Argumentos válidos. Lo que hace que podamos hablar de razonamiento es la relación que existe entre los enunciados que llamamos premisas premisas y y la conclusión conclusión.. La transición o movimiento desde las premisas hasta la conclusión, es decir, la conexión lógica entre las premisas y la conclusión, es la inferencia sobre la que descansa el argumento. Según sea la relación cabe hablar de razonamiento razonamientos s válidos o inválido, correctos o incorrecto incorrectos, s, bien construidos o mal construidos. Verdad y validez son dos conceptos independientes. La verdad es una propiedad de los enunciados, y un enunciado o una proposición! es verdadero es verdadero,, cuando hay una corresponden correspondencia cia entre la realidad y el enunciado. Sólo los enunciados del tipo "Sócrates es un hombre" o " "#l $ruto de las encinas son las manzanas" , pueden ser verdaderos o $alsos. La validez de un argumento depende de la relación de consecuencia lógica entre las premisas y la conclusión. conclusión. %uando es a la vez $ormalmente $ormalmente válido y materialmente materialmente adecuado sus premisas y su conclusión son verdaderas! se dice que es un argumento sólido.
Ejemplo (1!& Si 'icasso nació en (álaga p!, entonces no es cierto que naciera en )rancia * q!. 'ero, 'icasso no nació en )rancia * q!. 'or tanto, nació en (álaga p!.
+nalizando el eemplo -, podemos podemos comprobar comprobar que aunque las premisas y la conclusión sean verdaderas, con$orme a los hechos, el argumento no parece correcto. Si el argumento $uera correcto, correcto, con ese mismo esquema esquema podramos obtener obtener otro correcto.
Ejemplo (2!& Si 'icasso nació en Londres p!, entonces no es cierto que naciera en )rancia * q!. 'icasso no nació en )rancia * q!. 'or tanto, 'icasso nació en Londres p! 'ero este eemplo nos demuestra que no es as. Las premisas pueden ser verdaderas o $alsas, la conclusión puede ser verdadera o $alsa, y el argumento puede ser válido o inválido. Veamos inválido. Veamos resumidas en las siguientes tablas todas las posibles combinaciones de verdad o $alsedad de las premisas y la conclusión, y de validez o invalidez de las in$erencias&
Razonamientos correctos o correctos o válido , clasi/cados por los valores de verdad de sus hipótesis y conclusión en la realidad&
SI AS !RE"ISAS S#
%$SI A $&'SI$ ES% )ER*A*ERA
)ER*A*ERAS +ASAS
válido -! vá v álido 1!
+ASA +A SA imposi,le 0! válido 2!
Razonamientos incorrectos o inválido , clasi/cados por los valores de verdad de sus hipótesis y conclusión en la realidad&
SI AS !RE"ISAS S#$% )ER*A*ERAS +ASAS
SI A $& $&'SI$ 'SI$ ES% )ER*A*ERA
+ASA
in i nválido 3!
inválido 4!
inválido 5!
inválido 6!
+ la lógica lógica le interesa sólo sólo la $orma, la la relación que que se establece establece entre las premisas y la conclusión conclusión.. #xisten tres combinaci combinaciones ones posibles entre las premisas y la conclusión que que dan lugar a argumentos argumentos o in$erencias válidas& válidas& 1. premisas verdaderas y conclusió conclusión n verdadera7 2. premisas verdadera y conclusión $alsa7 3. premisas $alsas y conclusión $alsa. 8 sólo un caso en el que que la in$erencia in$erencia resulta ser inválida& inválida& cuando cuando las premisas son verdaderas y la conclusión es $alsa. Los razonamientos incorrectos los descartamos pues no garantizan la verdad de la conclusión, ni siquiera cuando las premisas sabemos que son verdaderas. La validez es independient independiente e de la verdad de sus premisas. premisas. Sólo queda queda garantizada garantizada la verdad de la la conclusión, conclusión, haciendo una in$erencia in$erencia válida a partir partir de premisas verdaderas. Las falacias constituyen argumentos incorrectos, algunas de las $alacias más conocidas son& Ad ,aculum& apelar a la $uerza a. b. ad -ominem& contra la persona ad populum& usando en su $avor los preuicios del grupo. c. ad verecundiam& recurriendo al principio de autoridad. d. e. petitito principii & en crculo. ignoratio elenc-ii% cambiar de tema. f.
/u0 condiciones de,e respetar un razonamiento para ser válido 9n razonamiento es $ormalmente válido si& 1. La conclusión se deriva de las premisas y o axiomas del sistema, por la aplicación de las reglas de razonamiento establecidas en dicho sistema Validez sintáctica! 2. %uando es imposible mantener al mismo tiempo sin contradecirse la verdad de las las premisas con con la $alsedad de la conclusión. conclusión.
enguaje eng uaje natural natu ral lenguaj len guaje e arti3cial arti3ci al . #l lenguae es la capacidad que tienen algunas especies animales para enguaje aje natu natural ral es el que utilizamos e comunicarse mediante smbolos. #l lengu para comunicarnos con los demás, para hacer preguntas, expresar emociones, describir hechos, hechos, para re$erirse a s mismo metalenguaje!, etc. Se trata de un lenguae aprendido. aprendido. #l espa:ol, ingl;s, $ranc;s, etc. son eemplos de lenguaes naturales. #l lenguaje lenguaje natural está $ormado por un conunto /nito de símbolos símbolos las las palabras! y por un número determinado de reglas reglas que que nos permiten $ormar oraciones. 'ero el lenguae natural está plagado de ambig
Imprecisiones semánticas semánticas.. #n los lenguaes naturales no se da una correspondencia corresponden cia biunvoca entre signos y obetos representados& hay palabras que son demasiado vagas, que están mal de/nidas. otras tienen más de un signi/cado, y se pueden usar ambiguamente.
•
Impresiones sintácticas sintácticas.. Las reglas permiten $ormar enunciados que no tienen ningún signi/cado. = no permiten operar con e/cacia.
#ste lenguae que nos resulta tan útil, sin embargo, no es adecuado para la ciencia, que necesita rigor y exactitud. #s necesario la creación de un lenguaje artifcial que que establezca el uso de los t;rminos y la $ormación $ ormación de enunciados. Los lenguaes arti/ciales eliminan las imprecisiones imprecision es del lenguae ordinario. #l lenguae arti/cial consta de los mismos elementos que cualquier otro lenguae, signos y reglas, pero además exige que& •
los signos los signos est;n est;n bien bien defnidos.
•
las reglas para la ormación de enunciados, permitan enunciados, permitan saber de manera inmediata si un $órmula está bien $ormada. las reglas para la transormación de órmulas que órmulas que permitan pasar de unas expresiones a otras de $orma rigurosa y exacta.
•
9n lenguae $ormal es aquel que utiliza una tabla de smbolos $ormales constantes o variables!, reglas para la $ormación de $órmulas que legitiman la combinación de smbolos! y trans$ormación de $órmulas que permiten operar con e/cacia! La lógica y la matemática lenguae arti/cial que utiliza es el lenguaje formal.
#l lenguae $ormal.
#n este apartado nos interesa examinar dos cosas cómo se construye el lenguae de la lógica proposicional y cómo se $ormalizan en ;l los enunciados del espa:ol. #l lenguae de la lógica proposicional se caracteriza por& Sólo se $ormalizan aquellas expresiones ling<sticas que expresan un pensamiento completo7 no limitamos al uso declarativo del lenguaje . #l lenguae $ormal es más po,re que el lenguae natural, quedan sin $ormalizar las dudas, los chistes, las preguntas o las exclamaciones. •
Lo que antes pareca una desventaa supone ahora una ventaa pues, evita la ambig
#s un lenguae que se ocupa de la relación entre los enunciados . La combinación de enunciados simples atómicos!, da lugar a enunciados compleos moleculares!. #l valor de verdad de los enunciados compleos depende del valor de verdad de los enunciados simples que lo $orman. #l valor de los conectores se /a de antemano. •
Los enunciados simples, atómicos son aquellos enunciados que no contienen t;rminos de enlace7 por eso no se analizan. #xpresiones como Todos los árboles son •
pinos, se considera un enunciado atómico. Pedro baila y María toca la pandereta, e un enunciado molecular. •
Los conectores se interpretan como funciones veritativas .
•
9n enunciado o es verdadero o es $also, se trata de una lógica ,ivalente.
&ómo se constru4e un lenguaje formal
9n lenguae $ormal consta de un alfa,eto básico y de unas reglas precisas de formación de fórmulas (R. +. +.5 .
6a,la de s7m,olos%
Los elementos primitivos de la lógica proposicional son& •
as varia,les proposicionales & signos que sirven para simbolizar un
enunciado cualquiera y que son las letras minúsculas del abecedario, a partir de la p& >p?, >q?, >r?, >s?, >t?, etc. +s, la proposición los alumnos de primero de bacillerato son muy estudiosos, podra simbolizarse con >p?, o con cualquiera de las otras letras previstas. •
os conectores& o constantes lógicas!, que son smbolos que se utilizan para
establecer conexiones entre enunciados, se denominan constantes porque su sentido es /o. #stos smbolos &
"#$8*I&AS *I8*I&AS
9 ($E:A*#R5 ($;'$6# R5
(*IS<'$6#R 5
(I"!I&A*# R5
(I"!I&A* #R5 @e/nición sintáctica de las conectivas& •
$egador & , colocado delante de la variable u operación a la que a$ecta, se lee >no?, no es el caso. 'or eemplo& ¬ p, se lee >no p?. >no lleve?, >no es cierto que est; haciendo $ro?
•
&onjuntor %
•
*is4unción%
•
&ondicional o implicación &
•
=icondicional o coimplicador &
, corresponde a la conunción copulativa del lenguae ordinario, >y?, se coloca entre dos variables, por eemplo p q, se lee >p y q?. "'edro baila y (aria toca la pandereta? , equivale a la disyunción o del lenguae ordinario, se coloca entre dos variables, de manera que p q, se lee >p o q?, >o bien p o bien q?. >= apruebo los exámenes o no saldr; más los sábados?. , colocado entre variables, p q , se lee >si p, entonces q?. >Si hace $ro, me pondr; un abrigo?7 #n la implicación podemos di$erenciar entre el antecedente y el consecuente. , se lee >si y sólo si ...? o >únicamente si... entonces?, y como en los casos anteriores se coloca entre las variables a las que a$ecta. +s, p q se leerá >s y sólo si p, entonces q?. >Sólo si apruebo todas las materias me ir; de viae?.
os s7m,olos au>iliares & son smbolos que permiten agrupar y establecer un orden dentro de las operaciones. Aásicamente utilizan los par;ntesis !7 los corchetes B C7 las llaves D E7 o cualquier otro smbolo que ayude a separar operaciones.
$ormas so,re el uso de par0ntesis& •
•
Fo se utilizan par;ntesis en los casos en los que los conectores a$ecten a enunciados simples o atómicos. 'or eemplo& ¬ p !e utili"arán par#ntesis cuando el conector prefjo aecte a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional. Por ejemplo$ %p → q&
•
•
Se utiliza en el caso de expresiones conuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un implicador o coimplicador. 'or eemplo& p q! r Se utiliza en los casos que nos interese se:alar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia como en el caso del conuntor y del disyuntor! o bien porque el sentido de la expresión requiere la alteración de la dominancia de las conectivas $uertes implicación y coimplicador!. 'or eemplo& ante la imprecisión de m n p
/u0 es una fórmula
#n el cálculo lógico, una $órmula es toda e>presión ,ien -ec-a , esto es, $ormada según reglas bien establecidas. #emplos de $órmulas& " p", "?", "r s@ @(p
?5
r s5@
Las reglas determinan los smbolos se pueden utilizar para representar las $órmulas atómicas. +demás, en relación con las $órmulas las moleculares, establecen mediante de/niciones cómo se puede operar con las conectivas.
Reglas para la formación de fórmulas. I.
9na $órmula atómica es una $órmula& cualquier letra enunciativa es una $órmula.
II.
Si + es una $órmula, entonces, * + es una $ormula.
III.
Si + y A son $órmulas, entonces +
IV.
Finguna expresión es una $órmula del cálculo proposicional sin es en virtud de
GHGGG
El argumento deductivo .
A, +
A, + A, +
A son $órmulas.
@ebemos recordar que llamamos argumento a un conunto de enunciados tal que de uno de ellos, llamado conclusión, se sigue de los otros, a los que llamamos premisas. Los argumentos constan de enunciados y ;stos son verdaderos o $alsos, pero los argumentos son correctos o incorrectos válidos o inválidos!. 9n argumento bien construido es aquel en el que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión $alsa. 'odemos di$erenciar entre argumento deductivos y argumentos inductivos . #s necesario aclarar el t;rmino deducción. Si la lógica se ha de ocupar de las condiciones que ha de cumplir todo razonamiento si ha de ser correcto, parecerá una restricción tratar sólo de la deducción. Sin embargo, hay que se:alar que el argumento deductivo, sino es el único, si que se le puede considerar el principal obeto de la lógica $ormal. #n la deducción se pasa de modo analtico, de las premisas a la conclusión y esto se produce con necesidad lógica7 sin embargo, en la inducción el paso es sint;tico pero no necesario, y esto presenta graves problemas al tratar de usti/car dicho proceso. La deducción se lleva a cabo a trav;s de unas reglas de inferencia que hacen que la conclusión quede ligada a las premisas ya establecidas. #stas reglas son las reglas de trans$ormación de $órmulas, y se corresponden con las leyes y tautologas semánticas y su usti/cación. La conclusión de una deducción natural supone por una parte las premisas y por otra las reglas de in$erencia. +mbas cosas son supuestos de la deducción. 9na deducción $ormal es un conunto de $órmulas, cada una de las cuales o es un supuesto inicial, o es un supuesto provisional, o una $órmula que deriva de las anteriores. #n una deducción habrá& -. Lneas que corresponden a las premisas iniciales . 0. 7neas ?ue proceden de las anteriores por aplicación de un proceso de in$erencia. 1. Lneas que se introducen provisionalmente y que deben ser canceladas antes de la conclusión. 2. Lnea de la conclusión 3nal . %ada lnea debe colocarse una debao de otra, y han de estar numeradas correlativamente a partir del uno. Las lneas que corresponden a las premisas iniciales se escriben con un H a la izquierda. Las demás, que se deducen de las anteriores, deben llevar usti/cación a la derecha, que indique mediante que regla se extrae y de qu; premisas. Las premisas provisionales, suelen llevar a la izquierda una se:al en escuadra hacia abao, signi/cando supóngase provisionalmente, que alcanzará las proposiciones que de ella dependen hasta que se cancelen o descarguen. I@e qu; manera puede obtenerse la conclusiónJ La conclusión se puede obtener de manera directa o indirecta. #n la primera, las premisas llevan de un modo positivo directo a la conclusión, utilizando las reglas de in$erencia. 'ero, no siempre ocurre, sino que es necesario dar un rodeo7 en este caso se trata de una deducción indirecta o reducción al absurdo!. %onsiste en suponer como premisa provisional la negación de la $ órmula que se pretende demostrar y obtener, a partir de ello, una contradicción7 esto supone que lo que se intenta demostrar no puede ser $also, y es por tanto, verdadero. 9na vez que sabemos lo anterior estamos en condiciones de pasar a las reglas de in$erencia del cálculo de deducción natural, tipos Kentzen. #l sistema de Kentzen
se basa para la lógica de enunciados en ocho tipos de reglas7 para cada una de las $unciones diádicas establece dos reglas una de introducción y una de eliminación.
EJEMPLO:
Todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8. Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4 y t todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2. 64 es múltiplo de 16. Luego, 64 es múltiplo de 2. Premisa 1: "Todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8." Premisa 2: "Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4 y todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2." Premisa 3: "64 es múltiplo de 16." Conclusión: "Por lo tanto, 64 es múltiplo de 2."
"RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS" o
o
Requieren de que sus premisas se desprenda la conclusión y serán validos o no según la relación que se establezca entre las premisas y la conclusión, y no la verdad o la falsedad de las mismas. La conclusión de un argumento valido es un a consecuencia lógica de sus premisas cuando, de la armación de estas, no puede sino aceptarse aquella.
EJEMPLO: Todo lo que es bueno es caro. Todo es bueno, Todo es caro.
!emisa" #Todo lo $ue es bueno es ca!o.# %onclusi&n" #'i todo es bueno, entonces todo es ca!o.# ( )n este tipo de !a*onamiento, las p!emisas b!indan un fundamento segu!o y necesa!io pa!a acepta! la conclusi&n. EJEMPLO de RAZONAMIENTO INVALIDO "Todos los e!anos son aer#canos $ n#n%&n cal#'orn#ano es e!ano, (or lo ano n#n%&n cal#'orn#ano es aer#cano. "
+)l p!edicado en la conclusi&n es #ame!icano#. La conclusi&n se !efie!e a T-' los ame!icanos todo ame!icano no es califo!niano, según la conclusi&n/. e!o las p!emisas se !efie!en solamente a algunos ame!icanos a$uellos $ue son te0anos/. ( $u el a!gumento se! in5alido po!$ue la conclusi&n no se desp!ende l&gicamente de las p!emisas.
"Forma Lógica" o
l inter!s de la lógica es la estructura del pensamiento y no la verdad de las proposiciones, pudiendo reemplazarse los contenidos por s"mbolos# este procedimiento que pasa un razonamiento a su forma lógica se denomina as!racción o ormali#ación$ $or eso la lógica es una ciencia formal que no se interesa por los contenidos sino por la forma de los razonamientos.
EJEMPLO: (
$
'e lee #'i p entonces $#
p" 'ali& electo !esidente de la 7epública. $" 7ecibi!n un 9: de aumento en su sueldo el p!&;imo a
( %uando p=V> significa $ue sali& electo, $=V y !ecibie!on un aumento de 9: en su sueldo, po! lo tanto p$ =V> significa $ue el candidato di0o la 5e!dad en su campa
el candidato minti&, ya $ue sali& electo y no se inc!ementa!on los sala!ios. %uando p=? y $=V significa $ue aun$ue no sali& electo @ubo un
aumento del 9: en su sala!io, $ue posiblemente fue a0eno al candidato p!esidencial y po! lo tanto> tampoco minti& de tal fo!ma $ue p$ =V. EJEMPLO: ( 1 q 5 !
'e lee #p = $ o !# -isyunci&n inclusi5a
p" )nt!a al cine. $" %omp!a su boleto. !" btiene un pase. "2na (ersona (uede enrar al c#ne s# co(ra su boleo u ob#ene un (ase"
La única mane!a en la $ue no puede ing!esa! al cine +p=?, es $ue no comp!e su boleto +$=? y $ue no obtenga un pase +!=?. o
o
o
o
o
La lógica moderna esta interesada en los es%uemas &e argumen!os que pueden ser validos o inválidos y las e%presiones que los forman son de un lengua'e ormal. &ienen un vocabulario formado por signos descriptivos, s"mbolos lógicos y signos de puntuación, y una sinta%is que permite determinar que cosas serán admitidas y cuales no lo serán en ese sistema. l lengua'e de la lógica preposicional tiene los siguientes elementos( las conectivas y la negación. Las construcciones conectivas que vinculan oraciones y forman una nueva oración compuesta, se llaman cons!an!es lógicas ()* o* si$$$en!onces* si ) solo si+ cuya única función en el lengua'e dado es que no tienen contenido descriptivo y su signicado esta totalmente determinado por el papel que cumplen en los argumentos. $ Las letras ,* %* r* s representan oraciones simples en el lengua'e formal y con ellas se pueden construir otras mas comple'as que se llaman -ariales lógicas$
"RAZONAMIENTOS NO DEDUCTIVOS" o
)o pretenden que sus premisas sean el fundamento para la aceptación de la conclusión, sin que ofrezcan algún fundamento para ello.
o
o
stos razonamientos serán validos o no, me'ores o peores según la probabilidad de que sus premisas coneran para la aceptación de la conclusión. *e clasican en in&uc!i-os ) analógicos.
!aonamientos #nducti$os:
A %onducen a una conclusi&n $ue no se deduce con fundamentos de las p!emisas, y $ue es mas o menos p!obable a pa!ti! del e;amen o la obse!5aci&n de una se!ie de casos, pe!o no oto!ga ga!antas ace!ca de la 5e!dad de Bsta. EJEMPLO de Ra3ona#eno Induc#4o: Pre#sa: %&ser$o el cuer$o n' 1 y es ne(ro Pre#sa: o&ser$o el cuer$o n' 2 y es ne(ro Pre#sa: si(o o&ser$ando los cuer$os y tras )a&er o&ser$ado mil cuer$os, 5onclus#n: lle(o a la conclusión de *ue los cuer$os son ne(ros. !aonamientos Cotidianos: 'on tambiBn e;plicaciones estadsticas $ue asumen la fo!ma
de un !a*onamiento inducti5o en la cual la conclusi&n no se infie!e con ce!te*a sino con cie!ta p!obabilidad, $ue se! mayo!, cuanto mayo! @aya sido el núme!o de casos obse!5ados. !aonamientos +naló(icos:
A'e basan en la compa!aci&n de dos o ms ob0etos $ue tienen en común mas de una p!opiedad o ca!acte!stica. A)s el fundamento de nuest!os !a*onamientos o!dina!ios en los $ue, a pa!ti! de e;pe!iencias pasadas, disce!nimos lo $ue puede pasa! en el futu!o, Co siendo segu!os. Aa!ten de p!emisas mas o menos gene!ales y llegan tambiBn a una conclusi&n gene!al, la cual !eali*a una p!e5isi&n sob!e el futu!o. EJEMPLO) de Ra3ona#eno Anal%#co: Pre#sa: os carneros no usan sus cuernos para de-enderse sino para luc)ar con otros mac)os y procrear unto a las )em&ras de la manada. Pre#sa: os toros se parecen a los carneros en muc)os aspectos, incluso en *ue tienen cuernos,
5onclus#n: entonces tam&i/n los poseen para luc)ar con otros mac)os y procrear unto a las )em&ras de la manada. Pre#sa: o *ue )a ocurrido en el pasado ocurrir0 en el -uturo. Pre#sa: n el pasado, cada $e *ue ocurrió + ocurrió tam&i/n . 5onclus#n: n el -uturo, cada $e *ue ocurra + ocurrir0 tam&i/n .
"VERDAD / VALIDEZ" o
o
o
*olo pueden predicarse de la proposiciones y de los razonamientos deductivos, dado que no son verdaderos o falsos , sino validos o inválidos. La verdad o la falsedad de la conclusión no determina la validez o la invalidez de un razonamiento. + la verdad de un razonamiento tampoco garantiza la verdad de la conclusión.
P%5: Pre#sa: Todos los a6'eros +7 son de san%re cal#ene 7 Pre#sa: Todos los animales de san%re cal#ene 7 son 4erebrados C7 5onclus#n: Todos los a6'eros +7 son 4erebrados C7
+7a*onamiento 5alido con p!emisas y conclusi&n 5e!dade!a Premisa: &odos los perros son reptiles Pre#sa: +l(unos reptiles ladran 5onclus#n: Todos los perros ladran.
+7a*onamiento l&gicamente 5alido, po!$ue se pa!te de p!emisas falsas y se llega a una conclusi&n 5e!dade!a7 Pre#sa: Todos los a6'eros +7 son de san%re cal#ene 7 Pre#sa: Todos los animales de san%re cal#ene 7 son 4erebrados C7 5onclus#n: Todos los a6'eros C7 se des(la3an 7
+La conclusi&n +apa!ente no se desp!ende de las p!emisas. Co @ay !elaci&n ent!e ellas. pa!eci& un nue5o tB!mino #despla*a!se# $ue no se encuent!a en las p!emisas y $ue apa!entemente son $erdaderas. o! eso se @a establecido una ley de la l&gica $ue e;p!esa $ue NO podemos saber cuando un razonamiento es válido o inválido solamente por el contenido de las premisas y las conclusiones $ue como 5emos a$u son 5e!dade!os, sino por su forma.
)n est!icto sentido no es un !a*onamiento, CI VLI- CI ICVDLI-. Pre#sa: Todo perro es $erte&rado Pre#sa: Todo ca&allo es $erte&rado 5onclus#n: Todo perro es ca&allo
+7a*onamiento in5lido> po! se! las p!emisas 5e!dade!as y la conclusi&n falsa. Leer más( ttp(--.monograas.com-traba'os/0-premisas1 conclusiones-premisas1conclusiones2.stml3i%zz2ilRgave
4ntroducción a la Lógica
por S!ean 0aner ) S!e-en R$ Cos!enole
1$ Argumen!os ) 2rueas Ea @emos tenido un gusto de p!uebas en 'ecci&n . )n esta secci&n, @acemos ms p!eciso lo $ue @acamos all, y ganamos ms p!ctica en la elabo!aci&n de las p!uebas. )n el e0emplo de la secci&n ante!io! 5imos el siguiente a!gumento. a q b q
5a b6 q
!ecisamente, un ar(umento es una lista de p!oposiciones llamadas premisas seguidas de una p!oposici&n llamada la conclusión. +e!mitimos la lista de p!emisas a esta! vacía, como en el e0emplo 3 en la secci&n ante!io!. -ecimos $ue un a!gumento es $0lido si la con0uncci&n de sus p!emisas implica a su conclusi&n. )n ot!as palab!as, la 5alide* significa $ue si todas las premisas son verdaderas, entonces también es verdadera la conclusión. La 5alide* de un a!gumento no ga!anti*a la 5e!dad de sus p!emisas, po! lo $ue no ga!anti*a la 5e!dad de su conclusi&n. '&lo ga!anti*a $ue la conclusi&n se! 5e!dade!a si las p!emisas son 5e!dade!as. Argumen!os ) Vali&e#
Fn ar(umento es una lsta de p!oposiciones llamadas premisas seguida po! una p!oposici&n llamada la conclusión. $7 $2 $0 ..... $r
8
'e dice $ue el a!gumento es $alido si la p!oposici&n 5$7 $2 . . . $r6 8
es una tautologa. )n ot!as palab!as, 5alide* significa $ue si todas las p!emisas son 5e!dade!as, entonces la conclusi&n debe se! 5e!dade!a. Pregunta $ara demostrar la validez de un argumento como( a q
b q
5a b6 q Lo que tenemos que acer es comprobar que la proposición 95a q6 5b q6: 95a b6 q: es una tautolog"a. $ara demostrar que un argumento es valido necesitamos construir una tabla de verdad, ;correcto<
Respuesta =ien, esto funcionar"a, pero ay barios problemas. $rimero, La tabla de verdad puede llegar a ser bastante grande. La tabla de verdad para 95a q6 5b q6: 95a b6 q: tiene oco las y nueve columnas. >dicionalmente, las cosas empeoran rápidamente, ya que cada variable adicional redobla el número de flas.
'egunda, comp!oba! la 5alide* de un a!gumento po! mecnicamente const!ui! una tabla de 5e!dad es casi completamente sin intuici&n> no da ninguna idea buena po! $uB un a!gumento es 5alido. Cos concent!a!emos en una fo!ma alte!nati5a pa!a demost!a! $ue un a!gumento es 5aldo, llamado una prue&a, $ue es muc@o mas inte!esante y te dice muc@o ms de lo $ue est pasando en el a!gumento. o! último, mient!as $ue las tablas de 5e!dad son suficientes pa!a comp!oba! la 5alide* de p!oposiciones en el clculo p!oposicional, no t!aba0an pa!a el clculo de p!edicados $ue comen*a!emos a discuti! en la siguiente secci&n. o! lo tanto, no funcionan tablas de 5e!dad en los a!gumentos matemticos !eales. Fno de nuest!os moti5os ulte!io! es demost!a! !ealmente lo $uB @acen los matemticos" %!ean p!uebas. Pregunta =ueno, ;?u! es una prueba< Respuesta 4nformalmente, una prueba es una forma de convencerte que la conclusión se desprende de las premisas, o la conclución debe ser verdadera si son verdaderas las premisas. @ormalmente, una prueba es una lista de proposiciones, generalmente a partir de las premisas, en la que cada proposición que no es una premisa debe ser verdadera si las proposiciones anteriores son verdaderas. n particular, la verdad de la última proposición, la conclusión, debe seguir de la verdad de la primeras proposiciones, las premisas. ;8ómo sabemos que cada proposición se desprende de las anteriores< 8itamos una regla de inferencia garantizando que es as".
2rueas
Fna prue&a de un a!gumento es una lista de p!oposiciones, y cada uno de ellos se obtiene de las p!oposiciones ante!io!es utili*ando una de las !eglas de infe!encia T1, T2, ', %, o . La ultima p!oposici&n de la p!ueba debe se! la concluci&n del a!gumento.
E'em,lo 8omo un e'emplo, tenemos las siguientes pruebas del argumento dado anterior mente, que consideramos en la sección anterior( 7. a q
$remisa
2. b q
$remisa
0. Aa q
7, *itceroo
B. Ab q
2, *itceroo
C. 5Aa q6 5Ab q6
0,B Regla 8
/. 5Aa Ab6 q
C, Ley Distributiva
E. A5a b6 q
/, De Forgan
G. 5a b6 q
E, *itceroo
Pregunta stoy convencido de que las pruebas puede ser una cosa buena, pero aún as" me siento un poco esc!ptico. ;?u! tiene que ver una prueba con la validez de un argumento< Respuesta $or un lado, una prueba establece la validez de un argumento. La rázon es que, en una prueba, cada l"nea debe ser verdadera si las l"neas anteriores son verdaderas. n particular, la verdad de las primeras l"neas, las premisas, implica la verdad de la última l"nea, la conclusión. $or lo tanto una prueba muestra que un argumento es válido. Fuco meno obvio, pero tranquilizador, es el eco de que cada argumento válido en el cálculo proposicional tiene una prueba. n otras palabras, un argumento es válido si y soló si ay una prueba de ello.
La única mane!a de ap!ende! a @alla! p!uebas es 5iendo muc@o e0emplos y @aciendo muc@a p!actica. )n los e0emplos siguientes t!ata!emos de da!te algunos conse0os a medida $ue a5ancemos.
E'em,lo 3 Modus Ponens
!ueba el a!gumento 5lido" 5p q6 5r s6 p q
r s
Solución $rimero, compruebe para ver si ay reglas de inferencia que dará la conclución en un sólo paso. *i vemos el argumento con la forma( > = >
=
5emos $ue esto es nada ms $ue Godus onens. s obtenemos la siguiente p!ueba en un s&lo paso" 7. 5p q6 5r s6
$remisa
2. p q
$remisa
0. r s
7,2 Fodus $onens
Antes de seguir... >qu" tenemos un caso en el cual una prueba es muco más corta que una tabla de verdad. +a que ay cuatro variables, la tabla de verdad tendr"a 7/ las. >demás, la prueba demuestra que el argumento es sólo una versión elaborada de Fodus $onens.
Godus onens y Godus Tollens, tal 5e*, son los $ue ms utili*an las !eglas de infe!encia. -ebes acostumb!a!te a busca! situaciones en las $ue puedes aplica! estas !eglas. E'em,lo 4 Modus Tollens $rueba el siguiente argumento válido.
p q r 5Ap6
Ar
Solución *i miras la segunda premisa y la conclusión, estas tentado u sar Fodus &ollens. *in embargo, para acerlo esto tendr"as que saber que p es verdadera, ya que Fodus &ollens nos dice que p y r 5Ap6 'untos nos dan Ar. ;8ómo conseguiremos p por s" misma< +a que nos a dado p q, podemos usar *implicación. >s", conseguimos la siguiente prueba. 7. p q
$remisa
2. r 5Ap6
$remisa
0. p
7, *implicación
B. Ar
2, 0 Fodus &ollens
Antes de seguir... &en en cuenta que, al pensar en como acer la prueba, traba'amos acia atrás de lo que quer"amos. sta es una t!cnica enormemente útil. > veces es necesario traba'ar acia adelante de lo que queremos y tambi!n ac"a atrás de lo que quer"as, asta que los dos se encuentren en el medio.
E'em,lo 42 Practica con Modus Ponens y Modus Tollens &rata de encontrar una estrategia para completar la prueba siguiente sin mirar las opciones en los pasos individuales. Luego selecciona los pasos correctos y su 'usticaciones. 5$odr"an no corresponden e%actamente a la prueba que tienes en mente, pero tener una estrategia le ayudara a tomar las decisiones correctas6. 7. A5r s6
$remisa
2. 5Ap6 5r s6
$remisa
0.
B. p q
7egla % 0uega un papel impo!tante en la siguiente p!ueba. E'em,lo 5 Regla C invocada $rueba el siguiente argumento válido. p a p b p
a b
Solución
odemos obtene! ambas a y b indi5idualmente usando Godus onens. a!a obtene! su con0unci&n, todo lo $ue necesitamos @ace! es in5oca! !egla %. 7. p a
$remisa
2. p b
$remisa
0. p
$remisa
B. a
7, 0 Fodus $onens
C. b
2, 0 Fodus $onens
/. a b
B, C Regla 8
E'em,lo 6 Estrategia $rueba el siguiente argumento válido. p 5q r6 p Ar
q
Solución $ensamos en una estrategia para ayar la prueba. $rimero e%aminamos lo que necesitamos.
+1 Cesecitamos $. )l único luga! $ue $ se p!oduce es en la p!ime!a lnea como pa!te de la consecuente. odemos obtene! $ ! utili*ando las dos p!ime!as lneas y Godus onens. +2 @o!a sabemos $ue podemos obtene! $ !. a!a obtene! s&lo $, necesitamos e;clui! !. )sto es posible con la p!emisa H!, y 'ilogismo disyunti5o. s obtenemos la siguiente p!ueba" 7. p 5q r6
$remisa
2. p
$remisa
0. Ar
$remisa
B. q r
7, 2 Fodus $onens
C. q
0, B *ilogismo Disyuntivo
Antes de seguir... Hna ves más, observe el proceso de pensamiento de ida1y1vuelta( 8omenzamos a traba'ar acia atrás de q# traba'ando acia adelante vemos que fácilmente podemos obtener q r. &raba'ando acia atrás desde q otra vez, notamos que el silogismo disyuntivo ar"a que al nal se encuentren los e%tremos.
E'em,lo 7 Más de la estrategia $rueba el siguiente argumento válido( 5p r6 5s t6 p
t
Solución >qu" está una estrategia.
+1 Cecesitamos t. )sto ocu!!e en la consecuente de la p!ime!a p!emisa. od!amos @ace! esto usando Godus onens si supiB!amos $ue p ! es 5e!dade!a. +2 Todo lo $ue sabemos es $ue p es 5e!dade!a en la segunda p!emisa. e!o la !egla de adici&n nos da! p !. +3 l combina! +1 y +2 obtenemos el consecuente, s t. a!a obtene! solo t, entonces podemos usa! simplificaci&n" 7. 5p r6 5s t6
$remisa
2. p
$remisa
0. p r
2, >dición
B. s t
7, 0 Fodus $onens
C. t
B, *implicación
E'em,lo 72 Practica con estrategia &rata de encontrar una estrategia para completar la prueba de aba'o sin mirar las opciones en cada paso individual. 5$ista( trata de traba'ar acia atrás de q.6 ntonces selecciona los pasos correctos y las 'usticaciones. 5$odr"an no corresponden e%actamente a la prueba que tienes en mente, pero tener una estrategia le ayudara a tomar las decisiones correctas6. 7. A5r s6
$remisa
2. 5Ap6 s
$remisa
0. p q
$remisa
B. C. /. E. q
E'em,lo 1 Trabajando hacia atrás $rueba el siguiente argumento válido( a 5b c6
Ab
Aa
Solución 576 )ecesitamos Aa, que se presenta como la negación del antecedente de la primera premisa. $odemos obtener esto usando Fodus &ollens, siempre que sab"amos que la conclusión b c, es falsa.
+2 o! lo tanto, tenemos un nue5a meta" muest!a H+b c. )sto es igual a Hb Hc po! -e Go!gan. +3 @o!a !econocemos $ue podemos utili*a! dici&n pa!a obtene! Hb Hc po! Hp. @o!a podemos obtene! la p!ueba po! pasando po! esta secuencia de pasos @acia at!s" 7. a 5b c6
$remisa
2. Ab
$remisa
0. Ab Ac
2, >dición
B. A5b c6
0, De Forgan
C. Aa
7, B Fodus &ollens
Antes de seguier... sta vez emos traba'ado completamente acia atrás. *in embargo, debemos escribir la prueba acia adelante. sta es una que'a común cuando los estudiantes comienzan acer pruebas en la lógica simbólica o en las matemáticas. La prueba no sigue el tren del pensamientos que se encuentra allando la solución. @recuentemente, el proceso de pensamiento es e%actamente el reverso de lo que sugiere la prueba.
t!o punto a tene! en cuenta es $ue @ay muc@as p!uebas dife!entes de un a!gumento 5lido. $u esta ot!a p!ueba del a!gumento ante!io!" 7. a 5b c6
$remisa
2. Ab
$remisa
0. A5b c6 5Aa6
7, 8ontrapositiva
B. Ab Ac
2, >dición
C. A5b c6
B, De Forgan
/. Aa
0,C Fodus $onens
%onst!ui! una p!ueba es como 0uga! una pa!tida de a0ed!e*. Cecesitas escoge! los mo5imientos co!!ectos, de todos los $ue son posibles, pa!a llega! a tu ob0eti5o.
E'em,lo 8 Trabajando hacia adelante $rueba el siguiente argumento válido. s r 5p q6 Ar 5As6 5Aq r6 p
q
Solución 576 )ecesitamos q, lo que ocurre en la segunda y en la tercera premisas. )o es claro en absoluto en cual premisa concentrarse, as" que vamos a regresar al principio y ver lo que podemos conseguir.
+2 La p!oposici&n ms simple es la última, $ue dice $ue p es 5e!dade!a. +3 La segunda p!emisa dice, despuBs de $ue usamos dici&n pa!a obtene! p $, $ue H! es 5e!dade!a. +4 La p!ime!a p!emisa dice, po! Godus Tollens, $ue Hs es 5e!dade!a. + )sto enca0a pe!fectamente en la te!ce!a p!emisa, $ue dice +H$ ! es 5e!dade!a. +6 e!o ya sabemos de +3 $ue H! es 5e!dade!a. o! lo tanto, po! Godus Tollens, H+H$ $ es 5e!dadJ asando po! estos pasos nos da la p!ueba siguiente"
7. s r
$remisa
2. 5p q6 Ar
$remisa
0. As 5Aq r6
$remisa
B. p
$remisa
C. p q
B, >dición
/. Ar
B, 2 Fodus $onens
E. As
7, / Fodus &ollens
G. Aq r
0, E Fodus $onens
I. q
/, G Fodus &ollens
%omo se muest!a en el e0emplo ante!io!, no todas las p!uebas son fciles de @alla!. 5eces tiene $ue 0uguetea! un poco pa!a @alla! una. 'i la lnea del a!gumento no te da !esultados, e;pe!imenta con algo ms. $u estn algunas cosas pa!a pode! ayuda!te f!ecuentemente" Conse'os ) sugerencias generales
%omo una est!ategia gene!al, t!ata de t!aba0a! @acia at!s de la concluci&n y @acia delante de las p!emisas @asta $ue tus caminos de !a*onamiento se encuent!en en algún punto en el cent!o. $u estn algunas tBcnicas especificas pa!a manipula! las p!oposiciones. 3$ Reemplaza una implicación por su contrapositiva. 4$ Hsa la ley De Forgan para reescribir una con'uncción o una disyunción. 5$ Hsa la ley De Forgan para reescribir una negación de una con'unción o una disyunción. 6$ &rata de usar cualquiera de las otras equivalencias tautológicas para reescribir una proposición. 7$ &oma un descanso para tomar caf! para despe'ar tu cabeza.
'ob!e todo, ser persistente K+5uel5a del descanso de toma! cafB y 5uel5a a t!aba0a!J E'em,lo 82 Practica con argumentos s posible llegar a dos pruebas dierentes al acer las decisiones correctas. Je si puedes encontrar a ambas.
7. 5p q6 5r s6
$remisa
2. Ar
$remisa
0. B. C. /. E. Ap
)l siguiente a!gumento bsicamente afi!ma $ue si pe!mitimos una sola cont!adicci&n en un a!gumento, entonces todo es posible. +Fna p!ueba apa!eci& al final de los e0e!cicios de la última secci&n, pe!o es bastante inte!esante pa!a 0ustifica! ms inspecci&n. E'em,lo 9 Argumento resbaladio $rueba y comenta sobre el argumento( p 5Ap6
q
Solución
Ten en cuenta $ue la p!emisa p +Hp es una cont!adicci&n. 'i esc!ibes la tabla de 5e!dad pa!a p +Hp/ $, puedes 5e! po! $ue este es un a!gumento 5lido. e!o 5amos a t!ata! de encont!a! una p!ueba. +1 La fo!ma ms fcil de empe*a! es utili*a! simplificaci&n pa!a #!ompe!# la p!oposici&n p +Hp en las dos p!oposiciones indi5iduales p y Hp. +2 Cota $ue $ no ocu!!e en cual$uie! pa!te ent!e en las p!emisas. Fna mane!a en la $ue lo podemos consegui! de la nada es utili*a! dici&n, as 5amos a t!ata! de a
$remisa
2. p
7, *implicación
0. Ap
7, *implicación
B. p q
2, >dición
C. q
0, B *ilogismo Disyuntivo
Antes de seguir... )ota que esta prueba es muco más corta que la prueba en los e'ercicios anteriores. sto ilustra una vez más el eco que puede ser varias pruebas diferentes del mismo argumento. La prueba más simple 5lo que generalmente signica una mas corta6 se considerada la más elegan!e.
Tmbien debemos comenta! sob!e el a!gumento. Ve! la p!emisa" )st afi!mando la cont!adicci&n $ue ambos p y Hp son 5e!dade!as. Lo $ue dice el a!gumento es $ue, una 5e* $ue se pe!mite una cont!adicci&n en un a!gumento, todo es verdad . Cota $ue la concluci&n, $ no tiene nada $ue 5e! con la p!emisa. )sto est !elacionado con el @ec@o $ue un antecedente falso implica cual$uie! consecuente, 5e!dade!o o no. $u est un e0emplo" #'i 9 = 1, entonces soy el !ey de Inglate!!a# es un p!oposici&n 5e!dade!a sin impo!ta! $uien lo dice. a!a esc!ibi! esto como un a!gumento, 5amos a toma! p pa!a la p!oposici&n #9 = 1# y $ pa!a la p!oposici&n #'oy el !ey de Inglate!!a#. )ntonces nuest!a p!oposici&n es e$ui5alente al a!gumento. p
q
ie;ecl>e!o eso no es todoJ %omo matemticos, sabemos $ue la p!oposici&n p es falsa, entonces Hp es una p!oposici&n 5e!dade!a. o! lo tanto !ealmente a!gumentamos esto" p Ap
q
o! !egla %, esto !ealmente es igual a" p 5Ap6
q
lo $ue sabemos es 5lido.
asta aora, todos los argumentos que emos visto resultaron ser válidos. ;$ero quien dice que todos los argumentos son válidos<
E'em,lo : !n argumento iválido Fuestra que el argumento p q q
p no es 5lido.
Solución
Las p!uebas s&lo se pueden utili*a! pa!a most!a! $ue un a!gumento es 5lido. 'i t!atamos de p!oba! este a!gumento, no demost!a!s nada. )s pa!ecido al Godus onens, e;cepto $ue 5a @acia at!s. )s pa!ecido al Godus Tollens, pe!o fallan las negaciones. '&lo se 5e mal, y as es. a!a most!a! $ue un a!gumento es i5lido, necesitamos encont!a! un contraeemplo. )sto es un a desicnaci&n de 5alo!es de 5e!dad a las 5a!iables tal $ue las p!emisas son 5e!dade!as, pe!o la conclusi&n falsa, demost!ando $ue la concluci&n no sigue de las p!emisas. )n este caso, pa!a $ue sea falsa la concluci&n, necesitamos $ue p sea ?. a!a $ue sean 5e!dade!as las p!emisas necesitamos $ue $ sea V. Todo lo $ue tenemos $ue @ace! es comp!oba! $ue todas las p!emisas son 5e!dade!as" La p!ime! p!emisa es p $, $ue es 5e!dad cuando p es ? y $ es V. )ste es nuest!o cont!ae0emplo.
Fn cont!ae0emplo es ms 5i5ido si lo ilust!amos con p!oposiciones conc!etas. a!a p, $ue debe se! ?, tomemos las p!oposici&n #9 = 1.# a!a $, $ue debe se! V, tomemos la p!oposici&n #la tie!!a es !edonda#. Cuest!o a!gumento entonces tiene la siguiente, e5identemente !idcula, fo!ma" *i K 7, entonces la tierra es redonda.
1 Jerda dera
La tierra es redonda.
1 Jerda dera
K7
Antes de seguir... ste argumento una alacia común conocida como la alacia &e a;rmar el consecuen!e, o la alacia &e la con-ersa, ya que parece que viene de una confución de p q con su conversa q p. 5*i fuera la primera premisa q p, entonces el argumento ser"a un e'emplo val"do del Fodus $onens6. >qu" está una ilistración, adaptada de Lógica( Hn enfoque iválido por David Farans, de este argumento iválido para concluir algo que, por casualidad, es verdadera( *i Fiami está en @lorida, está en los H>. $ero Fiami s" está en los H>.
Fiami está en @lorida.
u$ue la conclusión es 5e!dade!a, el argumento sigue siendo in5lido +bsicamente po!$ue podemos utili*a! el mismo a!gumento pa!a deduci! conclusiones falsas a pa!ti! de p!emisas 5e!dade!as como 5imos en el cont!ae0emplo. $ara una discusión informativa sobre mucos tipos diferentes de argumentos inválidos, por favor visita la página lógica de David Farans. n realidad, este v"nculo es necesario para aquellos que se sientan incómodos con la idea de que la conclución en un argumento
1 @alsa
lógicamente inválido puede ser verdadera 5y que la conclución en un argumento lógicamente válido puede ser falsa6.
E'em,lo 3< "#álido o inválido$ Decida si los argumentos siguientes son válidos. *i un argumento es válido, da una prueba# si o no es valido, da un contrae'emplo. 5a6 8ada reacción qu"mica irreversible disipa el calor. $or lo tanto, si una reacción qu"mica es reversible, no disipará el calor. 5b6 La luna es de queso azul. *i la luna es de queso azul, debe ser gorgonzola. $or lo tanto, la luna está eca de gorgonzola.
Solución
a!a anali*a! cual$uie! a!gumento dado en palab!as p!ime!o lo t!aducimos en una fo!ma simb&lica. +a La p!ime!a f!ase @abla sob!e dos aspectos de una !eacci&n $umica, si es i!!e5e!sible y si disipa el calo!. 'ea p" #esta !eacci&n $umica es i!!e5e!sible# y $" #esta !eacci&n $umica disipa el calo!.# )ntonces la p!ime!a p!oposici&n es p $. La concluci&n es la implicaci&n +Hp +H$. o! lo tanto, el a!gumento es, en fo!ma simb&loca, lo siguiente. p q
5Ap6 5Aq6
)ste a!gumento puede !eco!da!nos de la !egla de la cont!apositi5a. 'in enba!go, la concluci&n es al !e5Bs, ya $ue la cont!apositi5a de p $ es +H$ +Hp. )sto sugie!e $ue el a!gumento es in5lido, y po! lo tanto, 5amos a t!ata! de encont!a! un cont!ae0emplo. Cuest!o cont!ae0emplo debe @ace! 5e!dade!a la p!emisa pe!o falsa la conclusi&n. La única mane!a de @ace! una implicaci&n falsa es pa!a $ue el antecedente sea 5e!dade!o y el consecuente falso, as lo $ue debemos obtene! Hp 5e!dade!a y H$ falsa. )n ot!as palab!as, p debe se! falsa y $ 5e!dade!a. fo!tunadamente, esto @ace $ue la p!emisa sea 5e!dade!a, po! lo $ue @emos encont!ado nuest!o cont!ae0emplo. )n tB!minos de los significados $ue asignamos a p y $, un cont!ae0emplo da!a una !eacci&n $umica $ue es !e5e!sible pe!o disipa calo!. 'i $ue!emos e;p!esa! el cont!ae0emplo en una mane!a ms inmediatamente comp!ensible, podemos pone! pa!a p" #esta c!iatu!a es un caballo# y $" #esta c!iatu!a
es un mamfe!o#. Fn cont!ae0emplo se!a dado po! cual$uie! c!iatu!a $ue no es un caballo pe!o $ue es mamfe!o, po! e0emplo un pe!!o. lte!nati5amente, elegimos p = #9 = 1#, y $ = #la luna es !edonda#. )ntonces se con5ie!te en el a!gumento" *i K 7, entonces la luna es redonda.
*i K 7, entonce la luna no es redonda. 5b6 &omamos p( MLa luna esta eca de queso azulM. q( M La luna esta eca de gorgonzolaM. ntonces el argumento tiene la siguiente forma. p p q
q Jemos que esto es soló una aplicación de Fodus $onens, por lo que el argumento es val"do 5N>uque la conclusión es falsaO6
Antes de seguir... n 5a6, la conclución del argumento original es verdadero( Las reacciones qu"micas reversibles no disipan el calor. *in embargo, el argumento utilizado para llegar a esta conclución es inválido. n la parte 5b6, una premisa y la conclusión son falsas 5una de las premisas es verdadera. ;Je cual<6 y sin embargo el argumento utilizado para llegar a la conclución falsa es valida. sto sePala la diferencia entre la -er&a& y la -ali&e#. La validez de un argumento depende únicamente de su forma. La validez le asegura que si la premisas resultan ser verdadera para alguna interpretación de las variables, entonces la conclución tambi!n será verdadera. La validez no dicen nada sobre si o no las premisas son verdaderas, tampoco dice lo que sucede cuando una premisa es falsa. Del mismo modo, si el argumento es inválido no necesariamente signica que la conclusión es falsa, sólo que su verdad no sigue de la verdad de las premisas.
E'em,lo 3<2 Practica con Contraejemplos l siguiente argumento es inválido.
1 Jerda dera
1 @alsa
*i la luna está eca de queso verde, entonces los cerdos pueden volar o c"rculos son redondos. Los cerdos no puedes volar. $or lo tanto, la luna no está eca de queso verde.
$u est la fo!ma simb&lica del a!gumento. p 5q r6 Aq
Ap
@o!a eli0a p!oposiciones alte!nas !ep!esentadas po! p, $, y ! pa!a demost!a! $ue a!gumento es falso. +uede @abe! ms de un con0unto de opciones co!!ectas. Cecesitamos una pista. p( q( r(
)l siguiente e0emplo se !ecue!da del tipo del p!egunta $ue apa!ece f!ecuentemente en las p!uebas de aptitud +como la L'T. E'em,lo 33 Raonamiento l%gico
-ecida si o no el siguiente a!gumento 5lido. 'i es 5alido, entonces da una p!ueba> si no es 5alido, entonces da un cont!ae0emplo. 8uando >le%is asiste a clases de matemáticas, sus ermanas de ermandad Quppy y Desmorelda tambi!n asisten. +a que Desmorelda está enamorada de Lue, la asistencia de Lue a clases es una condición suciente para que tambi!n asista Desmorelda. $or otra parte, para Desmorelda asistir a clases es necesario que >le%is tambi!n asista 5como ella necesita ablar con alguien durante la parte aburrida de la clase6. $or lo tanto, Lue no asista a clases a menos que Quppy asista tambi!n.
Solución
La única mane!a pa!a $ue tenga sentado en absoluto todo esto es pa!a pode! t!aduci!lo a smbolos. a!a @ace!nos la 5ida ms fcil, debemos elegi! la p!ime!a let!a del nomb!e de cada pe!sona pa!a simboli*a! su asistencia a clases de