RAZONES Y PROPORCIONES 1.
Dos números están en la relación de 3
1 5
a 5
1 4
. Si la
diferencia del doble del segundo y el triple del primero es 108. El mayor, es: A) 520 a b
B) 630
C) 690
SOLUCIÓN:
E) 530
Además: 2 b 3a 108
3 15 5
D) 590
1 4
2(105k 105k)) 3(64k) 64k) 108 108
16
210 k 192k 108 18 k 1 08
a
5 b 2 1 4 a 64 k b 105 10 5 k
k6
Luego, el mayor es: b 105 k b 105(6) b 630
Rpta. B) 630 2. La suma de dos cantidades invertidas es a la suma de las cantidades como 4 es a 9. Si una de ellas es el cuádruplo de la otra. El mayor, es: A) 1 1
B) 3
C) 6
SOLUCIÓN:
D) 4
E) 5
1
a b 4 ab 9
Además: a = 4b Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-2-
b a
ab 4 ab 9 1
(a b) a b (a (a b)
4
1
9
ab
4
ab
9
9 4
(4b)b b 2
b
9 4
9 16
3 4
Luego, el mayor es: a 4b
3 a 4 a 3 4
Rpta. B) 3 3. Si a los números 12, 20, 3 y 8 se les añade una misma cantidad, se forma entre ellos una proporción geométrica. La cantidad añadida, es: A) 11
B) 13
C) 16
D) 12
E) 15
SOLUCIÓN: 12 x 20 x
12 x (2 0 x) (1 2 x)
3 x 8 x
3x (8 x) (3 x)
Lic. Joel Olarte Estrada
12 x 8
3x 5
60 + 5x = 24 + 8x 36 = 3x 12 x
Rpta. D) 12 4. Dos números están en la relación de 2 a 5. Si la cuarta parte del mayor es la tercera proporcional de 4 y la mitad del otro número. Hallar la suma de dichos números. A) 35
B) 40
b
E) 52
5=k|
a
Luego, la suma de los números es:
4 2 a b 2
SOLUCIÓN:
D) 45
2k
a 2k b 5k b 5k a
C) 43
4 a2 4
a+b =2k+5k = 7k = 7(5) = 35 |
4b = a2 4(5k) = (2k)2 20 k 4 k 2
5k = k 2
Rpta. A) 35 5. En una proporción geométrica cuya razón es
1 5
, se
sabe que el producto de los antecedentes es 224 y la suma de los consecuentes es 45. La diferencia de los antecedentes, es:
ARITMÉT
Soluciona
-6-
A) 35
B) 40
C) 20
SOLUCIÓN: a b
ac = 224
c
d
k
a – c =?
E) 25
1 5
a = bk 1
a
b+d=245
D) 38
5
b 5a b
c = dk c
1 5
d 5c d
Como: b + d=245
5a+5c=245
a c 39
a 32
a c 224
b 7
Por tanto: a – b = 32 – 7 = 25 |
Rpta. E) 25 6. Cuál será la diferencia de los extremos de una proporción geométrica continua si se sabe que la suma de sus 4 términos es igual a 75 y que la razón entre la suma y diferencia de los cuadrados de la 1ra razón es equivalente a 13/5. A) 10
B) 14 a b
C) 18
SOLUCIÓN:
b c
a+b+b+c=75 a 2 b 2 13 2 2 a b 5 5a2+5b2=13a2-13b2 18b2 = 8a2 9b2 = 4a2 3b = 2a |
D) 15
E) 12
ac = b2 ….(1) b
2 3
a
Reemplazando en (1):
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-6-
2 ac a 3 ac c
4 9 4 9
a
2 4 a 2 a a 75 3 9
2
a
2
4 3
a
4 9
a 75
(Por 9)
4 4 a 9 a 9 75(9) 3 9 9a+12a+4a=75(9) 9a
a
25 a 75 (9) a 27
Como: a+2b+c=75 Y como
Por tanto:
c
4
c
4
9
9
a
(27)
c 12 a – c = 27 – 12 = 12 |
Rpta. D) 15 7. Si:
a b
c d
k , donde a, b, c, d y k son enteros mayores
que la unidad, además: Hallar: a+b+c+d+k A) 135
B) 140
a b c d 21 .
C) 129
SOLUCIÓN: a b
c d
D) 132
E) 130
k
a b c d 21 bk b dk d 21 b( k 1) d ( k 1) 21
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-6( x 1)( b d ) 7(3)
k 1 3
b d 7
k 2 k = 4| 16 9 Luego: a = bk c = dk a = 16(4) c=9(4) a = 64| c = 36| Por tanto: a+b+c+d+k = 64+15+36+9+4 = 129|
Rpta. C) 129 a
8. Si:
b
28 d
e f
4,
además
se
tiene
e+f=45,
b+d+f=18; hallar el valor de “a”. A) 5
B) 8
C) 4
SOLUCIÓN: a b
28 d
4
28=4d 7=d|
e f
4
e=4f Y como: e+f=45 4f+f=45 5f=45 f=9|
28 d
e f
D) 10
E) 2
4
b+d+f=18 b+7+9=18 b+16=18 b=2|
a b
4
a=4b a=4(2) a=8|
Rpta. B) 8 9. La suma, la diferencia y el cociente de 2 números están en la misma relación de 10, 8 y 3. Hallar el mayor de dichos números.
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-6-
A) 27
B) 30
C) 33
SOLUCIÓN: a b 10
ab 10k
a b 10k
a b 8
a b 8k
D) 36
E) 38
a
b 3
a
b
3k
Ahora como: a
a b 8k
b
2a 18 k a 9k
3k
9 k k
Y como: a+b=10k 9k+b=10k b=k|
3k
9 = 3k 3=k| Por tanto, el mayor es: a = 9k a = 9(3) a = 27 |
Rpta. A) 27 10. Si:
M 3072
A) 1350 Sea:
M 3072
E M
R E
B) 1040
E M
R E
I R
3 I
; hallar: M+E+R+I.
C) 1023
SOLUCIÓN:
I R
3 I
D) 1020
E) 1052
k
M E R I 3 3072 M E R I
k 5
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-63
k
5
3072
1 4
5
k 5
1 1024
1 4
k 5
k
Además: M E R I 3 3072 M E R I
k
1 4
4(M+E+R+I)+12=3072+(M+E+R+I) 3(M+E+R+I)=3060 M+E+R+I=1020|
Rpta. D) 1020 11. Las edades de José, Marco y Ramiro son proporcionales a los números 3, 2 y 5. Si después de 6 años sus edades serán proporcionales a 9, 7 y 13. ¿Cuántos años más tiene Ramiro respecto a José? A) 5
B) 4
C) 8
D) 6
SOLUCIÓN:
E) 2
Se tiene que: J 3k
Después de 6 años: 3k 6 9
M 2k
2k 6 7
R 5k
5k 6 13
21k + 42 = 18k + 54 3k = 12 K=4| Luego, sus edades serán: J = 3k = 3(4) = 12 M = 2k = 2(4) = 8 R = 5k = 5(4) = 20 Por tanto: R – J = 20 – 12 = 8 |
Rpta. C) 8
Lic. Joel Olarte Estrada
A
12. Si:
a
A3 B 3 C 3 A B C 2
2
A) 35 Como:
2
*
B
b
a 2 b2 c2 a b c 3
3
B) 27 A a
C c
;
además:
9 . Hallar:
3
C) 30
b
A3
a3
C c
abc
D) 41
SOLUCIÓN: B
ABC
E) 36
k
B3
b3
A3 B 3 C 3 a 3 b3 c3
C3 c3
k 3
k 3
A 3+B3+C3=(a3+b3+c3)k 3| En forma similar: A 2+B2+C2=(a2+b2+c2)k 2| A3 B 3 C 3 a 2 b 2 c 2 3 9 Por dato: 2 2 2 3 3 A B C a b c Reemplazando:
(a 3 b 3 c 3 ) k 3 (a b c ) k 2
2
2
k 3 2
k
2
a 2 b2 c2 a b c 3
3
3
9
9
K = 9| Además:
ABC abc
k 3
ABC abc
k 3 9 3 ( 9 )3
= (3)3 = 27|
Rpta. B) 27 13. Las edades de 4 hermanos están en la misma relación que los números 2, 3, 7 y 10. Si la suma de las edades
ARITMÉT
Soluciona
-8-
del menor y el mayor hermano es 36. El producto de las edades de los hermanos no mencionados, es: A) 149 Sea:
A 2k
B) 159
Además:
Luego: Por tanto:
B 3k
C) 169
SOLUCIÓN:
C 7k
D) 179
E) 189
D 10k
A + D = 36 2k + 10k = 36 12k = 36 K = 3| B = 3(3) = 9 C = 7(3) = 21 BxC = 9x21 = 189 |
Rpta. E) 189 14. Hallar la media diferencial de la tercera proporcional de 9 y 6 y la cuarta proporcional de 9, 6 y 3. A) 5
B) 4
C) 3
SOLUCIÓN:
D) 2
E) 1
9 6 a : 6 a 9a 36 a 4 Media diferencial: b : 9 3 9c 18 6 c c2 a c b 2
b
42 2
b 3
Rpta. C) 3 Lic. Joel Olarte Estrada
15. Dos números están en la relación de 2 a 5. Si se aumentan 120 a uno de ellos y 93 al otro, se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? A) 35
B) 18
C) 28
SOLUCIÓN: a b
D) 45
E) 32
2k 5k
2k + 120 = 5k + 93 27 = 3k 9 = k| Por tanto, el menor es: a = 2k a = 2(9) a = 18 |
Rpta. B) 18 16. La suma, la diferencia y el producto de 2 números están en la misma relación que 4, 3, 21. ¿Cuál es el mayor? A) 35
B) 41
C) 38
SOLUCIÓN: a b 4k
a b 4k
a b 3k
7
2a 7k
2
Luego:
7 2
k
E) 42
ab 21k
Como: a+b=4k
a b 3k
a
D) 39
k b 4k
b 4 k
ab = 21k 7 1 2 k 2 k 21 k
7 2
kb
1 2
k
ARITMÉT
Soluciona
-67 4
k 21
k = 12| Por tanto el mayor es: a a
7 2 7 2
k (12 )
a 42
Rpta. E) 42 17. El radio de la luna es los 3/11 del radio terrestre, y el diámetro del sol es igual a 108 diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón geométrica entre los radios de la luna y el sol? A) 1/108
B) 1/396 C) 5/108
SOLUCIÓN:
D) 7/108 E) 7/396
Por dato: rL
3 11
r L
r T
rT
3 11
d S 108d T ( 2 rS ) 108( 2 rT ) r L r T
1
?
108
r L
Luego:
r T
r L rS
r T r S
r T rS
3 11
1 108
1 396
Rpta. B) 1/396
Lic. Joel Olarte Estrada
18. 2 números están en relación de 5 a 2, agregando 175 a uno de ellos y 115 al otro, ambos resultados son iguales, hallar el número mayor. A) 80
B) 90
C) 100
SOLUCIÓN: a b
5 2
a
b
Luego: 5k+115=2k+175 3k = 60 k = 20 |
D) 120
E) 130
5k 2k
Por tanto el mayor es: a = 5k a = 5(20) a = 100 |
Rpta. C) 100 19. En un corral hay N aves entre patos y gallinas, el número de patos es a N como 3 a 7 y la diferencia es 20. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas al quitar 50 gallinas? A) 6
B) 8
C) 5
SOLUCIÓN:
P+G=N
N
E) 2
3k + G = 7k
P
D) 4
3k 7k
Como:
P = 3k = 3(20) = 60 G = 4k = 4(20) = 80 Como se quitan 50 gallinas, entonces quedan: G – 50 = 80 – 50 = 30 | Por tanto: P G
60 30
2
Rpta. E) 2 20. Las
edades de Pepe, Felipe y Carlos son proporcionales a los números 3, 2, 4. Si después de 9
ARITMÉT
Soluciona
-8-
años sus edades son proporcionales a 9, 7, 11, hallar cuántos años más tiene Carlos respecto a Pepe. A) 8
B) 12
C) 14
SOLUCIÓN:
D) 10
E) 6
Por datos: P 3k
F 2k
Luego: P=3(6)=18 F=2(6)=12 C=4(6)=24 Por tanto: C – P = 24 – 18 =6|
C 4k
Después de 9 años: 3k 9 2k 9 4 k 9 9
7
11
21k+63=18k+81 3k=18 k = 6|
Rpta. E) 6 21. A una fiesta asistieron 140 personas entre varones y mujeres, si por cada 4 varones hay 3 mujeres, ¿Cuál es la proporción entre el número de mujeres y el número de varones después que se retiran 20 parejas? A) 1/3
B) 3/2
C) 3/4
SOLUCIÓN:
D) 2/3
E) 4/3
V+M=140 Además:
V M
4 k 3k
Entonces:
V + M=140 4k+3k=140 7k = 140 k = 20| Luego, como se van 20 parejas, se van 20 varones y 20 mujeres, entonces: V = 80 – 20 = 60 M = 60 – 20 = 40 Por tanto, la nueva proporción será:
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-6V M
6 0
V M
4 0
3 2
Rpta. B) 3/2 22. A una fiesta asistieron 400 personas entre varones y mujeres asistieron 3 varones por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas por cada 2 varones hay una mujer. ¿Cuántas parejas asistieron? A) 50
B) 60
Además: V M
3k 2k
C) 70
SOLUCIÓN:
D) 80
E) 90
V + M = 400 Luego: V = 3k = 3(80) = 240 M = 2k = 2(80) = 160
Entonces: V+M=400 3k+2k=400 5k=400 K=80| Como se retiran “x” parejas, entonces: Vx 2 M x 1 240 x 2 160 x 1 240 – x = 320 – 2x x = 80 |
Rpta. D) 80 23. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niña, después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo.
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT A) 38
Soluciona
-6-
B) 45
C) 40
SOLUCIÓN:
D) 54
E) 64
Del enunciado, tenemos que: H
2
M 15 1 H 45 1 M 15
5
H 2M 30
5H 225 M 75
5(2 M 30) 225 M 15 10M – 150 – 225 = M – 15 9M – 375 = - 15 9M = 360 M = 40 |
Rpta. C) 40 24. En una caja de cubos blancos y negros, se sacan 20 cubos negros, la relación entre cubos es de 7 blancos por 3 negros. Si se sacan 100 cubos blancos, la relación es de 3 negros por 2 blancos. ¿Cuántos cubos había al inicio en la caja? A) 120
B) 220
C) 80
SOLUCIÓN:
B N 20
B 100 N 20
Luego: 3B = 7N – 140 3B = 7(80) – 140 3B = 560 – 140
D) 300
7
2
3B 300 2N 40
3
3
E) 320
3B 7N 140
7N – 140 – 300 = 2N – 40 7N – 440 = 2N – 40 5N = 400 N = 80 | 3B = 420 B = 140 | Por tanto:
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-6-
B+N= 140+80 = 220 |
Rpta. B) 220 25. En un colegio la relación entre varones y mujeres es como 2 a 5, la relación entre varones en primaria y varones en secundaria es como 7 a 3. ¿Cuál es la relación entre varones en secundaria y el total de alumnos? A) 1/5
B) 2/23
V M
2 5
C) 9/16
SOLUCIÓN:
V M V
2
52
VP VS
VS VP
D) 3/35
VS V
3
7
3 10
V T
2 7
E) 7/45
.............(1)
7 3 VS
VP VS
3 7 3
..........(2)
Luego, de (1) y (2): V T
VS V VS T
2 7
3 10
3 35
Rpta. D) 3/35 26. Si:
a 5
A) 26
b 7
c 11
y a2+b2+c2=780. Hallar (a+b+c)
B) 46
C) 56
SOLUCIÓN:
D) 64
E) 96
Lic. Joel Olarte Estrada
ARITMÉT
Soluciona
-6a
5k
b 7k
c 11k
a2 + b2 + c2 = 780 (5k)2+(7k)2+(11k)2=780 25k 2+49k 2+121k 2=780 195k 2 = 780 k 2 = 4 k=2|
Y como: Entonces:
Por tanto: a + b+c = 5k+7k+11k = 23k = 23(2) = 46 |
Rpta. B) 46 27. Si
a b
A) 4 Sea:
c d
e f
y
a.c.e b.d. f
B) 16 a b
64 , hallar
a 2 c2 e 2 b d f
C) 8
SOLUCIÓN:
c
d ace bd f
e f
2
2
D) 64
2
. E) 4096
k
k 3 64 k4
Luego:
a2 b 2
c2 d2
e2 f 2
a 2 c2 e 2 b 2 d 2 f 2
k 2
4 2 16
Rpta. B) 16 28. Los cuadrados de ½, ¼ y 1/8 son proporcionales a tres números que sumados dan 21/4. Uno de dichos números es:
Lic. Joel Olarte Estrada
A) 2
B) 1
C) 1/2
SOLUCIÓN: (1 2)2 a 1 k 4
a
a bc
Además:
1
Entonces:
4
1
k
(1 4 )2
b 1 16 k
b 21
D) 3
E) 16
(1 8)2 c 1
64
k
c
4
k
1
k
16 64 16k 4 k k
64
21 k
21
4 21
64
4
21 4
k6
Por tanto: a b c
1 4 1
16 1
64
k k k
1
(16) 4
4 1
16 1 64
(16) 1 (16)
1 4
Rpta. B) 1 29. Si
10 a 10 a
11 b 11 b
100 c 100 c
k
con k>1, además
a+b+c+1=k 2, entonces k-1 es: A) 4 Como:
B) 6 10 a 10 a
C) 8
SOLUCIÓN:
11 b 11 b
D) 10
100 c 100 c
k
E) 9
ARITMÉT
Soluciona
-8-
10 a 11 b 100 c 10 a 11 b 100 c 121 a b c k 121 (a b c)
k
a+b+c+1=k 2 a+b+c=k 2-1 |
Y como: Luego:
121 k 1 2
121 (k 1) 2
120 k 2 122 k
2
k
k
120 + k 2 = 122k – k 3 k 3 + k 2 – 122k + 120 = 0 Factorizando: (k-1)(k-10)(k+12)=0 k 1 0 k 10 0 k 12 0 k 1 k 10 Y como k>1, entonces k=10. Por tanto: k – 1 = 9 |
k 12
Rpta. E) 9 30. Si E
A m
B n
C
A 2+B2+C2=36.
y
p
Hallar
Am Bn Cp (m n p ) 2
A) 6 Sea: Además:
2
2 1/ 2
B) 36 A m
C) 18
SOLUCIÓN: B n
C p
D) 24
E) 12
k
A 2 + B2 + C2 = 36 (mk)2 + (nk)2 + (pk)2 = 36 k 2(m2+n2+p2) = 36
Lic. Joel Olarte Estrada
m2 n2 p2 Luego:
E E E
36
k 2 Am Bn Cp
(m 2 n 2 p 2 )1/2 (mk)m (nk)n (pk)p (m n p ) 2
2
2 1/2
k(m 2 n 2 p 2 ) (m 2 n 2 p 2 )1/2
E k(m 2 n 2 p 2 )1/2 E k
36 2
k
6 E k k E=6|
Rpta. A) 6 PROMEDIOS 31. La media aritmética de 76 números enteros pares es 96. Hallar los números consecutivos que se deben quitar para que la media aritmética de los números restantes sea 90. A) 317 y 319 D) 322 y 330
B) 320 y 322 E) 317 y 320
SOLUCIÓN: 76 76
96
76 7296 76 a b 74
90
7296 – a – b = 6660 636 = a+b
C) 317 y 320
ARITMÉT
Soluciona
-10-
636 = a+a+2 634 = 2a 317 = a | Los números son: 317 y 319.
Rpta. A) 317 y 319 32. Se tienen dos grupos de personas en los que se observa la edad. En el grupo B hay 45 personas y la edad promedio es de 52 años. Si el promedio de los 2 grupos es 42 años. Hallar la edad promedio del grupo A, si en él hay 90 personas. A) 35
B) 40
C) 43
SOLUCIÓN:
Usando sumatorias, tenemos: B 52 45
D) 37
E) 42
B 2340
A B 42 90 45
A B 135
42
A B 5670
A 2340 5670 A 3330 Por tanto, la edad promedio del grupo A, es: A 3330 37 90
90
Rpta. D) 37 33. Hallar dos números sabiendo que su mayor promedio y menor promedio son 19.5 y 17 13 respectivamente. La diferencia de dichos números, es: A) 13
B) 15
C) 20
SOLUCIÓN:
D) 25
E) 27
Lic. Joel Olarte Estrada
Mayor promedio: MA Menor promedio: MH
ab 2 2ab
19.5 a b 39 17 13
ab 2a b 52
39
3
2ab = 676 ab 338
a 26 b 13
Por tanto, la diferencia es: a – b = 26 – 13 = 13 |
Rpta. A) 13 34. Hallar la media geométrica de dos números sabiendo que la cuarta parte de su producto, por su media aritmética, por su media geométrica y por su media armónica se obtiene 256. A) 3
B) 4
C) 5
SOLUCIÓN:
D) 7
E) 9
Del enunciado, tenemos que: ab 4
.MA.MG.MH 256
ab.MA.MG.MH 1024
MG2 MG MH 1024 MG5 = 210 MG = 22 MG = 4 |
Rpta. B) 4 35. Tres números enteros positivos tienen una media aritmética de 5 y una media geométrica igual a la raíz cúbica de 150; además se sabe que el producto de dos
ARITMÉT
Soluciona
-12-
números es 30. La media armónica de los tres números es: A) 35/8
B) 41/8
C) 43/8
SOLUCIÓN:
D) 45/8
E) 53/8
Por dato tenemos que: ABC 5 A B C 15 3
ABC 3 150 ABC 150 Además: AB = 30 Reemplazando: ABC = 150 (30)C=150 C=5| Luego, como: A+B+C=15 A+B+5=15 A+B=10 | Por tanto: 3ABC MH AB AC BC 3
MH
3ABC AB C(A B)
Reemplazando: MH
3(150) 30 5(10)
MH MH
45 0 80 45 8
Rpta. D) 45/8 36. La edad promedio de 3 estudiantes es de 18 años, si ninguno de ellos tiene más de 19 años. ¿Cuál es la edad mínima que podría tener uno de ellos?
Lic. Joel Olarte Estrada
A) 19 Sea:
B) 16 ABC 3
C) 17
SOLUCIÓN:
D) 18
E) 15
18
Para que uno de ellos tenga la mínima edad, entonces todos los demás tendrán la máxima = 19. Luego: 19 19 C 18 3
38 + C = 54 C = 16 |
Rpta. B) 16 37. La media geométrica de 3 números es 15. Si la proporción geométrica continua de dichos números tiene por razón 3/5, la diferencia de los extremos es: A) 9
B) 18
C) 25
SOLUCIÓN:
D) 10
E) 12
Del enunciado, tenemos que: b = 15 La proporción geométrica continua, es: a b a 15
a 15
b
3
c 5 15 3 c
5
3
15
5
c
a 9
3
5
25 c
Luego la diferencia de los extremos es: c – a = 25 – 9 = 16 |
Rpta. B) 16
ARITMÉT
Soluciona
-14-
38. La media aritmética de 10 números es 45 y la media aritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritmética del total de números. A) 54
B) 58
C) 57
SOLUCIÓN:
D) 56
E) 55
Sean:
10 10
15 15
45
10 450
60
15 900
25 1350 Luego, la media de todos los números es: 25 1350 54 25
25
Rpta. A) 54 39. De 500 estudiantes de un colegio, la estatura promedio es 1.67m, 150 son mujeres con estatura promedio 1.60m. Calcular la estatura promedio de los varones de ese grupo. A) 1.74
B) 1.73
C) 1.72
SOLUCIÓN:
D) 1.71
E) 1.70
De los promedios, tenemos que: 500 1.67 500 835 500
150 150
1.60 150 240
350 595 Por tanto, el promedio de las estaturas de las 350 varones, es: 350
595 350
1.70
Lic. Joel Olarte Estrada
Rpta. E) 1.70 40. La media aritmética de los n primeros números naturales es 15. ¿Cuál es la media aritmética de los 10 siguientes? A) 34.4
B) 34.6
C) 34.8
SOLUCIÓN:
D) 34.5
E) 34.9
Del enunciado: 1 2 3 .... n n
15
n (n 1) 2 n n 1 2
15 15
n + 1 = 30 n = 29 | Son 29 números, nos piden el promedio de los 10 siguientes, esto es: 30 31 32 .... 39 MA MA
10 345 10
MA 34.5
Rpta. D) 34.5 41. La media geométrica de dos números es el triple del menor y la media geométrica es inferior a 36 unidades que el mayor. Hallar la medida armónica de los números. A) 14.4
B) 38.4
Sean los números:
C) 16.2
SOLUCIÓN: A (mayor)
D) 10.8
E) 21.6
ARITMÉT
Soluciona
-16B (menor)
Entonces: AB 3B AB 2 9B B 2 10 B 2
AB (3B)2
A 36
AB 9B 2
9B 36
A 9B
9B 36
5B = 9B – 36 36 = 4B 9=B| A = 9(9) = 81 | Luego: MH
MH
2AB AB
2(81)9 81 9 MH
2(81) 9 90
162 10
MH 16.2
Rpta. C) 16.2 42. La media armónica de 3 números consecutivos es los 12/13 de su media aritmética. ¿Cuál es la suma de los números? A) 4
B) 6
C) 8
SOLUCIÓN:
Sean los números consecutivos:
D) 10
E) 9
A=x–1 B=x C=x+1
Luego:
Lic. Joel Olarte Estrada
3ABC AB AC BC
12 13
MA
Reemplazando en términos de x, tenemos: 3 (x 1)x(x 1) (x 1)x (x 1)(x 1) x(x 1) x 1 2
x x x 1 x x 2
2
x2 1 3x 2 1
2
12 13
x
4 13
4 13
13x2 – 13 = 12x2 – 4 x2 = 9 x=3| Luego, los números serán: A=x–1=2 B=x=3 C=x+1=4 Por tanto, la suma es: A + B + C = 2 + 3 + 4 = 9 |
Rpta. E) 9
