ARITMETI CA III BIM. TRILCE PRIMARIA
ARITMETICA
Índice Pág Pá g .
å
Sist Sistem ema a de nú núme mera raci ción ón deci decima mal: l: desc descom ompo posi sici ción ón
å
Sistema de numeración no decimal.................13
å
Cambio Cambio de Sistema de numeraci numeración....... ón........... ........ ......19 ..19
å
Repaso de Sistema de numeración..................25
å
Propiedades de los números............................29
å
Criterios de divisivilidad...................................37
å
Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo43
å Prob Proble lema mass con con m.c m.c.m .m y m.c m.c.d .d.. ..... ...... ...... .....4 ..49 9
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7
ARITMETICA
CONCEPTOS BÁSICOS E s u n a i d e a d e c u a l n o s p e r m i t e c u e s u n e n t e a b s t r a c t E s l a f ig u r a o s í m b o lo q u e r e p r e s e n la i d e a d e l n ú m e r o .
t a
o
d
a
Es un conj conjun unto to de símb símbol olos os y leye leyess que que nos nos perm permit iten en repr repres esen enta tarr y expr expres esar ar correctamente los números. Tenemos diversos Sistemas de Numeración, entre los cuales destaca el Sistema de Numeración de Decimal o decuplo
Es el sistema cuyo principio fundamental es que la agrupación de sus unidades son de diez en diez. Así por ejemplo: 1 1 0
u
< > n i< d a > d
1 e 1s
1 0
d
e c< e. n > a s 1
u n id a d d e c e n a c e n t e n a
. .
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ARITMETICA
a. Símbo Símbolos los utiliz utilizado adoss en el sist sistema ema decim decimal. al.
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 cifras
b. De la comb ombinac inació ión n de estas stas cif cifras ras se pued pueden en form forma ar tod todos los númer úmero os que conocemos: Ejemplo: -
Con Con 0; 1; 2 se pue puede den n form formar ar:: 0; 1; 1; 2; 10 10;; 20; 20; 11; 11; 12; 12; 210 210;; . . . Con 3; 4; 0 se pued pueden en forma formar: r: ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; . . .
"Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras". Ejemplo:
3 2 7 8 = 3000 + 200 + 70 + 8 = ___ × 10 3 + ___ + 10 2 + ___ × 10 1 + 8
Cada cifra está multiplicada por 10 y ésta tiene como exponente la cantidad de cifras que se encuentran as la derecha de ella. 3
2 7 8
3
×
3
3 2
1 0 2
7 8 ×
2
3 2 7
1 0 7
×
8 1
1 0
3 2 7 8 8
Casos especiales * mmmm = m × 10 3 + m × 102 + m × 10 1 + m = 1000m + 100m + 10m + m = 1111m *
Para Para un nume umeral ral capi capicú cúa: a:
aba ab a = a × 102 + b × 101 + a = 100a + 10b + a = 101a + 10b abcba
= a × 10 4 + b × 10 3 + c × 10 2 + b × 10 1 + a = 10000a + 1000b + 100c + 10b + a = 10 = _______ × a + _______ × b + _______ × c
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×
0
ARITMETICA
c.
En el sistema decimal: - Mínimo valor no significativo - Mínimo valor significativo - Máximo valor :9
:0 :1
Es la posición que ocupa cada cifra empezando a contar de derecha a izquierda. U
M 1
4
t o
C
D
U
1
e
r
2
3
4
2
d
o
3
e
r
4
t o
3
e
r
2
d
o
1
e
r
Ejemplo:
o
r d
e n
o
o r d e n o
r d
u o.
n i d a d
e s
.e c. e = n
a_ s _
.d
e n
o
c e n t e n a
o r d e n
o
u n
s
i d a d e s
.
.
.
.
.
.
_ _ _ .
.
d e
i l l
Es la ubicación de la cifra según como se lee, de izquierda a derecha. Ejemplo: U
M C
D
U
1
e r
2
3
4
2
d oL
3
e r
L u
g
a r
4
t o
L u g
a r
1 4t
o
3e
r
2d
o
1e
r
L u
u
g
a r
g a r
=
Toda cifra que forma parte de un número, puede tener dos valores. a.
Es absolutamente el mismo valor de cada cifra en cualquier orden que se encuentre.
7
5
V . A
. ( 7
V . A
. = ( 5 _) _ _
V . A
. ( 1
)
=
_ _ _
V . A
. ( 4
)
=
_ _ _
V . R
. ( 4 )
=
_ _ _
V . R
. = ( 1 _) _
V . R
. ( 5 )
=
_ _ _
V . R
. ( 7 )
=
_ _ _
1
)
=
_ _ _ _ _ _
_
4 _
_ _ _
_
b. Valor Relativo (V.R.): Es relativo al orden donde se encuentra cada cifra (unidades, decenas, centenas, . . .)
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.
.
.
.
ARITMETICA
¡ LISTOS A TRABAJAR ¡ 1. Escribe el valor relativo (V.R.) o el valor absoluto (V.A.) según corresponda. a.
34 271
→ V.R.(2) = _____________
b.
67 192
→ V.A.(6) = _____________
c.
5 314 218
→ V.R.(4) = _____________
d.
27 235
→ V.A.(7) = _____________
e.
851 231
→ V.R.(8) = _____________
f.
567 421
→ V.A.(5) = _____________
2. Indicar la suma de la cifra del primer orden más la cifra del sexto orden en: 42 399 981 301 3. Indicar la suma de la cifra del tercer lugar más la cifra del quinto lugar en: 29 433 167 4. Calcular la suma del mayor y menor número que se puede formar con las siguientes cifras, solo puedes utilizar una vez cada cifra. 1; 2; 4; 7; 9 5. ¿Cuál debe ser el valor de "x" en: x 32
3x 2
xxx
2323 ?
6. Si se cumple que: 22a es el triple de 7a . Calcular el valor de "a". 7. Hallar el valor de "a" y "b" tal que: 123b es el doble de a1a . 8. Hallar el valor de "b", si se cumple que: 78b es el resultado de invertir el orden de las cifras a b87 y disminuirlo en 99 unidades. 9. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas de como resultado 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 10. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por la cifra "a", el número resultante es mayor que el anterior en 200 unidades. Hallar el valor de "a".
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ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
7. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado 63. Además se sabe que la suma de las dos cifras es 9. Dar como respuesta el producto de las cifras del número perdido. 8. Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al mismo número original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos números de cuatro cifras se obtiene 9768. Hallar la suma de las cifras del número original. 9. A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha, aumentándose el número en 4752 unidades. Calcular el número original. 10. Hallar un número de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al invertir el orden de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades. Dar como respuesta el producto de las cifras del número pedido.
DESAFÍO Un número está compuesto por tres cifras, la cifra d e las centenas es cuatro veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el producto de las cifras de dicho número.
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ARITMETICA
P a r a e s t e s e g u n e s t u d ia r e m o s o t p a r a lo c u a l , g c o n c e p t o s d a d
d o t e r o s s e n e r a o s e n
Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar una unidad de un orden inmediato superior. Así; por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7, necesito grupos de siete unidades para ser agrupados y formar una unidad de orden inmediato superior. Al agrupar de 7 en 7, se han formado cuatro grupos y han quedado sin agrupar seis unidades, luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7) Otro ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3. La agrupación es: 2 grupos de 3 × 3 = 2 × 3 2 2 grupos de 1 × 3 = 2 × 3 1 2 unidades sueltas = 2 o también: 222 (3).
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ARITMETICA
Condiciones de la base: a)
La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor que 1.
b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la menor base es 2 (Sistema Binario).
2.1 Toda cifra de un numeral es menor que su base y utiliza "n" cifras: el cero y (n 1) cifras significativas.
0 ;
1
;
2
;
c if r a s
c e r o
3
;
4
.
.
.
s i g n if ic
Ejemplo: -
1023(5)
→
Todas las cifras son menores que la base 5, entonces, el número 10 está correctamente escrito.
-
222222(3)
→
-
86577(8)
→
Todas las cifras son menores que la base 3. Todas las cifras
son menores que la base 8, la cifra
que ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8, entonces
el
número
no
está
correctamente
representado. Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente: En la base "b": -
Se usan "b" cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera.
-
Las cifras pueden ser: Significativas = {1; 2; 3; 4; ...; (b - 1)) C
No significativa o auxiliar: 0 (cero)
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i f r a
m
ARITMETICA
Conclusión: Cifra < Base
2
B
3 4 5
in
a r i o
o
d
u 0a l ;
T e r n a r io 0 ; C u a t e r n a r i o 0 ; Q u i n a r io 0 ;
1 ; 1 ; 1 ;
2 2 2
; ;
3 3 ;
4
0 ; 0 ;
1 ; 1 ;
2 2
; ;
3 ; 3 ;
4 ; 4 ;
5 5 ;
0 ; 0 ;
1 ; 1 ;
2 2
; ;
3 ; 3 ;
4 ; 4 ;
5 ; 5 ;
e n a r i o o U n d e c im
;
3 ;
4 ;
5 ;
;
3 ;
4 ;
5 ;
D
d e c0 i ; m 1 a ; l 2 a l 0 ; 1 ; 2 u o d e c i m a l0 ; 1 ; 2
;
3 ;
4 ;
5 ;
6
S
7 8 9
e n
a r i o
H e p t a n a r i o O c t a n a r io N o n a r io
1 0 1 1
D
1 2
1
Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta: α = 10; β = 11; γ = 12; etc.
Como consecuencia del cuadro anterior, existen infinitos sistemas de numeración.
3 2 abcd (n) = a × n + b × n + c × n + d
Ejemplos: •
1234(5) = 1 × 53 + 2 × 5 2 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194
•
(9)
= a × 9 2 + a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a
•
(a)
= 3 × a 2 + 4 × a + 0 = 3a 2 + 4a
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ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
DESAFÍO Un número consta de 2 cifras, cuya suma es 11. Si intercambiamos el orden de sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número original. Hallar dicho número. a.
47 b.
29 c.
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65
d.
Página 12
83
e.
56
ARITMETICA
Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de numeración, pero sin dejar de representar estos números la misma cantidad de unidades. También se le conoce a este tema como .
"Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando para ello las operaciones indicadas". Descomposición polinómica: abc (n) = a × n 2 + b × n + c Ejemplos: 123 (4 )
• 879 (9)
• aba (8)
•
2 1 4
2 4
16
8
8 92
7 9
648
63
a 82
b 8
64 a
3
27
6
717
a
65 a
8b
8b
También se puede utilizar el
, así: 1
2
3
+
+
4
2 4
6
2 7
4 ×
1
E
n
e l
s i s t e
E n
e l
s i s t e
×
1 9 ×
8
7
6
+
+
7 2
7 1 1
7 9
7 1 7
×
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado del sistema decimal (base 10) entre la base "n" a la cual se desea convertir; si el cociente es mayor que "n", se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que "n". Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número expresado en base "n". Ejemplo: •
•
Convertir 25 a base 8:
2 5
8
1
3
Convertir 100 a base 3: 1 0 0
3 1
3 3
3
0
1 1
2
•
( 8
1 0 0
=
( 3
3
3
3
0
1
Convertir 216 a base 6: 2 1 6 6
0
3 6
6
0 0
6
2 1 6
=
( 6
6
1
Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir, llevamos el número de base diferente de 10, por , al sistema decimal; y, este número, por , lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Ejemplos: 1. Convertir: 543(6) a base 4 5 62
543 (6)
a. Descomposición polinómica: b. Divisiones sucesivas: 2 0 7
4 6
3
207
24
180
4 3
5 1
4 L1 u2 e g 4o( 6 : )
3 0
5 4
3
( 4
3
2. Convertir: 2134(5) a base nueve 2134 (5)
a. Descomposición polinómica: b. Divisiones sucesivas: 2 9 4
3 2 5
2 1 5
250
25
3 5
4
294
15
9 6
3 2
L u e9 g
5
3
o ( 5:
)
2 1
3 4
"En un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa, a menor representación mayor base".
Ejemplo: N
u
m
1 3
4
M
COLEGIO TRILCE
e
a y o r
Página 15
r a
=(
7 )
b
l
mN
2 a s e
eu nm o e r r a l
5 1
= M
e n
(
o
ARITMETICA
1. Convertir al sistema decimal: a.
1101(2)
b. 320(4)
d. 2031(4)
e.
c.
1032(5)
132(9)
2. Convertir: a.
123 al sistema binario.
b. 871 al sistema ternario.
c.
2031 al sistema quinario.
d. 952 al sistema undecimal.
e. 642 al sistema de base 15. 3. Convetir: a.
1002(3) al sistema quinario.
b. 432(7) a base 4.
c.
2134(5) al sistema nonario.
d. 1023(4) a base 6.
e.
123(4) al sistema octanario.
4. Hallar "a + b + c" si: 1230(5) = a.
8
5. Convertir: sus cifras. a.
abc (7)
b. 9 (a 1)(a 1)(a
4
COLEGIO TRILCE
c. 2) ( 4 )
b. 5
Página 16
10
d. 11
e. 12
al sistema senario. Dar como respuesta la suma de c.
6
d. 7
e. 8
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que: A: es el mayor número de tres cifras. B: es el mayor número impar de dos cifras diferentes. C: es el mayor número de tres cifras diferentes. a.
2063
b. 2073
c.
2083
d. 2093
e. 3113
2. ¿Cuál es el menor número cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden. a.
6
b. 7
c.
8
d. 9
e. 10
3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera es el doble de la tercera. II. La segunda es el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a.
6
b. 7
c.
8
d. 9
e. 10
4. Si el numeral (a 1)b(b 1)(a 5)(3 a) es capicúa. Hallar la cifra de tercer orden. a.
6
b. 7
c.
8
d. 9
e. 10
5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "a + b" b
I.
(2a)(a 2)(5)
a.
3
II.
3
(b
5) ( 9)
b. 4
c.
5
d. 6
e. 7
6. ¿Cuántas numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?
COLEGIO TRILCE
Página 18
ARITMETICA a.
2
b. 3
c.
4
d. 5
e. 6
7. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿cuál es la suma de sus cifras? a.
9
b. 10
c.
11
d. 12
e. 13
8. Al menor número de tres cifras diferentes de la base nueve, convertirlo al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a.
6
b. 7
c.
8
d. 9
e. 10
c.
10
d. 12
e. 13
c.
5
d. 6
e. 7
9. Hallar: a + b + c. Si: a.
(a
2)(b 1)(c
8
2)( 8)
256 (9)
b. 9 201
abcde
(2 ) (3) 10. Si se cumple: ; hallar: a + b + c + d + e + n
a.
3
b. 4
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que: A: Es el menor número de tres cifras diferentes. B: Es el mayor número par de dos cifras diferentes. C: Es el menor número de tres cifras. a.
280
b. 290
c.
300
d. 310
e. 320
2. ¿Cuál es el menor número cuya cifras suman 30? Dar como respuesta la cifra de mayor orden. a.
6
b. 7
c.
8
d. 9
e. 10
3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera es el triple de la tercera. II. La segunda es el doble de la primera. a.
7
COLEGIO TRILCE
b. 8 Página 19
c.
9
d. 10
e. 11
ARITMETICA 4. Si el numeral (x 2)( y 3)( x 1)(6 x) es capicúa. Hallar la cifra de segundo orden. a.
3
b. 4
c.
5
d. 6
e. 7
5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "x + y". (2 x )
I. a.
x 3
y (y 2
( x 1)
II.
(7)
4
b. 5
c.
6
2)( y
3) ( 8)
d. 7
e. 8
6. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de sus cifras? a.
2
b. 3
c.
4
d. 5
e. 6
7. Si: (n - 1)(n3)(n + 3) = aba (7); calcular: "a + b + n". a.
7
b. 8
c.
9
8. Hallar: a + b + c + d + n; si se cumple: a.
3
b. 4
c.
d. 10
102 (3)
5
e. 11
abcd (n) d. 6
e. 7
9. Convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes de la base 5 al sistema octanario. a.
10
b. 11
c.
12
d. 13
e. 14
10. Convertir el menor numeral de 4 cifras diferentes del sistema senario al sistema nonario. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a.
12 b.
13 c.
14
d.
15
e.
16
DESAFÍO Al convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario al sistema cuaternario se obtiene: a.
6
b.
7 c.
COLEGIO TRILCE
8
d.
Página 20
abcd
9
. Hallar: a + b + c + d e.
10
ARITMETICA
Un número entero "A" es múltiplo de otro entero "B", si "A" contiene a "B" una cantidad exacta de veces. Ejemplo 1: Averiguar si 72 es múltiplo de 6. Veamos: Para obtener 72 se necesita 12 veces el valor de 6, entonces: 72 = 6(12) ∴ 72 es múltiplo de 6.
Ejemplo 2: Averiguar si 143 es múltiplo de 11. Veamos: Para obtener 143 necesito 13 veces el valor de 11, entonces 143 = 11(13) ∴ 143 es múltiplo de 11.
Ejemplo 3: Escribe los 10 primeros enteros positivos múltiplos de 4. Solución: 1 × 4; 2 × 4; 3 × 4; 4 × 4; 5 × 4; 6 × 4; 7 × 4; 8 × 4; 9 × 4; 10 × 4 luego: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40.
Es el número que está contenido en el primero una cantidad exacta de veces, también se le conoce como submúltiplos. Ejemplo 1: *
4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces.
*
8 es factor de 64 porque está contenido en 64 ochos veces.
Ejemplo 2: Halla los divisores de 24. Solución: D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} COLEGIO TRILCE
Página 21
ARITMETICA Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores más tiene 45 que 13? Solución: D(45) = {1; 2; 3; 5; 9; 15; 45} í tiene 6 divisores
í
D(13) = {1; 13}
tiene 2 divisores
Respuesta: 45 tiene 4 divisores más que 13.
En el campo numérico de los enteros Z, los múltiplos pueden ser negativos, además del 0, así por ejemplo: *
Los múltiplos de 15 son:
1 5 º
1 5
=
1
( 1 ) ;
1 5 ( 2
5 1k 5 ( 0 ) 1 5
=
) ;
1 5
c e r o
( - 1 ) ;
1 5 ( - 2 ) ;
1
donde "k" es un entero cualquiera. De todo esto podemos afirmar lo siguiente: i. Todo número tiene INFINITOS múltiplos. ii. El CERO es múltiplo de todos los números. E n I .
r e s u m º
A
=
s e
e n : B
l e e : m
I I .
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Página 22
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A
COLEGIO TRILCE
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3 f a c t o r d iv i s o r
d e d e
ARITMETICA
Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS, son aquellos números que tienen unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número. Ejemplos:
2 3 5 7 11
____ ____ ____ ____ ____
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Son aquellos números que tienen más de dos divisores.
4 6 8 10 12
____ ____ ____ ____ ____
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(Criba de Eratóstenes) 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 COLEGIO TRILCE
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
Página 23
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ARITMETICA Entonces: Los números primos menores que 100 son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • 1. El "uno" no es un número primo. sólo tiene un divisor, es considerado como número simple. 2. Los números primos son infinitos. 3. El "dos" es el único número primo par. 4. El "dos" y el "tres" son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos Dos o más números son primos entre si (PESI), cuando tienen como único divisor común a la unidad. •
Ejemplo: ¿6, 14 y 9 son números PESI? veamos: Divisores 6
: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9
: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que _________, es el único divisor común a dichos números Entonces: ______________ son números ______________. •
Ejemplo: ¿21, 15 y 8 son números PESI? veamos: Divisores 21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8
: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, es el único divisor común a dichos números. Entonces: ______________ son números ______________. COLEGIO TRILCE
Página 24
ARITMETICA
•
Ejemplo: ¿8, 6 y 14 son números PESI? veamos: Divisores 8
: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6
: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números. Entonces: ______________ no son números ______________. •
Ejemplo: ¿10, 35 y 15 son números PESI? veamos: Divisores 10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números. Entonces: ______________ no son números ______________.
1. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI. 2. Dos o más números impares consecutivos son siempre números PESI.
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus divisores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos. •
Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18. V e a m
1o 8s :
E n t o n 1 c 8e s= :
COLEGIO TRILCE
Página 25
_
_
_
_
ARITMETICA •
Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120. V
e a m
E
n
1 o 2 s 0:
t o n 1 c 2 e 0s : =
_
_
_
_
Los divisores primos de un número compuesto se observan en su descomposición canónica.
Sea "N" un número compuesto cuya descomposición canónica es: N
=m
a
p n
. d b o n d. e c : a ; b : yf a c c t o m
;
r e s
n : ey x p o n
p
e n
Entonces: la cantidad de divisores de "N" será: C
•
D
( N
)
=
( m
+
Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180. V
e a m
o s :1 8
L u e g o : F i n a l m
COLEGIO TRILCE
1
0
8 0
=
e nC t(D e1 8 : 0
Página 26
_
_
=
)
_
_
_
_
_
_
=
_
_
_
_
_
=
_
_
_
_
_
r i m
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e
ARITMETICA
•
Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480. El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480. V e a m
o 4s :8
L u e g o :4 F i n a lm
0
8 0
=
_
eC n(D 4 t8 e0 ) :
_
_
_
_
=
_
_
_
=
_
_
_
_
_
=
_
_
_
_
_
¡LISTOS… A TRABAJAR ¡ 1. a. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25? b. ¿Cuál es el mayor número primo menor que 52? 2. ¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado? 3. Hallar "a + b"; si: a = mayor número primo menor que 70 b = menor número primo mayor que 20 4. ¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras? 5. ¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras? 6. Indicar verdadero "V" o falso "F", según convenga: a.
35 = 5
(
)
b. 8 = 16
(
)
c.
(
)
d. 53 = 7
(
)
e.
(
)
111 = 37
26 = 13
COLEGIO TRILCE
Página 27
ARITMETICA 7. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras? 8. Si el número
5a2 es
múltiplo de 8, ¿cuántos valores puede tener "a"?
9. Hallar la suma de las partes alícuotas de 12. 10. Si: A = {x/x ∈ N, "x" es divisor de 14} y B = {x/x ∈ N, "x" es divisor de 8} hallar: a.
A∪B
b. A ∩ B
c.
A-B
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. ¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20? 2. Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que 23? 3. ¿Qué grupo de números son PESI? a.
8; 25; 32
b. 9; 27; 35
c.
18; 30; 43
c.
390
4. Hallar la descomposición canónica en cada caso: a.
220 600
b. 280
5. Hallar la cantidad de divisores de: a.
340
b. 420
6. ¿Cuántos números de dos cifras son 5? 7. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 7? 8. Si el siguiente número:
453 x
es divisible por 7, calcular el valor de "x".
9. Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3? 10. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7.
DESAFÍO
× 75
Hallar la cantidad de divisores de: 3 2 ×××
COLEGIO TRILCE
Página 28
d.
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 30
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 31
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 32
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 33
ARITMETICA
DESAFÍO
DESAFIO En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se has aplaudido al terminar el juego? a.
30
COLEGIO TRILCE
b.33
c.36
Página 34
d.39
e.43
ARITMETICA
¿ S a b í a s q E l m é t o d p
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c li d e s .
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o b r a d i c h a
b t e n
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m
Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números enteros positivos. Ejemplo: Sean los números 8 y 12.
D
8
D
1 2
=
{ =
1 {
; 1
2 ;
2
Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
II.
Método para hallar el m.c.d.
n E ú j me m e r p o l so : t o d o f a c t o r e s c o m u n e s h 8a s- t 1 a 2 2 o b t n ú m e r o s P E S I , l u e g o 4 e- l 6 m 2 . c . d d ic h o s n ú m e r o s e s e l2 p- r3 o d u c t S
lo
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f a c t o r e s
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
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y
2 7
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7
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COLEGIO TRILCE
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. c . d
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. c . d
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2. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea en cada caso: a .
e
e .
Ahora completa el siguiente cuadro: 1 8
d
n e s
1. Completa el siguiente cuadro: 3
n e
m
. c .
.
ARITMETICA 3. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: a.
52 y 78
b.
56 y 72
c.
84 y 96
4. Hallar el m.c.d. si: A = 22 × 34 × 5 B = 22 × 15 m.c.d.(A;B) =
1. Hallar el mc.d. por descomposición simultánea, en cada caso: a. 45 y 95 d. 30; 60 y 90
b. e.
75 y 125 20; 36 y 40
c. f.
24; 36 y 68 18 y 15
c. f.
30; 60 y 72 48 y 36
2. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: a. 64 y 96 d. 48; 52 y 72
b. e.
160 y 180 50; 300 y 600
3. Hallar el mc.d. de A, B y C; si: A = 33 × 54 × 8 B = 12 × 27 C = 25 × 36
DESAFÍO •
Hallar el m.c.d. de: 5 y 9. ¿Qué ocurrió?
•
¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor?
COLEGIO TRILCE
Página 37
ARITMETICA
Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números enteros positivos diferentes de "0". Ejemplo: Sean los números 4 y 6. º
4
º
6
=
0
;
4
;
=
0
;
6
;
8
;
.
1 2
.
.
.
.
.
Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
S e
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COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1. Completa el siguiente cuadro: 8
1 5
1
0
1 6
1
2
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Ahora completa el siguiente cuadro: 8
y
1 2
1 0
y
8
1 5
y
2 0
1 6
y
2 0
2. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso: a .
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y
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1
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y
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=
m
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. c . m
.
=
m
. c . m
.
3. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: a.
45; 75 y 90
b.
4. Hallar el m.c.m. de A y B; si: A = 23 × 32 × 53 B = 26 × 3 × 5 2
COLEGIO TRILCE
Página 39
12; 14 y 16
c.
9 y 15
ARITMETICA
1. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso: a.
35 y 63
b.
12 y 60
c.
15 y 25
d. 24 y 36
e.
9 y 15
e.
120; 148 y 200
2. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: a.
85 y 30
b.
36 y 99
c.
96 y 100
d. 24 y 30
e.
200; 300 y 400
e.
160; 180 y 360
3. Hallar el m.c.m. de P, Q y R; si: P = 32 × 53 × 72 Q = 2 × 3 3 × 52 × 7 R = 32 × 7
DESAFÍO •
Hallar el m.c.m. de 0 y 4. ¿Qué sucede?
•
¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números?
COLEGIO TRILCE
Página 40
ARITMETICA
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1. Tres compañías de navegación pasan por cierto puerto. La primera cada 8 días; la segunda cada 18 días y la tercera cada 21 días. ¿Cada cuántos días se hallan los buques de los tres compañías simultáneamente en este puerto? DATOS SOLUCION
2. Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días; 5 días y 10 días, respectivamente. Si la última vez que salieron juntos fue el 14 de julio, ¿cuál será la próxima fecha en que volverán a salir juntos? DATOS
COLEGIO TRILCE
SOLUCION
Página 41
ARITMETICA
3. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que se puede dividir en trozos de 24 cm; 27 cm; ó 45 cm de longitud sin que sobre ni falte nada? DATOS
SOLUCION
4. Dos ciclistas dan vueltas en una pista; el primero cada 48 segundos y el segundo cada 64 segundos. Si salen juntos, ¿al cabo de cuánto tiempo pasarán por el sitio de partida? DATOS SOLUCION
5. Tres perros salen juntos en una carrera. El primero tarda 20 segundos en dar la vuelta a la pista, el segundo tarda 33 segundos y el tercero, 36 segundos. ¿Al cabo de cuántos segundos volverán a pasar juntos por la línea de salida, si salen juntos? DATOS
COLEGIO TRILCE
SOLUCION
Página 42
ARITMETICA
6. Dos cintas de 12 metros y 16 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? DATOS
SOLUCION
7. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente 3 cintas de 120 cm; 180 cm y 240 cm? DATOS
SOLUCION
8. Se desean dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada trozo resultante? DATOS
COLEGIO TRILCE
SOLUCION
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ARITMETICA 9. Se tienen que envasar 120 kg; 144 kg y 200 kg de plomo en tres cajas de modo que los bloques de cada una tenga el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo? DATOS
SOLUCION
10. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez 612; 2040 y 8976? DATOS
COLEGIO TRILCE
SOLUCION
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ARITMETICA
1. ¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60 panes simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada uno reciba la misma cantidad? 2. Se tiene tres cubos de 84 cm 3; 270 cm3 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos? 3. ¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir simultáneamente entre 15 y 20 niñas para que en cada caso una niña reciba una cantidad exacta? 4. En una competencia automovilística de circuito cerrado, tres automóviles arrancan juntos. Si tardan 10; 12 y 15 minutos en dar una vuelta completa. ¿Al cabo de qué tiempo pasarán juntos por la línea de partida? 5. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puede medir exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 16000 metros? 6. Un tren sale cada 5 horas, otro tren sale cada 3 horas, si han salido al mismo tiempo, a las 9 de la mañana. ¿Cuánto volverán a coincidir? 7. Una puerta se abre cada 20 segundos, otra cada 12 segundos y una tercera cada 30 segundos, si se abren simultáneamente a las 12 del día. ¿A qué hora vuelven a abrirse simultáneamente? 8. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 30 cm, 40 cm ó de 50 cm? 9. Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir, en partes iguales, 174 soles y 730 soles. 10. Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90 caramelos y 75 chocolates. ¿Qué número de cada dulce corresponde a cada uno de ellos?
DESAFÍO Hallar la menor cantidad de soles que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13 niños, de tal manera que en cada caso sobren 4 soles.
COLEGIO TRILCE
Página 45
ARITMETICA
1. En: abc 273; hallar el V.A.(c) + V.R.(a) - V.A.(b) 2. Indicar la suma de la cifra del segundo orden más la cifra del quinto orden en: 956 783 3. Indicar la suma de la cifra del primer lugar más la cifra del cuarto lugar en: 9 128 751 4. Si se cumple que: 15(2a) es el cuadruple de 3(3a) . Calcular el valor de "a". 5. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado 27. Si se sabe que la suma de las dos cifras es 13.
6. Convertir: 15042(6) a base ternaria. 7. Si:
3ab (65 ) ; 4b2( a) ; 23 (b)
están correctamente escritos,
hallar: "a + b + c" 8. Hallar:
3ab (65) ; 4b2 (a) ; 23 (b)
9. Hallar: (a + b + c); si se cumple:
(a 1)( a 1)a(3)
bc
10. Al mayor número de dos cifras de la base cuaternaria, transformarlo a la base nonaria. Dar la suma de sus cifras (base nonaria).
COLEGIO TRILCE
Página 46
