ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Turunan suatu fungsi adalah fungsi lain f' (dibaca f aksen). Ketika kita mengambil turunan dari f, kita katakan bahwa kita mendiferensiasikan f. Turunan beroperasi pada f untuk menghasilkan f'. Seringkali kita menunjukan lambang Dx untuk menunjukan operasi diferensiasi. Lambang Dx menunjukan bahwa kita harus mengambil turunan (terhadap variable x) dari apa yang mengikuti. Jadi, kita menulis Dx f(x) = f'(x).
Aturan Konstanta dan Pangkat
TEOREMA A : ATURAN FUNGSI KONSTANTA
Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f'(x) = 0; yakni
Dx (k) = 0
Bukti
f'(x) = limh 0 fx+h- f(x)h
=limh 0 k - kh
=limh 0 0
= 0
TEOREMA B : ATURAN FUNGSI IDENTITAS
Jika f(x) =x, maka '(x) = 1 ; yakni
Dx(x) = 1
Bukti
f'(x) = limh 0 fx+h- f(x)h
= limh 0 x+h-xh
=limh 0 hh
= 1
TEOREMA C : ATURAN PANGKAT
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka f'(x) = nxn-1 ; yakni
Dx(xn) = nxn-1
Bukti
f'(x) = limh 0 fx+h- f(x)h
= limh 0 (x+h)n- xnh
=limh 0 xn+ nxn-1h+ n(n-1)2 xn-2h2+ …. +nxhn-1+ h2- xnh
= limh 0 hnxn-1+ n(n-1)2 xn-2h +…+nxhn-2 + hn-1h
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi
f'(x) = nxn-1
Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa :
Dxx3= 3x2 Dx x9= 9x8 Dx (x100) = 100x99
TEOREMA D : ATURAN KELIPATAN KONSTANTA
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensial maka (kf)' (x) = k . f' (x) ; yakni,
Dx k .f x=k.Dx .f (x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator Dx.
Bukti
Andaikan F (x) = k . f (x) . Maka
F' x =limh 0 F x+h- Fxh
= limh 0 k .f x+h- k .f(x)h
= limh 0 k . f x+h - f(x)h
=k . f'(x)
Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah
Dx -7x3= -7 Dx x3= -7 . 3x2 = -21x2
dan
Dx 43 x9 = 43 Dx x9 = 43 .9x8=12x8
TEOREMA E : ATURAN JUMLAH
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensial, maka (f + g)' (x) = f' (x) + g' (x) ; yakni,
Dx fx+ g(x)=Dx f(x) + Dx g(x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan.
Bukti
Andaikan F(x) = f(x) + g(x). Maka
F'(x) = limh 0 fx+h+ gx+h-fx+ g(x)h
=limh 0 fx+h- f(x)h+ gx+h- g(x)h
= limh 0 fx+h- f(x)h+ limh 0 gx+h- g(x)h
=f'x+ g'x
TEOREMA F : ATURAN SELISIH
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka f-g'x= f'x- g'(x); yakni,
Dxfx- gx=Dxfx- Dxgx
Bukti
Andaikan Fx= fx-g(x). Maka
F'(x) = limh 0 fx+h- gx+h-fx- g(x)h
=limh 0 fx+h- f(x)h- gx+h- g(x)h
= limh 0 fx+h- f(x)h- limh 0 gx+h- g(x)h
=f'x+ g'x
Contoh:
Tentukan turunan dari 5x2 + 7x – 6 dan 4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16.
Penyelesaian
Dx(5x2 + 7x – 6)= Dx(5x2 + 7x) – Dx(6) (Teorema F)
= Dx(5x2) + Dx(7x) – Dx(6) (Teorema E)
= 5Dx(x2) + 7Dx(x) – Dx(6) (Teorema D)
= 5 . 2x + 7 . 1 + 0 (Teorema C,B,A)
= 10x + 7
Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,
Dx(4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16) =Dx(4x6) – Dx(3x5) – Dx(10x2) + Dx(5x) + Dx(16)
=4Dx(x6) – 3Dx(x5) – 10Dx(x2) + 5Dx(x) + Dx(16)
= 4(6x5) – 3(5x4) – 10(2x) + 5(1) + 0
= 24x5 – 15x4 – 20x + 5
Turunan Hasilkali dan Hasilbagi
TEOREMA G : ATURAN HASIL KALI
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
(f . g)'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)
Yakni,
Dx [f(x) g(x)] = f(x) Dx g(x) + g(x) Dx f(x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan fungsi pertama.
Bukti
Andaikan F'(x) = f(x) g(x). Maka
F'x = limh 0 Fx+h- F(x)h
=limh 0 fx+hgx+h- fxg(x)h
= limh 0fx+hgx+h-fx+hgx+ fx+hgx-fxg(x)h
= limh 0fx+h.gx+h- g(x)h+ gx. Fx+h- F(x)h
= limh 0 fx+h . limh 0 gx+h- g(x)h+ gx. limh 0Fx+h- F(x)h
= f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
Contoh :
Carilah turunan (3x2 – 5)(2x4 – x) dengan menggunakan aturan hasil kali. Periksalah jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain.
Penyelesaian :
Dx3x2- 5(2x4- x) = (3x2 – 5) Dx(2x4 – x) +(2x4 – x) Dx (3x2 - 5)
= (3x2 – 5) (8x3 – 1) +(2x4 – x) (6x)
= 24x5 – 3x2 – 40x3 + 5 + 12x5 + 6x2
= 36x5 – 40x3 – 9x2 + 5
Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.
3x2- 5(2x4- x) = 6x6– 10x4 – 3x3 + 5x
Jadi,
Dx 3x2- 52x4- x =Dx6x6 –Dx(10x4) – Dx(3x3) +Dx(5x)
=36x5 – 40x3 – 9x2 + 5
TEOREMA H : ATURAN HASILBAGI
Andaikan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan g(x) 0. Maka
fg' x= gxf'x- fxg'(x)g2(x)
Yakni,
Dxf(x)g(x) = gxDxfx- fxDx g(x)g2(x)
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi adalah sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.
Bukti
Andaikan Fx= f(x)g(x). Maka
F'x= limh 0Fx+h- F(x)h
=limh 0 f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)h
=limh 0 gxfx+h-fxg(x+h)h . 1gxg(x+h)
=limh 0gxfx+h-gxfx+gxfx-fxgx+hh . 1gxgx+h
=lim h 0 gxfx+h-f(x)h-f(x)gx+h-g(x)h 1gxg(x+h)
= gxf'x-fxg'(x) 1gxg(x)
