1 Mamani Machaca 1 John E. Áreas Áreas Áreas Sombreadas Sombreadas Sombreadas Prof. Luis Cottos
Preparación al más alto nivel académico
ÁREAS DE REGIONES TRIÁNGULARES
ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
5. Área de un triangulo conociendo 2 lados y el ángulo comprendido. a
A =
h
A =
a⋅b Sen θ 2
A A
A =
h
h⋅ b 2
θ
º
b
p
=
a + b+ c 2
A
A =
h⋅ b 2
b
π⋅ r
A =
A
r
2
2
⋅α
h
360
A = b ⋅ h
= π
b
16. Área de un rombo.
( R2 − r2 )
D d
* A
A =
A
=
A =
r
R
m⋅ n
D⋅ d 2
B 2
n
4. Triángulo Equilátero
D 2
L
12. Área de una corona circular. *
R
7. Área de un triángulo rectángulo conociendo 2 segmentos de la hipotenusa.
A =
L
p( p − a )( p − b)( p− c )
=
L
r
c
3. Triangulo Rectángulo.
2
=
15. Área de un rectángulo.
α
a
D
L
r
b
h
= π⋅r
2
11. Área de un sector circular.
6. Área de un triángulo conociendo los tres lados.
2. Triángulo Obtusángulo
L
r
b
b
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES CUADRANGULARES
14. Área de un cuadrado
10. Área de un círculo.
1. Triángulo Cualquiera h⋅ b 2
ÁREAS SOMBREADAS
John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced
2 2
π(AB)
17. Área de un paralelogramo.
4 A = b ⋅ h
h
m 60º 2
L
L
A =
L
⋅
3
8. Área de un triángulo circunscrito.
4 a
60º
b
r
p=
a + b+ c 2
A
60º L
13. Área de una trapecio circular. *
=
R
r
A
=
πθ
360
b
18. Área de un trapecio. b
( R2 − r2 )
m h
p⋅ r
A = m ⋅ h
c
9. Área de un triángulo inscrito.
B + b ⋅ h 2
A =
B
*
19. Área de un cuadrilátero. H
L
L h
60º
60º
A =
h
2
⋅
3
3
b a
A = c
a⋅b⋅c 4R
L 1 + L 2 H 2
L 2
L 1 A =
r H
d θ
D
A =
D⋅ d ⋅ Sen θ 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
John Mamani Machaca Prof.E.Luis Cottos
3 3
9. En un paralelogramo.
PROPIEDADES
PROBLEMA 01
1. S=
A T
A T 4
2
S
S
S=
S
10. En un cuadrilátero.
2. S
S S
S
S
S
S=
A T
S
6
S=
A T 2
PROBLEMA 05
Si el área del cuadrado ABCD mide 40m , y Hallar el área sombreada si la figura es un cuadrado. PQRS son los puntos medios de los lados. a) 3(4π + 3 3) ¿Cuál será el área de figura sombreada? Q 2 b) 3(4π − 3) a) 25m C B 6 2 c) 3(4π −3 3) b) 15m 2
2
c) 30m
d) 40m e) 5m
3. S=
e) 3(π − 3)
2
D
A
S
4
S2
S1
S
4.
S1 + S 2 = S 3
S3 3S S
2S
S= 2S
A T
12. En un cuadrado
12
S=
A T 5
5. En un trapecio. S1 = S 2
2
e) a / 4
6. En un trapecio.
S
S1
S1 + S 2
S2
A T 20
2
b) 16m c) 14m
14. Lúnulas de Hipócrates.
e) 11m
2
4
2
d) 13m
S1 + S 2 = A ∆
S1
A T
A ∆
2
15. En un cuadrado
8. En un paralelogramo.
2
2
PROBLEMA 09
8
a) 2 3 / 3 Calcular el área sombreada si la figura es un b) 3 cuadrado. 2 c) 3 / 3 a) a / 2
S S
S=
A T 4
S= S
d) 2 3
2
b) a / 4 2
S
A T 30
la figura. Calcular el área sombreada.
PROBLEMA 04
c) 3a / 4
S
2 3
c) π 4 d) π 2 e) (π − 2) / 2
En
S2
7. En un trapecio. S=
θ
La grafica adjunta es un cuadrado cuyo lado mide 2. El área sombreada es: a) (π + 2) / 4 b) (π − 2) / 4
Hallar el área sombreada.
S=
S
θ θ
PROBLEMA 08
a
PROBLEMA 03
13. En un cuadrado
a) 12m
A T =
2 3
2
S
S2
Hallar el área sombreada si la figura es un a) π cuadrado. b) π − 2 2 a) a (π −2) / 4 c) 2π + 3 2 d) 3π − 4 b) a (π + 2) / 4 a e) 8π 2 c) a (π −1) / 4 d) a (π +1) / 4
4S
S1
PROBLEMA 07
Hallar el área de l a región sombreada.
PROBLEMA 02
A T
S S
d) 3(4π + 3)
R
P
2
11. Para áreas semejantes. S
ÁREAS SOMBREADAS
John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced
4 4
2
d) 3a / 2 2
e) a / 5
a
e) 3 3 / 2 60º 1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
John E. Mamani Machaca Prof. Luis Cottos
PROBLEMA 10
PROBLEMA 13
5 5
e) 2R 2 2
60º R
R
60º R
R
PROBLEMA 11
Hallar el área de l a región sombreada. a) 3(3π − 2) b) 3(π − 2) d) 3(π + 2) e) 3(4π − 2)
4
a) 64 b) 16 π c) 48 d) 32 π e) 80
4 4
3
b)
π+
3−
3
Halla el área limitada por la región marcada en: − π) a) 2 ( 3 3 −
A
D
2
2
2
2
PROBLEMA 22
Hallar el área de l a región sombreada.
b) 4 ( 3 − − π) c) 8 π
PROBLEMA 15
C
3
PROBLEMA 18
e) 4 3 + +π
El área de la región sombreada es igual a 15 veces el área de la región no sombrada y la suma de los perímetros de ambos cuadrados es 40. El área no sombreada es: PROBLEMA 12 a) 1 Un cubito sólido descansa en el fondo de una b) 2 prisma recto lleno de agua. Al extraer el c) 3 cubito la altura de agua disminuyen 1/8. d) 4 Hallar el área de l a región sombreada. e) 5
π− 3+
3m
B
d) 2π + 3 − 2 3 e) 3π − 3 − 2
2 d) 2 ( 2 3 − − π)
4
a)
c) 2π − 3 −
PROBLEMA 14
4
Hallar el área de la región sombreada si el lado del cuadrado es
4
En el siguiente cuadrado cuyo lado mide 4 determine el área de l a región sombreada. a) 2π b) 3π c) 4π d) 5π 4 e) 6π
4
c) 3(3π + 2)
PROBLEMA 21
Cuál es el área de la región marcada en:
16
ÁREAS SOMBREADAS
John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced
PROBLEMA 17
En la figura mostrada, sobre el lado mayor Halla el área de la región marcada. del paralelogramo se ha construido un semicírculo. Hallar el área de la región a) 256 – 52 π 4 sombreada b) 288 – 52 π c) 360 – 52 π 6 a) R 2 3 d) 256 + 52 π 2 b) R 2 d) 253 + 25 π c) R 2 d) 2R 2 3
6 6
a) b) c) d) e)
17 π − 30 15π − 28 15π − 30 18 π − 36 17 π − 32
.
2
PROBLEMA 19
. . 4
4
PROBLEMA 23
Si la figura es un cuadrado de lado 10, halla 7 el área marcada. (Asume que: 2 = ) 5
Si el área del círculo sombreado es
π
4
2
m .
Hallar el lado del cuadrado.
.
a) 4 π b) 2 π c) 8 π d) 5 π e) 10 π
PROBLEMA 16
Calcula el área de la región limitada por la estrella hexagonal formada únicamente por polígonos regular. 16
4
4
a) 8 3 4 2 4 2 a)
3
b) 4 3
d)
3 /2
e)
3/4
c) 8 3
b) 12 3 c) 64 d) 96
PROBLEMA 20
En la figura, calcula el área limitada por la región triangular marcada, si la figura mayor es un rectángulo.
a) 2 3 − 2 c) 3 2
+1
b) 3 2
+2
d) 2 2 + 3
e) 2 3 + 3
4
4
4
4
e) 16 3
4
4
4
a) 27 b) 36 c) 54 d) 60 e) 72
PROBLEMA 24
15
20
En la siguiente figura, hallar el área de la región sombreada sabiendo que el diámetro del circulo de centro O, mide 12 cm .
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 35 cm
2
b) 36 cm
2
c) 37 cm
John Mamani Machaca Prof.E.Luis Cottos a) d)
2
d) 38 cm
2
e) 34 cm
2
O d)
π
(21 − 8 3)
2 π
2 π
4
(50 − 29 3)
Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de "8a" cm de lado.
2 π
2
(57 − 32 3) (55 − 32 3)
En la figura, el segmento DE es tangente a la semicircunferencia, hallar el área sombreada. 2
a) 2a (5 − π)
2
b) 16a
2
b) 2a (4 − π)
+π
c) 2a (6 − π)
E
A
B
2
2
2
4a
2
d) 16a ( 4 + + π)
d) 2a (5 + π)
2
e) 8a ( 2 + π )
2
e) 2a (5 + 2π)
4a
D PROBLEMA 26
C
a) 2 ( π +
2)
En la figura mostrada, calcula el área del triángulo BCD si los triángulos ABC y CDE son equiláteros:
b) 2 ( π + c) 2 ( 2 + d) 4 ( 1 + e) 4 ( 2 +
2π + 1 )
a) 2 3
2π − 2π )
2
c)
2π )
d) 3 3 / 2 e)
PROBLEMA 27
Hallar el área sombreada, si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado 2.
B
2
C
2
A
D
B
PROBLEMA 35
Si el área del cuadrado es 64 m . Hallar el área del círculo. a) 3π b) 9π c) 4π d) 2π e) 12π PROBLEMA 32
D
3
Hallar el área de la región sombreada, si la figura es un cuadrado. a) 220 b) 300 c) 225 d) 250 e) 36
25
PROBLEMA 36
Halla el área limitada por la corona circular, si la cuerda AB que mide 6cm es tangente al círculo menor. A a) 9 π b) 8 π c) 16 π B d) 36 π e) 4 π
En la figura adjunta calcular el área de la figura sombreada
1
a) 42 b) 38 c) 40 d) 44 e) 46
12
20
PROBLEMA 37
Hallar el área de la región sombreada, si la figura es un cuadrado de la 8. a) 32(π − 2) b) 16(π − 3) c) 8(π + 4)
b) 3 3
2π − π )
PROBLEMA 31
PROBLEMA 33
PROBLEMA 29
Hallar el área sombreada, en la siguiente figura: 2
ÁREAS SOMBREADAS
John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced
8 8
2
(57 − 32 3)
a) 64a 2
e)
π
PROBLEMA 28
PROBLEMA 25
c) 4a
b)
7 7
d) 24(π − 1) e) 34(π + 2)
2
2
2
En la figura: 3u , 4u , 6u , y S son las áreas de las regiones mostradas. Hallar S. a) 8 4 b) 10 S 3 c) 9 d) 6 6 e) 7
E
A
2
3/2
1
PROBLEMA 34
C
PROBLEMA 38
Hallar el área de región sombreada, si la figura es un cuadrado.
Hallar el área de la región sombreada, si al figura es un cuadrado de lado 6
PROBLEMA 30
Si los radios de los círculos iguales mide 10 2 . Hallar sombreada. a) 226 b) 228 c) 216 d) 218 e) 232
