ATURAN RANTAI MAKALAH Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Multivariabel Dosen Pengampu : Rahmi Yuliana, S.Pd., M.Pd.
Disusun Oleh : Kelompok 1
1. Agung Prabowo Utomo
2016.11.0859
2. Muli Aprida
2016.11.0856
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PARIS BERANTAI KOTABARU 2017
i
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah menolong hambahamba-Nya menyelesaikan tantangan yang dihadapi dengan penuh kemudahan, tanpa pertolongan-Nya mungkin kami tidak akan sanggup menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Tidak lupa kami haturkan sholawat serta salam kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, beserta seluruh keluarga dan para sahabat. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Rahmi Yuliana, S.Pd. M.Pd. selaku dosen pengampu yang telah memberikan bimbingannya. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas yang diberikan dalam mata kuliah Kalkulus Multivariabel dengan judul Aturan Rantai dan juga agar pembaca bisa lebih memahami lagi mengenai materi aturan rantai. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat yang besar, baik kepada diri kami pribadi maupun pada para pembacanya. Makalah ini tentunya memiliki kekurangan, yang kami harapkan kepada para pembaca ialah kritik dan saran yang bersifat membangun, demi kesempurnaan kedepannya. Terima kasih.
Kotabaru, September 2017
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
Halaman Halaman Sampul .................................................... .............................................................................................. ..........................................
i
Kata Pengantar ............................................. ....................................................
ii
Daftar Isi......................................................................... ..................................
iii
BAB I
BAB II
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang................................ ..........................................
1
1.2 Rumusan Masalah .................................................... .................................................................... ................
1
1.3 Tujuan Pembahasan .................................................. ................
1
PEMBAHASAN 2.1 Definisi Aturan Rantai .............................................. ................
2
2.2 Aturan Rantai Untuk Fungsi Dua Variabel ..............................
3
2.3 Aturan Rantai Untuk Fungsi Tiga Variabel..............................
6
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan ...................................................... ............................................................................... .........................
7
3.2 Saran ........................................................ ......................................................................................... .................................
7
DaftarPustaka ............................................... ....................................................
8
iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bayangkan jika anda harus mencari turunan dari:
= 2 4 1 Pertama anda harus mengalikan 60 faktor kuadrat
2 4 1
dan
kemudian mendiferensiasikan polinomial berderajat 120 yang dihasilkan. Atau bagaimana dengan mencoba mencari turunan G =
sin3.
Kita mungkin
dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mereduksinya menjadi sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos x dan kemudian menggunakan aturanaturannya. Ternyata terdapat cara yang lebih baik yaitu dengan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai sedemikian pentingnya sehingga anda akan jarang mendiferensiasikan fungsi tanpa menggunakannya. 1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini yaitu:
- Bagaimana cara mengoperasikan turunan dengan menggunakan aturan rantai? - Bagaimana cara mengoperasikan turunan dari dua variabel dengan menggunakan aturan rantai?
- Bagaimana cara mengoperasikan turunan dari tiga variabel dengan menggunakan aturan rantai? 1.3 Tujuan Pembahasan
Tujuan pembahasan dari makalah ini adalah agar para pembaca dan kami pribadi dapat lebih memahami lagi tentang materi aturan rantai.
1
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Definisi Aturan Rantai
Aturan rantai adalah aturan untuk mencari turunan fungsi komposisi. Misal
= 2 1, amati bahwa F berupa fungsi komposisi. Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu variabel ialah sebagai berikut. Jika
= ( ) dengan dan merupakan
fungsi yang terdefinisi dan
dapat diturunkan, maka dalam notasi Leibniz dapat ditulis:
= ∙ Atau dalam notasi aksennya ialah:
∘ = () Contoh:
= 2 4 1 1, carilah ! ( adalah diferensial dari atau ′ dari .
1. Jika
Penyelesaian :
sebagai = 2 4 1
Kita pikirkan
pangkat ke- 60 suatu fungsi , yakni
fungsi sebelah luar f(x) =
dan fungsi sebelah dalam adalah = =
2 4 1
= dan
= ( )
= = 60 4 4 = 60 602 4 1 1 4 4
2
2. Jika y =
Carilah −
Penyelesaian: Misal: = 2 7
1 = − = ( () = = 3 − (10
=
=
−
=
− −
3. Jika
∙ 10
= , , maka carilah ’ ’!
Penyelesaian: ’ = = [ [ ]]
= 4.
5sin cos cos 5 1 1
adalah….
Penyelesaian:
cos 5 1 = sin sin 5 1 1 . 5 1 1 = sin sin 5 1 1 . 4 5 1 1 . 2 2 5 5 = 8 20 5 1 . sin 5 1 2.2 Aturan Rantai untuk Fungsi Dua Variabel
Menurut Varberg, dkk. (2007: 265) ada dua versi aturan rantai untuk fungsi dua variabel.
3
Versi Pertama jika
= , , dengan dan adalah
fungsi , maka
masuk akal untuk menanyakan , dan seharusnya ada rumus untuknya. Teorema A | Aturan Rantai
Misalkan
,
= dan = terdeferensiasikan
terdeferensiasikan di
( , ).
Maka
di
dan
= ,
dideferensiasikan di dan
= Contoh:
1. Misalkan
= , dengan = 2 dan = . Carilah !
Penyelesaian:
= = 4 2 3 = 8 3 = 82 2 2 3 = 88 16 3 = 64 48 2. Misalkan
= , dengan = dan = . Carilah .
Penyelesaian:
= = 2 3 3 2 = 6 6 = 6 6 = 6 6 = 12 4
misalkan
=
dapat
= , , dengan = , , dan = ,. Maka masuk akal untuk menanyakan / dan / Versi Kedua Misalkan bahwa
Teorema B | Aturan Rantai
= , , dan = , , mempunyai turunan-turunan parsial pertama di , dan misalkan = , , terdeferensiasikan di , , , . Maka = , , , mempunyai turunan-turunan Misalkan
parsial pertama yang diberikan oleh: 1.
=
2.
=
Contoh:
1. Jika
= 3 dengan = 2 7 dan = 5.
Carilah
/,
dan
nyatakan dalam bentuk s dan t! Penyelesaian: =
6 77 2 2 5 = 6 5 = 42 42 2 7 7 105 = 84 294 50 2. Tentukan
dan jika = , =
2 ! Penyelesaian: a)
=
= 2 2 = 2 1 = 2 + 2 1 5
dengan = 2 2 dan =
b)
=
= 1 1 = 1 1 = + 2 1 2.3 Aturan Rantai untuk Fungsi Tiga Variabel
Jika
= , = , dan = fungsi yang diferensial di , dan =
,, diferensial
di titik
( , , ), maka = , ,
diferensial di , dan
= Contoh:
1. Jika
= ,
carilah
dengan
= , = ,
dan
= 2,
!
Penyelesaian:
=
= 2 2 1 22 2 2 4 = 2 2 2 2 1 1 2 42 = 2 2 2 2 10
6
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan
Aturan rantai adalah aturan untuk mencari turunan fungsi komposisi. Aturan rantai ini efektif digunakan dalam mencari turunan yang mempunyai pangkat yang besar. Aturan rantai ini tidak hanya digunakan pada fungsi yang satu variabel saja, namun juga pada fungsi yang memiliki dua atau tiga variabel. 3.2 Saran
Aturan rantai ini sangat penting dipelajari untuk memudahkan setiap pembaca dalam mengerjakan suatu turunan fungsi yang memiliki pangkat yang besar. Oleh karena itu, kami menyarankan kepada para pembaca untuk lebih memahami materi aturan rantai ini. Kami juga berharap atas kritik dan sarannya agar dalam pembuatan makalah lainnya bisa lebih baik lagi.
7
DAFTAR PUSTAKA
Varberg, Dale, dkk. 2003. Kalkulus 2003. Kalkulus Edisi Edisi Kedelapan Kedelapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Varberg, Dale, dkk. 2007. Kalkulus 2007. Kalkulus Edisi Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga.
8
