AR-10M-03 (COMPENDIO I) - RG - C5-L5.doc

RAZONES Y PROPORCIONES

ARITMÉTICA

OBJETIVOS. Al fnalizar el presente capítulo el estudiante estará en la capacidad de: Comparar dos cantidades Manejar adecuadamente las propiedades de las razones y proporciones en la resolución de los problemas de la vida real Ente En tend nder er el ob obje jeti tivo vo de los pr prom omed edio ioss y su interpretación la vida real.

>eamos >e amos al0unas observaciones: #$% 1a razón 0eom=trica es la que tiene más uso en el desarrollo de los problemas de admisión! es por ello el lo qu que e si in ind dic icam amos os ra razó zón n y no su cl clas ase e! entenderemos que es una razón 0eom=trica.

#or ejemplo. ?cuál es la razón entre $@ y $(. ?cuál es la relación entre $@ y $(

INTRODUCCIÓN En nuestro queacer cotidiano! podemos notar que establecem estab lecemos os constan constantemen temente te compara comparaciones ciones como por ejemplo un árbol es más alto que otro! el peso de una persona es el doble que el de la otra! etc. En es este te cap capít ítul ulo! o! aba abarc rcar arem emos os el es estu tudi dio o de las compa com parac racio ione ness qu que e se pu pued eden en es esta tabl blec ecer er en la naturaleza en "orma cuantitativa.

comparaciones tambi= tambi=n n las podemos dar par #2% 1as comparaciones máss de $ ca má cant ntid idad ades es!! co como mo ve verremo moss! por ejemplo: 5ean las cantidades B! @% y @, 5ean las cantidades $(! $% y B AP&ICACIÓN $ 1as edades actuales de Darina y /atius
RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN #or ejemplo: Carlos se encuentra en Cosica y se da cuenta que está a $%% m. sobre el nivel del mar &s.n.m.' y una temperatura promedio de $() C este piensa visitar a *eto que se encuentra en la ciudad de  +iclio la cual está a ,$%% m s.n.m. y a una temperatura promedio de ,) C.

AP&ICACIÓN 2 1as edades de Manuel y Marco están en la relación de  a F! dentro de m; aGos estarán en la relación de H a @% aGos. 5i dentro de $ m; aGos sus edades sumarán @%(! ?cuál es la edad de Manuel AP&ICACIÓN 3 A un una a re reun unie iero ron n as asis isti tier eron on $F $F$ $ pe pers rson onas as.. 5e observo que por cada F ombres abía H mujeres. ?Cuántas parejas tendría que retirar para que la nueva relación entre ombres y mujeres sea de F a (

#odemos observar que: ♦  +iclio se encuentra a ,$%% - $%%  ,%%% m más sobre el nivel del mar respecto a Cosica. /otamos que para lle0ar a esta conclusión emos comp co mpar arad ado o la lass alt ltur uras as po porr me med dio de una sustracción. 28 ♦ 1a temperatura de Cosica es = 7  veces 4 la temperatura de +iclio. /otamos que para lle0ar a esta con oncclusión emos com omp par arad ado o la s temperaturas por medio de una división. ♦ A toda comparación entre dos cantidades la llamaremos 2A34/!

AP&ICACIÓN '% En un reu reunió nión! n! en la que asistier asistieron on om ombre bress y mujeres! se observo en un determinado momento que por cad cada a F om ombre bress que estaban estaban bai bailan lando do ubo H mujeres que no bailaban! además que por cada ca da , o omb mbre ress u ubo bo  mu muje jere res. s. 5i en es ese e mome mo ment nto! o! la di di"e "ere renc ncia ia en entr tre e el nI nIme mero ro de personas que no bailaban con las que bailaban "ue de @B! calcule el nImero total de asistentes

5i la comparac comparación ión es por medio de una sust sustracción racción le llamaremos 2A34/ A26+M7+6CA y si es por medio de SERIE DE RAZO RAZONES NES EO()T EO()TRICAS RICAS E*UIV E*UIVA&ENTE A&ENTES S una división le llamaremos 2A34/ 8E9M7+26CA. +S%R%%E, 9bservemos el si0uiente conjunto de razones 0eom=tricas: 1ue0o para dos cantidades a; y b;. 15

Razón Aritmética

Razón !"métrica a = < b

a-br

5

27 9

= 3  J

6 2

=

18

3  J

6

=3

#ode odemos mos notar notar que todos tie tienen nen el mismo mismo valor valor de razó ra zón! n! po porr lo qu que e po pode demo moss af afrm rmar ar qu que e so son n equi eq uiva vale lent ntes es!! lo qu que e po pode demo moss in indi dica carr de la si0uiente "orma :

En donde llamaremos: a: b: r : <:

=3J

15

antecedente consecuente valor de la razón aritm=tica valor de la razón 0eom=trica

5

PAG – 05

2

3

=

27 9

=

6 2

=

18 6

=

3

ARITMÉTICA A lo que llamaremos serie de razones 0eom=tricas equivalentes &5.2.8.E.'

15 + 5 15 − 5

1ue0o! si tenemos el si0uiente conjunto de razones: a g c e =k =k = k = k b d h f

b

c

=

e

=

d

g

=

f

h

=

k

15 5

15

27

=

5

=

9

27 − 6

=

27 9

=

6

=

2

18 6

=

3

2

=

18 6

15 + 27 + 6

=

5+9+2

%@.

9× 2× 6

Suma de consecuentes

×

25 − a 31 + b

6 2

×

27 9

18 6

×

6 2

=

×

9×2×6

18 6

=

=

27 27 − 9

=

6 6−2

2!

=

6

2! 8!

6

=

2

=

3

32!

18 18 − 6

=

=

32!

=

128!

1 4

=

b c

=

c d

d

=

e

=

k

de donde podemos deducir: ek 4

  Constante de  n   =     proporcionalidad  

=

3

=

8!

=

b

ek

3

=

ek 3 ek

2

=

ek 2 ek

=

ek e

=

k

AP&ICACIÓN :

5i :

Al e" e"ec ectu tuar ar la lass op oper erac acio ione ness de #3% adición yLo sustracción con los t=rminos de una razón de una 5.2.8.! estas mismas operaciones se verifcan con los t=rminos de las otras dos razones. =

5

18

4

n. nImer nImero o de razon razones es que que se se multi multipli plican can en en la serie.

15 15 − 5

18

=

a

5× 9× 2× 6

roducto de consecuentes

54

y

A las las 5. 5.2 2.8 .8.E .E.. qu que e cu cump mple len n di dic ca a co cond ndic ició ión! n! lo loss llamaremos SERIE DE RAZONES EO()TRICAS E*UIVA&ENTE E*UIV A&ENTES S Y CONTIN CONTINUAS UAS >eamos una de estas en "orma 0eneral:

33

15 × 27 × 6 × 18

roducto de antecedentes

%$

  Constante de     =     proporcionalidad  

27 × 6 × 18

c  ! además a N c  ,F 2!

=

5eri 5e ries es de 2a 2azo zone ness 8e 8eom om=t =tri ricas cas Eq Equi uival valen ente tess Continuas >eamos los si0uientes 5.2.8.E.

27 + 6 − 18

=

9−2

6

Suma de Antecedent es

5

3 +1 3 −1

AP&ICACIÓN 9% En una 5. 2. 8. E.! se observa que la suma de los cuadrados de los t=rminos de cada una de las  razones son: (F%! %B y F,,. Calcule el se0undo ante an tece cede dent nte! e! si la su suma ma de pr prim imer er y Il Ilti timo mo consecuente es ,F.

#2%

15

=

Calcule : a  b  c

#

%$9

+8 b = = b + 24 16 − b

AP&ICACIÓN 8% a 2 = 5i : 36 b

#or ejemplo! sea la 5. 2. 8. E.

×

18 + 6 18 − 6

Calcule a  b;.

V!am"a."ra /a0r"0i!1a1!mim0"rtant!- 1! na S% R %  % E%4 0ara !//" 0artir!m"1! !5!m0/"0ara /!6" 6!n!ra/izar/"-%

17

=

a

5i se cumple que:

a! c! e y 0 son antecedentes b! d " y  son consecuentes y < le llamaremos constante de proporcionalidad

=

6+2 6−2

=

AP&ICACIÓN 7

Ke donde:

3=

27 + 9 27 − 9

#asemos a resolver al0unas aplicaciones respecto a las propiedades.

#odemos establecer la equivalencia entre ellas! a la que llamaremos 5. 2. 8. E. a

=

a b

=

b c

=

c d

=

d e

=

1 2

y e - b  H%

calcule : a  b  c d  e AP&ICACIÓN ; En un una a se serie rie de , raz razon ones es 0e 0eom om=t =tri ricas cas co cont ntin inua uass equival equ ivalent entes! es! se observ observó ó que la suma de  de dic di cas as raz razon ones es es $. 5i la su suma ma de dell se se0u 0und ndo o antece ant eceden dente te con el ter tercer cer cons consecu ecuent ente e es % %!!

3 3 −1

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2

3

ARITMÉTICA calcu cal cule le la di" i"er ere enc ncia ia ent ntrre la su suma ma de lo loss consecuentes con la suma de los antecedentes.

cas aso o 8E9M7+26C9! por i0ualar $ ra razzon one es 0eom=tricas. >eamos aora para las cantidades a;! b;! c; y d;.

AP&ICACIÓN $# En una serie de tres razones 0eom=tricas continuas equivalentes de constante entera! se observa que la suma de sus t=rminos es BHB. Calcule el tercer t=rmino.

PROPORCIÓN ARIT()TICA

a-br c-dr

∴

a−b

PROPORCIÓN EO()TRICA a = k b c =k d

=c−d

∴

PROPORCIÓN

#or ejemplo:

O *ailan O /o *ailan

=

c d

En donde llamaremos: a y d : t=rminos eRtremos b y c : t=rminos medios

#$% En una reunión ubo $F ombres y $ mujeres. En un de dete terrmi mina nado do mo mome ment nto o @H o omb mbrres estuvieron bailando! por consi0uiente @H mujeres tambi=n bailaban en ese momento! es decir:

O Pombres @H (

a b

@ro. $do. ro. ,to.  +=rminos  + =rminos : a b c d 5i ana anali liza zamo moss un una a pr prop opor orci ción! ón! qu que e pu pued ede e se serr aritm=tica o 0eom=trica! respecto a los t=rminos medios med ios pod podemo emoss ind indicar icar que es estas tas pue pueden den ser di" i"e erent ntes es en cu cuy yo ca casso a la prop opor orci ción ón le llamar lla maremo emoss 1i-cr!ta! o pueden ser i0uales a la que lla llamar maremo emoss pr propor oporció ción n c"ntina. Entonc Entonces! es! veamos:

O Mujeres @H $

#odemos observar que la cantidad de ombres y la cantidad de mujere mujeress se di"erencian di"erencian en $F -@  B! tal así como el nImero de ombres que no bailan con el nImero nImero de mujeres mujeres que no bailan &( - $  B'! B'! por lo que que podem podemos os afrmar afrmar que: $F @  ( - $.

Pr"0"rción Pr"0"rción Aritmética !"métrica 2% Qna vendedora de re"resco tiene $ recipientes con     a a - b c - d&b ≠ c' a c re"resco de maracuyá. El primero tiene $% litros el      t     ! b≠ c =     r cual endulzó con $%%% 0r. de azIcar y el se0undo     c En donde: b d     tiene B litros el cual endulzó c on B%% 0r. de azIcar. azIcar.      i En donde:      D I) II) d: cuarta di"erenci di"e rencial al d: cuarta propo proporcion rcional al de: refresco de: a! b y c 6/ refresco 2#/ a! b y c 600g azúcar 

azúcar 

    a a - b  b - c     3     n En donde:      i      t     n     " c: terce tercera ra      C

200g

#odemos observar que en el primer recipiente: 2! 2!!!gr

=

de: ayb

1 1!!gr

b: medi media a de:  a y c

por cada litro de re"resco ay @%% 0r de azIcar! y que en el se0undo recipiente : 6 6!!gr

=

2!!!gr

=

b

=

b c

di"erenci di"e rencial al En donde: c: tter ercera cera de: di"e di "ere renc ncia iall a y b

1

b: med media de: ayc

propor pro porcion cional al

prop pr opor orci cion onal al

1!!gr

>eamos >e amos al0unos ejemplos:

por cada litro de re"resco ay @%% 0r de azIcar! con lo que concluimos que son de i0ual calidad las mezclas! por lo que podemos indicar que: 2!

a

%@. %$. %. %,. %F. %B.

6 6!!gr

#odemos notar! en ambos ejemplos! que emos i0ualado razones de la misma clase que tienen el mismo valor! a cada uno de estas. 1as llamaremos #29#92C64/! para el primer caso A26+M7+6C9! por i0ualar $ razones aritm=ticas! y para el se0undo

?Cuál es la cuarta di"erencial de @F! H y @ ?Cuál es la la cuarta proporcion proporcional al de @B! ( y H% ?Cuál es es la media media di"erenci di"erencial al de @ y H ?Cuál es la la tercera tercera di"erencial di"erencial de F F y $ ?Cuál es la la media proporci proporcional onal de B y $F $F ?Cuál es la la tercera tercera proporcional proporcional de B y @$ @$

A0/icación $$ En una proporción 0eom=trica continua se sabe que la suma de los t=rminos eRtremos es F$. Calcule la

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2

3

ARITMÉTICA suma de los , t=rminos de dica proporción! si la constante es un nImero entero positivo.

es al nImero de artículos que no tienen de"ectos como $ es a F. 5i F$ artículos tienen el de"ecto A. ?Cuántos tienen el de"ecto *

A0/icación $2

a ' B, d' B(

1a edad edad de un abuel abuelo o y su suss $ ni niet etos os "o "orm rman an un una a prop pr opor orci ción ón 0e 0eom om=t =tric rica a con conti tinu nua a de co cons nsta tant nte e entera. 5i la suma de las tres edades es F$! calcule la edad del abuelo.

b' B% e ' H%

c' F(

#8% 5i:

a b c = = = ! p q r

A0/icación $3

Pallar:

Calcule el mayor t=rmino de una proporción de t=rminos enteros! donde la suma de sus , t=rminos es $, y la suma de los eRtremos es @ y la di"erencia de los medios es @.

R= a' @ d' @L

a.b &p + q'& a + c' pq&a + b'& p + r'

b'  e' @L$

c' $

#9% 5i:

R y z = = ! aS &a + @ ' S &a + $' S #$% 5i:

Konde: R  y  z  @ F(H Además R!y!z /! Palle z

a b = ! b c

Además:

a - c  @B J

a' @ F%$ d' @ F(

a+ c= (

#2% Kada la si0uiente serie de razones:

c$ +  . ,F

a ' @%F! $ d' @@(!F

Pallar a b c si: a  b  c  B •

a' B d' @F

•

b'  e ' @(

a c e $ = = = J e" - ab - cd H@, y b d " H Calcular: e  " a' H% d' H

b' H@ e ' H,

b' @@$!F e' @

%$c' @$F

#;% Anualmente se cumple en una 0ranja! que por cada ,% conejos que abían al comenzar el aGo nacía na cían n H con conej ejos os y de cad cada a @$ @$% % con conej ejos os qu que e abían moría @. 5i al fnalizar el aGo abía F% conejos. ?Cuántos abía al comenzar el aGo

c' @$

#3. 5i:

c' @ F$,

#:% En una serie de , razones 0eom=tricas i0uales y continuas contin uas se cumpl cumple e que la media 0eom= 0eom=trica trica de los t=r t=rmin minos os eR eRtre tremos mos es i0u i0ual al cuád cuádrup ruple le del cuarto consecuente. 5i el promedio armónico de loss cu lo cuat atro ro co cons nsec ecue uent ntes es es $ $.. ?C ?Cuá uáll es el promedio aritm=tico de los antecedentes

Calcular la media proporcional. a' $ b' $, c ' @F d' $% e ' B, a$ + @ b$ + , = = @F %

b' @ F@( e' @ F%%

a$ + c$ = F$ .

a ' $F% d' $F

c ' H$

b' %% e ' %

c' 

%$$#% En una serie de , razones 0eom=tricas contínuasJ $ cuya razón es ! la di"erencia de la suma de los  consecuentes y los antecedentes es @F. Pallar el prod pr oduc ucto to de lo loss co cons nsec ecue uent ntes es y da darr co como mo respuesta la suma de sus ci"ras.

suma ma de los antece antecede dent ntes es de la se seri rie e de #'% 1a su razones 0eom=tricas i0uales: a@ a$ a a = = = .... = n J es $F$. $ , B $n

a ' @$ d' @(

Pallar n! si la razón 0eom=trica es entera positiva y menor que @%. a' $ b'  c' , d' B e' (

b' @, e' $@

c' @B

$$% En una proporción 0eom=trica discreta se cumple que el promedio aritm=tico de sus t=rminos es @H!F @H !F y qu que e la me medi dia a 0e 0eom om=t =tric rica a es @$. 5i la di"erencia de los t=rminos eRtremos es $. Pallar la di"erencia de los t=rminos medios.

callid idad ad de un producto se #7% Al estudiar la ca consi con side derar raron on $ de de"e "ect ctos os A y * co como mo los más impor im portan tante tes. s. 5e an anal aliz izar aron on @, @,% % art artíc ícul ulos os y el result res ultado ado "ue "ue:: que el nIm nImero ero de artí artícul culos os que tienen solo el de"ecto A es al nImero de artículos que tienen solo el de"ecto * como  es a , y el nImero de artículos que tienen los dos de"ectos

a ' @$ d'

%$PAG – 05

2

3

b' @F e ' $,

c' @(

ARITMÉTICA Qna a bo bomb mba a de a0 a0ua ua ll llen ena a  ta tanq nque uess cu cuyo yoss $2% Qn volImenes son proporcionales a los nImeros ,! F y (. 5i de desea llenar totalmente se demora t @ $ oras or asJJ pe pero ro si se llena llena T de primer primero! o! del F se0und se0 undo o y U del terce tercerr tanque! tanque! se demora demora t$ oras. Pallar t$ < t2 a' $ d' @L(

b' @HL e' @HL(

$;% 5i la media aritm=tica y la media 0eom=trica de dos nImeros a y b están en la razón de FL,! la relación a:b ! es:

a ' : $ d' F:

b' ,$ e ' ,H$

c ' @@L 

a ' $% d' $

b' $ e' H

b' $, e' B

c' $(

2$% 1a di"erencia de $ nImeros es $,, y están en rela re laci ción ón de H a . ?Cuál ?Cuál es el mayor mayor de los nImeros.

c' ,BF

a ' ,$H d' F

$'% En una proporción 0eom=trica discreta de razón entera se cumple cumple que que la suma de los los cuadrad cuadrados os de sus t=rminos es ,(@. 1a suma de los t=rminos de dica proporción es:

a' $H d' F

c' ,:@

2#% 1a suma de los t=rminos de una razón 0eom=trica es F$. 5i se suma y resta , al antecedente y consecuente! respectivamente! la nueva razón es B J alle el consecuente primitivo. H

$3% En una serie de , rezones 0eom=tricas i0uales y contí con tínu nuas as se cum cumpl ple e qu que e el pr prod oduct ucto o de lo loss antecedentes es i0ual a @L(@ del producto de los conse con secu cuen ente tes. s. 5i la su suma ma de lo loss F t= t=rm rmin inos os di"erentes de la serie es H$B! alle la suma del primer antecedente y Iltimo consecuente.

a' ,(B d' F%@

b' B:F e' ,:

b' FB e ' ,@

c' ,$

22% 5i Vuan le da a #edro @%m de ventaja para una carr ca rrer era a de @% @%%m %m y #ed edro ro le da a Ca Carl rlos os un una a ventaja de $% m! para una carrera de @(% m. ?Cuán ?C uántos tos me metr tros os de ve vent ntaj aja a de debe be da darr Vu Vuan an a Carlos para una carrera de $%% m.

c ' 

$7% 5i:

a ' ,%m d' ,Fm

a@ a$ a a = = = ... = ,$ J @ $  ,$

b' %m e' FFm

c' F%m

Konde: a@ + a$ + a + ... + a$ = @F(,  

Pallar: aCC + aC, + ... + a,$ .

Kar como respuesta la suma de sus ci"ras. a' F b' B c' ( d'  e' @@ Pall llar ar el t= t=rm rmin ino o me medi dio o de un una a pr prop opor orci ción ón $8% Pa 0eom=trica contínua sabiendo que la suma de sus t=rrmi t= mino noss es (@ y qu que e la di" i"e eren enci cia a de su suss eRtremos es la mayor posible. a' ( d' @B

b'  e ' $H

c' @(

una a pr prop opor orci ción ón 0e 0eom om=t =tri rica ca de t= t=rm rmin inos os $9% En un enteros! la suma de raíces cuadradas del producto de t=rminos de cada razón es ,$ y la suma de antec ant eced eden ente tess es $F $F$. $. Ca Calcu lcular lar el va valor lor de la razón. a' % d' B

b' $ e' (

c ' ,

$:% 1a di"erencia de dos nImeros! la di"erencia de sus cuadradoss y la di"erencia cuadrado di"erencia de sus cubos cubos están en la misma relación que los nImeros @! @$ y @@H. Keterminar la di"erencia de dicos nImeros.

a' , d' @%

b' B e ' @$

CUADRO DE C&AVES

c' (

PAG – 05

2

3

ARITMÉTICA #$

 

#3 #3

#'

#7

#8

C #;

#  2 A $#

#9

C $$

A $3

A $'

* $7

* $9 K

K $: *

C $; C

K $ 2 * 2# 2# K

# : * $8

* 2$

K 22

K

A

3% Pr Pr"m! "m!1i" 1i" " (!1i (!1ia a Armón Armónic ica= a=

Es una medida de tendencia central y podemos decir que es la inversa de la media aritm=tica de las inversas. n @ @ @ @ MP o #P  + + + ....... + a@ a$ a an En el cas caso o de do doss ca cant ntid idad ades es a a;; y b b;; pod podem emos os escribir

$. M A 

a+ b $

2.

M8 

ab

PROMEDIOS

PRO(EDIOS Y (EDIAS El pr prom omed edio io de un con conju junt nto o de nI nIme mero ros! s! es un una a cant ca ntid idad ad qu que e se en encu cuen entr tra a en entr tre e el me meno norr y mayor de un conjunto de nImeros.

$ 3. M P  @ @ + a b

5ean n; cantidades ordenados se0In su ma0nitud y cuyo promedio es #.

$ab a+ b

PROPIEDADES= I%

a@ ! a$ ! a W ............W an 

=

El promedio aritm=tico es mayor que el promedio 0eom 0e om=t =tric rico o y es este te a su vez es mayor mayor qu que e el promedio armónico.

a@  W # W an #A X M8 X MP

ó

MA X M8 XMP

C&ASES DE PRO(EDIOS O (EDIAS

5ean n; cantidades: a@ ! a$ ! a ! ............ ! an

⇒ ERiste la posibilidad de que los tres promedios

$% Pr Pr"m! "m!1i" 1i" " (!1 (!1ia ia Ari Aritm tmét étic ica a:

trata de las las cantidades cantidades a; a; y b;! la la media II. 5i se trata 0eom=trica es ! a su vez! media 0eom=trica! entre la media aritm=tica y la armónica.

sean i0uales.

Es una una me medi dida da qu que e te tend nden enci cia a ce cent ntral ral y es está tá defnido por:

M8 

a + a + a + ...... + an MA o #A  @ $  n

MA.MP

ó

M8$  MA . MP

$ III% ( a − b) =  , ( ma + m0) ( ma − m0)

2% Pr Pr"m! "m!1i" 1i" " (!1 (!1ia ia !" !"mé métr tric ica a:

Es una medida de tendencia central. 5e recomienda usarl rlo o par ara a los val alo ores de creci cim miento eRponencial y está defnido por: M8 o #8 

n

Pr"m!1i" 0"n1!ra1" + P % P ,

Es un promedio aritm=tico de un conjunto de nImeros que qu e se repi pite ten n co con n ci cie ert rta a "r "re ecu cue enc ncia ia.. As Así  í  tenemos:

a@ . a$ . a . .. .........an

/Imeros a@ a$ PAG – 05

2

3

Yrecuencia " @ " $

& #eso ó Cr=dito '

ARITMÉTICA a . . an

"  . . " n #.# #.# =

a@."@ + a$." ."$

d' B

+

a@ + a$

+

e' H

#9% 1a edad promedio de un 0rupo de B ombres es $ y en un 0rupo de , mujeres es @F. 5i ambos 0rupos se reInen! la edad promedio de la mitad de personas es @!B. Pallar la edad promedio de la otra mitad.

a." ." + ..... + an ." ."n   a + .... + an

a' $@ d' @

b' $% e' $%!F

c' @!F

prome omedio dio armónic armónico o de a! 7 y > es $H%L,. $H%L,. #:% 5i el pr Calc Ca lcul ular ar el pr prome omedi dio o ar arit itm= m=ti tico co de a y >  si su promedio 0eom=trico es el triple de a.

Este Es te tipo tipo de pr prom omed edio io es ut utili iliza zado do al cal calcu cula larr el promedio de promedios

a ' @B d' @F

b' @H e'

%$c ' @

#;% 1a edad promedio de n; ombres es p; aGos y nin0uno de ellos ellos es menor que que q; aGos. ?Cuál es es la máRima edad que puede tener uno de ellos

a' np b' n$ + q$ + p$ c' q&n - @' d' np - q &n - @' e' np - q &n  @' $#% El producto de los , t=rminos de una proporción 0eom=t 0eo m=tric rica a con contin tinua ua es @$ vec veces es el pr prome omedio dio aritm= ari tm=tic tico o de los mis mismos mos sab sabie iendo ndo que el cua cuarto rto t=rmino es impar y la razón es mayor que @. Pallar la media armónica de los t=rminos eRtremos.

I NIVE& #$% El promedio de A y @% es @F. El promedio de C y @F es @% y el promedio de @%A! F * y @FC es @(F. Pallar el valor de A*C

a' $ d' @

b'  e' %

a' !B d' H!$

c' $

b' @$ e' @B

@ @ @ @ ! ! !... ! B @$ $% ( n + @) ( n + $)

c' @,

#3% 1a edad promedio de % personas es $(. ?Cuántas personas de % aGos deberán retirarse para que el promedio de los restantes sea $F

a' @( d' @H

b' @B e' @

b' $FL e' @BL

c'

%$b' F e' ,F

b' ,

b' $n  

d'

@ $( n + $)

e'

c' ( @ + n) $

@ $( n + @)

b' B e' (

c' ,

 +res res nImeros a4 > y c tienen una media aritm=tica $3%  + de @, y una media 0eom=trica de  @B(% . Además

c' HL

se sabe que el producto a R c  @%F. Keterminar el menor de dicos nImeros. a' , d' @%

b' $@ e' @B

c' F

Kos nI nIme mero ross so son n pr prop opor orci cion onal ales es a do doss pa pare ress $'% Kos consecutivos cuya m es ,!(. Pallar el mayor de los

c' F(

nImeros si la suma de los nImeros eRcede a la di"erencia de los mismos en $.

?Cuántos os par pares es de nIm nImer eros os en enter teros os di" di"er erent entes es #8% ?Cuánt cumplen que el producto de su media aritm=tica! media 0eom=trica y media armónica es $F% %,H a' 

@ n

a'  d' H

#7% 1a media aritm=tica de (% nImeros es %. 5i a $% de ellos se les aumenta $% unidades y del resto de nIme nI mero ross a al al0u 0uno noss de el ello loss se le less au aume ment nta a ,% unid un idad ades es!! la me medi dia a ar arit itm= m=ti tica ca au aume ment nta a a B B.. Keter Ket ermin minar ar cuá cuánto ntoss nIm nImer eros os no an var variad iado o su valor.

a' FF d' ,(

a'

$2% 1a media aritm=tica de tres nImeros es H. 1a media 0eom=trica es par e i0ual a uno de los nImeros y su media armónica es BLH. Pallar el menor de dicos nImeros

proporcio cional nal de A y B  es a la media #'% 1a media propor di"erencial de A y B como @F es a @H. Pallar la razón entre A y B a' BL$F d' L@H

c' $!,

$$% Pallar la ma de los n; nImeros

#2% En un salón @L, de los alumnos tiene @F aGosJ $LF del resto tiene @ aGos y los $H restantes tienen @@ aGos aG os.. 5i en entr tran an lu lue0 e0o o  al alum umno noss cu cuya ya su suma ma de edades es B. ?Cuál es el promedio de edad del alumnado

a' @ d' @F

b' ,!( e' @%

a ' $, d' @(

c' F PAG – 05

2

3

b' $ e' $B

c ' $(

ARITMÉTICA $7% 1a di"erencia de dos nImeros enteros y positivos es

como =s como =ste te eRce eRcede de a la m0 de dicos nImeros. Pallar el mayor de dicos nImeros

Cn .

Pallar el mayor de ellos! si se sabe que la media aritm=tica y media 0eom=trica de ambos son dos nImeros pares consecutivos. a' ( d' @%%

b'  e' H

a' @( d' %

c' 

b' @ e' $

c' $,

22% #ara dos nImeros a y b cuya suma de cuadrados es @(%! se cumple que la relación entre su promedio armónico y su promedio aritm=tico es equivalente a (L.. Pal (L Pallar lar la di" di"er erenc encia ia de cua cuadra drados dos de dic dicos os nImeros.

$8% En un curso! la nota promedio de las secciones A y * son @, y @( respectivamente. 1a sección * tiene @L del nImero de alumnos que tiene A. 5i la relación del nImero de alumnos se invierte. ?En cuánto aumenta la nota promedio al juntar las dos secciones

a' , d' 

b' $H e' $(

a' @%( d' (

c' F

b' @,, e' @

%$c' @%F

23% El producto de la ma ! m y m0 $ de dos nImeros es

i0uall a @ %,( i0ua %,( FH FHB. B. 5i la ma es FL, FL, d de e la m0 . 6ndi 6n dicar car la di di"e "ere renc ncia ia de cu cuadr adrad ados os de dic dicos os nImeros a'  (,% d'  $(%

II NIVE& $9% Pallar

el

promedio

,%!,%!,%!...!,% @ , ,,$ , , , y

de

Z ,nZve ,nZ veces ces

b' ,B e' ,,

c' ,H

a ' $ d' $,

?Cuál es el menor de los dos nImeros b' $ e' @

c' 

a' B d' (

$;% Ke una muestra de  P; personas el promedio de las edades de los que bailan es  ?; aGos! de los que no bailan es  r; y el promedio de las edades de todas las personas es E; aGos. ?Cuántas personas bailan

a' d'

#( q + r) E

# ( r − E) r+q

# ( E − r) r−q # ( r + E) e' r−q b'

c'

# ( r − E) r−q

a' @@F d' @@%

c' H

b' ( e' @%F

c ' 

29% la m de  nImeros enteros es H$L@@! la ma es ( y

su m0 es i0ual a uno de ellos multiplicado por la raíz ra íz cI cIbi bica ca de B. Cal alcu cula larr el me meno norr de lo loss nImeros.

Pallar: $

( m + m0) P= (( maRm0 aRm0) b' $L e' @

b' F e' 

t=rrmi mino noss de una prop opor orci ción ón ma de los t= 0eom=trica continua eRcede al menor de ellos en  unidades. Pallar la m0 de los t=rminos de dica proporción si la m de sus eRtremos es los $FLH del t=rmino mayor mayo r.

−@ @ @ @    + ÷÷ = ( ma + m0) ,  ma m0 

a' @L$ d' $LF

c ' $(

28% la

2#% #ara dos nImeros se cumple:

 

b' $$ e' $B

27% Ke un 0rupo de personas! se sabe que nin0uno tiene más de B% aGos y una de ellas es la menor posible. El prom pr omed edio io ari aritm tm=t =tic ico o de el ella lass es F, y la me medi dia a armónica entre la menor edad y cualquiera de las otras es ,%. ?Cuántas personas con"ormaban dico 0rupo

dos nI nIme mero ross es , y la m es $L@H. $:% 1a m0 de dos a' , d' F

c'  (,(

2'% 5i la media armónica de la media aritm=tica y de la media armónica de dos nImeros es al cuadrado de la media 0eom=trica de ellos mismos como @ es a la media aritm=tica de dicos nImeros. 5i la suma de dicos nImeros es ,(. 6ndicar uno de ellos

ZnZveces

F%!F%!F%!...!F% @,, ,$ , , , C

a' ,( d' ,F

b'  $,% e'  (

%$a' , d' B 2:%% 2:

c' @L,

2$% 1a media armónica y la media 0eom=trica de dos nImeros enteros están en la misma relación que los nIme nI mero ross B% y BF BF.. 5i la ma eRcede a @(!HF tanto

2

3

c' @$

Calcul Cal cular ar el pr prome omedio dio ar armón mónico ico de ( nI nImer meros! os! sabiendo que el promedio armónico de F de ellos es L, y del resto de nImeros es L,. a ' @$ d' @@

PAG – 05

b' ( e' F

b' @, e' @B

c ' @F

ARITMÉTICA dism smin inui uirá rá la pr prod oducc ucció ión n de ?é 0r" 0r"0"r 0"rció ción n di zapatos.

medi dia a ari aritm tm=t =tic ica a de mnF y ( m − $) p es mnF . 2;% 1a me

Calcular la media aritm=tica de: m! n y p a' @ d' ,

b' $ e' F

R!0r!-!ntación E-?!mtica

c' 

@$ obreros acen H$ pares

3#% En una aula del CE#2E! la edad promedio de todos los alumnos es  a; aGos. 5i la edad promedio de las mujeres y de los ombres es  >; y c% Keterminar que por porcen centaj taje e de las muj mujer eres es re repr prese esenta ntan n los ombres en dica aula.

R ,: R : R $:

a+ b b−a b−a R@%%[ b' R@%%[ c' R@%%[ a+ c a+ c b+ c b− a d' R@%%[ e' a$ − b$ R@%%[ a− c

,( obreros acen $(( pares : B obreros acen $@B pares $, obreros acen @,, pares :

R, :R R$

a'

@$ obreros acen H$ pares :$ : :,

B obreros acen B pares , obreros ace cen n $, par are es  obreros ace cen n @( par are es

:$ : :,

En esta proporcionalidad al ser multiplicados el nImero de obreros por $! tambi=n la producción en la obra a sido multiplicado por $J al multiplicar por  al nImero de obreros! la producción tambi=n a sido multiplicado por ! etc #or ejemplo! si contamos la cantidad de panes que se pueden comprar con cierta cantidad de soles:

 PAN ES @ sol ( panes $ soles @B panes  soles $, panes , soles $ panes  SO&E S

(ANITUDES DIRECTA DIRECTA E INVERSA(ENTE PROPORCIONA&ES% CAPACIDADES= 





5aber que al comp 5aber comparar arar dos ma0 ma0nit nitude udes! s! =st =stas as pueden pue den var variar iar cuan cuando do tom toman an div divers ersos os valo valore ress dependiendo una de otra. 5abe 5a berr qu que e do doss ma ma0n 0nit itud udes es so son n di dire recta ctame ment nte e proporcional cuando al multiplicar o dividir una de ella el lass po porr un nI nIme mero ro la ot otra ra ca cant ntid idad ad qu qued eda a multiplicada o dividida por el mismo nImero. 5abe 5a berr qu que e do doss ma0 ma0ni nitu tude dess so son n in inve vers rsam amen ente te proporcional cuando al multiplicar o dividir una de ella el lass po porr un nI nIme mero ro la ot otra ra ca cant ntid idad ad qu qued eda a dividida o multiplicada por el mismo nImero.

Además! se cumple que el cociente de los valores correspondientes de las ma0nitudes es co nstante: " panes 8 16 24 32 = = = = ( soles 1 2 3 4 &constante' 5i 0rafcamos los valores correspondientes de las ma0nitudes en el plano. (# de panes)

CONT CO NTEN ENID IDO O TEÓR TE ÓRIC ICO= O= in"ormación.

Anal An alic ice e

la

si0 i0u uie ient nte e 32

(ANITUDES DIRECTA(ENTE PROPORCIONA&ES%

24 16

En una "ábrica @$ obreros acen H$ pares de zapatos por día! 5i se aumenta el doble! triple! cuádruplo! etc.. El nIm etc nImero ero de obr obrer eros. os. ?En qu= pro propor porción ción aumentará la producción de zapatos en cada vez.  \ si en vez de aumentar disminuye a la mitad! tercia! cuarta4 !tc% E/ n@m!r" 1! ">r!r"-4 !n

Tg

α

=8

8 α

1

PAG – 05

2

3

2

3

4

(S/. )

ARITMÉTICA 1os puntos se encuentran sobre una recta que pasa por el ori0en.

tendrí ría amos

de"or orm maci ció ón i0ual a % con una fuer+a > ! ! lue0o no valdría el modelo d  D.Y! tampoco se puede tomar Y muy 0rande! porque el reso sort rte e se des estr trui uirría y po poco co an ante tess de eso su de"ormación no sería proporcional a Y. Y.

OBSERVACIÓN=

Kos ma0 ma0nit nitude udess son dir direct ectame amente nte pr propor oporcio cionale naless cuando multiplicamos a una de ellas por un nImero! la otra queda multiplicado por el mismo nImero y al dividir a una de ellas por un nImero la otra queda dividida por el mismo nImero.

1a pendiente de la recta es i0ual a la constante de propor pr oporcio cionali nalidad dad.. Est Este e valo valorr se pue puede de cal calcul cular ar como la tan0ente del án0ulo a0udo que "orma la recta con el eje # . +

(ANITUDES INVERSA(ENTE PROPORCIONA&ES% 5i B obreros pueden acer una construcción en % días. 5i se duplica o triplica el nImero de obreros! o si se acen trabajar la mitad o la tercia de obreros. ?En cuántos días arán la construcción.

En 0eneral : A '&&$ →

%alor de A

=

%alor de $

cons tan te

R!0r!-!ntación rca= F obreros lo acen en % días

R R$

OBSERVACIÓN=

B obreros acen acen en % días

A ' $ Se lee A es directamente

:$ :

 A α $  proporcional a $

(pend!ene de "a reca)

( #

#a"or  de %

#a"or  de $

 V+m<. ,

% ,F B% %

Es importante observar que! al aplicar un modelo matemático para analizar una situación concreta! debemos tener en cuenta los límites de la validez del modelo.

=

(

×

t

+  ,

B ,  $

5e puede observar que al duplicar la velocidad! el tiempo se divide entre $! y al triplicar la velocidad el tiempo se reduce a su tercera parte. Además se cumple que el producto de los valores correspondientes de las ma0nitudes es co nstante.

En particular! cuando afrmamos que una ma0nitud A es proporcional a otra ma0nitud *! debemo deb emoss dej dejar ar clar claro o &e &eRpl Rplici icita ta o táci tácitame tamente nte'' que esto se da dentro de ciertos límites de variación para R e y. #or ejemplo la conocida 1ey de Poo
R$ R

5upon0amos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de @(%
Consane =

 obreros arán en B% días $ obreros arán en % días

En esta propor proporcionali cionalidad dad al dupl duplicar icar el nImero de obreros! el tiempo para acer la obra es la mitadJ si se triplica el nImero de obreros se empleará la tercera parte del tiempo. tiempo. Al usar la mitad del nImero de empleados! el tiempo se duplicará! etc.

5e pu pued ede e af afrm rmar ar qu que e el va valo lorr de un una a de la lass ma0nitudes depende linealmente de la otra:

f * #)

@( obreros acen en @% días :  @$ obr obrer eros os ac acen en en @F día díass : $

>Rt  % R B  ,F R ,  B% R   % R $  constante 1a 0ráfca de los valores correspondientes de las ma0nitudes en el plano es:

* fuer+a)

1a val valid idez ez de es esta ta ec ecuac uación ión co como mo modelo mod elo mat matemá emátic tico o para re repre presen sentar tar al "en "enóme ómeno no está sujeta a restricciones! la "uerza no puede ser muy pequeG peq ueGa a por porque que ent entonce oncess aIn sie siendo ndo pos positi itiva! va! no sería sufciente para de"ormar el resorteJ en este caso PAG – 05

2

3

ARITMÉTICA pre eci cio o de un te tele levi vissor va varí ría a en "or orm ma #2% El pr prop pr opor orci cion onal al al cu cuad adra rado do de su ta tama maG Go e inve in vers rsam amen ente te pr prop opor orcio ciona nall a la en ener er0í 0ía a qu que e cons co nsum ume. e. 5i cu cuan ando do ti tien ene e m m;; ce cent ntím ímet etro ross cuadrados consume a; de ener0ía y cuesta 5L $,% ?Cuánto costará un televisor cuyo tamaGo es mL$ y consume $aL de ener0ía

(*/+) ," -rea de cada rec-ng"o e se genera con n pno de "a cr0a es !ga" a "a consane de proporc!ona"!dad

18&

& 6&

a' $H% d' F,%

4' 3&

1

2

3

4

6

b' H$% e' (H%

#3% RLy;.

(+)

1os puntos se encue encuentran ntran sobre una rama de ip=rbola equilátera.

c' (@%

Ke la lass 0rá 0ráfc fcas as si si0u 0uie ient ntes es!! al allar lar  % .. $

C I..

 %

En 0eneral:



C

12 24

A - $

→

* %alor de A )* %alor de $) = cons ta

 2

Esta eRpresión se puede eRpresar:

f* # )

=

%alor de A

1'

(

→

Cons tan te

#

→

%alor de $

a' %!F d' %!(



3&

$

b' %!B e' $





c' %!H

El 0asto de un persona es K.#. a su #'% sueldo! siendo el resto aorrado. Qn seGor cuyo sueldo es de 5L. %% aorra 5L. %. ?Cuál será será su sueldo cuando su 0asto sea de 5L. @$B% 

Kos cantidades cantidades son inve inversamen rsamente te propo proporciona rcionales les cuando al multiplicar a una de ellas por un nImero! la otra queda dividida por el mismo nIme nI mero ro y al di divi vidi dirr a un una a de ell llas as po porr un nIme nI mero ro la ot otra ra qu qued eda a mu mult ltip ipli licad cada a po porr el mismo nImero.

a' @,%% d' @B%%

b' @@, e' @%%

c' @F%%

5e ti tien ene e $ ma ma0n 0nit itud udes es A y * qu que e #7% tienen tie nen una cie cierta rta re relaci lación ón de pro propor porcio cional nalida idad! d! tales que: A

@

$



,

*

@, ,

 B

@ B



Pallar R; : a' $ d' B

b' ,

@$ @ $ $ @

@ ^

c' F e' (

5e tiene $ paralelepípedos de i0ual #8% volumen! volum en! que tienen tienen la si0uient si0uiente e caracte característica rística:: que su lar0o es K.#. a su anco! si en uno de ellos su anc anco o es ! su la lar0 r0o o es B y su altu altura ra es F. Pallar la altura del se0undo sabiendo que su anco es $. a' B d' @%

altu tura ra P P;; qu que e al alcan canza za un e eli licóp cópte tero ro es #$% 1a al directamen dire ctamente te propo proporcion rcional al a la lon0it lon0itud ud 1; de su =lice y a su correspondiente velocidad an0ular ]; per pero! o! inv invers ersame amente nte pro propor porcion cional al a su pes peso o #;. # ;. 5i < es una constante constante de pro propor porcio cional nalidad idad!! entonces se verifca que: a' H c' H /A

2

KL W / P KPW / L

b' H d' H

c' 

El precio de un tubo de ferro varía #9% proporcionalmente al cuadrado de su lon0itud! las lon0itudes de $ tubos están en la relación , es a . ?En qu= relación están sus precios a' (@L, d' $L

KP / LW KWL / P

b' @@!$F e' (

e'

b' ,L e' L$

c' @BL(@

5e tiene $ ma0nitudes A y * tales que #:% A es 6.# 6.#.. a *$ ! si cuando cuando * aumenta aumenta en un un $%[ !

PAG – 05

2

3

ARITMÉTICA A va varí ría a en $$ un unid idad ades es.. ?E ?En n cu cuán ánto to va varí ría a A! cuando * disminuye en un $F[ a' $( uni unidad dades es unidades d' ,( unidades

b' $ uni unidad dades es

una joya joya se div divide ide en , partes partes i0uale i0uales. s. ?A qu= porcentaje porce ntaje de su valor valor inicial inicial queda reducid reducido o el valor de dica joya 

c' ,%

a' $F[ d' F%[

e' FB unidades

El precio precio de una piedr piedra a preciosa preciosa es #;% directamente proporcional al cubo de su peso. 5i se tiene una de estas piedras! cuyo precio es 5L. HF% y se parte en dos pedazos! uno de los cuales es @L, del otro. otro. ?_u= perdid perdida a de valo valorr su"rió su"rió la piedra a' 5L 5L.. @$ @$%% %% d' 5L. $@% @%% %

b' 5L 5L.. $$ $$%% %% e' 5L. @( @(%% %%

b' B e' @

a' @( d' $@

c' 5L 5L.. $ $%% %%

a' H, d' ($

F% F

b' B( e' @

$:% 5i un diamante de @$
C B

a' $!F 0 d' % 0

b' 

B

C

@(

c' $

C

Keterminar la relación correcta entre A y *

e' /.A

a' AK.# @L* A I.P. B

d'

b'

A

2

c'

D.P. 1 / B

2

e'

A D.P 1 / B

A I.P. B

2

2#% A y * son $ ma0nitudes tales que: A es K.#. a *$ si * 5 A es 6.#. 6.#. a * si * 5

a' 5e a ace ce la mi mita tad d b' 5e tri tripl plica ica c' /o va varía ría d' 5e duplica e' @$ $'% En un eRamen de admisión a la Q/6! donde se inscribier inscri bieron on @ %( postulantes! postulantes! se obse observó rvó que el nImero de inscritos diariamente era inversamente proporcional al nImero de días que "altaba para el cierre de la inscripción! &eRcepto el Iltimo día que se inscribieron B%'! si la inscripción duró H días. ?Cuántos se inscribieron el tercer día

b' @%F e' H%

5i:

@F

capacid acidad ad de un cond condens ensador ador es K.# K.#.. a su $3% 1a cap lon0it lon 0itud ud Z1Z e inv invers ersame amente nte pro propor porcion cional al a su sección ZAZ. ?_u= sucede con la capacidad si Z1Z se ace a la tercera parte y ZAZ se ace a la seRta parte

a' (, d' @B%

c ' $F 0

MA8/6+Q >A192E5 A568/AK95 A568/AK9 5 K A B @,, $, * @$ @(

5i m es K.# K.#.. a n  y n es 6.#. a p . $2. Pallar p cuando m es J si cuando m  $ ! p  B a' $ C $, d' $ C @$

b' F 0 e' /.a.

$;%

c' H$

$

c' $$

a' $( aGos! $,% días b' $( aGos! $, días c' $( aGos! $$ día día d' $H aGos ! $,% días e' $( aGos! @$ días

5iendo la ma0nitud A K.#. al cuadrado $$. de la ma0nitud *! determinar a  c si el si0uiente cuadro representa los valores de las ma0nitudes respectivas ( a

b' $% e' @

5i el peso de un ele"ante blanco es $9% K.#. a sus aGos! si un ele"ante tuviera B% D0! entonces su edad sería $ aGos. ?Cuántos aGos tendrá sabiendo que pesa $, D0

c' 

A *

c' B$!F[

costo to un unit itari ario o de un li libr bro o es in inve vers rsam amen ente te $8% El cos proporcion propo rcional al al nImero de ejemplos ejemplos editados. editados. 5i una primera tirada se vende en  %%% 0anando el @%[. Cual será el costo de cada libro de una se0unda tirada de de @ F%% ejemplares

5e tiene  ma0nitudes A! * y C tales $#% que : A es 6.#. 6.#. a *$ &cuando C es constante' A es K.#. a c ! &cuando * es constante'! si cuando A  (! *  ! y C  B. Pallar C! si A  @L y *B. a' @$ d' $

b' @$!F[ e' %[

5i A es B cuando * es 2 5 . a'  b' ( d' B e' F

3

. Palle A cuando * es

c' H

2$% 5e tiene $ ma0nitudes A y * entre ellos ay una relación de proporcionalidad. 5ean al0unos valores correspondientes.

c' $@%

A *

5e sa sabe be qu que e el va valo lorr de un una a jo joya ya $7% varía en "orma K.#. K.#. con el cuadrado de su peso. 5i PAG – 05

2

3

$BB$ @B R B

$ F,  

y @F

ARITMÉTICA Calcule: R  y a ' $@% d' $H%

b' $F% e ' $(

22.

c' $B% Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir una can cantid tidad ad en part partes es que sean pro propor porcion cionale aless a ciertos valores! llamados índices.

Kel si0uiente 0ráfco ! allar a. b

C&ASES= $% REPARTO SI(P&E= 5e llama así porque intervienen sólo dos ma0nitudes proporcionales. #uede ser a su vez de dos tipos: $%$ DIRECTO= &Cuando intervienen $ ma0nitudes K.# K.#.' .' CUADRO DE C&AVES 01

02

09

10 10

17

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03

19

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05

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12

13 13

14 14

15 15

16 16

20

21

22

EJE(P&O DE AP&ICACIÓN=

Kon 1uis Alberto quiere repartir 5L. ( %% entre sus tres nietos! cuyas edades son (!@$ y $% aGos. El abuelo abuelo pie piensa nsa!! con justa justa razón! razón! que su nieto de $% aGos tiene mayores necesidades econó ec onómi micas cas qu que e su otr otro o ni niet eto o de ( aG aGos os!! entonces decide acer el reparto K.#. a las edadess de sus nietos edade nietos.. Esto implica que aquel niet ni eto o qu que e te ten0 n0a a más ed edad ad!! re recib cibir irá á má máss dinero! y el que ten0a menos edad! recibirá menos dinero. >eamos lo que sucede. 5ean las partes A! * y C! tales que cumplen las si0uientes condiciones: A * C A  *  C  5L. (%% ∧ = = = D  ( @$ $% A = (< * = @$<  C = $%<  R!c!r1! R!c!r 1! ?! ?!44 ca can1" n1" 1"- ma6 ma6nit nit1! 1!- -"n D%P%% !/ c"ci!nt! !ntr! !//a- !- na c"n-tant! D%P c"n- tant!.

Entonces: ( <  @$ <  $% <  (%% ,% <  (%% ⇒ <  $% 1ue0o cLu le responde: A=(



%$×

* = @$ C =

%$× ×



%$⇒



%$A = 5 L. L .@B% * = 5 L . $, $,% C = 5 L .,% .,%%.... ....2 2pta.

#od odem emos os re reso solv lver er el pr prob oble lema ma me medi dian ante te el si0uiente esquema práctico.

S/. 8&&

A/ 8

2

S/. 16&

$ / 12

3

S/. 24&

C / 2!

5

S/. 4&&

<=

(%% = (% $+ + F

REPARTO PROPORCIONAL PAG – 05

2

3

ARITMÉTICA

/o olvide: M.C.M. &$!!,'  @$ 9bserve que los nImeros que representan las "altas de es esto toss  em empl plea eado doss se co coloc locan an in inve verti rtido doss &recuerde que el reparto es 6.#.'! lue0o si a cLu de esto es toss se le less mu multi ltipl plica ica por @$ @$!! la re relac lación ión de proporcionalidad no se altera. 1o que se realiza a continuación es lo mismo que se a descrito en el reparto anterior &reparto directo'.

9bserve que si simplifcamos los tres nImeros! la relaci rel ación ón de pro propor porcio cional nalidad idad no se alt alteraJ eraJ lue0o la constante de reparto <; se alla dividi div idiend endo o la cant cantida idad d a re repart partir ir &5L &5L.. %% %%'' entr en tre e la sum uma a de la lass pa part rtes es &$ &$! ! y F' F'.. Yinalmente! las cantidades recibidas por cLu se allan multiplicando $!  y F por <. $%2 INVERSO= &Cuando intervienen $ ma0nitudes 6.# 6.#.' .'

llam ama a así así po porq rque ue 2% REP REPAR ARTO TO CO(P CO(PU UES ESTO TO== 5e ll intervienen más de dos ma0nitudes proporcionales.

E5!m0/" 1! a0/icación=

E5!m0/"= Qn 0erente desea repartir una 0ratifcación de 5L. ,$ %%% entre sus tres empleadosJ en partes K.#. a sus sueldos &5L.  $%%! 5L. , $%% y 5L. F ,%%' e 6.#. a su suss "a "alt ltas as &, &,!! B y  dí días as re resp spec ectiv tivame ament nte' e'.. ?Cuánto le corresponde a cada uno

El 0erente de D ` * Editores! quiere compensar a sus tres mejores emple empleados ados entr entre0ánd e0ándoles oles una 0ratifcaci 0ratifcación ón en nav navidad idad por su bue buena na prod pr oduc ucció ción. n. El pr prob oble lema mass es qu que e lo loss tr tres es empleados tienen al0unas "altas y desea que esa situación se vea reejada en el reparto. Entonces plantea repartir los 5L.  %%% en partes 6.#. a sus "altas! que son $!  y , días resp re spec ecti tiva vame ment nteJ eJ es esto to im impl plica ica qu que e aq aque uell empl em plea eado do qu que e te ten0 n0a a má máss "a "alt ltas as!! re recib cibirá irá menos men os din dinero ero!! mie mientr ntras as que el que ten ten0a 0a menos "altas recibirá más dinero. >eamos lo que sucede.

S"/ción= 2esolver 2es olveremos emos el probl problema ema utili utilizando zando el m=todo práctico. @  →  < 5 L .@B%%%  A = $%% . , → (    @  5 L .,$%%%  * = ,$%% . → H   →  < 5 L .@,%%% B   @ →  < 5 L .@$%%%  C = F,%% .  → B    ,$%%% <= = $%%% (+ H+ B

5ean las partes A! * y C! tales que cumplen las si0uientes condiciones: A  *  C  5L.  %%% A.$*.C., Entonces! dividiendo la Iltima Iltima eRpresión eRpresión entre @$ &M. C. M. &$J J ,' @$': A = B< A . $ *.  C. , A * C  J = = = = = D J * = ,< @$ @$ @$ B ,  C = < 

9bserve que a pesar que el tercer empleado 0ana más &5L. F ,%%' no es =l quien recibe más 0ratifcación. Esto se debe a que sus "altas & días' son mucas! causando una disminución en la 0ratifcación que recibió.

Recuerde que cuando dos magnitudes son I.P. I.P. el producto entre entre ellas es una constante.

1ue0o: B <  , <   <   %%% @ <   %%% ⇒  <   %%% A cLu le corresponde: A  B .  %%% *  , .  %%% C   .  %%% 2pta.

⇒ ⇒ ⇒

#$% 2epartir 5L. ,FB en , partes cuyos cuadrados sean directamente proporcionales a ,! ! @B y $F. ?Cuál es la mayor cantidad repartida

A  5L. @( %%% *  5L. @$ %%% C  5L.  %%% ......

a ' @$B d' B,(

b' @B$% e' /.A.

c' H$

#2% Al repartir 5L. $FF% en partes i0uales que sean direct dir ectame amente nte propor proporcion cional al a @! $! ! ,...n se obtiene que la suma de las $% primeras partes resulta 5L. ,$%. Pallar n;.

#od odem emos os re reso solv lver er el pr prob oble lema ma em empl plea eand ndo o el m=to m= todo do pr prác ácti tico co!! pl plan ante tead ado o en el ca caso so anterior:  A @ .@$ B < 5 L . @(%%%    $ → →    @ 5 L .%%% * . @$ → → ,    < 5 L .@$%%%    @     < 5 L . %%% C , .@$ →→  %%% <= = %%% B+ ,+ 

a ' @H d' F%

b' ,F% e' /. A.

c '

%$#3% 5e reparte 5L. @%F%% entre , personas: lo que le toca a la primera es a lo que le toca a la se0unda como $ es a J lo de la se0unda es a la tercera como , es a F y lo de la tercera es a lo de la Iltima como B es a H. ?Cuánto recibe la tercera persona

a ' %

PAG – 05

2

3

b' %%%

c ' %%

ARITMÉTICA d' F%

e' /.A.

0astos 0ast os y +oG oGo o el re rest stoJ oJ en di dic co o al almu muer erzo zo estu es tuvi vier eron on pr pres esen ente tess só sólo lo los . 9t 9tro ro dí día a en a0radecimiento y en recompensa a los 0astos que abía ab ían n re real aliz izad ado! o! Vo Vose sefn fna a le less re re0a 0ala la un re relo lojj valorizado valoriz ado en 5L. %%. 5i Artur Arturo o quiere quedarse quedarse con dico reloj! cuánto dinero tiene que darle a  +oGo  + oGo por su parte.

#'% 2epartir ,$%% en  partes! cuyas partes sean inve in vers rsam amen ente te pr prop opor orci cion onal al a los si si0u 0uie ient ntes es nIme nI mero ross 75 ! 243 . 6ndicar como 147 ! respuesta la menor cantidad repartida.

a' @(%% d' @@@@@

b' @%F%% e' /.A.

c' @F%%

a' 5L. $(% d' 5L. B%

#7% Kos personas que llevan F y  panes respectivamente se encuentran con un cazador ambriento y comparten con =ste los ( panes en partes i0uales. 5i el cazador pa0ó 5L. ( por su parte. part e. ?Có ?Cómo mo deb deben en rep reparti artirse rse los pas pastor tores es el dinero entre sí

a' 5L. @$%% d' 5L. $,%%

#8% Qn ombre decide repartir una erencia en "orma proporcional al orden en que nacieron sus ijos. 1a erencia total es 5L. ,(% %%%! adicionalmente deja 5L.@B% %%% para el mayor! de tal modo que el primero y el Iltimo ijo reciban i0ual erencia. ?Cuál es el mayor nImero de ijos que tiene este personaje

b' , e' H

$2%

b' 5L. @%%@ e' 5L. @@,H

b' 5L. (,% e' 5L. @@H%

a'  d' @B

b' @H soles e' $@ soles

b' @% e' @(

c' @

b' @$ e' @H

c' @F

$'% 2epartir H FBF en  partes que sean K# a : 3n J 3n −1 y 3n +1  e 6# a : 4 n −1 J 4 n +1 y 4 n . Kar como respuesta la suma de las ci"ras de la mayor cantidad

c' 5L. @$@,

a' @ d' @(

b' @F e' @

c' @H

Cuat atro ro so socio cioss re reIn Inen en $• 1! 6 $7% Cu

dóla dó lare ress de los  cuales el primero pone ,%% %%%J el se0undo los , F de lo que puso el primero! el tercero los  de lo  que qu e pu puso so el se se0u 0und ndo o y el cu cuart arto o lo re rest stan ante te.. ERplota ERp lotan n una ind indust ustria ria durante durante , aGos. 5i ay que repartir una 0anancia de @ F%% %%% dólares. ?Cuánto le toca al cuarto

c' 5L. B(%

 +res res pastores Carlos! Yernando y 2enato 2enato llevan @HJ #;% + @, y @@ panes respectivamente. 5e encuentran con Anita y comparten con =sta los ,$ panes en partes i0uales. 5i Anita pa0ó 5L. ,$ por su parte ?Cuánto le corresponde a Carlos a' @, soles d' $B soles

c' 5L. @,,%

reparti artirr un nIm nImer ero o en "or "orma ma dir direct ectame amente nte $3% Al rep proporcional a tres nImeros primos entre sí! se obtiene las si0uientes partes: @ @$%J BH$ y @ FB(. Entonces la suma de los tres nImeros primos es:

 +res res obreros se reparten una 0ratifcación en #:% + partes proporcionales a sus aGos de servicio que son (J @, y @H aGos. /o pareci=ndoles justo dico reparto! se acuerda que sea en partes i0uales! entonces el  le da al $do (% soles y =ste da una ciert cie rta a can canti tida dad d al @e @err. A cu cuán ánto to as ascie ciend nde e la 0ratifcación. a' 5L. H(% d' 5L. 

%$b' 5L. @F%% e' 5. LB%%

5e reparte / en "orma proporcional a los , primeros nImeros impares positivos. 1a parte del tercero se reparte en "orma proporcional a (J B y  y en este reparto! la se0unda parte es B%%. Pallar la suma de las ci"ras de /. a' ( d' @F

c' F

or0a 0ani niza zado do un eve ven nto at atl= l=ti tico co en la #9% Yue or modalidad de postas de ,%% m planos. El equipo 0anador inte0rado por , atletas recibió un premio en e" e"ec ecti tivo vo!! el cu cual al se re repa part rtió ió en entr tre e el ello loss inve in vers rsam ame ent nte e pr prop opor orci cion onal al al nIm Ime ero de se0undos que se demoraron en recorrer su tramo &@%% &@ %% m' los cua uale less a an n sid ido: o: (J J @% y @$ se0u se 0und ndos os re resp spec ecti tiva vame ment nte. e. 5i el má máss ve velo lozz ubi u bier era a de demo mora rado do un se se0u 0und ndo o má máss a abr bría ía reci re cibi bido do $ $BF BF me meno nos. s. A cu cuán ánto to as asci cien ende de el premio. a' 5L. @$%@( d' 5L. @@%$

c' 5L. @%

$$% Cuatro 9breros se repartieron una 0ratifcación en razón directa al nImero de aGos trabajados en la empresa que son J HJ , y ( aGosJ e inversamente proporcional al jornal diario en nuevos soles que son HJ J $ y $@ soles respectivamente. ?Cuánto le corresponde al ,to obrero si la 0ratifcación "ue de @B$%% nuevos soles

a' 5L 5L.. F y 5L. 5L.  b' 5L 5L.. B y 5L. 5L. $ c' 5L 5L.. ,y ,y 5L. 5L., , d' 5L. H y 5L. @ e' 5L. B!F y 5L. @!F

a'  d' B

b' 5L. $,% e' 5L. (%

a' %% %%% d' H%% %%%%

b' F%% %%% e' %% %%%

c' B%% %%%

$8% Kos socios reunieron un capital de 5L. @% %%% para ace a cerr un ne ne0oc 0ocio io.. El pr prim imer ero o de dejó jó su cap capit ital al durante  meses y el otro! durante $ meses. ?Cuál es la su suma ma de la lass ci ci"r "ras as de la di di"e "ere renc ncia ia de capitales! si las 0anancias "ueron i0uales

c' , soles

$#% Arturo y +oGo le invitaron un almuerzo a Vosefna en su cumpleaGos cubriendo Arturo el ,% [ de los

PAG – 05

2

3

ARITMÉTICA a' @$ d' 

b' ( e' $

c' @F

 +res res vecinos an alojado tropas! el primero B $9% + ombres y , caballos durante @F días! el se0undo ( o omb mbre ress y  cab cabal allos los duran durante te @$ dí días as y el terc te rcer ero o @% o omb mbre ress du dura rant nte e  dí días as.. 5i se le less concede así una indemnización de 5L. @(% %%% á0ase el reparto sabiendo que el alojamiento de $ cab cabal allos los se con consi side dera ra eq equi uiva vale lent nte e al de un ombre. ?Cuál es la menor indemnización a' 5L. $( %%% d' 5L. F% %%%

b' 5L. % %%% e' 5L. B% %%%

REGLA DE TRES

c' 5L. ,F %%%

Kiariam riament ente e se re repart parten en 5L.  %%% entre dos $:% Kia obreros A y * en "orma K# a sus rendimientos. Qn día A; recibe 5L. @H B%% y *; el restoJ al otro día A; disminuye su rendimiento en un $F[ y * lo aumenta en un $%[. Calcular la di"erencia entre las cantidades que recibirán A y * en este nuevo reparto. a' 5L.  %% d' 5L. B B%%

b' 5L. ( (%% e' 5L. F F%%

DEFINICIÓN Es una aplicación de las ma0nitudes propo pr oporc rcion ionale aless qu que e con consis siste te en calcula calcularr un valor desconocido de una ma0nitud! comparando dos o mas ma0nitudes proporcionales.

c' 5L. H H%%

Pay dos clases de re0las de tres: $% R!6/a 1! Tr!Tr!- Sim0/! = Qna sola de tres es simple cuando intervienen solamente dos ma0nitudes. #uede ser :

part rte e el nI nIm mer ero o @, @,F F (% (%% % en pa part rtes es $;% 5e repa proporcionales a todos los nImeros pares desde @% a (. ?Cuánto le toca al que es proporcional a (% a'  F%% d' , F%%

b'  B%% e' , (%%

$%$%Dir!cta 1a re0la de tres simples es directa cuando lass ma la ma0n 0nit itud udes es qu que e in inte terv rvie iene nen n so son n directamente directamen te proporc proporcionales. ionales. 5ean A y * dos ma0nitudes directamente proporcionales! proporc ionales! con sus respectivos valores correspondientes.

c' , %%%

2#% 5e reparte 5L. @( B%% entre  personas en "orma directament direc tamente e proporcional proporcional a los nImeros: nImeros: 0 3 J

y 0 5 . 5i la menor cantidad recibida "ue B%%. ?Cuál "ue la que no es mayor ni menor 04

a ' @ %%% d'  %%%

b' @ F%% e' @F %%

K#

c' $ F%% A

%$ K %H K @$ C @H K

% * %( A @ C @( E

%, * % K @, * @ E

*

b1

=

#

a@   b@ a$  R

CUADRO DE C&AVES

%@ * %B A @@ A @B E

Como A K# *! se cumple: a1 a 2

%F K @% * @F C $% K

E5!m0/" : Qna cuadrilla de ,$ obreros cavan @,% metros de zanja en cierto tiempo. ?Cuántos metros de zanja arán B% obreros en el mismo tiempo R!-"/ción K#

9breros

3anja

,$  @,%m B%  R ∴ ^  @%%

5e cumple:

,$ B% = @,% R

E5!m0/"= Qna casa pertenece a dos ermanos! la parte del primero es los FL@ de la casa y está valorizada en @ F% %%% soles. Pallar el valor de la parte del otro ermano.

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2

3

ARITMÉTICA

Es aquella en la cual intervienen más de dos ma0nitudes.

R!-"/ción= F

@ e r. r.  e r m a n o :

$do. erman o:

@ FC% %%%

@C

@ 

F @C



( @C

EJE(P&O=

Qn 0rupo de ( peones lo0ran sembrar en $, días trabajando ( oras diarias un terreno cuadrado de ,% metros de lado.

^

?Cuántos días tardarán F peones que trabajan B oras diarias! para sembrar un terreno cuadrado de F% metros de lado PRIMER MÉTODO DE SOLUCI! HD! /"- -i6n"-

@)Kispo @)Kis pone nemo moss lo loss da dato toss de su suer erte te qu que e lo loss valores pertenecientes a una misma ma0nitud est=n en la misma columna .

( × @ F% %%% @ = $ ,,( %%% soles ^=  F @

$)Comparamos las ma0nitudes con la ma0nitud de la incó0nita. directa ectamente mente prop proporc orciona ionales les &K.# &K.#.' .'  5i son dir colocamos arriba el si0no &' y abajo el si0no & - '.

  $%2%InG!r-a 1a re0la de tres simple es inversa cuando las ma0nitudes que intervienen son inversamente son inversamente proporcionales. proporcionales.

5ean A y * dos ma0nitu 5ean ma0nitudes des inv invers ersame amente nte proporc prop orcional ionales! es! con sus res respect pectivos ivos valo valores res correspondientes. 6# Como A 6# *! se cumple: A * a@   b@ a$  R



 1a

incó0nita se alla multiplicando los valores con si con si0n 0no o & &'' po porr el va valo lorr as asoc ocia iado do a la incó0nit incó 0nita! a! todo dividi dividido do por el pro produc ducto to de los valores con si0no & - '

a@ . b@  a$ . R

E5!m0/" = Qna cuadrilla de F obreros pueden acer una obra en @( días. ?En cuántos días $@ obreros arán la misma obra R!-"/ción 6#

K. #. &' #eones ( F &-'

5e cumple:

9breros 9brer os Kías F  @( $@  R

F . @(  $@ . R

Ke esto : R  24 ×

/) de conductos

=

F

25!! 8 8 × × 16!! 6 5

=

8!

Clasifcamos las ma0nitudes en tres partes:

+iempo

=

Kías $, R

SEUNDO ()TODO DE SO&UCIÓN HD! /a- raa-

 CAUSA=

5on los que acen la obra y todo lo que ayuda en su realización

F F  $% $%min  ^ .&F $%min' $%min'

6. #. &-' área ,% $ F% $ &'

∴ R  (% días

Qn depósito tiene cinco conductos de desa0e de i0u i0ual al diá diámet metro ro.. Ab Abier iertos tos tr tres es de ell ellos! os! se vací va cía a el de depó pósi sito to en F o ora rass $% mi minu nuto tos. s. Abie Ab iert rtos os lo loss ci cinc nco! o! ?e ?en n cu cuán ánto to ti tiem empo po se vaciará

^

K. #. &' Ld ( B &-'

∴ R  % días

E5!m0/"=

 F

5i son inve inversame rsamente nte proporc proporcional ionales es &6.# &6.#.'! .'! entonces arriba entonces arriba va el si0n si0no o & - ' y abajo el si0no & '

Ejemplo Ejempl o : obr obrer eros os ! máquina máquinas! s! animal animales! es! abilidad! es"uerzo! rendimiento o efciencia! etc.

 @$min

RE&A DE TRES CO(PUESTA

 CIRCUNSTANCIA=

PAG – 05

2

3

ARITMÉTICA

5on las condiciones dadas en el tiempo para acabar la obra.

0uardar en un recipiente es"=rico de B dm de radio

Ejemplo : Kías! oras diarias! raciones raciones diarias! etc.

;8#

5on los que acen la obra y todo lo que ayuda en su realización

Ejemplo: Kifcultades! dimensiones de la obra! resistencia resistenc ia del medio! etc. Esquemáticamente Esquemáticame nte tenemos :

#7% Qna cuadrilla de @F ombres se comprometió a realizar cierto trabajo en @, días! pero al cabo de  días sólo an eco los LH de la obra. ?Con cuántos omb ombres res de i0ua i0uall ren rendimie dimiento nto deben ser re"orzados para terminar la obra en el plazo fjado inicialmente

CAUSA CIRCUSTANCIA E FECTO

2$

KE1 #29*1EMA 2E5Q1+A

Peones

días

h/d

área

24

8

'

1

6

4& '&

 

R!-0!-ta=

#8% #ara acer una zanja de ,( metros de lon0itud $ metros de anco y %!( metros de pro"u pr o"undi ndida dad! d! se con contra trató tó @F obr obrer eros os que lo arían en @( días. #ero despu=s de  días de trabajo!  obreros en"erman y se decide no variar el tiempo ni aumentar más obreros! sólo se disminuirá la lon0itud de dica zanja. ?Cuál será esa nueva lon0itud

EFECTO

8

R!-0!-ta=

Cuatr tro o o ombr mbres es ac acen en ,% pr probl oblema emass en @% #'% Cua minutos y $ mujeres acen $% problemas en @F minutos. En $F minutos! ?cuántos problemas más acen @$ ombres que @F mujeres   R!-0!-ta= 7#

 EFECTO=

CAUSA CIRCUSTANCIA CIRCUSTANCIA

 

2 2

60ualamos 60uala mos el pr produ oducto cto de los va valor lores es que se encu en cuen entra tran n en la mi mism sma a lí líne nea a si si0u 0uie iend ndo o la dirección de la eca. ( R $, R 5!2   F R R R B R 4!2 #$% 1uis pinta un cubo de , m de arista en $ días. ?En qu= tiempo pintará otro cubo de @$ m de arista.

/ota: Se sugiere este m"todo a la #ora de resol$er resol $er pro%l pro%lema emas& s& pues la pro%a pro%a%ili %ilidad  dad  de equi$ocarse es m'nima

a' B días d' @(

PROB&E(AS DE AP&ICACIÓN

b'  e' /.a.

c ' @$

r ápido de 1uis! pero la tercera #2%  Vuan es el doble de rápido parte de #edro. 5i 1uis y #edro acen una obra en $H días. días. ?En cuántos cuántos días arían arían la misma misma obra los  juntos

RE&A DE TRES CO(PUESTA #$% 9co 0atos cazan oco ratones en ( minutos. ?En qu= tiempo $, 0atos cazan @( ratones

a' @( d' $F

R!-0!-ta = 8 min%

b' $@∗ e' @F

c' $,

#3% Kurante  días y ( oras se consumen los $LF del volumen de un tanque de a0ua . ? En cuánto tiempo se consumirán los L, de lo que queda del tanque 

 +res res monos se comen tres plátanos en tres #2% + minu mi nuto tos. s. ?C ?Cuá uánt ntos os mo mono noss se co come merá rán n @$ plátanos en seis minutos   R!-0!-ta= 8

a' d @F  d' d @$ 

b' d @( ∗ e' d $@ 

c' d $% 

Qn ombre y dos mujeres pueden acer #'% una un a ob obra ra en @% dí días as.. Ke Kete term rmin inar ar el ti tiem empo po nece ne cesa sari rio o pa para ra qu que e do doss o omb mbre ress y un una a mu muje jerr pued pu edan an a ace cerr un tra trabaj bajo o qu que e ti tien ene e , ve vece cess la difcultad del primero! sabiendo que el trabajo de

#3% 1a cantidad de 0ranos de maíz que se pueden 0uardar en un recipiente es"=rico de  dm. de radi ra dio o es $, $,%. %. ?C ?Cuá uánt ntos os 0r 0ran anos os de ma maíz íz de dobl do ble e ta tama maGo Go qu que e lo loss an ante teri rior ores es se po podr drá á

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2

3

ARITMÉTICA Qna Qn a cu cuad adri rill lla a de @% ob obre rero ross se $$% compromete a construir en $, días cierta obra. Al cabo de @( días sólo an eco FL@@ de la obra. ?Cuá ?C uánt ntos os ob obre rero ross te tend ndrá rán n qu que e re re"o "orz rzar ar a la cuadr cu adril illa la pa para ra te term rmin inar ar la obr obra a en el ti tiem empo po fjado .

un ombre ombre y el de una mujer mujer están en en la misma relación que los nImeros  y $. &En días' a' % d' F

b' $ e' /.A.

c' $H

#7% Qn 0rupo de $, obreros pueden construir una zanja de (% m de lar0o! lar0o! $ m de anco anco y @!F m de pro"undidad en @B días trabajando B Ld. ?En cuántos días $% obreros trabajando ( Ld pueden acer una zanja cuyo anco sea %!F m másJ %!F menos de pro"undidad y ,% m más de lar0o

a' @F d d' @$ d

b' @( d e' @% d

a' $B d' @(

c' $% d

b' @$ d e' /.a.

a' $B d'

%$b' @( e ' $F

c' @$!F d

a' @B d' $

c' @F

b' B $LF días e' /.A

a' @B m d' @$ m

b' B d e'  d

c' , @L$ días

a' ( d' @,

b' @F e' $@

c' @

b' @F m e' @% m

d' @, m

b' @% e' @B

c' @$

$8% 5abiendo que un buey atado a una cuerda de m de lar0o tarda F días en comerse toda la ierba que se encuentra a su alcance. ?Cuánto tardará si la cuerda "uera de B m 

c' H d

a' @% dí días as d' $F días

b' $% dí días as e' % dí días.

c' @F día íass

$9% 9co carpinteros cuya abilidad es como F son capaces de acer @% mesas y @( sillas en $, días. ?Cuántos carp carpinte interos ros cuya abi abilidad lidad es como H son capaces de acer @$ mesas y $% sillas en @B días! si se sabe que el acer @ mesa es lo mismo que acer  sillas.

náu" u"ra ra0o 0oss te tení nían an a0 a0ua ua pa para ra % dí días as y $#% $H ná comida para $% días. Kespu=s de pasar B días! mueren  de los náu"ra0os. náu"ra0os. ?#ara cuántos cuántos días abr a brá á a0 a0ua ua pe perro no co comi mida da pa para ra lo loss qu que e queden a' @ días d' @

b' % e' /.A

$7% 1a máquina M@ y M$ tienen la misma cuota de prod pr oduc ucci ción ón se sema mana nall op oper eran ando do %  y F  respectivamente. 5i M@ se malo0ra! lue0o de trabajar @(  debiendo debiendo acer acer M$ el resto de la cuot cu ota. a. ?C ?Cuá uánt ntas as o ora rass ad adic icio iona nale less de debe be trabajar M$

#;% 9co obreros pueden preparar una canca de "ulbito de @$ m de anco y $F m de lar0o en F díass tra día trabaj bajand ando o @% Ld Ld.. 5i , de los obreros obreros aument aum entara aran n su re rendi ndimie mient nto o en $F $F[ [ en que tiempo podrán acer otra canca de "ulbito de @( m de anco y $, m de lar0o! trabajando $ Ld menos cada día.

a' F d d' ( d

c' $$

$'% Qn reservorio de ( m de radio y @$ m de altura abastece a HF personas durante $% días. ?Cuál debe ser el radio de un reservorio de B m de altura alt ura qu que e debe debe abastec abastecer er a F% persona personass durante $ meses.

#:% 5i ( obreros acen una obra de F% m de lar0o por $% m de anco en ( días . Cuánto Cuántoss días necesitarán @$ obreros para acer una obra de ,% m por $% m siendo la efciencia del primer 0rupo como  es a $ respecto de la efciencia del se0undo 0rupo 

a'  @LF días d' $ @LF días

b' $, e' @(

obreros se comprome comprometen ten a terminar terminar una $3% >einte obreros obra en $( días! pero despu=s de aber eco la mitad de la obra @% de los obreros bajaron su rend re ndim imie ient nto o en un @L @L, , de debi bido do a la lass p= p=si sima mass condiciones de trabajo. Kebido a ello cuántos días se empleó en acer la obra 

Qna a0rupación de @B%% ombres #9% tienen víveres para @% días a razón de  raciones diaria dia riass cad cada a om ombre bre.. ?Cu ?Cuánt ántos os días dur durarán arán los víveres si cada ombre toma $ raciones diarias  a' $% d' @$

c ' @

pen nsó ter ermi min nar una ob obra ra en ,F día íass $2% 5e pe empleando % obreros laborando ( Ld. 1ue0o de $, días de trabajo se pidió terminar la obra @$ dí días as an ante tess de dell pl plaz azo o fj fjad ado o. ?C ?Cuá uánt ntos os obreros más se necesitarán si se aumentó en $ oras la jornada de trabajo

peones! s! en @F días días de ( Ld pued pueden en #8% 5i B peone sembrar rosas en un terreno cuadrado de $,% m de lado. En cuántos días! $, peones trabajando @% Ld! podrán sembrar en un terreno cuadrado de @(% m de lado cuya dureza a la cava es los ,L del anterior. a' @!F d d' @ d

b' ( e '

%$c' @H

a' @% d' ( PAG – 05

2

3

b' @$ e' /.a.

c' 

ARITMÉTICA

2'% #ara realizar una obra en B% días se contrató una cuadrilla de ,( obreros. 1ue0o de @F días de labor se les pidió terminar la obra  días antes del plazo ya establecido para lo cual se con co ntr trat ató ó n; obrer eros os que so son n $%[ má máss efci ef cien ente tess qu que e lo loss pr prim imer eros os y qu que e va van n a reemplazar a @$ obreros.

$:% Kiez peones se demoran @F días de H Ld de trabajo en sembrar F% m$ . ?Cuántos días de ( Ld de trabajo se demorarán en sembrar (% m$ . @F peones doblemente ábiles

a' F d' (

b' B e' 

c' H

a' @( d' $@

rendimiento es del $;% 5e tienen @B máquinas cuyo rendimiento %[ % [ y pr prod oduc uce e , (% (%% % ar artí tícu culo loss en B dí días as trabajando @% Ld. 5i se desea producir @ $%% artículos en ( días trabajando  Ld. ?Cuántas máquin máq uinas as cu cuyo yo re rendi ndimie mient nto o es del B% B%[! [! se requieren. a' F d' (

b' B e' 

a' @% d' ,%

c' H

b' ,% [ má máss e' %[ más

a' B d' @%

b' $ días antes d' $ días

b' $% e' $

a' $F[ d' F%

b' @B e' /.a.

b' H e' /.A.

c' (

b' % e' ,%

c' ,F

2:% $F obreros acen FL( de una obra en @% días a part pa rtir ir de es este te mo mome ment nto o se co cont ntra rata tan n n; obrer obr eros os mas cad cada a día día!! ter termin minánd ándose ose $ día díass antes de la "eca en que terminarían los $F obreros. 5i ubieran continuado la obra solos. Pallar n;

c' ,( ,([ [ má máss

a'  d' B

b' , e' H

c' F

2;% Qn ombre y dos mujeres pueden acer una obra ob ra en @% día ías. s. Ket eter erm min inar ar el ti tie emp mpo o necesario para que dos ombres y una mujer puedan acer un trabajo , veces considerable sabiendo que el trabajo de un ombre y el de una mujer están en la misma relación que los nImeros  y $ a' $( b' F c' ,$ d' $@ e' ,

c' $F

23% Qn 0rupo de $% obreros se compromete acer una zanja de @$ m de lar0o!  m de anco y , m de pro"undidad en @( días! si al t=rmino del octavo día se le pide que la pro"undidad de la zanj za nja a se sea a de B m. ?C ?Con on cu cuán ánto toss ob obrrer eros os tendrán que re"orzarse para acer lo que "alta de la obra ampliada en el tiempo fjado

a' @, d'

%$c' %

29% 5eis obreros se comprometieron a acer una obra en B días trabajando B Ld. 5i despu=s de $ días de trabajo se retiran $ obreros. ?En qu= porcentaje debe aumentar la efciencia de cLu de lo loss ob obre rero ross re rest stan ante tess pa para ra qu que e pu pued edan an entre0ar la obra en el plazo fjado

22% En una acienda! F trabajadores siembran en @, días de @% Prs. un terreno cuadrado de $% m de lado. ?Cuántos trabajadores se necesitan para sembrar otro terreno cuadrado de ,% m de lado trabajando H Ld. Ld. durante $% días

a' @F d' @

b' $% e' F%

necesi esita ta @B om ombr bres es o bie bien n @$ muj mujer eres es 28% 5e nec para coser $,% pantalones con doble costura en @% días trabajando (  diarias. ?Cuántas mujeres se deben aGadir a @$ ombres que van a coser %% pantalones de triple costura en @$ días trabajando @%  diarias

Qna a cu cuad adri rill lla a de @( ob obre rero ross de un mi mism smo o 2$% Qn rendimiento se comprometen a acer una obra en % días! pero cuando acen las $LF partes de la ob obra ra!! @% de el ello loss ab aban ando dona nan. n. ?_ ?_u= u= rendimiento con respecto a los primeros deben tene te nerr lo loss ( nu nuev evos os qu que e se co cont ntra rate ten n pa para ra terminar la obra en el plazo pedido. a' $% $%[ [ má máss d' $F[ má más

c'

%$27% Qn 0rupo de F% ombres an eco en @( días de ( Ld el B%[ de una obra. ?Con cuántos obreros tendrán que re"orzarse para acer el HF[ HF [ de lo que que "a "alt lta a de la obra obra en F días días trabajando  Ld

_uin ince ce al alba baGi Gile less de HF HF[ [ de re rend ndim imie ient nto o 2#% _u pued pu ede en le lev vant ntar ar un ed edif ifci cio o en % día íass trab tr abaj ajan ando do @% L Ld. d. Ke Kesp spu= u=ss de B dí días as de trabajo se retiran F albaGiles y los que quedan trabajan con un rendimiento de %[ y @$ oras diaria dia rias. s. ?En ?Entr tre0a e0arán rán la obr obra a a tie tiempo mpo o con retraso. a' @ días antes c' @ días despu=s despu=s e' a tiempo

b' @F e' @$

3#% Qna cuadrilla de @$ obreros pueden acabar un trabajo en @F días trabajando @% Ld. Kespu=s de trabajar H días F obreros se dan de baja y no son reemplazados sino al cabo de tres días.

c' @(

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3

ARITMÉTICA

?Cuántos ?Cuán tos obr obrero eross ab abría rían n de con contar tarse se par para a acabar el trabajo en el tiempo previsto a' ( d' @@

b'  e' @$

a' H, d' H@

b' H e ' H%

c ' H$

c' @%

3$% Kos 0rupos de obreros an eco una obra! el primer 0rupo de ,% obreros! a trabajado @F días a razón de ( Ld y an eco un porcentaje de la obra. ?_u= porcentaje de la obra an eco el otro 0rupo "ormado por $F obreros! cuyo rendimiento rendimiento es el triple que el de las anteriores y an trabajado @$ oras diarias durante ( días

a' F[ d' B

b' B% e' FB

c' B$

32% Con F máquinas que tienen un rendimiento del B%[ B% [ se produc uce en  B%% enva vase sess de un prod pr oduc ucto to ca cada da , dí días as tr trab abaj ajan ando do ( o ora rass diaria dia rias! s! si des desea ea pr produ oducir cir H$% H$%% % env envase asess de dobl do ble e di dime mens nsió ión n ca cada da B dí días as tr trab abaj ajan ando do $ oras más por día. ?Cuántas máquinas de (%[ de rendimiento se requiere requieren n

a' @$ d' @F

b' @% e' @B

c' (

33% En uno de los en"rentamientos suscitados en la 66 8u 8uer erra ra Mun Mundia diall % sol soldad dados os ali aliado adoss deb debe e cavar una trincera en B días trabajando @$ oras! despu=s de $ días de aber empezado mueren , soldados aliados y son ree eemp mpla lazzad ados os por un cie iert rto o nIm Imer ero o de prisioneros asta que lle0uen los verdaderos reemplazos! los cuales lle0an el Iltimo día de trabajo. Pallar cuántos prisioneros trabajaron! si lo icieron asta culminar la trincera con una un a de deja jade dezz de @L @L, , de la ef efci cien enci cia a de un soldado. +odos los días se trabajó a @$ oras.

a'  d' ,

b' B e' H

TANTO POR CUANTO a;; po porr b b;d ;de e un una a ca cant ntid idad ad /! se pu pued ede e I% El a calcular Así:

c' F

3'% $ obreros se comprometen a realizar una obra en @B días! trabajando @% oras diarias. Al cabo de ( días! sólo a realizado los $LF de la obra porr lo qu po que e se au aume ment nta a ( obrer eros os más y trabajan todos durante , días másJ dándose cuenta que no terminarán la obra en el plazo fjado y deciden deciden aumentar las oras diarias de trabajo. ?Cuántas oras diarias aumentarán

a'  d' ,

b' F e' $

a b

&1

E5!m0/"= El $ por H de F es: 2

7

&35  @%

II. TANTO POR CIENTO El a; a; por por cien ciento to &a[' &a[' de una cant cantida idad d / calcula así: a & 1!!

c' H

En un destacamentoJ a la semana 37% cada soldado recibe @( panes! lue0o de un ataque enemi0 ene mi0o o mue muere ren n ,% sol soldad dados! os! aor aora a cada uno recibe $( panes. 5i semanalmente se reparten la mism mi sma a can canti tida dad d de pa pane nes. s. ?C ?Cuán uántos tos so sold ldad ados os quedan.

E5!m0/"=  El %[ de $F% es:

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2

3

se

ARITMÉTICA 3! 1!!

&25!   HF

Konde: a  ,%J b  % 2eemplazando: ,%  % -

III% AP&ICA AP&ICACIONES CIONES DE& TANTO POR CIENTO $% P"rc P"rc!nt !nta5 a5! ! 1!/ 0"r 0"rc! c!nt nta5 a5! ! Calcular el %[ del $%[ del @F[ de ,%% %%% 3! 2! 15 & & &4!!!!! → /   B%% / 1!! 1!! 1!! En 0eneral: El a[ del b[ del c[ de / es: a b c & & & 1!! 1!! 1!!

∴ D!-c!nt" @nic"= F([ 3% A-0 -0! !ct"- c"m! m!rrcia/!- 1! G!nta= A. 5ea: #recio de venta  #> #recio de costo  #C 8anancia  8 #=rdida  #

#>  #C  8

2% Am!nt Am!nt""-  1!1!-c! c!nt" nt"- -c!-c!-iG" iG"-= -= A% A Am! m!nt nt" " @ni @nic" c"== Koss au Ko aume ment ntos os su suce cesi sivo voss de dell $% $%[ [ y % %[ [ equivalen a uno de: @er aumento: @$%[ &/uevo total' $do aumento: %[ de lo anterior @%[ [@$%[] &/uevo total' 13! 1ue0o: &12! →  @FB[ 1!! Aumento Inico  @FB[  @%%[ ∴ Aumento Inico: FB[

o

c"m0ra



#>  #C - #

*. 5i ay 0astos e"ectuados desde la compra asta la venta: #C  8astos  8anancia  #> Ke lo cual: 8. *ruta  8. /eta  8astos C. 5i fj fjam amos os un pr prec ecio io en en un un artí artícu culo lo en en venta:

 +ambi=n  + ambi=n por "órmula:

#. fjado - Kescuento  # >

Am!nt" @nic"= a b

,%.% @%%

a.b @%%

[

K. 5i nos fjan un precio al com compra rarr un artículo

Konde: a  $% y b  % 2eemplazando $%  % 

$%.% @%%

#. lista - Kescuento  # C

Am!nt" @nic"  FB[

#$% ?_u= porcentaje de R; es y;

B% D!-c D!-c! !nt nt" " @nic @nic"= "= Kos de Kos desc scue uent ntos os su suce cesi sivo voss de dell ,% ,%[ [ y % %[ [ equivalen a una de: @er descuento: B%[ &/uevo total' $do descuento: %[ de la anterior H%[ [B%[] &/uevo total' 7! 1ue0o : &6! → ,$[ 1!! Kescuento Inico  @%%[  ,$[ ∴ Kescuento Inico  F([

K J $##

d'

$## + K K

a' ,[ d' $,[

D!-c!nt" @nic"= a.b @%%

b'

J,

e'

K J $##

c'

$##J K

$##K J

#2% Qn almac=n tiene $%[ de telas! ,%[ de ropa y el resto re sto de vív víver eres. es. 5i se consume consume la mitad mitad de los víveres y el @%[ de la ropa! el almac=n disminuye en:

 +ambi=n  + ambi=n por "órmula:

a b

a'

b' %[ e' @([

c' $B[

#3% ?_u= porcentaje del triple del %[ de un nImero equivale al @([ de la mitad de dico nImero

[

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2

3

ARITMÉTICA a' %[ $

b' @%[

d' 33 L 3

del artículo es 5L. (,%. ?_u= precio fjará para su venta

c' %[

e' n.a.

a' 5L. @B% d' @@(%

#'%% ?_u= porcentaje abrá que disminuir a un nImero #' para que sea i0ual al B%[ del (%[ del HF[ del %[

del

$ :3 L 3

a' ,B[ d' @$[

c' ,[

a' B d' 

#7% A aumenta en $%[ y se obtiene *! lue0o * disminuye en $%[ y se obtiene C. 5i la di"erencia positiva entre entre A y C es (. ?Cuánto vale *

a' $%% d' $H%

b' $,% e' %%

c' $F%

b' FH( e' HF%

a ' $% [ d' F% [

c' BF%

a ' @B%% d' @@F%

b' %[ e' B%[

b' %[ e' n.a.

c' ,%[

a ' ,$[ d' ,([

a' @% d' ,%

b' $% e' F%

a[

de ,%

b' %[ e' $F[

es

c ' %

a ' (,% d' (F

b' @%[ e' F%[

c ' @%%%

b' [ e' ,[

c ' F@[

b' BF% e' /.A.

c' B%%

$;% 5i 0astara el %[ del dinero que ten0o y 0anara el $([ de lo que me quedaría! perdería 5L. @FB. ?_u= cantidad de dinero ten0o

c' HF[

a ' F%% d' @FB%

b' $%%% e' @(%%

c ' @F%%

2#% Pallar el $%[ del %[ del HF[ de , por ( de $%%%

$$% ?En qu= porcentaje debe disminuirse el lado de un cuadrado para que el área disminuya en F@[

a' $%[ d' $F[

b' @@%% e' @F%%

a ' ,%[ b' F%[ c ' @%[ d' $%[ e' %[ $:% Al precio de una tela se le ace un descuento el $%[! lue0o se le ace otro descuento del %[! pa0ando por la tela B soles. ?Cuál era el precio ori0inal de la tela

$#% En una reunión el ,%[ del total de personas son mayores de edad. 5i se retiran la mitad de estos! ?cuál es el nuevo porcentaje de menores de edad

a' $%[ d' @F[

c ' ,% [

una a re reun unió ión n se en encu cuen entr tran an $% o omb mbre ress $9% En un adulto adu ltos! s! % muj mujere eress adu adultas ltas y HF niG niGos. os. ?_u ?_u= = porcentaje de los reunidos no son niGos.

c' ,%[

&ab b'[ '[ de a a;; es F y el #;% El &a b;.Pallar a - b.

b' % [ e' ,F [

$8% En una ciudad donde el FF[ de las personas son mujeres! el ,%[ de las mujeres y el B%[ de los omb o mbrres es estu tudi dian an in in0l 0l=s =s.. ?E ?Ent nton once cess que porcentaje del total no estudian in0l=s

#:% 5i el $%[ de a es i0ual a %[ de b! ?qu= tanto por ciento menos es a respecto de a  b

a' $%[ d' ,F[

c' (

$7% El @%[ del F%[ del precio de un artículo es FF dólares. En consecuencia el precio del ar tículo es:

#9% si el @$%[ de R; es i0ual al (%[ de &R  a'! ?qu= porcentaje de R; es a;

a' $%[ d' F%[

b' H e' @%

$'% En una reunión el $F[ son ombres y el resto mujeres. 5i se retiran el ,%[ de los ombres y el F%[ F% [ de la lass mu muje jere res. s. ?_ ?_u= u= po porc rcen enta taje je de la lass muje mu jere ress qu que e qu qued edan an so son n lo loss o omb mbre ress qu que e quedan

#8% 8anando el @,[ se a vendido una mercadería en 5L. (FF. ?#or cuánto se compró

a' (%% d' HF(

c ' @$,%

$3% En un avión viajan @@, personas! el nImero de mujeres es el ,%[ del nImero de ombres y el nIme nI mero ro de ni niGo Goss es el % %[ [ de dell nI nIme mero ro de mujeres. ?Cuántos niGos viajan en el avión

 del doble del nImero b' B,[ e' $([

b' @%% e' @F,%

a ' ,, d' ,F

c' %[

b' , e' (

c ' ,B

2$% ?_u= porcentaje del @F[ del ([ de B%% es el $%[ del %!F[ de @,,%

$2% En una tienda se le ace al cliente un descuento de $([ y aIn 0anan el $[ del costo. 5i el costo

a ' %[ d' @F[

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2

3

b' $%[ e' ([

c ' ,%[

ARITMÉTICA pierde pier de el @B po porr B, de su co cost sto. o. Ke Keci cirr qu qu= = cantidad se 0ana o se pierde. a' 5e 0ana 5L 5L.(%% b' 5e 5e pierde 5L.(%% c' 5e 0ana 5L.@ B%% d' 5e 5e pi pierde 5L 5L.@ B%% e' /o 0ana ni pierde

22% 5i Antonio tuviera el F[ menos de la edad que tiene! tie ne! ten tendrí dría a $B aGos aGos.. ?Cu ?Cuánt ántos os aGos tendrá dentro de @% aGos

a' F% d' H%

b' ,% e' (%

c' B%

32% Qna persona compra $%% objetos A y los vendió 0anando @%[! con el importe de la la venta compró (% objetos *! y los vendió 0anando @F[. Con el importe de esta venta compró ($( objetos C! al precio de  dólares la docena. Calcular el precio de un objeto A.

23% Qna seGora va a una tienda! donde al comprar manzana le re0alan el F[ de las que compró! pero en el camino pierde el H[! obteniendo así  @F manzanas. ?Cuántas manzanas compró

a' $@ F,F d' @% %%$

b' $% %%% e' @ F,F

c' $ %%%

a ' @( d' $H

2'% Ana lleva al mercado ,%%% naranjas y encuentra que el @%[ estaba malo0rado y sólo pudo vender el B%[ de los buenos. buenos. ?Cu ?Cuánta ántass que quedará darán n sin vender

a ' @ FB% d' @ ,,F

b' @ ,,% e' /.A.

b' HF e' (%

c' $ @B%

a ' B%[ d' $%[

c ' @(%

a' 5L.(%% d' HF%

b' $%[ e' ([

b' @$%% e' @F%%

c ' ,%%

@% @@ @$ @ @, @F @B @H @( @ $% $@ $$ $ $, $F $B $H $( $ % @ $  , F B

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3#% 5e vende un objeto 0anando el @%[ del costo. 5i se quiere 0anar 5L. @$ más abría que aumentar en @%[ el precio de venta. ?Cuál es el costo del objeto

a' @%%% d' @$,%

b' BF% e' H%%

%@ %$ % %, %F %B %H %( %

2;% 5i a un artículo lo vendo aciendo un descuento del $%[! 0ano el $%[ del precio de costo. ?_u= porcentaje debo rebajar al precio de venta para 0anar el @,[ del precio de costo

a' @,[ d' $[

c ' ,%[

CUADRO DE C&AVES

debe vence vencerr un artículo artículo cuyo costo costo 29% ?A cómo se debe de "abricación "abricación es de @(% soles para 0anar el $F[ del precio de costo a' $$% b' $$F c ' @F d' $,F e' $(% comer ercia ciant nte e di dice ce qu que e 0a 0ana na el ,% ,%[ [ de dell 2:% 5i un com precio de venta. ?_u= porcentaje del costo está 0anando b' B% e' BB $L $L 

b' F%[ e' /.A.

Qna a pe pers rson ona a pr pre e0u 0unt nta a en un una a ti tien enda da qu= 3'% Qn descuento le pueden acer sobre el precio de un repuesto! y le dicen que $%[! pero en otra tienda lo compra con el $F[ de descu descuento! ento! aorrándose aorrándose así 5L. F. ?Cuál era el precio del repuesto

28% ?_u= precio se fjó a un artículo si aci=ndole un descuento del @F[ de su precio fjado se vendió en 5L. F,, a' 5L. BF% b' 5L. B,( c' 5L. B,, d' 5L. B,% e' 5L. B

%$a'  @L  d' BB @L @L 

c ' $,

porcen centaje taje deb deben en inc increm rement entars arse! e! las 33% ?En qu= por ventas de un ne0ocio para que aIn rebajado en $%[ el pre precio cio uni unitari tario o de los artículos artículos queden queden incrementados los in0resos en $%[

27% En una 0ranja el $%[ del nImero de conejos es i0ual al %[ del nImero de pavos si se retiran @F% conejos el nImeros de pavos serán el B%[ del total. Pallar el nImero de pavos

a' ,% d' @$F

b' $% e' /.a.

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%$3$% 5e vende $ artículos en 5L. , (%%. En uno de ellos se 0ana el @% por F% de su costo y en el otro se PAG – 05

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