TURUNAN Aturan Rantai Teorema Teorema A: A: Aturan Rantai Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di x x dan f terdiferensiasikan terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f . g, yang didenisikan oleh (f . g)(x) = f(g(x)), adalah terdiferensiasikan di x dan (f . g)’(x) = f’(g(x))g’(x) Yakni Yakni D x (fG(x)) (fG(x)) = f’(g(x))g’(x) Atau
Penerapan Aturan Rantai Kita mulai dengan ontoh !" x 2 # $ x % % &'() *ontoh: Jika y + + !" x 2 # $ x % % &'() , arilah d x y 60 2 Y = u dan u = 2x – 4x + 1 .ungsi se/elah luar adalah f(u) = u60 dan fungsi se/elah dalam adalah u = g(x) = 2x 2 – 4x +1 - Jadi, D x y = D x f(g(x) f(g(x) =f(u)g(x) =(60u59 )(4x – 4) =60(2x 2 – 4x + 1) 59(4x – 4)
*ontoh soal: &- Turunan dari:
Ja0a/ : 1 kita misalkan 1 maka : Ja0a/ : 1 kita misalkan 1 lalu kita pakai
"-
dan ! aturan rantai '
Tentukan turunan pertama dari y + !$2 3 % 42"#2%$'&"
Penyelesaan! Misal: 5 + $23 % 42"#2%$ 6 d57d2 + &"2" % &)2 8 & y + 5&" 6 dy7d5 + &"5 && y9 + !dy7d5'-!d57d2' y9 + &"5&&!&"2" % &)2 8 &'
y9 + &"!$23 % 42"#2%$'&&!&"2" % &)2 8 &' y9 + &"!&"2" % &)2 8 &'! $2 3 % 42"#2%$'&&
3-
*arilah dy7d5 dari persamaan y + $2$ # ( dan 2 + 5 " % $-
Penyelesaan! y + $2$ # ( 6 dy7d2 + &(2 3 2 + 5" % $ 6 d27d5 + "5
$- Tentukan turunan pertama dari y + !"2" % $2 ; 3'&) Penyelesaian: misal u + "2" % $2 # 3 88< du7d2 + $2 % $ y + u&) 88< dy7du + &)u= y> + dy7du - du7d2 + &)u= - !$2 % $' + &)!"2" % $2 # 3' =!$2 % $' 4- Tentukan turunan pertama dari y + !2" % 4'? Penyelesaian: misal: u + 2" % 4 88< du7d2 + "2 y + u? 88< dy7du + ? u 8? y> + dy7du - du7d2 + ? u8? - "2 + !2" % 4'8? (- .ungsi f ditentukan oleh dan f @ adalah turunan pertama dari f- Maka nilai dari f @!&' + a-
Ba0a/:
Notasi leibniz Calam kalkulus, notasi Dei/ni5, dinamakan untuk menghormati lsuf dan matematika0an Jerman a/ad ke8 &E Fottfried Dei/ni5, menggunakan sim/ol d x dan d y untuk melam/angkan pertam/ahan Gkeil takhinggaG !atau innitesimal' dari x dan y , se/agaimana H x dan H y melam/angkan pertam/ahan hingga dari x dan y Untuk y se/agai fungsi dari x
turunan y terhadap x , yang kemudian dipandang se/agai
adalah, menurut Dei/ni5, hasil /agi dari pertam/ahan keil takhingga dari y oleh pertam/ahan keil takhingga x , atau
dengan ruas kanan adalah notasi Dagrange untuk turunan f di x Meskipun sekarang matematika0an memandang integral
se/agai limit
Cengan H x adalah selang yang mengandung x , Dei/ni5 memandangnya se/agai Bumlahan !lam/ang integral menandakan penBumlahan' kuantitas innitesimal yang /anyaknya takhingga f ! x ' d x Ialah satu kele/ihan sudut pandang Dei/ni5 adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi- Ie/agai ontoh, dalam notasi Dei/ni5, turunan kedua !menggunakan penurunan implisit' adalah
dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan
-
Turunan erantai dalam Notasi Dei/ni5 memang sangat mudah untuk dipahami ketim/ang harus menggunakan notasi f9!2' , y9, atau C2- Tahu gak apa artinya notasi8notasi ini f9!2' : Turunan pertama fungsi f!2' terhadap 2 y9 : Pada umumnya diartikan se/agai GTurunan y terhadap 2G-
Kekurangan menggunakan notasi ini karena kurang Belas apakah y diturunkan terhadap 2 atau terhadap uC2 : Artinya Turunan terhadap 2, misalnya C2L5 artinya turunan terhadap 2- CuLy artinya turunan y terhadap UPenggunaan notasi ini le/ih /aik dari pada f9!2' atau y9 !di/aa y aksen'*ontoh Ioal: Jika Penyelesaian: Kita misalkan
arilah C2Ly
maka C2LU+$28$- Ietelah kita
misalkan tadi persamaannya menBadi Jadi,
maka
Dalu /agaimana Turunan erantai dalam Notasi Dei/ni5 untuk menyelesaikan soal di atas Untuk menyelesaikan soal di atas dengan menggunakan notasi Dei/ni5 untuk turunan, terle/ih dahulu kita harus mengerti arti dari: dy7d2O Turunan pertama y terhadap 2 dLf!2'7d2 : Turunan pertama fungsi f!2' terhadap 2
dy7du : Turunan pertama y terhadap u Ietelah anda faham hal terse/ut selanButnya mari kita lihat penggunaannya dalam menyelesaikan Turunan erantai dalam Notasi Dei/ni5 tadi s//: Misal :
dan du7d2+$28$
Maka : Jadi:
De/ih mudah untuk dipahami karena Untuk Turunan erantai dalam Notasi Dei/ni5 Aturan lei/in5 *ontoh : &-
Y + $ !32 % 4' 3
Penyelesaian :
Y!$' !pakai aturan DQN'
Cemikian
Misalkan : u + 2$ dan S + !32 % 4' 3 Y!$'
S + !32%4'3
U+2
U!&' + 323
S!&' + = !32%4'"
U!"' + &"2"
S!"' + 4$ !32%4'
U!3' + "$2
S!3' + &("
U!$' + "$
S!$' + )
Y!$' + &-"$- !324' p % $ !"$2' =!32%4'%
(-&"2" 4$!32%4' % $-$2 3 - &(" % &-2 $ + "E"&( 23 % "V()) 2 2" % "E))) 2 % 3)))
Turunan Tingkat Tinggi Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan semua "u#unan yang "ng$a" le%u& "ngg ( &g&e#' #de#) dari f akan nol-
Diferensiasi Implisit e/erapa Kesukaran yang Tak Kentara Jika se/uah persamaan dalam x dan y menentukan fungsi y = f(x) dan Bika ngsi ini terdiferensiasikan, maka metode terdiferensiasi impliit akan menghasilkan ekspresi yang /enar untuk dydx. Tetapi perhatikan terdapat dau WBikaX /esar dalam pernyataan iniTinBau persamaan * 2 + y 2 = 25 Yang menentukan fungsi8fungsi y = f(x) = x 2 dan fungsi y = g(x) = x 2 *ontoh: *arilah dydx Bika x 2 + 5y = x + 9 Penyelesaian:
x 2 + 5y ) = ddx(x + 9) 2x + 15y 2 = 1 Teorema A: Aturan Pangkat Misalkan # se/arang /ilangan rasional- Maka untuk 2 )r D x !2 ) = #x #'1 Jika # dapat dituliskan dalam suku terendah se/agai # + -, di # mana - ganBil, maka D x (x )= #x #'1 untuk semua x -
Laju yang Berkaitan Ie/agai ganti di ketahuinya y seara eksplisit dalam " , kita mengetahui hu/ungan yang mengaitkan y dan Saria/el x dan kita BBuga mengetahui sesuatu tentangdxd" - Kita maasih tetap mampu menari dyd" , karenadyd" dan dxd" adalah laju-laju yang beerkaitan.
Diferensial an Aproksimasi Cenisi Ciferensial Misalkan y +f!2' adalah fungsi terdeferensiasi dari Saria/el /e/as 2- adalah pertam/ahan se/arang dari Saria/el /e/as 2 dx , dise/ut diferensial Saria/el /e/as x. y adalah peru/ahan se/enarnya dalam Saria/el y ketika x /eru/ah dari x ke x + x O yakni y + f(x + ) – f(x). dy, dse%u" dfe#ensal a#a%el "a$' %e%as y, didefenisikan oleh dy = f/(x)dx. ontoh
TURUNAN C I U I U N
DQZ: Zotdinar Fultom!&4)&3))4"'
Cosen : Ciana KI, IT-,MT
