AUTOEVALUACIÓN 4 Desarrolla estos 6 ejercicios planteados en un documento de Word o escanea las hojas donde hayas resuelto. Envíalo a través de la tarea “Mi Autoevaluación Desarrollada UA4”. decrecimiento de 1) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento f(x) = x3 − 3x + 2 a. De crecimiento: (−∞, −1)
(1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)
b. De crecimiento: (−∞, −2)
(1, ∞)
De decrecimiento: (−1,2)
c. De crecimiento: (−∞, −3)
(1, ∞)
De decrecimiento: (−1,3)
d. De crecimiento: (−∞, −4)
(1, ∞)
De decrecimiento: (−1,4)
e. De crecimiento: (−∞, −5)
(1, ∞)
De decrecimiento: (−1,5)
Solucion: f(x)= x3-3x+2 f’(x)=3x2 -3 3x2-3=0 3(x2-1)=0 x2 -1 =0 (x+1)(x-1)=0 x=-1v x=1 f(x) es creciente <=> f’(x)>0 3x2-3>0
+
3(x2-1)>0 (x-1)(x+1)>0
-1
-
∞
+ +1
∞
<- ,-1>U<1, > ∞
∞
f(x) es decreciente <=> f’(x)<0 3x2-3<0 +
3(x2-1)<0 (x-1)(x+1)<0 <-1,1>
La respuesta es la alternativa a.
-
∞
-1
+ +1
∞
siguiente: 2) Calcular los máximos y mínimos en la función siguiente: f (x) = X3 – 6x2 +9x a. 32 b. 34 c. 38,8 d. 40 e. 42
Solucion f (x) = x3 – 6x2 +9x Derivamos por primera vez f’ (x) = (3x2 – 12x +9)÷3 f’ (x) = x2 – 4x +3 x
-3
x
-1
(x-3)(x-1) x=3, x=1 Derivamos por segunda vez f’’ (x) = 6x-12 1ero Para x = 3 f’’(3) = 6 => f(3)=27-6(3)2+9(3)=0 Mínimo Relativo 2do Para x = 1 f’’(1) =- 6 => f(1)=1-6+9=4 f(1)=1-6+9=4 Máximo Relativo
Nota: Si f’(x )=0 y si existe f’’(x ): ο
ο
a) Si f’’(x )>0 => f(x )=Valor Minimo Relativo ο
ο
b) Si f’’(x )<0 => f(x )=Valor Maximo Relativo ο
ο
3) La altitud de un cohete (en pies) t segundos después de iniciar el vuelo está dada por: s =
f(t) = -
+ 96 t 2 + 195 t + 5 ( t
. Calcular la velocidad del cohete cuando t = 30.
a. 32 b. 34 c. 38,8 d. 40 e. 42
Solucion: f(t) = -t3+96t2+195t+5 Sacamos la primera derivada f’(t) = -3t2 +192t+195 f’(30) = -3(30)2+192(30)+195 f’(30) = -2700+5760+195 f’(30) = 3255
4) Una compañía de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida de
15
nuevos soles
por aparato y la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay más de 1000 abonados, dicha ganancia por aparato instalado disminuye un céntimo cada abonado que sobrepasa ese número. ¿Cuántos abonados darán la máxima m áxima ganancia líquida? a. 200 b. 1000 c. 1200 d. 1250 e. 1500
Solucion Para n > 1000 el beneficio es n . [15 - 0,01(n - 1000)] = n . (15 - 0,01n + 10) = 25n - 0,01n
2
Derivando e igualando a 0 se obtiene 25 - 0,02 n = 0 } n = 1250 Hay que comprobar que el beneficio es mayor que 15000:
1250 x (15 - 0,01 x 250) = 1250 x 12,5 = 15625 luego Sol: n = 1250
2
5) Un punto se mueve sobre una parábola y = 12x, de manera que la abscisa aumenta
uniformemente 2cm por segundo. ¿En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la misma razón? a. (2,2) b. (2,3) c. (3,6) d. (4,6) e. (6,9)
Solucion: dx/dt = dy/dt =2cm/seg y2 = 12x …α Derivando implicitamente 2ydy/dt = 12dx/dt 2y(2)=12(2) 4y=24 y=6 …β Reemplazando β en α: y2=12x 62 =12x 3= x P(3,6)
∴
La respuesta es la alternativa c.
6) En cierto instante las tres dimensiones de un ortoedro son 6, 8 y 10 y aumentan
respectivamente 0,2, 0,3 y 0,1 por segundo. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen a. 32 b. 34
c. 38,8 d. 40 e. 42
Solución: Datos del Problema: z
x=6 y=8 y z=10
x Además: dx/dt =0,2 dy/dt=0,3 dz/dt=0,1
El volumen de la caja es: V=xyz donde su derivada total con respecto a t es dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) +(dv/dy)(dy/dt) +(dv/dz)(dz/dt) … dv/dx = yz, dv/dy = xz, dv/dz =xy …
2
Reemplazando 2 en 1, se tiene: dv/dt = yz dx/dt + xz dy/dt + xy dz/dt … Reemplazando los datos en 3 se tiene: dv/dt = 80(0,2)+60(0,3)+48(0,1) =38,8 La respuesta es la alternativa c.
∴
3
1
