Investigación de Operaciones Dra. Jania Astrid Saucedo Martinez Producto integrador Ejemplo de problema de set pacing
Dere !enjamin "ivera Avila #$%&'(% Daniel de Jes)s *rbano Salinas #$((#&+ Martin Jaramilllo ,uautle #$(#&$$
Martes -/-0
Contenido 1
Revision de la literatura................................................................................ 3
2
Un modelo analítico...................................................................................... 3 2.1
El modelo multicriterio ..................................................................................3
1 Revision de la literatura
Tradicionalmente el empaquetado de paletas es un problema de embalaje rectangular, ortogonal, donde las cajas se tienen que posicionar dentro de un rectángulo o caja más grande llamado el contenedor !n los rectángulos o cajas sus lados son paralelos entre si, donde como objetivo se tiene empaquetar tantas cajas como sea posible para minimi"ar el espacio perdido# se puede decir que es una versi$n del problema de embalaje de la caja.
2 Un modelo analítico. En las cajas de embalaje sobre una paleta, la superficie de la paleta se divide en celdas unitarias de tamaño uniforme, y el área de base de cada caja se divide también en celdas del mismo tamaño uniforme. Para empacar una caja, las celdas de esa caja se asignan a las celdas de la paleta. La clave es mantener las celdas de cada caja juntos. Para ello, se utili! el método " # $ para identificar celdas en una cuadr%cula rectangular de paleta mediante una &nica variable de recuento i 'ue tiene un valor de uno en la celda superior i'uierda y aumenta a lo largo de la fila (asta 'ue la celda inferior derec(a n, o i % & 1 , . . . , n'.Este concepto se puede generaliar a m<iples capas. La desviaci!n en volumen reemplaa la desviaci!n en altura en este caso. )onsidera lo siguiente. *i se eligiera una caja 'ue cubr%a menos superficie de la paleta sobre una caja 'ue cubr%a más paletas simplemente por'ue la desviaci!n de altura para la primera caja era menor 'ue la segunda, esto podr%a conducir en <ima instancia a una menor eficiencia de volumen. La ra!n es 'ue al elegir la caja de área de base más pe'ueña +pero más alta sobre la caja de área más grande +pero más corta, puede 'ue una o más celdas no estén cubiertas. Esta área descubierta representa un volumen de espacio desperdiciado 'ue, cuando se combina con cual'uier espacio perdido sobre la caja en cuesti!n, podr%a ser mayor 'ue el espacio desperdiciado causado por la inclusi!n de la caja más corta +área de base más grande. El mejor resultado es una combinaci!n 'ue minimia el volumen desperdiciado, ma-imiando la cobertura de área e indirectamente minimiando la desviaci!n en altura a través de un menor volumen desperdiciado.
2.1El modelo multicriterio
!l problema del empaquetado de paletas se (ormul$ de la siguiente manera, manteniendo el primer criterio en la (unci$n objetivo ) trans(ormando la segunda (unci$n de criterio en una limitaci$n. !sto se conoce como el m*todo de regi$n (actible reducida por restricci$n +*teuer 1/0.
min Z +
=
Ak H k U K , ( M
- A ) H
+,
*.a n
A +
p
3 3
x ik
i +1 k +1
Fig. 1 Una
paleta que consta de nueve celdas.
+/,
alores de las variables indicadoras en la (rontera Tabla 1
xik
x jk
P ijk
N ijk
5
5
5
5
1
5
1
5
5
1
5
1
1
1
5
5
+
∑x ik + Ak U k 4k i +1 n P i jk , N i jk ) ∑ ∑ (
+
4k
2 Bk U k
+15,
i +1 j %T i
x ik - x jk - P ijk - N i jk + 5
4i, j % T i, 4k
+11
P ijk N ijk 5 1
4i, j % P i, 4k
+12
xik - P ijk + 5
4i, j % Li, 4k
+1=
∑ xik 5 1 k +1 ∑ x jk
-
4i
l k ( 1
-
+1> r k )
-
-
r k )
wk r k
5
5
4r 4k
+1?
4c 4k
+10
,
j % Rr
∑ x jk
-
wk ( 1
-
l k r k
,
j %C c
xik , r k, U k, P ijk , N ijk % &5, 1'
4i, j % T i, 4k
4onde las variables se definen a continuaci!n A El área de la paleta cubierta por todas las cajas llenas xik + &5, 1' 6ariable para indicar si la celda i está asignada a la casilla 7 U k + &5, 1' 6ariable para indicar si la casilla 7 está incluida en la soluci!n P ijk , N i jk + /arcadores binarios de (rontera entre celdas ad)acentes i
) j para la casilla 0# 1os posibles valores de estos indicadores están determinados por los valores de 2i0 ) 2 j0 segn la 8abla 1. r k + 95, 1: Para indicar si la casilla 7 se gira en la soluci!n.
Para todas las variables binarias, 1 significa s% y 5 significa no.;ere are t(e constants defined in t(e model n + <&mero de celdas en la paleta. p + <&mero de cajas disponibles para empacar. Ak + area o( bo2 k H + (eig(t of t(e tallest bo- to be pac7ed H k + difference in (eig(t of bo- k from t(e tallest bo- available to be pac7ed
+1
M + total area of t(e pallet consisting of n cells Bk + border lengt( for bo- k T i + set of cells bot( p(ysically and logically adjacent to cell i P i + set of cells p(ysically adjacent to i Li + set of cells logically adjacent to i Rr + set of cells t(at are in ro@ r , r % &i,..., d ', @(ere d is t(e number of ro@s on t(e pallet C c + set of cells t(at is in column c, c % &1,..., e', @(ere e is t(e number of columns on t(e pallet wk + 6idt7 o( bo2 k lk + lengt7 o( bo2 k .
Abjective function + minimies t(e sum of t(e @asted volume created above all of t(e pac7ed bo-es in t(e first term, and @asted volume above t(e uncovered area in t(e second term. ensures t(at eac( cell can be covered by at most one bo-. )onstraint + ensures t(at t(e number of cells covered by bo- k is actually e'ual to t(e area of bo- k . )onstraints +15D +1= define t(e boundary of t(e occupied bo- in t(e pallet. 8(ese constraints ensure t(at t(e bo- @ill be covered by contiguous cells and not disjoint or bro7enF cells on t(e pallet. B cell is p(ysically contiguous to anot(er if t(e t@o s(are a common border. Gor e-ample, cell 1 is p(ysically adjacent to cells 2 and > in Gig. 1. An t(e ot(er (and, loical adjacency comes from @rapping to t(e ot(er side of t(e pallet. Gor e-ample, cell 1 is logically adjacent to cells = and +if one can imagine folding t(e left border to meet t(e rig(t border, and folding t(e bottom border to meet t(e top border. 8(e P ijk and N i jk variables are used in determining if t(e edge of bo- k is on t(e border bet@een cells i and j . Gor eac( adjacent cell i , j pair, t(ey can assume a value of eit(er 5 or 1, as s(o@n in 8able 1. "ot( P ijk and N i jk assume ero values if cells i and j are covered or not covered by bo- k , as s(o@n by t(e first ro@ and last ro@ of t(e 8able. Hf cell i is covered by bok and j is not, t(en P ijk e'uals 1, as s(o@n by t(e second ro@. Hf j is covered by bo- k and i is not, t(en N ijk e'uals 1 as s(o@n by t(e t(ird ro@. )onstraint +15 is t(e border constraint for eac( bo- placed on t(e pallet. 8(e sum of t(e P ijk and N i jk e'uals to t@ice t(e border lengt( of bo- k . 8(e factor of t@o comes about since eac( border segment is counted t@ice, once for t(e P ijk and N i jk pair and again for t(e P jik and N jik pair. )onstraints +11D +1= ensure t(e proper definition of t(e P ijk and N i jk variables. )onstraints +1?D +10 identify @(ic( ro@ and column of t(e pallet eac( bo- occupies. 8(is is accomplis(ed by t(e introduction of Rr and C c. Gor e-ample, @it( t(e = by = pallet in Gig. 1, t(e follo@ing cells are in ro@ 1 1, 2, =I or R1 + &1, 2, ='. *imilarly, t(e follo@ing cells are in column = =, 0, I or C = + &=, 0, '. $it( t(e (elp of t(e
rotation binary variable, r k! t(ese t@o constraints simply identify t(e cells t(at are occupied ro@C@ise to ma7e up l k across, and columnC@ise to ma7e up wk deep. Bll toget(er, t(ey account for t(e lengt( and @idt( of t(e bo- to be pac7ed.
