ESTADÍSTICA PARA ECONOMÍA III UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL CARRERA DE ECONOMÍA UNIDAD I: PROBABILIDADES, CONJUNTOS, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES. COMBINACIONES.
TEMAS A TRATAR • Qué es la probabilidad • Algunas reglas para calcular probabilidades • Tabla de contingencia • Diagrama de Árbol • Teorema de Bayes • Uso correcto para calcular permutaciones y
combinaciones.
TEMAS A TRATAR • Qué es la probabilidad • Algunas reglas para calcular probabilidades • Tabla de contingencia • Diagrama de Árbol • Teorema de Bayes • Uso correcto para calcular permutaciones y
combinaciones.
QUÉ ES LA PROBABILIDAD?
¿QUÉ ¿Q UÉ ES LA LA PR PROB OBAB ABIL ILID IDAD AD?? • Valor entre cero y uno, inclusive que describe la
oportunidad o casualidad de que ocurra un evento. • Se puede expresar de forma decimal como fraccionario. • La probabilidad de 1 representa algo que seguramente sucederá y 0 representa lo contrario. No sucederá 0.00
Con seguridad sucederá 0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.80
0.90
1.00
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD? • En el estudio de la probabilidad se utilizan tres palabras claves:
Experimento, resultado y evento. Experimento: Proceso que induce a que ocurra una y solo una de varias posibles observaciones. Ejemplo: El lanzamiento de una moneda. Resultado: Un resultado particular de un experimento. Ejemplo: Si se lanza una moneda un resultado particular es cara y el otro posible resultado es cruz. Evento: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: sacar cara en el primer lanzamiento.
DIAGRAMAS DE ARBOL • Es una gráfica útil para organizar cálculos que implican varias
etapas, donde cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Las ramas del árbol se ponderan por medio de probabilidades. A
C D E F
B
C D E F
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD? • El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento aleatorio. Se simboliza con la letra E. Los elementos que lo forman se escriben entre llaves.
Ejemplo 1: Considere el experimento de lanzar dados. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par de puntos”? Los posibles resultados son: Siendo el espacio muestral E={1, 2, 3, 4, 5, 6} 3
Probabilidad de un numero par=6 = 0.5 Ejemplo 2: Si consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda, los resultados posibles son cara y cruz: E = { cara, cruz } = { C, X }
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD? ESPACIO MUESTRAL EJERCICIO 1 (S): Considere el experimento de lanzar una moneda al aire. El espacio muestral sería? EJERCICIO 2 (S): Considere el experimento de lanzar un dado. Si nos interesara el número que aparece en la cara superior, el espacio muestral sería? DIAGRAMA DEL ARBOL EJERCICIO 3: Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara. Si en el primer lanzamiento sale cruz, entonces se lanza un dado una vez. Listar los elementos del espacio muestral que proporciona la mayor información. Construir el diagrama de árbol. EJERCICIO 4: Suponga que se seleccionan, de forma aleatoria, tres artículos de un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso, D, o no defectuoso, N. Para listar los elementos del espacio muestral que brinde la mayor información, construir el diagrama de árbol. Definir probabilidades.
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD? DIAGRAMA DEL ÁRBOL EJERCICIO 3: Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara. Si en el primer lanzamiento sale cruz, entonces se lanza un dado una vez. Listar los elementos del espacio muestral que proporciona la mayor información. Construir el diagrama de árbol.
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD? DIAGRAMA DEL ARBOL EJERCICIO 4: Suponga que se seleccionan, de forma aleatoria, tres artículos de un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso, D, o no defectuoso, N. Para listar los elementos del espacio muestral que brinde la mayor información, construir el diagrama de árbol.
ALGUNAS REGLAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES
REGLAS DE LA ADICIÓN Existen 2 reglas: Regla especial de la adición y regla general. • Regla especial de la adición.- Eventos mutuamente excluyentes.
Probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus probabilidades siendo este 1. P(A o B)=P(A)+P(B)
Evento A
Evento B
Adicionando: • Regla del complemento.- Probabilidad de que un evento no ocurra restando de 1 la probabilidad de un evento que no ha ocurrido. P(A)+P(~A)=1 siendo P(A)=1- P(~A)
Evento A
~A
REGLAS DE LA ADICIÓN Ejercicio 1: Una máquina automática Shaw llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas contienen el peso correcto, aunque como consecuencia de la variación del tamaño de frijol y de otras verduras, un paquete podría pesar menos o más. Una revisión de 4000 paquetes que se llenaron el mes pasado arrojó los siguientes datos: PESO enos pes o es o Sa ti s fa ctori o a s pes o
EVENTO
NUMERO DE PAQUETES
A
100
B
3600
C
300 4000
a) Determinar la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese más. b) Demostrar que la probabilidad de una bolsa con un peso satisfactorio es de 0.900. Muestre la solución en un diagrama de Venn. c) Formule la regla del complemento para encontrar P(A) y (A o C).
REGLAS DE LA ADICIÓN • Regla general de la adición.- Los resultados de un experimento
pueden no ser mutuamente excluyentes. P(A o B)=P(A)+P(B)-P(A y B) Adicionando: Probabilidad conjunta: probabilidad que mide la posibilidad de que dos o mas eventos ocurren simultáneamente. P(A y B)
P(A )
P(B)
P(A) y P(B)
REGLAS DE LA ADICIÓN • Ejercicio 2: ALL YOU NEED IS ECUADOR seleccionó una muestra de
200 turistas que visitaron el estado durante el año. La encuesta reveló que 120 turistas fueron a Galápagos y 100 a Amazonia, cerca del Puyo. a) Calcular la probabilidad de que una persona haya visitado Galápagos. b) Calcular la probabilidad de que una persona haya visitado Amazonía. c) Calcular la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Galápagos o la Amazonia. d) Una revisión de las encuestas reveló que 60 de los 200 encuestados visitó, en realidad ambas atracciones turísticas. Calcular la probabilidad de que una persona haya visitado Galápagos y la Amazonia e) Calcular la probabilidad de elegir a una persona que haya visitado Galápagos o la Amazonia. f) Muestre las soluciones en un diagrama de Venn.
REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN • Determinar la probabilidad de que la ocurrencia de dos eventos sea
simultanea. Existen dos reglas de multiplicación: Regla especial de la multiplicación y la regla general de multiplicación. • Regla especial de la multiplicación: Requiere que dos eventos, A y B sean independientes, y lo son si el hecho de que uno ocurra no altera la probabilidad de que el otro suceda. P(A y B)=P(A)P(B)
Independencia: Si un evento ocurre no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca. Ejemplo: El resultado de lanzamiento de una moneda (cara o cruz) no se altera por el resultado de cualquier moneda lanzada previamente (cara o cruz).
REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN • Ejercicio 3: Una encuesta llevada a cabo por la American
Automobile Association reveló que el año pasado 60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados al azar. a) Determinar la probabilidad de que ambos hicieron reservaciones el año pasado. b) Realizar tabla de resultados.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN • Regla general de la multiplicación: sirve para determinar la
probabilidad conjunta de dos eventos cuando estos no son independientes, es decir, dependientes. Para dos eventos: P(A y B)=P(A)P(B|A) Para tres eventos: P(A y B y C)=P(A)P(B|A)P(C|A y B) Dado, Probabilidad condicional o dependiente: probabilidad de que un elemento ocurra, dado que otro evento haya acontecido. P(B|A)
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Ejercicio 4: Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Como se viste de noche simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no las lava.
a) Determinar los eventos con sus probabilidades. b) Calcular la probabilidad de que las dos camisas elegidas son blancas. c) Suponiendo que juega golf tres veces a la semana. Calcular la probabilidad de que las 3 camisas elegidas sean blancas.
EMPLEO DE LAS REGLAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN EN TABLA DE CONTIGENCIAS • Tabla
de contingencias: tabla utilizada para clasificar observaciones de una muestra, de acuerdo con dos o más características identificables, donde se tiene relación entre las mismas (tabulación cruzada). Ejemplo: Una encuesta de 150 adultos clasificados según su género y la cantidad de películas que vieron en el cine el mes pasado. Cada entrevistado se clasifica de acuerdo con dos criterios: la cantidad de películas vistas y el género. GENERO PELICULAS VISTA
HOMBRE
MUJERES
TOTAL
0
20
40
60
1
40
30
70
2 O MAS
10
10
20
TOTAL
70
80
150
DIAGRAMAS DE ÁRBOL • Es una gráfica útil para organizar cálculos que implican varias
etapas, donde cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Las ramas del árbol se ponderan por medio de probabilidades. A
C D E F
B
C D E F
EMPLEO DE LAS REGLAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN EN TABLA DE CONTIGENCIAS Ejercicio 6: Se entrevistó a una muestra de ejecutivos respecto de su lealtad a la compañía. Una de las preguntas fue: Si otra compañía le hace una oferta igual o le ofrece un puesto mejor del que tiene ahora. ¿Permanecería en la compañía o aceptaría el otro puesto? A partir de las respuestas de los 200 ejecutivos que participaron en la encuesta se hizo una clasificación cruzada según el tiempo de servicio a la compañía. Tiempo de servicio Lealtad
a) b) c)
Menos de 1 a 5 años, 6 a 10 años, Más de 10
Total
1 año, B1
B2
B3
años, B4
Permanecería, A1
10
30
5
75
120
No permanecería, A2
25
15
10
30
80
TOTAL
70
45
15
105
200
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a un ejecutivo leal a la compañía –que permanecería en ella? y ¿Cuál de ellos tiene más de 10 años de servicio? Determinar la probabilidad de elegir un ejecutivo que permanezca o que tenga menos de 1 año de experiencia. Realizar diagrama de árbol para todo el ejercicio.
EMPLEO DE LAS REGLAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN EN TABLA DE CONTIGENCIAS Ejercicio 7: Considere una encuesta a algunos consumidores relacionada con la cantidad relativa de visitas que hacen a una tienda Circuit City (con frecuencia, ocasionalmente o nunca) y con el hecho de si la tienda se ubicaba en un lugar conveniente (sí y no). Cuando las variables son de escala nominal, tal como estos datos, por lo general los resultados se resumen en una tabla de contingencias.
a)
¿El número de visitas y la ubicación en un lugar conveniente, son variables independientes? ¿Por qué razón? Interprete su conclusión. b) Dibuje un diagrama de árbol y determine las probabilidades conjuntas.
TEOREMA DE BAYES
TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes es un método que consiste en revisar una probabilidad, dado que se obtenga información adicional. En el caso de dos eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos se tiene: 1 =
1 1 1 1 + 2 2
Probabilidad a priori: Probabilidad basada en el nivel de información actual. Probabilidad a posteriori: probabilidad revisada a partir de información adicional.
TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido. Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
TEOREMA DE BAYES En el caso de existir n eventos A1, A2,…, An mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos el problema de Bayes se formula de la siguiente manera:
=
1 1 + 2 2 + ⋯ +
TEOREMA DE BAYES Ejercicio 8: Suponga que 5% de la población Ecuatoriana tiene una enfermedad propia del país. Sea A1 el evento “padece la enfermedad” y A2 el evento “no padece la enfermedad”. Ahora, sea B el evento “la prueba revela la presencia de la enfermedad” . Suponga que la evidencia histórica muestra que si un persona padece realmente de enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique la presencia y esta la padece es de 0.90 y la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la enfermedad y esta no la padece es de 0.15. Identificar a que probabilidades se refiere cada una de ellas. Por ultimo, elija al azar una persona de la Población Ecuatoriana y aplique la prueba. a) Calcular la probabilidad de que la persona en realidad padezca la enfermedad dado que la prueba resulta positiva: P =P(Padece la enfermedad/prueba resulta positiva). b) Elaborar tabla de resultados, con probabilidades a priori, condicionales, conjuntas, y a posteriori. c) Realizar diagrama de árbol.
TEOREMA DE BAYES Ejercicio 9: Un fabricante de reproductores de DVD compra un microchip en particular, denominado LS-24, a tres proveedores: Computron, Novicompu y Ascomsa. 30% de los chips se le compran a Computron; 20% a Novicompu y el restante 50% a Ascomsa. El fabricante cuenta con amplios historiales sobre los tres proveedores y sabe que 3% de los chips de Computron tiene defectos, 5% de los chips de Novicompu tiene defectos y 4% de los chips que se compran a Ascomsa tiene defectos. Cuando los chips le llegan al fabricante, se les coloca directamente en un deposito y no se inspeccionan ni se identifican con el nombre del proveedor. Un trabajador selecciona un chip para instalarlo en un reproductor de DVD y lo encuentra defectuoso. a) b) c) d)
Determinar la probabilidad que los haya fabricado Novicompu. Elaborar la tabla de probabilidad a priori, condicional, conjunta, a posteriori con sus respectivos eventos. Elaborar el diagrama de árbol. Diseñe una fórmula para determinar la probabilidad de que la pieza seleccionada provenga de Ascomsa, dado de que se trataba de un chip en buenas condiciones.
TEOREMA DE BAYES Ejercicio 10: En cierta planta de montaje, tres máquinas A1, A2 y A3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3%, y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tiene defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado y se encuentra que es defectuoso, ¿ cuál es la probabilidad de que esté ensamblado por la máquina A3 ? Ejercicio 11: A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Ejercicio 12: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97. Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?
USO CORRECTO PARA CALCULAR PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
PERMUTACIÓN • Concepto: Cualquier distribución de r objetos seleccionados de un solo
grupo de n posibles objetos.
• Fórmula de las permutaciones: Se aplica para determinar el número
posible de disposiciones cuando solo hay un grupo de objetos.
donde,
=
! ( − )!
n representa el total de objetos. r representa el total de objetos seleccionados.
• Siendo además n! denominado n factorial que significa el producto de
n(n-1)(n-2)(n-3)...(1).
• Por definición 0!=1
PERMUTACIÓN Existen dos tipo de permutaciones: se permite repetir y sin repeticiones. • Se permite repetir: Si tienes
n
cosas para elegir y eliges
r
de ellas, las
permutaciones posibles son: n × n × ... (r veces) = nr donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)
Hay n posibilidades para la primera elección, después hay n posibilidades para la segunda elección, y así. Por ejemplo: candados con códigos de seguridad, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos: 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
PERMUTACIÓN Existen dos tipo de permutaciones: se permite repetir y sin repeticiones. • Sin repeticiones: En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. Ejemplo 1: ¿cómo podrías ordenar 15 números (1-15)?
1.a: Eligiendo todos los números. (n!) Después de elegir por ejemplo el número 13 no puedes elegirla otra vez. Así que la primera elección tiene 15 posibilidades, y la siguiente elección tiene 14 posibilidades, después 13, 12, etc. Y el total de permutaciones sería: 15*14*13….*1= 15!= 1,307,674,368,000
PERMUTACIÓN 1.b: Eligiendo tres números. Después de elegir por ejemplo el número 13 no puedes elegirla otra vez. Así que la primera elección tiene 15 posibilidades, y la segunda elección tiene 14 posibilidades y por ultimo la tercera elección tiene 13 posibilidades. Por lo tanto el total de permutaciones sería: 15*14*13= 2730 Formulándose matemáticamente como:
=
! ( − )!
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa)
Por lo tanto,
=
! ( − )!
=
PERMUTACIÓN • Ejercicio 8: Tres piezas electrónicas definidas como (a, b, c) se van
a montar en una unidad conectable a un aparato de televisión. Las piezas se pueden montar en cualquier orden. La pregunta es ¿De cuántas formas pueden montarse tres partes?
• Ejercicio 9: Betts Machine shop, Inc. C, cuenta con 8 tornos
aunque sólo hay 3 espacios disponibles en el área de producción para las máquinas ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
COMBINACIÓN • Si el orden de los objetos seleccionado no es importante,
cualquier selección se denomina Combinación. • Fórmula de las combinaciones: Se aplica para contar el
numero de r combinaciones de objetos de un conjunto de n objetos, la cual es:
=
! ! ( − )!
COMBINACIÓN Existen dos tipo de combinaciones: se permite repetir y sin repeticiones. Sin repetición: como números de lotería (6,12,17,29,51,89). Interpretación: 1)Imaginar que el orden sí importa (permutaciones). 2)Cambiar para que el orden no importe. Ejemplo numérico: digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron de
15, no el orden. Ya sabemos que 3 de 15 dan 2730 permutaciones.
COMBINACIÓN Muchas de ellas son iguales, porque no nos importa el orden. Por ejemplo, digamos que se tomaron los números 4, 5, 6. Las posibilidades son: El orden El orden no importa
importa
45 6 465 54 6 564 645 654
45 6
Por lo tanto, como permutación nos da mayor cantidad de posibilidades. Ajustando la fórmula de permutaciones para reducir los objetos elegidos en distinto orden ya que no nos interesa ordenarlos en Combinación, tenemos lo siguiente:
=
! ! ( − )!
COMBINACIÓN Se permite repetir: Se tiene n opciones para elegir y se puede elegir r de ellas donde el orden no importa pudiéndose repetir. Ejemplo: Digamos que tenemos cinco sabores de yogurt: durazno (D), mango (M), frutilla (F), mora (O) y banano (B). Puedes tomar 3 opciones. ¿Cuántas variaciones hay? tendríamos: {D, D, D}/ 3 de durazno
{M, F, O} (1 mango, 1 frutilla, 1 mora)
{O, B, B} (1 mora, 2 banana)….
En este ejemplo tenemos n=5 opciones para elegir, y r=3 de ellas. Por lo tanto, como fórmula tenemos lo siguiente: =
(+−)! ! ( − )!
