1).- (Bierman y Fernández (1993)).Una persona es elegida aleatoriamente y se le presenta las siguientes 3 loterías. a) Ganar 5 u.m con probabilidad 0.5 y no ganar con probabilidad 0.5 b) Ganar 10 u.m con probabilidad 0.25 y no ganar con probabilidad 0.75 c) Ganar 10/3 u.m con probabilidad 0.75 y no ganar con probabilidad 0.25 Esta prefiere a) a b) Y b) a c). Supondremos Supondremos que es un maximador de la utilidad esperada y que la función de la utilidad esperada asociada a sus preferencias es de Von NeumanMorgenstrn. Tomadnod u (0um)=0 y u (10 u.m)=1, y considerando sus preferencias, encuentre encuentre los limites máximo y/o mínimos para u (5 u.m) y u (10/3 u.m) teniendo en cuenta que la función de utilidad que se forma con estas preferencias es continua y diferenciable, ¿Qué podemos decir acerca de la aversión al riesgo de la persona en el intervalo [0,10]? . L a =0.5 (5 u.m)+0.5u (0.u.m) U (La)=0.5u (0.5 u.m)
Representa la ganancia esperada de la primera lotería a
.L b =0.25 (10 u.m)+0.75u (0.u.m) U (La)=2.5 u.m)
Representa la ganancia esperada de la primera lotería b
U (Lb)=0.25 (1) + 0.75 (0 u.m) U (Lb)=0.25util U(Lc)=0.25(10/3u.m) + 0.25 (0 u.m) U (Lb)=10/3 x 0.75 =2.5 De lo obtenido 0.50 u (5 u.m) > 0.25 U (5 u.m) > 0.25/0.5 = 0.50
Preferencia de la lotería a sobre la lotería b
U (5 u.m) > 0.50 utils
0.75 u (10/3 u.m) < 0.25 U (10/3 u.m) < 0.25/0.75 U (10/3 u.m) < 0.33 0.33 utils utils
Preferencia de la lotería a sobre la lotería b
1 UTILIDAD
3.3
5
10
u.m
CANTIDAD DE DINERO
U (La)=0.5u (0.5 u.m) +0.50 (0 u.m) U (La)=0.5 (0.5 u.m) = 2.5 Equivalente a la lotería b U (Lb)= 2.5 =U (Zb)
Zb =2.5
2.- Un individuo ha pensado realizar una inversión en un activo financiero de gran volatilidad, que proporciona una ganancia bruta de 0 u.m (es decir, perdida de la cantidad invertida) con la probabilidad de ¾ y de 6 u.m, con la probabilidad ¼ por cada u.m invertida (1 u.m de recuperación de inversión + 5 u.m de rendimiento neto). Siendo sus preferencias representables mediante la función de utilidad. U (w)=ln (w+9) y su riqueza actual w0 > 1 Función L
=
0 3/4
6 1/4
Valor Esperado: E (L)=3/4 x (0) + ¼ x (6) E (L)=1.5
u (w) = ln (w + 9)
Valor Esperado: E u (L)=3/4 x u (0) + ¼ x u (6) E u (L)=3/4 x (ln 9) + ¼ x (ln 15) E u (L)=2.325 U U (6)=2.708
Esta dispuesto a invertir 1.5 u.m
U (10.5)=2.35
que satisface la condición w 0 >1
Eu (L)=2.32
U (0)=2.197 1.5
W
3.- (Henderson y Quandt (1985)). Un consumidor cuya conducta se adapta a los axiomas de Von Neuman –Morgensten y cuya riqueza es de W 0 =160 000 u.m está sujeta al riesgo e un incendio. La probabilidad de un gran incendio, con 70 000 u.m en perdidas, es 0.05 y la de un incendio destructor, con 120 000 u.m en perdidas, es también 0.05. Su función de utilidad es de u (w) = w 1/2 ¿Cuál es la máxima cantidad que estará a pagar por una póliza de seguros que le asegure contra el riesgo de incendio?
L=
70 000
120 000
160 000
0.05
0.05
0.9
función: u (w) = w ½
Valor esperado: E (L) = 0.05 x (70 000) + 0.05 x (120 000) + 0.9 x (160 000) E (L) = 3 500 + 6 000 + 14 400 E (L) = 153 500
Valor esperado: E u (L) = 0.05 x (u (70 000)) + 0.05 x (u (120 000)) + 0.9 x (u (160 000)) E (L) = 0.05 x (264.58) + 0.05 x (346.41) + 0.9 x (400) E (L) = 153 500
u (w) =w1/2
400.00
391.79 390.55 346.41
264.58
70 000
120 000
153 500
160 000
Esta dispuesto a pagar un seguro de 153 500 u.m
4.- Blanca tiene una riqueza se w 0 = 2 000 u.m y ha de decidir si invertirá o no en un proyecto que requiere que invierta todo sus ahorros (w0 ), y que genere los siguientes rendimientos: la pérdida del capi8tal invertido con una probabilidad de ½, y un rendimiento bruto de 6 000u.m (2 000 + 4 000) con la probabilidad ½. Sabiendo que sus preferencias pueden ser representados por la función de utilidad u (w) = w ½ ¿Qué decisión tomara? Supongamos que Carlos comparte las mismas preferencias que Blanca y posee el mismo nivel de riqueza, w0 = 2 000 u.m si tuvieran que decir entre una inversión conjunta (50% cada uno, es decir I1 = 1 000 u.m) o no llevar a cabo el proyecto ¿Qué decisión tomaran?
L=
0
6 000
1/2
1/2
función: u (w) = w 1/2
Valor esperado: E (L) =1/2 x (0) + 1/2 x (6 000) E (L) =3 000
Utilidad esperada: E (L) =1/2 x (u (0)) + 1/2 x (u (6 000)) E (L) =3 000
u (w) =w1/2
7 7.74
54.77
38.725
0
1 499.6
3 000
6 000
Para Blanca: Lo más seguro es ganar 10 000 u.m con su inversión de 2 000 u.m Para Blanca y Carlos: Decidirán no invertir porque la ganancia seguro sea mínima (500) para un riesgo de 1 000 u.m.
5.-(Campbell (1995)) un individuo (sin escrúpulos cívicos )con una función de utilidad sobre la riqueza que viendo dado por u(w)=ln (w+20) y tiene una renta de 100 u .m sin contar impuestos, es gravado con un impuesto del 40% sobre la renta ganada, si le encuentran que ha realizado una declaración fraudulenta(Declarado una renta inferior a la real), tendrá que pagar los impuestos que deba y un pago adicional de 1 u.m para cada 1 u.m que no haya declarado ¿ cuánto renta dejara sin declarar si la probabilidad de ser descubierto es de 0.2?
L=
100
60
0.2
0.8
Función: Ln (w+20)
Valor esperado: E (L) =0.2 x (100) + 0.8 x (60) E (L) =68 Utilidad esperada: E u (L) =0.2 x (en 120) + 0.8 x (en 60) E u (L) =383
7 7.74
u (w) =ln (w+20)
4.477 4.383 4.302
2.995 0
1 499.6
3 000
6 000
6.- En un juego , cada uno de los dos jugadores anuncia (simultáneamente)un numero perteneciente al conjunto {1,2,3,4,5,6 } si a 1 + a 2 = < 6, en donde a1 es el numero anunciado por el jugador i entonces cada jugador i recibe un pago de ai Si a 1 + a 2 > 6 y ai
6 y a i = aj entonces cada jugador recibe 3. Represente el juego en forma estratégica.
JUGADOR 1 Ó 2
2 Ó 1 R O D A G U J
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (5,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (4,2) (4,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3)
(1,4) (2,4) (3,3) (3,3) (2,4) (2,4)
(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (3,3) (1,5)
(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) (3,3)
7.- Considere el siguiente juego para 2 jugadores .Cada jugador empieza con 3 fichas: rojo, blanco y azul. Cada ficha puede ser utilizada solo una vez. Para comenzar, cada jugador selecciona una de sus fichas y la coloca en la mesa, manteniéndola oculta. Ambos jugadores descubren entonces sus fichas y determinan el pago que debe abonar el perdedor y que recibe el ganador, según los datos de la tabla siguiente. A continuación cada jugador selecciona una de sus 2 fichas restantes, y se repite el procedimiento, finalmente, cada jugador muestra su tercera ficha, repitiéndose el procedimiento por tercera vez.
Pago( en decenas de euros) Rojo gana a blanco
5
Blanco gana a azul
4
Azul gana a rojo
3
Coincidencia de colores
0
JUGADOR 2
1 R O D A G U J
ROJO
BLANCO
AZUL
ROJO
(0,0)
(5,0)
(0,3)
BLANCO
(0,5)
(0,0)
(4,0)
AZUL
(3,0)
(0,4)
(0,0)
8.- Considere el siguiente juego entre un (hasta ahora) monopolista y un entrante potencial. Suponga que esta discutiendo la aprobación de una ley de control de la contaminación. El monopolista, de gran influencia política, puede apoyar la propuesta del Grupo verde, apoyar de la opuesta de la oposición, o no apoyar una nueva ley que exige controles de contaminación en todas las empresas de la industria. Suponga que cada propuesta se aprueba si y solo apoya el monopolista .Los controles de contaminación propuesta por los verdes aumentaran en 60 000 euros, los costos fijos de cada empresa, tanto si opera en régimen de monopolio como de duopolio, mientras que la propuesta de la oposición los aumentaría en 24 000 euros. El entrante potencial puede entrar o no entrar en la industria, sin costos de control de contaminación, los beneficios del monopolio son 120 000 euro y los del duopolio 48 000 euros, si el entrante potencial decide no entrar, sus beneficios son 0. a).- Supóngase que el entrante tiene que tomar su decisión de entrada antes de conocer la decisión del monopolista. a1.- Represente el juego en forma extensiva. a2.- Represente el juego en forma estratégica. b).- Supóngase ahora, por el contrario, que el entrante conoce, antes de tomar su decisión del monopolista.
9.- Un empresario ha convencido a 2 inversores en un proyecto de 2.5 años, depositando cada uno de ellos un total de 18 000 euros. Las características del proyecto permiten a los inversionistas decidir la recuperación del capital invertido en dos ocasiones, el cumplimiento del primer año y al cumplimiento del segundo año, si bien el primer caso el recuperamiento es parcial, un total de 24 000 euros (inferior a la suma total de 36 000 euros invertidos), mientras que el segundo genera una rentabilidad positiva, devolviéndose un total de 48 000 euros.
Supongamos que el final de cada uno de vigencia del proyecto los inversores han de decidir simultáneamente si recupera o no su inversión, y que suceden los siguientes pagos en función de tales decisiones. Si al final del primer año ambos inversores deciden abandonar el proyecto, cada uno recibe 12 000 euros y el juego se acaba. Si solo un inversor decide abandonar este recibe 18 000 euros y el otro 6 000 euros, y el jugador acaba. Finalmente si ambos inversores deciden mantener su inversión durante el segundo año el proyecto llega a su finalización y los inversores han de decidir la forma en que se le devuelva la inversión mediante dinero o acciones con total liquidez en el mercado bursátil. Si ambos deciden el cobro en dinero cada uno recibe 24 000 euros y el juego se acaba, si solo uno prefiere dinero, ese inversor recibe 30 000 euros y el otro 18 000 euros y el juego se acaba. Y, por ultimo si ninguno desea el dinero, la empresa entrega a cada uno un paquete de acciones por un valor de 24 000 euros y el juego se acaba. Por simplicidad, asumiremos que los inversores tienen unas preferencias temporales que les hacen valorar un euro del mismo modo a lo largo de los 2 años de vida del proyecto.
I.D
I.A
NI.D
NI.A
I.D
(24,24)
(30,18)
(6,18)
(6,18)
I.A
(18,30)
(24,24)
(6,18)
(6,18)
NI.D
(18,6)
(18,6)
(12,12)
(12,12)
NI.A
(18,6)
(18,6)
(12,12)
(12,12)
Terminología: (en miles)
10.- Se sabe que un juego en forma extensiva está completamente especificado. T= { j, (x, Ơ), (A, α), {Xi} i E J, {H i} i E j, (A (h)) h E H, P, r}
c
1,-1
B C
d
2,1
D
e
0,1
f
-1,2
B C
g
1,-1
D
h
2,0
E 0
F
1.2.-
J= {1,2} x= {0,a,b,c,d,e,f,g,h,} Ơ(0)= 0 Ơ(a)= Ơ(c)= Ơ(f)=
3.-
Ơ(b)= 0 Ơ(d)= Ơ(g)=
A= {E,,F,B,C,D} α(a)= E α(b)= F α(c)= B α(d)= C α(e)= D α(f)= B α(g)= C α(h)= D
4.-
Jugador 1 es Jugador 2 es
= {0} = { {a,b}}
Ơ(e)= a Ơ(h)= B
H1= { {0} } H2= {{a,b}}
5.-
Sea H= { {0} {a,b}} A({0},E)= {E,F} A({a,b})= {B,C,D}
6.-
7.-
P({0},E)= P({0},F)=
1/2 1/2
r(c)= r(d)= r(e)= r(f)= r(g)= r(h)=
(1,-1) (2,1) (0,-1) (-1,2) (1,-1) (2,0)
11.-Una finca rustica está valorada por su actual propietario en 350 000 euros y un empresario le ofrece acondicionarla para su utilización como polígono industrial, con la que su valor de mercado alcanzaría los 700 000 euros. Una empresa constructora le ofrece urbanizar la finca para su posible subdivisión en parcelas destinadas a viviendas unifamiliares, con esta urbanización el valor de la finca seria de 775 000 euros. Representa el juego en forma coalisional. Sea J= {1, 2,3} En donde el jugador 1 es empresario que ofrece acondicionar la finca como polígono industrial, la jugadora 2 es la empresa constructora y el jugador 3 es el propietario de la finca. Obtengamos ahora la función característica para este juego operativo. Tanto el jugador 1 como el jugador 2 necesitan el acuerdo con el jugador 3 (el propietario) Para poder utilizar la finca. Sin la participación del jugador 3 no se puede hacer nada y, por tanto no se puede obtener ningún beneficio. r= ({1})=r ({2})= r ({1,2})= 0
Si el jugador 3 no coopera con ninguno de los otros jugadores mantiene la situación actual, es decir mantiene la finca tal como esta, a la cual valora 350 000 euros. Si llega a un acuerdo con el jugador 1 para obtener un mayor valor posible obtendrán entre los dos 700 000 euros. Finalmente si cooperan los 3 jugadores y deciden llevar conjuntamente adelante el proyecto que de mayor valor de mercado, obtendrán entre los tres 775 000 euros. Es decir r ({3})=350, r ({1 ,3})= 700, r ({2,3})= 775, r ({1, 2,3})= 775 En donde el valor de la función viene expresado en euros; la forma coalicional es (j, r) en donde: J= {1, 2,3} r: P (J)
R, con
r(o) =0, r ({1}) =0, r ({2}) =0, r ({3}) =350 r({1,2}) =0, r({1,3}) =700, r({1,2,3}) =775, r ({1,2,3})= 775
12.-Considere un parlamento en el cual están representando los partidos A que tiene el 45%de los escaños, el partido B, con una representación del 30% y el partido C con el 25% de los escaños. Una proposición de la ley para ser aprobada, necesita al menos el 50% de los votos del parlamento. Supongamos que la utilidad es de 1 para la coalición ganadora y de 0 para la perdedora. Represente el juego en forma coalisional. A
45% escaños
B
30% escaños
C
25% escaños
De esta manera procederemos a ordenar cada subjuego. S
O
(A)
(B)
(C)
(AB)
(BC)
(AC)
(ABC)
V(S)
0
0
0
0
1
1
1
1
La coalición para ser aprobada la proposición de ley es 50%, por tal motivo en las coaliciones de los partidos la proposición se ve aprobada al reunir el requisito de ser igual o mayor al 50%.
