TEORIA DE JUEGOS CURSO: TEORIA DE DECISIONES PROFESOR: M. A. LUIS MEDINA AQUINO Los criterios para decisiones bajo incertidumbre se han desarrollado bajo la hipótesis de que la “naturaleza” es el oponente. En este aspecto la naturaleza no es malévola. Este tema trata de las decisiones con incertidumbre involucrando dos ó más oponentes inteligentes donde cada oponente aspira a optimizar su propia decisión pero a costa de los otros. Los ejemplos que involucran adversarios en conflicto incluyen juegos de mesa, combates militares, campañas políticas, campañas de publicidad y de comercialización entre empresas de negocios que compiten, etc. Los conocimientos que permiten la solución de tales problemas de decisión constituyen la teoría de juegos. En la teoría de juegos, un oponente se designa como jugador. Cada jugador tiene un número de alternativas finito o infinito, llamadas estrategias. Los resultados o pagos de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugador. Un juego con dos jugadores, donde la ganancia de un jugador es igual a la pérdida de otro se conoce como un juego de dos personas y suma cero. Antes de iniciar el juego, cada jugador conoce las estrategias de que dispone, las que tiene su oponente y la matriz de pagos. Una jugada real en el juego consiste en que los dos jugadores elijan al mismo tiempo una estrategia sin saber cuál es la elección de su oponente. El Jugador A tiene las estrategias A1, A2, .....An El Jugador B tiene las estrategias B1, B2, .....Bm Donde n > m, n < m ó n = m La matriz de pagos correspondiente será: A1 A2 …….. Ai …….. An
B1
B2
a11 a21
a12 a22
……..
……..
ai1
ai2
……..
……..
An1
an2
……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
Bj
a1j a2j ……..
aij ……..
anj
…….. …….. …….. …….. …….. …….. ……..
Bm
a1m a2m aim anm
Donde aij es la cantidad ganada por el jugador A, cuando A elige la alternativa Ai, y el jugador B elige la alternativa Bj. Ejemplo: Considere el juego llamado pares y nones. Éste consiste en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dedos. Si el número de dedos coincide, el jugador que apuesta a pares (por ejemplo, el jugador A) gana la apuesta (digamos $1) al jugador que va por nones (jugador B). Si el número de dedos no coincide, el jugador A paga $1 al jugador B. En este juego cada jugador tiene dos estrategias: mostrar uno o dos dedos. Esto proporciona la siguiente matriz de pagos 2 x 2 expresadas en términos de pago al jugador A.
1
Jugador A
1 2
Jugador B 1 2 1 -1 -1 1
CRITERIOS PARA ELEGIR LA MEJOR ESTRATEGIA Existe un criterio muy conservador llamado minimax-maximin, que consiste en que cada jugador elige la estrategia que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. En términos de la matriz de pagos, implica que el jugador A debe elegir aquella estrategia cuyo pago mínimo sea el mayor (maximin), mientras que el jugador B debe elegir aquella cuyo pago máximo al jugador A sea el menor (minimax). Ejemplo: Jugador B 1 2 Minimo de fila 1 5 7 5 Maximin Jugador A 2 4 6 4 Máximo de Columna: 5 7 En este caso el jugador A gana el más alto valor del juego si utiliza todo el tiempo la estrategia 1, porque tiene valores mayores que la estrategia 2. El jugador B se da cuenta de esta situación y emplea su estrategia 1 a fin de reducir al mínimo sus pérdidas, porque el valor de 5 es menor que el de 7 para su estrategia 2. El valor del juego debe ser 5, porque A gana 5 puntos mientras B pierde 5 puntos cada vez que se juega. El “Valor del juego” corresponde a las ganancias promedio por juego durante un gran número de jugadas. Cuando ambos jugadores emplean una misma estrategia todo el tiempo, ésta se llama “estrategia pura”. El punto en que cada jugador aplica su estrategia pura se llama “punto de silla de montar” y es el valor del juego cuando cada competidor tiene una estrategia pura. Si el valor del juego es cero, entonces se dice que es un juego justo. Si existe un punto de silla de montar entonces este juego tiene una solución estable. Cuando no existe este punto el juego tiene una solución inestable. En este último caso la solución más satisfactoria son las estrategias mixtas. Ejemplos: B 1 2 1 -5 4 No hay punto de A 2 -4 -8 silla de montar
A
1 2 3
B 1 2 -3 -5
A
1 2 3
1 2 -8 1
2 1 -4 -6 B 2 14 6 -4
Estrategias: A = Estrategia 1 B = Estrategia 2 Valor del juego = +1 3 12 -10 14
Mínimo 2 -10 -4
Maximin
2
Maximo
2 14 Minimax
14 Valor del Juego = 2
DOMINIO El primer paso para resolver las estrategias y valores del juego consiste en buscar una estrategia pura donde haya un punto de silla de montar. Si esto no es aplicable, el paso siguiente consiste en la eliminación de ciertas estrategias (columnas o filas) por dominio. El juego resultante puede resolverse mediante alguna estrategia mixta. Ejemplo 6: B 1 2 El competidor A no jugará la 1 2 6 estrategia 2, porque esto dará A 2 -1 -2 a B su única oportunidad de 3 3 1 ganar. Es evidente que la estrategia 2 está dominado por la estrategia 1 o la 3, porque esas estrategias darán a A un pago mejor que la estrategia dominada, independientemente de las actividades de B. La regla de dominio es la siguiente: Cada valor de la fila dominadora debe ser mayor que, o igual al valor correspondiente de la fila dominada. La matriz resultante es la siguiente: B 1 2 A 1 2 6 3 3 1 Ejemplo: B 1 2 3 4 A 1 -4 -6 2 4 2 -6 -3 1 2 El competidor B tiene más flexibilidad (lo que le da la ventaja), porque puede jugar cuatro estrategias contra dos estrategias del competidor A. Como las estrategias 3 y 4 (de B) constituyen la única oportunidad para que gane A, B no jugará ninguna de ellas, porque esas columnas están dominadas por las estrategias 1 y 2 (de B). La regla de dominio para las columnas es la siguiente: Todos los valores de las columnas dominadoras deben ser menores que, o iguales al valor correspondiente de la columna dominada. La nueva matriz reducida es: B 1 2 1 -4 -6 A 2 -6 -3 Ejemplo: Un día antes de las elecciones, dos candidatos a presidente consideran a las mismas tres ciudades como importantes y merecedoras de una última visita. Ya que ninguna visita es útil a menos que haya realizado suficiente trabajo de avance por parte del grupo del candidato, cada candidato deberá hacer planes antes de saber la elección realizada por su oponente. Los grupos comisionados por ambos lados muestran idénticas proyecciones. La siguiente tabla da la ganancia estimada (en millones de votos) para
3
cada combinación de visitas del candidato A en este último día. ¿Qué ciudad deberá elegir cada candidato para la visita? Se darán tres conjuntos de datos para la matriz de pagos, a fin de resolver tres tipos distintos de juegos. Candidato B A ciudad 1 A ciudad 2 A ciudad 3 A ciudad 1 1 2 4 Candidato A A ciudad 2 1 0 5 A ciudad 3 0 1 -1
Candidato A
Candidato B A ciudad 1 A ciudad 2 A ciudad 3 Mínimo A ciudad 1 -3 -2 6 -3 A ciudad 2 2 0 2 0 Maximin A ciudad 3 5 -2 -4 -4 Máximo: 5 0 6 Minimax
Candidato B A ciudad 1 A ciudad 2 A ciudad 3 Mínimo A ciudad 1 0 -2 2 -2 Maximin Candidato A A ciudad 2 5 4 -3 -3 A ciudad 3 2 3 -4 -4 Máximo: 5 4 2 Minimax JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS Siempre que un juego no tenga punto silla de montar, la teoría de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidad sobre su conjunto de estrategias. Para expresar esto matemáticamente, sea xi = probabilidad de que el jugador A use la estrategia i (i = 1, 2, ......, n), yj = probabilidad de que el jugador B use la estrategia j (j = 1, 2, ......, m), donde m y n son el número de estrategias disponibles. Así, el jugador A especificará su plan de juego asignando valores a x1,x2,....xn. Como estos valores son probabilidades, tendrán que ser no negativos y sumar 1. De igual manera, el plan para el jugador B se describe mediante los valores que asigne a sus variables de decisión y1,y2,....ym. Por lo general se hace referencia a estos planes (x1,x2,....xn) y (y1,y2,....ym) con el nombre de estrategias mixtas, y entonces las estrategias originales se llaman estrategias puras. En el momento de jugar, es necesario que cada participante use una de sus estrategias puras, pero esta estrategia pura se elegirá mediante algún dispositivo aleatorio para obtener una observación aleatoria que siga la distribución de probabilidad especificada por la estrategia mixta; esta observación indicará la estrategia pura que se debe usar . A manera de ilustración, supóngase que los jugadores A y B, en la última matriz del problema de la campaña política eligen las estrategias mixtas ( x1,x2,x3) = (1/2, 1/2, 0) y (y1,y2,y3) = (0, 1/2, 1/2), respectivamente. Esta selección indica que el jugador A está
4
dando igual oportunidad (probabilidad de 1/2) de elegir las estrategias (puras) 1 o 2, pero que está descartando por completo la estrategia 3. De manera análoga, el jugador B está eligiendo al azar entre sus dos últimas estrategias puras. Para llevar a cabo la jugada, cada jugador podría tirar una moneda al aire para determinar cuál de sus dos estrategias aceptables usará. Aunque no se cuenta con una medida de desempeño completamente satisfactoria para evaluar las estrategias mixtas, la matriz de pago es una herramienta útil. Al aplicar la definición valor esperado de la teoría de probabilidad, esta cantidad es n
Pago esperado =
m
p i 1 j 1
ij
xi y j
en donde pij es el pago si el jugador A usa la estrategia pura i y el jugador B usa la estrategia pura j. En el ejemplo de estrategias mixtas que se acaba de dar existen cuatro pagos posibles (-2, 2, 4, -3), en donde cada uno ocurre con una probabilidad de ¼; el pago esperado es ¼ (-2 + 2 + 4 - 3) = ¼ . Así, esta medida de desempeño no revela nada sobre los riesgos inherentes al juego, pero indica a qué cantidad tiende el pago promedio si el juego se efectuara muchas veces. Al usar esta medida, la teoría de juegos puede extender el concepto del criterio mínimas a juegos que no tienen punto silla y que, por tanto, necesitan estrategias mixtas. En este contexto, el criterio minimax dice que un jugador debe elegir la estrategia mixta que minimice la máxima pérdida esperada para sí mismo. De manera equivalente, si se analizan los pagos (jugador A) en lugar de las pérdidas (jugador B), este criterio es maximin, es decir, maximizar el pago esperado mínimo para el jugador. Por pago esperado mínimo se entiende el pago esperado más pequeño posible que puede resultar de cualquier estrategia mixta con la que el oponente puede contar. Así, la estrategia mixta para el jugador A que, de acuerdo con este criterio, es óptima y es la que proporciona la garantía (el mínimo pago esperado) de que es la mejor (máxima). (El valor de esta mejor garantía es el valor rnaximin y se denota por v). De manera análoga, la estrategia óptima para el jugador B es la que proporciona la mejor garantía, en donde mejor significa mínima y garantía se refiere a la máxima pérdida esperada que puede lograrse con cualquiera de las estrategias mixtas del oponente. (La mejor garantía es el valor minimax que se denota por V.) Recuérdese que cuando sólo se usan estrategias puras, resulta que los juegos que no tienen punto silla son inestables (sin soluciones estables). La razón esencial es que v < V, por lo que los jugadores quieren cambiar sus estrategias para mejorar su posición. De manera parecida en los juegos con estrategias mixtas es necesario que v = V para que la solución óptima sea estable. Por fortuna, según el teorema minimax de la teoría de juegos, esta condición siempre se cumple para estos juegos. Teorema minimax. Si se permiten estrategias mixtas, el par de estrategias que es óptimo de acuerdo con el criterio minimax proporciona una solución estable con v = v = V (el valor del juego), de manera que ninguno de los dos jugadores puede mejorar cambiando unilateralmente su estrategia.
PRACTICA DIRIGIDA 1. Para cada una de las siguientes matrices de pago, determine la estrategia óptima para cada jugador eliminando sucesivamente las estrategias dominadas. (Indique el orden en el que se eliminaron).
5
a)
A
1 2 3
1 -3 1 1
B 2 1 2 0
b) 3 2 1 -2
A
1 2 3
1 1 2 0
B 2 2 -3 3
3 0 -2 -1
2. Encuentre el punto de silla del juego que tiene la siguiente matriz de pagos. a) B b) B 1 2 3 1 2 3 4 1 1 -1 1 1 3 -3 -2 -4 A 2 -2 0 3 A 2 -4 -2 -1 1 3 3 1 2 3 1 -1 2 0 3. Considere el juego que tiene la siguiente matriz de pagos. Verifique si tiene punto de silla de montar: B 1 2 3 4 1 2 -3 -1 1 A 2 -1 1 -2 2 3 -1 2 1 3 Determine la estrategia óptima para cada jugador mediante la eliminación sucesiva de las estrategias dominadas. Proporcione una lista de estas estrategias dominadas (y la estrategia dominante correspondiente) en el orden en el que se pueden eliminar. Y Luego determine el valor del juego y las estrategias mixtas para los jugadores A y B. 4. En el juego de pares y nones con dos jugadores, los dos pueden sacar uno o dos dedos. Supongamos que A gana $1 cuando los dos sacan un dedo, y no gana nada cuando los dos sacan dos dedos, y pierde $0.5 cuando la suma de dedos es impar. a) Determine la matriz de pagos y las mejores estrategias para cada jugador b) Determine el valor del juego. 5. A y B participan en un juego en el que cada uno tiene tres monedas: uno, dos y cinco nuevos soles. Cada uno selecciona una moneda sin saber la selección que hizo el otro. Si la suma de las monedas es un número impar, A gana la moneda de B; si la suma es par, B gana la moneda de A. Encuentre la mejor estrategia para cada jugador y el valor del juego. 6. Un barril contiene un número igual de canicas rojas y verdes. El jugador A selecciona al azar una canica y observa su color sin mostrarla al jugador B. Si la canica es roja, el jugador A dice “tengo una canica roja” y cobra $1 al jugador B. Si la canica es verde, el jugador A dice “la canica es verde” y paga al jugador B $1 ó bien fanfarronea diciendo “la canica es roja” y cobra $1 al jugador B. Siempre que el jugador A cobra $1, el jugador B puede pagar o bien puede desafiar al jugador A, dudando de que la canica seleccionada sea roja. Una vez desafiado, el jugador A debe mostrar la canica al jugador B. Si ésta es en realidad roja, el jugador B paga al jugador A $2, si no es roja, el jugador A paga al jugador B $2. a) Construya la matriz de pagos y determine las estrategias óptimas para los dos jugadores. b) Determine el valor del juego.
6
7. Dos compañías comparten el grueso del mercado para cierto tipo de producto. Cada una está haciendo nuevos planes de comercialización para el próximo año con la intención de arrebatar parte de las ventas a la otra compañía. (Las ventas totales del producto son más o menos fijas, por lo que una compañía puede incrementar sus ventas sólo si disminuyen las de la otra). Cada una está considerando tres posibilidades: 1) un mejor empacado del producto, 2) un aumento en la publicidad y 3) una pequeña reducción en el precio. Los costos de las tres opciones son comparables y lo suficientemente grandes como para que cada compañía elija sólo una. El efecto estimado de cada combinación de alternativas sobre el porcentaje aumentado de las ventas para la compañía I es: II 1 2 3 1 2 3 1 I 2 1 4 0 3 3 -2 -1 Cada compañía debe hacer su elección antes de conocer la decisión de la otra compañía. a) Sin eliminar las estrategias dominantes, utilice el criterio minimax (o maximin) para determinar la mejor estrategia para cada parte. b) Identifique y elimine las estrategias dominadas hasta donde sea posible. Haga una lista de las estrategias dominadas que muestre el orden en el que se pudieron eliminar. Después elabore la matriz de pagos reducida que resulta cuando ya no quedan estrategias dominantes. 8. Dos cadenas de Supermercados se proponen construir, cada una, una tienda en una región rural en donde se encuentran tres pueblos. Las distancias entre los pueblos (en millas) se muestran en la siguiente figura:
Aproximadamente 45% de la población de la región vive cerca del pueblo A, 35% vive cerca del pueblo B y 20% vive cerca del pueblo C. Debido a que la cadena I es más grande y tiene más prestigio que la cadena II, la cadena I controlará la mayoría de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas. Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la región y ambas han terminado estudios de mercado que dan proyecciones idénticas. Si ambas cadenas se sitúan en el mismo pueblo o equidistantes de un pueblo, la cadena I controlará el 65% de los negocios en ese pueblo y de los demás en la región. Si la cadena I está más cercana a un pueblo que la cadena II, la cadena I controlará el 90% de los negocios en este pueblo. Si la cadena I está más alejada de un pueblo que la cadena II, atraerá el 40% de los negocios de este pueblo. El resto de las operaciones, bajo cualquier circunstancia, irán a la cadena II. Además, ambas cadenas saben que la política de la cadena I es no ubicarse en pueblos que sean demasiados pequeños, y el pueblo C cae dentro de esta categoría. a) Defina las estrategias para cada cadena de supermercado y construya la matriz de pago para este juego.
7
b) ¿Cuáles son las estrategias óptimas para cada cadena de Supermercados? ¿Son estrategias puras o mixtas? c) ¿Cuál es el valor del juego? ¿Es un juego estable o inestable? 9. El ejército A desea enviar por camión suministros a un puesto fronterizo en el cual se espera un ataque por parte del ejército B en unas cuantas horas. El depósito de suministros más cercano está unido al puesto fronterizo por dos caminos diferentes, uno que va a través del bosque y otro que va por los llanos. Un convoy de suministros se mueve más rápido en la ruta del llano, pero se disimula mejor en la ruta del bosque. El convoy debe tomar una u otra ruta. El ejército B espera que se envíen suministros a lo largo de una de las rutas y planea detenerlo con un ataque aéreo. Dispone de un solo escuadrón de aeroplanos que no puede dividirse. Si el ejército B envía sus aeroplanos por encima de la ruta del bosque y encuentra ahí al ejército A, el ejército B tendrá tiempo para realizar cuatro ataques en contra del convoy. Si el ejército B envía sus aeroplanos por encima de la ruta del llano y el ejército A está empleando esta ruta, el ejército B tendrá tiempo para tres ataques. Si el ejército B envía sus aeroplanos sobre la ruta equivocada, perderá tiempo valioso. Una vez que se dé cuenta de su error y localice al convoy en la otra ruta, el ejército B tendrá tiempo para dos ataques en la ruta del llano, pero sólo tendrá tiempo para un ataque en la ruta del bosque (debido a la dificultad adicional de localizar al convoy a través de los árboles). a) Construya la matriz de pagos y determine las estrategias óptimas para los dos ejércitos. b) Determine el valor del juego.
8
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORÍA DE JUEGOS La TEORÍA DE JUEGOS fue desarrollada durante los años veinte y creció rápidamente durante la Segunda Guerra Mundial en respuesta a la necesidad de desarrollar métodos formales de pensamiento sobre estrategia militar. Su precursor fue John Von Neumann quien junto con Oskar Morgenstern desarrollaron este campo que actualmente es de suma importancia en economía al estudiar estructuras de mercados de monopolio y oligopolio. El objetivo de la Teoría de Juegos es el de mostrar situaciones estratégicas complejas en un modelo simplificado. Su más largo alcance es el de llegar al corazón del problema. Cualquier situación en la cual los individuos deben tomar decisiones estratégicas y de las cuales dependa su futuro o el de sus empresas, puede ser vista como un juego. Un juego puede ser de dos tipos: o Cooperativo: cuando los jugadores pueden llegar a un acuerdo. Generalmente los juegos cooperativos en donde participan empresas son regulados o bien, prohibidos. o No cooperativo: en donde no es posible llegar a un acuerdo. No hay información entre los jugadores hasta después de "mover". Cada jugador tiene la incertidumbre de lo que su o sus contrincantes harán. Todo juego tiene tres elementos básicos: o JUGADORES. Son los tomadores de decisiones. Pueden ser individuos, compañías e incluso naciones. Tales jugadores se caracterizan por ser capaces de escoger, de entre un conjunto de acciones posibles, la que más les convenga. o ESTRATEGIAS. Cada curso de acción posible para un jugador es una estrategia. Lo cual representa una acción derivada del comportamiento de un jugador destinada a tomar ventaja sobre los demás jugadores. o En la literatura, los términos acción y estrategia suelen utilizarse indistintamente, esto es válido sólo en juegos normales (donde los jugadores mueven sólo una vez). Sin embargo, en juegos extensivos (donde los jugadores mueven más de una vez), una estrategia es definida como el conjunto de acciones tomadas por un jugador para tomar una ventaja sobre su adversario. o Diremos que un jugador tiene una estrategia dominante si esa estrategia le da una mayor utilidad que las demás, sin importar lo que el o los demás jugadores hagan. (ver juegos) o PAYOFFS (Resultados). Los rendimientos para cada jugador al terminar cada juego son llamadas payoffs. Generalmente los payoffs se miden en niveles de utilidad obtenidos, aunque también se miden en pagos monetarios. Un jugador en actitud racional buscará siempre el mayor pago obtenible. EQUILIBRIO EN LA TEORÍA DE JUEGOS El equilibrio en la Teoría de Juegos se da cuando tanto oferentes como demandantes están satisfechos con los payoffs del juego. Sin embargo, puede un concepto de equilibrio ser aplicado a cualquier modelo de la Teoría de Juegos?. Este punto ha sido analizado y formalizado por Cournot en el siglo XIX y generalizado en los 1950's por
9
John Nash quien propuso que un par de estrategias (a*, b*) es un equilibrio si y sólo si a* representa la mejor estrategia del jugador A cuando B opta por b*; y b* representa la mejor estrategia de B cuando A toma a*. Esto es, habrá un NE si A escoge su mejor opción dado que B ha escogido su mejor opción; y análogamente, B escoge su mejor opción dado que A ha escogido su mejor opción. No todos los juegos tienen un conjunto de estrategias que hagan cumplir el equilibrio de Nash (NE). Y en otros casos, un juego puede tener múltiples equilibrios, algunos de los cuales son más posibles que otros. SOBRE LOS JUEGOS A continuación se presentan algunos de los juegos normales que se presentan con más frecuencia en el mundo real: EL DILEMA DEL PRISIONERO Este juego fue propuesto por Tucker en los 1940's. Su argumento es que dos personas son arrestadas como presuntos responsables de un crimen. Y el fiscal encargado del caso está ansioso por obtener sus confesiones. Entonces, pone en celdas distantes a los dos sospechosos y les dice a cada uno: "Si confiesas y tu compañero no lo hace, te prometo reducirte tu condena a seis meses, y gracias a tu confesión, tu compañero obtendrá 10 años de cárcel. Si ambos confiesan, entonces los dos tendrán 3 años de condena". Además, los sospechosos saben que si no confiesan, la falta de evidencias dará como resultado una condena de dos años para ambos. De esta forma, el juego se expresaría en forma normal de la siguiente manera: Dilema del Prisionero A\ B Confesar
Confesar No confesar -3 , -3
-0.5 , -10
No confesar -10 , -0.5 -2 , -2 Como podemos ver, Confesar es una estrategia dominante para A y B, por lo cual el fiscal lograría su objetivo. Además la acción (CONFESAR, CONFESAR) representa un NE de acuerdo con el concepto antes definido y tomando en cuenta que entre más pequeña sea la condena, mayor será la utilidad. Sin embargo, la posibilidad de que ninguno de los sospechosos confiese, representaría un atractivo incentivo para los participantes, por eso, cada prisionero está "tentado" a no confesar aunque su estrategia dominante sea lo contrario. O bien pudieron haberse puesto de acuerdo antes de ser encarcelados para no confesar. Todo esto representa el "dilema" de este juego, aspecto que hace que la solución racional carezca de estabilidad. Este tipo de juego puede estar presente en muchas de las decisiones de cualquier empresa. Puede surgir debido a la estructura del mercado, el nivel de competencia, las características de los competidores, las innovaciones y los avances tecnológicos entre otras cosas. Y se hace presente a la hora de decidir el curso de las inversiones, ya sea en Investigación y Desarrollo, Publicidad, Fusiones y/o Adquisiciones, etc. LA BATALLA DE SEXOS Otro de los juegos básicos de esta teoría es el de la Batalla de Sexos. Su argumento define a una pareja de recién casados que quieren salir a divertirse. Sólo que difieren en cuanto al lugar que desean visitar. Robert desea ir a la lucha libre, mientras que su esposa, Mary, quiere ir a la ópera. Por lo tanto esta decisión puede ser planteada en juego de la siguiente forma: Batalla de Sexos
10
Rob \ Mary Ópera Ópera
2,1
Lucha 0,0
Lucha 0,0 1,2 Como podemos observar, no hay estrategias dominantes, esto merma la posibilidad de tomar una decisión sin saber lo que el otro hará. Además, este juego tiene dos equilibrios Nash (NE), por lo cual si uno de los dos va a donde quiere ir, lo mejor que puede hacer el otro es acompañarlo. Dados estos dos detalles, podemos concluir que la verdadera prioridad para la pareja de recién casados es estar juntos, ya que si cada uno va a donde quiere, simplemente no tendrán utilidad. En el mundo de las compañías, este juego se presenta cuando dos empresas determinan mediante estudios previos, que la mejor forma de ganar utilidades en un mercado es actuando juntas. Tal es el caso de empresas que desean penetrar en un mercado con varias barreras y su decisión es celebrar alianzas con empresas de ese mercado. Este juego también se conoce como Juego de Coordinación EL "CHICKEN" Este es otro de los juegos más comunes en el estudio de esta Teoría. Es jugado por dos jóvenes rebeldes que se encuentran en sus autos en los extremos de una calle con un solo carril. De repente, cada uno avanza a gran velocidad hacia el extremo opuesto de la calle, el juego consiste en que el primero que se desvíe es el "chicken" o gallina. Por supuesto, si ninguno de los dos se desvía, ambos morirán como resultado del choque. De esta forma, el juego sería: El chicken A\ B
Chicken
No chicken
Chicken
2,2
1,3
No chicken
3,1
0,0
Este juego presenta dos equilibrios de Nash, ya sea que uno sea gallina y otro no gallina, o viceversa. Porque son los resultados en los cuales los dos quedan vivos. Aunque los equilibrios no son estables por la existencia del incentivo a "no ser gallina" (mayor payoff), se pueden implementar tácticas para ganar el juego tales como que un jugador arroje el volante durante el juego, así obligaría al otro a desviarse. En cuanto a empresas, este juego puede reflejar el comportamiento de mercados imperfectos. Supongamos que existe un monopolio, y de pronto una empresa pretende entrar al mercado. De acuerdo con su estructura de costos y nivel de producción, tiene la posibilidad de vender más caro que la empresa ya existente, o sea, ser seguidor; o bien hacerle la competencia igualando precios y producción, esto es, buscar ser líder. Ante la inminente presencia de la otra empresa, el monopolista enfrentará las mismas posibilidades que la empresa entrante. Por lo tanto, el juego quedaría: Mercados Imperfectos A\ B Líder
Líder
Seguidor
0,0
1800 , 900
Seguidor 900 , 1800 1600 , 1600 El primer conjunto de estrategias refleja el resultado de un equilibrio de Bertrand, en el cual, como las dos empresas buscarán ser líderes, venderán a un precio igual a sus 11
costos marginales, por lo tanto, el resultado sería una competencia perfecta que no arrojaría ganancias para ninguna empresa. Como en el chicken, las combinaciones que representan un equilibrio son las soluciones de Stackelberg, (LÍDER, SEGUIDOR) y (SEGUIDOR, LÍDER), también son inestables, pues como podemos observar, la solución restante, que es la Cournot, aumenta grandemente la utilidad de una, mientras que disminuye un poco la utilidad de la otra. Por lo tanto, si el juego es normal, lo mejor será seguir una estrategia de líder, seguidor. Por lo tanto, si el juego es secuencial, esto es, cuando uno mueve primero y otro después, el first mover tiene una gran ventaja al escoger ser líder. Sería como arrojar el volante en el juego del chicken. CONCLUSIÓN A través de este artículo hemos visto la estructura básica de un juego, así como algunos de los estudiados más comúnmente. Dentro de ellos, se ha tratado de ilustrar alguna aplicación para llevarlos a la Teoría de la Firma. La Teoría de Juegos tiene un amplio campo de estudio, y constantemente se enriquece con nuevas aportaciones resultantes de la investigación económica, social y empresarial. Instituciones como la UCLA han profundizado grandemente en este campo, un tema fundamental dentro de diversas ciencias, entre las cuales sobresale la Economía por supuesto.
12
11. El ejército azul y el ejército rojo están peleando por dos campos aéreos, valuados en 20 y 8 millones de dólares, los cuales están bajo el control del ejército rojo. El ejército azul debe atacar a uno o a ambos aeropuertos y provocar un daño máximo (medido en dólares) a las instalaciones. La tarea del ejército rojo es minimizar este daño. A fin de lograr sus respectivos objetivos, cada ejército puede asignar el total de sus fuerzas a uno de sus dos campos aéreos o puede dividir su fuerza en dos partes iguales y cubrir ambos aeropuertos con capacidad reducida. Una instalación experimentará un daño de 25% si se le ataca y defiende con la fuerza total, pero sólo tendrá daños de 10% si se la ataca y defiende con la mitad de las fuerzas. Si una instalación es atacada con fuerza total, pero se la defiende solo con la mitad de las fuerzas, experimentará un daño de 50%. Cualquier instalación que sea atacada con la mitad o totalidad de las fuerzas, pero que no sea defendida, experimentará destrucción completa. Una instalación, defendida con la totalidad de la fuerza, a la que no se ataque o que se ataque con la mitad de las fuerzas, no experimentará daños. Determínense la matriz de pago y las estrategias óptimas para ambos ejércitos. 12. Dos rancheros han presentado ante un juez una disputa sobre una franja de tierra de 6 yardas de ancho que separa a sus propiedades. Ambos declaran que la franja es totalmente suya. Los dos rancheros saben que el juez pedirá a cada uno de ellos que presente una propuesta confidencial para resolver con justicia la disputa, y que después aceptará aquella propuesta que ceda más. Si ambas propuestas ceden lo mismo o no ceden nada, el juez fijará la frontera al centro de las 6 yardas de ancho. Determínense la mejor propuesta de ambos rancheros, si éstas han de ser enteras. 13. Los contrabandistas de cigarrillos emplean dos rutas para sacar cigarrillos de Arica hacia Lima: la carretera Panamericana Sur o los caminos secundarios. Ambas rutas son conocidas por la policía, pero debido a limitaciones de personal solo pueden patrullar suficientemente una de estas rutas cada vez, hecho conocido por los contrabandistas. La policía estima que la carga promedio de contrabando que se traslada por la Panamericana, vale $1,000 para los contrabandistas si logran llevarla a Lima. Los caminos secundarios limitan algo el tamaño de los vehículos, así la carga promedio de contrabando que viaja por esas rutas vale solo $800 si llega a su destino. Cualquier contrabando descubierto por la policía se confisca y al contrabandista se le multa. La carretera Panamericana Sur da un promedio de $700 de pérdida por multa para los contrabandistas; la pérdida por transportar la carga a través de de caminos secundarios da un promedio de $600. Además, la policía estima que cuando se patrulla la carretera Panamericana, se intercepta solo 40% del contrabando que se traslada por esta carretera y solo 25% del tráfico que se traslada por los caminos secundarios, cuando patrullan ahí. Determine una estrategia óptima de vigilancia para la policía, si su objetivo es minimizar las ganancias de los contrabandistas. 14. En un juego de naipes, el jugador A tiene un as rojo y un dos negro, mientras que el jugador B tiene un dos rojo y un tres negro. Simultáneamente, ambos jugadores muestran un naipe de su elección. Si ambos naipes son del mismo color, el jugador A gana; de otro modo, gana el jugador B. Las consecuencias o pagos se determinan con la siguiente fórmula. Si el jugador A muestra el as, los jugadores intercambian la diferencia (en dólares) de los números mostrados por ambos naipes (el as cuenta como uno); sí el jugador A muestra el dos, los jugadores intercambian la suma (en dólares) de las
13
cantidades mostradas por los dos naipes. El jugador A, notando que puede ganar $1 o $5, o perder $2 o $4, razona que el juego es justo. ¿Lo es? Muestre las estrategias para ambos jugadores.
14
