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CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS NUMERICOS INTRODUCCIÓN Los números se pueden representar en distintos sistemas de numeración que se diferencian entre si por su base. Así el sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de base 8 y el headecimal de base 1!. "l dise#o de todo sistema di$ital responde a operaciones con números discretos y por ello necesita utili%ar los sistemas de numeración y sus códi$os. "n los sistemas di$itales se emplea el sistema binario debido a su sencille%. &ualquier número de cualquier base se puede representar mediante la si$uiente ecuación polinómica'
N a1 b n a2 b n
1
a3 b n
2
...
a0 b 0 a 1
b 1
...
(iendo b la base del sistema de numeración. (e cumplir) que b*1+ ai es un número perteneciente al sistema que cumple la si$uiente condición' 0 ≤ ai
ÍNDICE
SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.1. Sistema Decimal 1.2. Sistema ina!i" 1.#. Sistema Octal 1.$. Sistema %e&a'ecimal 1.(. C"n)e!si"nes 1.*. E+e!cici"s ,!",-est"s 1.1. SISTEMA DECIMA (u ori$en lo encontramos en la ndia y fue introducido en "spa#a por los )rabes. (u base es 10. "mplea 10 caracteres o dí$itos diferentes para indicar una determinada cantidad' 0, 1, 2, -, , /, !, , 8, . "l alor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece. 3e)moslo con un e4emplo' 136 10 136 ,42 10 1 10 2 1 10 2 3 10 1 6 10 0 4 10 1
3 10 1 6 10 0 2 10 2
1.2. SISTEMA INARIO "s el sistema di$ital por ecelencia, aunque no el único, debido a su sencille%. (u base es 2 "mplea 2 caracteres' 0 y 1. "stos alores reciben el nombre de bits 5dí$itos binarios6. Así, podemos decir que la cantidad 10011 est) formada por / bits. 3eamos con un e4emplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la epresión polinómica dar) su equialente en el sistema decimal' 10011 2
1.#. SISTEMA OCTA 1 10 4 0 10 3 0 10 2 1 10 1 1 10 0 19 10
2 7osee ocho símbolos' 0, 1, 2, -, , /, !, . (u base es 8. "ste sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conersión al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 2- . Así, para conertir un número de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equialente binario en el apartado 1./. &onersiones se estudiar) esta conersión.
1.$. SISTEMA %E/ADECIMA. %E/ADECIMA.
"st) compuesto por 1! símbolos' 0, 1, 2, -, , /, !, , 8, , A, 9, &, :, ", ;. (u base es 1!. "s uno de los sistemas m)s utili%ados en electrónica, ya que adem)s de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden epresar en cuatro bits binarios al ser 1! 2. La conersión de un número headecimal a uno binario es muy sencilla al i$ual que en el sistema octal, profundi%aremos en ello en el apartado 1./.
1.(. CONVERSIONES CONVERSIONES CONVERSIÓN ENTRE INARIO 0 DECIMA
(i la conersión es de binario a decimal, aplicaremos la si$uiente re$la' se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dí$itos cuyo alor sea 1. 3eamos dos e4emplos' 1011112 1.2/<0.2<1.2-<1.22<1.21<1.20 10 101012 1.2<0.2-<1.22<0.21<1.20 2110 (i la conersión es de decimal a binario, aplicaremos la si$uiente re$la' se toma la cantidad decimal dada y se diide sucesiamente entre 2. Los restos obtenidos en cada diisión 50, 16, forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. (e presentaran los e4emplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utili%ar el sistema tradicional de diisión con el editor' => :ecimal 10 /2! 1! 9ase 2 2 2 2 2 2 &ociente /2! 1! 1 ?esto 1 1 0 1 0 1 ;racción @ultiplicado ?esultado decimalpor' &uando ten$amos un número con decimales se$uiremos el si$uiente procedimiento' multiplicaremos por 2 la parte decimal y se toma como dí$ito binario su parte entera. "l proceso se repite con la fracción decimal resultante del paso anterior, hasta obtener una fracción decimal nula, o bien hasta obtener el número de cifras binarias que se desee. "4emplo' 10,!/. &omo anteriormente conertimos 10 a binario, el resultado de la conersión quedaría así' 0,!/ 0,20 0,/80 0.1!0 0,-20 0.! 0.28
0./! 2 2 2 2 2 2 2 2 1,20 0,/80 1,1!0 0,-20 0.! 1.28 0./! 1.12 :í$ito binario 1 0 1 0 0 1 0 1 113
111112
111114 1111 2
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CONVERSIÓN ENTRE OCTA 0 INARIO (i la conersión es de octal a binario cada cifra se sustituir) por su equialente binario. endremos endremos en cuenta la si$uiente tabla para hacer la conersión de modo m)s r)pido'
Ca!5cte! "ctal 0 1 2 / !
N6 bina!i" 000 001 010 011 100 101 110 110 111 111
E+em,l"7 ((4#(8 Res-lta'"7 11 114 11 11 2 (i la conersión es de binario a octal se reali%a de modo contrario a la anterior conersión, a$rupando los bits enteros y los fraccionarios en $rupos de - a partir de la coma decimal. (i no se consi$uen todos los $rupos de tres se a#adir)n, los ceros que sean necesarios al último $rupo, e)moslo con un e4emplo' E+em,l"7 1111111411111 2 Bbsera como ha sido necesario a#adir un cero en la última a$rupación de la parte entera y otro en la parte fraccionaria para completar los $rupos de - dí$itos.
CONVERSIÓN ENTRE OCTA 0 DECIMA
Res-lta'"7 ##4*8
A$rupación 010 011 111 111 , 111 111 110 110 "quialente octal 2 , ! (i la conersión es de octal a decimal se proceder) como obseras en el e4emplo' 08 .82<.81<0.80 8010 (i la conersión es de decimal a octal se proceder) de modo similar a la conersión de decimal a binario, pero diidiendo entre 8. &omprueba los resultados en el si$uiente e4emplo' $2*1 3 *(28
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CONVERSIÓN ENTRE INARIO 0 %E/ADECIMA La conersión entre binario y headecimal es i$ual al de la conersión octal y binario, pero teniendo en cuenta los caracteres headecimales, ya que se tienen que a$rupar de en . La conersión de binario a headecimal se reali%a se$ún el e4emplo si$uiente'
Sistema bina!i"
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Sistema %e&a'ecimal 0 1 2 / ! 8 A 9 & : " ; "4emplo' "4emplo ' 1011111 1011111,110001 ,1100012 A$rupando obtenemos el si$uiente resultado' 0101 111 1111, 1100 01002 (ustituyendo se$ún la tabla lo$ramos la conersión esperada' (94 C$1* La conersión de headecimal a binario simplemente sustituiremos cada car)cter por su equialente en binario, por e4emplo' *:DE1*3 11 11 111 111 2
1.*. E;ERCICIOS ROUESTOS 1. 7ara pasar de binario a decimal a6 110012 b6 10110110112 (olución' 2/10 (olución' -110 !. 7ara pasar de headecimal a binario a6 8!9;1! b6 2:/"1! (olución' (olució n' 100001101011 10000 110101111 1111 112 (olución' 00101101010111102 2. 7ara pasar de decimal a binario a6 8!10 b6 82!10 (olución' 11011001012 (olución' 10000011101010 100000111010102 -. 7ara pasar de binario a octal a6 1110101012 b6 11011, 012 (olución' 2/8 (olución' --,28
. 7ara pasar de octal a decimal a6 10!8 b6 28 (olución' 010 (olución' 8210 . 7ara pasar de octal a binario a6 20!!8 b6 12!8 (olución' 010000110110 0100001101102 (olución' (olució n' 001100010111 0 0110001011111 110 02 8. 7ara pasar de decimal a octal' a6 2-!10 b6 /2!10 (olución' -/8 (olución' 10128 /. 7ara pasar de binario a headecimal a6 1100010002 b6 100010,11 10001 0,110 02 (olución' 1881! (olución' 22,&
