ARBOL DE DECISIONES
Yanet Liz Febrero 20, 2012
Definición • Es una tecnica util para problemas en los
que se presentan decisiones secuenciales. • Aunque esta esta tecnica es de mayor mayor utilidad utilidad para situaciones en que el riesgo esta presente tambien es empleada en condiciones de certeza.
Definición • Es una tecnica util para problemas en los
que se presentan decisiones secuenciales. • Aunque esta esta tecnica es de mayor mayor utilidad utilidad para situaciones en que el riesgo esta presente tambien es empleada en condiciones de certeza.
Simbolos a usar en Arboles de Decisiones •
•
Nodo de decisión del cual salen varias alternativas.
Nodo de un estado de la naturaleza.
Pasos a seguir para usar Arbol de Decisiones 1. Definir el Problema 2. Dibuj bujar el Arbol bol de de Dec Deciisione ones 3. Asig Asigna narl rles es prob probab abililid idad ades es a los los dive divers rsos os estados. 4. Esti Estima marr los los resu resulltado tados s de de cad cada a una una de las las posibles combinaciones de alternativas y estados de la naturaleza. naturaleza. 5. Reso Resolv lver er el prob proble lema ma calc calcul ulan ando do los los val valor ores es monetarios esperados de cada nodo de los estados de la naturaleza naturaleza NOTA : d ebe h acers e d e atrás p ara ad elante.
Finalidad del Arbol de Decisiones • Mostrar graficamente toda la informacion
de un problema. • Dibujar la representacion esquematica del problema logrando asi que la informacion se entienda mas facilmente. • Simplificar los calculos de probabilidades muy complejas.
Punto importante • La parte mas importante suele ser
identificar: – Las distintas alternativas – Los posibles eventos que pueden influir en
los resultados, – Las probabilidades de ocurrencia de estos eventos.
Tipos de Arbol de Decisiones • Para caso de certidumbre: – Se conoce, con
certeza los resultados esperados para cada opcion. – No existen los nodos de los estados de la naturaleza.
• Para caso de riesgo: – Los posibles
resultados se presentan en funcion de una probabilidad ya que no se puede afirmar con certeza.
Ejemplo para caso de Certidumbre • Liz & Co estudia la posibilidad de introducir un
nuevo producto ahora o dento de un año. Los beneficios de cada caso son: Alternativas
1er año
2do año
A1: Introducir producto ahora
$600,000
800,000
A2: Introducir Producto Proximo ano
0
650,000
A3: No introducir producto.
0
0
Ejemplo caso de Certidumbre (Grafico) A1
$ 1,400,000
$ 1,400,000 $ 650,000
650,000
$ 0.00
Ejemplo 1 para caso de Riesgo • Se dispone de $2,000 para invertir. Hay tres
posibles resultados qe tienen un riesgo determinado y posibles ganancias o perdidas según la siguiente tabla. Se quiere maximizar el valor monetario esperado (VME).: Posibilidades Beneficio / Perdida Probabilidad A1:
$ 1,200
0.3
A2:
$ 700
0.5
A3:
($ 500)
0.2
Ejemplo caso de Riesgo (Grafico) A1: (0.3) $ 1,200
VME=$ 610 A2: (0.5) $ 700 Invertir A3: (0.2) $ -500
No Invertir
VME=$ 0.00
$ 0.00
Ejemplo caso de Riesgo (Gráfico - Cálculo) • VME = (0.3*1200)+(0.5*700)+(0.2*-500) • VME = 360 + 350 - 100 • VME = 610 • De manera que si se invierte el valor
monetario esperado es de $610. La alternativa en este caso es invertir, como resultado de este arbol de decisiones.
Ejemplo 2 para caso de Riesgo • El propietario de una empresa desea
ampliar su planta de produccion. Actualmente analiza dos opciones: una planta grande y una pequena. • Los datos que esta considerando para el
analisis son:
Nivel de demanda Nivel de Demanda Alta
Probabilidades 0.40
Costos Estimados •Planta Grande:
$ 1,200,000
Moderada
0.35
•Planta Pequena:
$ 500,000
Baja
0.25
Valor presente neto (Al 17% por 10 años) Demanda
Planta Grande
Planta Pequena
Alta
$ 2,400,000
1,005,000
Moderada
1,400,000
1,000,000
Baja
700,000
700,000
Beneficio Potenciales de la Inversion (Tomando en cuenta los costos de Construccion) Demanda
Planta Grande
Planta Pequena
Alta
$ 1,200,000
505,000
Moderada
200,000
500,000
Baja
(500,000)
200,000
Ejemplo 2 caso de Riesgo (Planteamiento) Da: (0.4)
Planta Grande
Dm: (0.35)
Db: (0.25) Da: (0.4) Planta Pequeña
Dm: (0.35)
Ejemplo 2: Calculo del VME Se procede a calcular el Valor Monetario Esperado (VME) multiplicando, para cada opcion, el Beneficio Esperado por su respectiva probabilidad como se visualiza en el siguiente cuadro. Demanda
Probabildad Planta Grande
Planta Pequena
Alta
0.40
$ 1,200,000
505,000
Moderada
0.35
200,000
500,000
Baja
0.25
(500,000)
200,000
425,000
427,00
VME=
Ejemplo 2 caso de Riesgo (Arbol decisorio con los resultados) Da: (0.4) $1,200,000
480,000
425,000
Dm: (0.35) $ 200,000
Planta Grande
Db: (0.25) -500,000
Da: (0.4) 505,000
Planta Pequeña
Dm: (0.35) 500,000
427,000
Db: (0.25) 200,000
70,000
-125,000
202,000
175,000
Ejercicios para desarrollar en el aula
Ejercicio 1 • Una empresa quiere
decidir la estategia que debe usar para promover un producto que lanzara al mercado. • Una firma de consultores determino las utilidades esperadas de las estrategias propuestas y sus probabilidades:
Utilidad Estrategias
4,000
6,000 12,000
Probabilidades
E1
0.5
0.3
0.2
E2
0.2
0.6
0.2
E3
0.1
0.6
0.3
Cu ál es la es tr ateg ia óp tim a?
Ejercicio 2 • Una oprtunidad de inversion altamente
especulativa, a corto plazo, ofrece potenciales retornos de la inversion de $2,000, $1,500 y -$3,500. • Las respectivas probabilidades son: 0.4, 0.25 y 0.35. Cu ál es el v alor d e es ta o p o rtu n id ad p ara u n i n v e rs i o n i s t a?
Valor de la información
Valor Esperado de la Información Perfecta • Se utiliza cuando
se desea saber si la información que se pretende obtener a través de un estudio de mercado realmente justifica la inversión.
Ejemplo Planta Grande / Panta Pequeña • Volviendo al ejemplo de la elección de
construir una planta grande o una pequeña, podemos ver que aunque la elección más rentable es la pequeña, la Grande tiene un mejor valor esperado si la demanda fuera alta. • Revisemos nuevamente el árbol decisorio:
Arbol decisorio con los resultados Mejor VE con demand a alta
Da: (0.4) $1,200,000
480,000
425,000
Dm: (0.35) $ 200,000
Planta Grande
Db: (0.25) -500,000
Da: (0.4) 505,000
Planta Pequeña
Dm: (0.35) 500,000
427,000
Db: (0.25) 200,000
70,000
-125,000
202,000
175,000
Planteamiento • Suponga que el presidente de la empresa
quiere tener una mejor informacion en cuanto a la posible demanda del mercado. • Se estima que el costo de dicho estudio sería de $60,000. Cu ál s ería el v alo r d e l a in fo rm ac ión perfecta?
Cont. • Si la demanda real pudiera ser conocida
por adelantado, el presidente pudiera tomar la decision correcta. • Si del estudio resulta la demanda moderada o baja, la planta pequena debe ser construida; si resulta alta, en cambio, la planta grande es la que debe construirse.
En el cuadro siguiente se presentan los posibles resultados en los casos que se han mencionado Demanda
Probabilidad
Decision
Resultado ($)
Alta
0.40
PG
$1,200,000
Moderada
0.35
PP
$ 500,000
Baja
0.25
PP
$ 200,000
El valor monetario esperado con la informacion es de: $ 705,000. VEcIP= (0.40*1,200,000) + (0.35*500,000) + (0.25*200,000) La alternativa con mayor valor esperado, cuando no se tiene certeza, nos dio $427,000 (Planta pequeña). Aplicaremos la siguiente fórmula:
Calculo del Valor de la Informacion Perfecta • VEIP = VEcIP – VEsIP – VEIP: Valor Esperado de la Informacion
Perfecta – VEcIP: Valor esperado con Informacion perfecta del estado de la naturaleza. – VEsIP: Valor esperado sin Informacion perfecta de la mejor alternativa
• Nota: la ecuacion esta planteada en valor
absoluto.
Cont. • VEIP = 705,000 – 427,000 • VEIP = 278,000 • Como se habia estimado en $60,000 el
estudio de mercado, se puede considerar rentable realizarla.
Tomando en cuenta la “confiabilidad ” del estudio de mercado… • Tomando en cuenta que todo estudio
conlleva un margen de inexactitud, es necesario tomar en cuenta la confiabilidad. • En este ejemplo, sabemos que el esudio determinará si la demanda sera alta, moderada o baja, como se muestra a cotinuacion
Arbol Inicial Eda (Estudio demanda alta)
Edm (Estudio demanda media)
Edb (Estudio demanda baja) Debido a que el Estudio servira para redecidir en ambas alternativas (Planta Grande y pequena) se plantea el siguiente arbol decisorio:
Arbol Completo PG PP
Da Dm Dp Da
Dm Dp Da
PG Edm
Dm Dp Da
PP
Dm Dp Da
PG PP
Dm Dp Da Dm
Cont. • Se necesita calcular: – Las probabilidades de los posibles resultados
de la encuesta: P(Eda), P(Edm) y P(Edb). – Las probabilidades de las demandas
condicionadas a los resultados del estudio: P(Da/Eda), P(Dm/Eda), etc
Cont. • La confiabilidad de los resultados del Estudio
para las diferentes condiciones de la demanda son estimados según la siguiente tabla: Resultado Estudio
Alta (Da)
Moderada (Dm)
Baja (Db)
Eda
0.80
0.20
0.10
Edm
0.15
0.70
0.20
Edb
0.05
0.10
0.70
Como se lee esta tabla? Ej.: Si la demanda resulta verdaderamente alta, la probabilidad de que el estudio la haya pronosticado como “alta” es de 0.80.
Cont. • Para calcular la probabilidad de cada
resultado del estudio: – P(Eda): + • P(Da)*P(Eda/Da) + P(Dm)*P(Eda/Dm) –v P(Db)*P(Eda/Db) • 0.40*0.80 + 0.35*0.20 + 0.25*0.10 • 0.415
– Esto significa que la probabilidad de que al
hacer el estudio la prediccion sea que la demanda sera alta (Da) es de 0.415.
Cont • P(Edm): – 0.40*0.15 + 0.35*0.70 + 0.25*0.20 – 0.355
• P(Edb): – 0.40*0.05 + 0.35*0.10 + 0.25*0.70 – 0.230
La bifurcación del nodo de probabilidad de resultados será la siguiente:
Eda (0.415)
Edm (0.355)
Edb (0.230)
Ahora se procede a ajustar las probabilidades de la demanda • P(Da/Eda): • P(Da ∩ Eda) / P(Eda) – P(Da ∩ Eda) =
P(Da) * P(Eda/Da)
• P(Da/Eda): P(Da) * P(Eda/Da) / P(Eda) 0.40 * 0.80/ 0.4.15 – 0.32/0.415 = 0.771
• P(Dm/Eda): 0.169 • P(Db/Eda): 0.060
• Recordando: • P(A ∩ B): – P(A/B)*P(B) – P(B/A)*P(A)
Las demas probabilidades se calcularian: • P(Da/Edm)= 0.169
• P(Da/Edb)= 0.087
• P(Dm/Edm)= 0.690
• P(Dm/Edb)= 0.152
• P(Db/Edm)= 0.141
• P(Db/Edb)= 0.761
Arbol Completo PG
Da 1,200,000 Dm, 200,000 Db -500,000
0.169 0.060
Da 505,000
PP
0.771
0.771
Dm 500,000
0.169 Db 200,000 0.060
0.415
Da 1,200,000
0.169
Dm 200,000
PG Edm 0.355
Db -500,000 Da 505,000
PP
Dm 500,000
Da 1,200,000
Db -500,000 Da 505,000
PP
0.690 0.141 0.087
Dm 200,000
PG
0.141 0.169
Db 200,000
0.230
0.690
0.152 0.761 0.087
Dm 500,000
0.152
Se procede a calcular el VME de cada nodo de probabilidad • Ejemplo: – Para Eda – PG, el VME sería: – 1,200,000*0.771 + 200,000*0.169 -
500,000*0.060
• $929,000.00 • Para cada nodo, quedaría el siguiente
arbol:
VME PG PP
929,000
485,855
0.415 PG Edm 0.355
PP
270,000
458,545
0.230
PG PP
245,700
272,135
Interpretacion de los VME calculados • Si el Estudio predice una demanda alta
(Eda) la decisión será construir una planta grande, pues tiene mayor VME. • Si predice una demanda moderada,(Edm) se debe construir una planta pequeña • Si predice una demanda baja, (Edb) se construirá una planta pequeña.
Para decidir si es factible hacer el Estudio, se procede con los siguientes calculos: • Evaluar las oportunidades de resultados del
Estudio: Eventos Eda
Prob 0.415
Resultados 929,000
Edm
0.355
458,545
Edb
0.230
272,135
VME (Estudio)
$ 610,910
