Teoría de Juegos y Estrategias
5.
8
Toma de Decisiones Decision es bajo conflicto:
Teoría de Juegos y Estrategias
OBJETIVOS -
Introducir Introducir los princip principales ales conceptos conceptos y resultados resultados matemático matemáticoss de la Teor Teoría ía de Juegos. Juegos. Analizar Analizar situacione situacioness de conflicto conflicto y estudi estudiar ar los los diferentes diferentes tipos de modelos. modelos. Conocer Conocer los los resulta resultados dos básicos básicos relativo relativoss a cada uno de estos estos tipos de modelos modelos..
El alumno alumno deb debee ser capaz capaz de con constr struir uir un modelo modelo matemá matemátic ticoo adecua adecuado do para para pod poder er analiza analizarr y resolv resolver er situaciones de conflicto en las ue intervienen dos o más decisores ue tienen diferentes intereses y cuyos resultados dependen! en general! de las acciones adoptadas por todos ellos. "#$A%I& Juego.- Juegos de suma cero de dos personas.- 'unto de silla de montar.- (ominancia.- )alor del *uego.Estrategia pura.- Estrategia mi+ta.- Criterio ma+imin. ,a teoría de *uegos es una teoría matemática ue estudia de manera formal y abstracta las características generales generales de las situaciones situaciones competitiv competitivas as ue pueden ser *uegos de mesa! mesa! campaas campaas militares! militares! políticas publicitarias! comercializaci/n del mismo producto por dos 0o más1 empresas! competencias por la misma cantidad de recursos2 y en general! situaciones de conflicto entre dos 0o más1 adversarios. En 3sta teoría se identifica y 4ace 3nfasis en el proceso de toma de decisiones de los adversarios enfrentados! suponiendo ue se llega a determinado resultado por la combinaci/n de estrategias seleccionadas por cada opositor! ue act5a aplicando su estrategia racionalmente! con una cierta l/gica! y ue solo act5a buscando su beneficio! sin consideraci/n a su oponente.
Los criterios para la toma de decisiones ba*o incertidumbre se 4an desarrollado ba*o la 4ip/tesis de ue la 6naturaleza7 es el oponente! en este aspecto la naturaleza no es mal3vola. Este capítulo trata de las decisiones con incertidumbre comprendiendo dos o más oponentes inteligentes donde cada componente aspira a optimizar su propia decisi/n! pero a costa de los otros. E*emplos típicos incluyen desarrollar campaas publicitarias para productos competitivos y planear planear tácticas destinadas a los bandos contendientes. contendientes.
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
<
1.- JUEGO DE DOS DOS PERSONAS CON SUMA CERO En la teoría de *uegos! un oponente se designa como jugador. Cada *ugador tiene un n5mero de elecciones finito o infini infinito! to! llamadas llamadas esraeg!as. ,o ,os resu"ados o #ago #agoss de un *uego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada *ugador. #n *uego con dos *ugadores! donde la ganancia de un *ugador es igual a la perdida del otro! se conoce como un juego de dos #erso$as % su&a 'ero. En tal *uego es suficiente e+presar los resultados en t3rminos de pago a un *ugador. En general se emplea una matriz para resumir los pagos al *ugador cuyas estrategias están están dadas por los renglones de la matriz. matriz.
Eje"o 1. 'ara ilustrar ilustrar las definiciones definiciones de un *uego de
dos persona y suma cero considere
un *uego de 6igualar7 monedas! en el cual cada uno de dos *ugadores A y 9 elige Cara 0C1 o "ello 0"1. "i son iguales los dos resultados 0esto es! C y C o " y "1! el *ugador A gana :8.;; al *ugador 9. (e otra manera! A pierde :8.;; ue paga a 9. En este *uego cada *ugador tiene dos estrategias C o ". Esto proporciona la siguiente matriz de *uegos <=< e+presadas en t3rminos del pago al *ugador A. Jugador 9
C Jugador A
C 8
" − 8
"
− 8 8
,a soluci/n 6/ptima7 a tal *uego puede necesitar ue cada *ugador emplee una esraeg!a #ura 0por e*emplo C o "1 o una mezcla de estrategias estrategias puras. El 5ltimo caso se conoce como la selecci/n de esraeg!a &!(a.
So"u'!)$ O#!&a de Juego de Dos Perso$as % Su&a Cero* ,a selecci/n de un criterio para resolver un problema de decisi/n depende muc4o de la informaci/n disponible. ,os *uegos representan el 5ltimo caso de falta de informaci/n donde los oponentes inteligentes están traba*ando en un medio circundante conflictivo. El resultado es ue un criterio muy conservador generalmente esta propuesto para resolver *uegos de dos personas y suma suma cero! llamado el criterio &!$!&a(-&a(!&!$. ,a principal diferencia es ue la >naturaleza7 no esta considerada como un oponente activo! o 0mal3volo1 en tanto ue en la teoría de *uegos cada *ugador es inteligente y por tanto! activamente trata de derrotar a su oponente. 'ara adaptarse al 4ec4o de ue cada oponente esta traba*ando en contra de los intereses del otro! el criterio minima+ elige la estrategia 0mi+ta o pura1 de cada *ugador ue proporciona el mejor de de los peores resultados posibles. "e dice ue se alcanza una soluci/n /ptima si ning5n *ugador encuentra beneficioso alterar su estrategia. En este caso se dice ue el *uego es esa+"e o se encuentra en estado de euilibrio. ?a ue la matriz del *uego generalmente se e+presa en t3rminos del pago al *ugador A 0cuyas estrategias están representadas por los renglones1! el criterio 0conservador1 reuiere ue A seleccione la estrategia 0mi+ta o pura1 ue ma+imice su ganancia mínima2 el mínimo se toma sobre todas las estrategias del *ugador 9. 'or el mismo razonamiento! el *ugador 9 elige su estrategia ue minimice sus má+imas p3rdidas. (e nuevo el má+imo se toma sobre todas las estrategias de A. El siguiente e*emplo ilustra los cálculos de los valores minima+ y ma+imin de un *uego
Eje"o ,. Considere la matriz de pagos siguiente ue representa la ganancia del *ugador A. ,os cálculos de los valores minima+ y ma+imin se muestran en la matriz
8
Jugador 9 < @
Ing. Efraín $urillo
$ínimo de rengl/n
Teoría de Juegos y Estrategias 8 C
<
F
D
B
@
−
F
Jugador A < E @ B
$á+imo de columna
@
D
<
8;
-
8C
ma+imin
−A
8
minima+
Cuando el *ugador A *uega su primera estrategia! puede ganar !
,.- JUEGO ENTRE DOS PERSONAS* ESTRATEGIAS MI2TAS ,a secci/n anterior muestra ue la e+istencia de un punto de silla proporciona inmediatamente las estrategias puras /ptimas para el *uego. "in embargo! algunos *uegos no tienen punto de silla. 'or e*emplo! considere el siguiente *uego de suma cero
1
8 D Jugador A
< E @ C @
Máximo de columna
8
Jugador B 2 3 4
− 8;
F
B
C
B
8D
−8
7
15
Mínimo de renglón
; 8 <
4 minimax
Ing. Efraín $urillo
− 8; 8
ma+imin ,
−8
Teoría de Juegos y Estrategias
El valor mimima+ 0 1 es mayor ue el valor ma+imin 0 <1. 'or consiguiente! el *uego no tiene un punto de silla y las estrategias puras ma+imin- minima+ no son /ptimas. Esto es cierto ya ue cada *ugador puede me*orar su pago eligiendo una estrategia diferente. En este caso! se dice ue el *uego es !$esa+"e. El fracaso de las estrategias minima+- ma+imin 0puras1! en general! para dar una soluci/n /ptima al *uego 4a llevado a la idea de usar esraeg!as &!(as . Cada *ugador en lugar de seleccionar una estrategia pura solamente! puede *ugar todas sus estrategias de acuerdo con un con*unto predeterminado de probabilidades. "ean + 8! +
n
∑ + = ∑ y =8 i
*
i =8
* =8
+i! y * ≥ ;! para toda i y * 'or consiguiente! si a i* representa el 0i! *1-3simo elemento de la matriz del *uego! + i y yi aparecerán como en la matriz siguiente B y1 +8 +< .
A
+m
a88 a <8 . am8
y2
…
yn
a 8<
...
a <<
...
.
.
-
-
am <
...
a 8n
a
- amn .
,a soluci/n del problema de estrategias mi+tas está basada tambi3n en el criterio minima+. ,a 5nica diferencia es ue A elige + i la cual ma+imiza el pago esperado más peueo en una columna! en tanto ue 9 selecciona y * la cual minimiza el mayor pago esperado en un rengl/n. $atemáticamente el criterio minima+ para una estrategia mi+ta está dado como sigue. El *ugador A elige + i 0+i≥;!
∑
m
i =8
m m m má+min ∑ ai8+i! ∑ ai<+i! ...! ∑ ain+i + i =8 i =8 i =8 i
∑
y el *ugador 9 selecciona y * 0 y * ≥ ;!
n
* =8
y *
= 8 1 lo cual proporcionará
+i
= 8 1 lo cual proporcionará
n n n min má+ a8 *y *! ∑ a<*y *! ...! ∑ am*y * ∑ y = * =8 * =8 * 8 *
Estos valores se denominan pagos ma+imin y minima+ esperados! respectivamente Como en el caso de estrategias puras! se verifica la relaci/n
#ago es#erado &!$!&a(
#ago es#erado &a(!&!$
Cuando +i y y * corresponden a la soluci/n /ptima! se cumple la igualdad y los valores resultantes llegan a ser iguales al valor esperado 0/ptimo1 del *uego. "i +iK y y*K son dos soluciones /ptimas para ambos *ugadores cada elemento de pago a i* estará asociado a la probabilidad 0+iKy *K1. 'or consiguiente! el valor esperado /ptimo del *uego es m
vK
n
∑∑ ai* + i =8 * =8
K i
K
y
*
Eje"o. LCuál es la ganancia esperada para A en el *uego de matriz @+ Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
A=
D
; < − 8 @ @ − < − 8 < − @ 8 @
8 N 8 N C a1 "i A adopta la estrategia mi+ta M8N@ 8N< 8NO y 9 adopta la estrategia mi+ta 8 N C 8 N < b1 "i A y 9 aplican estrategias puras escogiendo el segundo rengl/n y la tercera columna respectivamenteP.
So"u'!)$* 'ara dar soluci/n al problema aplicaremos la relaci/n vpA (onde ) es el valor del *uego. p es el vector de probabilidades ue define la estrategia del *ugador 8. es el vector de probabilidades ue define la estrategia del *ugador <. A es la matriz de resultados del *uego Entonces tenemos ; < − 8 @ a1 vpA M8N@ 8N< 8NO @ − < − 8 < @ − @ 8
8 N 8 N C 8 N C 8 N <
@N M8N@ 8N< 8NO 88 N C BN 3456 − @ N C ,o cual significa ue el *ugador 8 gana al final del *uego ;.BD! y el *ugador < pierde ;.BD.
; ; b1 Auí pM; 8 ;O y . Entonces 8 ; ; ; < − 8 @ @ ; v M; 8 ;O @ − < − 8 < . M; 8 ;O − 8 -8 8 8 @ − @ @ ; Está claro ue 3sta es la componente
7.- JUEGOS DE MATRI8 9 PROGRAMACION LINEAL ,a teoría de *uegos tiene relaci/n estrec4a con la programaci/n lineal! ya ue todo *uego finito de dos personas y suma cero puede e+presarse como un problema lineal y! recíprocamente! todo problema lineal puede representarse como un *uego. Auí se pondrá 3nfasis al uso de la teoría dual de programaci/n lineal.
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
Eje"o 1. Considere el siguiente *uego de matriz de @+2 encuentre las estrategias /ptimas! así como el valor del *uego. 9 b8
b<
b
−8 @ − < −8
a8 <
A
b@
= a< @ a@ 8
@
< − @ ;
So"u'!)$* "ea (! la probabilidad ue tiene A de escoger la acci/n i y % j la probabilidad ue tiene 9 de escoger la acci/n *
Deer&!$a'!)$ de" Mode"o Mae&:!'o #ara e" jugador A* "i el *ugador 9 escoge la acci/n b *! el ingreso esperado 0I i1 para el *ugador A será I8 <+8 Q @+< Q I< -8+8 - <+< Q I@ @+8 - 8+< Q I ;+8 Q <+< -
8+@ ! si 9 escoge b 8 +@ ! si 9 escoge b < @+@ ! si 9 escoge b @ @+@ ! si 9 escoge b
Aplicando el criterio ma+imin! donde el *ugador A espera el peor resultado
$inGI8! I
I8 <+8 Q @+< Q 8+@ ≥ v I< -8+8 - <+< Q +@ ≥ v I@ @+8 - 8+< Q @+@ ≥ v I ;+8 Q <+< -@+@ ≥ v
'or otro lado
+8 Q +
'or lo tanto el &ode"o &ae&:!'o para el *ugador A será Runci/n &b*etivo $á+ v "u*eto a
<+8 Q @+< Q 8+@ ≥ v -8+8 - <+< Q +@ ≥ v @+8 - 8+< Q @+@ ≥ v ;+8 Q <+< -@+@ ≥ v +8 Q +
Deer&!$a'!)$ de" Mode"o Mae&:!'o #ara e" jugador B* "i el *ugador A escoge la acci/n a i! la p3rdida esperada 0' *1 para el *ugador 9 será '8
$á+G'8! '
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
B
pero como el *ugador 9 debe minimizar su p3rdida má+ima! se tiene $in S además! cualuier ' *
≤ S
Entonces '8
y8 Q y
'or lo tanto el &ode"o &ae&:!'o para el *ugador 9 será Runci/n &b*etivo $in S "u*eto a
En este caso v y S representan el valor del *uego para el *ugador A y 9 respectivamente! siendo ;< ya ue el modelo matemático del *ugador 9 es el Dua" del modelo matemático del *ugador A. Aplicando el "oftSare ,I(& para resolver los modelos matemáticos tenemos
Sa"!da de" LINDO #ara e" &ode"o de" jugador A* $á+ v "t <+8 Q @+< Q 8+@ -v ≥ ; -8+8 - <+< Q +@ -v ≥ ; @+8 - 8+< Q @+@ -v ≥ ; ;+8 Q <+< -@+@ -v ≥ ; +8 Q +
&9JECTI)E R#CTI& )A,#E 81 ;.888< )A%IA9,E )A,#E %E(#CE( C&"T ) ;.888 ;.;;;;;; =8 ;.;;;;;; ;.@@ =< ;.@@ ;.;;;;;; =@ ;.@@@ ;.;;;;;; %&U ",ACV &% "#%',#" (#A, '%ICE" <1 <.;F;F;F ;.;;;;;; @1 ;.;;;;;; -;.DDD 1 ;.
En esta soluci/n se tiene lo siguiente "oluci/n del modelo para el *ugador A El valor del *uego! v ;!888< y
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
la estrategia /ptima 0p o1 +8 ;.;;;;;; +< ;.@@ +@ ;.@@@ "oluci/n del modelo para el *ugador 9 0soluci/n del (ual1 El valor del *uego! S ;!888< y la estrategia /ptima 0 o1 y8 ;.;;;;; y< ;.DDD y@ ;.;;;;;; y ;.DDDD 'or lo tanto las estrategias /ptimas serían 'ara A po M ;.;;;;;; ;.@@ ;.@@@ O 'ara 9 o M ;.;;;;;; ;.DDD ;.;;;;;; ;.DDDD O ,o ue implica ue si ambos *ugadores uieren optimizar sus resultados deberán realizar lo siguiente El *ugador A nunca deberá aplicar la estrategia 8! la estrategia < deberá aplicarla el @.@W de las veces y la estrategia @ el @.@@W. Al final del *uego ganará ;.888
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
F
APLICACIONES APLICACI=N 1.- En el 4orario de a F p.m.! 'anamericana 0'ATE,1 y Am3rica televisi/n compiten por la audiencia de 8; millones de espectadores. ,as cadenas televisivas deben anunciar en forma simultánea el espectáculo ue emitirán en ese 4orario. ,as elecciones posibles de cada cadena y el n5mero de televidentes de 'anamericana! en millones! aparecen en la tabla A! para cada elecci/n. 'or e*emplo! si ambas cadenas escogen una película de acci/n! la matriz indica ue @.D millones escogerán 'anamericana y 8; X @.D .D millones verán Am3rica. Así tenemos un *uego de dos personas con *uego constante! con c 8; 0millones1. LTiene este *uego un punto de sillaP. LCuál es el valor del *uego para cada cadenaP. Tabla A
"&,#CIY Aplicando los criterios ma+imin y minimá+ para 'antel y Am3rica T) respectivamente! se tiene ue este *uego tiene un punto de silla en el punto 0
8 'ara Am3rica T) será Zo ; ; Entonces aplicamos la relaci/n )'oKAKZo! donde A es la matriz del *uego. ) [ ; 8
) [ A.D
@.D ;] A.D @.
D.
8.D
E 8
D.
D ;
8.A
B ;
8 D] ; ;
) .D Esto uiere decir ue 'antel en el 4orario de a Fam deberá siempre ofrecer Telenovela! mientras ue 'anamericana deberá ofrecer siempre 'elícula de acci/n! el resultado será ue 'antel se ueda con .D millones de televidente 0valor del *uego )1! mientras ue 'anamericana se uedará con el resto 08; - .D1 D.D millones de televidentes.
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
8;
APLICACI=N ,.- (etermínese las estrategias /ptimas y el valor del *uego para A y 9 en el *uego de matriz de @+@! cuya matriz de pagos es
"&,#CIY Aplicando los criterios ma+imin y minimá+ para el *ugador A y 9 respectivamente! se tiene ue este *uego no tiene punto de silla! por lo ue no es posible aplicar estrategias puras! 4ay ue aplicar estrategias mi+tas. A continuaci/n se plantean los modelos matemáticos respectivos para ue cada *ugador determine sus estrategias /ptimas. $odelo matemático para el *ugador A Runci/n &b*etivo $á+ ) "u*eto a
<=8 X <=< Q 8=@ [ ) 8=8 Q <=< Q ;=@ [ ) 8=8 Q @=< Q <=@ [ ) =8 Q =< Q =@ 8 =i [;! ∀i 8!
$odelo matemático para el *ugador 9 Runci/n &b*etivo $in U "u*eto a
8 Q 8?< Q 8?@ \ U -8 Q < Q @?@ \ U 8?8 Q ;?< Q @ \ U ?8 Q ?< Q ?@ 8 ?* [;! ∀ * 8!
Aplicando el softSare ,indo para obtener la soluci/n del modelo matemático del Jugador A! se tiene ,' &'TI$#$ R( AT "TE'
&9JECTI)E R#CTI& )A,#E 81
8.<;;;;;
)A%IA9,E )A,#E
) =8 =< =@ %&U
<1 @1 1 D1
%E(#CE( C&"T
8.<;;;;; ;.;;;;; ;.<;;;;; ;.;;;;;;
;.;;;;;; ;.;;;;;; ;.;;;;;; 8.;;;;;;
",ACV &% "#%',#"
;.;;;;;; ;.;;;;;; ;.<;;;;; ;.;;;;;;
&. ITE%ATI&"
Ing. Efraín $urillo
(#A, '%ICE"
-;.<;;;;; -;.;;;;; ;.;;;;;; 8.<;;;;;
Teoría de Juegos y Estrategias
88
Aplicando el softSare UIZ"9 se tiene los siguientes resultados Ingreso de datos
Tabla de resultados
Ambas 4erramientas de softSare dan los mismos resultados y estos son )alor del *uego ) 8.< Estrategias /ptimas 'o [ ;.C
;.<
;]
; .< Zo ;. ; Interpretaci/n El Jugador A ganará 8.
APLICACI=N 7.- 'epsi Cola y Coca Cola! son dos firmas ue dominan un mercado en particular y! de 4ec4o! forman un duopolio. A trav3s de los aos 4an aprendido a restringir la competencia en los precios y a competir s/lo a trav3s de la publicidad. 'epsi Cola determin/ ue si disminuye su tiempo diario de publicidad en T)! perderá el W del mercado si Coca Cola mantiene el suyo! y el 8;W del mercado si Coca Cola aumenta su tiempo de publicidad. "i 'epsi Cola conserva su tiempo diario de publicidad en T)! gana el @W si Coca Cola lo disminuye2 y pierde el DW si Coca Cola lo aumenta. Rinalmente si 'epsi Cola aumenta su tiempo de publicidad en T)! gana el W si Coca Cola disminuye el suyo! y pierde el 8W si Coca Cola conserva el suyo.
a (etermine las estrategias /ptimas para 'epsi Cola y Coca Cola. + Encu3ntrese el porcenta*e de mercado ue cada empresa gana o pierde al aplicar su me*or estrategia.
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
8<
"&,#CIY ,as alternativas en estrategias para las empresas de bebidas son 8. (isminuir el tiempo diario de publicidad en T) <. $antener el tiempo diario de publicidad en T) @. Incrementar el tiempo diario de publicidad en T) ,a matriz del *uego es la siguiente
Aplicando los criterios ma+imin y minimá+ para 'epsi Cola y Coca Cola respectivamente! se tiene ue este *uego no tiene punto de silla por lo ue no es posible aplicar estrategias puras! 4ay ue aplicar estrategias mi+tas. A continuaci/n de plantean los modelos matemáticos respectivos para ue cada *ugador determine sus estrategias /ptimas. $odelo $atemático para 'epsi Cola Runci/n &b*etivo $á+ ) "u*eto a
;=8 Q @=< Q =@ [ ) -=8 Q ;=< - 8=@ [ ) -8;=8 - D=< Q ;=@ [ ) =8 Q =< Q =@ 8 =i [;! ∀i 8!
$odelo $atemático para Coca Cola Runci/n &b*etivo $in U "u*eto a ;?8 - ?< - 8;?@ \ U @?8 Q ;?< - D?@ \ U ?8 - 8?< Q ;?@ \ U ?8 Q ?< Q ?@ 8 ?* [;! ∀ * 8!
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
(a como resultado ue no tiene soluci/n! esto es por las características del modelo. #tilizando el UIZ"9 tenemos el siguiente reporte
'or lo tanto el valor del *uego es ) ; y las estrategias /ptimas para cada empresa competidora es Estrategia /ptima para 'epsi Cola '& [ ;
;.8B
;.C@]
Estrategia /ptima para Coca Cola
; Z& ;.@ ;.8B &bserve ue el valor del *uego es cero! esto debe siempre comprobarse aplicando la relaci/n )'oKAKZo
Ing. Efraín $urillo
8@
Teoría de Juegos y Estrategias
) [ ;
;.8B
8
; − − 8; ; ;.C@ -;.@@ ;.C@] @ ; D − C − 8 ; ; . 8B
Esto uiere decir ue el valor de *uego real es de -;.@@. Interpretaci/n (e acuerdo a los resultados! 'epsi Cola deberá aplicar las estrategias < y @ y nunca la 8. Esto uiere decir ue deberá mantener su tiempo de publicidad en T) con una frecuencia del 8BW2 deberá incrementar su tiempo de publicidad en T) con una frecuencia del @W2 nunca deberá aplicar la estrategia de disminuir su tiempo de publicidad en T). $ediante este mi+ de estrategias logrará ma+imizar el n5mero de televidentes. 'or su parte! Coca Cola! deberá aplicar las estrategias < y @ y nunca la 8. Esto uiere decir ue deberá mantener su tiempo de publicidad en T) con una frecuencia del @W2 deberá incrementar su tiempo de publicidad en T) con una frecuencia del 8BW2 nunca deberá aplicar la estrategia de disminuir su tiempo de publicidad en T). $ediante este mi+ de estrategias logrará minimizar la p3rdida de televidentes. El valor del *uego nos indica ue 'epsi Cola perderá el @.@W del mercado! mientras ue Coca Cola ganará el @.@W. ,a empresa ue apliue una estrategia diferente! empeorará su resultado.
APLICACI=N >.- #n día antes de las elecciones! dos candidatos a alcalde de Areuipa consideran a 'aucarpata y ]unter como los distritos más importantes y merecedoras de una 5ltima visita. 'aucarpata tiene ; ;;; votantes y ]unter tiene ; ;;; votantes. Zuedan dos días de campaa y cada uno de los dos candidatos pueden gastar ;! 8 / < días en cada distrito. ,os analistas de política estiman ue si los candidatos dedican el mismo n5mero de días a un distrito! cada uno obtendrá la mitad de los votos de ese. 'ero si un candidato le dedica 8 / < días más a un distrito ue su oponente! obtendrá el D@W / el DBW de los votos de ese distrito! respectivamente. (etermine las estrategias /ptimas de cada candidato. "&,#CIY Total de votantes ;;;; Q ;;;; 8;;;;; (e acuerdo a los datos del problema! la matriz de *uego e+presada en porcenta*es de votantes ue gana el Candidato 8 en el distrito de 'aucarpata! dependiendo si le dedica ;! 8 / < días más ue el otro candidato! será la siguiente
A4ora calcularemos para cada celda de la matriz de *uegos el total de votos ue gana el candidato 8 en ambos distritos. Celda 8!8 El candidato 8 le dedica ; días a 'aucarpata! por lo tanto tendrá < días para dedicarlos a ]unter. El candidato < le dedica tambi3n ; días a 'aucarpata! por lo tanto tambi3n tendrá < días para dedicarlos a ]unter. En consecuencia ambos candidatos le dedican el mismo n5mero de días a ambos distritos y el total de votantes ganados por el candidato 8 será de D;;;;! tal como se muestra en el cuadro siguiente
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
8D
Celda 8!< El candidato 8 le dedica ; días a 'aucarpata! por lo tanto tendrá < días para dedicarlos a ]unter. El candidato < le dedica tambi3n 8 día a 'aucarpata! por lo tanto le uedará 8 día para dedicarlo a ]unter. En consecuencia el candidato 8 le dedica 8 día menos ue el candidato < a 'aucarpata y 8 día más ue el candidato < a ]unter! entonces! el total de votantes ganados por el candidato 8 será de F;;! tal como se muestra en el cuadro siguiente
? así sucesivamente completamos la matriz del *uego e+presada en total de votantes ue gana el candidato 8! la cual es la siguiente
Aplicando los criterios $a+imin y $ínima+ para los *ugadores 8 y < respectivamente! tenemos ue el valor del *uego es D;;;; y las estrategias /ptimas para cada *ugador es ue cada uno deberá visitar < días a 'aucarpata y ; días a ]unter. "i cada *ugador aplica sus estrategias /ptimas se uedará cada uno con D;;;; votantes.
APLICACI=N .- #n
total de F; ;;; clientes van a los supermercados 6A7 y 697. 'ara animar a los clientes a entrar! cada almac3n regala un artículo. Cada semana! el artículo de regalo se anuncia en el peri/dico del lunes. aturalmente! ninguno de los almacenes conoce ue articulo va a regalar el otro en esta semana. 6A7 esta pensando dar una ca*a de bebidas o medio gal/n de lec4e. 697 esta pensando regalar una libra de manteuilla o medio gal/n de *ugo de naran*a. 'ara cada elecci/n de artículos! el n5mero de clientes ue entran al almac3n 6A7 durante esta semana aparece en la tabla 8. Cada almac3n desea elevar al má+imo su n5mero esperado de clientes durante esta semana. $ediante la teoría de *uegos determine una estrategia /ptima para cada supermercado y el valor del *uego. Interprete el valor del *uego.
Tabla 8
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
8
"&,#CIY Aplicando los criterios ma+imin y minimá+ para los supermercados A y 9 respectivamente! se tiene ue este *uego no tiene punto de silla! por lo ue no es posible aplicar estrategias puras! 4ay ue aplicar estrategias mi+tas. A continuaci/n de plantean los modelos matemáticos respectivos para ue cada *ugador determine sus estrategias /ptimas. $odelo $atemático el "upermercado A Runci/n &b*etivo $á+ ) "u*eto a
;;;;=8 Q ;;;;=< [ ) D;;;;=8 Q @;;;;=< [ ) =8 Q =< 8 =i [;! ∀i 8! <
$odelo $atemático el "upermercado 9 (eterminar el modelo matemático para 9 Runci/n &b*etivo $in U "u*eto a
;;;;?8 Q D;;;;?< \ U ;;;;?8 Q @;;;;?< \ U ?8 Q ?< 8 ?* [;! ∀ * 8! <
Aplicando el softSare ,indo para resolver el modelo matemático del "upermercado A! se tiene la siguiente salida ,' &'TI$#$ R( AT "TE'
<
&9JECTI)E R#CTI& )A,# 81
D;;;.;;
)A%IA9,E
)A,#E
%E(#CE( C&"T
) =8 =<
D;;;.;;;;;; ;.BD;;;; ;.
;.;;;;;; ;.;;;;;; ;.;;;;;;
%&U
<1 @1 1
",ACV &% "#%',#"
;.;;;;;; ;.;;;;;; ;.;;;;;;
&. ITE%ATI&"
(#A, '%ICE"
-;.D;;;;; -;.D;;;;; D;;;.;;;;;;
<
Aplicando el softSare UIZ"9! se tiene el siguiente reporte
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
8B
'or lo tanto se tiene ue el valor del *uego es ) D;;; y las estrategias /ptimas son 'ara el "upermercado A '& [ ; .BD
;.
'ara el "upermercado 9 Z&
;.D ;.D
ITE%'%ETACIY Este supermercado deberá aplicar el siguiente mi+ de estrategias la estrategia de 6regalar una ca*a de bebidas7 deberá ser aplicada el BDW de las veces y la estrategia de 6regalar medio gal/n de lec4e7 deberá ser aplicada el
APLICACI=N ?.- (os cadenas de supermercados se proponen construir! cada una! una tienda en una regi/n rural en donde se encuentran cuatro pueblos. ,as distancias entre los pueblos se muestra en la siguiente figura A
5 "m
7 "m
3 "m B
!
Apro+imadamente 8DW de la poblaci/n vive cerca del pueblo A! @;W cerca del pueblo 9! <;W cerca del pueblo C y @DW cerca del pueblo (! cada pueblo es lo suficientemente grande como para ue ambas cadenas consideren ubicarse en 3l. (ebido a ue la cadena I es más grande y tiene más prestigio ue la cadena II! la cadena I controlará la mayoría de los negocios! siempre ue sus ubicaciones sean comparativas. Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la regi/n y ambas 4an terminado estudios de mercado ue dan proyecciones id3nticas. "i ambas cadenas se sit5an en el mismo pueblo o euidistantes de un pueblo! la cadena I controlará el DW de los negocios en ese pueblo. "i la cadena I está más cercana a un pueblo ue la cadena II! la cadena I controlará F;W de los negocios en ese pueblo. "i la cadena I está más ale*ada de un pueblo ue la cadena II! atraerá a ;W de los negocios de ese pueblo. El resto de las operaciones! ba*o cualuier circunstancia! irán a la cadena II. Cada firma planea construir s/lo un supermercado en la regi/n. LZu3 pueblo debe seleccionar cada uno y cuáles serán los porcenta*es del mercadoP. "&,#CIY ,as Cadenas I y II tienen las alternativas de ubicarse en los pueblos A! 9! C y (! entonces estableceremos el porcenta*e del mercado ue gana la Cadena I! para cada par de decisiones.
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
8
'or e*emplo si ambas Cadenas eligen el pueblo A! entonces todos los clientes se encontrarán euidistantes de ambas Cadenas! por lo tanto la Cadena I ganará el DW del mercado. "i la Cadena I elige el pueblo A y la Cadena II elige el pueblo 9! tal como se muestra en la figura siguiente
Entonces se tiene ue la Cadena I gana en total el B.DW de los clientes! tal como se muestra en el siguiente cuadro
(e esta manera se tendrá ue calcular el total de clientes para el resto de alternativas de decisi/n de las Cadenas! llegando a obtener la siguiente matriz
Aplicando los criterios ma+imin y minimá+ para las Cadenas I y II respectivamente! se tiene ue este *uego tiene punto de silla. El valor del *uego es DW y las estrategias para ambas Cadenas ser^an las siguientes Estrategia /ptima para la Cadena I '& [ ;
;
8
;]
Estrategia /ptima para la Cadena II
; ; Z& 8 ; ,o cual indica ue ambas Cadenas deberá elegir el pueblo C! con lo cual la Cadena I se uedará con el DW del mercado! mientras ue la Cadena II se uedará con el resto 08;;-D1 @DW del mercado.
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
8F
CASO ESTUDIO NRO 1* El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derec4o de cada fila y el má+imo de las columnas al pie de cada columna! luego se determina el má+imo de los mínimos y el mínimo de los má+imos. "i el má+imo de los mínimos es igual al mínimo de los má+imos entonces se 4a encontrado el punto de silla ue se convertirá automáticamente en el valor del *uego
MA2MIN ; MINMA2 PUNTO DE SILLA ; VALOR DE JUEGO NOTA* C#A(& # '%&9,E$A & TIEE '#T& (E "I,,A! "E #TI,I_A E, $ET&(& "I$',E= 'A%A (ETE%$IA% E, )A,&% (E J#E`&.
EL PROBLEMA:
(os bancos del sistema compiten por atraer el mayor n5mero de cuenta 4abientes en un poblado del sur del país 9anco >El me*or del "ur > el primero! y 9anco >El más confiable > el segundo2 para el logro de su ob*etivo cada uno aplica las estrategias siguientes 8. "orteo de electrodom3sticos <. Tasa de inter3s más alta @. "orteo de dinero en efectivo "i el segundo banco ofrece sorteo de electrodom3sticos atrae <;; cuenta 4abientes más ue el primero! cuando este ofrece lo mismo! 8;;; más cuando el primero ofrece tasa de inter3s mas alta y ;; menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. "i el segundo banco ofrece una tasa de inter3s más alta atrae 8@;; más cuando el primero ofrece sorteo de electrodom3sticos! B;; más cuando el primero ofrece lo mismo y F;; menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. "i el segundo banco ofrece sorteo de dinero en efectivo atrae <;;; menos cuando el primero ofrece sorteo de electrodom3sticos! 8D;; más cuando el primero ofrece tasa de inter3s más alta y D; menos cuando el primero ofrece lo mismo. 8. <. @. . D.
LZue banco es el ganador del *uegoP LZu3 estrategia debe aplicar cada bancoP LEn un ao cuantos meses debe aplicar cada estrategiaP LCuántos cuenta 4abientes atrae más el banco ganadorP "i el primer banco ofrece sorteo de dinero en efectivo y el segundo sorteo de electrodom3sticos! el segundo atrae ;; cuenta 4abientes más ue el primero. LCuales serán las nuevas respuestasP % 9C&. >El me*or del "ur> C 9C&. >El más confiable>
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
<;
Esraeg!as* =8 ?8 X sorteo de electrodom3sticos =< ?< X tasa de inter3s más alta =@ ?@ X sorteo de dinero en efectivo
SOLUCION* CONSTRUIR MATRI8 DE JUEGO
MA2MIN ; MINMA2 533 ; 533 PUNTO DE SILLA ;
⇒ VALOR DE JUEGO ; 533
RESPUESTAS* 8. Ravorece al 9co. >El me*or del "ur >. <. % #tiliza estrategias =@ sorteo de dinero en efectivo C #tiliza estrategias ?8 sorteo de electrodom3sticos @. % 8< meses C 8< meses . ;; Clientes D. % [ =@ C [ ?8
MA2MIN @ MINMA2 - 533 ; - ,33 PUNTO DE SILLA ; $o a% VALOR DE JUEGO ; s! a% /a% ue a#"!'ar SIMPLE2
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
<8
SIMPLE2 "ea
=8 la probabilidad de ue % apliue la alternativa 8 =< la probabilidad de ue % apliue la alternativa < =@ la probabilidad de ue % apliue la alternativa @ ) el valor del *uego
.O. MA2 V SUJETO A* /Resr!''!o$es 1. ,3321 F /-1333 2, F/-533 27 V ,. 173321 - 633 2, F 33 27 HV 7. ,333 21 - 133 2, F 53 27 >.
VH
21 F 2, F 27 ; 1
Resr!''!o$es ")g!'as* . 214 2,4 27 3
Sa"!da de" !$SB*
a1 )A,&% (E J#E`& po Ao - @D.B8
v
= [ ;.E8
;.;;
− <;; − 8@;; <;;; ;.BF − − ;.@F] − 8;;; B;; 8D;; ;.<8 = −@D.B8 − C;; F;; CD; ; . ;;
`AA E, 9AC& C 0El más confiable1 b1 LZ# E"T%ATE`IA" )A A',ICA% CN# (E ,&" C&$'ETI(&%E"P
E" Ba$'o R* 21 ;.8 sorteo electrodom3sticos 2, ; 27 ;.@F sorteo de dinero en efectivo E" Ba$'o C* 91 ;.BF sorteo de electrodom3sticos 9, ;.<8 tasa de inter3s más alta
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
<<
97 ; E, 9AC& R 'A%A $A=I$I_A% "#" $I$A" `AACIA" #TI,I_A% ,A" E"T%ATE`IA" "&%TE& (E E,ECT%&(&$"TIC&" ? "&%TE& (E (IE%& E ERECTI)&. E, 9AC& C 'A%A $II$I_A% "#" $=I$A" '%(I(A" #TI,I_A% ,A E"T%ATE`IA (E "&%TE& (E E,ECT%&(&$"TIC&" ? ,A (E TA"A (E ITE%" $" A,TA. c1 E # A& C#AT&" $E"E" A',ICA% CA(A E"T%ATE`IAP
Ba$'o R* 21 = 61% ⇒ 0.61∗12 = 7 meses 2, 0 27 39% ⇒ 0.39∗12 = 5 meses 8< meses 08 ao1 Βανχο C*
91 79% ⇒ 0.79∗12 = 9 meses 9, ; 21% ⇒ 0.21∗12 = 3 meses 97 0 d. C#AT&" C#ETA ]A9IETE" $" AT%AE E, 9AC& `AA(&%P @ C#ETA]A9IETE" $" 0Es el valor de )1
CASO DE ESTUDIO NRO , ,os establecimientos de comida italiana más importantes de la ciudad están compitiendo por atraer el mayor n5mero de comensales. 'izza ]ut y 'resto! utilizando las siguientes estrategias piensan en lograr su ob*etivo. 8. < pizzas por el precio de una! en cualuier variedad los días martes en delivery. <. 8 pizza familiar en cualuier variedad! 8 lasagna! 8 spag4etti! 8 porci/n de pan al a*o y 8 gaseosa de < litros por "N.@; todos los días. @. 9uffet de pastas y pizzas de 8<@; a 8;; ]rs. por "N.8D todos los días. El cuadro siguiente muestra los comensales ue optarían por 'resto y ue 'izza ]ut perdería en la realizaci/n de cada estrategia! teniendo como variable de tiempo meses
o 4ay punto de silla! por lo tanto 4ay ue aplicar 'rogramaci/n ,ineal para determinar la soluici/n del problema. (e acuerdo al reporte del softSare UinZsb! se tiene ue la ganadora del *uego en este caso es 'resto! atraerá 8< mil comensales más ue 'izza ]ut en el periodo de meses. 'resto deberá aplicar las siguientes estrategias para ma+imizar sus mínimas ganancias • 8 pizza familiar en cualuier variedad! 8 lasagna! 8 spag4etti! 8 porci/n de pan al a*o y 8 gaseosa de < litros por "N.@; todos los días.
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
<@
9uffet de pastas y pizzas de 8<@; a 8;; ]rs. por "N.8D todos los días. $ientras ue 'izza ]ut para minimizar sus má+imas p3rdidas deberá aplicar las siguientes estrategias • < pizzas por el precio de una! en cualuier variedad los días martes en delivery. • 9uffet de pastas y pizzas de 8<@; a 8;; ]rs. por "N.8D todos los días. •
En seis meses 'resto deberá de aplicar la segunda estrategia en un periodo de < meses y la tercera estrategia en un periodo de meses. En cambio 'izza ]ut deberá aplicar la primera estrategia en un periodo de < meses con <; días y deberá aplicar la tercera estrategia en un periodo de @ meses con 8; días.
APL!A!"#E$ P%"P&E$TA$ 31.- #n soldado puede escoger de entre cinco 08!
3,.- Considere el *uego ue tiene la siguiente matriz de pagos
. #tilice el m3todo gráfico de ', para determinar el valor del *uego y la estrategia /ptima para cada *ugador.
37.- (os empresas competidoras 4an de decidir si ubican una tienda nueva en un punto A! 9 o C. ]ay D< clientes posibles para las dos tiendas. <; viven en el pueblo A! <; en el pueblo 9 y 8< en el pueblo C 0v3ase la figura1. Cada cliente irá de compras a la tienda más cercana. "i un cliente está euidistante de ambas tiendas! suponga ue 4ay de probabilidad ue vaya de compras a cada una de ellas. Cada empresa desea ma+imizar el n5mero esperado de clientes ue 4agan sus compras en su tienda. (/nde debe ubicar cada empresa su almac3nP 0A9 9C 8; millas1
<;
<;
8<
A------------------9-----------------C
3>.- (ada la siguiente tabla y salida del ,indo! determine a1 el valor del *uego y la estrategia /ptima para cada *ugador y b1 "i el *ugador A aplica la estrategia M;!D ;!DO! entonces 9 aplicaría la estrategia M; 8O. LCuál sería el resultado para ambos *ugadoresP
E
D
@
"alida del ,indo
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias ) !D =8 ;.BD =< ;.
<
'recio (ual %estricci/n 8 -;.D %estricci/n < -;.D
.- (ado el *uego bipersonal de suma nula con matriz de pagos < E −< 8 − 8 ; − < − 8 ; @ 8 @ 8 −@ ;
a1
&btenga la estrategia /ptima para ambos *ugadores y el valor del *uego! interpretando los resultados obtenidos.
b1
LEs p M88N@;! ;! 8FN@;! ;O una estrategia /ptima para AP
c1
Construya el programa lineal ue permita resolver el *uego para el *ugador A y para el *ugador 9.
d1
Construya el programa lineal ue permita determinar la estrategia de A! así como el valor del *uego! si el *ugador 9 adopta la estrategia M;.! ;! ;.! ;O. Interprete el resultado obtenido.
e1
&btenga el resultado esperado del *uego si el *ugador A opta por la estrategia p M8N! ;! DN! ;O y el *ugador 9 adopta la estrategia M8N
?.- "ea un *uego de suma nula dado por la matriz de pagos 98 9< A8 A< A@
D < @ 8;
(etermine la soluci/n del *uego e interpr3tela. LZu3 ocurriría si A eligiese su estrategia pura A@ tratando de obtener el resultado de 8; y 9 utilizase la estrategia M8N
6.- (os empresas A y 9 ue comercializan dos marcas de un mismo producto! en un mercado en el ue la demanda es estable! se plantean la posibilidad de 4acer una campaa publicitaria en radio! televisi/n! prensa! etc. ,a empresa A tiene cuatro posibles programas de publicidad distintos y 9 tiene tres. (ependiendo del ingenio e intensidad de la campaa! cada empresa puede captar una proporci/n de mercado captado o perdido por A es 98 9<
9@
A8 -;!@ ; ;!D A< -;!D -;!@ -;!8 A@ ; ;!8 ;! a1 LEs razonable ue 9 eli*a 98 porue es donde puede captar una mayor proporci/n de clientes de AP b1 LCuáles son las estrategias /ptimas para ambas empresas y el valor del *uegoP c1 "i A decide *ugar de acuerdo con la distribuci/n de probabilidad p M8N
Ing. Efraín $urillo
Teoría de Juegos y Estrategias
M@ND! ;!
5.- (os grandes cadenas de supermercados! ue llamaremos A y 9 respectivamente! van a inaugurar! en las mismas fec4as! un nuevo supermercado en un centro comercial de una ciudad en la ue el n5mero de clientes potenciales es de 8;;!;;;. El reparto del n5mero de clientes potenciales entre las dos cadenas depende de la estrategia ue cada una de las firmas adopte en cuanto a campaas de publicidad y productos en oferta. En funci/n de la estrategia seguida por cada empresa! el n5mero de clientes potenciales ue se ad*udica a la cadena A! en miles es el siguiente 98 9< A8 A< A@
; @; ;
9@
<; ; ; B; 8; ;
a1 LCuál es el n5mero mínimo de clientes ue aceptará tener AP L? 9P b1 LCuál es la estrategia /ptima de A y 9P A la vista de este resultado! Lpodemos afirmar ue A y 9 esperan repartirse por igual el n5mero de clientes potencialesP c1 LZu3 ocurrirá si 9 decide optar por una estrategia diferente a la /ptimaP d1 (etermine! el programa lineal para el *ugador A.
.- A y 9 son dos cadenas de 4amburguesas competitivas. Cada una está e+pandiendo 4acia pueblos más peueos conforme se saturan las grandes áreas urbanas. #n grupo de tres pueblos está ba*o consideraci/n como se muestra enseguida. D mill. A @DW
8; mill.
9
C ;W
,os porcenta*es muestran la poblaci/n de cada pueblo relativa al total de la poblaci/n para los tres pueblos. Como A es la cadena más grande! se concluye ue puede capturar el ;W del mercado cuando ambos restaurantes están euidistantes. o obstante! si 9 está más cerca! A obtendrá s/lo el @;W. "i A está más cerca! capturará el ;W del mercado. Cada firma planea construir s/lo un restaurante en el área. LZu3 pueblo debe seleccionar cada una y cuáles serán los porcenta*es del mercadoP
13.- Encuentre las estrategias /ptimas y el valor del *uego para cada uno de los *uegos siguientes. ,os pagos son para el *ugador A.
B
C A C B
B
E < C
D
F F D D @
Ing. Efraín $urillo
A
A −A − @ − A E B B @
−D E − F − < − C − F −F D
Teoría de Juegos y Estrategias
<
11.- Encuentre el intervalo de valores para 6p7 y 67 ue 4arán el elemento 0
9 < A 8; B p
D
1,.- (ados el *uego bipersonal de suma nula con matriz de pagos < E −< 8 − 8 ; − < − 8 ; @ 8 @ 8 −@ ;
y la salida con UinZ"9
a1 &btenga la estrategia /ptima para ambos *ugadores y el valor del *uego! interpretando los resultados obtenidos. b1 LEs p M88N@;! ;! 8FN@;! ;O una estrategia /ptima para AP c1 Construya el programa lineal ue permita resolver el *uego para el *ugador A y para el *ugador 9. d1 &btenga el resultado esperado del *uego si el *ugador A opta por la estrategia p M8N! ;! DN! ;O y el *ugador 9 adopta la estrategia M8N
Ing. Efraín $urillo