1. Aplikasi turunan A. Maksimum dan Minimum
Misalkan kita mengetahui fungsi f dan dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan f memiliki memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum. Definisi :
Andaikan S daerah asal f memuat titik ! kita katakana bahwa" i. f (#) (#) adalah nilai maksimum f pada S jika f (#)$ (#)$ f (%) (%) untuk semua % di S ii. f (#) (#) adalah nilai minimum f pada S jika f (#)& (#)& f (%) (%) untuk semua % di S iii. f (#) (#) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum 1. Teorema A Teore Te orema ma Eksis Eksistens tensii Maks Maks-Min -Min.. 'ika f ko kont ntin inuu
pada se pada sela lang ng te tert rtut utup up a ab b maka f men#apai men#apai nilai maksimum dan nilai minimum. Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim
*iasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai sebagai daerah asalnya. +etapi selang ini boleh berupa seba se bara rang ng da dann se semb mbililan an titipe pe ya yang ng di diba baha hass ,. ,.. . be bebe bera rapa pa da dari ri se sela lang ng in inii memuat titk-titik ujung beberapa tidak. Misalnya I / ab memuat titik-titik ujung dua-duanya (ab) hanya memuat titik ujung kiri (ab) tidak memuat titk ujung satupun. 0ilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. 'ika # sebuah titik pada mana f 1(#) 1(#) / 2 disebut # titik stasioner. Pada titik stasioner grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. 0ilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik titik-tit ik stasioner. 'ika # adalah titik dalam dari I dimana dimana f 1 tidak ada disebut # titik singular. Grafik f mempunyai mempunyai sudut tajam garis singgung 3ertikal. 0ilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular 2. Teorema B
Teorema titik kritis .
Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik #. 'ika f (#) adalah titik ekstrim maka # haruslah suatu titik kritis yakni # berupa salah satu " i. titik ujung 4 ii. titik stasioner dari f (f1(#) / 2) iii. titik singular dari f (f1 (#) tidak ada) Mengingat teorema A dan * untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I . 5angkah , " !arilah titik-titik kritis dari f pada 4 5angkah 6 " hitunglah f pada setiap titik kritis yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terke#il adalah nilai minimum. onto! :
!arilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(%) / %6 7 8% pada - , "enyelesaian:
Menurunkan fungsinya f1(%) / 6% 7 8 9emudian men#ari titik kritis f1(%) / 2 6% 7 8 / 2 : / -6 *erarti titik-titik kritis yang di dapat - -6 , maka " f(-) / - f(-6) / -8 f(,) / ; 'adi nilai maksimum adalah ; (di#apai pada ,) dan nilai minimum adalah -8 (di#apai pada -6) 1. #emonotonan dan #e$ekungan Definisi :
Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka tertutup atau tak satupun). 9ita katakan bahwa " i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan % , dan %6 dalam I %, < %6 = f(%,) < f(%6)
ii.
f adalah
turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan % , dan %6 dalam I %, > %6 = f(%,) > f(%6) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I
iii.
1. Teorema A #emonotonan.
Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I i. 'ika f’ (%) > 2 untuk semua titik dalam % dari I, maka f naik pada I ii. 'ika f’ (%) < 2 untuk semua titik dalam % dari I, maka f turun pada I Teorema
a. Turunan "ertama dan #emonotonan
4ngat kembali bahwa turunan pertama f’ (%) memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik % kemudian jika f’ (%) > 2 garis singgung naik ke kanan serupa jika f’ (%) < 2 garis singgung jatuh ke kanan. %. Turunan #edua dan #e$ekungan
Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. 'ika se#ara tetap berlawanan arah putaran jarum jam kita katakan bahwa grafik #ekung ke atas jika garis singgung berliku searah jarum jam grafik #ekung ke bawah. Definisi:
Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka I / (ab). jika f’ naik pada I f (dan grafiknya) $ekung ke atas disana jika f’ turun pada I f $ekung ke %a&a! pada I. 2. Teorema B 'Teorema ke$ekungan(. Andaikan f terdeferensial
dua kali pada selang terbuka
(ab). i. ii.
'ika f’’ (%) > 2 ntuk semua % dalam (ab) maka f #ekung ke atas pada (ab) 'ika f’’ (%) < 2 ntuk semua % dalam (ab) maka f #ekung ke bawah pada (ab)
Titik Balik
Andaikan f kontinu di # kita sebut (# f ( #)) suatu titik balik dari grafik f jika f #ekung ke atas pada satu sisi dan #ekung ke bawah pada sisi lainnya dari #. grafik dalam Gambar ! menunjukkan sejumlah kemungkinan. onto! :
'ika f(%) / % 7 ?%6 7 @% 7 #ari dimana f naik dan dimana turun "enyelesaian:
Men#ari turunan f f1(%) / %6 7 ,6% 7 @ / (%6 7 8% 7 ) / (%7)(:7,) 9ita perlu menentukan ( x 7) ( x 7,) > 2 dan ( x 7) ( x 7 ,) < 2 terdapat titik pemisah - dan -, membagi sumbu x atas tiga selang ( -B -) (- -,) dan (-, B). Cengan memakai titik uji -8 -6 2 didapat f D( x) > 2 pada pertama dan akhir selang dan f D( x) < 2 pada selang tengah. 'adi f naik pada (-B - dan -, B) dan turun pada - -, Grafik f (-) / f (-,) / -, f (2) / 2. Maksimum dan Minimum )okal Definisi :
Andaikan S daerah asal f memuat titik #. kita katakan bahwa " i. f( #) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (ab) yang memuat # sedemikian sehingga f (#) adalah nilai maksimum f pada (ab) E S ii. f (#) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (ab) yang memuat # sedemikian sehingga f (#) adalah nilai minimum f pada (ab) E S iii. f (#) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
+eorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal bukti pada dasarnya sama. 'ika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negati3e pada pihak lainnya maka kita mempunyai ekstrim lokal. 1. Teorema A *ji Turunan "ertama untuk Ekstrim )okal .
Andaikan f kontinu pada selang
terbuka (ab) yang memuat titik kritis #. i. 'ika f’ (%) > 2 untuk semua % dalam (a#) dan f’ (%) < 2 untuk semua % dalam (#b) maka f (#) adalah nilai maksimum lokal f ii. 'ika f’ (%) < 2 untuk semua % dalam (a#) dan f’ (%) < 2 untuk semua % dalam (#b) maka f (#) adalah nilai minimum lokal f iii. 'ika f’ (%) bertanda sama pada kedua pihak # maka f (#) bukan nilai ekstrim lokal f . 2. Teorema B *ji Turunan #edua untuk Ekstrim )okal. Andaikan f 1
dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (ab) yang memuat # dan andaikan f’ (#) / 2 i. 'ika f’’ (#) < 2 f (#) adalah nilai maksimum lokal f ii. 'ika f’’ (#) > 2 f (#) adalah nilai minimum lokal f onto! :
!ari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(%) / % 6 F % 7 H pada (-BB) penyelesaian:
fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya f1(%) / 6% F ada untuk semua %. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f1(%) / 2 yakni % / 8 karena f1(%) / 6(%-8) < 2 untuk %<2 f turun pada (-B8) dank arena 6(% F 8)>2 untuuk %>2 f naik pada 8B) karena itu f(8) / -@ adalah nilai minimum lokal f karena 8 adalah satu-satunya bilangan kritis tidak terdapat nilai ekstrim lain. Citunjukkan oleh grafik di bawah ini. +. )e%i! Banyak Masala! Maks-Min
Masalah yang dipelajari dalam pasal 8., biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. +etapi selang-selang yang un#ul dalam praktek tidak selalu tertutup kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka. setengah tetutup. 9ita masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan se#ara benar teori yang dikembangkan dalam pasal 8.. 4ngat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global. 5angkah-langkahnya" ,) *uat sebuah gambar untuk masalah dan berikan 3ariabel-3ariabel yang sesui untuk besaran-besaran kun#i 6) +uliskan rumus untuk besaran I yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk 3ariabel-3ariabel tersebut ) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua ke#uali satu dari 3ariabel-3ariabel ini dan karenanya enyataka I sebagai fungsi dari satu 3ariabel misalnya % 8) +entukan himpunan nilai-nilai % yang mungkin biasanya sebuah selang ;) +entukan titik-titik kritis (titik ujung titik stasioner titik singular). Paling sering titik-titik kritis kun#i berupa titik-titik stasioner dimana dIJd% / 2 ?) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum atau minimum onto! :
!ari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f ( x) / x3 F x2+4 pada ( -B B). "enyelesaian :
f D( x) / x2 F ?% / %( x F ?)
%/2 dan %/ 6 f (6) / 0 f (0) / 4 fungsi memiliki nilai maksimum 8 (pada 2) dan nilai minimum 2 (pada 6) ,. "enerapan Ekonomik
Calam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan P+ A*!. 'ika A*! menjual % satuan barang tahun ini A*! akan mampu membebankan harga p(%) untuk setiap satuan. 9ita tunjukkan bahwa p tergantung pada %. pendapatan total yang diharapkan A*! diberikan oleh K(%) / % p(%) banyak satuan kali harga tiap satuan. Lntuk memproduksikan dan memasarkan % satuan A*! akan mempunyai biaya total !(%). 4ni biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya 3ariable. 9onsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(%) yakni slisih antara pendapatan dan biaya. "'( /'( 0 '( p'( 0 '(
Lmumnya sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. 'adi K(%) !(%) dan P(%) pada umumnya didefinisikan hanya untuk %/ 2,6..dan sebagai akibatnya grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kur3a. Cengan demikian K! dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan. "enggunaaan #ata Marjinal
Andaikan A*! mengetahui fungsi biayanya !(%) dan ntuk sementara diren#anakan memproduksi 6222 satuan tahun in. A*! ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. 'ika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A Cirektur Ltama A*! menanyakan nilai N!JN: pada saat N% / ,. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai 5im Pada saat % / 6222. ini disebut biaya marjinal. 9ita mengenalnya sebagai d#Jd% turunn ! terhadap %. dengan demikian kita definisikan harga marjinal sebagai dpJd% pendapatan marjinal dKJd% dan keuntungan marjinal sebagai dPJd%. onto! :
andaikan !(%) / ?H22 7 8,;% 7 2% ,J6 rupiah. !ari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana % / 8222 penyelesaian :
*iaya rata-rata " !(%)J% / (?H22 7 8,;% 7 2% ,J6) J% *iaya marjinal " d!Jd% / 8,; 7 2% -,J6 Pada : / 822 diperoleh *iaya rata-rata / 668 % 822 / @?2 *iaya marjinal / 8@ % 822 / ,@?2 4ni berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Kp. @?2 untuk memproduksi 822satuan yang pertama untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 822 hanya memerlukan biaya Kp. ,@?2. . )imit di #etak!inggaan )imit Tak Ter!ingga
Cefinisi-definisi !ermat 5imit bila %= O B Calam analogi dengan definisi kita untuk limit-limit biasa kita membuet definii berikut. Definisi:
(5imit bila % = B). Andaikan f terdefinisi pada #B) untuk suatu bilangan #. kita katakan bahwa 5im f(%) / 5 jika untuk masing-masing >2 terdapat bilangan M yang %=B berpadanan sedemikian sehingga : > M = Qf(%) - 5Q < Definisi:
(5imit bila % = -B). Andaikan f terdefinisi pada ( -B # untuk suatu bilangan #. kita katakan bahwa 5im f(%) / 5 jika untuk masing-masing >2 terdapat bilangan M yang %= -B berpadanan sedemikian sehingga : < M = Qf(%) F 5Q < Definisi:
(5imit-limit tak- terhingga). 9ita katakan bahwa 5im f(%) / B jika untuk tiap bilangan %=#7 positif M berpadanan suatu R>2 demikian sehingga 2 < % F # < R= f(%) > M 3u%ungan Ter!adap Asimtot
Garis % / # adalah asimtot 3erti#al dari grafik y / f(%). misalkan garis % / , adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis % / 6 dan % / adalah asimtot 3erti#al. Calam nafas yang serupa garis y / b adalah asimtot horiontal dari grafik y / f(%) jika 5im f(%) / b atau 5im f(%) / b %=B %= -B Garis y / 2 adalah asimtot horiontal. soal " . lim %6 - 6% 7 ? J ?% 6 F ;% -@ %= T lim %6J%6 F 6%J%6 7 ?J%6 J ?%6J% F ;%J%6 7 @J%6 / J? / ,J6 %= T 4. "enggam%aran 5rafik anggi!
9alkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik se#ara baik khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan #irri-#iri grafik. 9ita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal titik-titik minimum lokal dan titik-titik balik. 9ita dapat menentukan se#ara persis dimana grafik naik atau dimana #ekung ke atas. "6)7N6M. Polinom derajat , atau 6 jelas untuk di gambar grafiknya yang berderajat ;2 hampir mustahil. 'ika derajatnya #ukup ukurannya misalka sampai ?. kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
8*N597 /A976NA).
Uungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. 9hususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol. /7N5#A9AN MET6DE. Calam menggambarkan grafik fungsi tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. +etapi dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu. 5angkah , " *uat analisis pendahuluan sebagai berikut " a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dike#ualikan. b. Lji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil) #. !ari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. d. Gunakan turunan pertama untuk men#ari titik-titk kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun. e. Lji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal. f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik #ekung ke atas dan #ekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik. g. !ari asimtot-asimtot. 5angkah 6 " Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik) 5angkah " Sketsakan grafik. onto! :
Sketsakan grafik f(%) / (6% ; F 2%)J,2 "enyelesaian :
karena f(-%) / -f(%) f adalah fungsi ganjil oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Cengan menetapkan f(%) / 2 berarti V6% ; F 2%WJ,2 / 2 dan %(6%6 F 2)J,2 / 2 kita temukan perpotongan sumbu % adalah 2 dan ,; ; 9emudian kita deferensialkan f1(%) / (,2% 8 F @2%6)J,2 / V,2%6 (%6-@)WJ,2 kita peroleh titik kritis - 2 f(-) /
f(2) / 2 f() / ,6 kemudian kita deferensialkan kembali fX(%) / (82% -,2%)J,2 / V%(82%6,2)WJ,2 kita peroleh % / -6., % / 6., % / 2 f(-6.,) / ,. f(6.,) / -,. f(2) / 2 . Teorema Nilai /ata-/ata
+eorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus F tidak begitu penting tetapi sering kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang #ukup berarti. Calam bahasa geometri teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. +eorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak 3ertikal pada setiap titik antara A dan * maka terdapat paling sedikit satu titik ! pada grafik antara A dan * sehingga garis singgung di titik ! sejajat talibusur A*. 1. Teorema A Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan .
'ika f kontinu pada selang tertutup ab dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (ab) maka terdapat paling sedikit satu bilangan # dalam (ab) dimana f (b) F f (a) J b F a / f’ (#) atau se#ara setara dimana f (b) F f (a) / f’ (#) (b-a) 2. Teorema B
'ika U1(%) / G1(%) untuk semua F% dalam (ab) maka terdapat konstanta ! sedemikian sehingga U(%) / G(%) 7 ! Lntuk semua % dalam (ab) onto! :
!ari bilangan # yang dijamin oleh teorema 0ilai rata-rata untuk f(%) / % 6 F pada ,
"enyelesaian :
f1(%) / 6% dan Vf() F f(,)WJ F , / V? F (-6)WJ6 / J6 / 8 jadi kita harus menyelesaikan 6! / 8 maka ! / 6 jawaban tunggal adalah ! / 6
;. Aplikasi turunan dalam dunia farmasi
Aplikasi turunan gak akan jauh dari men#ari titik maksimumJminimum dari suatu fungsi. Misalnya kalau ada fungsi yang bisa menggambarkan bioa3ailabilitas obat di dalam darah berdasarkan waktu dengan turunan bisa di#ari kapan bioa3ailabilitas maksimumJminimum didapat setelah obat diminumJdisuntikkan.
