Apuntes de Arturo Quirantes – Homogeneidad dimens ional
HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Los obser observab vables les que podemo podemoss medir medir se agrupa agrupan n en conjun conjuntos tos carac caracter teriza izados dos por una propiedad que llamamos magnitud . Existe la magnitud tiempo, la magnitud velocidad, la magnitud masa y así sucesivam sucesivamente. ente. El valor de cada uno de esos observables observables se denomina denomina cantidad. La magnit magnitud ud es una propie propiedad dad abstra abstracta cta mientr mientras as que la canti cantidad dad es una propie propieda dad d concre concreta. ta. El concepto de masa, por ejemplo, es una magnitud, pero si hablamos del valor de la masa para un cuerpo determinando ya estamos considerando una cantidad.
Las cantidades de una magnitud son comparables entre sí, lo que nos permite establecer relaciones de igualdad y suma. La longitud de un objeto es mayor que la de otro, y triplica a la de un tercero. En general, para simplificar la comparación de cantidades de una misma magnitud, se recurr recurree a la tctic tcticaa de escog escoger er una cantida cantidad d que definim definimos os como como patrón patrón!! es la unidad. "ara la longitud, la unidad es el metro, y todas las cantidades que queramos medir vendrn comparadas con el metro. "ara dar una cantidad, se indica la unidad y la medida #n$mero de veces que esa cantidad contiene a la unidad%. &ar una cantidad de ' metros es decir que dicha cantidad es cinco veces superior al de la cantidad patrón que denominamos metro. Es decir! cantidad = medida * unidad . Las ecuaciones físicas son relaciones entre cantidades.
Es evidente que no pueden compararse cantidades de magnitudes distintas, y de igual modo que no se pueden sumar peras y manzanas tampoco tiene sentido decir que dos metros es ms que cinco cinco segund segundos. os. En cualqu cualquier ier ecuac ecuación ión todos todos los t(rmin t(rminos os han han de repres represent entar ar canti cantidad dades es que pertenezcan a la misma magnitud, o como suele decirse, que tengan las mismas dimensiones. ) esta
homogeneidad dimensional. propiedad se la conoce como homogeneidad
*na ecuac ecuacion ion dimens dimension ional al nos nos relaci relaciona ona una magnit magnitud ud cualqu cualquier ier con un conjun conjunto to de magnitudes que definimos como fundamentales. En el +istema nternacional se han definido las siguientes magnitudes fundamentales! masa #L%, longitud #L%, tiempo #-%, intensidad de corriente #%, temperatura #%, cantidad de sustancia #/% e intensidad luminosa #0%. &e modo ms gen(rico podemos definir un conjunto de magnitudes fundamentales #1 2, 13, 14... 1n% de tal forma que cualquier cantidad 5 puede relacionars con cantidades #6 2, 63, 64... 6n% de esas magnitudes!
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a2
a3
an
Y =C ∗ X 2 ∗ X 3 ∗...∗ X n
donde 7 es un parmetro adimensional. Esas cantidades #6 2, 6 3, 6 4... 6n% suelen recibir el nombre de base dimensional. En lo que sigue tomaremos como ejemplo la base dimensional habitual para la 1ecnica! masa #1%, longitud #L% y tiempo #-%. En esa base, cualquier magnitud mecnica 5 puede representarse como
[ Y ]= M a∗ Lb∗T c expresión que recibe el nombre de fómula dimensional . "or ejemplo, la velocidad es un cociente entre una distancia y un tiempo, por lo que su ecuación dimensional es!
[ v ]= M 8∗ L 2∗T −2= LT −2 La homogeneidad dimensional tiene un conjunto de aplicaciones prcticas. 9e aquí algunas de ellas.
A!licación " ! determinar las dimensiones y unidades de una cantidad
9abitualmente las unidades de las magnitudes derivadas #no fundamentales% se definen a partir de las unidades de las magnitudes fundamentales. En el caso de la velocidad hemos visto que se trata de una longitud dividida por un tiempo, de modo que su unidad natural en el +istema nternacional ser el metro:segundo; en el sistema 7<+ es el centímetro:segundo; en el sistema anglosajón ser el pie:segundo.
) veces las unidades de las magnitudes derivadas tienen un nombre particular. La fuerza, por ejemplo, se mide en /e=tons en el +istema nternacional. La ecuación dimensional nos permite relacionar el /e=ton #/% con el metro #m%, el >ilogramo #>g% y el segundo #s%. "uesto que una fuerza es una masa por una aceleración, y una aceleración es una velocidad entre un tiempo, se tiene que!
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[ F ]=[ m][ a ]= M ( LT −3 )= M L T −3 con lo que una fuerza tiene dimensiones de masa por longitud entre tiempo al cuadrado. La relación entre unidades es! 2/ ? 2 >g@m:s 3.
A!licación # ! determinar las dimensiones y unidades de una constante
*semos como ejemplo la Ley de
F ∼ m2∗m3 / d
3
Esta ecuación es una relación de proporcionalidad. "ara establecer una relación de igualdad es necesario incluir una constante!
F =G∗m2∗m3 / d
3
La constante <, llamada constante de gravitación universal, tendr un valor num(rico para que la ecuación represente una relación de cantidades, pero tambi(n tendr que tener unidades, ya que como puede comprobarse, un producto de masas dividido por una distancia al cuadrado no tiene dimensiones de fuerza!
[ F ]= M L T −3 [ m2∗m3 / d 3 ]= L 3 T −3 La ecuación de homogeneidad dimensional nos da las dimensiones de
[G ]=[ F d3 / (m2∗m3)]=( MLT −3) L3 M −3= M −2 L4 T −3 y su unidad ser de m 4:#>g@s3%. ) pesar de eso, en ocasiones se suelen dar las unidades de forma distinta. En el caso particular de la gravitación, y puesto que se hace un uso tan extenso de la fuerza en ella, es tradicional dar < en unidades de /@mA:>gA.
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A!licación $ ! comprobar si una ecuación es correcta
La homogeneidad dimensional es un criterio necesario, no suficiente, en una ecuación. Eso significa que hay ecuaciones dimensionalmente homog(neas que son incorrectas. "or ejemplo, la ecuación correcta para el volumen de una esfera es B:4@C@r 4, la ecuación 3@r 4 es incorrecta; y sin embargo, ambas son dimensionalmente homog(neas. Esto sucede cuando aparecen t(rminos adimensionales en una ecuación, como una constante num(rica, una razón trigonom(trica, un logaritmo, etc.
+in embargo, sí tenemos asegurado que una ecuación que no sea dimensionalmente homog(nea es incorrecta, y eso nos proporciona un m(todo de comprobación en casos dudosos. +upongamos que tenemos dudas sobre cul de estas dos relaciones para el período de un p(ndulo es la correcta!
T 2 =3 π
√
l g
T 3=3 π
√
g l
*n estudio de homogeneidad dimensional aplicado a ambas ecuaciones nos dice!
[T 2 ]=[ √ l / g ]=[ l2/ 3∗g−2 /3 ]= L2 /3 ( L T −3)−2/ 3=T [T 3 ]=[ √ g /l ]=[ g2 /3∗l−2 /3 ]=( L T −3 )2/ 3 L−2/ 3=T −2 El resultado es que la ecuación dimensionalmente homog(nea es la primera, ya que tiene dimensiones de tiempo, igual que el período. La segunda ecuación es incorrecta. /ótese que el t(rmino 3@C no aparece en el estudio dimensional, de modo que no podemos saber qu( n$mero acompaDa a la raíz; lo que sí sabemos es que dicha raíz ha de contener el t(rmino l/g, no el g/l.
A!licación % ! determinar la forma de una ecuación
En ocasiones el anlisis de homogeneidad dimensional permite conocer de antemano qu( forma tendr la ecuación. "ara ilustrarlo, volvamos al ejemplo del p(ndulo. maginemos que no
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sabemos de qu( factores depende el período, así que vamos a hacer una lista. "uede depender de la longitud #l% del hiloF &e la masa # m% del objeto que pende del hiloF &e la aceleración # g% de la gravedadF &el ngulo mximo # o% que forma el hiloF 7omprob(moslo. &ebemos dejar aparte la posible dependencia con el ngulo, puesto que tanto los ngulos como las razones trigonom(tricas son adimensionales, y centrarnos en los parmetros # l!m!g%. +alvo factores num(ricos, la relación a
b
c
ms generl ser en forma de t(rminos de la forma T =C ∗l m g
a
b
c
a
b
−3 c
La ecuación dimensional ser! [T ]=[ l m g ]= L M ( L T )
8
8
a
2
&e donde se deduce que! M L T = M L
a +b
−3 c
T
Lo que nos da el sistema de ecuaciones! a =2 / 3 b =8
c =−2 / 3
Eso significa que el período de un p(ndulo tiene la forma T =C √ l / g donde 7 es, o bien una constante, o bien una función adimensional que puede incluir parmetros sin dimensiones #razones trigonom(tricas, exponenciales, etc%.
En otros casos la resolución del sistema de ecuaciones no ser posible. +upongamos que un cuerpo cae en caída libre. La longitud recorrida puede depender de diversos factores! el intervalo de tiempo transcurrido #t%, su velocidad #v%, su aceleración #a%, su masa #d%... La forma general de la ecuación es del tipo
a
b
c
l =C ∗t v a m
d
El anlisis de homogeneidad dimensional sería!
[ L ]=[ t a v b ac m d ]=T a ( L T −2 )b ( L T −3 )c M d d b + c a− b − 3 c 8 2 8 M L T = M L T El siguiente paso consiste en resolver el sistema de ecuaciones resultante! d =8 b + c =2 a − b − 3 c =8
Este sistema tiene cuatro incógnitas y tres ecuaciones independientes, y eso lo hace matemticamente irresoluble. )un así, podemos extraer información $til. El hecho de que d"# nos indica que la longitud recorrida por el cuerpo no depende de su masa, de modo que podemos
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despreocuparmos de ese parmetro. En cuanto a los dems, existe un n$mero infinito de posibilidades, pero de tal forma que se cumplan las relaciones b"$%a, c"a%&' +uponiendo que el n$mero a adopte valores enteros #no tiene por qu( ser así, pero supongmoslo%, la forma ms general de la ecuación sería del tipo
3
3
3 4
T =C 2 v / a + C 3 vt + C 4 a t + C B a t / v + ...
donce 7 i son constantes adimensionales.
