Bahan Ajar Aturan Sinus Dan Cosinus

ATURAN SINUS DAN ATURAN KOSINUS Oleh : Hasmi Gustin Rosa, S.Pd, M.Si

STANDAR KOMPETENSI : 

Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam  pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR : 

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi,  persamaan dan identitas trigonometri

Menyelesaikan perhitungan soal menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus. TUJUAN PEMBELAJARAN :  

Siswa dapat menyelesaikan perhitungan soal menggunakan aturan aturan sinus. Siswa dapat menyelesaikan perhitungan soal menggunakan atur aturan an cosinus.

A. AT ATUR URAN AN SIN SINUS US

Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus yaitu perbandingan panjang sisi-sisi dengan sinus yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai sama. Ditulis:

Pembuktian : C P

R 

A

Perhatikan

B

ACR :

sin A = ↔ CR = b sin A ………..(1)

Perhatikan

BCR :

sin B = ↔ CR = a sin B………….(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh: b sin A = a sin B …………..(*)

Perhatikan

BAP :

sin B = ↔ AP = c sin B ………..(3) Perhatikan

CAP :

sin C = ↔ AP = b sin B………….(4) Dari (3) dan (4) diperoleh: c sin B = b sin C

…………...(**) Dari (*) dan (**) diperoleh : Aturan sinus dapat dipergunakan untuk mencari unsure-unsur segitiga yang belum diketahui, jika tiga unsurnya diketahui, yaitu : 1. Sisi – sudut – sudut 2. Sudut – sisi – sudut 3.

Sisi – sisi – sudut

Contoh soal : Diberikan ABC, b = 20 cm, besar sudut A adalah 450, dan besar sudut B adalah 600. Tentukan panjang sisi a. Jawab : (sisi – sudut – sudut) → dapat digunakan aturan sinus. < C = 1800 - < A - < B = 180 0 - 500 -700

↔a=

=

=

Jadi panjang sisi a adalah

cm.

B. ATURAN COSINUS

Pada segitiga ABC berlaku aturan cosinus, yaitu : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A  b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Pembuktian :

C

b

a

A

D

B

c Perhatikan

BDC :

BC2 = CD2 + BD2 a2 = CD2 + BD2 ………………(*) Perhatikan

ADC :

sin A = ↔ CD = b sin A………….(1) cos A = ↔ AD = b cos A………….(2) BD = AB – AD …………… (3) Subsitusikan (2) ke (3) BD = c – b cos A …………(4) Subsitusi (1) dan (4) ke (*) a2 = (b sin A)2 + (c – b cos A )2 = b2 sin2 A + c2 – 2bc cos A + b2 cos2 A = b2(sin 2A + cos2A) + c2 – 2bc cos A a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

terbukti

Dari Aturan Cosinus dapat ditentukan sudut-sudut pada segitiga: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Cos A

=

Cos B

=

Cos C  =

Contoh Soal : 1.

Diketahui ABC dengan panjang sisi a = 8 cm dan b = 10 cm dengan < C = 600. Tentukan panjang sisi c. Penyelesaian : Diket : a = 8 cm  b = 10 cm < C = 600 Ditanya: c = ………? Jawab : c2 = a2 + b2 – 2ab cos C = 82 + 102 – 2 (8)(10) cos 600 = 64 + 100 – 160( ) = 84 c =

=2

Jadi panjang sisi c adalah 2

cm.