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FORMULARIO SIS-2610 TEORÍA DE JUEGOS 1.- ELEMENTOS DE UN JUEGO: A.- Cantidad de jugadores: 1.- Juego de 2 jugadores. 2.- Juego de n jugadores.
B.- Reglas
Son las condiciones del juego.
C.- Resultados
Son los posibles resultados de la combinación de las estrategias del juego estos resultados pueden llegar a ser: -Ganancia -Perdida -Empate
D.-Estrategia Una estrategia es una secuencia de pasos completos para jugar un juego. Tipos de estrategias: Estrategias puras.- Es aquella estrategia que se elige con una probabilidad de éxito del 100% para el transcurso de todo el juego. Estrategias mixtas.- Es aquella en la cual no siempre se opta por el mismo curso de acción a lo largo del juego.
E.-Valor del juego
Es el promedio de ganancias a lo largo de las múltiples jugadas, donde cada jugador indica cual es el beneficio o pérdida a recibir.
F.- Técnicas Conjunto de reglas mediante las cuales se intenta resolver el juego.
G.- Matriz de pagos
Fig. 1
Interpretación
f(1,1)=2 : El jugador A gana 2 u.m., y el jugador B pierde 2 u.m. f(1,2)=5 : El jugador A gana 5 u.m., y el jugador B pierde 5 u.m. f(1,4)=4 : El jugador A gana 4 u.m., y el jugador B pierde 4 u.m. f(2,2)=-2 : El jugador A pierde 2 u.m., y el jugador B gana 2 u.m. f(3,3)=-6 : El jugador A pierde 6 u.m., y el jugador B gana 6 u.m. f(3,1)=0 : Nadie gana o pierde.
2.- TIPOS DE JUEGO Juegos de suma cero Este juego se caracteriza porque un jugador gana lo que otro jugador pierde.
Juegos de suma diferentes de cero
En estos tipos de juegos es inusual que los competidores estén en un conflicto total, no se permite la cooperación entre los jugadores.
3.- ESTRATEGIAS PURAS 3.1.- Punto silla Valor Maxi-Min =Valor Mini-Max Para el jugador A su objetivo es Maximizar sus mínimas ganancias (Maxi-Min) Para el jugador B su objetivo es Minimizar sus máximas perdidas (Mini-Max) 1
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4.- ESTRATEGIAS MIXTAS 4.1.- MÉTODOS DE SOLUCIÓN a) DOMINACIÓN El método de dominación consiste en reducir el tamaño de la matriz de pagos eliminando filas y columnas según ciertas condiciones que son:
Para el jugador A Para el jugador A se eliminara las filas que tengan todos sus elementos menores o iguales respecto a los elementos de otra fila ya que estos elementos representan menores ganancias que no son favorables para este jugador. Es decir: Si la (Fila Ai) es menor a (Fila Aj) entonces se elimina (Fila Ai) Si: Ai Aj se elimina Ai
Para el jugador B Para el jugador B se eliminara las columnas que tengan todos sus elementos mayores o iguales respecto a los elementos de otra columna ya que estos elementos representan mayores pérdidas que no son favorables para este jugador. Es decir: Si la (Columna Bi) es mayor a (Columna Bj) entonces se elimina (Columna Bi) Si: Bi Bj se elimina Bi Una vez reducida la matriz de pagos se verifica si existe punto silla Maxi-Min para el jugador A, Mini-Max para el jugador B, si existe punto silla entonces finaliza el juego, sino se aplica los siguientes métodos:
b) SOLUCIÓN GRAFICA Si la matriz presenta las siguientes dimensiones:
CASO 1: 2 x N (2 filas por N columnas) Pasos para su resolución 1.- Dada la matriz de pagos
Fig. 2 Donde: x1 y x2 probabilidades de las estrategias del jugador A {a1, a2} y1, y2, y3,…,yn probabilidades de las estrategias del jugador B {b1, b2, b3,….., bn}
2.- La matriz de la Fig. 2 se expresa mediante las siguientes ecuaciones Estrategias para el jugador B r1:
Pago esperado para el jugador A (a11 a21) x1 a21 (a12 a22 ) x1 a22
r2: . rn:
.
(a1n a2 n ) x1 a2 n 2
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3.- Graficar las ecuaciones r1, r2, r3,..,rn (donde x1 se evaluará solo entre [0 y 1] )Fig. 3
Fig. 3
4.- De esta grafica establecer el MaxiMin 5.- De la intersección de las rectas ( r i , r j ) que cumplan MaxiMin igualar r i = r j y hallar x1 y luego hallar igualdad x2
x 2 con la
1 x1
6.- Hallar el valor del juego V* reemplazando x1 en cualquiera de las dos ecuaciones ( r i o r j ) que se uso 7.- La estrategia óptima para el jugador A será el valor más alto de x1 o x2 8.- Para hallar las estrategias óptimas del jugador B se usan las ecuaciones de la intersección Fig. 4.
Fig. 4 t1 t2
aij
aik yi
aik
amj amk yi amk
9.- Igualar t1=t2 hallar yi para hallar yk se usa la siguiente ecuación yi + yk = 1
10.- Hallar el valor del juego V* reemplazando en cualquiera de las ecuaciones (t1 y t2). 11.- La estrategia optima para el jugador B será el valor más alto de yi o yk el resto de las estrategias yn son cero. CASO 2: M x 2 (M filas por 2 columnas) Pasos para su resolución 1.- Dada la matriz de pagos
Fig. 5 Donde: x1, x2, x3, …, xm probabilidades de las estrategias del jugador A {a1, a2, a3, …., am} y1, y2 probabilidades de las estrategias del jugador B {b1,b2} 3
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2.- La matriz de la Fig. 5 se expresa mediante las siguientes ecuaciones: Estrategias para el jugador B s1
Pago esperado para el jugador A (a11 a12 ) y1 a12 (a21 a22 ) y1 a22
s2 . sm
. (am1 am 2 ) y1 am 2
3.- Graficar s1, s2,…, sm. (donde y1 se evaluará solo entre [0 y 1] )
Fig.6
4.- De esta grafica establecer el MiniMax 5.- De la intersección de las rectas ( si , s j ) que cumplan MaxiMin igualar si = s j y hallar y1 y luego hallar igualdad y2
y 2 con la
1 y1
6.- Hallar el valor del juego V* reemplazando y1 en cualquiera de las dos ecuaciones ( si o s j ) que se uso 7.- La estrategia óptima para el jugador A será el valor más alto de y1 o y 2 8.- Para hallar las estrategias óptimas del jugador A se usan las ecuaciones de la intersección Fig. 7.
u1 u2
a a x a aik amk xi amk ij
mj
i
mj
Fig. 7
9.- Igualar u1=u2 hallar xi para hallar xm se usa la siguiente ecuación xi + xm =1 10.- Hallar el valor del juego V* reemplazando en cualquiera de las ecuaciones (u1 o u2). 11.- La estrategia optima para el jugador A será el valor más alto de xi o xm el resto de las estrategias xk son cero c) SOLUCIÓN ALGEBRAICA Solo es aplicable para matrices 2x2
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Para el jugador B, frente a las estrategias de A (De la matriz de pagos) Para las estrategias y1 : a11q1 a12q2
(1)
a22q2
(2)
y2 : a21q1 q1
q2 1
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(3)
Igualar y1 con y 2 Finalmente Resolver el sistema de ecuaciones hallar q1 y q2 y el mayor es la estrategia optima.
a11 a21 q1 a12 a22 q2 0 q1
q2 1
Para hallar el valor de juego remplazar q1 y q2 en cualquiera de las ecuaciones y1 con y 2 es decir: v * = y1 = y 2
Para el jugador A, frente a las estrategias de B (De la matriz de pagos) Para las estrategias x1 : a11 p1 a21 p2 (1) x2 : a12 p1 a22 p2 (2) p1
p2 1
(3)
Igualar x1 con x2 Finalmente Resolver el sistema de ecuaciones hallar p1 y p2 y el mayor es la estrategia optima.
a11 a12 p1 a21 a22 p2 0 p1
p2 1
Para hallar el valor de juego remplazar p1 y p2 en cualquiera de las ecuaciones x1 con x2 es decir: v * = x1 = x2
d) TÉCNICAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Esta técnica de programación lineal sirve para resolver un juego Suma Cero de dos oponentes con una matriz de consecuencias de orden n,m (n,m >= 2)
JUGADOR A
JUGADOR B
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