Apuntes Trigonometría Conceptos previos: Notación: En un triángulo, los vértices se denotan con letras mayúsculas mayúsculas (A, B y C). Los lados se denotan con la letra minúscula del vértice opuesto al lado. Los ángulos se denotan con el acento circunfleo encima de la letra mayúscula !ue denota el vértice del ángulo"
En un triángulo rectángulo, rectángulo, el ángulo recto se asigna la letra A y as#, a la $ipotenusa la letra a minúscula, siendo b y c los dos catetos. %e utili&an las letras griegas y para nom'rar a los ángulos B y C respectivamente. En un triángulo rectángulo se verifica el teorema de itágoras (Cuadrado de la $ipotenusa es igual a suma de los cuadrados de los catetos. a * ' + c ). am'ién se cumple !ue los dos ángulos agudos son complementarios complementarios ( + * - ). º
1.- Raones trigonom!tricas trigonom!tricas "e un #ngu$o agu"o en un tri#ngu$o rect#ngu$o. Las ra&ones trigonométricas del ángulo (ángulo agudo de un triángulo rectángulo) rectángulo) se definen como los siguientes cocientes entre entre los lados del triángulo" sen = cos =
tag =
cateto opuesto a
=
b
hipotenusa a cateto contiguo a c hipotenusa cateto opuesto a cateto contiguo a
=
=
a b c
%.- &ropie"a"es "e $as raones trigonom!tricas trigonom!tricas "e #ngu$os agu"os: '.- E$ seno "e un #ngu$o agu"o es un va$or ma(or )ue cero ( menor )ue 1. * + sen , + 1 /emostraci0n" or ser ' un cateto y a la $ipotenusa, se cumple !ue 0ba . %i dividimos en los dos desigualdades por a !ueda"
0 a
b
a
a
a
⇒ 0sen 1
''.- E$ coseno "e un #ngu$o agu"o es un va$or ma(or )ue cero ( menor )ue 1. * + cos , + 1 /emostraci0n" Análoga a la anterior a$ora para el cateto c en lugar de '.
'''- Re$aciones trigonom!tricas: 1º.1 eorema fundamental de la trigonometr#a" 2
2
sen cos =1
/emostraci0n"
%
2
tag =
2
2
b sen cos = a 2
c a
=
b
2
2
a
c a
2 2
2
=
b c a
2
2
2
=th Pitágoras
a
2
a
=1
sen cos
/emostraci0n" b sen cos
=
a c
=
b ·a c· a
b
= =tag c
a
%i dos ángulos (2 y 3) son complementarios ( 2 + 3 *-4) entonces se cumple" sen =cos cos =sen
/emostraci0n" %i dos ángulos son complementarios, se pueden situar en un triángulo rectángulo siendo el cateto opuesto de uno el contiguo de otro por lo !ue con la notaci0n $a'itual tenemos" sen =
b a
=cos
y
c cos = =sen a
.Raones trigonom!tricas "e $os #ngu$os *º/ 40º ( *º. '.- Raones trigonom!tricas "e$ #ngu$o 40º: Consideramos un triángulo rectángulo is0sceles cuyos dos ángulos agudos miden 564" Aplicando las definiciones de seno, coseno y tangente a este triángulo is0sceles, teniendo en cuenta !ue ' * c y el teorema de pitágoras" a = b c =b b =2b a= 2 b = b 2 b b 1 2 sen45º= = = = a b 2 2 2 c b 1 2 sen45º= = = = a b 2 2 2 b b tag45º= = =1 c b 2
2
2
2
2
2
2
''.- Raones trigonom!tricas "e $os #ngu$os *º ( *º: Consi"eramos un tri#ngu$o rect#ngu$o cu(os #ngu$os agu"os mi"an *º ( *º: 7'servamos, considerando el triángulo e!uilátero formado con dos , !ue se cumple en este triángulo !ue el cateto menor 8c8 es la mitad de la $ipotenusa 8a8 , considerando además el eorema de itágoras" c= 2
a 2
2
2
2
2
2
2
b =a −
a
2
4
2
=
3a 4
3a b=
2
2
=
a 3 2
2
y además a = b c a =b
a 2
As#, aplicando a$ora la definici0n de seno, coseno y tangente para el ángulo 2 ( 94) y 3 (:4)" a 3 a b 2 3 c 2 1 sen60º=
a
=
cos 60º=
c a
a a
=
2 a
=
sen30º=
2
y del mismo modo para :4" =
1 cos 30º=
2
b a
a
=
=
= a 2 a 3 2 a
=
3 2
'''.- Ta2$a resumen "e $os #ngu$os agu"os nota2$es: *
40
*
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
;
3
º
sen , cos , tag ,
º
º
3
.Raones trigonom!tricas "e #ngu$os cua$es)uiera: 3einición: %e llama circunferencia goniométrica a una circunferencia de radio ; y con centro en el origen de un sistema de ees coordenados.
O2servación: odo ángulo se puede situar en la circunferencia goniométrica situando el vértice del ángulo en el centro de la circunferencia y fiando un lado del ángulo el radio !ue va $asta el punto (;,). /e esta manera, el punto donde el otro lado del ángulo corta a la circunferencia determina un#vocamente un ángulo. /el mismo modo, un ángulo determina un único punto en la circunferencia.
3einición: a cada uno de los cuartos en !ue los ees dividen la circunferencia se les llama cuadrante. %i el ángulo es agudo, el punto está en el ; er cuadrante si el ángulo es o'tuso estará en el 4 cuadrante si el ángulo está entre ;< 4 y = 4 en el : er cuadrante y si el ángulo está entre =4 y :94, el punto estará en el 54 cuadrante"
Re$ación entre $as raones trigonom!tricas "e un #ngu$o agu"o ( $as coor"ena"as "e$ punto en $a circunerencia goniom!trica: %i consideramos el triángulo rectángulo siguiente y aplicamos la definici0n de seno, coseno y tangente" sen = cos =
y0 1 x0 1
tag =
=y0 =x0
y0 x0
/e esta manera podemos e>tender la definici0n de las ra&ones trigonométricas a un ángulo cual!uiera !ue no sea agudo. %ituando el ángulo en la circunferencia goniométrica y a través de las coordenadas del punto de la circunferencia !ue determina el ángulo"
3einición: %ea 2 un ángulo cual!uiera, y sea el punto de coordenadas (>,y) de la circunferencia goniométrica determinado por dic$o ángulo, se define" sen =y cos =x tag =
y x
&ropie"a"es: 1. sen% , 5 cos% , 6 1 7teorema fundamental de trigonometr#a) %. -1 8sen , 8 1 -1 8cos , 8 1 .tag , 6 sen , 9 cos , Signo "e $as raones trigonom!tricas. eniendo en cuenta !ue el seno es la segunda coordenada y el coseno es la primera coordenada, y la tangente se o'tiene dividendo seno entre coseno tenemos el siguiente es!uema !ue resume el signo !ue tendrán las ra&ones trigonométricas según el cuadrante donde se sitúe el ángulo"
4.Re"ucción "e #ngu$os cua$es)uiera a$ primer cua"rante: '.- ngu$os en e$ segun"o cua"rante. Raones trigonom!tricas "e #ngu$os sup$ementarios: ropiedad" %ean dos ángulos suplementarios 2 y 3. (2+3 * ;< ) entonces se verifica !ue" sen =sen cos =−cos tag =−tag º
3emostración: En la figura o'servamos !ue cuando dos ángulos son suplementarios los puntos !ue los determinan y 8 comparten el valor a'soluto de sus coordenadas y difieren s0lo en el signo de la primera coordenada. or tanto, aplicando la definici0n de seno y coseno en el ángulo 3 " sen =y 0=sen cos =−x0 =−cos y0 tag = =−tag −x0
Ejemplo. Reduce a un ángulo del primer cuadrante las razones trigonométricas de 170 : 170º es el suplementario de 10 º que está en el primer cuadrante. Por tanto, se pueden expresar sus razones trigonométricas en función de las de 10 º sen 170º ! sen 10º " cos 170º ! # cos 10 º; tag 170º ! # tag 10 º . º
Análogamente a la demostraci0n de esta propiedad se demuestran las siguientes propiedades"
''.- ngu$os en e$ tercer cua"rante. Raones trigonom!tricas "e #ngu$os )ue "iieren 1;* : º
ropiedad" %ean dos ángulos 2 y 3 tales !ue 3 < 2 * ;< entonces se verifica !ue" º
sen =−sen cos =−cos tag =tag
Ejemplo. Reduce a un ángulo del primer cuadrante las razones trigonométricas de 235 : $%&º ' 1(0º ! &&º , que está en el primer cuadrante. Por tanto, se pueden expresar sus razones trigonométricas en función de las de && º )a que son ángulos que difieren 1(0 º sen $%&º ! # sen &&º " cos $%&º ! # cos && º; tag $%&º ! tag &&º . º
'''.- ngu$os en e$ cuarto cua"rante. Raones trigonom!tricas "e #ngu$os opuestos ( "e #ngu$os )ue "iieren * : º
ropiedad" ;.1 %ean dos ángulos 2 y 3 tales !ue 3 < 2 * :9 entonces se verifica !ue" º
sen =−sen cos =cos tag =−tag
.1 %ea un ángulo 2 y su opuesto < 2 entonces se verifica !ue"
sen−=−sen cos −= cos tag−=−tag
Ejemplo.Reduce a un ángulo del primer cuadrante las razones trigonométricas de 315 y de !5 : º
º
%*0º ' %1&º ! +&º , que está en el primer cuadrante. Por tanto, se pueden expresar sus razones trigonométricas en función de las de +& º )a que son ángulos que difieren %*0 º sen %1&º ! # sen +&º " cos %1&º ! cos +& º; tag %1&º ! # tag +&º . Por otro lado #+& es el ángulo opuesto de +& ) por tanto aplican las mismas fórmulas sen #+&º ! # sen +&º " cos #+&º ! cos +&º; tag #+&º ! # tag +&º . º
'=. - ngu$os ma(ores "e *
º
º
%i 2 es un ángulo mayor !ue :9 significa !ue es un ángulo !ue so'repasa una vuelta entera a la circunferencia. or lo tanto $ay !ue reducirlo en primer lugar a un ángulo menor !ue :9 . ara ello, dividimos el valor del ángulo entre :9 , el cociente será el número de vueltas, y el resto de la divisi0n el ángulo de la circunferencia al !ue e!uivale. Ejemplo: razones trigonométricas de 13!5 en "unci#n de ángulos agudos 1%+&º entre %*0º da % ) de resto $*&, es decir 1%+& º ! % %*0º - $*&º . s decir el ángulo 1%+&º es el ángulo obtenido al dar tres /ueltas a la circunferencia ) , en la cuarta /uelta, detenerse en el er ángulo $*&º , que es un ángulo del % cuadrante. Podemos reducir este ángulo al primer cuadrante aciendo $*&º #1(0º ! (&º . As, tendremos sen 1%+&º ! sen $*& º ! #sen (&º " cos 1%+&º ! cos $*& º ! # cos (& º " tag 1%+&º ! tag (&º . º
º
º
º
0.- >e"i"a "e #ngu$os. E$ Ra"ian. 3einición: %e llama radián a la medida de un ángulo cuyo arco es igual al radio de la circunferencia.
O2servaciones: ;.1 El ?adián está 'ien definido pues no depende del radio de la circunferencia ya !ue si el radio aumente tam'ién lo $ace proporcionalmente el arco de la circunferencia. .1 ara calcular la medida de un ángulo en radianes, se divide la longitud del arco !ue a'arca el ángulo entre el radio de la circundefrencia.
:.1 El radián es la medida más utili&ada en @atemáticas y #sica ya !ue permite medir ángulos a partir de longitudes de arcos. 5.1 ara pasar grados a radianes se utili&a proporcionalidad con la e!uivalencia * :9 0, simplificada, *;< . º
º
E?emp$os: 1.- Ca$cu$ar $a me"i"a "e un #ngu$o en gra"os sa2ien"o )ue e$ arco )ue a2arca en una circunerencia "e ra"io mi"e
3 4
2abiendo la medida del arco que abarca, di/idimos por el radio ) obtenemos el ángulo en radianes 3 rad=
4 3
x
= rad
aora pasamos los radianes a grados
4
4
%.- &asar a ra"ianes $os #ngu$os * ( * º
Para %0º Para *0º
x 30 x
=
x=
30
= rad
180 180 6 60 = x= = rad 60 180 180 3
º
=
180
x=
180
4
=45º
