L. P. Kairouan
Devoir de synthèse N°3
Prof: Chouihi
Durée : 4heures
Classes: 4M1+3
Le : 08 - 05 - 08
Exercice N°1
(4 points)
Partie A Pour chacune des propositions suivantes une et une seule réponse est correcte ; noter sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la bonne réponse.
(
r
r
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, i, j
)
1) Soit l’hyperbole H de de centre O, de sommet S(3,0) et de foyer F(5,0) ; H a pour équation réduite: a)
x2 9
-
y2 16
=1
b)
x2 9
y2
-=
16
-1
c)
x2 16
-
y2 9
=1
2) La parabole de foyer foyer F(2,0) et de directrice D : x = - 2 a pour équation équation : a) y² = 4x
b) x² = 8y
c) y² = 8x
3) Soit S l’application l’application du plan dans le plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z ' = -2iz - 1 + i . a) S est une similitude directe de rappor r apportt 2, de centre A(1– i) et d’angle
-
p 2
b) S = h o SD où h est l’homothétie de rapport 2 et de centre A(1–i) et S D est la symétrie axiale d’axe
D : y = - x. c) S est une similitude indirecte de rapport rapport 2, de centre centre A(1– i) et d’axe D : y = x .
Partie B On donne l’arbre de probabilités suivant tel que P(D) = 0,027 0,05
D
A D 0,2 0,04 0,3
D
B D D C D
a) Déte Déterm rmiiner ner P (A (A Ç D), P (B Ç D), en déduire P (C Ç D) b) Recopie Recopierr sur votre copie copie l’arbre l’arbre de de probabili probabilités tés et la compléter. compléter. c) Déte Déterm rmiiner ner P(C P(C / D) D) 1/3
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Exercice N°2
(4 points)
Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société fait contrôler les chaudières pendant l’été. Des études statistiques menées donnent les résultats suivants : Ø 20%
des chaudières sont sous garantie.
Ø Parmi
les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 0,01.
Ø Parmi
les chaudière chaudièress qui ne ne sont plus plus sous garantie, la probabilité probabil ité qu’une chaudière soit défectueuse défectueuse
est de 0,1. On appelle G l’événement suivant : « La chaudière est sous garanti g arantiee ». 1) Calculer la probabili pr obabilité té des événements événements suivants : A « La chaudière est sous garantie et défectueuse » B « La chaudière chaudière est défectueuse » 2) On sait que la chaudière est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie. 3) Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie, garantie, il coûte 20 dinars si la chaudière n’est n’est plus sous garantie garantie et n’est n’est pas défectueuse, il coûte 200 dinars si la chaudière n’est n’est plus sous garantie garantie et défectueuse. On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.
Exercice N°3
(4 points)
Dans l’espace E rapporté à un repère orthonormé ( O, i, j,k ), on donne les points A(0 ;3 ;0) et B(0 ;0 ;4) et C(2, 0, 4). 1) a) Montrer que la droite (BC) est orthogonale à la droite (OA). ( OA). b) Montrer que la droite (BC) est orthogonal ort hogonalee à la droite (OB). c) En déduire que la droite (BC) est perpendiculaire perpendiculaire au plan (OAB). 2) Déterminer le volume du tétraèdre OABC. 3) Montrer que les points O, A, B et C se trouven tr ouventt sur une sphère dont on déterminera le centre et le rayon. 4) A tout réel k Î]0, 4[ on associe le point M(0,0,k). r
Le plan contenant contenant M et orthogonal à l’axe (O, k ) coupe les droites (OC), (AC) et (AB) respectivement en N, P et Q. a) Montrer Montrer que le quadrila quadrilatère tère MNPQ MNPQ est est un rectan rectangle. gle. b) Pour quelle quelle valeur de k la la droite (PM) est est elle elle orthogonale orthogonale à la droite (AC) ?
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Problème A.
(8 points)
- e- x ex + e x ex
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) =
1°) a) Dresser le le tableau de variations variat ions de f. b) Tracer la courbe représentative ( C ) de f dans un repère orthonormé (O, i, j ). 2°) a) Montrer que f est est une bijection de IR sur ] – 1,1 [. b) Expliciter f (x) ; pour tout x Î ] – 1,1 [. -1
c) Construire la courbe ( C ’) de f - 1 dans le même repère (O, i, j ).. 3°) Calculer l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ’), l’axe des ordonnées et la droite d’équation : y = 1. 4°) a) Montrer que que pour tout xÎIR, [f(x)] = 1 -
4e 2x
2
b) Soit
(e
2x
+ 1)²
G = {M(x,y)ÎP tels que : y = f(x) et 0 £ x £ 1} et S le solide obtenu par rotation de G autour de
l’axe des abscisses. Calculer le volume de S.
B.
On considère les ensembles :
ì ï ï E = { M(x,y) Î P ; í ï ïî
x
= y
5
=
(e e
t
t
+
-t
e ) e
-t
, t
6 e
t
+
e
Î IR
} et
-t
1°) Pour tout réel réel t, on pose : u(t) =
et
+ e- t 2
et v(t) =
t -t ì (e + e ) ïx = 3 H = { M(x,y) ÎP ; í 2 ï y = 2( e t - e - t ) î
et
- e- t 2
.
Pour tout réel t, établir les égalités : a) [u(t)]2 – [v(t)]2 = 1
2°)
a) Montrer que E a pour équation :
b) [f(t)]2 + x² 25
+
y² 9
1 2
[u(t)]
=1
=1.
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de E . b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de H . 3°) Soient A, B, C et D les points points d’affixes respectives respectives : 1, 1 + i, i et – 1 + i. a) Montrer Montrer qu’il existe existe un unique unique déplacem déplacement ent R transform transformant ant A en C et B en D. b) Donner Donner la nature nature et les les élémen éléments ts caractéris caractéristiq tiques ues de R.
; t Î IR }
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L.P. Kairouan
Correction du devo ir de synthèse N°3
Exercice N°1
Exercice N°3
Partie A 1) a) 2) c) 3) b) Commentaire pour 3) Ø S est une similitude indirecte (de la forme Ø
z’ = a z +b ) De rapport -2i = 2
Ø
De centre A car z A’ = zA Ø D’axe D = {MÎP tel que S(M) = h(M)} NB : on peut procéder par élimination !
b)
0,05
D
0,95
D
0,04
D
0,96
D
R = OW =
0,01
D
4) a) N(
0,99
D
A 0,2 B
0, 5
æ 2ö æ 0ö uuur ç ÷ ç ÷ 1) a) BC ç 0 ÷ · OA ç 3 ÷ = 0 donc (BC)^(OA). ç0÷ ç 0÷ è ø è ø æ 2ö æ0ö uuur uuur ç ÷ ç ÷ b) BC ç 0 ÷ · OB ç 0 ÷ = 0 donc (BC)^(OB). ç0÷ ç 4÷ è ø è ø ì( BC) ^ (OA ) ï c) í( BC) ^ (OB) alors (BC)^(OAB) ï(OA) (OB) sont sont séca sécant ntes es î(OA) et (OB) uuur
2) En remarquant que OAB est rectangle en O et en tenant compte du fait que (BC) ^ (OAB) on déduit que : 1 V(OABC) = OA´OB´BC = 4 6 3) Soit W(x,y,z) ìAW =OW ì-6 y + 9 = 0 3 ï ï Û W( ,2,1) íBW =OW Û í-8z + 16 = 0 2 ïCW =OW ï-4x - 8z + 20= 0 î î
Partie B a) p(AÇD) = p(A).p(D/A) = 0,2´0,05 = 0,01 p(BÇD) = p(B).p(D/B) = 0,3´0,04 = 0,012 p(CÇD) = p(D) – p(AÇD) – p(BÇD) = 0,005
0,3
C
c) p(C/D) =
Prof : Chouihi
p(C Ç D) p(D)
=
1) p(A) =p(GÇD)=p(G)´p(D/G)=0,2´0,01 = 0,002 P(B) = p(D) = p(G)´p(D/G) + p( G) G) ´ p( D / G ) = 0,002 + 0,8 ´ 0,1 = 0,082
p(D)
=
,0,k) ; P(
2 3
Q( 0, -
4
k 2
,-
3 4
k + 3, k ) et
k + 3, k ) uuuu r
uuu r
uuuu uuuur uuuu uuuur MN gMQ =0.
27
p(G Ç D )
2
Il suffi uffitt de de vér vériifier fier que que MN = QP et que
5
Exercice N°2
2) p = p(G/D) =
k
29
2 82
=
1 41
» 0,0243
3) X(W) = {0, 20, 200} p(X = 0) = p(G) = 0,2
b) k =
36 13
Problème
1) a) Df = IR. f est continue et dérivable sur IR f(x) = f(x) =
p(X = 20) = p( p(G Ç D) = p( G )´p( D / G ) = 0,8´0,9 = 0,72
f’(x) =
e x (e (e 2 x - 1) -x
e (e (e
2x
+ 1)
e x (1 - e -2 x ) e (1 + e 4
-2 x
x
-x
x
(
)
)²
= =
e2x -1 e
2x
+1
1 - e -2 x 1+ e
f0
-2 x
donc lim f = - 1 -¥
donc lim f = 1 +¥
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B.
1) a) et b) simple calcul ! ìx ïï 5 = f(t) 1 2 2) a) í et comme [f(t)] + =1 2 y 1 [u(t)] ï = ïî 3 u ( t )
2) a) f est strictement st rictement croissante croissante sur IR donc elle réalise une bijection de IR sur f et comme f est continue sur IR alors f = ] limf,limf [ -¥
+¥
= ]-1, 1[
ì f -1 ( x ) = y ì f ( y) = x b) í Ûí Î x ] 1 , 1 [ î y Î IR î ey - e- y y -y f(y) = x Û y - y = x Û e (1 – x) = e (1 + x) e +e 1+ x Û e2y(1 – x) = 1 + x Û e 2y = 1- x 1+ x Û 2y = ln( ) 1- x 1 1+ x donc f 1 ( x ) = ln( ) 2 1- x c) C’ est l’image de C par rapport à D : y = x 3) par raison de symétrie par rapport à D, l’aire A demandé est égal à celui de la partie limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et la droite d’équation : x = 1 ; donc A=
1
ò
-x
1
ùû f ( x )dx = éë ln(e + e ) = 0 0 x
e -e
-x
-1
ln(e + e ) - ln 2 -2 x
+ e -2 = 2 x -2 x 4) a) [f(x)]² = x -x e +e e +e +2 2x 2x e +e +2-4 4 = = 2 x -2 x 1 - -2 x 4 x e +e +2 e ( e + 1 + 2e 2 x ) x
= 1-
e
2x
4e 2x (e
2x
+ 1)² 2x
x²
+
y²
=1. 25 9 E est une ellipse de foyer F(4,0) de directrice 25 associée à F la droite D : x = et d’excentricité 4 4 e= . 5 ìx ïï 3 = u(t) b) í et comme [u(t)]2 – [v(t)]2 = 1 donc ï y = v(t) îï 4 x ² y² - =1 . 9 16 H est une hyperbole de foyer F(5,0), de directrice 9 associée à F la droite D’: x = . 5 3) a) AB AB =1 & CD = 1 [ AB = CD & AB¹ 0] donc il existe un unique déplacement déplacement R transf t ransformant ormant A en C et B en D. b) La transformation complexe associée associée à R est de la forme orme z’ z’ = az + b avec avec a = 1 donc
ìR ( A ) = C ìa + b = i ìa = i Û Û í í í îR ( B) = D îa (1 + i ) + b= -1 + i îb = 0 Donc z’ = iz et par suite R est la rotation de centre O et d’angle
p
. 2 4) a) M’ = R(M) Û z’ = iz Û z = -iz’ ìx = y ' Û x + iy = -i(x’ + iy’) Û í îy = - x ' MÎEÛ
x² 25
+
y² 9
=1Û
x'² 9 x²
+
y '² 25 y²
=1
+ =1 9 25 b) E’ est une ellipse de foyer F’(0,4), de directrice 25 associée à F’ la droite d’équation : y = et 4 4 d’excentricité d’excentricité e = Donc E’ a pour équation :
