Sistemas de Colas
2.
5
Sistemas de Colas con <
La formación de líneas de espera ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede la capacidad presente para proporcionarlo. Sin embargo, la decisión sobre la magnitud de la capacidad ofrecida es una decisión económica que puede implicar demasiado servicio a un costo excesivo. A éste problema ha que agregarle el hecho de que con frecuencia es mu difícil predecir con exactitud cu!ndo llegar!n las unidades en busca del servicio, la duración duración precisa de éste. "l estudio de las líneas de espera #llamada con frecuencia teoría de colas$ es un an!lisis matem!tico que propone lograr un balance que resulte económico entre el costo del servicio en sí, el costo asociado a la espera para recibirlo. %o propone, pues, anular las líneas de espera, pero contribue a su operación óptima, proporcionando información vital prediciendo algunas características que tendr! una línea de espera en particular, tales como el tiempo de espera promedio, el costo que dicho tiempo implica. &uchas industrias de productos de servicios tienen un sistema de colas en el que los 'productos( #o clientes$ llegan a una 'estación( esperan en una 'fila( #o cola$, obtienen alg)n 'servicio( luego salen del sistema. Considere los siguientes e*emplos+ • Los clientes llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un servicio de uno de los ca*eros, después
salen del banco. partes de un proce proceso so de produc producció ciónn llegan llegan a una estac estación ión de traba* traba*oo partic particula ularr desde desde difere diferente ntess • Las partes estaciones, esperan en un compartimiento para ser procesadas por una m!quina, luego son enviadas a otra estación de traba*o. • espués de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las ca*as, esperan a que el ca*ero les cobre
luego salen de la tienda. • Las llamadas telefónicas llegan al centro de reservaciones de una aerolínea, esperan al agente de ventas
disponible, son atendidas por ese agente de*an el sistema cuando el cliente cuelga. Los problemas administrativos relacionados con tales sistemas de colas se clasifican en dos grupos b!sicos+
1. Problema Problemass de anális análisis is. -sted podría estar interesado en saber si un sistema dado est! funcionado satisfactoriamente. %ecesita responder una o m!s de las siguientes preguntas+ a. Cu!l Cu!l es el tiempo tiempo promedio promedio que que un cliente cliente tiene tiene que espera esperarr en la fila antes antes de ser ser atendido/ atendido/ b. 0ué fracción de tiempo ocupan los servidores servidores en atender a un cliente o en en procesar un producto/ c. Cu!les Cu!les son son el n)mero n)mero promed promedio io el m!ximo m!ximo de de clientes clientes que que esperan esperan en en la fila fila 1as!ndose en estas preguntas, los gerentes tomar!n decisiones como emplear o no m!s gente, agregar una estación de traba*o adicional para me*orar el nivel de servicio2 o si es necesario o no aumentar el tama3o del !rea de espera.
2. Problem Problemas as de diseño diseño. -sted desea dise3ar las características de un sistema que logre un ob*etivo general. "sto puede implicar el planteamiento de preguntas como las siguientes+
4ng. "fraín &urillo
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a. Cu!ntas Cu!ntas persona personass o estaciones estaciones deben deben emplearse emplearse para para proporciona proporcionarr un servicio servicio aceptable aceptable// b. eber!n los clientes esperar en una sola fila #como se hace en muchos bancos$ o en diferentes filas #como en el caso de los supermercados$/ c. eber! eber! haber haber una estación estación de traba*o traba*o separad separadaa que mane*a mane*a las cuestion cuestiones es 'especia 'especiales( les( #como #como el caso del acceso a primera clase en el mostrador de una aerolínea/ d. 0ué tanto tanto espacio espacio se necesita necesita para para que los clientes clientes o los los productos productos puedan puedan esperar/ esperar/ 6or e*emplo, e*emplo, en un sistema de reservaciones por teléfono, qué tan grande debe ser la capacidad de retención/ "sto es, cu!ntas llamadas telefónicas se deben mantener en espera antes de que las siguientes obtenga la se3al de ocupado/ "stas decisiones de dise3o se toman mediante la evaluación de los méritos de las diferentes alternativas, respondien respondiendo do a las preguntas preguntas de an!lisis del grupo 5 luego luego seleccion seleccionando ando la alternativa alternativa que cumpla con los ob*etivos administrativos. "n el presente capítulo se proporcionan las técnicas para anali7ar un sistema de colas dado. Sin embargo, las técnicas matem!ticas específicas dependen de la clase de sistema a la cual pertenece su modelo de colas A continuación se presentan algunas estructuras típicas de sistemas de colas existentes en nuestra realidad+
ESTRUCTURAS TÍPICAS Sistema
Llegadas (Entidades)
Aeropuerto
Aviones
Aeropuerto
Pasajeros
Dpto. De bomberos Compañía telefónica
Alarmas de incendio Números marcados
avado de carros
Autos
a corte
Casos
Panadería
Clientes
Cola Aviones en vuelo Pasajeros en espera
Avión Dpto. De Bomberos
lamadas
Conmutador
Autos sucios
!ecanismo de lavado
Casos atrasados Clientes en espera Camiones en espera
Cartas
Bu#ón
(studiantes )olicitantes
Producción
Pedidos
+ospital
Pacientes
)upermercado
Compradores
)olicitudes pendientes &rdenes de *rabajo *rabajo Personas enfermas Compradores en espera
4ng. "fraín &urillo
Pista
Incendios
Car%a de camiones &'cina de correos Pro%rama Profesional
Camiones
Mecanismo de Servicio
"ue# $endedor !uelle de car%a (mpleados del correo )ecretaria (ntre%a del producto terminado Personal de *urno Cajas de Pa%o
Sistemas de Colas
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Peaje
$e,ículos
Banco
Clientes
!antenimiento
!/uinas dañadas
$e,ículos en espera Clientes en cola !/uinas en espera
Caseta de Control de cobros $entanillas de depósitos - cobros 0eparación
Características de un sistema de colas 6ara anali7ar un sistema de colas, es me*or primero identificar las características importantes que se ilustran en la figura siguiente+ Componentes de un Sistema de Colas
Características: Las siguientes características se aplican a los sistemas de colas+
-na población de clientes, que es el con*unto de los clientes posibles, puede ser finita o infinita. -n proceso de llegada, que es la forma en que llegan los clientes de esa población al sistema. "xisten dos clases b!sicas de tiempo entre llegadas+ Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fi*o conocido. -n
e*emplo cl!sico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación de traba*o en intervalos invariables de tiempo #conocido como tiempos de ciclo$ Probabilístico , en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto variable #aleatorio$. Los tiempos
entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad. "n el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial , ha probado ser confiable en muchos de los problemas pr!cticos. La función de densidad, para una distribución exponencial depende de un par!metro, digamos λ #letra griega lambda$, est! dada por+
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
f(t)
;
e
t
en donde λ #lambda$ es el n)mero promedio de llegadas en una unidad de tiempo #tasa de llegadas$. Con una cantidad, :, de tiempo usted puede hacer uso de la función de densidad para calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes : unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente+
P(tiempo entre llegadas
e
t
Siendo la gr!fica respectiva la siguiente+
-n proceso de colas, que est! conformado por #a$ la manera que los clientes esperan para ser atendidos #b$ la disciplina de colas, que es la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio. Así tenemos que los clientes pueden formar una sola cola o varias colas pueden ser atendidos por uno o varios centros de servicio. Una sola cola y un solo centro de servicio
Una sola cola y varios centros de servicio
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
<
Varias colas y varios centros de servicio
-n proceso de servicio, que es la forma la rapide7 con la que es atendido el cliente. "l proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. "n algunos casos, puede existir m!s de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos los supermercados, de nuevo, son buenos e*emplos de lo anterior. Cada ventanilla cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal m)ltiple. "n dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapide7, o pueden no ser idénticos. 6or e*emplo, si todos los ca*eros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos. %osotros tomaremos en cuenta servidores idénticos. "n la pr!ctica resulta difícil determinar cu!l es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial. "n este caso, su función de densidad depende de un par!metro, digamos #la letra griega $ esta dada por
s(t)=(1/ )e-
t
en la que
= nmero promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo !tasa de servicio", de modo #ue 1$ = tiempo promedio invertido en atender a un cliente "n general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes de que pueda anali7ar el sistema, usted necesita identificar dicha distribución. La gr!fica respectiva tiene la siguiente figura+
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
>
Proceso de salida, que son de los siguientes dos tipos+ a.= Los elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos, lo que tiene como resultado un sistema de colas de un paso. 6or e*emplo los clientes de un banco esperan en una sola fila, son atendidos por uno de los ca*eros , después que son atendidos abandonan el sistema. b.= Los productos, a que son procesados en una estación de traba*o, son trasladados a alguna otra parte para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas. 6or e*emplo, los productos que son procesados en la estación de traba*o A después son enviadas a la estación de traba*o 1 o C. Los productos terminados en ambas estaciones, 1 C, luego son procesados en la estación , antes de abandonar el sistema.
"n el presente capítulo solamente se considerar!n sistemas de un paso Se necesitan diferentes an!lisis matem!ticos para cada uno de estos dos tipos de procesos de salida. A continuación se presenta una clasificación de los sistemas de colas, dentro de las cuales los modelos m!s comunes en nuestro medio son los modelos 5 >.
Cuadro de las propiedades de algunos modelos espec!cos de colas" %ase de %uente de (odelo 'istribución Servicio
1 8 9 ; < /
*n canal *nica -n canal -nica -n canal -nica -n canal -nica -n canal -nica (ulticanal *nica -n canal -nica
Población
&structura de )legadas
+ninita 4nfinita 4nfinita 4nfinita 4nfinita +ninita ?inita
&-ponencial "xponencial "xponencial "xponencial "xponencial &-ponencial "xponencial
'isciplina &structura de Colas de Servicio
"*emplos+
(odelo &0emplo ípico 5
Ca0ero automático
8
Lavado autom!tico de autos, *uegos mec!nicos
9
Brifo, m!quina de recepción de llamadas telefónicas
4ng. "fraín &urillo
%+% ?4?@ ?4?@ ?4?@ ?4?@ %+% ?4?@
&-ponencial Constante "xponencial iscreta e "rlang &-ponencial "xponencial
Capacidad del Sistema
+limitada 4limitada Limitada 4limitada 4limitada +limitada 4limitada
Sistemas de Colas ;
:iempo de vuelo transcontinental
<
6eluquería
>
&stación de pesa0e con al menos 2 balanas
:aller de reparación de m!quinas
34C+3 '& )S ('&)S '& C)4S -na notación que es en particular adecuada para resumir las características principales de un modelo de colas se ha estandari7ado universalmente en el formato siguiente+
a$b$c$d$e$ donde los símbolos a, b, c, d, e, f representan elementos b!sicos del modelo en la forma siguiente+ a distribución de llegadas #por e*emplo+ distribución exponencial o 6oisson #&$2 tiempo entre llegadas constante o determinística #$2 distribución de "rlang o gamma #"D$2 distribución general #B$$. b distribución del tiempo de servicio #por e*emplo+ distribución exponencial o 6oisson #&$2 tiempo de servicio constante o determinístico #$2 distribución de "rlang o gamma #"D$2 distribución general #B$$. c n)mero de servidores en paralelo #D$ del sistema. d disciplina del servicio #por e*emplo+ primero en llegar, primero en ser atendido #?4?@$2 )ltimo en llegar, primero en ser atendido #L4?@$2 atención por prioridad #6$$. e n)mero m!ximo admitido en el sistema o capacidad del sistema #finito o infinito$. f tama3o de la población #finito o infinito$. 6or e*emplo la notación ($'$5$%+%$ $67, representa a un modelo donde la distribución de llegadas es "xponencial o 6oisson, la distribución del tiempo de servicio es determinístico, el sistema tiene ; servidores en paralelo, la disciplina del servicio es primero en llegar primero en ser atendido, la capacidad del sistema es infinita el tama3o de la población en de
%8(*)4S '& C)4S P484 )S ('&)S 1 9 / onde+ D ρ λFµ λ µ
:asa de llegadas :asa de servicio %)mero de servidores del sistema -tili7ación potencial de la instalación de servicio
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
I
S+S&(4 ($($1$%+%$ $ donde < 3mero promedio de clientes en cola λ 8 µ # µ − λ $
=
Lq
ó
Lq
=
ρ 8 5 − ρ
iempo promedio de espera en cola Wq
=
λ µ # µ − λ $
ó
Wq =
Lq
λ
iempo promedio de espera en el sistema W
=
5
ó
µ − λ
W
= Wq +
5
µ
3mero promedio de clientes en el sistema L
=
λ
ó
µ − λ
L = λ W
Probabilidad de #ue no :a;a clientes en el sistema 6o 5=
λ µ
ó
6o 5=ρ
Probabilidad de #ue un cliente #ue llega tenga #ue esperar 6G
λ ρ µ
ó
6G 5 = 6o
Probabilidad de #ue :a;a n clientes en el sistema n
λ λ Pn = 5 − µ µ
ó
6n ρnH6o
*tiliación U =
λ µ
ó
-ρ
S+S&(4 ($($$%+%$ $ 3mero promedio de clientes en cola
4ng. "fraín &urillo
donde <
Sistemas de Colas
K
K
λ λµ µ Lq = P E 8 #k − 5$J( D µ − λ )
( ρ ) K +5 Lq = P E 8 # k − 5$J( D − ρ )
ó
iempo promedio de espera en cola k
λ Wq = 8 λ µ µ kk J5 − µ k Po
Wq =
ó
Lq
λ
iempo promedio de espera en el sistema W
5
= Wq +
µ
3mero promedio de clientes en el sistema L = Lq
+
λ µ
L = λ W
ó
Probabilidad de #ue no :a;a clientes en el sistema P E
5
=
n
λ k −5 µ + ∑ nJ
n =E
k
λ µ k J5 − λ μk
P E
ó
=
5 k −5
n
ρ
∑ nJ + k J( k − ρ ) n=E
Probabilidad de #ue un cliente #ue llega tenga #ue esperar k
λ 6G µ
Po
k J 5 −
λ µ k
k ρ k Po 6G k J# k − ρ $
ó
Probabilidad de #ue :a;a n clientes en el sistema !si n " n
Pn
=
5 λ Po nJ µ
ó
Pn =
ρ n nJ
Po
Probabilidad de #ue :a;a n clientes en el sistema !si n" Pn
( =
n
λ µ
n k
k Jk
Po
ó
Pn =
ó
-
−
*tiliación U =
λ µ k
4ng. "fraín &urillo
ρ k
ρ n Po k Jk n − k
k
k ρ
Sistemas de Colas
5E
"*emplo+ Sistema !/!/1 12 !/!/k 21
k
Lq
L
Wq
W
Po
Pw
Pn=3
15
1
0.8
3.2
4
0.267
0.333
0.2
0.8
0.1024
0.8
8
3
2.625
5.413
8.038
0.258
0.383
0.032
0.773
0.097
0.875
4P)+C4C+3&S 4P)+C4C+>3 1.? Como se acerca la temporada de gripe, la universidad desea instalar un local para proporcionar inecciones a los estudiantes, al personal a los profesores. La duda que existe tiene que ver con el nivel del personal para atender las distintas demandas posibles. -na opción es contratar a sólo una enfermera. Suponga que la enfermera puede aplicar 55E inecciones por hora, distribuidas exponencialmente. "n promedio, la gente llega cada 9> segundos con distribución 6oisson. a$ Cu!l es la utili7ación de la enfermera/. b$ Cu!nta gente habría en el sistema #sin incluir a la enfermera$/. c$ Cu!nto tiempo tardaría, si acaba de unirse a la cola, para recorrer el sistema #incluendo la inección$/. d$ Cu!l es la probabilidad de que existan 9 ó m!s personas en el sistema #sin incluir a la enfermera$/. e$ Cu!l es la probabilidad de que haa 8 estudiantes esperando el servicio/. f$
Las metas de servicio indican que un estudiante que llega no debe esperar para que lo atiendan m!s de 9 minutos en promedio. Se est! cumpliendo esta meta/. e lo contrario 0ué acción recomendaría -d./.
S)*C+>3 atos+ µ 55E inecciones por hora λ 5EE inecciones por hora
5 Sistema mFmF5 a$
Cu!l es la utili7ación de la enfermera/. -KE.KEK5M
b$ Cu!nta gente habría en el sistema #sin incluir a la enfermera$/. L5E estudiantes c$ Cu!nto tiempo tardaría, si acaba de unirse a la cola, para recorrer el sistema #incluendo la inección$/. N E.5 horas d$ Cu!l es la probabilidad de que existan 9 ó m!s personas en el sistema #sin incluir a la enfermera$/. 6nO9 5= 6nP8 5= E.8;I E.<59 osea <.59M e$ Cu!l es la probabilidad de que haa 8 estudiantes esperando el servicio/.
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
55
6n9 E.E>I9 osea >.I9M f$ Las metas de servicio indican que un estudiante que llega no debe esperar para que lo atiendan m!s de 9 minutos en promedio. Se est! cumpliendo esta meta/. e lo contrario 0ué acción recomendaría -d./ Nq<.; minutos, entonces no se est! cumpliendo con el requerimiento, por lo que se recomienda como una de las alternativas agregar otra enfermera al sistema.
CASO 1.- Problema de la Estación de Pesaje en la carretera Panamericana Norte &SC&348+ 4C*4)@ Se desea estudiar el dise3o para una estación de pesa*e de camiones en la carretera 6anamericana %orte. La tasa promedio de llegadas de los camiones se estima en 5 cada minuto con distribución exponencial la tasa promedio de camiones que pueden ser pesados es de >> por hora con distribución también exponencial. "fectuar el an!lisis de estado estable del sistema, suponiendo que la población de clientes la capacidad del sistema son infinitas, las llegadas son de uno en uno la disciplina de colas es el primero en llegar el primero en ser atendido. S@L-C4@%+
&odelo &F&F5F?4?@F∝F∝ >E camionesFhora >> camionesFhora 5 estación de servicio Cálculo de las medidas de rendimiento del sistema +
a" *tiliación@ U =
λ = E.KEK5 ≈ KE.K5M #de probabilidad que el sistema esté ocupado$ µ
b" 3mero promedio en la ila@ Lq
=
λ 8 µ K.EK camiones en espera. µ # µ − λ $
c" iempo promedio de espera en la cola@ Wq
=
λ E.5<5< hrs. ≈ K.EK minutos en espera antes de que sea atendido. µ # µ − λ $
d" iempo promedio de espera en el sistema@ W =
5
µ − λ
E.5>> hrs. ≈ 5E minutos para que el camión abandone el sistema.
e" 3mero promedio en el sistema@
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
L
"
=
λ µ − λ
58
5E camiones en el sistema #los que se encuentran en espera el que es atendido$.
Probabilidad de #ue no :a;a clientes en el sistema@ 6o 5=
λ E.EKEK ≈ K.EKM #de probabilidad de que el sistema se encuentre ocioso$ µ
g" Probabilidad de #ue el cliente #ue llega tenga #ue esperar@ 6G
λ E.KEK5 ≈ KE.K5M #de probabilidad de que el camión al llegar tenga que esperar$ µ
:" Probabilidad de #ue :a;a n clientes en el sistema@ n
λ λ Pn = 5 − µ µ n E 5 8 + 5< 1/ 5 +
Pn E.EKEK E.EI8> E.E<5 + E.E85I 7.71B E.E5IE +
P! n" = PoAP1A ...APn E.EKEK E.EKEKQE.EI8> E.59> E.59>QE.E<5 E.8;I + E.>E>QE.E85I E.I8; 7.D25A7.71B = 7.722 E.IE88QE.E5IE E.I8E5 +
P!n" = 1 P# n $ 5=E.EKEKE.KEK5 5=E.59>E.I8>; 5=E.8;IE.<59 + 5=E.I8;E.85> 1?7.722=7.1BD 5=E.I8E5E.5KK +
bservación@ "n realidad la capacidad del sistema es de 5> camiones. e la tabla se observa que existe un 5K.IM de probabilidad que habr! m!s de 5> camiones en el sistema #uno en servicio 5> ó m!s en espera$. "ste n)mero puede traer numerosas complicaciones operativas para la estación por ello el dise3ador deber! pensar en otra alternativa.
3*&E &SC&348+@ Con información adicional el dise3ador se informa que el tr!fico de camiones tiende a incrementarse en el corto pla7o hasta un valor de E camiones por hora. 6ara afrontar la situación de la reducida eficiencia del sistema el nuevo estimado del tr!fico de camiones, el dise3ador piensa contratar m!s personal con lo que estima me*ore en 5EM la tasa de atención del servicio de pesado, por lo tanto se debe evaluar la nueva situación+
S)*C+3 &odelo &F&F5F?4?@FαFα λ E camiones por hora µ 9 camiones por hora D 5 estación de servicio Cálculo de las medidas de rendimiento del sistema + * = E.K
)# 88.9 camiones F# = E.95K> hrs. ≈ 5K.5 minutos F = E.9999 hrs. ≈ 8E minutos ) = 89.99 camiones Po = E.E;55 ≈ ;.55M # sistema ocioso$ PG = E.K
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
59
P!n=1/" = E.E85 P!n 1/" = E.<5 P!n1/" E.;K Los resultados empeoraron, por lo que es necesario sugerir alternativas de optimi7ación al sistema.
4)&834+E4 '& P+(+H4C+3 Ante esta situación desfavorable, el dise3ador piensa en la siguiente alternativa+ Construir una nueva plataforma, equip!ndola con una balan7a independiente el personal de operación respectivo. "sta opción permitiría atender dos camiones en simult!neo a una tasa promedio de ;E camiones por hora por balan7a. Al igual que en el anterior escenario, debemos de efectuar la evaluación correspondiente+
S)*C+3 &odelo &F&F8F?4?@F∝F∝ E camionesFhora µ ;E camionesFhora D 8 estaciones de servicio C!lculo de las medidas de rendimiento del sistema+ a$ ρ λFµ EF;E 5.< b$ -tili7ación+ U =
λ E.I< ≈ I.
c" Probabilidad de #ue no :a;a clientes en el sistema@
=
P E
5 k −5
n
ρ
k
k ρ
∑ nJ + k J( k − ρ ) E.E>> ≈ >.>M # sistema ocioso$ n=E
d" 3mero promedio en la ila@ K
λ λµ <.5 camiones µ Lq = P E 8 #k − 5$J( D µ − λ ) e" iempo promedio de espera en la cola@ Wq =
"
Lq
λ
E.EI5 hrs. ≈ ;.K minutos
iempo promedio de espera en el sistema@ W
= Wq +
5
µ
E.5E> hrs. ≈ >.; minutos
g" 3mero promedio en el sistema@ L
= λ W .; camiones
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
5;
:" Probabilidad de #ue el cliente #ue llega tenga #ue esperar@ k ρ k Po E.I5 ≈ I.5M 6G k J# k − ρ $
i"
Probabilidad de #ue :a;a n clientes en el sistema@ Si n
Pn =
ρ n nJ
Po
ρ n Po k Jk n − k
Si n
Pn =
n
Pn
P! n"
P!n"
E 5 8 9 + 1/ +
E.E>> E.55> E.5E85 E.EIK9 + 7.716D +
E.E>> E.5I99 E.8I<; E.9; + 7.B
E.K999 E.I5> E.5;> E.>8<9 + 7.1172 +
+
"l tiempo de espera es solamente >.; minutos la probabilidad de que haa m!s de 5> camiones en el sistema es 55.E8M, cifras mu aceptables.
434)+S+S &C3>(+C 3I(&8 '& S&8E+'8&S
'&)
Cuando se dise3a un sistema de colas, a menudo la pregunta clave es cu!ntos servidores tener. 6roporcionar demasiados provoca costos excesivos2 tener mu pocos ocasiona una espera excesiva de los clientes. 6or lo tanto, la selección del n)mero de servidores involucra encontrar un trueque adecuado entre el costo de los servidores el tiempo de espera. "n muchos casos, las consecuencias para una organi7ación de hacer esperar a sus clientes se puede expresar como un costo de espera. "sto es cierto en especial cuando los clientes son internos a la organi7ación, como los empleados de la compa3ía. Racer que uno de sus empleados espere provoca pérdida de productividad, que redunda en pérdida de anancia . "sta pérdida es el costo de espera. -n gerente est! interesado en minimi7ar el costo total. Sean C: Costo :otal esperado por unidad de tiempo CS Costo del Servicio esperado por unidad de tiempo CN Costo de "spera esperado por unidad de tiempo "ntonces el ob*etivo es elegir el n)mero de servidores con el fin de &inimi7ar C: CS Q CN Cuando cada servidor cuesta lo mismo, el costo del servicio es
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
5<
CS CsHD onde Cs costo de un servidor por unidad de tiempo D n)mero de servidores Cuando el tiempo de espera es proporcional a la cantidad de la espera, este costo se puede expresar como CN CGHL onde CG costo de espera por unidad de tiempo para cada cliente en el sistema de colas L n)mero esperado de clientes en el sistema. "ntonces después de estimar las constantes Cs CG, la meta es elegir el valor de S con el fin de
(inimiar C = CsJK A CGJ) Al seleccionar el modelo de colas que se a*usta al modelo de colas, se puede obtener el valor de L para diversos valores de D. "l aumento de D disminue L, primero con rapide7 luego en forma gradual m!s lenta. La figura siguiente muestra la forma general de las curvas CS, CN C: respecto al n)mero de servidores .
Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Costo COSTO TOTA" ESPERADO (CT
Costo Total Mínimo
Costo por proporcionar el SER!ICIO (CS
Costo por TIEMPO DE ESPERA (CW
Nivel Óptimo de Servicio
Nivel de Servicio (K)
Al calcular C: para valores consecutivos de hasta que C: de*a de disminuir comien7a a aumentar, se halla el n)mero de servidores que minimi7a el costo total.
&0emplo de 4plicación@
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas
5>
4plicación 1@-na compa3ía
tiene un depósito de herramientas para almacenar las herramientas requeridas por los mec!nicos del taller. os empleados operan el depósito de herramientas. Los empleados entregan las herramientas conforme llegan los mec!nicos las piden, las devuelven a los empleados cuando a no las necesitan m!s. Los supervisores se que*an de que los mec!nicos desperdician mucho tiempo esperando ser atendidos en el depósito de herramientas, de modo que parece que debería más empleados. 6or otra parte, la administración e*erce presión para reducir los gastos indirectos en la planta esta reducción llevaría a tener menos empleados. 6ara resolver estas presiones en conflicto, se lleva a cabo un estudio de métodos cuantitativos para determinar cu!ntos empleados debe tener el depósito de herramientas. "l depósito de herramientas constitue un sistema de colas, con los empleados como servidores los mec!nicos como sus clientes. espués de reunir algunos datos de tiempos entre llegadas de servicio, el equipo de métodos cuantitativos concluó que el modelo de colas que me*or se a*usta a este sistema es el modelo &F&FD. Las estimaciones de la tasa media de llegadas λ de la tasa media de servicio #por servidor$ µ son λ 58E clientes por hora µ IE clientes por hora
de modo que el factor de utili7ación de los dos empleados es ρ =
λ = 58E k µ 8#IE$
= E.A<
"l costo total para la compa3ía de cada empleado del depósito de herramientas es alrededor de 8E por hora, de modo que Cs8E. &ientras un mec!nico est! ocupado, el valor de su producción para la compa3ía promedia ;I por hora, de modo que CG;I. "ntonces el equipo de métodos cuantitativos necesita encontrar el n)mero de servidores D #empleados del depósito de herramientas$ que+ &inimi7a C: 8EHD Q ;IHL "l equipo de métodos cuantitativos se apoa en el Nin0S1 para determinar el costo total para diferentes valores de D. La tabla siguiente muestra la información relevante para la toma de decisiones.
k 1 2 3 4 5
1.5 0.75 0.5 0.375 0.3
L ∞ 3.43 1.74 1.55 1.5
"osto "osto del de Ser#i$io %spera ∞ $20 $40 $60 $80 $100
$165 $83 $74 $72
"osto &otal ∞ $205 $143 $154 $172
Como el factor de utili7ación para D5 es 5.<, un solo empleado no podría atender a los clientes, de modo que se desecha esta opción. :odos los valores maores de D son factibles, pero D9 tiene el menor costo total. &!s a)n, D9 disminuiría el costo total actual de D8 en >8 por hora. Así, a pesar del esfuer7o actual de la administración para reducir los gastos indirectos #que incluen el costo de los empleados del depósito de herramientas$, el equipo de métodos cuantitativos debería recomendar que se a3ada un tercer empleado al almacén de herramientas. %ote que esta recomendación disminuiría el factor de utili7ación de los empleados de un a modesto E.< hasta E.<. Sin embargo, debido a la gran me*ora en la productividad de los mec!nicos #mucho m!s costoso que los empleados$ con la reducción de su tiempo desperdiciado esperando en el depósito de herramientas, la administración tendría que adoptar la recomendación.
'pli$a$in 2.-
La compa3ía &!quinas de alimentos, S.A., produce m!quinas vendedoras de alimentos para una gran universidad. La gerencia tiene un constante problema de mantenimiento, a que los
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estudiantes golpean las m!quinas cada ve7 que se eno*an. "l promedio de averías es de tres por hora tienen una distribución de 6oisson. Los periodos de inactividad tienen un costo de 8< dólares por hora por m!quina para la compa3ía cada mec!nico recibe ; dólares por hora. -n traba*ador puede reparar m!quinas a una tasa promedio de cinco por hora, distribuida exponencialmente2 dos traba*adores, *untos, pueden atender siete por hora, con distribución exponencial2 un equipo de tres mec!nicos pueden reparar ocho por hora #distribución exponencial$. Cu!l es el tama3o óptimo del grupo de mec!nicos para reparar las m!quinas/ 4ndicar el costo total para cada alternativa.
S)*C+>3 atos+ λ 9 m!quinas por hora µ con 5 traba*ador < m!quinas por hora µ con 8 traba*adores m!quinas por hora µ con 9 traba*ador es I m!quinas por hora
CG 8< dólares por hora Cs ; dólares por hora
Sistema m$m$1 "ntonces+ L con 5 traba*ador 5.< m!quinas L con 8 traba*adores E.< m!quinas L con 9 traba*adores E.> m!quinas 6or lo tanto+ C: con 5 traba*ador 8
.< dólares C: con 9 traba*adores 8 Q 9H; 8 dólares "n consecuencia el tama3o óptimo del grupo de mec!nicos es de 8
'pli$a$in 3.- "n el departamento de servicio de la agencia de automóviles B&2 los mec!nicos que necesitan recambios para la reparación o el servicio de un automóvil presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de recambios. "l empleado del departamento llena una solicitud mientras el mec!nico espera. Los mec!nicos llegan en forma aleatoria #6oisson$ a una tasa de ;E por hora un empleado puede llenar 8E solicitudes por hora #"xponencial$. Si el costo de un empleado del departamento de recambios es de > dólares por hora el de un mec!nico es de 58 dólares por hora, determine si B& debe contratar 8, 9 ó ; empleados adicionales para el mostrador. #6or la alta tasa de llegadas, se puede suponer una fuente infinita$. 4ndique el costo total para cada alternativa.
S)*C+>3 A:@S+ λ ;E mec!nicos por hora µ 8E mec!nicos por hora Cs > dólares CG 58 dólares
Sistema m$m$ D
&mpleado &mpelados otal actual adicionales empleados ) 5 8 9 8.IIIK m!quinas 5 9 ; 8.59K m!quinas
4ng. "fraín &urillo
C 58H8.IIIKQ>H9 <8.>>>I dólares 58H8.59KQ>H; I dólares
Sistemas de Colas 5
5I
;
<
8.E9KI m!quinas
58H8.E9KIQ>H< <;.;> dólares
6or lo tanto se deber! contratar 9 empleados adicionales %ota+ "stas respuestas son obtenidas aplicando las fórmulas respectivas+ K
λ λµ µ Lq = P E 8 #k − 5$J( D µ − λ ) L = Lq
P E
=
+
λ µ
5 n
λ k −5 µ + ∑ n =E
nJ
k
λ µ k J5 − λ μk
4P)+C4C+3&S P8P*&4S 1.? La gerencia de una compa3ía &anufacturera tiene un constante problema de mantenimiento. "l promedio de averías es de E.< m!quinas por hora tienen una distribución 6oisson. -n mec!nico puede reparar m!quinas a una tasa promedio de 5 por hora, distribuida exponencialmente. La compa3ía tiene actualmente 5 traba*ador asignado a la reparación de m!quinas. La gerencia a efectos de tomar decisiones de optimi7ación solicita a -d. la siguiente información+ a$ La probabilidad de que el empleado de mantenimiento este ocioso. b$ La probabilidad de que el empleado este ocupado. c$ "l tiempo promedio de las m!quinas sin operar. d$ Si -d. llega a la instalación Cu!ntas m!quinas esperaría ver averiadas/. e$ Cu!l es la probabilidad de que haa 8 m!quinas esperando el servicio/. f$
Las metas de servicio indican que una m!quina que llega no debe esperar para que lo atiendan m!s de 8 horas en promedio. Se est! cumpliendo esta meta/. e lo contrario 0ué acción recomendaría -d./.
2.=Al 1anco NT llega un promedio de 5EE clientes por hora. -n servidor se tarda un promedio de 8 minutos en atender a un cliente. Los tiempos entre llegadas de servicio son exponenciales. "l banco tiene actualmente cuatro servidores traba*ando. "l gerente desea comparar los dos sistemas siguientes en cuanto al tiempo promedio que un cliente espera en cola+
Sistema 1. Cada servidor tiene su propia cola no se permite cambiar de cola. Sistema 2. :odos los clientes esperan en una cola )nica a que se desocupe un servidor.
4ng. "fraín &urillo
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5K
Si -d. fuera el gerente del banco, qué sistema escogería/.
L.=-na lavandería tiene muchas lavadoras. -na m!quina normal se descompone una ve7 cada < días. -n técnico puede reparar una m!quina en un promedio de 8.< días. "n la actualidad, ha tres técnicos en servicio. "l due3o de la lavandería tiene la opción de cambiarlos por un supertécnico que puede reparar una m!quina en un promedio de de día. "l sueldo del supertécnico es igual al de los tres técnicos *untos. Los tiempos entre descomposturas los de servicio son exponenciales. ebe cambiar la lavandería los tres técnicos por el supertécnico/.
5.? "n el taller mec!nico de aniel S.A., ; gr)as elevadas dan servicio a cierto n)mero de m!quinas de producción. Si todas las gr)as est!n ocupadas un mec!nico debe esperar servicio, el costo del tiempo de espera es de ;.
6.? A una instalación portuaria llegan barcos a una tasa promedio de 8 barcos cada 9 días. "n promedio, una sola cuadrilla necesita 5 día para descargar un barco. Suponga que los tiempos entre llegadas de servicio son exponenciales. La compa3ía naviera posee tanto los barcos como el muelle. Se pide+ a$ "n un periodo de 9E días, en promedio cu!ntos días de traba*o efectivo tendr! la cuadrilla/. b$ Cu!ntos días en promedio esperar! un barco antes de ser atendido/. c$ Cu!ntos barcos se espera encontrar en un día cualquiera en el sistema/. d$ Cu!l es la probabilidad de que la cuadrilla se encuentre ociosa/. e$ Cu!l es la probabilidad de que haa m!s de 8 barcos esperando el servicio/. Se calcula que a la naviera le cuesta 5EEE dólares por día que pasa un barco en puerto. La cuadrilla que atiende a los barcos consiste en 5EE traba*adores, se paga un promedio de 9E dólares diarios a cada uno de ellos. -n consultor ha recomendado que la naviera contrate ;E ali*adores adicionales divida a los traba*adores en dos cuadrillas iguales de E personas cada una. "sto haría que el tiempo promedio de carga o descarga para cada cuadrilla fuera de 5.< días. 0ué organi7ación de cuadrillas recomienda el alumno a la naviera/.
/.= -na gestoría dispone de tres personas que atienden al p)blico2 cada una de ellas tarda una media de 5E minutos en atender a un cliente. a$ Supongamos que los clientes llegan con una tasa de 5< por hora. a.5$ Con qué probabilidad un cliente tiene que esperar para ser atendido/. a.8$ Cu!l es n)mero medio de clientes en la cola/. a.9$ Cu!l es el tiempo medio de espera en el sistema/. b$ Supongamos que se estructura la gestoría en tres servicios+ uno dedicado a las gestiones de compraFventa, el segundo para documentación #%4, pasaportes, carnéts de conducir, etc.$ el tercero para las restantes gestiones. Ahora, la tasa de llegada de los clientes a cada uno de los servicios es de < por hora. Adem!s, cada uno de los tres empleados est! asignado a un )nico servicio. b.5$ Con qué probabilidad un cliente tiene que esperar para ser atendido/.
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8E
b.8$ Cu!l es el n)mero medio de clientes en la cola/. b.9$ Cu!l es el tiempo medio de espera en el sistema/. Cu!l de las 8 alternativas anteriores le parece m!s conveniente/. Va7ónelo.
D.? Al 1anco de Crédito del centro de la ciudad llegan los clientes de 5E a 55 am. A ra7ón de 8 por hora los de la sección C a una velocidad de 8 por hora. Asumiendo que las llegadas los servicios tienen comportamientos exponenciales, se pide+ a$ Si el gerente quiere que los tiempos de espera en las secciones A, 1 C sean menores a , 58 8E minutos respectivamente, Cu!ntos servidores activos se deber! programar en cada sección de 5E a 55 am./ b$ Los empleados de la sección A reclaman por su escaso tiempo para descansar desean disponer de al menos < minutos, Cu!ntos servidores debe programarse de 5E a 55 am./ c$ "n la sección 1 existen clientes cuo costo de oportunidad en promedio es SF.
.? -na franquicia
de comidas r!pidas est! considerando operar una operación de ventanilla para automóviles de servicio de alimentos. Suponga que las llegadas de los clientes siguen una distribución de probabilidad de 6oisson, con una tasa media de llegadas de 8E automóviles por hora que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. Los clientes que llegan colocan sus pedidos en una estación de intercomunicación en la parte trasera del estacionamiento a continuación conducen hasta la ventanilla de servicio para pagar recibir sus compras. Se est!n considerando las siguientes tres alternativas de servicio+ 4. -na operación de un solo canal, en la que un empleado surte el pedido recibe el dinero del cliente. "l tiempo promedio de servicio de esta alternativa es 8.< minutos. 44. -na operación de dos canales, con dos ventanillas de servicio dos empleados. "l empleado estacionado en cada una de las ventanillas surte el pedido cobra a los clientes que llegan a su ventanilla. "l tiempo promedio de servicio de esta alternativa es 8.< minutos para cada canal. Vesponda las preguntas siguientes recomiende un dise3o alternativo para la franquicia de comidas r!pidas. a$ b$ c$ d$ e$
Cu!l es la probabilidad de que no haa ning)n cliente en el sistema/. Cu!l es el tiempo promedio que espera un automóvil el servicio/. Cu!l es n)mero promedio de automóviles en el sistema/. Cu!l es la probabilidad de que un automóvil que llega tenga que esperar servicio/. Cu!l es la probabilidad de que haa m!s de 8 automóviles en cola
La siguiente información de costos est! disponible para la franquicia de comidas r!pidas+ = =
"l tiempo de espera del cliente se eval)a en 5E dólares la hora. "l costo de cada empleado es de < dólares la hora.
4ng. "fraín &urillo
Sistemas de Colas =
85
Al tomar en consideración espacio equipo, se le asigna un costo adicional de 5E dólares la hora a cada uno de los canales. f$ Cu!l es el dise3o del negocio de comida r!pida con un costo m!s ba*o/.
4ng. "fraín &urillo