BAB I PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang Distrib Distribusi usi binomi binomial al adalah adalah distri distribus busii probab probabili ilitas tas diskri diskritt dari dari percob percobaan aan yang yang dilaku dilakukan kan sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masingmasing percobaan tidak saling mempengaruhi (independent).distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyekyang dipilih tanpa pengembalian.distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuen frekuensi si darike darikejad jadian ian acak tertent tertentu. u. Ini dapat dapat diguna digunakan kan sebaga sebagaii pendek pendekatan atan distrib distribusi usi binomial.Beberapa tipe variabel acak sering digunakan dan kesemuanya mempunyai namanamak Kitajuga dapatmenunjukkan bahwa probabilitas menghasilkan kegagalan dalam 10kali percobaanadalah(l-p) 10. Sebagaicontoh,jika p= 0.8makakemungkinanmeng 0.8makakemungkinanmenghasilkan10 hasilkan10 kegagalan dari 10 kali percobaan adalah 0.210=0.0000001.anggaplah kita ingin mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilandari 10 kali percobaan. Untuk melakukan perhitungan ini kita perlu menggunakan suatudistribusi acak: distribusi binomial. Distribusi binomial dapat diterapkan pada berbagaisituasi dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan, dan masing-masing mempunyai satu dari duakemungkinanhasil.Kitamenyebutduakemungkinanitudengankeberhasilandankegagalan.me skipununt skipununtukbeb ukbeberapak erapakasusmu asusmungkin ngkinadape adapenunju nunjukkany kkanyang ang berubah-uba berubah-ubah. h. Misalnya Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali. Anggaplah X mewakili jumlahkeberhasilan.Jikaprobabilitasuntukmendapatkankeberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i keberhasilan khusus. Satu distribusi variabel acak yang penting adalah distribusi binomial. PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. statist ika. Distribusi normal baku adalah distribusi norm normal al yang yang memi memili liki ki rata rata-r -rat ataa nol nol dan dan simp simpan anga gan n baku baku satu satu.. Dist Distri ribu busi si ini ini juga juga dijulukikurva lonc loncen eng( g(be bell ll curv curve) e) karen karenaa grafi grafik k fung fungsi si kepe kepeka kata tan n prob probab abil ilita itasn snya ya miri mirip p deng dengan an bentuklonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata - rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, s tatistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. SEJARAH DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahu tahun n 1733 1733 seba sebaga gaii pend pendek ekat atan an dist distri ribu busi si bino binomi mial al untu untukn kn besa besar. r. Kary Karyaa ters terseb ebut ut dikemb dikembang angkan kan lebih lebih lanjut lanjut oleh oleh Pierre Pierre Simon Simon de Laplac Laplace, e, dan dikena dikenall sebaga sebagaii teorem teoremaa Moiv Moivrere-La Lapl plac ace. e. Lapl Laplac acee meng menggu guna naka kan n distr distrib ibus usii norm normal al untu untuk k anali analisi siss gala galatt suat suatu u eksper eksperime imen. n. Metode Metode kuadra kuadratt terkeci terkecill diperk diperkena enalka lkan n oleh oleh Legend Legendre re pada pada tahun tahun 1805. 1805.
Sement Sementara ara itu Gauss Gauss mengkl mengklaim aim telah telah menggu menggunak nakan an metode metode tersebu tersebutt sejak sejak tahun tahun 1794 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi distribusi normal. Istilah kurva lonceng diperkenalkan diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk dist distri ribu busi si norm normal al biva bivari riat at.. Seme Sement ntar araa itu itu isti istila lah h dist distri ribu busi si norm normal al seca secara ra terp terpis isah ah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja Memilik nama sama
Distribusi normal didefinisikan dengan persamaan berikut: Z= x - µ ket : Z = standar normal µ = rata-rata populasi σ x = rata-rata sample σ = standar deviasi Adapun Kurva yang terdapat pada Distribusi Normal : KURVA DISTRIBUSI NORMAL Grafik distribusi normal tergantung tergantung pada dua factor mean dan deviasi standart. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dan deviasi standard menentukan tinggi dan dan lebar grafik. Ketika standard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasi kecil, kurva kecil dan sempit. Semua distribusi normal tampak seperti lonceng, Kurva berbentuk simetris, simetris, seperti yang yang di tunjukan tunjukan di gambar gambar ini. Kita Kita kembal kembalii ke situasi situasi dimana dimana seoran seorang g ilmuwa ilmuwan n melaku melakukan kan percob percobaan aan,, percob percobaan aanitu itu mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu berhasil atau gagal. Probabilitas untuk berhasil darisetiap percobaan adalah p dan probabilitas gagal adalah I-p. Jika peercobaan dilakukan sebanyak 10 kali, berapa percobaan akan menghasilkan keberhasilan? Pertama-tamakita menjawab pertanyaan: jika ilmuwan melakukan percobaan sebanyak 2 kali, berapa probabilitas kedua percobaan itu menghasilkan keberhasilan? Jika A adalahkejadian mendapatkan keberhasilan pada percobaan pertama dan B adalah kejadian untukmendapatkan keberhasilan pada percobaan kedua, maka Pr (A) = P dan Pr (B) = p. Kejadian untuk mendapatkan keberhasilan pada kedua percobaan dapat ditulis A nB (A irisan B, lihatbab IV).Kita akan membuat asumsi penting, masing-masing percobaan adalah bebas. Hal ini berarti bahwa kemungkinan untuk mendapatkan keberhasilan pada percobaan tertentu tida tidakd kdip ipen enga garu ruhi hi oleh oleh hasil hasil perco percoba baan an yang yang lain lain.. Jika Jika kedu keduaa perco percoba baan an tida tidak k salin saling g mempengaruhi, maka kita dapat mengalikan dua probabilitas: Pr (A n B) = Pr (A dan B) = Pr (A) x Pr (B) = p2.
I.2 Perumusan Masalah
Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: 1.Percobaandiulang kali 2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas; Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL" ("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED") 3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.Peluang gagal = q
=1- p. 4.Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain. RUMUS DISTRIBUSI BINOMIAL b(x;n,p) = nCx px qn-x qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n n : banyaknya ulangan x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x p : peluang berhasil dalam setiap ulangan q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES Suatu percobaan statistik disebut percobaan Binomial atau Bernoulli jika percobaan statistik tersebut mempunyai ciri-ciri : 1. Percobaan diulang sebanyak n kali 2. Setiap hasil percobaan dibedakan menjadi dua, yaitu kejadian sukses (S) dan kejadian gagal (G) 3. Probabilitas terjadinya kejadian sukses (S) dan gagal (G), yaitu P (sukses) = P(S) dan P(gagal) = 1 – p = q adalah tetap. 4. Semua hasil yang muncul saling bebas satu sama lain. Suatu percobaan binomial yang diulang sebanyak n kali, dengan P (sukses) = P(S) = p dan P (gagal) = P(G) = 1 – p = q adalah tetap pada setiap percobaan dan X menyatakan banyaknya sukses dalam percobaan binomial, maka variabel acak X mempunyai distribusi binomial yang dirumuskan sebagai berikut : f(x) = P(X=x) = b(x,n,p) = ( n | x ) p^xq^n-x di mana x = 0,1,2 …,n dan q = 1 – p p dan q disebut parameter. Distribusi Binomial mempunyai nilai rata-rata variansi, simpangan baku, koefisien kemiringan dan koefisien keruncingan sebagai berikut : Rata –rata u = n.p Variansi tho^2 = npq Simpangan baku tho = \/npq Koefisien Kemiringan tho^3 = q - p / \/npq
Koefisien Keruncingan tho^4 = 3 + 1-6pq / npq
untuk x = 0,1,23,...,n n: banyaknya ulangan x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X p: peluang berhasil pada setiap ulangan q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan Contoh : Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang! Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1" x=3 n = 5 * pelemparan diulang 5 kali p = q = 1- =
= ×= 10 0.003215...= 0.03215... Contoh : Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos? membolos? Kejadian yang Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS →ditanyakan Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60 p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40 0.40 x = 2, n = 5 b(x = 2; n = 5, p = 0.40) 0.40) = ....... Pada dasarnya proses yang berlaku disini adalah proses Bernoulli (distribusi binomial), tetapi antara eksperimen yang satu dan yang lainnya [b]tidak independent[/b]. Distribusi Hipergeometris digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa yangbersifat dependen (bersyarat) dan variabelnya bersifat diskrit. Rumus yang digunakan : P(x1, x2, ..., xi) = (n1Cx1.n2Cx2 ( n1Cx1.n2Cx2 ... niCxi)/(nCx); dimana x1, x2, ... xi : banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi dari setiap peristiwa; n1, n2, ...ni : banyaknya seluruh frekuensi yang dapat terjadi dari setiap peristiwa; n = n1 + n2 + ... + ni; dan x = x1 + x2 + ... + xi. Contoh : Sebuah kotak berisi 10 bola, yang terdiri 4 bola warna merah dan 6 bola warna hitam. Jika diambil sebanyak 3 bola secara berturut-turut (tanpa dikembalikan) berapa probabilitas terambil bola 2 warna merah dan 1 warna hitam. Jawab : X1 = kejadian bola warna merah X2 = kejadian bola warna hitam P(2 ; 1) = ((4C2).(6C1))/(10C3) = 36/120 = 0,3
distribusi normal
Mengapa banyak analisis statistik yang mengharuskan kita untuk menguji distribusi Normal terlebi terlebih h dahulu dahulu?Di ?Distri stribus busii normal normal itu distri distribus busii data data yang yang memilik memilikii grafik grafik setangk setangkup up (seimbang antara kanan dan kiri/Xmin dan Xmaks), dimana rata-rata (mean) sama dengan modus (nilai yg sering muncul) dan sama dengan median (nilai yang berada di tengah), tidak ada outlier. Ada rumus dari distribusi distribusi tersebut namun sulit untuk menuliskan menuliskan di sini.Banyak sini.Banyak analisis mengasumsikan distribusi normal karena turunan rumus dari analisis tersebut berasal dari rumus distribusi normal, seperti distribusi z (normal baku, rata-rata=0, variance(s)=1) dan dan ada ada juga juga dist distrib ribus usii t, F, Chi-S Chi-Squ quare are,, dll dll yang yang meru merupa paka kan n turu turuna nan n dari dari distr distrib ibus usii normal.Ada normal.Ada teori yg bernama bernama "teorima "teorima limit pusat" yang menyatakan menyatakan,, semakin semakin banyak banyak data yang diambil akan semakin mendekati ditribusi normal.
I.3 tujuan penelitian
Dalam teori probabilitas dan statistika, statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana dimana setiap setiap hasil hasil percob percobaan aan memili memiliki ki probab probabili ilitas tas p. Eksper Eksperime imen n berhas berhasil/ il/gag gagal al juga juga disebut percobaan bernoulli bernoulli.. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi Distribusi ini seringkali seringkali digunakan digunakan untuk untuk memodelkan memodelkan jumlah keberhasilan keberhasilan pada jumlah jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembali pengembalian), an), distribusi distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik , bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Suatu proses bernouli adalah proses sampling yang (Haryono subiakto, 1994) : 1. Ada dua kejadian yang dapat terjadi dan saling asing pada setiap percobaan atau observasi, untuk mudahnya disebut sukses atau gagal. 2. Urut-urutan, untuk mudahnya disebut sukses atau gagal. 3. Probab Probabili ilitas tas sukses sukses dinyat dinyataka akan n dengan dengan (p), (p), yang yang nilain nilainya ya tetap tetap dari dari percob percobaan aan kepercobaan atau dari suatu kejadian yanmg lain Distribusi probabilitas normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Banyak peristiwa atau kejadian di alam yang memiliki karakteristik seperti yang di modelkan pada distribusi normal ini. Distribusi ini mempunyai nilai yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu. Pada hakikatnya proses kejadian di alam dengan berbagai macam pengukuran menunjukkan menunjukkan gejala normal sebagaimana berlakunya Hukum
Bilangan Besar (Law of Large Numbers), dimana kejadian di alam dan perilaku manusia beraneka ragam, namun demikian satu sama lain pada dasarnya akan saling menyesuaikan. Dengan hukum bilangan besar tersebut, peristiwa atau kejadian dapat saling mengimbangi sehingga grafik dari kejadian berbentuk simetris, sisi kanan dan kiri saling melingkupi. Bentuk : Kurva berbentuk genta atau lonceng yang simetris Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal 1. Kurva berbentuk genta atau lonceg dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung sama dengan median dan modus. 2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya. 3. Kurva ini menurun di kedua arah yaitu keeeeee kanan untuk nilai positif tak terhingga dan kekiri untuk nilai negatif tak terhingga. 4. Luas daerah yang terletak di bawah kurva normal tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1.
Jenis Distribusi Probabilitas Normal Bentuk dari distribusi ini dipengaruhi oleh 2 parameter yaitu : a. Nilai rata-rata b. Standar deviasinya
Pada proses pembandingan bentuk kurva ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. a. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata sama dan standar deviasi berbeda. Semakin besar standar deviasi, maka kurva akan semakin pendek. Semakin Semakin tinggi nilai standar deviasi, maka kurva akan semakin runcing. b. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi sama. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yang sama, akan tetapi letaknya yang akan berbeda. c. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi yang berbeda. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yangberbeda sama sekali. Distribusi normal, atau dikenal juga dengan istilah Gaussian Distribution, Distribution, mengandung dua parameter, yaitu mean (m) dan varians (s2). Parameter-parameter ini memberikan
karakteristik yang unik pada suatu distribusi berdasarkan “lokasi”-nya (central ( central tendency), tendency), dan sebagai metode statistik, mendasarkan perhitungannya juga pada kedua parameter tersebut.
I.4 Pembatasan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas maka dapat dirumuskan suatu permasalahan, yakni penentuan estimasi interval dari distribusi sampel normal dan binomiall hypergeometri Dalam modul ini, pembahasan masalah akan dibatasi mengenai: mengenai: a) Distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi normal b) Distribusi binomial hipergeometri yang digunakan adalah adalah distribusi normal standar c) Interval kepercayaan yang disusun antara lain: Interval kepercayaan mean dengan variansi 2 diketahui untuk distribusi prior normal standar. Interval kepercayaan variansi 2 dengan mean diketahui untuk distribusi prior invers gamma. Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut: 1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang 2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal 3. Peluang kesuksesan kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya. 4. Tiap usaha bebas bebas dengan usaha lainnya Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Binomial”. Jika p menyatakan menyatakan probabilitas kesuks kesuksesan esan dalam dalam suatu suatu usaha, usaha, maka maka distri distribus busii peruba perubah h acak acak X ini dinyat dinyataka akan n dengan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya banyaknya usaha (n) Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat. Selanjutny Selanjutnyaa menentukan menentukan rumus rumus yang memberikan memberikan proailitas proailitas x sukses dalam n-usaha n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p) Distrib Distribusi usi probab probabili ilitas tas peruba perubah h acak hiperg hipergeom eometri etrik k X yang yang menyat menyataka akan n banyak banyaknya nya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai:
k N −k x ÷ n− x ÷ ; x = 0,1, 2,......,n h( x;N, n, k ) = N n÷ 1.5 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam skripsi ini, disusun sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan dan manfaat, sistematika penulisan.
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas tentang variabel random, distribusi bersyarat, ekspektasi dan varian, distribusi normal , distribusi binomial hypergeometri.
BAB III METODELOGI PENELITIAN Bab ini berisikan flow chart dan keterangan dalam modul ini
BAB IV PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN Bab ini berisi berisi pengumpulan data serta pengolahan data
BAB V ANALISA Pada bab ini membahas membahas analisa data yang berkaitan dari pengumpulan pengumpulan serta pengolahan data.
BAB VI Di dalam BAB ini berisikan hasil kesimpulan modul dari BAB I sampai BAB V hasil Analisa data. DAFTAR PUSTAKA
BAB II LANDASAN TEORI Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole) CIRI – CIRI DISTRIBUSI BINOMIAL Percobaan diulang sebanyak n kali. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal : “BERHASIL” atau “GAGAL”; “YA” atau “TIDAK”; “SUCCESS” or “FAILED”. Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p. Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya. Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole) Nilai n < 20 dan p > 0.05 RUMUS DISTRIBUSI BINOMIAL b(x;n,p) = nCx px qn-x qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n n : banyaknya ulangan x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x p : peluang berhasil dalam setiap ulangan q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES. Contoh Distribusi Binomial : 1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas : a.Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas. b.Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas c.Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas Jawab : a.X ≤ 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) 0.20) = 0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 (0.80)5 = 0.32768 b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 (0.80)4 = 0.40960 b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 (0.80)3 = 0.20480 + Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208 b.X ≥ 1 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) 0.15) = 0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0) 1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)5 1 – 0.4437 = 0.5563 c.X = 2 b(2; 5, 0.25) = 0.2637 0.2637 d.X ≤ 2 X ≤ 4 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 0.0768 = 0.6528 Analisis masing – masing point : a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar. b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah jumlah 0,5563 atau 55,63% yang yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%). c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%). d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.Analisis keseluruhan :A. Persentase Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.
B. Nilai XJika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas . Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia. RATA – RATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIAL Rata – rata μ = n . p Ragam σ2 = n . p . q
n : ukuran populasi p : peluang berhasil dalam setiap ulangan q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan Contoh Rata – rata dan Ragam Distribusi Binomial : Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20 q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80 maka : =µ 5 x 0.20 = 1 2 =σ 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80 σ 0.80√= = 0.8944
Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian. Misalny Misalnyaa anda anda diberi diberikan kan sebuah sebuah kotak kotak yang yang berisi berisi 10 buah buah kemban kembang g gula, gula, kesemu kesemuany anyaa narnpak sama bila dilihat dari luar. Anggaplah kemudian anda tahu bahwa 8 mempunyai rasa marshmallow (rasa ini yang anda suka) dan 2 buah rasa almond (rasa ini tidak anda suka). Jika Jika anda anda mengar mengarnbi nbill 5 buah, buah, berapa berapa probab probabili ilitas tas bahwa bahwa anda anda akan akan mendap mendapat at 3 rasa marshmallow marshmallow?? Ini adalah kasus probabilitas probabilitas dimana dimana jumlah jumlah keberhasilan keberhasilan dibagi dengan jumlah kemungkinan hasil. Pertama-tarna Per tama-tarna kita harus har us mengetahui mengeta hui jumlah cara pengarnbilan 5 buah kembang gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula. Kita dapat menggunakan formula ini:
Sekarang kita menghitung berapa probabilitas mendapatkan 3 kembang gula dengan rasa marshmallow. Karena ada 8 buah kembang gula yang harus dipilih, maka ada (38) cara pengarnbilan 3 kembang gula marshmallow. Kemudian kita mengalikannya dengan jumlah kemungkinan pengarnbilan 2 kembang gula rasa almond dari 2 kembang gula rasa almond di dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I) Dengan demikian, demikian, probabilitas probabilitas mengarnbil mengarnbil 3 buah kembang gula rasa marshmallow adalah:
Perbedaan Peluang Binomial dengan peluang Hipergeometrik:
Peluang Binomial
→ perhatian hanya untuk peluang BERHASIL
Peluang Hipergeometrik
→ untuk kasus di mana peluang BERHASIL
berkaitan
dengan Peluang GAGAL
→ ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek (BERHASIL dan GAGAL)
Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai sebagai berikut: 1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N 2. k dari dari N dikl diklasi asifi fika kasi sika kan n seba sebaga gaii "BER "BERHA HASI SIL" L" sedan sedangk gkan an N-k N-k dikl diklasi asifik fikasi asika kan n sebagai
"GAGAL"
Definisi Distribusi Hipergeometrik:
Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya) termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :
k
h( x; N , n , k )
C x =
N
C n N
C n
−
−
x
k
untuk x = 0,1,2,3...,k
Perluasan Distribusi Hipergeometrik Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas
Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas
a
f ( x1 , x2 , .. . , x k ; a1 , a2 , ... , a k , N, n)
=
C x11
n
=
a
a
C x22 ×× C xk k C n N
k
dan perhatikan bahwa
×
k
∑x
i
dan
N
= ∑ ai i =1
i =1
N : ukuran populasi atau ruang contoh contoh n : ukuran contoh acak k : banyaknya penyekatan atau kelas xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi
3
f (1,2,2; 3,4,3, 10, 5)
=
C1
×
4
C2
10
C 5
×
3
C 2
=
3× 6× 3 252
=
54 252
=
3 18
=
02142 . .. .
Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial :
•
Binomial → untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)
•
Hipergeometrik → untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)
Contoh 1 Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang a.
terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pemulihan?
b.
terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?
Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial : p = 2/5 = 0.40
n=4
x=2
b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)
Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik N = 5
n=4
N-k = 3
n-x=2
2
h(2; 5, 4,2) =
C2
×
3
C 2
5
C 4
k=2
=
1× 3 5
=
3 5
=
x=2
0.60
APLIKASI DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Berikut ini adalah contoh yang termasuk dalam distribusi hipergeometrik: 1. Jumlah barang dagangan dagangan yang yang rusak dalarn dalarn sarnpel sarnpel acak dari dari sejumlah sejumlah besar kiriman kiriman.. · 2. Jumlah orang-orang orang-orang yang anda anda temui temui dalarn hidup hidup anda anda dengan dengan nama Fred. Fred. 3. Jumlah penny yang terambil terambil dari dari dalarn dalarn kendi. kendi. Di dalarn dalarn kendi kendi itu ada penny penny sebanyak M dan nikel sebanyak N-M. Jika hanya mengarnbil 1, maka n=I dan probabilitas mendapatkan penny: MIN. penny: MIN.
Aplikasi penting lainnya adalah: dalarn penyelidikan pendapat umum seperti SurveyGallup. Orang yang diberi pertanyaan analog dengan kembang gula yang dipilih dari kotak, dan keseluruhan populasi analog dengan jumlah keseluruhan kembang gula dalarn kotak. Pada waktu waktu kita kita melaku melakukan kan peneli penelitia tian n pengum pengumpul pulan an pendap pendapat at umum, umum, kita kita ingin ingin menget mengetahu ahuii
apakah proporsi orang-orang dengan pendapat tertentu dalarn sampel dengan proporsi orangorang pemberi pendapat dalarn populasi adalah sarna.
Dengan distribusi binomial, tiap pengambilan tidak tergantung satu dengan yang lain, karena anda anda selal selalu u mele meleta takk kkan an kemb kembal alii ke dala dalam m kota kotak k kemb kemban ang g gula gula.. Deng Dengan an dist distrib ribus usii hipergeometrik, anda tidak mengembalikan kembang gula yang telah diambil, sehingga tiap pengembalian dapat mempengaruhi pengambilan yang lain. Probabilitas keberhasilan dalam setiap pengambilan tergantung berapa banyak macam kembang gula yang ada di dalam kotak dan tergantung pada kembang gula apa yang telah diambil. Tetapi jika jumlah kembang gula di dalam gula tidak merubah probabilitas pengambilan berikutnya secara berarti. Dalam kasus ini ini tida tidak k memb membua uatt perb perbed edaan aan yang yang terla terlalu lu besar besar apak apakah ah anda anda meng mengem emba bali lika kan n (dan (dan menggunaka menggunakan n distribusi distribusi binomial) binomial) atau tidak (menggunak (menggunakan an distribusi distribusi hipergeome hipergeometrik) trik) kembang gula yang sudah anda ambil.
PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. statist ika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva kurva loncen lonceng(b g(bell ell curve) curve) karena karena grafik grafik fungsi fungsi kepeka kepekatan tan probab probabilit ilitasn asnya ya mirip mirip dengan dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata - rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. SEJARAH DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahu tahun n 1733 1733 seba sebaga gaii pend pendek ekat atan an dist distri ribu busi si bino binomi mial al untu untukn kn besa besar. r. Kary Karyaa ters terseb ebut ut dikemb dikembang angkan kan lebih lebih lanjut lanjut oleh oleh Pierre Pierre Simon Simon de Laplac Laplace, e, dan dikena dikenall sebaga sebagaii teorem teoremaa Moiv Moivrere-La Lapl plac ace. e. Lapl Laplac acee meng menggu guna naka kan n distr distrib ibus usii norm normal al untu untuk k anali analisi siss gala galatt suat suatu u eksper eksperime imen. n. Metode Metode kuadra kuadratt terkeci terkecill diperk diperkena enalka lkan n oleh oleh Legend Legendre re pada pada tahun tahun 1805. 1805. Sement Sementara ara itu Gauss Gauss mengkl mengklaim aim telah telah menggu menggunak nakan an metode metode tersebu tersebutt sejak sejak tahun tahun 1794 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi distribusi normal. Istilah kurva lonceng diperkenalkan diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk dist distri ribu busi si norm normal al biva bivari riat at.. Seme Sement ntar araa itu itu isti istila lah h dist distri ribu busi si norm normal al seca secara ra terp terpis isah ah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama
Distribusi normal didefinisikan dengan persamaan berikut: Z= x - µ ket : Z = standar normal µ = rata-rata populasi σ x = rata-rata sample σ = standar deviasi : KURVA DISTRIBUSI NORMAL Grafik distribusi normal tergantung pada dua factor mean dan deviasi standart. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dan deviasi standard menentukan tinggi dan dan lebar grafik. Ketika standard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasi kecil, kecil, kurva kurva kecil kecil dan sempit sempit.. Semua Semua distri distribus busii normal normal tampak tampak sepert sepertii loncen lonceng, g, Kurva Kurva berbentuk simetris, seperti yang di tunjukan di gambar ini. Kurva di sebelah kiri lebih pendek dan lebih lebar dari kurva di sebelah kanan, karena kurva di sebelah kiri memiliki standar deviasi yang lebih besar.
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Metodologi penelitian pada penelitian ini dapat dibagi menjadi beberapa bagian, Yaitu: 1.Pengambilan sample data 2.pengumpulan sample data 3.pengolahan data 1 pengambilan sample data Pengambilan data dilakukan dengan menggunakan beberapa sample dari sebuah kotak yang berisikan kabel yang di potong kecil-kecil dengan di bagi menjadi 2 warna salah satu warna menunjukan sukses dan satu warna lagi menunjukan gagal 2.pengumpulan data Setelah pengambilan sample data data kemudian dilakukan dilakukan pengumpulan data yang sesuai dengan sample data yang telah di ambil setelah itu data siap di olah. 3.pengolahan data Setelah data dikumpulkan data siap diolah ada beberapa langkah yaitu dengan menentukan distribusi binomial hypergeometri dan distribusi normalnya.Setelah langkah-langkah langkah-langkah diatas di lakukan kita akan mendapatkan hasil pengolahan data statistik yang di tunjukan oleh grafik seperti di bawah ini :
Grafik dalam distribusi frekuensi sering digambarkan dalam bentuk histogram atau grafik batangan (bar (bar chart ) dan frekuensi poligon.
32
fr e k u e n s i
histogra m
16
p o lig o n
k e la s
`
0 1 9 .5
2 9 .5
3 9 .5
4 9 .5
5 9 .5
6 9 .5
7 9 .5
8 9 .5
9 9 .5
1 0 9 .5
