposta ser um primitivo,

B ×  → 

logo é suposta ser objetiva sob transforma¸ cão euclideana (subse¸caõ 2.6.1). Considera-se que: 145

asico e que o conjunto A. cada um entre ρ(X, t), χ(X, t) e θ(X, t) seja um campo b´ dos três campos b´ asicos caracterize as propriedades do material, enquanto que B. T (X, t), q(X, t) e (X, t) sejam grandezas constitutivas , as quais dependem dos três campos b´ asicos e, al´ em disto, também dependem do tipo de material que constitui o corpo ao qual pertence o ponto X (este é o significado do adjetivo constitutivo). Note que, enquanto os campos b´ asicos são exatamente os três indicados, existem infinitas outras grandezas constitutivas, além das três mencionadas, que não aparecem nas ante-citadas equa¸cões de balanceamento.

B

C. b(X, t) e r(X, t) influenciem ρ(X, t), χ(X, t) e θ(X, t), portanto indiretamente influenciem as grandezas constitutivas, mas que n˜ ao influenciem diretamente tais grandezas. Note que nos anteriores itens de A a C escreveu-se, por exemplo, ρ(X, t), embora a ausência de ´ındice em ρ seja costumeiramente associada a ρ(x, t). Logo, para evitar confusões, quando a fun¸caõ sem ´ındice se referir a (X, t) este fato dever ser explicitado. Para o estudo de como as grandezas constitutivas dependem dos campos b´ asicos, fazse inicialmente necess´ ario definir o conceito de hist´ oria de uma fun¸cão temporal ψ( ), dado por ψ t (s) = ψ(t s) , sendo s [0, ), (4.1)

·

− ∈ ∞ onde o intervalo fechado abaixo [0, ∞) (defini¸cão 1.3.1 de subconjunto aberto) mostra que s é uma coordenada temporal apontada para o passado, a partir do instante presente t. Como s = 0 corresponde ao momento presente, tem-se ψ (0) = ψ(t). Sendo C (X, t) o valor, no ponto X ∈ B e no instante t, de uma grandeza constitutiva qualquer, postula-se, t

ent˜ ao, o princ´ıpio de determinismo t

t

t

C (X, t) = F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), X, t) , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0, ∞), (4.2) onde F é um funcional constitutivo (defini¸cã o de fun¸caõ e funcional 1.1.1). Logo, o

princ´ıpio de determinismo imp˜ oe que as hist´ orias completas da densidade, do movimento e da temperatura, em todos os pontos Y do corpo , determinam os valores das grandezas constitutivas, para todo instante t e ponto X pertencente a . Portanto, o valor (X, t) ser´ a anotado (ρt (Y, s), χt (Y, s), θ t (Y, s), X, t) sempre que se desejar ressaltar o seu car´ ater constitutivo. Por outro lado, ( , ) = (ρt (Y, s), χt (Y, s), θ t (Y, s), , ) é uma fun¸caõ constitutiva espacial e temporal. Evidentemente, a forma correta do funcional , que depende do tipo de material que constitui o corpo , deve ser confirmada experimentalmente. Por outro lado, experimentos podem sugerir formas matem´ aticas para os funcionais. Mas, provavelmente, n˜ ao é poss´ıvel determinar usando apenas experimentos. Existem, porém, algumas exigências universais que devem ser satisfeitas por qualquer funcional constitutivo, como condi¸ caõ necessária para a sua confirma¸caõ experimental. As mais importantes exigências deste tipo são:

B

C

F

B

C · · F F

F

I. o princ´ıcio de objetividade material , II. o princ´ıpio de simetria material e III. considera¸co˜es termodinˆ amicas. 146

B

··

4.2

Princ´ıpio de Objetividade Material

4.2.1

Conceito Fundamental

C

Na eq. 4.2, evidentemente (X, t) é o valor de uma grandeza constitutiva observ´ avel, logo a igualdade corresponde a alguma estrutura referencial. Isto pode ser explicitado escrevendo-se, ao invés da eq. 4.2, t

t

t

C (X, t; φ) = F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), X, t) , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0, ∞), (4.3) onde C (X, t; φ) indica que (X, t) é argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta por meio da qual o valor C é determinado (ver o colocado imediatamente ap´ os a eq. 2.70). Na eq. 4.3 o ´ındice φ de F indica que a forma do funcional depende desta estrutura referencial e subentende-se que (Y, s) é argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta por meio da qual as fun¸cões ρ , χ e θ são determinadas. Mas, se C for uma grandeza constitutiva φ

t

t

t

objetiva em rela¸caõ a` transforma¸cão euclideana, postula-se que a forma do funcional n˜ ao dependa da estrutura referencial, embora o seu argumento se altere de acordo com a estrutura referencial considerada. Sendo (X, t) o valor de uma grandeza constitutiva objetiva em rela¸caõ a` transforma¸caõ euclideana, postula-se, portanto, o princ´ıpio de objetividade material (4.4) φ = φ ,

C

F F

∗

para quaisquer estruturas referenciais φ e φ∗ . De acordo com a eq. 2.68, supondo que seja o valor de uma grandeza constitutiva objetiva e que C S n (n = 0, 1, 2 respectivamente para espa¸co escalar, vetorial e tensorial

C

∈

de segunda ordem), tem-se ∗

∗

∗

C (X, t ; φ ) = Q C (X, t; φ) , onde Q∗ é a transforma¸caõ linear induzida no espa¸co tensorial S n pela transforma¸caõ euclideana. Substituindo a eq. 4.3 na u´ltima igualdade destacada e impondo = φ = φ (eq. 4.4), tem-se

F

F F

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

F (ρ (Y, t − s), χ (Y, t − s), θ (Y, t − s), X, t ) = Q F (ρ(Y, t − s), χ(Y, t − s), θ(Y, t − s), X, t) , ∀Y ∈ B ∗

e

∀s ∈ [0, ∞).

Lembrando que as grandezas ρ (se¸cão 3.2) e θ (se¸caõ 4.1) s˜ ao ob jetivas sob transforma¸ caõ euclideana, a qual é fornecida pela eq. 2.61, a saber

x∗ = Q(τ )(x

− x ) + c(τ ) ◦

e τ ∗ = τ + a

e considerando x∗ = χ ∗ (Y, τ ∗ ) e x = χ(Y, τ ), sendo τ ∗ = t∗ ∗

∗

−s

∗

e τ = t

− s, tem-se

F (ρ(Y, t − s), χ (Y, t − s), θ(Y, t − s), X, t ) = Q F (ρ(Y, t − s), χ(Y, t − s), θ(Y, t − s), X, t) , onde χ (Y, t − s) = Q(t − s)(χ(Y, t − s) − x ) + c(t − s) , sendo t = t + a , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0, ∞). (4.5) ∗

∗

∗

◦

∗

147

A eq. 4.5 é a restri¸ caõ imposta, pelo princ´ıpio de objetividade material, ao funcional constitutivo correspondente a uma grandeza objetiva. Sublinhe-se que, se a grandeza a que se refere o funcional n˜ ao for objetiva, esta restri¸caõ geralmente n˜ ao ser´ a válida. Entretanto, a restri¸ cão imposta ao funcional é bem maior do que explicitamente mostra a eq. 4.5. De fato, convém lembrar que a transforma¸ cão euclideana é uma transforma¸cão r´ıgida dependente do tempo (eq. 2.61), a transforma¸ cão galileiana é uma transforma¸cão euclideana espec´ıfica, em que Q independe de t e c é uma fun¸cão linear de t (eq. 2.75), mas ainda existe uma transforma¸ cão galileiana especial, que é a transforma¸caõ r´ıgida independente do tempo (eq. 2.76). Uma espec´ıfica transforma¸ cão r´ıgida independente do tempo considera Q(t) = 1 e c◦ = x ◦ , o que reduz a transforma¸caõ euclideana a e t∗ = t + a , logo x∗ = x Q∗ = 1 . Como a eq. 4.5 é v´ alida para qualquer transforma¸caõ euclideana, ela necessariamente é válida para esta especial transforma¸caõ r´ıgida independente do tempo. Mas, para o caso desta especial transforma¸caõ, tem-se, simplificando a simbologia da eq. 4.5, t

t

t

t

t

t

F (ρ , χ , θ , X, t + a) = F (ρ , χ , θ , X, t) , F

o que implica em não depender explicitamente de t, porque o valor a é totalmente arbitrário. Portanto, enquanto que para o valor de uma grandeza constitutiva qualquer devese usar a eq. 4.3, para o valor de uma grandeza constitutiva objetiva o princ´ıpio de objetividade material implica em t

t

t

C (X, t; φ) = F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), X) , ∀Y ∈ B

∀s ∈ [0, ∞),

e

(4.6)

onde subentende-se que (Y, s) é argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta por meio da qual as fun¸co˜es ρ t , χ t e θ t são determinadas. Por outro lado, a forma correta da eq. 4.5 é dada pela igualdade t ∗

t

t

F (ρ (Y, s), (χ ) (Y, s), θ (Y, s), X) (χ ) (Y, s) = Q (s)(χ (Y, s) − x ) + c (s) , t ∗

t

t

◦

t

= Q∗ (ρt (Y, s), χt (Y, s), θ t (Y, s), X) , t∗ = t + a, Y e s [0, ).(4.7)

F

∀ ∈ B ∀ ∈ ∞

Em resumo, para uma grandeza constitutiva objetiva devem ser usadas as eqs. 4.6 e 4.7, as quais provém da aplica¸cão do principio de objetividade material a` eq. 4.3. A eq. 4.5 deve ser considerada uma etapa intermedi´ aria da dedu¸caõ feita, porque ela n˜ ao revela, explicitamente, uma importante restri¸ cão imposta, pelo princ´ıpio de objetividade material, ao funcional constitutivo correspondente a uma grandeza objetiva.

4.2.2

Aplica¸c˜ ao ` a Configura¸c˜ ao Referencial

Tem-se χκ (X, t) = χ(X, t) , ρκ (X, t) = ρ(X, t) , θκ (X, t) = θ(X, t) e

C (X, t) = C (X, t) , (4.8) κ

onde a primeira igualdade é devida a`s eqs. 2.25 e 2.26 e as u ´ltimas três podem ser obtidas a partir da primeira entre as eqs. 3.18. Logo, de acordo com a eq. 4.6, para o valor de 148

C

uma grandeza constitutiva objetiva (X, t) tem-se

C (X, t)

= (ρt (Y, s), χt (Y, s), θ t (Y, s), X) = κ (X, t) =

F

C

t

t

t

F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), X) , F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), κ F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), κ t κ t κ

t κ t κ

−1

t κ t κ

(X)) e −1 (X)),

onde na segunda linha foram utilizadas as primeiras três entre as eqs. 4.8 e a eq. 2.1 e, na terceira linha, foi usada a u´ltima das eqs. 4.8. Definindo t κ

t κ

t κ

t κ

t κ

t κ

F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), X) = F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), κ κ

−1

(X)) , (4.9)

tem-se, ent˜ ao, t κ

t κ

t κ

C (X, t) = F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), X) , ∀Y ∈ B κ

κ

∀s ∈ [0, ∞).

e

κ

(4.10)

A eq. 2.1 pode ser escrita X = κ(X), na estrutura de referência φ e X∗ = κ∗ (X), na estrutura de referência φ∗ . Logo, de acordo com a ultima ´ entre as eqs. 4.8 e com a eq. 2.68, supondo que seja uma grandeza constitutiva objetiva tem-se

C

C

∗

κ∗ (

X∗, t∗ ) = (X, t∗; φ∗ ) = Q ∗ (X, t; φ) = Q ∗ κ (X, t) .

C

C

C

Usando a eq. 4.10 pode-se, portanto, escrever

F (ρ κ∗

∗

Y∗ , t∗ s), χ∗κ (Y∗ , t∗ s), θκ∗ (Y∗ , t∗ s), X∗) = Q∗ κ (ρκ (Y, t s), χκ (Y, t s), θκ (Y, t s), X) .

− F

κ∗ (

−

∗

−

∗

−

−

−

(4.11)

Mas, usando a eq. 4.9, tem-se também que

F (ρ κ∗

∗

κ∗ (

Y∗, t∗ s), χ∗κ (Y∗ , t∗ s), θκ∗ (Y∗, t∗ s), X∗ ) = (ρ∗κ (Y∗ , t∗ s), χ∗κ (Y∗ , t∗ s), θκ∗ (Y∗ , t∗ s), (κ∗ )−1 (X∗ )) = (ρκ (Y, t s), χ∗κ (Y∗ , t∗ s), θκ (Y, t s), (κ∗ )−1(X∗ )) , (4.12)

F F

−

−

∗

∗

−

−

−

∗

−

∗

−

∗

−

∗

−

sendo a u ´ ltima igualdade devida ao fato de que as grandezas ρ (se¸cão 3.2) e θ (se¸cão 4.1) são objetivas sob transforma¸cão euclideana. A express˜ ao que mostra como se altera um ponto da configura¸cão referencial, quando ocorre uma transforma¸caõ euclideana da estrutura de referência φ para a estrutura de referência φ∗ , é dada pela eq. 2.78, a seguir transcrita,

X∗ = γ (X) = K (X

−x )+c ◦

◦,

sendo

γ = κ ∗ κ−1 :

◦

B → B κ

κ∗ ,

(4.13)

onde K é um tensor ortogonal de segunda ordem e c◦ é um ponto, ambos fixos (independentes de t). Para o funcional na terceira linha da eq. 4.12 pode-se, ent˜ ao, escrever ∗

∗

∗

∗ −1

∗

F (ρ (Y, t − s), χ (Y , t − s), θ (Y, t − s), (κ ) (X )) = F (ρ (Y, t − s), χ (γ (Y), t − s), θ (Y, t − s), (κ ) (γ (X))) = F (ρ (Y, t − s), χ (γ (Y), t − s), θ (Y, t − s), (κ) (X)) = F (ρ (Y, t − s), χ (γ (Y), t − s), θ (Y, t − s), X) , κ

κ∗

κ κ

κ

κ

κ

∗

∗

∗

∗

κ∗ κ∗

∗

κ∗

∗

149

κ κ

κ

∗ −1 −1

(4.14)

onde a segunda linha é devida ao uso da primeira entre ae eqs. 4.13, a terceira linha a` u ´ ltima entre as eqs. 4.13 e a quarta linha, à eq. 4.9. Substituindo a eq. 4.14 na eq. 4.12 tem-se

Y∗ , t∗

∗

F (ρ

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

− s), χ (Y , t − s), θ (Y , t − s), X ) = F (ρ (Y, t − s), χ (γ (Y), t − s), θ (Y, t − s), X)

κ∗ (

κ∗

κ∗

κ

κ∗

∗

κ

∗

κ∗

κ

(4.15)

e, substituindo a eq. 4.15 na eq. 4.11 obtém-se ∗

∗

F (ρ (Y, t − s), χ (γ (Y), t − s), θ (Y, t − s), X) = Q F (ρ (Y, t − s), χ (Y, t − s), θ (Y, t − s), X) , sendo χ (γ (Y), t − s) = Q(t − s)(χ (Y, t − s) − x ) + c(t − s) , t = t + a , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0, ∞) , κ

κ

κ∗

∗

κ

κ

κ

κ

∗

κ

∗

κ∗

◦

κ

∗

κ

(4.16)

de acordo com a defini¸cão de transforma¸cã o euclideana, dada pela eq. 2.61, a saber x∗ = Q(t)(x x◦ ) + c (t) e t∗ = t + a. Note que, usando a igualdade que aparece na sua terceira linha, a eq. 4.16 envolve apenas a configura¸caõ referencial κ da estrutura de referência φ. Utilizando a simbologia usual

−

χ∗κ (γ (Y), t∗ ∗

t ∗ κ

t ∗ κ

− s) = (χ ) (γ (Y), s) = (χ ) ◦ γ (Y, s) ,

a eq. 4.16 pode ser escrita t ∗ κ

t κ

t κ t κ

F (ρ (Y, s), (χ ) ◦ γ (Y, s), θ (Y, s), X) = Q F (ρ (Y, s), χ (Y, s), θ (Y, s), X) , sendo (χ ) ◦ γ (Y, s) = Q (s)(χ (Y, s) − x ) + c (s) , t = t + a , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0, ∞) . κ

∗

κ

t κ

t ∗ κ

t κ

t

∗

t κ

t

◦

κ

(4.17)

Note que tanto na eq. 4.7 como na eq. 4.17 a forma do funcional não se altera e o seu argumento altera-se no que se refere a` história do movimento ou da deforma¸caõ respectivamente, mas n˜ ao se modifica em rela¸cão a`s histórias da densidade e da temperatura do corpo. Note também que, de acordo com a eq. 4.10, tem-se t κ

t κ

C (X, t) = F (ρ (Y), χ (Y, s), θ (Y, s), X) , ∀Y ∈ B κ

κ

κ

κ

e

∀s ∈ [0, ∞) ,

(4.18)

porque ρtκ (Y, s) deve ser substitu´ıdo por ρκ (Y), conforme mostra a primeira igualdade das eqs. 3.94. Esta mesma substitui¸ cão deve, evidentemente, ser tamb´ em aplicada aos dois termos das respectivas primeiras igualdades das eqs. 4.16 e 4.17.

4.2.3

Aplica¸ca õ a Classes Particulares de Materiais

O princ´ıpio de objetividade material apresenta importantes aspectos gerais. Além disto, ele causa efeitos espec´ıficos em funcionais constitutivos referentes a classes particulares de materiais. Isto ser´ a exemplificado usando a fun¸caõ constitutiva (de acordo com a defini¸caõ de fun¸cão e funcional 1.1.1, uma fun¸caõ constitutiva também é um funcional constitutivo), para o tensor de tra¸cão de Cauchy, T =

T (ρ, v, L) , 150

(4.19)

onde v é o vetor velocidade definido pela eq. 2.27 e L = gradv = F˙ F −1 , apresentado usando-se as eqs. 2.34 e 2.49, é o tensor gradiente espacial do vetor velocidade. Como cão 4.1) objetiva (item 2 da se¸cão 3.4.3) tensorial (eq. T é uma grandeza constitutiva (se¸ 3.56), de acordo com a eq. 2.65 tem-se ∗

∗

∗

T

(4.20) T (ρ , v , L ) = QT (ρ, v, L)Q , onde foi imposto que T = T , por causa da eq. 4.4 (princ´ıpio de objetividade mateφ∗

φ

rial). De acordo com a defini¸cão de transforma¸caõ euclideana dada pela eq. 2.61, Q(t) é qualquer tensor ortogonal e c(t) é qualquer vetor. Como 1. ρ∗ = ρ, de acordo com o item 1 da se¸cão 3.4.3, ˙ x 2. v∗ = Q v + Q(

− x ) + c˙ , de acordo com a eq. 2.71 e ◦

˙ T , de acordo com as eqs. 2.82 e 2.72, 3. L∗ = QLQT + QQ tem-se

T (ρ, Qv + Q(˙ x − x ) + c˙ , QLQ ◦

T

˙ T ) = Q (ρ, v, L)QT . + QQ

T

Evidentemente, a u´ltima igualdade destacada deve ser v´ alida para Q(t) = 1 , situa¸caõ esta na qual ela admite a forma especial (ρ, v + c˙ , L) = (ρ, v, L). Como c(t) é um vetor arbitr´ ario, esta forma especial indica que não pode depender de v. Portanto,

T

T

T

T

T = (ρ, L). Além disto, de acordo com as eqs. 2.51, 2.52 e 2.53, tem-se L(t) = D(t) + W (t), sendo simétrico o tensor estirante, D(t) e antissim´ etrico o tensor rotativo, W (t). Demonstra-se que, para todo tensor antissimétrico W , existe um tensor ortogonal Q(t) tal que, ˙ ◦ ) = W . para t = t ◦ , tenha-se Q(t◦ ) = 1 e Q(t

−

Certamente, a u´ltima igualdade destacada deve tamb´ em ser v´ alida para este espec´ıfico ˙ T = QDQ T +QW QT + QQ ˙ T = tensor Q = Q(t◦ ), situa¸caõ esta u´ltima na qual QLQT +QQ D, logo (ρ, L) = (ρ, D), o que exige que não dependa de W . Portanto, a aplica¸caõ do princ´ıpio de objetividade material exige que a eq. 4.19 se reduza a

T

T

T

T =

T (ρ, D) .

(4.21)

Ent˜ ao, usando a primeira entre as duas eqs. 2.83 a eq. 4.20 se reduz a

T (ρ,QDQ

T

) = Q (ρ, D)QT ,

T

(4.22)

válida para qualquer tensor ortogonal Q(t), quando for v´ alida a eq. 4.19.

4.3

Material Simples

De acordo com o funcional existente na eq. 4.18, as hist´ orias térmica e deformativa de qualquer parte do corpo podem afetar o comportamento presente de qualquer ponto do corpo. Entretanto, geralmente apenas as hist´ orias de uma vizinhan¸ca, com dimens˜ oes vari´ aveis, do ponto considerado afeta de modo significativo o comportamento presente de tal ponto. Neste caso, considera-se que tais hist´ orias possam ser representadas por desenvolvimentos convergentes em série de Taylor, em torno do ponto considerado, ocorrendo 151

o truncamento da série numa ordem tal a manter a precis˜ ao desejada. Note que este procedimento mantém completas as hist´ o rias de todas as partes do corpo, mas limita geometricamente a regi˜ ao considerada significativa. Se apenas os termos de primeira ordem forem mantidos nas séries, ter-se-´ a ρκ (Y) = ρκ (X) + Grad ρκ (X)(Y X) + o(2), χκ (Y, t) = χκ (X, t) + Grad χκ (X, t)(Y X) + o(2), θκ (Y, t) = θκ (X, t) + Grad θκ (X, t)(Y X) + o(2).

−

− −

Note que: 1. Ser˜ ao considerados desprez´ıveis os termos de ordem igual ou superior a dois, grafados o(2).

−

B

2. Y X é o vetor posi¸cão de cada um dos pontos pertencentes a κ , em rela¸cão ao ponto X considerado, também pertencente a κ . Em cada uma das três equa¸co˜es do conjunto destacado, as transforma¸ co˜es lineares Grad ρκ (X), Grad χ κ (X, t) e Grad θκ (X, t) são respectivamente aplicadas ao vetor posi¸ cão de cada ponto de caõ a X . Como a forma destas transforma¸cões lineares n˜ ao depende de κ , em rela¸ Y e como a informa¸caõ sobre a geometria do corpo considerado pode ser inclu´ıda na defini¸caõ do funcional presente na eq. 4.18, Y pode ser omitido do argumento do funcional.

B

B

3. De acordo com a eq. 2.29, tem-se F κ (X, t) = 4. Define-se gκ (X, t) =

∇X χ (·, t) = Grad χ (X, t). κ

κ

∇X θ (X, t) = Grad θ (X, t). κ

κ

5. Como ρκ (X) e Grad ρκ (X) são fun¸co˜es exclusivamente de X , a presen¸ca delas no argumento do funcional que aparece na eq. 4.18 pode ser absorvida pela expl´ıcita presen¸ca de X no citado argumento. 6. De acordo com a eq. 4.1, tem-se χtκ (Y, s) = χ κ (Y, t s) = χ κ (X, t s)+Grad χκ (X, t s)(Y X) + o(2), onde a u ´ltima igualdade é devida a` segunda entre as três equa¸co˜es do conjunto destacado. Usando a mesma eq. 4.1 tem-se, ent˜ ao, χtκ (Y, s) = χtκ (X, s) + F κt (X, s), onde F κt (X, s) = F κ (X, t s) = Grad χκ (X, t s), sendo a u ´ ltima igualdade devida ao anterior item 3. Analogamente, θκt (Y, s) = θκt (X, s) + gtκ (X, s), onde gtκ (X, s) = gκ (X, t s) = Grad θ κ (X, t s), sendo a segunda igualdade devida ao anterior item 4.

−

−

−

−

−

−

−

−

Portanto, a aproxima¸ caõ de primeira ordem a` eq. 4.18 pode ser escrita t κ

t κ

t κ

t κ

C (X, t) = F (χ (X, s), F (X, s), θ (X, s), g (X, s), X) , ∀s ∈ [0, ∞) . κ

κ

(4.23)

De modo an´ alogo, ap´ os substitui¸caõ de ρtκ (Y, s) por ρκ (Y) (conforme colocado imediatamente depois da eq. 4.18), a eq. 4.16 pode ser escrita

F (χ κ

∗

X), t∗

∗

∗

− s), ∇X χ (γ (·), t − s), θ (X, t − s), ∇X θ (·, t − s), X) = Q F (χ (X, t − s), ∇ χ (·, t − s), θ (X, t − s), ∇ θ (·, t − s), X) , (4.24) X X κ∗ (γ (

∗

κ

κ

κ∗

κ

κ

κ

152

κ

κ

onde foi usado o fato da temperatura (se¸caõ 4.1), logo tamb´ em o seu gradiente na descri¸caõ material, serem objetivos. De acordo com a eq. 2.26 e sendo a fun¸ cão γ definida pela segunda entre as eqs. 4.13, tem-se

x = χ κ (X, t

e x∗ = χ ∗κ (γ (X), t∗

− s)

∗

− s) = χ

∗

κ∗ (

X∗ , t∗

− s) .

De acordo com a transforma¸caõ euclideana, a qual é fornecida pela eq. 2.61, a saber x∗ = Q(t)(x x◦ ) + c(t) e t∗ = t + a, tem-se então

−

χ∗κ (γ (X), t∗ χ∗κ (γ ( ), t∗ X χ∗ (γ ( ), t∗ X κ

− s) = Q(t − s)(χ (X, t − s) − x ) + c(t − s) , logo (4.25) ∇ · − s) = Q(t − s)∇X χ (·, t − s) , ou (4.26) ∇ · − s) = Q(t − s)F (X, t − s) [note que ∇ χ (·, t − s) = F (X , t − s)  = ∇ χ (γ (·), t − s)]. Substituindo, na X X eq. 4.24, a eq. 4.26, bem como ∇ χ (·, t − s) = F (X, t − s), tem-se X F (χ (γ (X), t − s), Q(t − s)F (X, t − s), θ (X, t − s), ∇X θ (·, t − s), X) = Q F (χ (X, t − s), F (X, t − s), θ (X, t − s), ∇ θ (·, t − s), X) . (4.27) X Por outro lado, considerando Q(t − s) = 1 , logo Q = 1 , a eq. 4.25 será escrita χ (γ (X), t − s) = χ (X, t − s) − x + c(t − s) , ◦

κ

∗

κ

∗

κ

∗

∗

∗

κ∗

∗

∗

∗

∗

κ∗

∗

κ

∗

κ

κ

∗

κ∗

∗

κ

κ

κ

∗

κ∗

κ

κ

κ

κ

κ

∗

∗

∗

κ∗

◦

κ

que, substitu´ıda na eq. 4.27, produz

F (χ (X, t − s) − x + c(t − s), F (X, t − s), θ (X, t − s), ∇X θ (·, t − s), X) = F (χ (X, t − s), F (X, t − s), θ (X, t − s), ∇X θ (·, t − s), X) . κ

◦

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

κ

Como a eq. 4.27 deve ser v´ alida para qualquer transforma¸caõ euclideana e como x◦ é arbitrá rio, a u ´ ltima igualdade destacada mostra que o funcional κ não depende do ponto x = χ κ (X, t s). Logo, a eq. 4.23, na verdade, deve ser escrita

F

−

t κ

t κ

t κ

C (X, t) = F (F (X, s), θ (X, s), g (X, s), X) , ∀s ∈ [0, ∞), κ

κ

(4.28)

enquanto que a equa¸cão 4.27 deve ser escrita

F (Q(t − s)F (X, t − s), θ (X, t − s), ∇X θ (·, t − s), X) = Q F (F (X, t − s), θ (X, t − s), ∇ θ (·, t − s), X) . X κ

κ

∗

κ

κ

κ

κ

κ

κ

Usando a eq. 4.1 e o anterior item 4, a u´ltima igualdade destacada pode ser escrita t

t κ

t κ

t κ

F (Q (s)F (X, s), θ (X, s), g (X, s), X) = Q F (F (X, s), θ (X, s), g (X, s), X) , ∀s ∈ [0, ∞). κ

∗

κ

t κ

t κ

t κ

(4.29)

Note que o princ´ıpio da objetividade material n˜ ao impôs restri¸caõ alguma a`s histórias t t térmicas, θκ (X, s) e gκ (X, s), mas relacionou as hist´ orias dos gradientes de deforma¸ caõ 153

nas duas estruturas de referência. Este fato é coerente com o comentado no in´ıcio do parágrafo logo ap´ os a eq. 4.17. Um material cujas express˜ oes constitutivas dos valores das suas grandezas objetivas apresentem a forma fornecida pela eq. 4.28 é denominado um material simples. Um material simples é chamado homogêneo quando existir uma ao homogênea, para a espec´ıfica configura¸caõ de referência κh , chamada configura¸c˜ qual o funcional κ , nas eqs. 4.28 e 4.29, n˜ ao dependa explicitamente de X, ou seja,

F

C

κh (

X, t) =

t κh (

F (F κh

X, s), θκt h (X, s), gtκh (X, s)) ,

∀s ∈ [0, ∞).

(4.30)

Um material pode ser simples sem ser homogêneo e um material pode ser homogêneo sem ser simples. Evidentemente, um material pode ser nem simples, nem homogêneo e o conceito de material homogêneo é totalmente distinto do conceito de processo homogêneo, este u ´ltimo apresentado no par´ agrafo final da subse¸caõ 3.3.5, sobre balanceamento de energia cinética.

154

Bibliografia The Mechanics and Thermodynamics of Continua , de Morton E. Gurtin, Eliot Fried e

Lallit Anand, Cambridge, Cambridge, 2010. Continuum Mechanics , de I-Shih Liu, Springer, Berlim, 2002. Rational Extended Thermodynamics , de Ingo Muller e Tommaso Ruggeri, Springer,

Berlim,1998. y, SprinThe Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media , de Miroslav ˇSilhav´ ger, Berlim, 1997. The Non-Linear Field Theories of Mechanics , de Clifford Ambrose Truesdell e Walter

Noll, Springer, Berlim, 1992. Rational Thermodynamics , de Clifford Ambrose Truesdell, Springer, Berlim, 1984. The Classical Field Theories , de Clifford A. Truesdell e R. Toupin, “Handbuch der

Physik” v. III, parte 1, p. 226 – 793, Springer, Berlim, 1960.

155

Índice Remissivo aberto, intervalo, 51 aberto, subconjunto, 51 abrangência, 8 acelera¸cão a(X, t) defini¸caõ, 95 em fun¸caõ da velocidade, 98 área, rela¸caõ entre daκ e da, 86, 87 autovalor defini¸caõ, 45 degenera¸caõ, 47 autovetor, 45 balanceamento cl´ assico forma integral configura¸cão corrente, 112 configura¸cão referencial, 118 base campo de, 67 com orienta¸caõ igual, 37 com orienta¸caõ oposta, 37 de espa¸co vetorial de trans. linear, 13 defini¸caõ, 8 dual defini¸cão, 11 fun¸co˜es gi j e gi j , 11 representa¸caõ, 12 matriz de transforma¸caõ de, 22 natural defini¸cão, 67 dual, 68 orientada positivamente, 37 ortogonal, 12 ortonormal defini¸cão, 12 dual, 12 representa¸caõ para vetor de, 12 principal, 46 produto, 14 produto interno g i j de vet. de, 10, 11 produto interno g i j de vetores de, 11

representa¸caõ para vetor de, 8 Bernouilli, teorema de, 132 calor condutivo superficial h, 136 suprimento de, r, 136 caminho, 95 campo básico, 146 de bases, 67 de pontos, 54 defini¸cão, 54 escalar, 54 gradiente de, 54 tensorial de segunda ordem, 54 vetorial, 54 Cauchy primeira lei de, 131 princ´ıpio de, 129 segunda lei de, 132 tensor de tra¸caõ de componentes de cisalhamento do, 129 componentes normais do, 129 defini¸caõ, 129 dire¸caõ principal do, 132 tra¸cão principal do, 132 teorema de, 129 Christoffel s´ımbolo de segunda espécie de, 72 s´ımbolos de, 71 cisalhamento quantidade de, 89 simples, 89 classe C k , 64 conceito, 36 de orienta¸cão oposta, 36 de orienta¸cão positiva, 36 euclideana, 106 coment´ ario 156

1.2.1 (espa¸co vetorial real com produto interno), 9 1.2.2 (imposi¸caõ aos esp. vetoriais), 9 1.2.3 (igualdade entre vetores), 10 1.2.4 (decomposi¸cão do produto interno de vetores), 10 1.2.5 (obten¸cão de componente), 10 1.2.6 (fun¸co˜es gi j e g i j ), 11 1.2.7 (base ortonormal dual), 12 1.2.8 (decomposi¸caõ de transforma¸caõ linear), 13 1.2.9 (dimens˜ a o de espa¸co de transforma¸cão linear), 13 1.2.10 (c´ alculo de componente assoc. de tensor de segunda ordem), 14 1.2.11 (componente associado de tensor simples), 15 1.2.12 (transforma¸ caõ escalar bilinear e tensor de segunda ordem), 16 1.2.13 (componente assoc. do tensor identidade), 17 1.2.14 (gi j ou g i j aplicado a componente de tensor), 18 1.2.15 (transpos. de tensor simples), 18 1.2.16 (transpos. de tensor de segunda ordem), 18 1.2.17 (transpos. de tensores simétrico e antissimétrico), 20 1.2.18 (compos. com tens. simples), 21 1.2.19 (transposi¸caõ de composi¸caõ), 21 1.2.20 (transforma¸caõ de componentes de vetor), 24 1.2.21 (transforma¸caõ de componentes de tensor), 25 1.2.22 (redu¸caõ no n´ umero de permuta¸co˜es distingu´ıveis), 26 1.2.23 (fun¸caõ n-linear alternante e base de esp. vet. - parte I), 26 1.2.24 (fun¸caõ n-linear alternante e base de esp. vet. - parte II), 27 1.2.25 (fun¸caõ n-linear alternante e base de esp. vet. - parte III), 28 1.2.26 (rela¸cão entre determinante de transf. linear e de matriz), 29 1.2.27 (propriedades de determinantes parte I), 29 1.2.28 (rela¸caõ entre tra¸co de transforma¸cão linear e de matriz), 31 157

1.2.29 (propriedades de tra¸cos), 31 1.2.30 (propriedades de determinantes parte II), 32 1.2.31 (propriedades do produto interno tensorial), 33 1.2.32 (propried. do tensor inverso), 34 1.2.33 (propriedades de tensor ortogonal), 35 1.2.34 (propriedades do s´ımbolo de permuta¸caõ), 38 1.2.35 (propriedades dos componentes do tensor e), 39 1.2.36 (produto externo como base para Skw (V )), 41 1.2.37 (propriedades do vetor axial), 43 1.2.38 (propriedades do produto vetorial), 44 1.2.39 (determinante, tra¸ c o e produto triplo), 45 1.2.40 (equa¸cões caracter´ısticas de tensores de dimens˜ a o 2 e 3), 46 1.2.41 (rela¸cão entre A e 1 + A), 46 1.2.42 (diagonaliza¸caõ), 46 1.2.43 (componente vetorial em rela¸caõ a tensor simétrico), 47 1.2.44 (comuta¸cão de tensores simétrico e ortogonal), 48 1.2.45 (determinante de tensor sim. de defini¸cão positiva ou negativa), 48 1.2.46 (decomposi¸cão cartesiana), 50 1.3.1 (gradientes de φ, sendo φ(A, v) = v A(v)), 58 1.3.2 (gradiente de φ, sendo φ(A) = u A(v)), 59 1.3.3 (gradiente de tra¸co), 59 1.3.4 (gradiente de determinante), 60 1.3.5 (diferencia¸caõ em cadeia), 61 1.3.6 (gradientes escalar e vetorial em campo vetorial), 61 1.3.7 (diferencia¸caõ de produto), 62 1.3.8 (diferencia¸ cã o de tensor ao quadrado), 63 1.3.9 (diferenc. de tensor inverso ), 63 1.3.10 (diferencia¸cão de tra¸co de tensor inverso ), 63 1.3.11 (f´ ormulas para diferencia¸cã o de produtos), 63

·

·

B

1.3.12 (derivada e gradiente de ordem corpo do espa¸co-tempo de Newton, 82 superior), 64 corre¸caõ de argumento 1.3.13 (gradiente de gradiente de campo escalar, 51, 53 escalar), 65 genérico, 58 1.3.14 (tensor métrico e base natural vetorial ou tensorial, 56 dual), 67 vetorial para ponto, 55 1.3.15 (transforma¸cão de sistema de codefini¸cão ordenadas), 68 1.1.1 (fun¸caõ e funcional), 1 1.3.16 (deforma¸caõ em termos de coor1.1.2 (matriz), 4 denadas), 69 1.1.3 (delta de Kronecker), 6 1.3.17 (derivada covar. de 1 e de e), 74 1.1.4 (matrizes transposta e inversa), 6 1.3.18 (propriedades do s. de Christoffel 1.2.1 (espa¸co vetorial real), 8 Γi j k ), 75 1.2.2 (base), 8 1.3.19 (rotacional e divergência de cam1.2.3 (componente), 9 po vetorial), 76 1.2.4 (dimens˜ ao de esp. vetorial real), 9 1.3.20 (express˜ oes para divergência e la1.2.5 (produto interno de vetores), 9 placiano), 78 1.2.6 (espa¸co vetorial euclideano), 9 compatibilidade cinem´ atica da superf´ıcie 1.2.7 (vetor proje¸caõ), 9 singular, condi¸caõ de, 122 1.2.8 (base dual), 11 composi¸cão 1.2.9 (base ortonormal), 12 de fun¸co˜es, 2 1.2.10 (transforma¸ caõ n-linear), 12 de tensores de segunda ordem 1.2.11 (espa¸co vetorial de transformacom tensor simples, 21 ¸caõ linear), 13 defini¸cão, 20 1.2.12 (produto tensorial de vetores ou transposi¸caõ de, 21 tensor simples), 13 configura¸caõ 1.2.13 (espa¸co de produto tensorial), 14 corrente, 83 1.2.14 (tensor de segunda ordem), 14 defini¸caõ, 82 1.2.15 (componente associado de tensor homogênea, 154 de segunda ordem), 14 referencial 1.2.16 (transforma¸caõ tensorial identidefini¸cão, 82 dade), 17 mudan¸ca de, 87 1.2.17 (transforma¸caõ linear transposconservativa, grandeza, 113 ta), 17 constitutiva, grandeza, 146 1.2.18 (tensores simétrico e antissiméconstitutivo, funcional, 3, 146 trico), 19 continuidade 1.2.19 (composi¸ca˜ o de tensores de seem , 8 gunda ordem), 20 em espa¸co 1.2.20 (tensor de ordem k), 21 euclideano de pontos, 50 1.2.21 (matrizes de transforma¸cão), 22 vetorial, 8 1.2.22 (permuta¸cão), 25 coordenada 1.2.23 (fun¸caõ n-linear alternante), 26 i-ésima fun¸cão, 66 1.2.24 (determinante de transforma¸caõ corrente, 83 linear), 27 curva da i-ésima, 66 1.2.25 (determinante de matriz), 28 defini¸caõ, 66 1.2.26 (tra¸co de transform. linear), 30 material, 83 1.2.27 (produto interno de tensores de referencial, 83 segunda ordem), 33 sistema de, 66



158

1.2.28 (norma de tensor de segunda ordem), 33 1.2.29 (tensor inverso de segunda ordem), 34 1.2.30 (tensor ortogonal de segunda ordem), 34 1.2.31 (grupo de tensores de segunda ordem), 35 1.2.32 (classe e base de orienta¸cão positiva), 36 1.2.33 (transforma¸ cão linear orienta¸caõ preservante), 37 1.2.34 (fun¸caõ e tensor elemento de volume), 37 1.2.35 (rela¸cão entre tensor e e determinante), 41 1.2.36 (produto externo de vetores), 41 1.2.37 (fun¸cão linear dualidade), 42 1.2.38 (produto vetorial), 43 1.2.39 (produto triplo), 44 1.2.40 (autovalor e autovetor), 45 1.2.41 (equa¸caõ caracter´ıstica), 45 1.2.42 (espa¸co caracter´ıstico), 47 1.2.43 (tensor de defini¸cão positiva, negativa e semi-defini¸ caõ), 48 1.2.44 (espa¸co euclideano de pontos), 50 1.2.45 (espa¸co tangente), 50 1.3.1 (subconjunto aberto), 51 1.3.2 (derivada escalar em escalar), 51 1.3.3 (derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar), 52 1.3.4 (campo), 54 1.3.5 (gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos), 54 1.3.6 (gradiente esc., vet., tens. ou de pontos, em vetor ou tensor), 56 1.3.7 (classe C k ), 64 1.3.8 (sistema de coordenadas), 66 1.3.9 (campo de bases), 67 1.3.10 (componen. de gradiente de campo), 70 1.3.11 (divergência de campo vet.), 75 1.3.12 (rotacional de campo vet.), 76 1.3.13 (divergência de campo tens.), 77 1.3.14 (laplaciano de campo escalar ou vetorial), 78 deforma¸caõ defini¸caõ, 54, 83

fun¸cão de, 83 gradiente de, 69 gradiente, F , de, 83, 95 relativa defini¸caõ, 99 gradiente, F t , de, 99 degenera¸caõ, 47 delta de Kronecker, 6 derivada covariante de campo escalar, 71 de campo tensorial de seg. ordem, 73 de campo vetorial, 73 direcional em escalar, 52, 53 em ponto, 56 em vetor ou tensor, 56 genérica, 58 escalar em escalar, 51 vetorial, tensorial ou pontual em escalar, 52 descri¸caõ espacial ou euleriana, 96 material, referencial ou lagrangeana, 96 determinismo, princ´ıpio de, 146 diferencia¸caõ em cadeia, regra de, 61 diferenciais, equa¸cão definidora, 84 dimensão de espa¸co de transforma¸cão linear, 13 de Skw (V ), 41 de espa¸co vetorial real, 9 representa¸caõ, 9 dire¸cões principais, 88 divergência de campo tensorial, 77 de campo vetorial, 75 Einstein, nota¸cão de, 3 energia cinética K , 133 interna E , defini¸cão, 135 densidade m´ assica , 135 total, 135 equa¸cão 2.1, 82 equa¸cão 2.2, 83 equa¸cão 2.3, 83 equa¸cão 2.4, 83

159

equa¸caõ 2.5, 83 equa¸caõ 2.6, 83 equa¸caõ 2.7, 84 equa¸caõ 2.8, 84 equa¸caõ 2.9, 87 equa¸caõ 2.10, 87 equa¸caõ 2.11, 87 equa¸caõ 2.12, 88 equa¸caõ 2.13, 88 equa¸caõ 2.14, 89 equa¸caõ 2.15, 89 equa¸caõ 2.16, 89 equa¸caõ 2.17, 89 equa¸caõ 2.18, 90 equa¸caõ 2.19, 90 equa¸caõ 2.20, 90 equa¸caõ 2.21, 90 equa¸caõ 2.22, 91 equa¸caõ 2.23, 91 equa¸caõ 2.24, 93 equa¸caõ 2.25, 94 equa¸caõ 2.26, 95 equa¸caõ 2.27, 95 equa¸caõ 2.28, 95 equa¸caõ 2.29, 95 equa¸caõ 2.30, 96 equa¸caõ 2.31, 97 equa¸caõ 2.32, 97 equa¸caõ 2.33, 98 equa¸caõ 2.34, 98 equa¸caõ 2.35, 98 equa¸caõ 2.36, 98 equa¸caõ 2.37, 98 equa¸caõ 2.38, 99 equa¸caõ 2.39, 99 equa¸caõ 2.40, 99 equa¸caõ 2.41, 99 equa¸caõ 2.42, 99 equa¸caõ 2.43, 99 equa¸caõ 2.44, 100 equa¸caõ 2.45, 100 equa¸caõ 2.46, 101 equa¸caõ 2.47, 101 equa¸caõ 2.48, 101 equa¸caõ 2.49, 102 equa¸caõ 2.50, 102 equa¸caõ 2.51, 102 equa¸caõ 2.52, 103

equa¸cão 2.53, 103 equa¸cão 2.54, 103 equa¸cão 2.55, 103 equa¸cão 2.56, 103 equa¸cão 2.57, 103 equa¸cão 2.58, 103 equa¸cão 2.59, 103 equa¸cão 2.60, 103 equa¸cão 2.61, 104 equa¸cão 2.62, 104 equa¸cão 2.63, 105 equa¸cão 2.64, 105 equa¸cão 2.65, 105 equa¸cão 2.66, 105 equa¸cão 2.67, 106 equa¸cão 2.68, 106 equa¸cão 2.69, 106 equa¸cão 2.70, 107 equa¸cão 2.71, 107 equa¸cão 2.72, 107 equa¸cão 2.73, 107 equa¸cão 2.74, 107 equa¸cão 2.75, 108 equa¸cão 2.76, 108 equa¸cão 2.77, 108 equa¸cão 2.78, 108 equa¸cão 2.79, 109 equa¸cão 2.80, 109 equa¸cão 2.81, 109 equa¸cão 2.82, 109 equa¸cão 2.83, 110 equa¸cão 2.84, 110 equa¸cão 2.85, 110 equa¸cão 2.86, 110 equa¸cão 2.87, 110 equa¸cão 2.88, 111 equa¸cão 2.89, 111 equa¸cão 2.90, 111 equa¸cão 3.1, 112 equa¸cão 3.2, 113 equa¸cão 3.3, 114 equa¸cão 3.4, 114 equa¸cão 3.5, 114 equa¸cão 3.6, 114 equa¸cão 3.7, 115 equa¸cão 3.8, 115 equa¸cão 3.9, 115 equa¸cão 3.10, 116 160

equa¸caõ 3.11, 116 equa¸caõ 3.12, 117 equa¸caõ 3.13, 117 equa¸caõ 3.14, 117 equa¸caõ 3.15, 117 equa¸caõ 3.16, 118 equa¸caõ 3.17, 118 equa¸caõ 3.18, 118 equa¸caõ 3.19, 119 equa¸caõ 3.20, 120 equa¸caõ 3.21, 120 equa¸caõ 3.22, 120 equa¸caõ 3.23, 120 equa¸caõ 3.24, 121 equa¸caõ 3.25, 121 equa¸caõ 3.26, 121 equa¸caõ 3.27, 122 equa¸caõ 3.28, 122 equa¸caõ 3.29, 122 equa¸caõ 3.30, 122 equa¸caõ 3.31, 122 equa¸caõ 3.32, 122 equa¸caõ 3.33, 123 equa¸caõ 3.34, 123 equa¸caõ 3.35, 123 equa¸caõ 3.36, 124 equa¸caõ 3.37, 124 equa¸caõ 3.38, 124 equa¸caõ 3.39, 126 equa¸caõ 3.40, 126 equa¸caõ 3.41, 126 equa¸caõ 3.42, 126 equa¸caõ 3.43, 126 equa¸caõ 3.44, 126 equa¸caõ 3.45, 127 equa¸caõ 3.46, 127 equa¸caõ 3.47, 127 equa¸caõ 3.48, 127 equa¸caõ 3.49, 128 equa¸caõ 3.50, 128 equa¸caõ 3.51, 128 equa¸caõ 3.52, 128 equa¸caõ 3.53, 128 equa¸caõ 3.54, 129 equa¸caõ 3.55, 129 equa¸caõ 3.56, 129 equa¸caõ 3.57, 129 equa¸caõ 3.58, 129

equa¸cão 3.59, 131 equa¸cão 3.60, 131 equa¸cão 3.61, 131 equa¸cão 3.62, 131 equa¸cão 3.63, 131 equa¸cão 3.64, 132 equa¸cão 3.65, 132 equa¸cão 3.66, 132 equa¸cão 3.67, 132 equa¸cão 3.68, 132 equa¸cão 3.69, 132 equa¸cão 3.70, 133 equa¸cão 3.71, 133 equa¸cão 3.72, 133 equa¸cão 3.73, 134 equa¸cão 3.74, 134 equa¸cão 3.75, 134 equa¸cão 3.76, 134 equa¸cão 3.77, 134 equa¸cão 3.78, 135 equa¸cão 3.79, 135 equa¸cão 3.80, 135 equa¸cão 3.81, 136 equa¸cão 3.82, 136 equa¸cão 3.83, 136 equa¸cão 3.84, 136 equa¸cão 3.85, 136 equa¸cão 3.86, 137 equa¸cão 3.87, 137 equa¸cão 3.88, 137 equa¸cão 3.89, 137 equa¸cão 3.90, 137 equa¸cão 3.91, 138 equa¸cão 3.92, 138 equa¸cão 3.93, 139 equa¸cão 3.94, 139 equa¸cão 3.95, 139 equa¸cão 3.96, 139 equa¸cão 3.97, 139 equa¸cão 3.98, 139 equa¸cão 3.99, 139 equa¸cão 3.100, 140 equa¸cão 3.101, 140 equa¸cão 3.102, 140 equa¸cão 3.103, 140 equa¸cão 3.104, 140 equa¸cão 3.105, 141 equa¸cão 3.106, 141 161

equa¸caõ 3.107, 141 equa¸caõ 3.108, 141 equa¸caõ 3.109, 142 equa¸caõ 3.110, 142 equa¸caõ 3.111, 144 equa¸caõ 4.1, 146 equa¸caõ 4.2, 146 equa¸caõ 4.3, 147 equa¸caõ 4.4, 147 equa¸caõ 4.5, 147 equa¸caõ 4.6, 148 equa¸caõ 4.7, 148 equa¸caõ 4.8, 148 equa¸caõ 4.9, 149 equa¸caõ 4.10, 149 equa¸caõ 4.11, 149 equa¸caõ 4.12, 149 equa¸caõ 4.13, 149 equa¸caõ 4.14, 149 equa¸caõ 4.15, 150 equa¸caõ 4.16, 150 equa¸caõ 4.17, 150 equa¸caõ 4.18, 150 equa¸caõ 4.19, 150 equa¸caõ 4.20, 151 equa¸caõ 4.21, 151 equa¸caõ 4.22, 151 equa¸caõ 4.23, 152 equa¸caõ 4.24, 152 equa¸caõ 4.25, 153 equa¸caõ 4.26, 153 equa¸caõ 4.27, 153 equa¸caõ 4.28, 153 equa¸caõ 4.29, 153 equa¸caõ 4.30, 154 equa¸caõ caracter´ıstica, 45 da continuidade, 126 de campo, 116 de Rankine-Hugoniot, 117 definidora de diferenciais, 84 do movimento, 131 escoamento newtoniano, 101 espa¸co-tempo de Newton , 82 espacial, descri¸cão, 96 espa¸co de transla¸caõ, 50 euclideano de pontos de dimens˜ ao n

W

defini¸caõ, 50 ponto regular, 64 ponto singular, 64 região regular, 64 superf´ıcie seccionalmente suave, 64 isomórfico, 51 normatizado, 52 tangente, 51 vetorial real caracter´ıstico, 47 com produto interno, 9 de dimens˜ ao finita, 9 defini¸caõ, 8 euclideano, defini¸ cão, 9 euclideano, impos. subentend., 9 estiramentos principais, 88 estrutura referencial de Newton φ, 82 indiferen¸ca a`, ou invariância a` mudan¸ca de, 106 inercial, 127 Euler, leis de, 127 euleriana, descri¸ caõ, 96 fluxo convectivo, 116 mecânico-clássico Φ ψ , 112 mecânico-estat´ıstico, 112 térmico q, 136 térmico material q κ , 140 for¸ca corporal f b , 128 corporal aparente, suprimento b + i, 144 corporal, suprimento b, 128 de contato f c , 128 defini¸cão, 127 inercial, suprimento i, 144 Fourier-Stokes, princ. de fluxo térmico, 136 fronteira adiabática, 141 defini¸cão, 141 fixa, 141 livre, 141 fun¸cão argumento, 2 bilinear, 9 composi¸caõ de, 2 coordenada, i-ésima, 66 162

de fun¸caõ, 2 de defini¸cão positiva, 9 de deforma¸cão, 83 de um para um em , 2 defini¸caõ, 2 distância, 50 elemento de, 2 imagem defini¸cão, 2 representa¸caõ, 2 inversa em , 2 invert´ıvel em , 2 linear dualidade, 42 induzida, 105 n-linear alternante defini¸cão, 26 elemento de volume, defini¸caõ, 37 elemento de volume, rela¸caõ com determinante, 41 não trivial, defini¸caõ, 26 não trivial, equivalente, 36 paralelismo euclideano, 51 representa¸cão, 2 simétrica, 9 suave, 64 temporal, hist´ oria de, 146 transla¸caõ paralela, 51 funcional constitutivo, 3, 146 defini¸caõ, 2 universal, 3

D

D D

independência linear, 8 intervalo aberto, 51 fechado abaixo, 51 abaixo e acima, 51 acima, 51 invariantes principais, 45 lagrangeana, descri¸ cão, 96 Laplace, f´ ormula de, 114 laplaciano de campo escalar, 78 de campo vetorial, 78 lei(s) clássica de conserva¸cão da energia total, 136 da massa, 124 defini¸caõ, 113 do momento angular, 132 do momento linear, 131 de Cauchy primeira, 131 segunda, 132 de Euler, 127 fundamentais da dinˆ amica, 127 local, 97

massa densidade volumétrica de, 123 distribui¸cão de, 123 escalar, 123 material descri¸caõ, 96 gradiente região de campo escalar, vetorial, tensorial ou defini¸caõ, 112 de pontos, 54 isolada, 113 de deforma¸cão F , 83, 95 medida de, 123 de deforma¸cão relativa F t , 99 simples escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, defini¸caõ, 154 em vetor ou tensor, 56 homogêneo, 154 espacial de velocidade, 98 superf´ıcie, 112 material de velocidade, 98 matriz grandeza antissimétrica, 7 conservativa, 113 de transforma¸caõ de base, 22 constitutiva, 146 defini¸cão, 4 história de fun¸caõ temporal, 146 determinante de, 28 inversa, 7 incompress´ıvel, movimento, 114 163

observador de Newton φ, 82

inversa transposta, 7 ortogonal, 7 simétrica, 7 singular, 7 tra¸co de, 31 transposta, 6 meio cont´ınuo, teoria para, 125 momento angular, 127 linear, 127 movimento defini¸caõ, 94 harmônico, 99 incompress´ıvel, 114 r´ıgido, 99 representa¸cão por deforma¸caõ, 95 n-upla, 1 Newton escoamento de, 101 espa¸co-tempo, , de corpo, , pertencente ao, 82 defini¸cão, 82 estrut. refer., ou observador, φ, de, 82 nota¸cão 1.1.1 (s´ımbolos), 1 1.1.2 (Einstein), 3 1.2.1 (produto interno de vetores de base gi j ), 10 1.2.2 (base dual), 12 1.2.3 (espa¸co de transform. linear), 12 1.2.4 (tensor de segunda ordem como uma matriz), 15 1.2.5 (subespa¸cos simétrico e antissimétrico), 19 1.2.6 (aplica¸caõ de tensor a tensor), 33 1.2.7 (subespa¸co invert´ıvel), 34 1.2.8 (grupos especiais), 35 1.2.9 (vetor associado a tensor antissimétrico), 42 1.2.10 (tensor raiz quadrada), 49 1.3.1 (derivada e gradiente generalizados), 57 1.3.2 (derivada covariante), 74

B

W

permuta¸caõ defini¸cão, 25 distingu´ıvel, 26 ´ımpar, 25 par, 25 s´ımbolo de, 38 sinal de, 25 Piola-Kirchoff, tensor de tra¸cão de, 139 ponto regular, 64 singular, 64 potência cinética ˙ , defini¸cão, 134 K ˙ P =0 , 135 sem potência mecˆ anica K mecânica P , 134 térmica, 137 total, 135 pressão hidrost´ atica, 130 processo homogêneo defini¸cão, 135 primeira lei da termodinˆ amica, 138 produto externo de vetores como base para Skw (V ), 41 defini¸caõ, 41 vetor associado a, 43 interno de tens. de segunda ordem, 33 interno de vetores de base em esp. vet. eucl., g i j , 10, 11 de base em esp. vet. eucl., g i j , 11 decomposi¸caõ em esp. vet. eucl., 10 defini¸caõ, 9 representa¸cão em esp. vet. eucl., 9 ordinário de tensores de segunda ordem, ao veja composi¸c˜ tensorial de vetores defini¸caõ, 13 espa¸co de, 14 triplo, 44 vetorial, 43

referencial, descri¸ caõ, 96 objetividade material, princ´ıp. de, 146, 147 região material objetivo, 106 defini¸cão, 112 observável, 106 isolada, 113 164

regular ponto, 64 região, 64 rela¸caõ de equivalência, 36 representa¸cão de campo dos n´ umeros reais, 1 escalar, 1 matriz identidade, 1 tensor, 1 tensor identidade, 1 vetor, 1 rotacional de campo vetorial, 76, 77 s´ımbolo de Christoffel de seg. espécie, 72 s´ımbolos de Christoffel, 71 matemáticos da mecˆ anica dos meios cont´ınuos, 97 gerais, 1 simetria material, princ´ıpio de, 146 suave fun¸caõ, 64 superf´ıcie seccionalmente, 64 subconjunto aberto, 51 superf´ıcie material, 112 singular, condi¸caõ de compatibilidade cinemática da, 122 suprimento de calor r, 136 de for¸ca corporal b, 128 de for¸ca corporal aparente b + i, 144 de for¸ca inercial i, 144 mecânico-clássico σψ , 112 mecânico-estat´ıstico, 112 temperatura, 145 tensor de cisalhamento puro, 130 de ordem k defini¸cão, 21 e transforma¸cão escalar k-linear, 21 de press˜ ao hidrost´ atica, 130 de Rivlin-Ericksen, 103 de rota¸caõ R, 87 infinitesimal R, componentes, 93 infinitesimal R, defini¸caõ, 91



165

relativa Rt , 102 de segunda ordem antissim., representa¸cão espa¸co de, 19 antissimétrico, vetor associado a, 42 antissimétrico, defini¸caõ, 19 antissimétrico, transposi¸cão de, 20 aplica¸caõ g i j ou g i j a componente, 18 autovalor de, 45 autovetor de, 45 cálculo de componente associado, 14 componente assoc. contravariante, 14 componente assoc. covariante, 14 componente assoc. misto, 14 componente, transforma¸ cão de, 25 composi¸cão, 20 de defini¸cão negativa, 48 de defini¸cão positiva, 48 de semi-defini¸caõ negativa, 48 de semi-defini¸caõ positiva, 48 defini¸caõ, 14 defini¸caõ de componente assoc., 14 e transforma¸caõ escalar bilinear, 17 equa¸caõ caracter´ıstica de, 45 espa¸co caracter´ıstico de, 47 grupo linear especial SL(V ), 36 grupo linear geral GL(V ), 36 grupo ortogonal , 36 grupo ortogonal pr´ oprio + , 36 grupo rotacional + , 36 grupo unimodular , 36 grupo, defini¸cão, 35 invariantes principais de, 45 inverso, 34 inverso transposto, 34 invert´ıvel ou não singular, 34 norma, 33 orienta¸caõ preservante, 37 ortogonal impr´ oprio, 35 ortogonal pr´ oprio, 35 ortogonal, defini¸ caõ, 34 produto interno de, 33 raiz quadrada, 49 representa¸cão matricial, 15 simétrico, defini¸cão, 19 simétrico, representa¸cão espa¸co de, 19 simétrico, transposi¸caõ de, 20 singular, 34 transposi¸cão, 18

O O O U

unimodular, 36 de tens˜ ao ou compress˜ ao pura, ou uniaxial, 130 de tra¸caõ corrente e, 90 de Almansi - Hamel e, 90 de Cauchy - Green direito C , 88 de Cauchy - Green esquerdo B, 88 de Cauchy, compon. normais do, 129 de Cauchy, componentes de cisalhamento do, 129 de Cauchy, defini¸caõ, 129 de Cauchy, dire¸caõ principal do, 132 de Cauchy, tra¸caõ principal do, 132 de Green - St. Venant E , 89 de Piola-Kirchoff, 139 infinitesimal E , componentes, 93 infinitesimal E , defini¸cão, 90 planar, 130 referencial E , 89 relativa Cauchy - Green direi. C t , 102 relativa Cauchy - Green esqu. Bt , 102 direito de estiramento U , 87 estiramento relativo U t , 102 elemento de volume defini¸cão, 38 rela¸cão com determinante, 41 esquerdo de estiramento V , 87 estiramento relativo V t , 102 estirante, 103 gradiente de deforma¸caõ F , 83, 95 de deforma¸caõ relativa F t , 99 espacial de deslocamento h, 90 espacial de velocidade, 98 material de velocidade, 98 referencial de deslocamento H , 90 identidade componente associado, 17 defini¸cão, 17 métrico, 67 momento angular, 127 rotativo, 103 simples componentes associados, 16

 

componentes associados em base ortonormal, 16 composi¸cão, 21 defini¸caõ, 13 representa¸cão matricial, 16 transposi¸cão, 18 torque, 127 velocidade angular Ω , 107 teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸caõ linear), 13 1.2.2 (unicidade da propor¸cão entre fun¸co˜es n-lineares alternantes), 26 1.2.3 (dependência da propor¸caõ entre fun¸cões n-lineares alternantes), 27 1.2.4 (condi¸cão necess´ aria e suficiente de autovalor), 45 1.2.5 (Cayley-Hamilton: tensor satisfaz sua equa¸caõ caracter´ıstica), 46 1.2.6 (espectral: autovalores de tensor simétrico), 46 1.2.7 (comuta¸caõ de composi¸caõ de tensores), 47 1.2.8 (tensor simétrico de defini¸ caõ positiva ou negativa), 48 1.2.9 (quadrado de tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa), 48 1.2.10 (decomposi¸cão polar), 49 1.3.1 (fun¸caõ inversa), 66 1.3.2 (base de espa¸co tangente), 66 1.3.3 (divergência), 81 1.3.4 (fun¸cão identicam. nula em ), 81 torque, 127 tra¸caõ de cisalhamento, 129 normal, 129 superficial t, 128 trajetória, 95 transforma¸cão n-linear base de espa¸co vetorial de, 13 decomposi¸caõ, 13 defini¸caõ, 12 determinante de, 27 dimensão de espa¸co de, 13 escalar e tensor de ordem k, 21 escalar e tensor de segunda ordem, 17 espa¸co vetorial de, 13

166

E

Bases Da Mecânica e Da Termodinâmica Dos Meios Contínuos

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