APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS (Publicado en el año 1987)
TEMAS:
Fuerzas magnetomotrices y campo magnético.
Generación de fuerzas electromotrices.
Creación de torque electromagnético en máquinas eléctricas.
PROFESOR: Ing. Roberto Ramirez A.
2018 UNI-FIEE
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
INDICE I.
FUERZA MAGNETOMOTRIZ EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.
ANÁLISIS ANÁ LISIS GENERAL. G ENERAL. 1.1
FUERZA MAGNETOMOTRIZ DE UNA BOBINA DE PASO y .
1.2
F.m.m. 1.2.1
1.3
DE UN GRUPO DE “ q ” BOBINAS DE PASO COMPLETO.
Factor de Paso y Distribución.
F.m.m. DE UNA FASE FORMADA POR 2 GRUPOS DE BOBINAS DE PASO RECORTADO.
1.4
APLICACIÓN.
1.5
F.m.m. DE UN DEVANADO DE CONMUTADOR.
1.6
FUERZA MAGNETOMOTRIZ EN UN DEVANADO ELEMENTAL DE 4 POLOS.
2.
ECUACIONES DE LAS ONDAS ESTÁTICAS, PULSANTES Y GIRATORIAS. 2.1
DISTRIBUCIONES ESPACIALES ESTÁTICAS. 2.1.1
Excitando un devanado ubicado en el estator con C.
Continua. 2.1.2 2.2
Excitando con C. Continua un devanado de conmutador.
DISTRIBUCIONES ESPACIALES PULSANTES. 2.2.1
Devanado monofásico ubicado en el estator y excitado con
una corriente alterna estacionaria. estacionaria. 2.3
DISTRIBUCIONES ESPACIALES GIRATORIAS. 2.3.1
Fuerza magnetomotriz de un devanado polifásico.
2.3.2
Fuerza magnetomotriz de un devanado en movimiento y
excitado con C. Continúa. II.
F.E.M. EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.
F.E.M. INDUCIDAS POR CAMPOS MAGNÉTICOS GIRATORIOS. 1.1
POR UN DEVANADO DE EXCITACIÓN EN MOVIMIENTO.
1.2
POR UN DEVANADO POLIFÁSICO m 3 .
1.3
F.E.M INDUCIDAS POR CAMPOS ESTÁTICOS.
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
INDICE I.
FUERZA MAGNETOMOTRIZ EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.
ANÁLISIS ANÁ LISIS GENERAL. G ENERAL. 1.1
FUERZA MAGNETOMOTRIZ DE UNA BOBINA DE PASO y .
1.2
F.m.m. 1.2.1
1.3
DE UN GRUPO DE “ q ” BOBINAS DE PASO COMPLETO.
Factor de Paso y Distribución.
F.m.m. DE UNA FASE FORMADA POR 2 GRUPOS DE BOBINAS DE PASO RECORTADO.
1.4
APLICACIÓN.
1.5
F.m.m. DE UN DEVANADO DE CONMUTADOR.
1.6
FUERZA MAGNETOMOTRIZ EN UN DEVANADO ELEMENTAL DE 4 POLOS.
2.
ECUACIONES DE LAS ONDAS ESTÁTICAS, PULSANTES Y GIRATORIAS. 2.1
DISTRIBUCIONES ESPACIALES ESTÁTICAS. 2.1.1
Excitando un devanado ubicado en el estator con C.
Continua. 2.1.2 2.2
Excitando con C. Continua un devanado de conmutador.
DISTRIBUCIONES ESPACIALES PULSANTES. 2.2.1
Devanado monofásico ubicado en el estator y excitado con
una corriente alterna estacionaria. estacionaria. 2.3
DISTRIBUCIONES ESPACIALES GIRATORIAS. 2.3.1
Fuerza magnetomotriz de un devanado polifásico.
2.3.2
Fuerza magnetomotriz de un devanado en movimiento y
excitado con C. Continúa. II.
F.E.M. EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.
F.E.M. INDUCIDAS POR CAMPOS MAGNÉTICOS GIRATORIOS. 1.1
POR UN DEVANADO DE EXCITACIÓN EN MOVIMIENTO.
1.2
POR UN DEVANADO POLIFÁSICO m 3 .
1.3
F.E.M INDUCIDAS POR CAMPOS ESTÁTICOS.
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS III.
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CREACIÓN DE TORQUE EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS SIN SALIENCIA 1.
APLICACIÓN APL ICACIÓN A L AS MÁQUINAS MÁQUINA S DE CONMUTADOR DE C. CONTINUA.
2.
APLICACIÓN APL ICACIÓN A L AS MÁQUINAS MÁQ UINAS ASÍNCRONAS. ASÍNCRONA S.
3.
APLICACIÓN APL ICACIÓN A L AS MÁQUINAS MÁQ UINAS SÍNCRONAS.
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I.
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FUERZA MAGNETOMOTRIZ EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS
1. AN GENER AL AN ÁL ÁL ISIS G AL . 1.1
FUERZA MAGNETOMOTRIZ DE UNA BOBINA DE PASO y
.
s Sea una bobina de N b vueltas ubicada en el estator, excitada por una corriente s
instantánea ib . s
1
1s
y
F 1
Nbs ibs 2 y
2
y 2
F 2
y 2
S
2
s
ib
Figur a N° 1
2
“Cada línea magnética representa un circuito cerrado sin comienzo y final” ; 1
F1
F1 y F2 2 y
Asimismo:
F1 F2 N b ib ……………………………..………... 2
s
F1
Resolviendo:
F 2
s s y N b ib
y
……………... 1
s
s s 2 y N b ib
F2
2 y
Luego:
2
2
y
2 y
F bs max
F bs max
La expansión de Fourier que converge a la distribución de f .m.m de la bobina será:
F(
s)
Ing. Roberto Ramirez A.
1
a0 (av cos(v s ) bv sen(v s )) 2
v 1
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1
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
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Siendo: a0
2 T /2
T T /2
av
F( ) d s ; s
bv
2
T /2
T T /2
2 T /2
T T /2
F( ) cos(v s )d s s
F ( s ) sen(v s )d s
Luego: a0 0 ; bv 0 (Simetría respecto al eje 1s ; función par) av
1
F(
s)
cos(v s )d s
2
0 F( s ) cos(v s )d s
Resolviendo resuelta: av
4
1
Fbs max sen(v y 2 ) v
Luego:
F(
s)
v 1
4
s
Fb
1
y max sen(v. 2 ) cos(v s )
v
Como no tiene simetría de media onda existen armónicos pares e impares. Si el paso de bobina fuera (es decir " ") , la expansión de Fourier sería:
F(
s)
1 Fbs max sen(v. 2) cos(v s ) v v 1
4
Solo tiene armónicos impares. Los pares desaparecen, debido a que esta distribución al tener paso completo, la bobina, adquiere simetría de media onda. 1.2
. . DE UN GRUPO DE “ q ” BOBINAS DE PASO COMPLETO . F.mm “ Es un devanado de 1 capa ”
1s
ias ias Figur a N° 2
Ing. Roberto Ramirez A.
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2
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
F1 (
s)
F2
( s )
s)
4
4
F3 (
4
v 1
1
v sen(v 2) cos v( s ) v 1
Fbs max
1
v sen(v 2) cos(v s )
Fbs max
Fbs max
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1
v sen(v 2) cos v( s 2 ) v 1
Fq
( s )
4
Fbs max
1
v sen(v 2) cos v( s q 1 ) v 1
s Fgrupo S F1 S F2 S ............ Fq S
Resolviendo y ordenando: s Fgrupo ( s )
4
1 sen v q ( (q 1) 2) sen v v v ( 2) q sen(v ) cos s 2 v 1 2
q Fbs max
La expresión de Fourier, si las “ q ” bobinas tienen paso y , sería s Fgrupo ( s )
1.2.1
4
1 sen( v q 2 ) (q 1) y sen v v ( ) cos v s 2 2 q sen v ( ) v 1 2
q Fbs max
Factor de Paso y Distribu ción.
s Sea K pv sen(v / 2) : Factor de paso.
s K dv
sen( v q / 2) qsen(v / 2)
: Factor de distribución.
Factor de paso:
Llámese
y ;
K pv sen v
luego y 2 2 ( : paso relativo)
y para eliminar la armónica de orden “v” se debe cumplir que 2 v .
2
Nótese que dependiendo del valor de “v” , el factor de paso tiene un signo, que multiplicado con el que tenga el factor de distribución, definirán el signo correspondiente del respectivo armónico en el eje del grupo de bobinas. Factor de Distribución:
El factor de distribución, para un ángulo de ranura constante disminuye al aumentar “ q ” .
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APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.3
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. . DE UNA FASE FORMADA POR 2 GRUPOS DE BOBINAS DE PASO F.mm RECORTADO.
“ Es un devanado de 2 capas ”
1 A 1s ias
1 B
Figur a N° 3 4
Entonces: F A
4
F B
Fas
FA FB
s Fa ( ) s
s F b max
4
4
q Fbs max
v s K dv cos v s 2 2
1
v s K cos v s dv 2 2
1
v s K dv cos v s cos v s 2 2 2
v 1
q Fbs max
1
v sen
v sen v 1
q Fbs max
v sen v 1
2q Fbs max
1
v s s K K cos v s dv pv 2
v sen v 1
s s
Nb ia 2
Fas ( ) s
; luego para este devanado 1 de doble capa resulta: s 4 2q N b
2
s ia
1 v s s K K v sen cos s dv pv v 2 v 1
s Sea N fase 2q N bs para este devanado de 2 polos
Entonces para un devanado de “ p ” polos se tendrá: s 2q N bs p N fase
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2
s N fase
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4 N fase s
Fas ( ) s
1 v s s s ia sen K K v . . .cos s dv pv 2 v p 1 v
Comentario:
El sen(
-
El sen (
-
v
2 v 2
) 1 para v 1,3,5,7,9,11...etc o para todo v 2c 1; c 0,1, 2,3,... ) 0 para v 2,4,6,8,10...etc o para todo v 2c 2 ; c 0,1, 2,3,...
-
El devanado con " p " grupos de bobinas de paso recortado, no produce armónicos pares.
-
s p 2 s .
Entonces para el devanado anterior, si hubiera sido ejecutado con un solo grupo se
tendría, (ver 1.2). 4 N fase s
Fas ( ) s
ias
p
1 s s .K pv .cos v s .Kdv v1 v s
N fase
K dv ; q 2q ; s ( p / 2) s K dv s
s
Comentario: -
El devanado con “ p / 2” grupos de bobinas de paso recortado produce una f .m.m. cuya expansión de Fourier contiene armónicos pares e impares.
1.4
APLICACIÓN. Para el devanado monofásico de la figura, alojado en un estator de 24 ranuras, formado por bobinas de paso 1-11. Calcular: El factor de distribución, de paso, la amplitud de la armónica de orden “v” .
ias Figur a N° 4
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N fase 8 N b ; y 10 10 s
Entonces:
K
s pv
360
150
24
sen(75v)
K s dv
s
sen(30.0v) 4sen(7.5v)
s v max
; F
s 4 8 N b
ia 2 s
sen(v / 2) v
s K dvs K pv
Cuadro Nº: 1 v
s K pv
s
s K dv
s
Fv max F 1max
1
0.9659
0.9576
3
-0.7071
0.6532
5
0.2588
0.2053
7
0.2588
-0.1575
1.0000
0.1664 0.0114
0.0440
1s 8F bsmax
1s
2qF bsmax
6F bsmax
ias
4F bsmax s
Distribución de conductores y corriente.
Distribución espacial de la f .m.m.
Figur a N° 5 1.5
. . DE UN DEVANADO DE CONMUTADOR. F.mm El devanado de conmutador es distribuido, de doble capa y cerrado, alojado normalmente en el rotor; el cual, en caso de albergarlo, lleva un accesorio denominado colector o conmutador. El colector está constituido de segmentos de cobre, aislado uno de otro, y el conjunto se aísla respecto del eje del rotor. El conmutador, para nuestros análisis, tendrá tantas delgas como bobinas y tantas escobillas, necesarias para excitar el devanado, como polos tenga la máquina.
Veamos un devanado bipolar compuesto de 12 bobinas de N b vueltas y paso completo, con las escobillas tal como se indica en la figura y excitado por una corriente instantánea
ia (Suponer que el rotor está sin movimiento).
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Debido a las ubicación simétrica de las escobillas la corriente en cada rama será la mitad
de ia .
ia Figur a N° 6 La distribución de la corriente en los conductores:
1
“ En los N b conductores de cada lado
de bobina circula i a
2
; esto significa
que en cada ranura circula i a ”. s
1
Figur a N° 7
La distribución espacial de f .m.m. F a . s
1
1
Figur a N° 8
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APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS La
expansión
de
Fourier
puede
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ser
determinada
aplicando
lo
visto
en
1.2 bobinas de paso completo con q 6 . En los casos estudiados el número de polos “ p ” es dos; cuando p 2 y q es entero, la f .m.m. en la extensión de cada par de polos es la misma que en los casos examinados. 1.6
FUERZA MAGNETOMOTRIZ EN UN DEVANADO ELEMENTAL DE 4 POLOS. Las bobinas de N bs vueltas tienen paso completo 90 geométricos.
1s
Distribución espacial de f .m.m.
F bsmax s
1
s
F bsmax
ias
Un periodo o distribución en un par de polos .
Figur a N° 9 360 de la distribución de f .m.m. que originará el campo magnético se dan en 180 geométricos.
En general; p magnéticos p 2 geométricos y el valor máximo de la f .m.m. es establecido por un par de polos. La expansión de Fourier que converge a la distribución: Fas ( ) s
4
Fbs max
v sen(v 2) cos(v 2 s ) 1
v 1
Luego, al excitar los devanados de una máquina, se establece una distribución de fuerza magnetomotriz o magnetizante, la cual puede graficarse como una función de una posición en el entrehierro s medida desde un eje referencial fijo al estator 1s .
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APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
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Esta distribución espacial presenta las siguientes características: Para máquinas de “ p ” polos, la fuerza magnetomotriz en la extensión de cada
-
par de polos es idéntica. El valor máximo depende de la distribución de los conductores del devanado y
-
de la corriente instantánea que circula por ellos. El tipo de corriente definirá la constancia o la pulsación del valor máximo de la
-
f .m.m. establecida por el devanado.
2. ECU AC DE L L AS OND AS EST ÁT PUL S AN Y G GIR AT ACIONES D AS O AS E ÁTIC AS AS, P ANTES Y ATORI AS AS. En las máquinas eléctricas pueden crearse distribuciones de f .m.m. estáticas o inmóviles en el espacio, las cuales pueden ser inmóviles en el tiempo o pulsantes en el tiempo, y giratorias. 2.1
DISTRIBUCIONES ESPACIAL ES ESTÁTICAS. Este tipo de distribuciones de f .m.m. , invariables en el tiempo, pueden ser obtenidas en los siguientes casos: 2.1.1
Excitando un devanado ubicado en el estator con C. Continua.
Del acápite 1.3 , dejando de lado los armónicos superiores, se obtiene: ias I s s
Fa
( s )
4
N
s fase
2 I s cos s Fas max cos s ;
Entonces para un devanado de “ p ” polos se tendrá: Fas (
s)
F as max cos p s 2
;
F as max es establecida por un par de polos del
devanado y es constante. s
1
S
F a max 360 p 2
s geométricos
Figur a N° 10
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APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS 2.1.2
Excitando con C. Continua un devanado de conmu tador.
Del acápite 1.5 , con ia
Fa ( ) F a max cos Fa (
s)
2.2
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I a y procediendo en forma análoga,
p
2
;
Fa max sen p 2 s
donde: s
90
DISTRIBUCIONES ESPACIAL ES PULSANTES. 2.2.1
Devanado monof ásico ubic ado en el estator y excitado con una corr iente
alterna estacionaria. Del acápite
ias
1.3 ,
dejando de lado los armónicos superiores y haciendo
2 I s cos( ws t ) ;
ws : frecuencia angular, se obtiene:
Fas ( s ,t ) Fas max cos(wst ) cos( s ) ; ecuación que corresponde a una onda que pulsa en el tiempo según la ley cosenoidal y que está distribuida en el espacio con esta misma ley. Significa que el valor máximo de la onda en un periodo espacial adopta diferentes valores comprendidos entre s
Para “ p ” polos: Fa ( s ,t )
F as max y F as max .
p Fas max cos( ws t ) cos( s ) 2
s
1
360
p 2
s
(geométricos)
Pulsación de la f.m.m. fundamental para diferentes instantes de tiempo.
Figur a N° 11 Nótese que el eje de la onda pulsante de f .m.m. es inmóvil en el espacio y coincide con s
el eje del devanado o fase, que en este caso coincide con 1 .
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APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
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Asimismo la ecuación del v ésimo armónico de la f .m.m. se escribe en forma análoga, para p 2 , como: s Fav s
Si en Fa ( s ,t )
( s ,t )
Favs
max
cos( ws t ) cos( v s )
Fas max cos(ws t ) cos( s ) , el producto de cosenos se representa
en forma de la suma de cosenos, se obtiene:
Fas ( s ,t )
Fas max 2
s
cos( s w t )
F as max 2
cos( s wst )
La onda pulsante puede ser explicada como la superposición de dos ondas giratorias de f .m.m. que viajan en sentido contrario y cuya amplitud es la mitad de la amplitud de la f .m.m. pulsante.
2.3
DISTRIBUCIONES ESPACIALES GIRATORIAS. Sean tres ondas pulsantes de f .m.m. de igual amplitud, cuyos ejes están desplazados en el espacio en 2 3 y que las corrientes alternas que les dieron origen están desfasadas en el tiempo en 2 3 . s cos( ws t ) cos( Fas ( s ,t ) Fmax s ) s cos(wst 2 3) cos( s 2 3) Fbs ( s ,t ) Fmax s cos(wst 2 3) cos( s 2 3) Fcs ( s ,t ) Fmax
La superposición, en el entrehierro, de estas tres ondas dará como resultado: s F( s ,t )
3 2
s cos( s ws t ) ; distribución Fmax espacial que viaja en el entrehierro a la
velocidad de w
s
rad seg
y en sentido opuesto a la dirección de crecimiento de s . Se
le llamará distribución de f .m.m. giratoria inversa. La distribución giratoria se llamará directa si las ondas pulsantes correspondientes son:
Fas (
s ,t )
s cos( ws t ) cos( s ) Fmax
Fbs (
s ,t )
s Fmax cos(wst 2 3) cos( s 2 3)
Fcs (
s Fmax cos( ws t 2 3) cos( s 2 3)
s ,t )
s F(
s ,t )
3 2
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s cos( s ws t ) Fmax
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APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
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De esta misma forma una f .m.m. giratoria se puede también obtener de “ m” campos pulsantes desfasados entre sí en un ángulo 2 s F(
s ,t )
s F(
s ,t )
2.3.1
m
m
2
m
.
s cos( s ws t ) ; p Fmax 2 s cos(( p 2) s ws t ) ; p Fmax p
2
Fuerza magnetomotri z de un devanado polif ásico.
Si un devanado simétrico polifásico con un número de fases m 3 , es decir los ejes de las fases están desfasados en el espacio en “2 m” grados eléctricos, y las corrientes inyectadas a casa fase se desplazan “2 m” en el tiempo; la f .m.m. resultante, considerando que la máquina tiene “ p ” polos y solo el armónico fundamental en la s
f .m.m. pulsante de cada fase, será: F( s ,t )
3 2
2
f .m.m. espacial giratoria directa, cuya velocidad es w
s cos ( p 2) s ws t ; Fmax
( p 2)
.
Veamos para el armónico “v” de las f .m.m. pulsantes de cada fase, suponer p 2 1 , s Fav sen( s Fbv sen(
Fcvs sen(
v 2 v 2 v 2
) Fvs max cos ws t.cos v s ) Fvs max cos( ws t 2 3).cos v( s 2 3) ) Fvs max cos( ws t 2 3).cos v( s 2 3)
Luego:
Fvs ( ,t ) s
s v F v max sen( ) 2 2
2 s v w t) cos( 1 2 cos (v 1) s 3
2 s cos( v w t) 1 2 cos (v 1) s 3
Armónico fundamental: s
F1 (
s ,t )
3 2
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s
s
F max cos( s w t )
; wcs ws (rad / seg ) 1
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12
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
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Tercer armónico F 3s (
s ,t )
0
Quinto armónico s F5 ( ,t ) s
3 2
s F5 max
s
cos(5 s w t )
; wcs 5
V esimo armónico ,
s wcv
ws 5
(rad / seg )
s
w
v
(rad / seg )
Por lo tanto las componentes armónicas de la f .m.m. giran con distintas velocidades geométricas, pero con iguales velocidades angulares eléctricas. Giran en la misma dirección que la fundamental: 7,13, etc . Giran en sentido opuesto al fundamental: 5,11, etc . Esto quiere decir que existirá influencia de los armónicos superiores en la forma de la f .m.m. giratoria de un devanado polifásico. Sin embargo en devanados con factor de
paso y de distribución, adecuadamente calculados, no se comete mayor error en considerar que la f .m.m. giratoria es esencialmente la componente fundamental. 2.3.2
Fuerza magnetomotri z de un devanado en movimiento y excitado con C.
Continúa.
1r r wm t r I f
s
1
Figur a N° 12 De acuerdo a lo planteado en el acápite 1.3 , y considerando solamente el armónico fundamental:
F fr (
r )
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4
( q Nbr K dr K rp ) I rf cos r F fr max cos r
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13
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS Para r
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s wmr t ; F fr ( r ) F fr max cos( s wmr t ) r
Entonces wc
wmr y es una onda giratoria directa.
Para un devanado de “ p ” polos, considerando el armónico fundamental:
r F fr ( r ) F fr max cos ( p 2) r F fr max cos ( p 2) ( s wm t)
r wcr wm
Sin embargo la distribución espacial de f .m.m. puede desarrollarse según la expansión de FOURIER, cuyo término para el armónico v esimo es: r F fv ( r ) sen(
r F fv (
s)
sen(
v 2 v 2
r ) F fv max cos(v r ) ; p 2 1 , v 1,3,5...
r r r ) F fv max cos(v( s wm t )) ; wcv wm
Analizando esta expresión se puede concluir que las f .m.m.s. giratorias, originadas excitando un devanado rotórico en movimiento con corriente continua, esto es la fundamental y sus componentes armónicas, giran con las mismas velocidades angulares y en la misma dirección; esto significa que la distribución espacial de f .m.m. en este caso al viajar no cambia de forma. Las velocidades angulares eléctricas de las componentes armónicas resultan distintas. Para “ p ” polos se tendrá: r
F fv
( s )
sen(
v 2
r ) F fv
max
r cos v ( p / 2) ( s wm t)
r wmr wcv
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APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS II.
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F.E.M. EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS
1. F.E.M. IINDUCID AS P POR C C AMPOS M M AGNÉTICOS G GIR ATORIOS. Se ha estudiado 2 formas de producir campos magnéticos giratorios; excitando con corriente continua un devanado de excitación en movimiento o excitando con corrientes alternas polifásicas a un devanado polifásico simétrico. 1.1
POR UN DEVANADO DE EXCITACIÓN EN MOVIMIENTO.
B fr (
B rf max cos s wmr t ; Si
s ,t )
p 2
r B fr ( s ,t ) B rf max cos ( p 2) s ( p 2) wm t ; Si p p
Escogiendo el campo magnético bipolar, y colocando en el estator una bobina de N bs vueltas y paso y . “
”
s
1
wc Velocidad angular
wc
r
1'
1
y
ESTATOR
ROTOR
y 2
del campo wm
2
Figur a N° 13
s bob
B(r
s
S b
,t ) .dsb
y /2
y /2 B f max cos( s wmt ) R l d s r
r
s bob 2 R l B rf max sen( y 2) cos(wmr t ) bm sen( y 2) cos(wmr t )
bm
2 D
l B r f max ; K ps sen( y 2) 2
s r bob K sp bm cos( wm t ) s bob N bs bob ( N bs K sp ) bm cos( wmr t ) s bm cos( wmr t ) bob
Ing. Roberto Ramirez A.
UNI-FIEE 2018
15
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS s
La f .e.m. de la bobina será: ebob
s ebob wmr bm cos( wmr t 90)
UNI-FIEE-2018
d
s ( bob ) dt s 2 Ebob cos( wis t 90 )
r s r wis wm ; en general wi ( p 2)wm
s E bob
wis
Entonces:
2
bm
s s bob bm cos( wis t ) y ebob
s 2 Ebob cos( wist 90 )
s bob
wis t
s E bob
Figur a N° 14
Disponiendo q
s
3 bobinas en el estator:
s bob 0
s bob 1
s bob 2
E bob 0
E bob 1
E bob 2 Figur a N° 15 s
Entonces: q
q s bm K ds cos( wis t ) qm cos( wis t )
eq wis qm cos( wis t 90)
Eq
Ing. Roberto Ramirez A.
wis
2
s s s q Nb K d K p
) 2 Eq cos( wis t 90
2 D l
2
r
B f max UNI-FIEE 2018
16
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
s s s Eq 4.44 fi N q ef m ; N q ef : Número efectivo de vueltas
Para el caso de una fase de doble capa:
s E fase 4.44 fi s 2 q Nbs K ds K sp m
Al disponer, simétricamente, 2 fases más idénticas respecto de la que ya tenemos se tendrá en el estator un devanado trifásico simétrico; por lo tanto se obtendrá:
a m cos( wis t )
s
y ea
2
4
b m cos wis t c m cos wis t
2 E s cos( wis t 2)
s s s y eb 2 E cos( wi t 2 2 3) 3
s s s y ec 2 E cos( wi t 2 4 3) 3 s
E s 4.44 fi s N sfase K ds K sp m ; N fase : Espiras en serie de la fase
2 D l r m B f max p s
f i
E c E a
r ( p 2)wm
2
E b
Este será un generador de C.A. con las siguientes características: 1. En el rotor habrá un devanado de excitación, excitado con C.C. El rotor debe ser r
impulsado a una velocidad wm (rad / seg ) . 2. En el estator habrá un devanado polifásico simétrico, en cada fase se podrán recoger tensiones alternas que conforman un sistema simétrico de tensiones. 3. El valor eficaz de las f .e.m. en cada fase resulta proporcional a la frecuencia eléctrica del rotor y al valor máximo del flujo medio por polo. 4. Asimismo, el campo que originó las f .e.m.s está “ sincronizado” con el
r rotor wc wm .
5. Por la última característica se le llamará “ generador síncrono ” .
Ing. Roberto Ramirez A.
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17
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.2
UNI-FIEE-2018
POR UN DEVANADO POLIFÁSICO m 3 .
B(s
s ,t )
s Bmax cos ( p 2) s wt , si p p polos .
La velocidad angular del campo wc
w
p 2 , siendo
“ w” la frecuencia angular de
las corrientes trifásicas de excitación del devanado. s
Analizamos el caso bipolar, B( s ,t )
s Bmax cos( s wt ) ; colocando una bobina de
N br vueltas de paso en el rotor. r
s
1
1
wc ESTATOR
,
2
2
ROTOR
2
2
Figur a N° 16
2 cos( wt ) , Si el paso de bobina fuera “ y ” , se
r bob 2 R l B sf max sen
obtendría: r bob bm sen y 2 cos(wt ) bm K r p cos( wt )
r r bob Nbr bob N br K rp bm cos( wt )
r bm cos( wt ) bob
La f .e.m de la bobina será:
r ebob
d dt
r ( bob )
Existen 2 casos a considerar:
r 0 a) cte ; rotor sin movimiento wm
r ebob
Ing. Roberto Ramirez A.
r 90) 2 Ebob cos( wt
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18
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
r E bob
wir 0 2
bm
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wir w
,
0
r t . b) wm
r ebob
r E bob
r r 2 Ebob cos ( w wm )t 90
r
w wm 2
bm , wirm w wmr
An áli si s d el c aso (a)
El campo giratorio se produjo excitando un devanado trifásico ubicado en el estator, en las fases de este devanado el campo giratorio induce fuerzas contraelectromotrices; asimismo en cada fase del rotor, al ubicar en él un devanado trifásico simétrico, se inducen f .e.m.
eas
2 E s cos( wis t 2)
s
s
s
eb
2 E cos(wi t 2 2 3)
ecs
2 E s cos(wis t 2 4 3) ; donde:
E s 4.44 fi s N sfase K ds K ps m
m
s
f i
2 D l s Bmax p wis 2
s
; wi w
En el rotor: r r 2 ) 2 E0 cos( wi t
r
ea 0
0
r r 2 2 3 ) 2 E0 cos(wi t
r
eb 0
0
r r 2 4 3 ) ; donde: 2 E0 cos( wi t
r
ec 0
0
r
r
r
r
r
E0 4.44 fi N fase K d K p m 0
r 0
s
fi f i
Ing. Roberto Ramirez A.
y
p
2
w 2
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19
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
Las características de las f .e.m. inducidas en el rotor: 1. Su valor eficaz es proporcional a la frecuencia de las corrientes inyectadas al devanado estatórico. 2. Con solo cambiar la posición del rotor, las fems rotóricas cambian su fase respecto de las respectivas fems estatóricas, sin que cambie su valor eficaz. 3. A esta máquina se le conoce como “ regulador de fase o desfasador asíncrono” .
E a
E
s r a
S a
V
s a
s va : tensión aplicada a la fase “a ”
0
s s s del estator Ea ra I a d 0
E as
diagr ama para la fase “ a ”
S a
3V
s
E a
ESTATOR
r
E a
3 E ar
ROTOR
Figur a N° 17
4. Si se sumara las tensiones
( Eas ) E ar , se tendría una tensión resultante función de la
posición “ ” del rotor frenado. Para este fin debe realizarse las siguientes conexiones eléctricas entre las fases de los devanados.
3V ar
r E a
'
E as
S a
3V
ROTOR
r V a
ESTATOR
p
2
r E a
' s
E a
Figur a N° 18
A esta máquina se le llama “ regulador asíncrono de tensión ” ; presenta una tensión de salida
3V ar que tiene un mínimo ( 0 ) y un máximo ( 0 eléctri cos) .
Ing. Roberto Ramirez A.
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20
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
An áli si s d el c aso (b) r
Al impulsar el rotor a una velocidad wm en la misma dirección del campo magnético, las f .e.m. inducidas en cada fase del devanado rotórico serán: r eam
2 Em cos( wimt 2)
r ebm
r r t 2 2 3) 2 Em cos( wim
r
r
r
r r 2 Em cos(wimt 2 4 3) ; donde:
ecm
r r Em 4.44 fim N rfase K dr K pr m
r f im
Entonces:
r Em
E 0r r f im r
f i0
r wim
r w p 2 wm
2
s
r
; wim
w r
; fim
w ( p 2)wmr
r wc wm
wc
s deslizamiento
s f s s f
Las características de las f .e.m. inducidas en cada fase del rotor: 1. Existen cuando el rotor y el campo magnético están no sincronizados , esto es r wm wc .
2. Los valores eficaces y las frecuencias de las f .e.m. inducidas disminuyen al aumentar la velocidad mecánica del rotor. r
3. Al invertir el sentido de rotación del rotor ( wm ) se obtendrán mayores valores de tensión y frecuencias inducidas en el rotor. 4. La máquina obtenida es un generador denominado “convertidor asíncrono
de frecuencia ” .
Ing. Roberto Ramirez A.
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21
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.3
UNI-FIEE-2018
F.E.M INDUCIDAS POR CAMPOS ESTÁTICOS. a)
s cos s , asimismo se ubica en el Sea un campo estático bipolar B s ( s ) Bmax r (rad / seg ) , una bobina de rotor, que está impulsado a una velocidad wm
N br vueltas y paso .
s
1 1r
ESTATOR
ROTOR
1'
1
r
wm
Figur a N° 19
r s s cos s R l d s R l Bmax bob Bmax
2
2 cos s d s 2R l Bmax cos s
Si y : r s r bob sen( y 2) cos( wm 2 R l Bmax t ) r s r bob Nbr 2R l Bmax sen( y 2) cos( wm t )
r r r s r ebob wm N b 2R l Bmaxsen( y 2) cos( wm t 90)
“ Es un generador síncrono invertido; esto es, con el devanado de
excitación en el estator ”. r
r bob
wm
e
r
1
2 E bob
s
1
r
ebob Figur a N° 20 r Ebob
Ing. Roberto Ramirez A.
2 2
r
fi Nbr
K pr
m
r
; f i
r ( p 2) wm
2
; m
2
s Bmax
D l 2
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22
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS b)
UNI-FIEE-2018
Si se realizara los siguientes arreglos al generador de C. Alterna elemental del caso anterior, r
1 r
wm
s
1 b a Figur a N° 21 Se cumple: La escobilla “a”
Siempre estará en contacto con al lado de bobina que está bajo la influencia de campo positivo; esto significa que la polaridad de esta escobilla es negativa (-). La escobilla “b”
Al estar conectada con el lado de bobina bajo la influencia de campo negativo, su polaridad será positiva (+).
La tensión recogida entre las escobillas será unidireccional, debido al efecto de rectificación del conmutador o colector elemental.
e
Figur a N° 22 Analizamos lo que ocurre en un devanado de conmutador con un número mayor de bobinas. Las f .e.m. en las bobinas se pueden representar en forma de complejos, desfasados uno de otro en un ángulo igual al ángulo de ranura rotórica. En ese sentido
Ing. Roberto Ramirez A.
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23
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
en el rotor se establecerá un polígono regular de f .e.m. ya que el devanado de conmutador es cerrado.
e
e r
e r e r
2
E MAX
e
E MIN
r
r
e r e
E MAX E E MIN MAX
r
e r
e r
er E r 2 fi r N br K pr m
# delgas 360 # bob r 360
Figur a N° 23
La E MAX inducida entre escobillas corresponde al diámetro de la circunferencia circunscrita al polígono de f .e.m. , esto es:
bobinas r r E K d ; Cuando el número de bobinas del devanado p
E MAX
r 2 es muy grande K d . r E MAX cos 2
Asimismo: E MIN
El valor promedio de e , está representado por la ordenada media de una de las ondulaciones; por ejemplo entre 0 hasta r : 1
E
( r )rad
r e(t ) d 0
;
r
s
r
1
sen sen r ... sen ( s 1) r d wir Nbr K rp m E 0 s
E
Resulta:
Ing. Roberto Ramirez A.
2 wir Nbr K pr m 2 s Nbr K pr wir m s
N a r 2 p E K p ( 2 ) wmr m ; p
N a Número total de vueltas en serie del devanado de conmutador .
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24
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
N a r 2 r Entonces: E ( p 2) K p wm m p
La desviación de la tensión recogida entre un par de escobillas respecto a su valor medio, expresada en tantos por ciento es: 1
E % 2 1 2
100% tan 100% 1 cos 2 )
( E MAX E MIN )
r 1 cos 2 r
( E MAX E MIN
2
r 100% 4
r 2 E % 100 tan ; r grados eléctricos ( p 2 ) 4 # bob 2
1 E % 100 tan 2 2 s Cuadro Nº: 2 S
E %
4
10
20
40
17.2
2.5
0.62
0.16
Utilizando un rotor con un número grande de bobinas por polo o por par de escobillas se obtiene una tensión entre escobillas constante. La máquina así estudiada se trata de un generador de C.Continua que tiene las siguientes características: 1. En el estator debe crearse un campo estático, esto significa que llevará un devanado o bobina excitada con C. Continua. 2. El rotor debe llevar un devanado de conmutador con un número grande de r bobinas por par de escobillas y ser impulsado a wm .
3. Aunque las f .e.m. en las bobinas del rotor sean alternas, la tensión recogida entre escobillas es unidireccional por el efecto de rectificación del conmutador.
Ing. Roberto Ramirez A.
UNI-FIEE 2018
25
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS III.
UNI-FIEE-2018
CREACIÓN DE TORQUE EN MÁQUINAS ELÉCTRICAS SIN SALIENCIA
Sean dos distribuciones sinusoidales de f .m.m. que se mueven a la misma velocidad y en la misma dirección, en el entrehierro de una máquina sin saliencia, respecto de un observador fijo en el estator. s F(
s cos( s wct ) Fmax
r F(
r Fmax cos( s wct rs )
s ,t )
s ,t )
La superposición de los cuales da una distribución resultante: Fm ( s , t ) Fm(
s ,t )
Fmax cos( s wc t ms )
s r s r 2 ( Fmax Fmax )2 ( Fmax )2 2 Fmax Fmax cos rs
s F max
ms rs
F max
r F max
Figur a N° 24
De ampere: H Fm g ; asimismo la densidad de coenergía wm Para un d vol en el entrehierro habrá un dwm
u0
d (vol ) R l g d s dwm
u0
2
2
u0 2
2
H
2
H d (vol )
H 2 R l g d s
Por lo tanto:
wm
Ing. Roberto Ramirez A.
u0
2
R l g
2 F max
0
2
g cos( s wct ms ) d s
UNI-FIEE 2018
26
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS wm
wm Te
u0
2 R l Fmax
2g
u0 R l
2
2
0
cos 2 ( s wct ms )d s
2 Fmax
g
UNI-FIEE-2018
u0 D l
s Fmax
4g
2
r Fmax
2
s r cos rs 2Fmax Fmax
u D l s wm r Fmax Fmax sen rs N-m. 0 2g rs
Te
Te
u0 D l g
2
s r Fmax sen rs Fmax
p u0 D l 2
2
g
N-m. para un par de polos p 2 .
s r Fmax sen rs N-m. para “ p 2” pares de polos. Fmax
El signo menos indica la tendencia al alineamiento de los ejes magnéticos de las f .m.m. Asimismo se cumple:
Fmax
sen rs
Te ( p 2)
s F max
sen
, entonces:
u0 D l 2
g
r Fmax Fmax sen
El campo magnético resultante en el entrehierro Bmax u0
Bmedio
2
u0
F max
Entonces:
g
g
F max g p 2
u0 D l
D l
( p 2)
F max 2 D l g
p
;
m
Te ( p 2) 2
Ing. Roberto Ramirez A.
g
F max
medio por polo m Bmedio Area de un polo u0
m u0
F max
2
r sen m Fmax
N - m.
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27
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
1. AP M ÁQ DE C CONMUT AD DE C C. C CONTINU A. APL IC AC ACIÓN A L A L AS AS M ÁQUIN AS AS D ADOR D A.
Te
2
r ( p 2)2 Fmax m sen ( p 2)
u0 D l
2
g
r s sen rs Fmax Fmax
s I f F max
I a
r wm
r I a F max
I f s
1s
V a
rs 90
V f 1
Figur a N° 25
s Fmax
s 4 N fase
p
Te ( p 2)
( p 2)
( p 2)
K ds
K ps
u0 D l 2 u0
2
g
s Fmax
D l
D l 2 p
I sf
r Fmax
y
4 Na
p
s Bmax 4 Na
u0
p
4 Na
K dev
p
I a p
I a K dev p
I a K dev
;
p
N a s Bmax
Kdev I a p
;
N a N b bob
K dev
2
K p
2 s ( p 2) medio Na K p I a
2 s Ia Te ( p 2) N a K p medio
T e
0 promedio
N - m.
N a : Número total de vueltas en la armadura.
s ; depende del medio por polo y de la corriente que ingresa a las escobillas;
r mas no del valor de la velocidad wm .
r Por lo tanto desarrollan torque en el arranque wm 0 .
Ing. Roberto Ramirez A.
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28
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
Conexiones posibles para los motores de conmutador de C. Continua. I a
r wm , T e
I a s
s
I f
I f
V w r m
V
T e
SERIE
SHUNT
I a wr , T e m s I f
V a
V a
V f INDEPENDIENTE
IMAN PERMANENTE
Figur a N° 26
2. A L AS M M ÁQUIN AS ASÍNCRON A S. APL IC ACIÓN A L s F(
s ,t )
s cos ( p 2) s w t ; Fmax
s F (
s ,t )
?
wcs
w
p 2
r wm
r 0 , entonces en cada fase del rotor se tendrá E ar mov , E br mov , E cr mov E mr . Si wm
La relación entre E mr y E 0r es: Emr s E 0r ; la frecuencia angular de estas fems es sw.
Si los devanados rotóricos tienen una impedancia en movimiento Z mr (s ) entonces se tendrán corrientes iar , ibr e icr de frecuencia angular s w y de valor eficaz I mr por fase.
Ing. Roberto Ramirez A.
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29
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
Entonces estas corrientes crearán una f .m.m. rotórica: r F(
s ,t )
r cos ( p 2) r s w t rs Fmax
r
F(
s ,t )
r t ; r s wm
r r Fmax cos ( p 2) s ( p 2) wm .t s w t rs
r s w p 2 wmr w p 2 wmr w p 2 s wcr wm
Como ambas distribuciones de f .m.m. giran a w p 2 respecto de un observador en el r estator, independiente de la velocidad wm del rotor; sobre el rotor se desarrolla el torque
r que garantiza el movimiento wm w p 2 .
Las máquinas asíncronas polifásicas, operadas como motor, desarrollan torque en el r arranque, es decir en el instante que wm es cero.
2 Te ( p 2)
2
r m Fmax sen ; m : Es el flujo mutuo por polo.
Analizamos ahora m : Vs
E s Suponiendo que cada fase del estator tiene resistencia y flujo de dispersión despreciable Vs
s E s 4.44 f ( N fase K ds K ps ) m
Vs
K m
(Si V s cte, luego m
cte)
r ? F max
r Fmax
r 4 N fase
p
Ing. Roberto Ramirez A.
3
K dr K rp 2 I mr 3K r I mr
2
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30
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
I
UNI-FIEE-2018
r m
V
r S E
s
E
s
r
m
Figur a N° 27
I m r
sE
s E
r
r
Z m ( s)
Te ( p 2)2
2
Te 3( p 2) 2
r j s X r
r
I r m
2
r
2
K 1 V S 3K r I mr sen ; 90 r
K r
2 K
s E
V
2
r s X r
y E r
2
r sX r
r
s
r r
r
r s X r
r
cos r
s E
r
2
r
2
cos r
r N fase K dr K pr
N fase K d K p s
s
s
s
V s
V a
r K r s (V s a) r s V Te 3( p 2) 2 2 K 2 r r s X r 2
s 2 ( V ) Te 3Ke 2 2 s r r / s X r Te 3K e
r
r
r
r
s
N m.
s
Ing. Roberto Ramirez A.
(V )2
r
r
2
/ s X r
2
UNI-FIEE 2018
31
APUNTES DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
UNI-FIEE-2018
Zona Estable
T e T e
T MAX T ARR
MOTOR 0
1
w
0
p 2
s r wm
Figur a N° 28
3. A L AS M M ÁQUIN AS S SÍNCRON AS. APL IC ACIÓN A L r F(
r )
r cos(( p 2) r ) es una distribución estática respecto del rotor Fmax
r s r r t . Si wm fuera mayor que cero entonces r s wm
r r r F( s ,t ) Fmax cos ( p / 2)( s wm t )
s F(
s ,t )
s cos ( p / 2) s w t rs Fmax
;
s wcr wmr
;
s s w p 2 wc
r La condición para que exista interacción es wcs wcr , es decir solo para wm w p 2
existirá torque electromagnético. Te p 2
u0 D l 2
g
r sen Fmax Fmax
F max V s r F rmax I DC
Ing. Roberto Ramirez A.
UNI-FIEE 2018
32