ARITMÉTICA
RAZONES Y PROPORCIONES
b : consecuente r : valor de la razón aritm>tica = : valor de la razón 1eom>trica OBJETIVOS. Al fnalizar el presente capítulo el estudiante estará en la capacidad de: * Co Comp mpar arar ar do doss ca cant ntid idad ade es * Ma Mane neja jarr ad adec ecua uada dame ment nte e la lass pr prop opie ieda dade dess de las razones y proporciones en la resolución de los problemas de la vida real * Entender el objetivo de los promedios y su interpretación la vida real.
?eamos al1unas observaciones: #1$ 2a razón 1eom>trica es la ue tiene más uso en el desarrollo de los problemas de admisión" es por ello el lo u ue e si in ind dic icam amos os ra razó zón n y no su cl clas ase e" entenderemos ue es una razón 1eom>trica.
INTRODUCCIÓN En nuestro ue!acer cotidiano" podemos notar ue establ es tablece ecemos mos cons constan tantem tement ente e comp comparac aracion iones es como por ejemplo un árbol es más alto ue otro" el peso de una persona es el doble ue el de la otra" etc. En es este te cap capít ítul ulo" o" aba abarc rcar arem emos os el es estu tudi dio o de las compara com paracio ciones nes ue se pue pueden den est estable ablecer cer en la naturaleza en #orma cuantitativa.
$or ejemplo. @cuál es la razón entre % y %)B. @cuál es la relación entre % y %)B 2ass co 2a comp mpara aracio cione ness tam tambi bi>n >n las #%$ podem pod emos os da darr par má máss de % can canti tida dade des" s" com como o veremos" por ejemplo: 6ean las cantidades " & y 6ean las cantidades %)" %& y D
RAZONES Y PROPORCIONES
AP&ICACIÓN 1 2as edades actuales de arina y 0atius=a están en la relación de F a G" y dentro de ) aHos sus edades sumaran --. Calcule la di#erencia de sus edades.
RAZÓN $or ejemplo: Carlos se encuentra en C!osica y se da cuenta ue está a %&& m. sobre el nivel del mar 's.n.m.( y una temperatura promedio de %) C este piensa visitar a +eto ue se encuentra en la ciudad de ,iclio la cual está a -%&& m s.n.m. y a una temperatura promedio de - C.
AP&ICACIÓN % 2as edades de Manuel y Marco están en la relación de D a G" dentro de ;m< aHos estarán en la relación de I a & aHos. 6i dentro de ;% m< aHos sus edades sumarán &)" @cuál es la edad de ManuelB
$odemos observar ue: ♦ ,iclio se encuentra a -%&& %&& / -&&& m más sobre el nivel del mar respecto a C!osica. 0otamos ue para lle1ar a esta conclusión !emos com omp par arad ado o las altura rass por medio de una sustracción. 28 ♦ 2a temperatura de C!osica es = 7 veces la 4 temperatura de ,iclio. 0otamos ue para lle1ar a esta conclusión !emos comparado las temperaturas por medio de una división. toda a co comp mpara aració ción n en entr tre e do doss can canti tidad dades es la ♦ A tod llamaremos 3A450"
AP&ICACIÓN 3 A un una a re reun unie iero ron n as asis isti tier eron on %G %G% % pe pers rson onas as.. 6e observo ue por cada G !ombres !abía I mujeres. @Cuántas parejas tendría ue retirar para ue la nueva relación entre !ombres y mujeres sea de G a )B SERIE DE RAZONES EO'(TRICAS E)UIVA&ENTES E)UIV A&ENTES *S$R$$E+ bservemos el si1uiente conjunto de razones 1eom>tricas: 15 18 27 6 =3J = 3 J =3 = 3 J 5 6 9 2
6i la comparación es por medio de una sustracción le ll llam amar arem emos os 3A4 A450 50 A3 A37,M 7,M8, 8,7C 7CA A y si es po porr medi me dio o de un una a di divi visi sión ón le ll llam amar arem emos os 3A4 A450 50 9EM8,37CA.
$odemos notar $odemos notar ue todos tiene tienen n el mismo mismo valor de razón" por lo ue podemos afrmar ue son eui e uiva vale lent ntes es"" lo u ue e po pode demo moss in indi dica carr de la si1uiente #orma :
2ue1o para dos cantidades ;a< y ;b<. Razón Aritmética
ab/r
Razón !"métrica a b
=
15 5
=
=
27 9
=
6 2
=
18 6
=
3
A lo ue llamaremos serie de razones 1eom>tricas euivalentes '6.3.9.E.( En donde llamaremos: a : antecedente PAG – 05
1
3
ARITMÉTICA
2ue ue1o 1o"" si tene tenemo moss el si si1u 1uie ient nte e conjunto de razones: a g c e =k =k = k = k b d h f
15 + 5 15 − 5
c
=
b
e
=
d
g
=
f
=
h
27
5
6
=
9
=
2
18
=
6
5
3
=
9
6
=
18
2
15 + 27 + 6
=
6
5+9+2
&% =
27 − 6
27 + 6 − 18
=
9−2
9×2×6
Suma de Antecedent es Suma de consecuentes
×
9
15
6
×
2 ×
=
9
×
6
9 ×
Constante de = proporcionalidad
27 × 6 × 18
6
27
5
18
18
2
×
2
=
×
6
=
roducto de consecuentes
27 27 − 9
=
6 6−2
18
5
6
=
6
=
2!
2!
8!
=
8!
18 18 − 6
32!
=
32!
=
ek 3
34
=
128!
1 4
=
b
=
c
c
d
=
d
=
e
k
=
=
ek 3 ek 2
=
ek 2
=
ek
ek e
=
k
AP&ICACIÓN ;
Constante de n = proporcionalidad
=
3
=
2
ek 4
6i :
a b
=
b
=
c
c d
=
d e
=
1 2
y e b / I&
calcule : a N b N c Nd N e AP&ICACIÓN #< En una ser erie ie de tr tre es ra razo zone ness 1e 1eom om> >tr tric icas as contin con tinuas uas eu euiva ivalen lentes tes de con consta stante nte ent entera era"" se obse ob serv rva a u ue e la su suma ma de su suss t> t>rm rmin inos os es I I. . Calcule el tercer t>rmino.
Al e# e#ec ectu tuar ar la lass op oper erac acio ione ness de #3$ adición yo sustracción con los t>rminos de una razón de una 6.3.9." estas mismas operaciones se verifcan con los t>rminos de las otras dos razones. =
18
b
n. nLmer nLmero o de razon razones es ue ue se se multi multipli plican can en en la serie.
15 15 − 5
=
de donde podemos deducir:
5×9×2×6
roducto de antecedentes
54
a
33
15 × 27 × 6 × 18
6
−a 31 + b
25
A las 6.3.9.E. ue cumplen dic!a condición" los llamaremos SERIE DE RAZONES EO'(TRICAS E)UIVA&ENTE E)UIV A&ENTES S Y CONTIN CONTINUAS UAS ?eamos una de estas en #orma 1eneral:
#%$
17
+8 b = = b + 24 16 − b
S!ri!, 0! Raz"n!, !"métrica, E82i9a.!nt!, : C"ntin2a, ?eamos ?e amos los si1uientes 6.3.9.E.
&. 27
3 +1 3 −1
Calcule : a N b N c
#1$ =
=
AP&ICACIÓN 7$ a 2 c 6i : " además a O c / -G = = 36 b 2!
$or ejemplo" sea la 6. 3. 9. E. =
18 + 6 18 − 6
Calcule ;a N b<.
V!am", a-"ra .a, /r"/i!0a0!, m, im/"rtant!, 0! 2na S$ R $ $ E$ /ara !.." /artir!m", 0! !4!m/.", /ara .2!5" 5!n!ra.izar.",$
15
=
a
6i se cumple ue:
a" c" e y 1 son antecedentes b" d # y ! son consecuentes y = le llamaremos constante de proporcionalidad
15
6+2 6−2
=
AP&ICACIÓN 6
k
Ke donde:
3=
27 + 9 27 − 9
$asemos a resolver al1unas aplicaciones respecto a las propiedades.
$odemos establecer la euivalencia entre ellas" a la ue llamaremos 6. 3. 9. E. a
=
3
PROPORCIÓN
3 −1
$or ejemplo: PAG – 05
1
3
ARITMÉTICA
#1$ En una reunión !ubo %G !ombres y %F mujeres. En un de dete terrmi mina nado do mo mome ment nto o I !o !omb mbrres estuvieron bailando" por consi1uiente I mujeres tambi>n bailaban en ese momento" es decir:
P Qombres I )
P +ailan P 0o +ailan
c d
∴
P Mujeres I %
refresco
6.
refresco
%#.
600g
azúcar
azúcar
2!!!gr
1
6!!gr
=
1 1!!gr
por cada litro de re#resco !ay && 1r de azLcar" con lo ue concluimos ue son de i1ual calidad las mezclas" por lo ue podemos indicar ue:
2! 2!!!gr
=
a 2 n a b / b i t En donde: n " C
b: medi media a de: a y c
6 6!!gr
a
=
c
b d En donde:
di#erenci di#erencial al
d: cuarta de: a" b y c a b
b≠ c
proporcion proporcional al
=
b c
di#erenci di#erencial al En donde: c: ter tercera cera de: di#e di#ere renc ncia iall a y b b: med media de: ayc
propor proporcion cional al
prop propor orci cion onal al
?eamos ?e amos al1unos ejemplos: &. &%. &D. &-. &G. &.
?eamos a!ora para las cantidades ;a<" ;b<" ;c< y ;d<.
cd/r
Pr"/"rción !"métrica
c
c: tercera tercera de: ayb
$odemos notar" en ambos ejemplos" ue !emos i1ualado razones de la misma clase ue tienen el mismo valor" a cada uno de estas. 2as llamaremos $3$3C750" para el primer caso A37,M8,7C" por i1ualar % razones aritm>ticas" y para el se1undo cas aso o 9EM8,3 ,377C" por i1 i1u ualar % ra razzones 1eom>tricas.
PROPORCIÓN ARIT'(TICA ab/r
≠ c(
d: cuarta de: a" b y c
1!!gr
por cada litro de re#resco !ay && 1r de azLcar" y ue en el se1undo recipiente : 6
c d
6i ana anali liza zamo moss un una a pr prop opor orci ción" ón" u ue e pu pued ede e se serr aritm>tica o 1eom>trica" respecto a los t>rminos medios med ios pod podemo emoss ind indicar icar ue es estas tas pue pueden den ser di# i#e erent ntes es en cu cuy yo ca casso a la prop opor orci ción ón le llamar lla maremo emoss 0i,cr!ta" o pueden ser i1uales a la ue lla llamar maremo emoss pr propor oporció ción n c"ntin2a. Entonc Entonces" es" veamos:
a t ! a b /c d'b r c , i D En donde:
$odemos observar ue en el primer recipiente:
=
=
ro. %do. Dro. -to. *,>rminos *, >rminos : a b c d
Pr"/"rción Aritmética
200g
2!
a b
∴
* a y d : t>rminos eStremos * b y c : t>rminos medios
%$ Rna vendedora de re#resco tiene % recipientes con re#resco de maracuyá. El primero tiene %& litros el cual endulzó con %&&& 1r. de azLcar y el se1undo tiene litros el cual endulzó c on && 1r. de azLcar. azLcar. II)
=c−d
En donde llamaremos:
$odemos observar ue la cantidad de !ombres y la cantidad de mujere mujeress se di#erencian di#erencian en %G F / " tal así como el nLmero de !ombres ue no bailan con el nLmero nLmero de mujeres mujeres ue no bailan ') % / (" (" por lo ue ue podem podemos os afrmar afrmar ue: %G F / ) %.
I)
a−b
=k
PROPORCIÓN EO'(TRICA a = k b
@Cuál es la cuarta di#erencial de G" I y DB @Cuál es la la cuarta proporcion proporcional al de " ) y I&B @Cuál es es la media media di#erenci di#erencial al de D y IB @Cuál es la la tercera tercera di#erencial di#erencial de DG DG y %FB @Cuál es la la media proporci proporcional onal de D y %GB %GB @Cuál es la la tercera tercera proporcional proporcional de D y %B %B
A/.icación #= En una proporción 1eom>trica continua se sabe ue la suma de los t>rminos eStremos es G%. Calcule la
PAG – 05
1
3
ARITMÉTICA
suma de los - t>rminos de dic!a proporción" si la constante es un nLmero entero positivo.
#;$ 6i:
A/.icación #>
2a edad de un abuelo y sus % nietos #orman una prop pr opor orci ción ón 1e 1eom om>t >tric rica a con conti tinu nua a de co cons nsta tant nte e entera. 6i la suma de las tres edades es G%" calcule la edad del abuelo.
a b
=
Calcular:
11 3 5 d( 4 a(
A/.icación 1#
3 2 4 d( 3 a(
a( )& d( &G #%$ 6i:
p+"
=
p−"
7
=
c d
7 . Qallar m n 3
"+r "−r
( &"D y S N y / %&&.
b( %G e( G&*
=
222 555
=
5
c(
. Qallar:
3 5 21 d( 29 a(
p r
2 3
b+d d−b
a + !%6 b + 1%4
si & k ≠
2c + 3 2d + 7
3 7
1! 3 11 e( 4
b(
c(
7 * 3
5 3 5 e( 3 b(
c(
2 * 3
8 5 23 e( * 32 b(
c(
11 17
Siendo: θ : media diferencial de 24 y 34 R : media proporcional de 88 y 22 I : tercera proporcional de 8 y 24
a( -)* d( %%&
c( DI
b( F e( I
c( %GD
cierto nLmero de bolas blancas" rojas y 1#$ 6e tiene un cierto azules" donde se cumple ue por cada - blancas !ay G rojas y por cada I rojas !ay azules. 6i la cantidad de azules eScede a los rojos en -&. En cuanto eScede las bolas azules respecto a las bolas blancas.
c( -%
a ( -F d( )F*
$ C " Adem Además ás:: A A N D+ N C / = 11 5
b( F e( F
c( F)
11$ 2a suma de tres nLmeros es -%GJ la razón del
primero prime ro y el se1undo se1undo es b( F e( )
=
6: cuarta proporcional de )&J G y
Qallar ;S<
G). Qallar Qall ar ;A< a( %-* d( F
#
#>$ Qallar el valor de: K / θ + R + I + S
y d c / %&. Qallar d N c b( D e( -F&*
A 3
=
11
k
#=$ 6e tienen % recipientes llenos ue contienen a1ua y vino. En el primero la relación es de D a % y en el se1undo de % a D respectivamente. 6e intercambian G litros y en el primero la relación cambia a - a D. 6i la suma de las capacidades de ambos recipientes es F& litros . Calcular cuál es la nueva relación en el se1undo recipiente
c( %&*
6 7 19 e( 3
a( %Id( -G6ean an:: #7$ 6e
=
b(
a( F d( -D #6$ 6i:
#
3
6 5 2! d( * 3 S y
m n
b( G& e( 0.A.
a(
3$ 6i:
y
=
#<$ A una festa asistieron F&& personas. 6e sabe ue por cada I mujeres !ay G !ombres. Además de cada G !ombres" I son casados y de cada I mujeres" D usan mini#alda. Calcular la relación entre los !ombres solteros y las mujeres ue no usan mini#alda
Calcule Calcu le el may mayor or t> t>rm rmin ino o de un una a pr prop opor orci ción ón de t>rminos enteros" enteros" donde la suma de sus - t>rminos es %- y la suma de los eStremos es D y la di#erencia de los medios es .
#1$ 6i: m N n / D&&
c d
11 y la di#erencia de los 3
mismos es &&. Qallar el tercer nLmero.
c(
a( G&& d( D%G PAG – 05
1
3
b( GG& e( DIG*
c( &)
ARITMÉTICA
1%$ En un recipiente !ay G litros de a1ua y % litros de vino" se eStrae F litros del contenido y se aHade al recipiente litros de a1ua. Calcular cuantos litros de vino se debe aHadir para ue la relación de a1ua y vino sea la inversa de la ue !abía inicialmente.
a( & d( %*
b( e( )
%#$ En la serie:
b( % e(
c( -
a ( & d( I-
b( %) e ( D%
a ( d( F
c( -)
a ( &* d( )
c( -
a ( D% d( )&
b( %D e ( %)
aa +1 aa
c( )&*
=
aa b
y ue la suma de los
b( %I* e( %G
c ( D%
b( % e ( -
c (
b( -* e ( %
c ( I%
proporción ción 1eom>trica continua continua el primer %7$ En una propor antec ant eced eden ente te es may mayor or en ) un unid idad ades es u ue e el se1undo consecuente. Calcular el t>rmino medio" sabi sa bien endo do u ue e el pr prod oduc ucto to de su suss t> t>rm rmin inos os di#erentes es %& siendo los t>rminos cantidades enteras. a( ) d( & %;$ 6i:
c( %
b( e ( %
c( *
a b " = b c
Además: a c / J a + c = ) Calcular la media proporcional. a( % b( %c( G * d( %& e ( -
1>$ En una proporción 1eom>trica continua se sabe ue la di#erencia de los eStremos es -& y la suma de lo loss t> t>rrmi mino noss es )& )&.. Ca Callcu cula larr la med edia ia aritm>tica de los eStremos.
a( %% d( %G*
1!
a ( &% b( FG c ( )& d( IG* e ( )& proporción ón 1eo 1eom>t m>trica rica la sum suma a de los %6$ En una proporci cuadrados de los t>rminos de la primera razón y los de la se1unda razón son G y %& resp re spec ecti tivam vamen ente te.. Ca Calcu lcula larr la raz razón ón en entr tre e lo loss productos de antecedentes y el producto de los consecuentes.
a( D&* b( % c( -& d( D e ( -% una a pr prop opor orci ción ón 1e 1eom om>t >tri rica ca co cont ntin inua ua de 1=$ En un t>rm t> rmin inos os en ente tero ross po posi siti tivo voss la su suma ma de lo loss cuadrados de los antecedentes es G&& y la media aritm>tica de los eStremos es %"G. Calcular el t>rmino medio b( D% e ( D
=
%3$ En una proporción 1eom>trica continua" la suma de sus t>rminos eStremos es G y la suma de sus cubos es & F.Qallar la suma de los t>rminos de la proporción.
una a pr prop opor orci ción ón 1e 1eom om>t >tri rica ca di disc scre reta ta"" el 1<$ En un prod pr odu uct cto o de lo loss an ante tece cede dent nte es es % %& & y el producto de los consecuentes es %I&. 6i la suma de los % t>rminos de la primera razón es %G. @Cuál es la suma de los t>rminos de la se1unda razónB
a( %%* d( G
c
%%$ En una proporción 1eom>trica la suma de los % primeros es %& y la suma de los dos Lltimos t>rminos es %G. Qallar el menor de los t>rminos medios si la suma de los consecuentes es %I.
a( II* b( )% c ( G -d( I) e( )- 1;$ En una proporción 1eom>trica continua la mayor di#erencia positiva ue eSiste entre dos de sus t>rminos es i1ual a la menor suma ue se tiene entre dos de ellos. 6i el eStremo mayor eScede en a la media proporcional. Calcular el eStremo menor b( % e( D*
=
t>rminos de >sta proporción es --. Calcular el valor de la media proporcional
c( -*
17$ 2os cuadrados de % J - y ) son proporcionales a otros tres nLmeros ue suman -II. Rno de dic!os nLmeros es:
a( d( %
=
b( D e ( I%
6abien iendo do ue %1$ 6ab
16$ En una proporción 1eom>trica continua" la suma de lo loss t> t>rm rmin inos os eSt Stre remo moss es & y la de lo loss anttece an ced dentes es %-. Calcular la ? m! m!0i 0ia a 0i@!r!ncia. de la media proporcional y uno de los eStremos.
a( D* d( -&
6
" 6e tiene ue: a 65 b 35 d 0 : c #orman una proporción aritm>tica. Kar a NbNcNd
seri rie e de tr tre es ra razzon one es 1e 1eom om> >tri rica cass 13$ En una se euivalente y continuas" el primer antecedente es veces el Lltimo consecuente. Qallar el valor de la constante de proporcionalidad. a( d( )
a
%<$ Kada la si1uiente serie de razones:
a% + b% + = = G D&
c ( % PAG – 05
1
3
c% + F . -G
ARITMÉTICA
Es una medida de tendenci cia a ce cen ntral al.. 6e recomienda usarlo para los valores de crecimiento eSponencial y está defnido por:
Qallar a•b•c si: a N b N c / a( * d( G
b( F e ( )
c ( %
M9 o $9 /
a c e % = = = J e# ab cd /I- y b d # I Calcular: e N #
%=. 6i:
a( I& d( ID
b( I e ( I-
a% + c% = G% .
c ( I% *
# 1 C 1 1 E % 1 +
# % K 1 % K % % A
# 3 E 1 3 C % 3 K
b( D c( e( ) CUADRO DE C&AVES # # # # # 6 7 ; < = E A C C E 1 1 1 1 1 6 7 ; < = A A E A A % % % % % 6 7 ; < = + C C A C
n MQ o $Q / + + + ....... + a a% aD an En el caso de dos cantidades ;a< y ;b< podemos escribir 1. MA /
# > A 1 > K % > K
a . a% . aD . .. .........an
3$ Pr"m! Pr"m!0i" 0i" " '!0i '!0ia a Armón Armónic ica a Es una medida de tendencia central y podemos decir ue es la inversa de la media aritm>tica de las inversas.
suma ma de los antece antecede dent ntes es de la se seri rie e de %>$ 2a su razones 1eom>tricas i1uales: a a% aD a = = = .... = n J es %G%. % - %n Qallar n" si la razón 1eom>trica es entera positiva y menor ue &. a( % d( *
n
a+ b %
%.
M9 /
ab
% %ab = 3. MQ / a + b + a b
1 # K % # C 3 #
2os promedios o medias 1ozan de las si1uientes propiedades: i$
El promedio aritm>tico es mayor ue el promedio 1eom 1e om>t >tric rico o y es este te a su vez es mayor mayor u ue e el promedio armónico. $A U M9 U MQ
#
ó
MA U M9 UMQ
⇒ ESiste la posibilidad de ue los tres promedios sean i1uales.
PRO'EDIOS Y 'EDIAS El promedio de un conjunto de nLmeros" es una cantidad ue se encuentra entre el menor y mayor de un conjunto de nLmeros.
trata de las las cantidades cantidades ;a< ;a< y ;b<" la la media II. 6i se trata 1eom>trica es " a su vez" media 1eom>trica" entre la media aritm>tica y la armónica.
6ean ;n< ;n< cantidades ordenados se1Ln su ma1nitud y cuyo promedio es $.
M9 /
MA.MQ
M9% / MA . MQ
Pr"m!0i" /"n0!ra0" * P $ P + Es un pr prom omed edio io ar arit itm> m>ti tico co de un co conj njun unto to de nLmeros ue se repiten con cierta #recuencia. Así tenemos:
a " a% " aD T ............T an
a T $ T an
0Lmeros 0Lmer os Cr>dito (
C&ASES DE PRO'EDIOS O 'EDIAS 6ean ;n< cantidades: a " a% " aD " ............ " an 1$Pr"m!0i" " '!0ia Aritmética: Es una medida ue tendencia central y está defnido por:
MA o $A /
ó
a + a% + aD + ...... + an n
$.$ $.$ =
%$ Pr Pr"m! "m!0i" 0i" " '!0 '!0ia ia !" !"mé métr tric ica a: PAG – 05
1
3
Vrecue recuencia ncia a a% aD . . an
# # % # D . . # n
a.# + a%.# .#% + aD.# .#D + ..... + an.# .#n a + a% + aD + .... + an
' $e $eso so ó
ARITMÉTICA
#<$ El promedio aritm>tico de cinco nLmeros impares consecutivos es un tercio del promedio aritm>tico de nLm nLmer eros os par pares es con consec secuti utivos vos tal tales es ue el promedio aritm>tico de los dos menores nLmeros pares indic indicados ados es I. 6eHal 6eHale e el valor del menor de los impares mencionados.
Este tip Este tipo o de promedio promedio es uti utiliz lizado ado al calc calcula ularr el promedio de promedios
a( d( I
b( e( I
a ( D d( -%
c( F
b( %"* e( 0.A.
a( %)m% d( D)
c( GF")
a( d( 11$
restantes es m( m + %) ( m − %) . Qalle aNbNm 'aTb(
b( e( I
c( F
b( F& e( 0.A.
c( )G
b( G e( 0.A.
c( D
El prom ome edio ar ariitm>tico de nLmeros consecutivos es %Gn.6i se elimina al mayor de los nLmeros" el nuevo promedio es %-n. Encuentre la media 1eom>trica entre el mayor y el menor de los nLmeros
Qalle m1 ( aJ %bJ Dc) a ( %G d( &*
b( -& e( I&
c ( G&
13$ En una empresa la suma de las edades de todos los empleados es % ) y la edad promedio es %I".. $e %I" $ero ro si de eso esoss emp emplea leados dos"" los !ombres !ombres tuvieran - aHos más y cada mujer tuviera % aHos más"" la eda más edad d pro promed medio io aum aument entaría aría D"% D"%G G aHos aHos.. 7ndiue la relación entre el nLmero de !ombres y el nLmero de mujeres.
c( %
#;$ 2a edad promedio de aG personas es bD aHos. 6i se retiran cierto nLmero de personas ue tienen aa aHos" el promedio de las restantes es aa . Qalle aNb
a( d( )
b( %* e( G
6i. aTbTc" de modo ue ma ( a" b" c) = DG.
nLmeros es a a . Qalle el promedio aritm>tico de los cuatro nLmeros b( &* e( 0.A.
c( D*
b( % n c( - n d( % n e( & n* 1%$ $ara tres nLmeros enteros a" b y c se cumple: m1( a" b) m1( b" c) = % D
promed medio io 1eo 1eom>t m>trico rico de D nLm nLmer eros os ent entero eross #7$ El pro di#e di #ere rent ntes es es ;a< ;a<.. 6i se con consi side dera ra el nL nLme mero ro promed medio io 1eo 1eom>t m>trico rico de los cuatro cuatro ( a − ) b " el pro
a( F d( -
b( D& e( -&
a ( )n
#6$ Kurante un recorrido de %& =m" % llantas de un automóvil se malo1raron por lo ue se utilizaran llantas en lu1ar de -. Calcule cual es el recorrido promedio de cada" llanta.
a( F% =m d( )&*
c( -
Cuánto ntoss nLm nLmer eros os de la #orma ab eSisten" tales 1#$$ Cuá 1# ue la media armónica de ab y ba es )IB
nLmeros ros es ab& " si se eliminan b #3$ El promedio de ab nLme nLmeros nLmer os cuyo promedio es b& " el promedio de los
a( G d( &*
b( DF e( -D*
#>$ 6e tiene un terreno de #orma rectan1ular" cuyo perímetro perím etro es %-m. Ketermine Ketermine el mayor valor ue puede tomar el área de dic!o terreno.
eSame amen n m> m>dic dico o el peso promedio promedio de los #%$ En un eS !ombres es de G"I =1 y el promedio de las mujeres es G"- =1" !abiendo la misma cantidad de !ombres y mujeres. 6i no se considera a la mitad de las mujeres cuyo promedio es el mismo ue el total de las mujeres" @Cuál es el promedio de los !ombres y las mujeres restantesB
a( G") d( GF"-G
c( G
#=$ 2a media aritm>tica de ( %a) ( a + -) nLmeros pares de dos ci#ras es %"). @Cuál es la media aritm>tica de los demás nLmeros pares de dos ci#rasB
#1$ 2a nota promedio en un eSamen es $" pero se decide aceptar los reclamos y al revisar los eSámenes se aumentan % puntos a los %D de la clase y punto al resto" siendo el nuevo promedio G" 7ndicar la suma de las ci#ras de $.
a( G* d( &
b( D* e( F
% D G d( a(
c( *
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1
3
D % G e( * D
b(
c(
D
ARITMÉTICA
16$ 2a media 1eom>trica de cinco nLmeros enteros di#erentes es %. Calcular la media aritm>tica de los dos menores nLmeros.
a( % d( G
b( D e( *
TAREA DO'ICI&IARIA
c( -
%1$ Qallar el mayor de dos nLmeros enteros sabiendo ue se di#erencian en - y su m.a y m.! son % nLmeros enteros y consecutivos
17$ El promedio de las edades de ;m< personas es -" el promedio de otras ;n< personas es % y el promedio de las ;m N n< es D. Qallar nm
a ( &" G % d( D
b( *
a( % d( )
c( "G
e( %
b( )& e( -G*
a(
b( %e( D&
c( &
b( y % e( nin1uno
c( %d
b( D& e( &
c( -&
%6$ 6i la m.a de D nLmeros de D y la m.1 de dic!os nLm nL mer eros os es es:: D &"&&%I y su m.! es &"%I% &"%I%I. I... .. 6eHalar uno de dic!os nLmeros.
c( %&
a( &"%d( &" 3
b( &"% e( 0.A
c( &"& 4
@Cuánt ántos os par pares es de nLm nLmer eros os ent enter eros" os" dis distin tintos tos %7$ @Cu eSisten tal ue el producto de su MA" M9 y MQ sea D)%-B a( & d( %
b( e( 0.A
c( %&
CUADRO DE C&AVES # 1 A 1 1 E % 1 C
c( D-*
%#$ En un 1rupo de G niHos" el promedio de sus peso pe soss es -& =i =ilo los. s. @C @Cuá uáll de la lass si si1u 1uie ient ntes es afrmaciones son correctasB suma de los pesos pesos de todos todos los niHos niHos es 1$ 2a suma mayor de % &&& =1 %$ 6i se sabe ue uno de los niHos pesa & =1" se concluye ue entre los otros niHos" nin1uno de ellos debe pesar menos de D& =1. 3$ 6i se incluye un niHo mas em El 1rupo" cuyo peso es -& =1" El nuevo promedio E6 mayor de -& =1
a( solo * d( y D
%d − %
e( 0.A
a( %& d( G&
a( D&X b( -&X* c( G&X d( &X e( )&X 1>$ En un 1rupo de personas el nLmero de mujeres es el triple del nLmero de !ombres" pero el promedio de edades de ellos es el triple del promedio de edades de ellas. 6i el promedio de edad del 1rupo es G aHos" @Cuál es el promedio de edad" en aHos" de las mujeresB b( D e( &&
b(
%3$ El promedio de - nLmeros es IGJ la m.a de los dos menores es G& y la m.1 de los % mayores es -&" determinar la di#erencia de los mayores nLmeros.
1=$ $ara un curso de Aritm>tica se tiene alumnos de prim pr ime era ma matr tríc ícul ula a y al alum umno noss de se se1u 1und nda a matrícula. 6i la nota promedio de la sección #ue de G puntos y el 1rupo de alumnos de primera matrícula obtuvieron nota promedio de I puntos y lo loss de se se1u 1und nda a ma matr tríc ícul ula a ob obtu tuvi vier eron on en prome pr omedi dio o % pu punt ntos os.. @W @Wu> u> po porc rcen entaj taje e de lo loss alumnos son de se1unda matrículaB
a ( -G d( F-
d− %
d( dY&"b
promedio o de nLm nLmero eross es S . 6i se retira el 1<$ El promedi mayor" mayo r" el pr prome omedio dio se re reduc duce e en - uni unidad dades. es. Qalle Qal le la di di#e #ere renci ncia a en entr tre e S y el nLmero mayor retirado. a ( %d( %&*
c( *
d% . Ketermine Ketermine la m.a m.a %%$ 6i: m.a de ab J cb y d es d% de a y c.
1;$ 6e tiene - nLmeros. Al aHadir el promedio de tres de el ello loss al nL nLme mero ro re rest stan ante te"" se ob obti tien ene e lo loss nLmeros I" %" %D y %F. Entonces" la suma de los - nLmeros es i1ual a:
a ( F& d( G&
b( e( &
c( % y D PAG – 05
1
3
# % + 1 % K % %
# 3 K 1 3 E % 3
# 6 K 1 6 E % 6
# 7 + 1 7 + % 7
# ; C 1 ; E
# < + 1 < K
# = E 1 = +
# > C 1 > C
1 # + % # A
ARITMÉTICA
Anal alic ice e CONTENIDO TEÓR CONTENIDO TEÓRICO ICO An in#ormación. 'ANITUDES PROPORCIONA&ES$
la si si1u 1uie ient nte e
DIRECTA'E 'EN NTE
En un una a #á #ábr brica ica % ob obre rero ross !a !ace cen n I% pa pare ress de zapatos por día" 6i se aumenta el doble" triple" cuádru cuá druplo plo"" etc etc.. El nLm nLmer ero o de obr obrero eros. s. @En u> proporción aumentará la producción de zapatos en cada vezB. Z si en vez de aumentar disminuye a la mita mi tad" d" te terc rcia" ia" cu cuart arta !t !tc$ c$ E. nm nm!r !r" " 0! 0! dismin minuir uirá á la "r!r" "r !r", , ! !n n 82é /r" /r"/"r /"rció ción n dis producción de zapatosB. R!/r!,!ntación E,82!mtica
% obreros !acen I% pares S -: S D: S %:
-) obr obrero eross !ace !acen n %)) par pares es : D obr obrero eross !ace !acen n % par pares es %- obr obrero eross !ace !acen n -- par pares es :
S:SD S%
% obreros !acen I% pares :% :D :-
obreros !acen D pares - obreros !ace cen n %- par are es D obreros !ace cen n ) par are es
:% :D :-
En est esta a pro propor porcio cional nalida idad d al ser mul multip tiplica licados dos el nLmero de obreros por %" tambi>n la producción en la obra !a sido multiplicado multiplicado por %J al multiplicar multiplicar por D al nLmero de obreros" la producción tambi>n !a sido multiplicado por D $or ejemplo" si contamos la cantidad de panes ue se pueden comprar con cierta cantidad de soles F SO&E PAN S ES MAGNITUDES sol ) panes % soles panes PROPORCIONALES D soles %- panes - soles D% panes 'ANITUDES DIRECTA DIRECTA E INVERSA'ENTE PROPORCIONA&ES$ CAPACIDADES
Además" se cumple ue el cociente de los valores correspondientes de las ma1nitudes es co nstante: ' panes 8 16 24 32 = = = = /) soles 1 2 3 4 'constante(
6aber ue al comp 6aber comparar arar dos ma1 ma1nit nitude udes" s" >st >stas as pueden pue den var variar iar cuan cuando do tom toman an div divers ersos os valo valore ress dependiendo una de otra. 6abe 6a berr u ue e do doss ma ma1n 1nit itud udes es so son n di dire recta ctame ment nte e proporcional cuando al multiplicar o dividir una de ella el lass po porr un nL nLme mero ro la ot otra ra ca cant ntid idad ad u ued eda a multiplicada o dividida por el mismo nLmero. 6abe 6a berr u ue e do doss ma1 ma1ni nitu tude dess so son n in inve vers rsam amen ente te proporcional cuando al multiplicar o dividir una de ella el lass po porr un nL nLme mero ro la ot otra ra ca cant ntid idad ad u ued eda a dividida o multiplicada por el mismo nLmero.
6i 1rafcamos los valores correspondientes de las ma1nitudes en el plano.
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3
ARITMÉTICA
fuer/a > ! " lue1o no valdría el modelo d / .V" tampoco se puede tomar V muy 1rande" porue el reso re sort rte e se de dest stru ruir iría ía y po poco co an ante tess de es eso o su de#ormación no sería proporcional a V. V.
$% de panes)
32 24
Kos ma1 ma1nit nitude udess son dir direct ectame amente nte pro propor porcion cionale aless cuan cu ando do mu mult ltip ipli lica camo moss a un una a de el ella lass po porr un nLmero" la otra ueda multiplicada por el mismo nLmero y al dividir a una de ellas por un nLmero la otra ueda dividida por el mismo nLmero.
1 !"
α
#8
8 α
1
2
3
4
$S&' )
'ANIT 'AN ITUD UDES ES INVE IN VERS RSA' A'EN ENTE TE PROPORCIONA&ES$ 6i obreros pueden !acer una construcción en D& días. 6i se duplica o triplica el nLmero de obreros" o si se !acen trabajar la mitad o la tercia de obreros. @En cuántos días !arán la construcciónB.
2os puntos se encuentran sobre una recta ue pasa por el ori1en.
OBSERVACIÓN 2a pendiente de la recta es i1ual a la constante de propor pr oporcio cionali nalidad dad.. Est Este e valo valorr se pue puede de cal calcul cular ar como la tan1ente del án1ulo a1udo ue #orma la recta con el eje ( . En 1eneral :
R!/r!,!ntación rGca obreros lo !acen en D& días
+
A +**$ →
)alor de A
=
)alor de $
SD S%
) obre obreros ros !acen en & días : D % obre obreros ros !acen en G días : % obreros !acen en D& días
cons tan te
:% :D
D ob obrreros !ará rán n en & días S% % ob obre rero ross !a !ará rán n en F& F& dí días as S D
En esta proporcionalidad al duplicar el nLmero de obreros" el tiempo para !acer la obra es la mitadJ si se triplica el nLmero de obreros se empleará la tercera ter cera part parte e del tie tiempo mpo.. Al usar usar la la mitad mitad del del nLmero de empleados" el tiempo se duplicará" duplicará" etc.
OBSERVACIÓN
A + $ Se lee A es directamente
A α $ proporcional a $
6upon1amos ue una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de )& =m. Entre una ciud ci udad ad y ot otra. ra. 6ea V la velocidad constante del auto y t el tiempo transcurrido en el viaje.
6e pu pued ede e af afrm rmar ar u ue e el va valo lorr de un una a de la lass ma1nitudes depende linealmente de la otra:
V*Hm+
t
(onstante $pendiente de la recta)
f . (-
=
D& -G & F&
,(
alor de +
alor de *
=
,
×
D %
6e puede observar ue al duplicar la velocidad" el tiempo se divide entre %" y al triplicar la velocidad el tiempo se reduce a su tercera parte. Además se cumple ue el producto de los valores correspondientes de las ma1nitudes es co nstante.
En particular" cuando afrmamos ue una ma1nitud A es pro propor porcio cional nal a otra ma1nitud ma1nitud +" deb debemo emoss dejar claro 'eSplicita o tácitamente( ue esto se da dentro de ciertos límites de variación para S e y. $or ejemplo la conocida ;2ey de Qoo=e< dice ue la de#orm de# ormació ación n su# su#rid rida a por un cue cuerpo rpo elá elásti stico co 'po 'porr ejemplo" un resorte( es directamente proporcional a la '7ntensidad de la( #uerza empleada. deformaci0n
* +
?St / D& S / -G S - / & S D / F& S % / constante
. fuer/a-
2a 1ráfca de los valores correspondientes de las ma1nitudes en el plano es:
2a va vali lide dezz de esta ecu cuac ació ión n co como mo mo mod del elo o matemá mat emático tico par para a re repre prese sentar ntar al #en #enóme ómeno no es está tá sujeta a restricciones" la #uerza no puede ser muy peueHa porue entonces aLn siendo positiva" no sería sufciente para de#ormar el resorteJ en este caso tendríamos de#ormación i1ual a & con una PAG – 05
1
3
ARITMÉTICA
$/m&0) l rea de cada rectn"lo e se "enera con n pnto de la cr5a es i"al a la constante de proporcionalidad
18,
., ,
con n n% − m% cu cuand ando o ;p ;p<< es #1$ 6i n% + m% es K.$. co const con stan ante teJJ ad adem emás ás m% + p% es K.$.c K.$.con on m% − p% cuando ;n< es constante. Qallar ;n< cuando p / -J si se sabe ue cuando n / )J p / .
43,
1
2
3
4
t$0)
2os puntos se encue encuentran ntran sobre una rama de !ip>rbola euilátera.
a( d( -
En 1eneral: A 1 $
→
Esta eSpresión se puede eSpresar:
=
)alor de A
L
,
→
Cons tan te
(
→
)alor de $
P G Y % Z % G
a ( FI d( D
a( d( -
I$ 6i: A K.$ K.$.. + [ + K.$ K.$.. C ⇒ A D$P$ C
ó A K.$ K.$.. +
III$ 6i:
1 K
D%
A D$P$
⇒
D $P $
1 Y
B
a ( % d( )
1 B
L D$P$ Y
A BKC
a( d( F
c( D
b( e( -&
c( *
b( I e( &*
c( )
#;$ 6abiendo ue: A 67 + si: + ≤ GJ A 7$ +% si: + ≥ G Cuando ;A< vale - ;+< ;+< es G. Qallar el valor de A cuando + es D&
M
7.$. + 'C / cte( V$ A 7.$. A 7.$ 7. $. C '+ / cte(
⇒ A I$P$ B S C
b( %* e( G
#7$ Con !ombres ó G mujeres se pueden construir una obra en %- días. @Cuántas mujeres se debe a1re1ar a - !ombres para construir dic!a obra en ) díasB
IV$ 6i A K.$. + 'C es costante( A K.$ K.$.. C '+ es consta constante( nte(
⇒ A D$P$ B S C
c( %D*
#6$ )& obreros trabajando ) !d construyen -)& m % de una obra en G días. @Cuántos días se reuiere para ue %& obreros trabajando & !d !a1an F& m% de la misma obraB
1
A I $P$
b( &) e ( -G
#3$ Kividir G-& en D partes K$ a: %a% J ) y D% . 2a suma de las dos Lltimas partes es -%&. Qallar el valor de ;a<
PROPIEDADES
⇒
& ) % D F
Kar como respuesta ;L Y
Kos cantidades son inversamente proporcionales cuando al multiplicar a una de ellas por un nLmero" la otra ueda dividida por el mismo nLmero y al dividir a una de ellas por un nLmero la otra ueda multiplicada por el mismo nLmero.
II$ 6i: A 7.$.+
c( D
#%$ 6e sabe ue \ es K.$. al cuadrado de $ y con el cubo de Z > 7.$. con la raíz cuadrada de 4. En base a >sta in#ormación completar el cuadro si1uiente:
. )alor de A -. )alor de $- = cons ta
f. ( -
b( %* e( G
a( d( -
A S B S C H
b( % e( G
c( D*
#<$ DG obreros pueden terminar una obra en %I días. Al cabo de días de trabajo se les junta cierto PAG – 05
1
3
ARITMÉTICA
nLmero de obreros de otro 1rupo de modo ue en G días terminen la obra. @Cuántos obreros eran del se1undo 1rupo.B a( -* d( &
b( D e ( G
ue tarda en una revolución completa alrededor del sol( es K$ al cubo del radio medio de su órbit órb ita. a. 6i sabemo sabemoss por observ observaci ación ón u ue e el peri pe riod odo o de ]L ]Lp pit iter er es % aH aHos os te terrrestr tres es.. Keterminar aproSimadamente la relación:
c ( %
rM de ]Lpit ]Lpite er rM dela tierr ierra a
divi vide de un una a ca cant ntid idad ad N en #orma K$ a D #=$ 6e di nLmero nLm eross ue #or #orman man una pro propor porción ción arit aritm>t m>tica ica continu cont inua. a. 6i la part parte e corr corresp espondi ondient ente e a la med media ia di#erencial es . Calcular la suma de las otras dos partes a( %) d( DG
b( D e( D
a( G"%& d( G"%-**
c( D%*
b( )&&* e( F&&
% D I% D% ) a( d( -
c( IG&
b( "X* e( "FX
a( % GI& d( % )I&
c ( )X
b( G-& e( -F&
c ( -I&
a( % !d d( -**
1%$$ 6e sabe ue una ma1nitud ;A< es K$ a la raíz 1% cuadrada de ;+< para valores de ;+< menores o i1uales a -G y ue ;A< ;A< es 7$ al cuadrado de + para valores de + mayores o i1uales a -G. 0ótese ue + / -G es un punto punto de enlace. 6i cuando + / G J A / %. Qallar ;A< cuando + / F&
a( ) d( D
e( )
b( %I
b( %I** e ( %D
b( % GIG e( % G&
c( % GF&**
b( D e(
c(
1=$ 6i un reloj ue da la !ora por campanadas puede darr D ca da camp mpan anad adas as en G se se1u 1und ndos os.. @E @En n u u> > tiempo dará campanadasB
a ( & d( %
c ( F*
b( GGD c( %G**
c ( DD
1>$ Rnos aserraderos cortan un tronco en trozos de metro. 6i cada tronco mide G metros y el aserrado transve tran sversa rsall de cada uno reuier reuiere e minutos. @En cuánto tiempo aserrará -) troncosB
abe e u ue e el ca caud uda al es la co cons nsta tant nte e de 13$ 6e sab propo pr oporc rcio iona nali lida dad d pa para ra el ár área ea de la se secci cción ón transversal de una tubería y la velocidad del a1ua ue circula a trav>s de ella y >stas ma1nitudes son 7$ en una tubería de dos sectores uno mas an1osto ue el otro" los radios están en la relación de % es a D. 6i la velocidad en el sector de mayor radio es % ms. Qallar la velocidad en el otro sector a( %- ms d( -G
c( D
1<$ 6e está construyendo un monumento ue se debe term te rmin inar ar de dent ntro ro de ) dí días as"" pa para ra lo cu cuál ál se emplean %- obreros ue tienen una jornada de trabajo de ) !d" al cabo de F días se en#erman D obreros #altando al trabajo D días. @Cuántas !oras más por día deben trab trabajar ajar >stps tres obr obrer eros os durante los días restantes para ue la obra se entre1ue en el plazo fjadoB
Carloss de desc scub ubre re u ue e lo loss 1a 1ast stos os u ue e !a !ace ce en 11$ Carlo celebrar su cumpleaHos son K.$ al nLmero de invitados > inversamente proporcional a las !oras ue ocupa en preparar la reunión. 6i la Lltima vez 1astó 6 %&&J invitó && personas y ocupó % !oras. !ora s. @Cu @Cuánt ánto o a!or a!orrará rará inv invita itando ndo %& per person sonas as menos y ocupando - !oras másB a( D%& d( -)&
b( %* e( %
% S
1;$ A es K$ a - > 7$ al cuadrado de D mientras ue + es K$ a D > 7$ al cuadrado de -. 6i A y + suman DI&. Encontrar en cuanto se di#erencian A y +
presión del 1as contenido contenido en un reci recipient piente e 1#$ 6i la presión de vo volu lume men n ? se tr trip ipli lica ca"" el po porrce cent ntaj aje e de disminución del volumen ;v< es: a( G"GX d( I&X
c( G"%
tien ene e % ma ma1n 1nit itud udes es A y + en el si si1u 1uie ient nte e 17$ 6e ti cuadro" cuad ro" se mue muestr stra a los valores valores ue toman sus variaciones. Qallar ;S<.
#>$ El precio de un ladrillo es proporcional a su preso > 7$ a su volumen" un ladrillo de densidad "G 1rcmD cues cuesta ta D&&. @Cuánt @Cuánto o costará un ladril ladrillo lo de D -&& cm ue pesa " =1.B
a( && d( G&
b( G"%F e( G"G
a ( % !r d(
b( D e ( -" G
c( -**
%#$ Rna tripulación de ;n< !ombres tiene víveres para ;d<< dí ;d días as"" si se re redu duce ce a la te terc rcer era a pa part rte e el nLmeros de días de viaje. @Cuántos !ombres más podrán viajarB
c ( D%
a ( % n D d( Dn
16$ 2a tercera 2ey de epler dice ue: El cuadrado del periodo de un planeta dado 'esto es" el tiempo PAG – 05
1
3
b( Dn% e( %n*
c( %nG
ARITMÉTICA
%1$ 2a ma1nitud A es K$ al cuadrado de + > 7$ a C. 6i + aumenta en &X y C disminuye en %&X. @En u> porcentaje aumenta AB
a( DGX d( G"%GX**
b( DI" G&X e( G-X
# 1 + 1 1
c( &X
% 1 K
%%$ El precio del arroz es K$ al cubo del precio de la papa > 7$ al cuadrado del precio de la carne. 6i el precio de la papa aumenta dos veces más y el de la carne aumenta D veces más. @En u> #racción aumenta ó disminuye el precio del arrozB a( aumenta en b( disminuye en G * e( aumenta en )
c( aumenta en
d( disminuye en
b( %G &&& e( DG &&&
b( * e ( G
b( & días e( )& días
c( D% &&&
b( G e( -*
c ( )
# = C 1 = C % = C
# > + 1 > C
1 # + % # E
EJE'P&O DE AP&ICACIÓN
Kon 2uis Alberto uiere repartir 6. ) && entre sus tres nietos" cuyas edades son )"% y %& aHos. El abuelo abuel o piens piensa" a" con justa razón" razón" ue su nieto de %& aHos tiene mayores necesidades económicas ue su otro ot ro ni niet eto o de ) aH aHos os"" en enton tonce cess de deci cide de !a !ace cerr el reparto K.$. a las edades de sus nietos. Esto implica ue auel nieto ue ten1a más edad" recibirá más dinero" y el ue ten1a menos edad" recibirá menos dinero. ?eamos lo ue sucede.
c( -G días
6ean las partes A" + y C" tales ue cumplen las si1uientes condiciones: A + C A N + N C / 6. )&& ∧ = = = ) % %& A = )= + = %= C = %&=
c ( D
R!c2!r0! 82! c2an0" 0", ma5nit20!, ,"n D$P$ !. c"ci!nt! !ntr! !..a, !, 2na c"n,tant! D$P$ c"n, tant!.
a( aumenta en % b( disminuye disminuye en -* c( aumenta en ) d( disminuye en G e( aumenta en -
Entonces: ) = N % = N %& = / )&& -& = / )&& ⇒ = / %&
%=$$ El nLmero de artículos ue se pueden comprar %= con una suma de dinero aumentaría en G. 6i se variase en %&X el precio de cada artículo. @Cuál es dic!o nLmero de artículosB
b( G e( G
# < A 1 < K % < +
1$1 DIRECTO 'Cuando intervienen % ma1nitudes K.$.( K.$.(
%<$$ 6i la ma1nitud \ es 7$ a la raíz cuadrada de 4. %< @Wu> variación eSperimenta \ cuando el valor de 4 disminuye en un F%GB
a( & d( %
# ; C 1 ; C % ; E
1$REPARTO SI'P&E 6e llama así porue intervienen sólo dos ma1nitudes proporcionales. $uede ser a su vez de dos tipos:
%;$ Rna 1uarnición tiene víveres para cierto nLmero de días" si se aumenta en su tercera parte el nLmero de soldados de la 1uarnición. @En cuánto deberá reducirse la ración para ue los víveres duren el mismo tiempoB
a( % d( )
# 7 E 1 7 + % 7 K
C&ASES
reloj marca marca la !ora !ora a las ;&< !oras !oras de un %7$$ Rn reloj %7 cierto día" día" si se sabe ue ue se adelan adelanta ta - minutos minutos cada % !oras. @Cuánto tiempo transcurrirá para ue nuevamente marue la !ora eSactaB a( %& días d( F& días*
# 6 C 1 6 K % 6 +
Es un procedimiento ue tiene como objetivo dividir una cantidad en partes ue sean proporcionales a ciertos valores" llamados índices.
%6$ 6i A es el triple de rápido ue +. 6i juntos pueden !acer cierto trabajo en % días. @Cuánto tiempo le tomará a A !acerlo soloB
a( % d( -
# 3 + 1 3 + % 3 K
D
%3$ El precio de un diamante varía proporcionalmente con el cubo de su peso. Rn diamante ue cuesta 6 - &&& se rompe en dos pedazos de los cuales uno es el triple del otro.@Cuál es la p>rdida su#rida al romperse el diamanteB
a( 6 D& &&& d( D &&&*
# % C 1 % C % % C
2ue1o cu le responde: A = ) × %& + = % × %& C = %& × %&
c( %&*
CUADRO DE C&AVES PAG – 05
1
3
⇒
A = 6 . .& + = 6 . %%-& C = 6 .-& .-&&.... ....3 3pta.
ARITMÉTICA
$odemos resolver el problema mediante el si1uiente esuema práctico.
S&' 8,,
A 8
2
$ 12
3
C 2!
5
==
+ / - . D &&& C / D . D &&& 3pta.
S&' 1, S&' 24,
⇒ ⇒
+ / 6. % &&& C / 6. F &&& ......
$od odem emos os re reso solv lver er el pr prob oble lema ma em empl plea eand ndo o el m>to m> todo do pr prác ácti tico co"" pl plan ante tead ado o en el ca caso so anterior: A .% = 6 . )&&& % → → 6 .DF&&& + . % → → - = 6 .%&&& D D F&&& = 6 . F& C - .% →→ DF&&& == = D&&& + -+ D
S&' 4,,
)&& = )& % + D+ G
0o olvide: M.C.M. '%"D"-( / % bserve bserv e ue los nLm nLmer eros os ue re repre presen sentan tan las #altas de estos D empleados se colocan invertidos 'recuerde ue el reparto es 7.$.(" lue1o si a cu de esto es toss se le less mu multi ltipl plica ica por % %"" la re relac lación ión de proporcionalidad no se altera. 2o ue se realiza a continuación es lo mismo ue se !a descrito en el reparto anterior 'reparto directo(.
bserve ue si simplifcamos los tres nLmeros" la relación de proporcionalidad no se alteraJ lue1o la consta con stante nte de re repart parto o ;=< se !al !alla la div dividi idiend endo o la cantidad a repartir '6. F&&( entre la suma de las part pa rtes es '% '%"D "D y G( G(.. Vin inalm almen ente te"" las can canti tidad dades es recibidas por cu se !allan multiplicando %" D y G por =. 1$% INVERSO 'Cuando intervienen % ma1nitudes 7.$ 7.$.( .(
llam ama a así así po por rue ue %$ REP REPAR ARTO TO CO'P CO'PU UES ESTO TO 6e ll intervienen más de dos ma1nitudes proporcionales.
E4!m/." 0! a/.icación
E4!m/." Rn 1erente desea repartir una 1ratifcación de 6. -% &&& entre sus tres empleadosJ en partes K.$. a sus sueldos '6. D %&&" 6. - %&& y 6. G -&&( e 7.$. a su suss #a #alt ltas as ''-"" y F dí días as re resp spec ectiv tivame ament nte( e(.. @Cuánto le corresponde a cada unoB
El 1erente de ^ + Editores" uiere compensar a sus tre tress me mejor jores es emp emplea leados dos ent entre re1án 1ándole doless una 1ratifcación 1ratif cación en navida navidad d por su buen buena a produ producción. cción. El pro proble blemas mas es ue los tre tress emp emplea leados dos tienen tienen al1unas #altas y desea ue esa situación se vea re_ejada en el reparto. Entonces plantea repartir los 6. DF &&& en partes 7.$. a sus #altas" ue son %" D y - días respectivamenteJ esto implica ue auel empleado ue ten1a más #altas" recibirá menos dinero" mientras ue el ue ten1a menos #altas recibirá más dinero. ?eamos lo ue sucede.
S".2ción 3esolver 3es olveremos emos el probl problema ema utili utilizando zando el m>todo práctico. A D%&& . ) = 6 .&&& → → = 6 .-%&&& + = -%&& . → I → = 6 .-&&& → = 6 .%&&& C = G-&& . F → -%&&& == = %&&& )+ I+
6ean las partes A" + y C" tales ue cumplen las si1uientes condiciones: A N + N C / 6. DF &&& A.%/+.D/C.Entonces" dividiendo la Lltima Lltima eSpresión eSpresión entre % 'M. C. M. '%J DJ -(/ %(: A = = A . % +. D C. A + C J = = = = = J + = -= % % % - D C = D=
bserve ue a pesar ue el tercer empleado 1ana máss '6 má '6. . G -& -&&( &( no es >l ui uie en rec ecib ibe e má máss 1ratifcación. Esto se debe a ue sus #altas 'F días( son muc!as" causando una disminución en la 1ratifcación ue recibió.
Recuerde que cuando dos magnitudes son I.P I. P. el produ product cto o en entr tre e el ella las s es una constante.
2ue1o: = N - = N D = / DF &&& D = / DF &&& ⇒ = / D &&& A cu le corresponde: A / . D &&&
⇒
#1$ 3epartir 6. -GD en - partes cuyos cuadrados sean directamente proporcionales a -" F" y %G. @Cuál es la mayor cantidad repartidaB
A / 6. ) &&&
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3
ARITMÉTICA
a( %F d( -)
b( %& * e( 0.A.
c ( FI%
son )J - y I aHos. 0o pareci>ndoles justo dic!o reparto" se acuerda ue sea en partes i1uales" entonces el D le da al %do )& soles y >ste da una cier ci erta ta ca cant ntid idad ad al e err. A cu cuánt ánto o as ascie ciend nde e la 1ratifcación.
#%$ Al repartir 6. %GG& en partes i1uales ue sean direct dir ectame amente nte propo proporci rciona onall a " %" D" -...n -...n se obtiene ue la suma de las %& primeras partes resulta 6. -%&. Qallar ;n ;n<. <.
a( I d( G& *
b( -G& e( 0. A.
a( 6. I)& * d( 6. F%&
c ( %&
b( D&&& * e( 0.A.
a( - soles d( % sol ole es *
b( &G&& * e( 0.A.
c ( DG&&
a( 6. %)& d( 6. &
#7$ Kos personas ue llevan G y D panes respectivamente se encuentran con un cazador !ambriento y comparten con >ste los ) panes en partes i1uales. 6i el cazador pa1ó 6. ) por su parte. part e. @Có @Cómo mo deb deben en rep reparti artirse rse los pas pastor tores es el dinero entre síB
a( 6. %&& * d( 6. %-&&
#;$ Rn !ombre decide repartir una !erencia en #orma proporcional al orden en ue nacieron sus !ijos. 2a !erencia total es 6. -)& &&&" adicionalmente deja 6.& &&& para el mayor" de tal modo ue el primero y el Lltimo !ijo reciban i1ual !erencia. @Cuál es el mayor nLmero de !ijos ue tiene este personajeB
b( e( I
1%$
c( G
b( 6. %-& * e( 6. )&
c( 6. F&
b( 6. G&& e( 6. D&&
c( 6. --&
6e reparte 0 en #orma proporcional a los primeros nLmeros impares positivos. 2a parte del tercero se reparte en #orma proporcional a )J y D y en este reparto" la se1unda parte es &&. Qallar la suma de las ci#ras de 0. a( ) d( G
or1a 1ani niza zado do un eve ven nto at atl> l>ti tico co en la #<$ Vue or modalidad de postas de -&& m planos. El euipo 1anador inte1rado por - atletas recibió un premio en e# e#ec ecti tivo vo"" el cu cual al se re repa part rtió ió en entr tre e el ello loss inve in vers rsam ame ent nte e pr prop opor orci cion onal al al nLm Lme ero de se1undos ue se demoraron en recorrer su tramo '&& ' && m( los cua uale less !a !an n sid ido: o: )J FJ & y % se1u se 1und ndos os re resp spec ecti tiva vame ment nte. e. 6i el má máss ve velo lozz !ubi !u bier era a de demo mora rado do un se se1u 1und ndo o má máss !a !abr bría ía reci re cibi bido do `% `%G G me meno nos. s. A cu cuán ánto to as asci cien ende de el premio. a( 6. %&) b( 6. &&F d( 6. 6. & &%D %D * e( 6 6. . DD-I I
c ( D- s o l e s
11$ Cuatro breros se repartieron una 1ratifcación en razón directa al nLmero de aHos trabajados en la empresa ue son DJ IJ - y ) aHosJ e inversamente proporcional al jornal diario en nuevos soles ue son IJ DJ % y % soles respectivamente. @Cuánto le corresponde al -to obrero si la 1ratifcación #ue de %&& nuevos solesB
a( 6 6.. G y 6. 6. D b( 6 6.. y 6. 6. % c( 6 6.. -y -y 6. 6.d( 6. I y 6. * e( 6. "G y 6. "G
a( D * d(
b( I soles e( % sol oles es
1#$ Arturo y ,oHo le invitaron un almuerzo a ]osefna en su cumpleaHos cubriendo Arturo el -& X de los 1ast 1a stos os y ,oH oHo o el re rest stoJ oJ en di dic! c!o o al almu muer erzo zo estu es tuvi vier eron on pr pres esen ente tess só sólo lo los D. t tro ro dí día a en a1radecimiento y en recompensa a los 1astos ue !abía !ab ían n re real aliz izad ado" o" ]o ]ose sefn fna a le less re re1a 1ala la un re relo lojj valorizado valoriz ado en 6. D&&. 6i Artur Arturo o uiere uedarse uedarse con dic!o reloj" cuánto dinero tiene ue darle a ,oHo , oHo por su parte.
c( D&&
#6$ 3epartir -%F&& en D partes" cuyas partes sean inve in vers rsam amen ente te pr prop opor orci cion onal al a los si si1u 1uie ient ntes es nLme nL mero ross 75 " 243 . 7ndicar como 147 " respuesta la menor cantidad repartida.
a( )F&& d(
c( 6. )&
,res res pastores Carlos" Vernando y 3enato 3enato llevan IJ #>$ , - y panes respectivamente. 6e encuentran con Anita y comparten con >sta los -% panes en partes i1uales. 6i Anita pa1ó 6. -% por su parte @Cuánto le corresponde a CarlosB
#3$ 6e reparte 6. &G&& entre - personas: lo ue le toca a la primera es a lo ue le toca a la se1unda como % es a DJ lo de la se1unda es a la tercera como - es a G y lo de la tercera es a lo de la Lltima como es a I. @Cuánto recibe la tercera personaB
a( D& d( G&
b( 6. )-& e( 6. I&
b( & e( )
c( D*
reparti artirr un nLm nLmer ero o en #or #orma ma dir direct ectame amente nte 13$ Al rep proporcional a tres nLmeros primos entre sí" se obtiene las si1uientes partes: %&J I% y G). Entonces la suma de los tres nLmeros primos es: a( F d(
b( % e( I
c( G*
16$ 3epartir I GG en D partes ue sean K$ a : 3n J 3n −1 y 3n +1 e 7$ a : 4 n −1 J 4 n +1 y 4 n . Kar como respuesta la suma de las ci#ras de la mayor cantidad
c( 6. %-D
a( D d( )
,res res obreros se reparten una 1ratifcación en #=$ , partes proporcionales a sus aHos de servicio ue PAG – 05
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b( G* e( F
c( I
ARITMÉTICA
CUADRO DE C&AVES
Cuat atro ro so soci cios os re reLn Lnen en %• 1! 6 17$ Cu
dólar dól ares es de los los D cuales el primero pone -&& &&&J el se1undo los G de lo ue puso el primero" el tercero los de lo D ue u e pu puso so el se se1u 1und ndo o y el cu cuar arto to lo re rest stan ante te.. ESplota ESp lotan n una ind indust ustria ria durante durante - aHos. 6i !ay ue repartir una 1anancia de G&& &&& dólares. @Cuánto le toca al cuartoB a( D&& &&& d( I&& &&&&
b( G&& &&& e( F&& &&&
#1 + #> K 1< K
#% K 1# + 1= E
#3 + 11 A 1> E
#6 + 1% C %# K
#7 K 13 C %1
#; A 16 + %%
#< K 17 C %3
#= A 1; E %6
c( && &&&*
1;$ Kos socios reunieron un capital de 6. & &&& para !acer !ac er un ne ne1o 1oci cio. o. El pr prim imer ero o de dejó jó su cap capit ital al durante D meses y el otro" durante % meses. @Cuál es la su suma ma de la lass ci ci#r #ras as de la di di#e #ere renc ncia ia de capitales" si las 1anancias 1anancia s #ueron i1ualesB
a( % d( D
b( ) e( %*
c( G
,res res vecinos !an alojado tropas" el primero 1<$ , !ombres y - caballos durante G días" el se1undo ) !o !omb mbre ress y D cab cabal allos los duran durante te % dí días as y el terc te rcer ero o & !o !omb mbre ress du dura rant nte e F dí días as.. 6i se le less concede así una indemnización de 6. )& &&& !á1ase el reparto sabiendo ue el alojamiento de % cab cabal allos los se con consi side dera ra e eui uiva vale lent nte e al de un !ombre. @Cuál es la menor indemnizaciónB a( 6. %) &&& d( 6. G& &&& &&&**
b( 6. D& &&& e( 6. & &&&
1
DEINICIÓN Es una aplicación de las ma1nitudes propo pr oporc rcion ionale aless u ue e con consis siste te en calcula calcularr un valor desconocido de una ma1nitud" comparando dos o mas ma1nitudes proporcionales.
c( 6. -G &&&
Kiariam riament ente e se re repart parten en 6. DD &&& entre dos 1=$ Kia obreros A y + en #orma K$ a sus rendimientos. Rn día ;A< recibe 6. I && y ;+< el restoJ al otro día ;A< disminuye su rendimiento en un %GX y + lo aumenta en un %&X. Calcular la di#erencia entre las cantidades ue recibirán A y + en este nuevo reparto. a( 6. F F&& d( 6. &&
b( 6. ) )&& e( 6. G G&& *
Qay dos clases de re1las de tres: 1$ R!5.a 0! Tr!, Tr!, Sim/.! Rna sola de tres es simple cuando intervienen solamente dos ma1nitudes. $uede ser :
c( 6. I I&&
1$1$Dir!cta 2a re1la de tres simples es directa cuando lass ma la ma1n 1nit itud udes es u ue e in inte terv rvie iene nen n so son n directamente directamen te proporc proporcionales. ionales. 6ean A y + dos ma1nitudes directamente proporcionales" proporc ionales" con sus respectivos valores correspondientes.
part rte e el nL nLm mer ero o -G G )& )&& & en pa part rtes es 1>$ 6e repa proporcionales a todos los nLmeros pares desde & a F). @Cuánto le toca al ue es proporcional a )&B a( D G&& d( - G&&
b( D && e( - )&& *
c( - &&&
K$
%#$ 6e reparte 6. ) && entre D personas en #orma directament direc tamente e proporcional proporcional a los nLmeros: nLmeros: 3 J
A
b( G&& e ( G &&
=
b1
(
a b a% S
y 5 . 6i la menor cantidad recibida #ue &&. @Cuál #ue la ue no es mayor ni menorB 4
a ( &&& d( D &&& *
+
Como A K$ +" se cumple: a1 a 2
E4!m/." : Rna cuadrilla de -% obreros cavan -& metros de zanja en cierto tiempo. @Cuántos metros de zanja !arán & obreros en el mismo tiempoB
c( % G&&
R!,".2ción PAG – 05
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3
ARITMÉTICA
K$ breros
Abiert Abie rtos os lo loss ci cinc nco" o" @e @en n cu cuán ánto to ti tiem empo po se vaciaráB
6e cumple:
-% & = -& S
4anja
-% -&m & S ∴ \ / &&
0 de conductos D G
E4!m/." Rna casa pertenece a dos !ermanos" la parte del primero es los GD de la casa y está valorizada en GD& &&& soles. Qallar el valor de la parte del otro !ermano.
\
YYYYYYYYYYYYYYYG YG! ! %& %&min YYYYYYYYYYYYYYY \ D.'G! D.'G! %&min %&min(( G
=
D! % min
RE&A DE TRES CO'PUESTA
Es auella en la cual intervienen más de dos ma1nitudes.
R!,".2ción G
A e r. r. ! e r m a n o :
%do. !erman o:
=
,iempo
A GD& &&&
EJE'P&O
AD
A Y
G AD
/
) AD
Rn 1rupo de ) peones lo1ran sembrar en %- días trabajando ) !oras diarias un terreno cuadrado de -& metros de lado.
\
@Cuántos días tardarán G peones ue trabajan !oras diarias" para sembrar un terreno cuadrado de G& metros de ladoB PRIMER MÉTODO DE SOLUCI! ?D! .", ,i5n",
) × GD& &&& = % --) &&& soles \= D G D
Kispo Kis pone nemo moss lo loss da dato toss de su suer erte te u ue e lo loss valores pertenecientes a una misma ma1nitud est>n en la misma columna .
1$%$In9!r,a 2a re1la de tres simple es inversa cuando las ma1nitudes ue intervienen son inversamente son inversamente proporcionales. proporcionales.
%Comparamos las ma1nitudes con la ma1nitud de la incó1nita. 6i son dir directa ectamente mente prop proporc orciona ionales les 'K.$ 'K.$.( .( colocamos arriba el si1no 'N( y abajo el si1no ' (.
6ean A y + dos ma1nitu 6ean ma1nitudes des inv invers ersame amente nte proporc prop orcional ionales" es" con sus res respect pectivos ivos valo valores res correspondientes. 7$ Como A 7$ +" se cumple: A + a b a% S
a . b / a% . S
2a
incó1nita se !alla multiplicando los valores con si con si1n 1no o 'N 'N(( po porr el va valo lorr as asoc ocia iado do a la incó1nit incó 1nita" a" todo dividi dividido do por el pro produc ducto to de los valores con si1no ' (
E4!m/." Rna cuadrilla de DG obreros pueden !acer una obra en ) días. @En cuántos días % obreros !arán la misma obraB R!,".2ción 7$ breros brer os Kías DG ) % S
6i son inve inversame rsamente nte proporc proporcional ionales es '7.$ '7.$.(" .(" entonces arriba entonces arriba va el si1n si1no o ' ( y abajo el si1no 'N (
K. $. 'N( $eones ) G '(
6e cumple: DG . ) / % . S
∴ S / D& días
K. $. 'N( !d ) '(
7. $. '( área -& % G& % 'N(
Kías %S
E4!m/."
Ke esto : S / 24 ×
Rn depósito tiene cinco conductos de desa1e de i1u i1ual al diá diámet metro ro.. Ab Abier iertos tos tr tres es de ell ellos" os" se vací va cía a el de depó pósi sito to en G !o !ora rass %& mi minu nuto tos. s.
25!! 8 8 × × 16!! 6 5
=
8!
∴ S / )& días SEUNDO '(TODO DE SO&UCIÓN
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ARITMÉTICA
?D! .a, ra:a,
R!,/2!,ta ; min$ min$
Clasifcamos las ma1nitudes en tres partes:
,res res monos se comen tres plátanos en tres #%$ , minu mi nuto tos. s. @C @Cuá uánt ntos os mo mono noss se co come merá rán n % plátanos en seis minutosB R!,/2!,ta ;
CAUSA
6on los ue !acen la obra y todo lo ue ayuda en su realización
Ejemplo Ejempl o : obr obrer eros os " máuina máuinas" s" animal animales" es" !abilidad" es#uerzo" rendimiento o efciencia" etc.
#3$ 2a cantidad de 1ranos de maíz ue se pueden 1uardar en un recipiente es#>rico de D dm. de radi ra dio o es %%-&. &. @C @Cuá uánt ntos os 1r 1ran anos os de ma maíz íz de dobl do ble e ta tama maHo Ho u ue e lo loss an ante teri rior ores es se po podr drá á 1uardar en un recipiente es#>rico de dm de radioB
CIRCUNSTANCIA
6on las condiciones dadas en el tiempo para acabar la obra.
Ejemplo : Kías" !oras diarias" raciones raciones diarias" etc.
>;#
EECTO
6on los ue !acen la obra y todo lo ue ayuda en su realización
Esuemáticamente Esuemáticame nte tenemos :
#7$ Rna cuadrilla de G !ombres se comprometió a realizar cierto trabajo en - días" pero al cabo de F días sólo !an !ec!o los DI de la obra. @Con cuántos !omb !ombres res de i1ua i1uall ren rendimie dimiento nto deben ser re#orzados para terminar la obra en el plazo fjado inicialmenteB
CAUSA CIRCUSTANCIA E FECTO
%1
KE2 $3+2EMA 3E6R2,A
Peones
días
h/d
área
24
8
-
4, -,
R!,/2!,ta
#;$ $ara !acer una zanja de -) metros de lon1itud % metros de anc!o y &") metros de pro#u pr o#undi ndida dad" d" se con contra trató tó G obr obrer eros os ue lo !arían en ) días. $ero despu>s de D días de trabajo" D obreros en#erman y se decide no variar el tiempo ni aumentar más obreros" sólo se disminuirá la lon1itud de dic!a zanja. @Cuál será esa nueva lon1itudB
EFECTO
8
R!,/2!,ta
Cuatr tro o !o !ombr mbres es !ac !acen en -& pr probl oblema emass en & #6$ Cua minutos y % mujeres !acen %& problemas en G minutos. En %G minutos" @cuántos problemas más !acen % !ombres ue G mujeresB R!,/2!,ta 7#
Ejemplo: Kifcultades" dimensiones de la obra" resistencia resistenc ia del medio" etc.
CAUSA CIRCUSTANCIA CIRCUSTANCIA
2 2
71ualamos 71uala mos el pr produ oducto cto de los va valor lores es ue se encu en cuen entra tran n en la mi mism sma a lí líne nea a si si1u 1uie iend ndo o la dirección de la _ec!a. ) S %- S 5!2 / G S S S S 4!2 0ota: Se sugiere este m"todo a la #ora de resol$er resol $er pro%l pro%lema emas& s& pues la pro%a pro%a%ili %ilidad dad de equi$ocarse es m'nima
#1$ 2uis pinta un cubo de - m de arista en % días. @En u> tiempo pintará otro cubo de % m de aristaB.
a( días d( )***
PROB&E'AS DE AP&ICACIÓN
b( F e( 0.a.
c ( %
r ápido de 2uis" pero la tercera #%$ ]uan es el doble de rápido parte de $edro. 6i 2uis y $edro !acen una obra en %I días. días. @En cuántos cuántos días !arían !arían la misma misma obra los D juntosB
RE&A DE TRES CO'PUESTA #1$ c!o 1atos cazan oc!o ratones en ) minutos. @En u> tiempo %- 1atos cazan ) ratonesB
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ARITMÉTICA
a( ) d( %G
b( %∗ e( G
tiempo podrán !acer otra canc!a de #ulbito de ) m de anc!o y %- m de lar1o" trabajando % !d menos cada díaB.
c( %-
#3$ Kurante D días y ) !oras se consumen los %G del volumen de un tanue de a1ua . @ En cuánto tiempo se consumirán los D- de lo ue ueda del tanue B
a( Dd G ! d( Dd % !
b( Dd ) !∗ e( Dd % !
a( G d d( ) d
b( D% e( 0.A.
a( D días d( F
c( %I
a( %*** d( )
a( % d( %&
b( ) e ( %G
c( %"G d
a( d( D%
b( %G días* e( 0.A
c( D
b( %e( )
c( %%
b( D&* e( 0.A
c( D
16$ Rn reservorio de ) m de radio y % m de altura abastece a IG personas durante %& días. @Cuál debe ser el radio de un reservorio de m de altura alt ura u ue e debe debe abastec abastecer er a G& persona personass durante % mesesB.
c( G***
#=$ 6i ) obreros !acen una obra de G& m de lar1o por %& m de anc!o en ) días . Cuánto Cuántoss días necesitarán % obreros para !acer una obra de -& m por %& m siendo la efciencia del primer 1rupo como D es a % respecto de la efciencia del se1undo 1rupo B
a( D G días d( % G días
b( D) e ( %&
obreros se comprome comprometen ten a terminar terminar una 13$ ?einte obreros obra en %) días" pero despu>s de !aber !ec!o la mitad de la obra & de los obreros bajaron su rendimiento en un - debido a las p>simas condiciones de trabajo. Kebido a ello cuántos días se empleó en !acer la obra B
Rna a1rupación de && !ombres #<$ tienen víveres para & días a razón de D raciones diaria dia riass cad cada a !om !ombre bre.. @Cu @Cuánt ántos os días dur durarán arán los víveres si cada !ombre toma % raciones diarias B a( %& d( %
c( I
pen nsó ter ermi min nar una ob obra ra en -G día íass 1%$ 6e pe empleando D& obreros laborando ) !d. 2ue1o de %- días de trabajo se pidió terminar la obra % dí días as an ante tess de dell pl plaz azo o fj fjad ado o. @C @Cuá uánt ntos os obreros más se necesitarán si se aumentó en % !oras la jornada de trabajoB
a( G d b( ) d c( %& d d( % d e( & d peones" s" en G días días de ) !d pued pueden en #;$ 6i D peone sembrar rosas en un terreno cuadrado de %-& m de lado. En cuántos días" %- peones trabajando & !d" podrán sembrar en un terreno cuadrado de )& m de lado cuya dureza a la cava es los -D del anterior. b( % d e( 0.a.
b( G e( %
Rna Rn a cu cuad adri rill lla a de & ob obre rero ross se 11$ compromete a construir en %- días cierta obra. Al cabo de ) días sólo !an !ec!o G de la obra. @Cuá @C uánt ntos os ob obre rero ross te tend ndrá rán n u ue e re re#o #orz rzar ar a la cuadr cu adril illa la pa para ra te term rmin inar ar la obr obra a en el ti tiem empo po fjado B.
#7$ Rn 1rupo de %- obreros pueden construir una zanja de )& m de lar1o" lar1o" % m de anc!o anc!o y "G m de pro#undidad en días trabajando !d. @En cuántos días %& obreros trabajando ) !d pueden !acer una zanja cuyo anc!o sea &"G m másJ &"G menos de pro#undidad y -& m más de lar1oB
a( D"G d d( D d
c( I d
náu# u#ra ra1o 1oss te tení nían an a1 a1ua ua pa para ra D& dí días as y 1#$ %I ná comida para %& días. Kespu>s de pasar días" mueren F de los náu#ra1os. @$ara @$ara cuántos días !abr !a brá á a1 a1ua ua pe pero ro no co comi mida da pa para ra lo loss u ue e uedenB
c( Dd %& !
Rn !ombre y dos mujeres pueden !acer #6$ una un a ob obra ra en & dí días as.. Ke Kete term rmin inar ar el ti tiem empo po nece ne cesa sari rio o pa para ra u ue e do doss !o !omb mbre ress y un una a mu muje jerr pued pu edan an !a !ace cerr un tra traba bajo jo u ue e ti tien ene e - ve vece cess la difcultad del primero" sabiendo ue el trabajo de un !ombre !ombre y el de una mujer mujer están en en la misma relación ue los nLmeros D y %. 'En días( a( D& d( DG**
b( d e( F d
a( m d( % m
b( G m e( & m
d( - m
17$ 2a máuina M y M% tienen la misma cuota de prod pr oduc ucci ción ón se sema mana nall op oper eran ando do D& ! y DG ! respectivamente. 6i M se malo1ra" lue1o de trabajar ) ! debiendo debiendo !acer !acer M% el resto de la cuot cu ota. a. @C @Cuá uánt ntas as !o !ora rass ad adic icio iona nale less de debe be trabajar M%B
c( - % días
#>$ c!o obreros pueden preparar una canc!a de #ulbito de % m de anc!o y %G m de lar1o en G díass tra día trabaj bajand ando o & !d !d.. 6i - de los obreros obreros aument aum entara aran n su re rendi ndimie mient nto o en %G %GX X en ue
a( )
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1
3
b( &
c( %
ARITMÉTICA
d( -
e(
%%$ En una !acienda" G trabajadores siembran en - días de & Qrs. un terreno cuadrado de %& m de lado. @Cuántos trabajadores se necesitan para sembrar otro terreno cuadrado de -& m de lado trabajando I !d. !d. durante %& díasB
1;$ 6abiendo ue un buey atado a una cuerda de Dm de lar1o tarda G días en comerse toda la !ierba ue se encuentra a su alcance. @Cuánto tardará si la cuerda #uera de m B
a( & dí días as d( %G dí días
b( %& dí días as** **** e( D& D& días.
a( G d( F
c( G dí días as
b( % e( 0.a.
c( F
a( d( %&
1=$ Kiez peones se demoran G días de I !d de trabajo en sembrar G& m% . @Cuántos días de ) !d de trabajo se demorarán en sembrar )& m% . G peones doblemente !ábilesB
a( G d( )
b( e( F
b( e( F
c( I
a( ) d( %
c( I
a( & d( -&
b( -& X má máss e( D&X más
b( G e( %
c( %&
b( %& e( G&
c( D&
necesi esita ta !om !ombr bres es o bie bien n % muj mujer eres es %;$ 6e nec para coser %-& pantalones con doble costura en & días trabajando ) ! diarias. @Cuántas mujeres se deben aHadir a % !ombres ue van a coser D&& pantalones de triple costura en % días trabajando & ! diariasB
b( % días antes d( % días
a( d( &
b( I e( 0.A.
c( )
%<$ 6eis obreros se comprometieron a !acer una obra en días trabajando !d. 6i despu>s de % días de trabajo se retiran % obreros. @En u> porcentaje debe aumentar la efciencia de cu de lo loss ob obre rero ross re rest stan ante tess pa para ra u ue e pu pued edan an entre1ar la obra en el plazo fjadoB
Rna a cu cuad adri rill lla a de ) ob obre rero ross de un mi mism smo o %1$ Rn rendimiento se comprometen a !acer una obra en D& días" pero cuando !acen las %G partes de la ob obra ra"" & de el ello loss ab aban ando dona nan. n. @W @Wu> u> rendimiento con respecto a los primeros deben tene te nerr lo loss ) nu nuev evos os u ue e se co cont ntra rate ten n pa para ra terminar la obra en el plazo pedidoB. a( %& %&X X má máss d( %GX má más
c( )
%7$ Rn 1rupo de G& !ombres !an !ec!o en ) días de ) !d el &X de una obra. @Con cuántos obreros tendrán ue re#orzarse para !acer el IGX IG X de lo ue ue #a #alt lta a de la obra obra en G días días trabajando F !dB
Wuin ince ce al alba baHi Hile less de IG IGX X de re rend ndim imie ient nto o %#$ Wu pueden levantar un edifcio en D& días trabajando & !d. Kespu>s de días de trabajo se retiran G albaHi alb aHiles les y los ue u ueda edan n tra trabaj bajan an con un rend re ndim imie ient nto o de F& F&X X y % !o !ora rass di diar aria ias. s. @Entre1arán la obra a tiempo o con retrasoB. a( días antes c( días despu>s despu>s e( a tiempo
b( e( 0.a.
%6$ $ara realizar una obra en & días se contrató una cuadrilla de -) obreros. 2ue1o de G días de labor se les pidió terminar la obra F días antes del plazo ya establecido para lo cual se con co ntr trat ató ó ;n< obrer eros os ue so son n %&X má máss efci ef cien ente tess u ue e lo loss pr prim imer eros os y u ue e va van n a reemplazar a % obreros.
rendimiento es del 1>$ 6e tienen máuinas cuyo rendimiento F&X F& X y pr prod oduc uce e - )& )&& & ar artí tícu culo loss en dí días as trabajando & !d. 6i se desea producir %&& artículos en ) días trabajando F !d. @Cuántas máuin má uinas as cu cuyo yo re rendi ndimie mient nto o es del & &X" X" se reuierenB. a( G d( )
c( %G
%3$ Rn 1rupo de %& obreros se compromete !acer una zanja de % m de lar1o" F m de anc!o y m de pro#undidad en ) días" si al t>rmino del octavo día se le pide ue la pro#undidad de la zanj za nja a se sea a de m. @C @Con on cu cuán ánto toss ob obrrer eros os tendrán ue re#orzarse para !acer lo ue #alta de la obra ampliada en el tiempo fjadoB
1<$ c!o carpinteros cuya !abilidad es como G son capaces de !acer & mesas y ) sillas en %días. @Cuántos @Cuántos carp carpinte interos ros cuya !abilidad !abilidad es como I son capaces de !acer % mesas y %& sillas en días" si se sabe ue el !acer mesa es lo mismo ue !acer D sillasB.
a( & d( )
b( %& e( %D
a( %GX d( G&
c( -) -)X X má máss
b( D& e( -&
c( -G
%=$ %G obreros !acen G) de una obra en & días a part pa rtir ir de es este te mo mome ment nto o se co cont ntra rata tan n ;n< obrer obr eros os mas cad cada a día día"" ter termin minánd ándose ose % día díass PAG – 05
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ARITMÉTICA
antes de la #ec!a en ue terminarían los %G obreros. 6i !ubieran continuado la obra solos. Qallar ;n< a( D d(
b( e( I
a( D d( -
c( G
b( DG e( -F
a( D d( -
c( -%
b( F e( %
a( GFX d( D
b( & e( G
a( Id( I
c( &
31$ Kos 1rupos de obreros !an !ec!o una obra" el primer 1rupo de -& obreros" !a trabajado G días a razón de ) !d y !an !ec!o un porcentaje de la obra. @Wu> porcentaje de la obra !an !ec!o el otro 1rupo #ormado por %G obreros" cuyo rendimiento rendimiento es el triple ue el de las anteriores y !an trabajado % !oras diarias durante ) díasB
b( G e( %
c( I
En un destacamentoJ a la semana 37$ cada soldado recibe ) panes" lue1o de un ataue enemi1 ene mi1o o mue mueren ren -& sol soldad dados" os" a!or a!ora a cada uno recibe %) panes. 6i semanalmente se reparten la mism mi sma a can canti tida dad d de pa pane nes. s. @C @Cuán uánto toss so sold ldad ados os uedanB.
3#$ Rna cuadrilla de % obreros pueden acabar un trabajo en G días trabajando & !d. Kespu>s de trabajar I días G obreros se dan de baja y no son reemplazados sino al cabo de tres días. @Cuán @Cu ántos tos obr obrero eross !ab !abría rían n de con contar tarse se par para a acabar el trabajo en el tiempo previstoB
a( ) d(
c( G
36$ D% obreros se comprometen a realizar una obra en días" trabajando & !oras diarias. Al cabo de ) días" sólo !a realizado los %G de la obra porr lo ue se au po aume men nta ) obr brer eros os más y trabajan todos durante - días másJ dándose cuenta ue no terminarán la obra en el plazo fjado y deciden deciden aumentar las !oras diarias de de trabajo. @Cuántas !oras diarias aumentaránB
%>$ Rn !ombre y dos mujeres pueden !acer una obra ob ra en & día íass. Ket eter ermi min nar el tie iemp mpo o necesario para ue dos !ombres y una mujer puedan !acer un trabajo - veces considerable sabiendo ue el trabajo de un !ombre y el de una mujer están en la misma relación ue los nLmeros D y %
a( %) d( %
b( e( I
b( ID e ( I&
c( I%***
CUADRO DE C&AVES
#1
#%
#3 #6 #7
#; #<
#= #>
1#
11
1%
13 16 17
1; 1<
1= 1>
%#
%1
%%
%3 %6 %7
%; %<
%= %>
3#
31
3%
33 36 37
3; 3<
3= 3>
6#
c( %
3%$ Con G máuinas ue tienen un rendimiento del &X & X se produc uce en D && enva vase sess de un prod pr oduc ucto to ca cada da - dí días as tr trab abaj ajan ando do ) !o !ora rass diaria dia rias" s" si des desea ea pr produ oducir cir I%& I%&& & env envase asess de dobl do ble e di dime mens nsió ión n ca cada da dí días as tr trab abaj ajan ando do % !oras más por día. @Cuántas máuinas de )&X de rendimiento se reuiere reuierenB nB
a( % d( G
b( & e(
c( )
33$ En uno de los en#rentamientos suscitados en la 77 9u 9uer erra ra Mun Mundia diall D& sol soldad dados os ali aliado adoss deb debe e cavar una trinc!era en días trabajando % !oras" despu>s de % días de !aber empezado mueren - soldados aliados y son ree eemp mpla lazzad ados os por un cie iert rto o nLm Lmer ero o de prisioneros !asta ue lle1uen los verdaderos reemplazos" los cuales lle1an el Lltimo día de trabajo. Qallar cuántos prisioneros trabajaron" si lo !icieron !asta culminar la trinc!era con una un a de deja jade dezz de - de la ef efci cien enci cia a de un soldado. ,odos los días se trabajó a % !oras.
TANTO POR CUANTO ;a<< po porr ;b ;b
E4!m/."
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*5
ARITMÉTICA
El % por I de DG es: 2
7
*35 / &
II. TANTO POR CIENTO El ;a< ;a< por por cien ciento to 'aX( 'aX( de una una cant cantidad idad 0 calcula así: a * 1!! E4!m/." El D&X de %G& es: 3!
1!!
I&X [&X] '0uevo total( 7! *6! → -%X 2ue1o : 1!! Kescuento Lnico / &&X Y -%X ∴ Kescuento Lnico / G)X
se
,ambi>n , ambi>n por #órmula: D!,c2!nt" nic" a.b
a b
A&&
X
*25! / IG Konde: a / -&J b / D& 3eemplazando:
III$ AP&ICA AP&ICACIONES CIONES DE& TANTO POR CIENTO
-& N D&
1$ P"rc P"rc!nt !nta4 a4! ! 0!. /"r /"rc! c!nt nta4 a4! ! Calcular el D&X del %&X del GX de -&& &&& 3! 2! 15 * * *4!!!!! → 0 / D && 0/ 1!! 1!! 1!! En 1eneral: El aX del bX del cX de 0 es: a b c * * * 1!! 1!! 1!!
∴ D!,c2!nt" nic" G)X 3$ A,/ ,/! !ct", c"m! m!rrcia.!, 0! 9!nta A. 6ea: $recio de venta / $? $recio de costo / $C 9anancia / 9 $>rdida / $
%$ A2m!nt A2m!nt", ", : 0!, 0!,c2! c2!nt" nt", , ,2c!, ,2c!,i9" i9", , A$ A2 A2m! m!nt nt" " ni nic" c" Koss au Ko aume ment ntos os su suce cesi sivo voss de dell %& %&X X y D& D&X X euivalen a uno de: er aumento: %&X '0uevo total( %do aumento: D&X de lo anterior D&X [%&X] '0uevo total( 13! 2ue1o: *12! → GX 1!! Aumento Lnico / GX Y &&X ∴ Aumento Lnico: GX
$? / $C N 9
A&&
$? / $C $
Ke lo cual: 9. +ruta / 9. 0eta N 9astos C. 6i fj fjam amos os un pr prec ecio io en en un un artí artícu culo lo en en venta: $. fjado Kescuento / $ ?
X
K. 6i nos fjan un precio al com compra rarr un artículo
Konde: a / %& y b / D& 3eemplazando %& N D& N
:
$C N 9astos N 9anancia / $?
A2m!nt" nic" a.b
o
c"m/ra
+. 6i !ay 1astos e#ectuados desde la compra !asta la venta:
,ambi>n , ambi>n por #órmula:
a b
-&.D& &&
%&.D& &&
$. lista Kescuento / $ C
A2m!nt" nic" / GX
B$ D!,c D!,c2! 2!nt nt" " nic nic" " Kos de Kos desc scue uent ntos os su suce cesi sivo voss de dell -& -&X X y D& D&X X euivalen a una de: er descuento: &X '0uevo total( %do descuento: D&X de la anterior
#1$ A aumenta en %&X y se obtiene +" lue1o + disminuye en %&X y se obtiene C. 6i la di#erencia positiva entre A y C es ). @Cuánto vale +B
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ARITMÉTICA
a( %&& d( %I&
b( %-&* e( D&&
1#$$ @Wu> porcentaje !abrá ue disminuir a un nLmero 1# para ue sea i1ual al &X del )&X del IGX del F&X
c( %G&
del
#%$ 9anando el -X se !a vendido una mercadería en 6. )GG. @$or cuánto se compróB
a( )&& d( IG)
b( GI) e( IG&*
a( -X* d( %X
c( G&
b( D&X e( &X
c( -&X
a( d( F *
b( D&X e( n.a.
c( -&X*
a ( %& X d( G& X
#7$ El 'aNb(X de ;a< es DG y el aX de -& es ;b<.Qallar a b.
a( & d( -&
b( %& e( G&
c( D&*
b( D&X e( %GX
a ( && d( G&
c( IGX*
a ( -&X * d( %&X
a ( )-& d( )GF
b( 6e pi pie erde 6 6.) .)& && * d( 6e 6e pi pierde 6 6.
b( &X e( G&X
b( D&& e( G-& *
b( D& X e( -G X
c ( -& X *
b( && * e( G&&
c( &&&
b( G&X e( D&X
c ( &X
b( G& e( 0.A.
c( && *
1;$ 6i 1astara el D&X del dinero ue ten1o y 1anara el %)X de lo ue me uedaría" perdería 6. G. @Wu> cantidad de dinero ten1oB
a ( DG&& d( G&
c( D&X*
b( %&&& e( )&&
c ( G&& *
1<$ Qallar el %&X del D&X del IGX de - por ) de %&&&
a ( -d( -G *
#>$ En una tienda se le !ace al cliente un descuento de %)X y aLn 1anan el D%X del costo. 6i el costo del artículo es 6. )-&. @Wu> precio fjará para su ventaB
a( 6. D& d( )&
c( )
17$ Al precio de una tela se le !ace un descuento el %&X" lue1o se le !ace otro descuento del D&X" pa1ando por la tela DD soles. @Cuál era el precio ori1inal de la telaB
#=$ @En u> porcentaje debe disminuirse el lado de un cuadrado para ue el área disminuya en GXB
a( %&X d( %GX
b( I e( &
una a re reun unió ión n se en encu cuen entr tran an %& !o !omb mbre ress 16$ En un adulto adu ltos" s" D& muj mujere eress adu adultas ltas y IG niH niHos. os. @Wu @Wu> > porcentaje de los reunidos no son niHosB.
#<$ 6e vende % artículos en 6. - )&&. En uno de ellos se 1ana el & por G& de su costo y en el otro se pier pi erde de el po porr - de su co cost sto. o. Ke Keci cirr u u> > cantidad se 1ana o se pierde.
a( 6e 1a 1ana na 6. .)& )&& & c( 6e 1ana 6. && && e( 0o 1ana ni pierde
c( D-X
13$ El &X del G&X del precio de un artículo es GG dólares. En consecuencia el precio del ar tículo es:
#;$ En una reunión el -&X del total de personas son mayores de edad. 6i se retiran la mitad de estos" @cuál es el nuevo porcentaje de menores de edadB
a( %&X d( GX
b( -X e( %)X
1%$ En una reunión el %GX son !ombres y el resto mujeres. 6i se retiran el -&X de los !ombres y el G&X G& X de la lass mu muje jere res. s. @W @Wu> u> po porc rcen enta taje je de la lass muje mu jere ress u ue e u ued edan an so son n lo loss !o !omb mbre ress u ue e uedanB
#6$ 6i el %&X de a es i1ual a D&X de b" @u> tanto por ciento menos es a respecto de a N bB
a( %&X d( -GX
del doble del nLmeroB
11$ En un avión viajan - personas" el nLmero de mujeres es el -&X del nLmero de !ombres y el nLme nL mero ro de ni niHo Hoss es el D& D&X X de dell nL nLme mero ro de mujeres. @Cuántos niHos viajan en el aviónB
#3$ si el %&X de ;S< es i1ual al )&X de 'S N a(" @u> porcentaje de ;S< es ;a
a( %&X d( G&X*
1 3
=3 Q
b( -D e( )
c ( -
1=$ @Wu> porcentaje del GX del )X de && es el %&X del &"GX de --&B a ( D&X b( %&X * c ( -&X d( GX e( )X
c( %-&
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ARITMÉTICA
1>$ 6i Antonio tuviera el DGX menos de la edad ue tiene" tie ne" ten tendrí dría a % aHos aHos.. @Cu @Cuánt ántos os aHos tendrá dentro de & aHosB
a( G& * d( I&
b( -& e( )&
%=$ Rna persona compra %&& objetos A y los vendió 1anando &X" con el importe de la la venta compró )& objetos +" y los vendió 1anando GX. Con el importe de esta venta compró )%) objetos C" al precio de FF dólares la docena. Calcular el precio de un objeto A.
c ( &
%#$ Rna seHora va a una tienda" donde al comprar manzana le re1alan el GX de las ue compró" pero en el camino pierde el IX" obteniendo así FGD manzanas. @Cuántas manzanas compróB
a( % G-G d( & &&%
b( %& &&& e( G-G
a ( `) d( %I *
b( --& e( 0.A.*
c( % &&& *
a ( &X d( %&X
b( IG e( )&
c( % &
a( 6.)&& d( IG&
b( 6. -) e( 6. %&
c( 6. --
b( %&X e( D)X
b( D&& e( - &&&
a( ` %&& d( ` %G&
c( % &&&
b( ` %& e( ` %)&
c( ` %-& *
c ( G& CUADRO DE C&AVES
%;$ 6i a un artículo lo vendo !aciendo un descuento del %&X" 1ano el %&X del precio de costo. @Wu> porcentaje debo rebajar al precio de venta para 1anar el -X del precio de costoB
a( -X d( D%X
c ( -&&
3%$ Rna tienda de arte#actos compra cierto nLmero de ,?. ?ende el %&X de ellos 1anando el -)XJ ense1uida vende el %GX de lo ue le uedaba perdiendo el )X y para ue la 1anancia total sea del GGX" vende el resto 1anando `)) en cada uno. @Cuánto le costó cada ,?B
comer ercia ciant nte e di dice ce u ue e 1a 1ana na el -& -&X X de dell %7$ 6i un com precio de venta. @Wu> porcentaje del costo está 1anandoB b( & e( % % D*
b( G& e( I&& *
a( D &&& * d( %&&
debe vence vencerr un artículo artículo cuyo costo costo %6$ @A cómo se debe de #abricación #abricación es de )& soles para 1anar el %GX del precio de costoB a( %%& b( %%G* c( FG d( %-G e( %)&
a( DD D d( D
c ( -&X
31$ Rn comerciante vende el -&X de los artículos ue compró 1anando el -&X del costo" el %&X del resto perdiendo el %&X" la cuarta parte de lo ue le uedaba la re1aló y el resto lo vendió sin 1anar ni pe perd rder er.. 6i en to toda da la ve vent nta a 1a 1anó nó 6 6..-)& )&.. @Cuántos artículos compro si cada uno costaba 6.&B
c ( )& *
%3$ @Wu> precio se fjó a un artículo si !aci>ndole un descuento del GX de su precio fjado se vendió en 6. G--B
a( 6. G& d( 6. -&*
b( G&X * e( 0.A.
Rna a pe pers rson ona a pr pre e1u 1unt nta a en un una a ti tien enda da u> 3#$ Rn descuento le pueden !acer sobre el precio de un repuesto" y le dicen ue %&X" pero en otra tienda lo compra con el %GX de descu descuento" ento" a!orrándose a!orrándose así 6. DG. @Cuál era el precio del repuestoB
%%$ En una 1ranja el %&X del nLmero de conejos es i1ual al D&X del nLmero de pavos si se retiran G& conejos el nLmeros de pavos serán el &X del total. Qallar el nLmero de pavosB
a( -& d( %G
c ( %-
porcen centaje taje deb deben en inc increm rement entars arse" e" las %>$ @En u> por ventas de un ne1ocio para ue aLn rebajado en %&X el pre precio cio uni unitari tario o de los artículos artículos ueden ueden incrementados los in1resos en %&XB
%1$ Ana lleva al mercado -&&& naranjas y encuentra ue el &X estaba malo1rado y sólo pudo vender el &X de los buenos. buenos. @Cu @Cuánta ántass ue uedará darán n sin venderB
a ( G& d( --G
b( %& e( 0.a.
c( %-X**
#1 #%
#3 #6
#7 #;
#< #=
#>
1# 11
1% 13
16 17
1; 1<
1=
1> %#
%1 %%
%3 %6
%7 %;
%<
%= %>
3# 31
3% 33
36 37
3;
%<$ 6e vende un objeto 1anando el &X del costo. 6i se uiere 1anar 6. D% más !abría ue aumentar en &X el precio de venta. @Cuál es el costo del objetoB a( &&& b( %&&** c( D%& d( %-& e( G&&
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