Anexo de Trigonometria

Nombre de la asignatura : Parcial de estudio:

Geometría-Trigonometría Segundo parcial

Asesoría didáctica

Asesoría didáctica 2.1 TRIGONOMETRÍA EL ANGULO EN TRIGONOMETRÍA Es la abertura generada por una semirrecta semirrecta que se mueve alrededor de un punto común con relación a otra semirrecta que permanece fija. Según el punto de vista de la Trigonometría los ángulos pueden ser:

a) Angulo en en posición estándar, estándar, normal o canónica canónica Se dice que un ángulo está en posición estándar, normal o canónica cuando cumple las condiciones siguientes: 1. Se encuentra referenciado en un sistema de coordenadas rectangulares. 2. El vértice del ángulo coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares. 3. El lado inicial del ángulo cae sobre el semieje positivo de las abscisas. El lado terminal del ángulo, por lo tanto puede caer en cualquiera de los cuatro cuadrantes del sistema de coordenadas, coordenadas, llamándose entonces “ángulo “ángulo del I, II, III ó IV cuadrante”, sea este ángulo positivo o negativo”.

α β

o = vértice. OB ≡ OX lado inicial de de estos ángulos. ángulos. α = ángulo del primer primer cuadrante. cuadrante. (positivo) β = ángulo del tercer cuadrante (negativo)

Ángulos coterminales.- Dos ángulos en posición normal (lados iniciales coincidentes) son coterminales cuando tiene un mismo lado terminal (coinciden) pero su valor es distinto, por el sentido del signo o el número de vueltas del lado terminal.

-690º 30º -330º

360º+ 30º =390º

-330º

30º



Entonces, se cumple con: Donde θc = ángulo coterminal. θ c

= θ ±

n * 360°

θ = ángulo original. n = no.

EJEMPLO:

1.- Encontrar un ángulo coterminal positivo y dos ángulos coterminales negativos de un ángulo de 701º. θc1 = 701º - 3 *360º

θc2 = 701º - 4 * 360º

θc3 = 701º + 1 * 360º

θc1 = - 379º

θc2 = - 739º

θc3 = 1.061º

2.- Encontrar un ángulo coterminal positivo y un ángulo coterminal negativo de un ángulo de -1322º. θc1 = -1322º + 7 *360º

θc2 = -1322º - 1 * 360º

θc1 = 1198º

θc2 = - 1682º

Como podemos observar el número n es arbitrario y tratamos de obtener un resultado según los requerimientos de la pregunta formulada. Sin embargo, en la práctica nos vamos a limitar a encontrar sólo el ángulo coterminal positivo de la primera vuelta ( θc). Definiend Definiendo o como ángulo coterminal de la primera vuelta aquel ángulo positivo mayor que cero grados pero menor que 360 grados 0

0

≤ X ≤ 360

0

Así, en los ejemplos anteriores tenemos:

1. -

= 701º

Como el ángulo dado es positivo se le divide para 360 y se escoge como n el entero de dicha división, por ejemplo: Para el ángulo de 701 o, tenemos: 701

θc = 701º

360 = 1.94722222

⇒

n=1

- 1 * 360º

θc = 341º

2.-

÷

Se cumple que:

0º < 341º < 360º

= - 1322º

Como el ángulo dado es negativo se le divide para 360 y se escoge como n el entero de dicha división sumado 1, por ejemplo: Para el ángulo de -1322 o, tenemos:

1322

÷ 360 = 3.6722222 ⇒

n=3+1=4



Entonces, se cumple con: Donde θc = ángulo coterminal. θ c

= θ ±

n * 360°

θ = ángulo original. n = no.

EJEMPLO:

1.- Encontrar un ángulo coterminal positivo y dos ángulos coterminales negativos de un ángulo de 701º. θc1 = 701º - 3 *360º

θc2 = 701º - 4 * 360º

θc3 = 701º + 1 * 360º

θc1 = - 379º

θc2 = - 739º

θc3 = 1.061º

2.- Encontrar un ángulo coterminal positivo y un ángulo coterminal negativo de un ángulo de -1322º. θc1 = -1322º + 7 *360º

θc2 = -1322º - 1 * 360º

θc1 = 1198º

θc2 = - 1682º

Como podemos observar el número n es arbitrario y tratamos de obtener un resultado según los requerimientos de la pregunta formulada. Sin embargo, en la práctica nos vamos a limitar a encontrar sólo el ángulo coterminal positivo de la primera vuelta ( θc). Definiend Definiendo o como ángulo coterminal de la primera vuelta aquel ángulo positivo mayor que cero grados pero menor que 360 grados 0

0

≤ X ≤ 360

0

Así, en los ejemplos anteriores tenemos:

1. -

= 701º

Como el ángulo dado es positivo se le divide para 360 y se escoge como n el entero de dicha división, por ejemplo: Para el ángulo de 701 o, tenemos: 701

θc = 701º

360 = 1.94722222

⇒

n=1

- 1 * 360º

θc = 341º

2.-

÷

Se cumple que:

0º < 341º < 360º

= - 1322º

Como el ángulo dado es negativo se le divide para 360 y se escoge como n el entero de dicha división sumado 1, por ejemplo: Para el ángulo de -1322 o, tenemos:

1322

÷ 360 = 3.6722222 ⇒

n=3+1=4



θc = - 1322º + 4 * 360º

θc = 118º

Se cumple, que

0º < 118º < 360º

3.- Calcular el ángulo coterminal de la primera vuelta para un ángulo de 1.291º θc = 1.291º - 3 * 360 = 1.291 – 1.080 = 211º

4.- Calcular el ángulo coterminal coterminal de la primera vuelta para un ángulo de – 5735º θc = - 5735º + 16 * 360º = - 5735º + 5760º = 25º En resumen n es un número entero positivo que operado en la fórmula con 360°, el signo “+” o el signo “-” y el ángulo dado nos da como resultado un ángulo comprendido entre 0 ° y 360°.

Ángulos Ángulos de referencia referencia (αr): Se llama ángulo de referencia de un ángulo en posición normal de la primera vuelta, vuelta , al menor ángulo positivo formado por el lado terminal del ángulo y el eje de las abscisas.

En los ejemplos analizados podemos calcular, aplicando los conceptos ya expuestos, los ángulos de referencia de 701º, – 1322º, 1291º y – 5735º: Para el caso del ángulo ángulo de 701º, su coterminal coterminal de la primera primera vuelta es 341º, el ángulo ángulo de referencia será: 360º - θc (IV cuadrante)

αr = 360º - 341º = 19º



Para el caso del ángulo de –1322º, su coterminal de la primera vuelta es 118º (II cuadrante)

Por lo tanto El αr = 180o - θc

∴

αr = 180o - 118o = 62o

Para el caso del ángulo de 1291º, su coterminal de la primera vuelta es 211º (III cuadrante)

Por lo tanto El αr = θc – 180o

∴

αr = 211o - 180o = 31o

Para el caso caso del ángulo ángulo de – 5735º, su coterminal coterminal de la primera vuelta es 25º (I cuadrante)

Por lo tanto El αr = θc

∴

αr = 25o

Posteriormente se establecerá que los signos de las funciones trigonométricas del ángulo de referencia son siempre positivos; pero los signos de las funciones del ángulo pedido estarán de acuerdo al signo que les corresponde según el cuadrante en que cae el lado terminal de este ángulo.

Asesoría didáctica 2.2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Consideramos un ángulo ( α) en posición normal y un punto cualquiera P, en el lado terminal del ángulo (P no debe estar en el origen, pero si en cualquier otro punto de la recta). Este punto P posee 3 parámetros a saber:

a) La abscisa X b) La ordenada Y c) La distancia OP = d, del punto al origen. Las relaciones relaciones por cuociente, cuociente, entre estos tres parámetros parámetros originan 6 posibles posibles razones y no importa donde está ubicado el punto P permanecen constantes (Teorema de semejanza de triáng triángulos ulos). ). Estas Estas 6 relaci relaciones ones,, que insist insistimos imos,, son consta constante ntes s para para cualqu cualquier ier punto punto considerado son:


1.

OP


=

y y1 yn = = = d d1 dn

OA x x1 xn = = = = OP d d y

.

OA

X

X1

XN

or ena dis tan ci

= sn

absc dis tan c

= co

abscisa

4.

OA x x1 x n abscisa = = = = = cot AP y y1 y n ordenada

.

d OP d d1 dis tan cia = = = n = = sec OA x x1 x n abscisa

Como se puede relaciones 4, 5 y 6 primeras y podemos decir que:

sin α =

1 csc α

sec α

an α =

1

observar las razones o son las recíprocas de las 3

d

∴

csc α =

∴

sec α =

∴

cot α =

1 sin α

cos

Nótese que en las denominaciones de algunas funciones se antepone el prefijo “co” lo cual significa cofunción. De este concepto nos ocuparemos cuando se trate de funciones de ángulos agudos en el triángulo rectángulo.

SIGNOS DE LAS FUNCIONES Al haber definido las funciones trigonométricas como las razones entre los 3 parámetros deberíamos considerar que no siempre las coordenadas del punto son positivas, por lo tanto debemos analizar los signos resultantes de acuerdo a la ubicación del punto perteneciente al lado terminal. Estos puntos pueden ubicarse en los cuatro cuadrantes. La distancia en nuestro estudio la consideraremos siempre positiva.

1er CUADRANTE

2do CUADRANTE

3er CUADRANTE

4to CUADRANTE



x = y=+ x = +

d=+

x=-

x=+

y = + y=-

y=-

d = + d=+

+ =+ d + x + = =+ cos = d + y + = =+ tg = x + x + c tg = = = + y + d + sc = = =+ x + d + csc = = =+ y + sen

=

y

=

TODAS FUNCIONES (+)

+ =+ + d − x = =− cos = + d + y = =− tg = − x − x = =− c tg = + y + d = =− sc = − x + d = =+ csc = + y sen

=

y

=

LAS SIN Y CSC SON + SON

d=+

− =− + d − x = =− cos = + d − y = =+ tg = − x − x = =+ c tg = − y + d = =− sc = − x + d = =− csc = − y sen

=

y

=

TAN y COT SON +

− =− + d + x = =+ cos = + d − y = =− tg = + x + x = =− c tg = − y + d = =+ sc = + x − d = =− csc = + y sen

=

y

=

COS Y SEC SON +

FUNCIONES DE ANGULOS CUADRANTALES O CUADRANGULARES Son ángulos cuadrantales o cuadrangulares aquellos que colocados en posición normal su lado terminal coincide o cae sobre uno de los cuatro semiejes del sistema de coordenadas rectangulares.



Consecuentemente los ángulos positivos o negativos de 0 o, 90º, 180º , 270º y todos sus coterminales respectivos se ajustan a la definición establecida.

-

Funciones de un ángulo de 0o, 360º. - Sea el ángulo AOB un ángulo de 0 o - Un punto P perteneciente al lado terminal del ángulo cuyas coordenadas sean:

P

X=X y=0 d = X siempre positiva. Entonces :

y 0 = =0 d d x x cos 0° = = = 1 d x y 0 tan 0° = = = 0 x x sin 0° =

- Funciones de un ángulo de 90º.

P

x=0 y=y d=y

d d = = ind (± ∞) y 0 d x sec 0° = = = 1 x x x x cot 0° = = = ind (± ∞) y 0

csc 0° =



y y = =1 d y x 0 cos 90° = = = 0 d y y y tan 90° = = = ind(± ∞ ) x 0

d y = =1 y y d y sec 90° = = = ind(± ∞ ) x o x 0 cot 90° = = = 0 y y

sin 90° =

-

csc 90° =

Funciones de un ángulo de 180º.

x = -x y=0 d = -x = x

P

y 0 = =0 d x x x cos 180 ° = = − = −1 d x y 0 tan 180 ° = = =0 x −x sin 180 ° =

d x = = ind (± ∞) y 0 d x sec 180 ° = = − = − 1 x x x −x cot 180 ° = = = ind (± ∞) y 0

csc 180 ° =

- Funciones de 270º.

x=0 y = -y d = -y = y

P

sin 270°

=

y d

=

cos 270°

=

x d

=

tan 270°

=

y x

=

−y

= −1

csc 270°

=

d y

=

y −y

=0

sec 270°

=

d x

=

y 0

x y

=

0 −y

y 0 y

−y 0

= ind (± ∞ )

cot 270°

=

= −1

= ind (± ∞ ) =0

En resumen tenemos: ANGULO Α

SIN Α

COS Α

TAN Α

COT Α

SEC Α

CSC Α

Nombre de la asignatura : Parcial de estudio: 0º 90º 180º 270º

0 1 0 -1


1 0 -1 0

0 ind. 0 ind.

ind. 0 ind. 0

1 ind. –1 ind.

ind. 1 ind -1

FUNCIONES DE ÁNGULOS NEGATIVOS Se hace más cómodo que todo análisis para ángulos negativos se los realice encontrando el ángulo coterminal de la primera vuelta, y aplicando los conceptos ya conocidos. Sin embargo es común interpretar de la siguiente manera.

y d x cos α = d y tan α = x senα =

y

sen(−α)

=

−y

y

cos(−α) =

y

tan( −α) =

d

x d

−y x

Entonces:

sen (-α) = - senα

Entonces:

cos (-α) = cosα

Entonces:

tan (-α) = - tanα

Para las funciones recíprocas se conserva el mismo análisis: cot (-α) = - cotα sec (-α) = secα csc (-α) = - cscα EJERCICIOS: 1.- Si el lado terminal del ángulo funciones del ángulo:

pasa por el punto P (-2; 9) encontrar todas las

Solución: a. Dibujamos el punto y el ángulo correspondiente:



b. Identificamos los tres parámetros del punto P

x = -2 y = 9 d= ?

P

c. Calculamos el parámetro faltante utilizando Pitágoras:

d=

(−2) 2

+ (9) 2 = +

(d siempre +)

85

d.- Definimos las funciones trigonométricas del ángulo β

=

d

cos β =

nβ =

=

x

d y

85

=

9 85 85

=

−2 2 85 =− 85 85

=−

9 2

csc β =

d y

d

sec β =

x

cot β =

85 9

=

=−

x

85 2

=

2.- Si el coseno de un ángulo es (– 3/8). Hallar las demás funciones trigonométricas. Solución: a. El coseno es negativo en dos cuadrantes: II y III, por lo tanto debemos analizar las dos posibilidades.

b. Tenemos definidos dos parámetros, debemos calcular el tercero. Si cos α = - 3/8 y además tenemos que cos α = x/d, entonces podemos afirmar que x = - 3 y d = + 8 (siempre la distancia es positiva)

P

X = -3 y = ? d =+8

Aplicando Pitágoras tenemos y

=

d2

−x

2

=

64

−9 =

55

(±)



Al tener doble signo para la ordenada comprobamos que existen dos soluciones.

c.

Dibujamos las dos soluciones:

d. Definimos las funciones para las dos soluciones

Solución 1 Sin α1 =

Tan α1 =

+

Solución 2

55

sin α2 =

8 55

−3

=−

55

Tan α2 =

3

3.- En que cuadrante termina

si cos

y cot

55

−

8

−

55

−3

=

55 3

son negativos?

Solución: Al ser el cos α negativo el ángulo puede caer en el II ó III cuadrante, y la cot α es negativa en el II ó IV cuadrante. Por lo tanto para que cumpla ambas condiciones a la vez el ángulo debe ser del II cuadrante.

4.- Calcular las funciones trigonométricas restantes si el lado terminal cae en el II cuadrante y tan α = - 10/24. Solución: Tenemos definidos dos parámetros, debemos calcular el tercero. Si tan α = - 10/24 y además tenemos que tan α = x/y, entonces podemos afirmar que x = - 10 y y = 24 (Porque el ángulo es del II cuadrante)

P

x = - 10 y = 24 d =?

Aplicando Pitágoras tenemos d Dibujamos la solución:

=

x2

+y

2

=

100

+ 576 = 26

(d es siempre positivo)



Definimos las funciones restantes

sen α =

24 12 = 26 13

cos α = −

10 5 =− 26 13

cot α = −

10 5 =− 24 12

sec α = −

26 13 =− 10 5

csc α =

26 13 = 24 12

5.- Simplificar y encontrar el valor exacto de la expresión:

E=

cos(−900 °) − sen(1710 °) + csc(1530 °) tan(−2160 °) + sec(2700 °)

Solución: Aplicando los conceptos sobre funciones trigonométricas de ángulos negativos, y encontrando el coterminal de la primera vuelta de los ángulos de -900 o, 1710o, -2160o, 2700o y 1530o, tenemos:

E=

cos(180°) − sen(270°) + csc(90°) − tan(0°) + sec(180°)

Reemplazando los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales:

E=

− 1 − ( − 1) −1+1 0 +1= +1= +1= 0+1=1 −1 −1 0 + (− 1)

E= 1

Asesoría didáctica 2.3



TRIÁNGULO RECTÁNGULO FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS Si tomamos en cuenta la definición de ángulos agudos, podemos observar que se trata en trigonometría de ángulos del primer cuadrante. En la figura se dice que las coordenadas del punto P(x; y) forman un triángulo rectángulo OPA cuyos catetos son OA y AP y su hipotenusa OP, identificada como la distancia PO.

Las coordenadas del punto B serán: x = b = cateto adyacente a α y = a = cateto opuesto a α d = c = hipotenusa De acuerdo a lo expresado en el capítulo de funciones trigonométricas de ángulos de cualquier valor podemos definir, en términos de los lados del triángulo rectángulo, las seis funciones trigonométricas de “α”

Empleando la nomenclatura acostumbrada decimos que, teniendo un triángulo rectángulo cualquiera, lo colocamos de tal manera que el ángulo agudo α se ubique en posición normal, como se indica en la figura.

Nombre de la asignatura : Parcial de estudio: senα

=


ordenada distancia

=

y d

=

a c

=

c.opuesto a " α " hipotenusa

cosα =

abscisa = x = b = c.adyacente a " α" distancia d c hipotenusa

tanα =

ordenada y a c.opuesto a " α" = = = abscisa x b c.adyacent e a " α"

Los recíprocos serán : hipotenusa c = b c.adyacent e hipotenusa c cscα = = a c.opuesto

secα =

ctgα

=

b a

=

c.adyacent e c.opuesto

En los mismos términos analicemos las funciones del otro ángulo agudo β y comparemos con las funciones del ángulo α. senα = cosα = tanα = ctg α = sec α = csc α =

a c b c a b b a c b c a

senβ = cosβ = tanβ = ctg β = sec β = csc β =

b c a

senα = cosβ

c b a a

cosα = senβ

∴

b c

tanα = ctg β ctg α = tanβ sec α = csc β csc α = sec β

a c b

A estos pares de funciones se les denomina co-función entonces se dice:

La cofunción del sin α = coseno β de la tan α = c otangente β de la sec α = cosecante β Pero, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios: α + β = 90o (son complementarios) generalizando esta característica, enunciamos que:

“La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la respectiva co-función del ángulo complementario” FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 30º, 45º Y 60º



Se puede realizar el cálculo de las funciones de estos ángulos en forma sencilla sin el empleo de la calculadora. Para un ángulo de 45º consideramos un triángulo rectángulo – isósceles de lado “a” Las funciones del ángulo C son iguales a las cofunciones del
En el triángulo ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras sen 45º = cos 45º (cofunción) = a 1 2 =

a2 BC

tan 45º = cot 45º (cofunción) =

a a

=2a2 =1

=

22

+a

a ∴aBC 2= 2a = sec 45º = csc 45º (cofunción) = 2 2

2

2

=

a

Es costumbre racionalizar los denominadores. A estos valores expresados en esta forma se les denomina “valores exactos” Para calcular las funciones trigonométricas de ángulos de 30º y 60º debemos considerar y analizarlas en un triángulo equilátero, donde los ángulos internos son iguales a 60° y la altura es también bisectriz, mediana y perpendicular bisectriz. (fig)

En efecto en la figura consideremos el triángulo equilátero ABC y la altura BH, que como dijimos anteriormente es también es la mediana del lado AC y la bisectriz del ángulo ABC. Al trazar la altura BH el triángulo ABC ha quedado dividido en dos triángulos rectángulos congruentes cuyos ángulos agudos tiene 30° y 60° respectivamente. Entonces podemos analizar las respectivas funciones en cualquiera de los dos triángulos así formados. No debe olvidarse que las funciones de un ángulo de 60° son iguales a las respectivas cofunciones de su ángulo complementario, en este caso el ángulo de 30°. Sea el triángulo ABC y BH la altura (bisectriz, mediana y mediatriz); se forman dos triángulos Vamos a considerar el triángulo ABH rectángulo y cuyos ángulos agudos, como queda establecido son iguales a 60° y 30° respectivamente.

∴

BH

=

a

2

−

a

2

2

2

=

3a 4

2

=

a

3

2

Con los datos obtenidos podemos calcular todas las funciones de estos ángulos en el triángulo rectángulo ABH.



a 3 3 sen 60° = cos 30° = 2 = a 2

a cos 60° = sen 30° = 2 a

a 3 2 = 3 tan 60° = cot 30° = a 2 1

=

1 2

cot 60° = tan 30° =

3 3

3

a =2 sec 60° = csc 30° = a 2

a csc 60° = sec 30° = a 3

=

2 3 3

2

Resumiendo:

función

sen

cos

Tan

Angulo 30°

1 2

3 2

3 3

45°

2 2

2 2

1

60°

3 2

1 2

3

USO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las funciones trigonométricas son de gran utilidad en la vida práctica, pues sirven para calcular los elementos de un triángulo, conociendo (en el caso de triángulos rectángulos) un lado y un ángulo, pues el otro ángulo es conocido e igual a 90º. Para el caso de conocer dos lados, será de gran ayuda el teorema de Pitágoras. No es posible calcular los elementos (lados) de un triángulo conociendo solamente el valor de sus ángulos. Es necesario siempre conocer el valor de un lado. Resolver un triángulo rectángulo es encontrar los valores de todos sus lados y todos sus ángulos.

PROBLEMAS: Resolver los siguientes triángulos rectángulos 1.-



Solución: Para resolver el triángulo debemos encontrar los valores de los ángulos y los lados que faltan. Aplicando funciones trigonométricas tenemos:

sen40° =

a entonces: 10

a = 10 sen 40o a = 6.43

cos 40 ° =

b entonces: b = 10 cos 40 o 10 b = 7.66

Como en un triángulo rectángulo sus ángulos son complementarios: α = 90o – 40o α = 50o

2.-

Solución: Al conocer la hipotenusa y un cateto podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar el otro cateto, así:

e2 = 122 − 72 e

=

144

− 49

e = 9.75 Para encontrar uno de los ángulos utilizamos funciones trigonométricas:

cos γ = De donde:

7 12

γ = cos-1(7/12) (Para encontrar el resultado busque en la calculadora

la tecla cos -1) γ = 54.32o



Para encontrar el oto ángulo restamos de 90 o. Así: θ = 90o- 54.32o θ = 35.68o

Asesoría didáctica 2.4 LEY DE SENOS “Los lados de todo triángulo son proporcionales a las funciones senos (sen) de los ángulos opuestos a esos lados. a b c = = senA senB senC

Demostración en un triángulo acutángulo:

Como lo muestra la figura, sea h la altura desde el vértice B hasta la base AC. Se tiene que:

En

p

ADB

∴ En

p

BDC

h = sen α c h = c * sen α (1)

h = sen γ a h = a * sen γ

(2)

igualando las expresiones (1) y (2) tenemos que:

c * sen

α = a *sen γ ∴

a c = altura h a y conceptual izando el sin B se de igual manera podemos probar que trazando la sen α sen γ obtiene la siguiente expresión:

c b = sen γ sen β Podemos unir las razones y establecer en forma general que:



∠A=∠α

a b c = = senA senB senC

∠B=∠β ∠ C = ∠ γ

La figura analizada muestra a un triángulo acutángulo, sin embargo esta ley se aplica también en triángulos obtusángulos.

En

p

DBC:

senC = En

p

h a

∴

h = asenC

(1)

BAD

∠ BAD = 180 ° − A senA = sen (180 ° − A)

⇒ sen (180° - A) = (1) = (2)

h c

∴

h = c sen (180° - A)

⇒

h = c sen A

(2)

a sen C = c sen A

∴

a c = senA senC

Para demostrar la otra proporción de esta ley trazamos la altura que corresponde al lado “a” y con el mismo procedimiento del primer caso obtenemos que:

c b = senC senB

entonces podemos generalizar :

a b c = = senA senB senC

EJEMPLO: 1.- Determine las partes restantes del triángulo que se muestra en la figura.

Sean Por suma de ángulos en un triángulo podemos calcular γ :

γ = 180ο−20ο−130ο

β = 20ο, α = 130ο,

b

=6



γ = 30ο A partir de la ley de senos, podemos establecer que:

sen 130 ° sen 20 ° sen 30 ° = = a 6 c resolviendo para a desde

sen 130 ° sen 20 ° = a 6 Obtenemos que:

 sen130 °   0.7660  = 6  a = 6      = 13.44 u  sen20 °   0.3420  Resolviendo para c, usamos:

sen 20 ° sen 30 ° = 6 c  sen30 °   0.5000  = 6  c = 6      = 8.77 u.  sen20 °   0.3420 

RESOLUCION DE TRIANGULOS: CUATRO CASOS En general, podemos usar la ley del seno para resolver triángulos para los cuales conocemos: (CASO 1) dos ángulos y cualquiera de los lados; (CASO 2), dos lados y un ángulo opuesto a alguno de estos lados. Aquellos triángulos para los cuales conocemos tres lados, o dos lados y el ángulo comprendido no pueden ser resueltos directamente aplicando la ley de senos.

En el ejemplo anterior, donde se conocen dos ángulos y un lado (caso 1), el triángulo tenía sólo una solución. Sin embargo, esto no es cierto para el caso 2, donde conocemos dos lados y un ángulo opuesto a alguno de estos lados. Supongamos que los lados b y c y el ángulo β del triángulo ABC son conocidos. Como lo muestran las figuras siguientes, si dibujamos el ángulo β y el lado c para localizar los vértices A y B. El tercer vértice C se localiza en la base (b). Dibujando el arco de un círculo de radio “a” con centro en B, existen cuatro posibilidades resultantes de esta construcción: a.- El arco no interseca la base y no se forma ningún triángulo. b.- El arco interseca la base en dos puntos distintos C 1 y C2 y se forma dos triángulos. c.- El arco interseca la base en un punto y se forma un triángulo. d.- El arco es tangente a la base, y se forma un triángulo rectángulo.



Al existir estas cuatro posibilidades podemos deducir que: El caso a no tiene solución El caso b tiene dos soluciones (caso ambiguo) El caso c tiene una sola solución El caso d tiene también una sola solución pero limitada a un triángulo rectángulo.

EJERCICIOS: 1.- Encuentre las partes restantes de un triángulo con:

b = 4. 5 y c = 7.

Solución: A partir de la ley del seno tenemos que:

Nombre de la asignatura : Parcial de estudio: 7 4.5 = sen C sen 46 °


7 sen 46 ° 4.5 ∴ sen C = 1.11897

∴ sen C =

Como el seno NO puede ser mayor que 1, el triángulo no existe (caso 1)

2.- Encuentre las partes restantes de un triángulo con los siguientes datos: b = 5.9; ángulo B = 46° y el lado c = 7: Utilizando el mismo gráfico que para el ejercicio 1, cambiando el valor de b, y con la ley de senos, podemos calcular el ángulo C: 7 sen C

=

5.9 sen46°

⇒

Sen C =

7sen46° = 0.853454 5.9

Este resultado nos indica que existen dos posibilidades de un ángulo cuyo valor del seno sea el calculado. Estos dos ángulos son: C1

=

58,59°

y

C2 = (180° - 58,59°) = 121,41°

Entonces, como lo muestran las figuras, hay dos triángulos posibles ABC 1 y ABC2 que satisfacen las condiciones dadas.

Solución

1

Encontramos el valor del ángulo A1 en el triángulo ABC1 que se muestra en la figura:

⇒

A1 + 46° + 58.59 ° = 180°

ángulo A1 = 75.41

Luego calculamos “a 1” con la ley de senos: En

p

ABC1:

7 a1 5 .9 = = sen 58,59 ° sen 75 .41 ° sen 46 ° ⇒

a1 = 7.94 u.

Solución 2 A2 + 46° + 121.41 = 180°

⇒

ángulo A2 = 12,59°



Calculamos “a2” con la ley de senos:, en el

7

°

sin 121.41

⇒

p

=

ABC2 :

a2

°

sin 12.59

=

5.9

°

sin 46

a2 = 1.79 u.

CONCLUSIÓN: Existen dos soluciones válidas para este problema (Caso 2).

LEY DE COSENOS “El cuadrado de un lado cualquiera en un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo que comprenden esos lados” a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

En p BDC a2 = h2 + ( b - x )2 En p ADB

(1)

por Pitágoras



h2 = c2 – x2

por Pitágoras

reemplazo h2 en (1) a2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2 a2 = b2 + c2 – 2bx

pero en p ADB

∴

cos A

=

x c

∴

c * cos A

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

(Pitágoras generalizado)

=x

(A)

LEY DE COSENOS

expresada en otra forma:

cos A

=

b

2

+c2 −a

2

(B)

2bc

NOTA: a.- La ley de cosenos nos ayuda a resolver triángulos donde conocemos dos lados y el ángulo formado entre ellos o cuando conocemos los tres lados. b.- Si conocemos los 3 lados debemos calcular uno de los ángulos con la forma (B), de ahí que si el ángulo considerado es mayor que 90 º el coseno es negativo, por lo tanto el signo de la fórmula también cambia De la forma (B) se puede decir que: Si

a2 > b2 + c2

Si a2 =

b2 + c2

Si a2 < b2 + c2

el coseno es negativo y por lo tanto el ángulo A es obtuso el coseno es igual a cero y consecuentemente el ángulo A es 90º el coseno es positivo y el ángulo A es agudo.

Ejercicios: 1.- Resolver el triángulo ABC dado c = 132; b = 224 y

Solución:

A = 28º40´



Por la ley de cosenos tenemos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Reemplazando valores tenemos a2 = (132)2 + (224)2 – 2 (132) (224) cos 28°40’ a = 125 Aplicando la ley de senos podemos calcular el ángulo C:

Para

∠ c:

sen C =

c senA 132 sen 28°40′ = = 0,5066 a 125

∴

A = 30°30'

Para ∠ B aplicamos que la suma de ángulos es 180 o, por lo tanto: ∠B = 180 ° − ∠A − ∠C = 180 ° − 30 °

30'−28 ° 40' = 120 ° 50'

2.- Hallar los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 4, 7 y 10 cm. Solución: Dibujamos un triángulo con las características dadas:

Aplicando la ley de cosenos tenemos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Despejando cos A:

cos A

=

b

2

+ c2 − a

2

2bc

Reemplazando los datos:

42 + 72 − 102 cos A = 2(4)(7) cos A = - 0,625 De donde: A = 128,68o



Para calcular el ángulo C, aplicamos la ley de senos:

sen C =

c senA 7 sen 128,68 ° = = 0,546 a 10

∴

A = 33,12 °

Para calcular el valor del ángulo B hacemos suma de ángulos internos en un triángulo: B + 33,12° + 128,68o = 180°

⇒

ángulo B = 18,2°

Solución de problemas: Para resolver problemas de aplicación es necesario dar algunas definiciones fundamentales que ayudan a la comprensión de las interrogantes.

Ángulos de elevación: Son ángulos que determinan la posición de un objeto que se encuentra sobre el observador. Se miden tomando como origen el plano horizontal que pasa por el ojo del mismo observador:

Ángulos de depresión: son ángulos que determinan la posición de un objeto que se encuentra bajo el plano que pasa por el ojo del observador

Ejemplo: Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son 21º 03’ y 43º, respectivamente. Los puntos A y B están a 11 km entre sí y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcular la altura del globo sobre el suelo. Solución: Hacemos un gráfico del problema:



Calculando el ángulo C con suma de ángulos internos en el triángulo ABC:

⇒

C + 21º03’ + 43o = 180°

ángulo C = 115° 57’

Como conocemos los 3 ángulos y un lado en el triángulo ABC, calculamos el lado b aplicando ley de senos:

c b = senA senB Por lo tanto:

11 b = sen115 °57' sen43 °

⇒

b=8.34 Km

Para encontrar h resolvemos el triángulo rectángulo ACD utilizando funciones trigonométricas:

senA =

h b

sen21 °03' =

h 8.34

De donde: h = 3 Km

Asesoría didáctica 2.5 CIRCULO TRIGONOMÉTRICO Si consideramos un círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas rectangulares y un radio igual a la unidad se ha definido el círculo trigonométrico. Este círculo sirve para representar a escala los valores de las seis funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal. Sirve también para tener una idea clara sobre la variación del valor de las funciones de acuerdo a la variación del ángulo. Y por último nos facilita la deducción de fórmulas que relacionan unas funciones con otras y de esta manera desarrollar habilidades y destrezas en la solución de problemas. Analicemos, un ángulo del primer cuadrante α.

α

Angulo en estudio

T = Intersección de la circunferencia con el eje de las abscisas, donde se traza la tangente. TA



N = Intersección de la circunferencia con el eje de las ordenadas, donde se traza la tangente NE S = Intersección de la circunferencia con un punto del lado terminal. A = Intersección del lado terminal con la tangente que pasa por T. E = Intersección del lado terminal con la tangente que pasa por N. C = Pie de la perpendicular, bajada desde S al eje de las abscisas. Los triángulos OCS; OTA y ONE son rectángulos y semejantes entre sí pues tienen un ángulo agudo igual ( α). Podemos definir las seis funciones trigonométricas para α pero considerando que esa definición puede hacerse en cualquiera de los triángulos formados. El objetivo es tratar que la relación o razón trigonométrica tenga como denominador la unidad, y la función pueda ser representada por el numerador como un vector. Para ángulos del primer cuadrante:

En el ∆ OCS se define el seno y el cos eno senα =

CS CS CS = = = CS ↑ OS r 1

cos α =

OC OC OC = = = OC ↑ OS r 1



(+ )

(+ )

En el ∆ ONE se define la cot angente y cos ecante NE NE NE = = = NE ↑ (+ ) ON r 1 OE OE OE = = = OE csc α = (+ ) ON r 1 cot α =

En el ∆ OTA se define la tan gente y la sec ante : TA TA TA = = = TA ↑ (+) OT r 1 OA OA OA = = = OA (+) sec α = OT r 1 tan α =

Para la consideración del signo debemos tener en cuenta que para aquellos vectores paralelos a uno de los ejes, si se dirigen hacia arriba o hacia la derecha son positivos y caso contrario, negativos. Sin embargo esta consideración no corre para la sec y csc en las cuales se establece que: Si el vector coincide o cae sobre el lado terminal del ángulo, éstos se consideran positivos y si no lo hacen (caen en la prolongación ) se consideran negativos. Para los otros tres casos tenemos entonces: Segundo cuadrante:

Sen α = CS Cos α = OC

p p

(+) (-)

Nombre de la asignatura : Parcial de estudio: Tan α = TA p (-) Cot α = NE p (-) Sec α = OA prolongación (-) Csc α = OE coinciden (+)

Para el tercer cuadrante:

sin α = CS ↓ cos α = OC ←

(−) (−)

tan α = TA ↑ (+) cot α = NE → (+) sec α = OA prolongaci ón csc α = OE prolongaci ón

(−) (−)

Para el cuarto cuadrante:

senα = CS cos ε = OC

↓ (−) → (+) tan α = TA ↓ (−) cot α = NE ← (−) sec α = OA coinciden (+) csc α = OE prolongación (−)

VARIACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Variación del seno α:

GRADOS

VALORE S

0° - 90° 90° 180°

0a1

a 1a0


Nombre de la asignatura : Parcial de estudio: 180° 270°

a 0 a –1

270° 360°

a -1 a 0

Variación del coseno α:

GRADOS

VALORE S

1a0

0° - 90° 90°

a

0 a -1

a

-1 a 0

a

0a1

180° 180° 270° 270° 360°

Variación de la tangente α:

GRADOS

VALORE S

0a±∞

0° - 90° 90°

a

±∞a0

a

0a±∞

a

±∞a0

180° 180° 270° 270° 360°

Variación de la cotangente α:

GRADOS

VALORE S


Nombre de la asignatura : Parcial de estudio: ±∞a0

0° - 90° 90°

a

0a±∞

a

±∞a0

a

0a±∞

180° 180° 270° 270° 360°

Variación de la secante α:

GRADOS

VALORE S

1a±∞

0° - 90° 90°

a

± ∞ a -1

a

-1 a ± ∞

a

±∞a1

180° 180° 270° 270° 360°

Variación de la cosecante α:

GRADOS

VALORE S

±∞a1

0° - 90° 90°

a

1a±∞

a

± ∞ a –1

a

-1 a ± ∞

180° 180° 270° 270° 360°

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS




La variación de los valores de las funciones trigonométricas, puede ser representada y estudiada mediante la construcción de gráficas, que visualicen las características propias de cada una de ellas, mientras el ángulo varía entre ciertos valores predeterminados. Generalmente se toma un ciclo de estudio que comprenden a los ángulos positivos de la primera vuelta (de 0º a 360º).

Para realizar las gráficas de Las funciones trigonométricas se ha tomado como referencia los valores que se encuentran en cada uno de sus respectivos cuadros. Como ejemplo a continuación se presentan las gráficas del coseno, cotangente y cosecante.

GRAFICA DEL COSENO

GRAFICA DE LA COTANGENTE

GRAFICA DE LA COSECANTE



FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS: En temas anteriores ya hemos trabajado con estos conceptos, al calcular el ángulo conociendo la función trigonométrica. Esta es otra forma de nombrar un ángulo. La ecuación y = arcsen (x) se interpreta como: “y” es un ángulo cuyo seno es “x”. Numéricamente, tenemos por ejemplo: 30º = arc sen (0.5) - y = arc cos (x) se interpreta como: “y” es un ángulo cuyo coseno es “x”. Ejemplo: 60o = arc cos (0.5) - y = arc tan (x) se interpreta como: “y” es un ángulo cuya tan es “x”. Ejemplo: 45o = arc tan (1) Es costumbre también utilizar la siguiente nomenclatura: sen-1 (x) = y

cos-1 (½) = π ⁄ 3 ó

60o

tan-1 (1) = 45o

Debemos, sin embargo, dejar claro que esta nomenclatura no significa que “y” sea igual a 1/ sin x sino que es una costumbre muy usada en ciertos textos, calculadoras e inclusive ordenadores escribir de esta manera las funciones trigonométricas inversas. GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS La gráfica de y = sen -1 (x) ó y = arcsen (x) es la misma gráfica de x = sen y, y se diferencian de los gráficos estudiados anteriormente en que los papeles de “x” y de “y” están intercambiados. Así por ejemplo la gráfica de y = cos -1 x es una curva dibujada en el eje “y” en lugar del eje “x”. Con todas las demás curvas se cumple esta particularidad.

Gráfica de y =

sin-1 (x)



Gráfica de y = cos-1 (x)

Gráfica de y =

tan-1 (x)

El uso más frecuente de estas funciones es que permiten expresar ciertas expresiones algebraicas en forma trigonométrica y viceversa

Ejemplos:

1.- Encontrar los valores de: a.- sen-1(- 3

2

)

b.- cos-1( − 1 )

2

c.- tan-1(

−1

3

)



sen−1

 3   −  = − 60º  2   

ó

−

cos −1

 1   −  =  2 

ó

2π 3

tan−1

 1  π  −  = −30º ó −  6  3 

120º

π 3

2.- Indicar si los siguientes valores son verdaderos o falsos y justifique su respuesta: a.- Sen-1 (0) = 0o

(V) Porque el sen 0o = 0

b.- Cos-1 (-1) = π /2

(F)

c.- Sen-1 (-1) =- π /6

(F) Porque el seno (- π /6) = -1/2

d.- Tan-1 (-1) =

(V) Porque la tan (-45o) = -1

- 45o

e.- Sen-1 (0.333) = 0.34 rad.

Porque el cos (π /2) = 0

(V) Porque sen (0,34 rad) = 0.333

f.- Sen-1 (- 0.644) = - 0.70 rad. (V) Porque sen (-0.70) = -0.644

3.- A qué es igual sen [sen-1 (½)]: sen-1 (½) = π / 6

El

Por lo tanto: sen (π / 6) = ½

4.- A qué es igual sen-1 (tan 135o): La

(tan 135o) = -1

Por lo tanto: sen-1 (-1) = -π /2

5.- Calcular sen-1 (

2

/2) – sen-1 (½):

Con valores exactos lo podemos hacer de la siguiente manera: sen-1 (

2 /2) =

π/4

sen-1 (½) = π / 6 Por lo tanto: sen-1 (

-1 2 /2) – sen (½) =

6.- Demostrar que:

π / 4 - π / 6 = π / 12



a.- Sen-1 (x) + cos-1 (x) = Consideremos que el ángulo cuyo seno es igual a x es " α", y que existe otro ángulo "β" cuyo coseno también es igual a "x". Dibujemos estos dos ángulos:

Sen

α =

sen β =

1

x/1 = x

− x2 1

Cos α =

1

− x2

Cos β = x / 1 = x

1

Comprobemos que ( α + β) es igual a 90°: Sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

=

x*x+

1

− x2 1

*

1

− x2 1

Sen (α + β) = x2 + 1 - x2 = 1 y el seno de 90° es = 1, Por lo tanto los dos ángulos suman 90° ó π/2

b.-

Sec-1 (x) = cos-1 (1/x)

Si definimos la sec α tenemos que es igual a x / 1, y la sec β es igual a x / 1, Si sec α = sec β

entonces

α=β

Si la sec de un ángulo es x, el coseno de ese ángulo es 1 / x

7.- Calcular tan [ sen-1 (-3/4)]: Solución: Sea α = sen-1 (- 3/4);

⇒ sen α = - ¾

siendo α un ángulo del IV cuadrante



Tan [sen-1 (-3/4)] = tan α = -

8.- Evaluar:

tan

−1

   −1   cos tan     

3

=

7

−3

7

7

 5 sen  tan − 1 

   

     2        3      

Solución: Sea α =

 −1  2   tan     , entonces tan α = 3    

2 3

Si dibujamos el correspondiente triángulo tenemos:

Por lo tanto nos queda:

Tan-1{cos[tan-1( 5 sen α)]}

En el triángulo ABC obtenemos la hipotenusa c por el teorema de Pitágoras: c =

c=

(

3

5

Con este valor calculamos el sen α:

sen α = Por lo que nos queda:

2 5

)2 + (

2

)2


Geometría-Trigonometría Segundo parcial Tan-1{cos[tan-1(

Simplificando la

2

)]}

5

5 , tenemos:

Tan-1{cos[tan-1

Sea β = tan -1

5⋅

2 , entonces tan β =

2 ]}

2

Dibujando el correspondiente triángulo:

Por lo tanto nos queda: Tan-1{cos[β]}

En el triángulo ABC obtenemos la hipotenusa c por el teorema de Pitágoras: c =

(1)2

c=

3

+

(

2

)2

Con este valor calculamos el sen α: 1

cos β =

3

Por lo que nos queda:

Tan-1{

1 3

Asesoría didáctica 2.6 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

})= 60o



Identidad.- Es una relación de igualdad entre dos expresiones que contienen funciones trigonométricas, y válida para todos los valores de ángulos que se desee asumir.

Demostración de una identidad: Se verifican desarrollando un miembro y alcanzando el otro, empleando procedimientos matemáticos diversos para conseguirlo, los métodos más comunes son los de factoreo, reemplazos por expresiones equivalentes, uso de axiomas y postulados, que hacen adquirir destrezas y habilidades propias. Algunos autores desarrollan los dos miembros y alcanzan un tercero igual, pero eso implica que parten del criterio que el ejercicio planteado es ya una igualdad y eso es lo que, cabalmente, queremos demostrar. No existe una metodología propia para resolver identidades, sin embargo podemos emitir ciertos criterios que ayudan a efectuar estas operaciones: -

Comience desarrollando el lado de la igualdad que aparenta más complejidad. Se debe procurar, hasta donde sea posible, convertir todas las funciones en relación con el seno y el coseno, que son mucho más manejables y claras para el estudiante. Los operadores aritméticos no pueden ser simplificados con las expresiones angulares. Se recomienda un orden y claridad extrema, ya que esto facilita el encontrar un posible error que se presente.

A continuación tenemos algunas relaciones que nos permiten resolver problemas de identidades.

RELACIONES PITAGORICAS ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En el triángulos OCS: OS2 = CS2 + OC2 1 = sen2 α + Cos2 α

De esta relación se deducen las siguientes: En el triángulo OTA: OA2 = OT2 + TA2

⇒

sec 2 α = 1 + tan

2

α

ó

1 = sec

2

α - tan 2 α



En el triángulo ONE: OE

2

= ON

2

+ NE

⇒

2

csc 2 α = 1 + cot

2

α

ó

1 = csc

2

α - cot

2

α

RELACIONES DE COCIENTE: En el triángulo OCS pueden establecerse otras relaciones entre las funciones aunque estas no sean cuadráticas:

Tan α =

CS = OC

sin α

⇒

cos α

tan α =

cot α =

y, consecuentemente:

sen α cos α

cos α sen α

También recordemos las relaciones recíprocas que obtuvimos en capítulos anteriores:

csc α

1 =

sec α

senα

1 =

cos α

cot α

1 =

tan α

EJERCICIOS: Demostrar las siguientes identidades: 1.- tan A + 2 cot A =

1 + cos2 A cos A senA

Desarrollamos el primer miembro para alcanzar el segundo En función del seno y el coseno, tenemos:

senA 2 cos A + = cos A senA sen2A + 2 cos2 A = cos A senA sen2A + cos2 A + cos2 A 1 + cos2 A = cos A senA cos A senA

2.- sec4 A – sec2 A = tan4 A + tan2 A Factorando el primer miembro, tenemos:



sec2 A (sec2 A – 1) = (1 + tan2 A) (sec2 A – 1) = (1 + tan2 A) (tan2 A) = tan2 A + tan4 A

3.-

1 − senA cos A = cos A 1 + senA

Desarrollando el primer miembro:

(1 − senA) (1 + senA) 1 − sen2A cos2 A cos A * = = = cos A (1 + senA) cos A(1 + senA) cos A(1 + senA) 1 + senA

4.-

sec A + cot A =

tan A + cos A senA

Desarrollamos el segundo miembro para alcanzar el primero

senA senA + cos A cos A senA 1 cos A = cos A + = + cot A = + cot A = sec A + cot A senA senA senA senA cos A cos A

5.- tan A

+ sec A =

tan A + sec A − 1 tan A − sec A + 1

Desarrollando el segundo miembro y utilizando álgebra, tenemos:

tan A + sec A − (sec2 A − tan2 A) (tan A + sec A) − (sec A − tan A)(sec A + tan A) = tan A − sec A + 1 tan A − sec A + 1

(tan A + sec A)(1 − sec A + tan A) = tan A + sec A (1 − sec A + tan A) 6.- sen A cos A (tan A + cot A) + csc 2 A (1 – cos2 A) = 2 Desarrollando el primer miembro:

sen A cos A

1  senA cos A  * sen2A + +    2  cos A senA  sen A

 sen2 A + cos2 A    + 1  senA cos A  

sen A cos A 

sen A cos A

=

1      + 1 = 1 + 1 = 2  senA cos A 

=



Asesoría didáctica 2.7 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Una ecuación trigonométrica es una relación de igualdad que contiene expresiones trigonométricas. Es válida solamente para ciertos valores del ángulo. Estas soluciones se hallan aplicando procedimientos semejantes a los usados en identidades y ecuaciones algébricas. Las soluciones se pueden expresar como números reales o ángulos. Se debe tener en cuenta, que el introducir ciertos artificios matemáticos en la resolución de ecuaciones a veces estamos multiplicando o dividiendo para valores iguales a cero, infinito o elevando al cuadrado valores negativos, todo lo cual motiva soluciones “extrañas”, por lo que se recomienda verificar las respuestas. Por tal razón existen falsas soluciones pese a que matemáticamente se desarrolló correctamente. Una recomendación general para resolver las ecuaciones es la de tratar de definir la ecuación en términos de una sola función y de ser posible en términos del ángulo simple, sin embargo estos ángulos tienen coterminales positivos y negativos, por lo tanto las respuestas también serán válidas para esos ángulos. Se debe estudiar el período de la curva para expresar y generalizar las respuestas. Es conveniente especificar el intervalo de estudio, pero si no se lo determina se supone que se trata de ángulos positivos de la primera vuelta.

EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: 1.- csc4 2 A – 4 = 0

[0°; 360°]

Solución: csc4 2 A – 4 = 0 Factorando:

(csc2 2A – 2) (csc 2 2A + 2) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero significa que uno de los factores es = 0 por tanto: (csc2 2A– 2) = 0 csc 2A =

±

2

1 =± 2 sen 2A sin2A = ±

2 / 2

2A = sen-1 (± 2 / 2) Pero como sabemos el seno es positivo en el I y II cuadrantes y negativo en el III y IV, por lo que:

∴ 2A = 45o; 135o; 225o; 315o Al ser el ángulo doble se toma también los ángulos coterminales de la segunda vuelta:

∴ 2A = 405o; 495o; 585o; 675o Dividiendo todos los valores encontrados para 2, tenemos: A = 22.5o; 67.5o; 112.5o; 157.5o; 202.5o; 247.5o; 292.5o; 337.5o El otro factor (csc 2 2A + 2) = 0 no es real ya que resulta csc A =

−2



Como no hemos elevado al cuadrado o dividido por cero no hace falta comprobar las respuestas. Por lo que la solución sería: C.S.= {22.5o; 67.5o; 112.5o; 157.5o; 202.5o; 247.5o; 292.5o; 337.5o}

2.- 2sen x cosx + cos x = 0

[-180o; 90o]

Solución: 2 sen x cos x + cos x = 0 cos x ( 2sen x + 1 ) = 0 Igualemos los dos factores a cero cos x = 0

2 sin x + 1 = 0

x = cos-1 0

sen x = - 1/2 x = sen-1 (-1/2)

x = 90° ó 270°

El seno es negativo en el III y IV cuadrantes, por lo que: x = 210° ó 330° Pero como nos piden que las respuestas estén dentro del intervalo [-180 o; 90o], encontramos los ángulos coterminales negativos que estén dentro de ese intervalo X= -270o ó -90o

x= -150o ó -30o

Como no hemos elevado al cuadrado o dividido por cero no hace falta comprobar las respuestas. Por lo que la solución sería: C.S.= {-150o, -90o, -30o, 90o}

3.- 2cos (x – 25o) = -

3

Solución: Cuando no se especifica el intervalo, las respuestas deben ser encontradas en el intervalo [0o; 360o], por lo tanto: Despejando el coseno, tenemos: cos ( x – 25o) = -

3 2

3 ) 2 Como el coseno es negativo en el II y III cuadrantes, tenemos: x – 25o = cos-1(-

x – 25o = 150o ó 210o

Anexo de Trigonometria

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