Apuntes de Clase - Simulacion de Montecarlo

Simulación de Sistemas

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PROGRAMA Profesional de Ingeniería Industrial

APUNTES DE CLASE

SIMULACIÓN DE MONTECARLO Realizado por: Ing. Efraín Rafael Murillo Quispe

AREQUIPA – PERU

2012

Ing. Efraín Murillo


1.

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Modelado de la Aleatoriedad

VARIABLE ALEATORIA Dado un exper Dado experime imento nto aleato aleatorio rio cualq cualquie uiera ra cuyos cuyos suceso sucesoss elemen elemental tales es posibl posibles es pue puede denn Variable Aleatoria Aleatoria, X, al identificarse fácilmente mediante un número real, se denomina Variable conjunto de estos números. También se le llama variable de azar o variable estocástica, y significa cantidad que puede tomar varios valores imprevistos. Ejemplo 1.- Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento (sucesos elementales) son los siguientes: <>, <>, <>, <>, <> y <>. Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental el número correspondiente correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria, X, será: X= 1,2,3,4,5,6 Por el con contra trario rio,, si dad dadoo un exp experi erimen mento to aleato aleatorio rio cualq cualquie uiera ra no result resultaa inmed inmediat iataa la asociación de un número para cada uno de los posibles sucesos elementales, se establece una correspondencia entre el conjunto de los posibles sucesos elementales y el conjunto de los números reales, de manera que a cada suceso elemental le corresponda un número real arbitrario y que a sucesos elementales distintos les correspondan números distintos. Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los números reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales. Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <>, <>, <>. En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales elementales posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente:



3

Al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 3. La variable aleatoria X será: X = (1,2,3).

CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS Las variables aleatorias pueden ser continuas o discontinuas. En este último caso se denomina también discretas.

a) VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.Si X es una Variable aleatoria continua , puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación variación dado. Las probabilidad probabilidades es de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1. Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un número, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las alturas que son capaces de saltar las distintas personas.

Ejemplo.-

En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existiría ninguna razón para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las dos anteriores, como 105.5 cm. Se trata de una variable aleatoria continua.

b) VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA O DISCRETA. Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria probabilidad. X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad. Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos

elem elemen enta tale less del del expe experim rimen ento to,, <> >>,, <> >>,, no vien vienen en representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <> se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental <> se le hace corresponder el número “2”.



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La variable aleatoria será: X = (1,2). Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2

Distribuciones de probabilidad Cuando las variables aleatorias toman diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad , la cual es la distribución de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria. Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una tabla, una gráfica o función n de una una fórm fórmul ula, a, en cuyo cuyo caso caso tal tal regl reglaa de corre corresp spon onde denc ncia ia se le deno denomi mina na funció probabilidad. Las distribuciones de probabilidad comunes en simulación son: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrica, Hipergeométrica, Exponencial, Exponencial, Normal, Triangular, Gamma, Erlang, Lognormal, Weibull. A continuación se presenta 4 casos de distribución de frecuencias:

Caso 1. Sea x una variable aleatoria que representa los intervalos de llegada (en minutos) de vehículos a una estación de gasolina. Se ha recopilado las siguientes observaciones correspondientes a los primeros 20 autobuses: 2 5 1 4 2 1 3 7 9 1 3 1 3 8 2 4 5 2 6 1 Se observa que el rango de los datos está entre 0 y 9, por lo tanto se puede establecer 9 clases. La distribución de frecuencias de cada clase para esta muestra de datos sería la siguiente:

Se observa que la gráfica se aproxima a una distribución exponencial. Nota: Si el rango de los datos es muy grande, por ejemplo entre 0 y 100, se aconseja establecer intervalos de clase. Ing. Efraín Murillo


5

Caso 2. Sea x una variable aleatoria que representa la demanda en miles de unidades de un producto. Se ha obtenido los siguientes 20 datos: 3 0 5 1 9 5 2 6 3 4 7 4 10 5 6 4 6 7 5 8 La distribución de frecuencias respectiva es la siguiente:

Se observa que la gráfica se aproxima a una distribución normal.

Caso 3. Sea x una variable aleatoria con distribución uniforme que representa el número de asientos vacíos que trae un autobús al llegar a un paradero. Se ha obtenido los siguientes datos para la llegada de 20 autobuses: 2 7 1 9 6 2 3 7 4 10 4 5 1 9 6 3

8 5 8 10

La distribución de frecuencias es la siguiente:

Se observa que la gráfica corresponde a una distribución uniforme.



6

Caso 4. Sea x una variable aleatoria que representa la demanda diaria de un artículo. Se ha obtenido los siguientes datos para los primeros 20 días: 7 1 5 4 7 2 3

5 6 7 8 5 7 3 5 7 9 5 3 4

Se observa que la gráfica no se aproxima a ninguna distribución matemática, por lo tanto se asume que es una distribución empírica. Por lo tanto, la gráfica de distribución de frecuencias relativas nos da una idea de la expresión matemática que representará a una variable aleatoria. En un modelo de simulación es importante conocer las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias, ya que a través de ellas se reproducirán los valores requeridos para imitar el funcionamiento del sistema en estudio. Para reproducir dichos valores se requiere números aleatorios, por lo tanto hay que generar primeramente dichos números.

NÚMEROS ALEATORIOS Definición: Son números que deben de cumplir los requisitos de espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro. Para generar números aleatorios hay que recurrir a los números pseudoaleatorios por que fundamentalmente las sucesiones de números pseudoaleatorios son más rápidas de generar que las de números aleatorios.

Números Pseudolaeatorios .- Son unos números generados por medio de una función (determinista, no aleatoria) y que aparentan ser aleatorios. Criterios para que las secuencias de números pseudoaleatorios sean aceptables: 1. Que sean uniformemente distribuidas Ing. Efraín Murillo


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2. 3. 4. 5.

Que sean estadísticamente independientes Que sean reproducibles Que sean no cíclicas o no periódicas Que el método con el cual se genera sea capaz de generar números aleatorios a altas velocidades 6. Que sea capaz de ocupar el mínimo espacio en la memoria del computador Las técnicas para generar números aleatorios son: 1) Utilizando TABLAS DE NUMEROS ALEATORIOS: APÉNDICE B 2) Mediante FUNCIONES ESPECIFICAS 2.1 En EXCEL: Aleatorio( ) 2.2 En PASCAL: RANDOM 2.3 En Visual Basic: RND( ) 2.4 etc. 3) METODO DE CONGRUENCIA LINEAL: Genera números uniformemente distribuidos y estadísticamente independientes. Xi+1 = (aXi + c) Mod m Donde: Para i=0, entonces Xo es la semilla, “ a” es el multiplicador, “ c” el incremento constante y “ m” el módulo. Ejemplo: para Xo=35, a=13, c=65 y m=100 X1= (13*35+65) mod 100 = 20 X2 = (13*20+65) mod 100 = 25 X3 = (13*25+65) mod 100 = 90 Etc. 4) OTROS Una serie de números pseudoaleatorios requieren ser validados mediante pruebas de uniformidad y aleatoriedad. Los números de una serie generada y validada servirán finalmente para generar valores para nuestras variables aleatorias.

GENERACIÓN DE VALORES DE VARIABLES ALEATORIAS 1. VARIABLES DISCRETAS Distribución Empírica Distribución Geométrica 2. VARIABLES CONTINUAS Distribución Exponencial Distribución Uniforme Distribución Normal ETC.



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1. Generación de Valores de Variables Aleatorias con:

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Sea t una variable aleatoria que representa los intervalos de llegada (en minutos) de vehículos a una estación de gasolina a la cual llegan a una tasa λ, por lo tanto para simular el sistema necesitamos generar valores para la variable aleatoria t, la cual sigue una distribución exponencial. El procedimiento es el siguiente: 1° Generar un número aleatorio r entre 0 y 1 2° Usar el valor r para resolver la siguiente ecuación para t: F(t) = r 1 - e-λt = r e-λt = 1 – r ⇒ t=-

1

λ

*ln(1 – r)

Por lo tanto para el ejemplo específico que implica los intervalos entre llegadas de vehículos a la estación de gasolina, en el que λ= 12 vehículos por hora (0.2 vehículos por minuto) y se genera un número aleatorio uniforme de, digamos, r = 0.3329, entonces el próximo vehículo llegará dentro de: t=-


1 0 .2

*ln(1-0.3329)= -5*ln(0.6671)= -5*(-0.4048) = 2.024 minutos


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DISTRIBUCIÓN NORMAL Suponga que necesita generar la demanda D de leche que sigue una distribución normal con una media de 750 galones al día y una desviación estándar de 100 galones. Para hacer eso con una variable aleatoria normalmente distribuída, con una media de y una desviación estándar de , haga lo siguiente: 1° Genere un número aleatorio uniforme r entre 0 y 1. 2° Use este valor r para encontrar un valor de t para el que: F(t) = P(D ≤ t) = r Es decir, encontrar el valor de t para que el área bajo la distribución normal a la izquierda de t, en la figura siguiente, es t. Para hacer esto use la tabla estándar-normal del apéndice A para encontrar el valor asociado; después calcule t, de la siguiente manera: z= Así : t =

t − µ

σ

+ ( *z)

Para el ejemplo específico de la leche en el que r= 0.1515, apéndice A es aproximadamente -1.03, y así:

= 750 y

= 100, el valor z del

z (0.1515) = -1.03 ⇒ t = 750 + 100*(-1.03) = 647 galones

El uso de números aleatorios para generar entradas probabilísticas a menudo se denomina simulación de MonteCarlo. El método obtuvo su nombre durante la Segunda Guerra Mundial cuando los científicos usaron números aleatorios para estimar, en un sentido estadístico, las soluciones a problemas matemáticos complejos.



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Los métodos descritos aquí no son los más eficientes disponibles, pero se usan por que son conceptualmente fáciles de comprender. Ahora verá cómo se usan estas ideas en el diseño de una simulación por computadora.


DISTRIBUCIÓN UNIFORME Uno de los métodos más comúnmente utilizados para generar números aleatorios que siguen una distribución conocida se basa en usar números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1. Como se ilustra en la figura siguiente, tales números tienen la siguiente función de densidad, f(x), y la función de distribución acumulativa, F(x): f(x)=1 F(x)=x

Por ejemplo si se quiere generar el número de asientos vacíos que trae un autobús que llega a un paradero, los cuales están uniformemente distribuídos entre 5 y 15 asientos, y se tiene un número aleatorio r = 0.7, se tiene: min = 5 max = 15 r = 0.7 x = 5 + (15 - 5)* r x = 5 + 10* r = 5 + 10* 0.7 = 5 + 7 = 12 Entonces se tiene que el autobús trae 12 asientos vacíos.

Nota: También podemos utilizar la fórmula siguiente: max - (max – min)*(1- r), los valores generados no coinciden en cuanto al orden, pero al final todos los números saldrán con la misma frecuencia.



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DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA Pasos: 1° Tomar muestra lo suficientemente grande de los valores de la variable aleatoria (mínimo 30 observaciones) 2° Clasificar en rangos. 3° Determinar frecuencia asociada a cada rango. 4° Calcular el porcentaje o probabilidad correspondiente. Ejemplo: Sea x una variable aleatoria que representa los intervalos de llegada de los vehículos a un semáforo. Los 30 datos observados del sistema real son los siguientes: Observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x Observación x Observación x 2 11 4 21 2 4 12 2 22 1 5 13 3 23 1 2 14 4 24 3 3 15 5 25 2 4 16 3 26 4 2 17 4 27 1 4 18 5 28 3 5 19 4 29 2 5 20 3 30 4

Las probabilidades de ocurrencia de cada rango son las siguientes:

Rango 1 2 3 4 5

Frecuencia III IIIIIIII IIIIII IIIIIIIII IIIII

=3 =7 =6 =9 =5

Probabilidad 0.10 0.23 0.20 0.30 0.17 1.00

5° Calcular la función acumulada y graficar

i 1 2 3 4 5

Xi 1 2 3 4 5

p(Xi) 0.10 0.23 0.20 0.30 0.17

F(Xi) 0.10 0.33 0.53 0.83 1.00

6° Generar un número aleatorio entre 0 y 1 Por ejemplo r =0.58 Ing. Efraín Murillo


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7° Identificar el rango donde se encuentra r F(Xi)< r < F(Xi+1) F(Xi)< r < F(Xi+1) 8° Escoger el Xi+1 y volver al paso 6 ° Por lo tanto X = 4

CASO ESTUDIO 1: COSTO DE UN ITEM PERFECTO En un proceso productivo en el cual se procesan aproximadamente 1000 piezas diarias, las piezas una vez procesadas son inspeccionadas para determinar si son rechazadas, reprocesadas o aceptadas para su posterior venta. Estadísticamente las piezas son rechazadas, reprocesadas o aceptadas con probabilidades de 5%, 10% y 85% respectivamente. Si el costo de un proceso es de $10 por pieza y el de reproceso $5. ¿Cuál seria el costo promedio de una pieza que termine en ventas?

Para determinar dicho costo, debemos imitar el funcionamiento del sistema y determinar el número de reprocesos, así como el porcentaje de piezas aceptadas. Se asume que la distribución de la variable exógena (hacia dónde se deriva la pieza una vez inspeccionada), es empírica, entonces se debe generar los eventos usando el procedimiento para generar valores para variables con distribución empírica. Para efectos de explicación del funcionamiento del sistema y obtener los resultados buscados, se fija como tiempo de simulación el proceso de 20 piezas.


Simulación de Sistemas Usaremos los números aleatorios de la celda A3 de la tabla de números aleatorios del apéndice B. A continuación se muestra la tabla de simulación:

TABLA DE SIMULACIÓN

RESUMEN DE RESULTADOS:

Como se observa: El costo acumulado para un total de 20 piezas es = 20*10 + 4*5 = 220 El costo unitario será 220/18 = 12.2222 dólares El porcentaje de piezas aceptadas será 18/20 = 0.9


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Además, dado que el sistema real procesa en promedio 1000 piezas diarias, entonces para tener resultados consistentes que permitan tomar decisiones, se tendrá que realizar simulaciones para un mayor número de piezas. Por ejemplo para 200 piezas, 2000 piezas; los resultados se aproximarán más al valor teórico. Tal como se observa en la siguiente gráfica:

Gráfica del Costo de un ítem perfecto



2.

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Simulación de Sistemas con Excel y Visual Basic

CASOS ESTUDIO 2: SIMULACIÓN DE SISTEMAS DE COLAS

Los usuarios llegan ALEATORIAMENTE a un teléfono público. Si el teléfono está desocupado, realizan la llamada, en caso contrario esperan en cola hasta que el sistema se desocupe. La duración de cada una de las llamadas también es ALEATORIA. Se ha registrado durante 3 horas la información relacionada a la tasa de llegadas de los clientes al sistema, así como los tiempos de servicio (duración de las llamadas), llegando a obtener los siguientes promedios: λ = 20 clientes por horas, ó los clientes llegan en promedio cada 3 minutos. µ = 15 clientes por hora, ó las llamadas duran en promedio 4 minutos.

Al analizar las muestras de datos con el Input Analyzer del Arena, se ha determinado que ambas variables tienen distribución exponencial. Con esta información se le pide analizar el sistema de colas, determinando lo siguiente:



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a) El tiempo promedio de espera en cola. b) El tiempo improductivo total del Teléfono Público. c) La utilización de Teléfono Público. 1.- Utilice la simulación manual para determinar dichas inquietudes. Para ello deberá simular el funcionamiento del sistema durante la llegada de los 15 primeros clientes. Nota: Los valores generados para sus variables aleatorias deben redondearse a cero decimales.

2.- Es bastante probable que los resultados anteriores no puedan ser validados, por lo que se le pide simular el sistema durante las primeras 4 horas de funcionamiento del día, para 50 días.

Solución: Al observar los datos λ>µ, por lo tanto no cumplen la condición obligatoria para aplicar las fórmulas de colas a fin de poder determinar las respuestas a las inquietudes planteadas, en consecuencia la única herramienta a utilizar es la simulación de sistemas. Por otro lado la simulación para las 4 primeras horas, por la gran cantidad de datos, ya no es posible realizar la simulación manual, por lo que podemos utilizar un lenguaje de programación o una herramienta de software como el Excel o el Arena.

1.- Solución manual para la llegada de 15 clientes: 1ro. Definimos las propiedades del modelo de simulación: Propiedades del modelo

COMPONENTES: Clientes y el Teléfono

VARIABLES EXOGENAS: x: Intervalo entre llegadas de los clientes y: Duración de una llamada VARIABLES ENDOGENAS: Wq: Tiempo promedio de espera en cola por parte de los clientes TI: Tiempo Improductivo u Ocioso del teléfono público U: Utilización de teléfono público VARIABLES DE ESTADO: T: Tiempo de llegada de un cliente D: Tiempo de desocupación del teléfono PARÁMETROS:



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Tiempo de Simulación (TS)= 4 horas ó el tiempo que demande la llegada de 15 clientes.

RELACIONES FUNCIONALES: x → Distribución Exponencial con media 3 minutos entre clientes. y → Distribución Exponencial con media 4 minutos por cliente. 2do. Generamos los valores para nuestras variables exógenas o aleatorias, utilizando la metodología estudiada en el capítulo 3. La expresión de la distribución exponencial para ambas variables es: x=

1 −

λ

ln (1- r)

1

y = − µ ln(1- r) donde r es un número aleatorio entre 0 y 1. Tomando valores aleatorios de las TABLAS DE NUMEROS ALEATORIOS, tenemos:

3ro. Construimos la Tabla de simulación respectiva y en ella realizamos las operaciones necesarias para imitar el funcionamiento del sistema. La tabla final se muestra a continuación:



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TABLA DE SIMULACIÓN:

En base a los resultados obtenidos, determinamos las inquietudes planteadas: Tiempo promedio de espera en cola (Wq)

69 =

=

4.6

15

minutos/cliente

Tiempo Improductivo o Tiempo ocioso (TI) = 8 minutos Utilización del teléfono (U)

37 =

=

45

0.8222

(el sistema esta ocupado el 82.22% del tiempo

total de operación)

2.- Solución Utilizando el Excel o Visual Basic para las 4 primeras horas de funcionamiento: 1ro. Para entender la lógica del funcionamiento del sistema, utilizamos un diagrama de flujo:

Diagrama de Flujo: Problema del Teléfono



2do. En base al diagrama de flujo, codificamos el programa en Visual Basic:

Codificación del Programa en Visual Basic. Private Sub Command1_Click() T=0 TI=0 D=0 C=0 TE=0 A: Randomize r = rnd() x = -3*Log(1-r) Ing. Efraín Murillo

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T=T+x C=C+1 Randomize r = rnd() y = -4*Log(1-r) if T>D then TI=TI+(T-D) D=T+y else TE=TE+(D-T) D=D+y endif if t >= 240 then Wq=TE/C U=1- TI/D Text1.text=Wq Text2.text=U else Goto A endif End Sub Los resultados promedio de las 50 simulaciones son:

Wq = 15.5 minutos por cliente TI = 0.3 minutos U = 0.97 ó sea 97% Conclusiones: 1. La simulación es una herramienta que permite imitar el funcionamiento de un sistema real, para luego experimentar con el sin necesidad de afectarlo físicamente. 2. Permite a las empresas que lo apliquen, pronosticar comportamientos futuros acerca del sistema, lo cual permitirá a los tomadores de decisión sugerir alternativas de optimización. 3. La simulación exige un tratamiento estadístico de la información a efectos de validar el modelo y poder así sugerir la implementación de alternativas de mejora.



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Ejercicio 1: Un semáforo en una intersección vehicular tiene una fase verde que actualmente demora 50 segundos y una fase roja de 40 segundos. El intervalo entre las llegadas de los vehículos a la intersección (en segundos) es una variable aleatoria con distribución empírica: Intervalos entre llegadas ( X): 10 11 12 13 14 Probabilidad: 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 Se pide: a) Suponiendo que acaba de iniciar la fase roja, mediante la simulación de Montecarlo determine el tiempo promedio de espera de los vehículos en cola para esta intersección en un tiempo de simulación equivalente a la llegada de 10 vehículos. La cola desaparece una vez que el semáforo cambia a la fase verde. Para generar los valores de la variable X, utilice los números aleatorios indicados por el profesor. b) Las propiedades del modelo. c) El Diagrama de Flujo respectivo.

SOLUCIÓN: a) Tiempo Promedio de Espera = 19.7 segundos. Vehícul o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R 0,15 0,81 0,92 0,23 0,96 0,09 0,28 0,10 0,55 0,82

X T 11 11 13 24 14 38 11 49 14 63 10 73 11 84 10 94 12 106 13 119

Fase Fase Roja Verde 1 1 1

TE 29 16 2

1 1 1 1 1 1 1 6

36 24 11 118

b) Propiedades del Modelo: 1. Componentes: Vehículos y Semáforo 2. Variables Exógenas: 2.1 Controlables 2.2 No Controlables:


Simulación de Sistemas X: Intervalo entre llegadas de los vehículos 3. Variables Endógenas: 3.1 De Estado T: Tiempo de llegada de un vehículo F: Fase del semáforo 3.2 De Salida: Wq: Tiempo promedio de espera de los vehículos 4. Parámetros: X: DISC(10,0.1;11,0.3;12,0.2;13,0.3;14,0.1) TS: llegada de 10 vehículos FV: Fase Verde = 50 segundos FR: Fase Roja = 40 segundos2

C) Diagrama de flujo:


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EJERCICIO 2: Los usuarios llegan exponencialmente a una estación de gasolina con intervalos promedio entre llegadas de 3 minutos. El tiempo de servicio es una variable aleatoria distribuída uniformemente entre 1 y 5 minutos. Suponiendo que la capacidad del sistema y el nivel de paciencia de los usuarios son ilimitados, imite el funcionamiento del sistema durante la llegada de 10 vehículos y determine: b) Las propiedades del modelo. c) El tiempo promedio de espera de los clientes. d) La utilización del servidor. e) El tiempo acumulado ocioso del servidor. f) El diagrama reflujo respectivo. Nota 1: Para generar las variables aleatorias utilice los números aleatorios siguientes: - Para los intervalos entre llegadas: 15, 81, 92, 23, 96, 75, 28, 10, 55 y 82 - Para los tiempos de servicio: 10, 7, 30, 91, 54, 32, 4, 46, 21 y 91. Nota 2: Los valores generados deben redondearse a cero decimales.

EJERCICIO 3: Los usuarios llegan empíricamente a una estación de gasolina, bajo la siguiente distribución de frecuencias: Intervalo Entre llegadas (minutos) 0 1 2 3 4 5

Frecuencia 5 5 30 5 50 5 100

El tiempo de servicio es una variable aleatoria distribuída normalmente con media de 3 minutos y desviación estándar de 2 minutos. Suponiendo que la capacidad del sistema es ilimitada y el nivel de paciencia de los usuarios es de 2 minutos, imite el funcionamiento del sistema durante la llegada de 10 vehículos y determine: a) Las propiedades del modelo. b) El tiempo promedio de espera.



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c) El número de vehículos que abandonan el sistema. d) La utilización y el Tiempo ocioso del servidor. e) El diagrama de flujo respectivo. Nota 1: Para generar las variables aleatorias utilice los números aleatorios siguientes: - Para los intervalos entre llegadas: 43, 8, 30, 39, 15, 3, 21, 97, 94 y 80 - Para los tiempos de servicio: 98, 35, 70, 93, 20, 50, 4, 46, 21 y 91. Nota 2: Los valores generados deben redondearse a cero decimales.

CASO ESTUDIO 2: SIMULACIÓN DE SISTEMAS DE COLAS EN PARALELO Llegan exponencialmente a una estación de combustible los vehículos con una media para los intervalos entre llegadas de 2 minutos. Existen 2 surtidores de combustible (A y B). Los tiempos de servicio de ambos surtidores están distribuidos uniformemente entre 2 y 6 minutos. Los vehículos ocupan de preferencia el surtidor A, si es que ambos están desocupados. La estación de gasolina tiene espacio limitado para 3 vehículos incluidos los que están recibiendo el servicio. El Vehículo que llega a la estación y no encuentra espacio, abandona la estación. La paciencia de los conductores es máximo 4 minutos de espera, en caso de superar su paciencia, estos también abandonan el sistema. Utilizando la simulación de Montecarlo, imite el funcionamiento del sistema durante la llegada de 15 vehículos y determine: a) b) c) d)

El tiempo promedio de espera de los vehículos en la estación de gasolina. La utilización del surtidor de gasolina A. La utilización del surtidor de gasolina B. El número de vehículos que abandonan la estación de gasolina.

Para generar los valores de las variables aleatorias, utilice los números aleatorios de la tabla de números aleatorios del Apéndice B de la siguiente manera: - Intervalos entre llegadas de los vehículos a la estación de gasolina: - Tiempos de servicio del surtidor A: - Tiempos de servicio del surtidor B: Nota: Los valores generados debe redondearse a cero decimales. SOLUCIÓN:


celda A1 celda A3 celda C8


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1ro. Definimos las propiedades del modelo:

Propiedades del modelo COMPONENTES: Vehículos y Surtidores de combustible

VARIABLES EXOGENAS: L: Intervalo entre llegadas de los vehículos TS(A): Tiempo de servicio del surtidor A TS(B): Tiempo de servicio del surtidor B VARIABLES ENDOGENAS: Wq: Tiempo promedio de espera en cola por parte de los vehículos U(A): Utilización del surtidor A U(B): Utilización del surtidor B AL: Número de vehículos que se alejan VARIABLES DE ESTADO: TL: Tiempo de llegada de un vehículo TD(A): Tiempo de desocupación del surtidor A TD(B): Tiempo de desocupación del surtidor B PARÁMETROS: Tiempo de Simulación (TS)= El tiempo que demande la llegada de 15 clientes. Capacidad del sistema = 3 vehículos. Límite de paciencia de los conductores = 4 minutos RELACIONES FUNCIONALES: L → Distribución Exponencial con media de 2 minutos entre vehículos. TS(A) ó TS(B) → Distribución Uniforme entre 2 y 6 minutos. 2do. Construimos la tabla de simulación donde generaremos los valores para las variables aleatorias respectivas. TABLA DE SIMULACIÓN:



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3ro. En base a los resultados obtenidos, determinamos las inquietudes planteadas: Tiempo promedio de espera en cola (Wq)

4 =

=

15

−

0.333

3

minutos/vehículo

Tiempo Improductivo o Tiempo ocioso (TI) = 8 minutos Utilización del surtidor A (U(A))

27 =

=

0.8438

32

(el surtidor A esta ocupado el 84.38% del

tiempo total de operación) Utilización del surtidor B (U(B))

22 =

=

0.6875

32

(el surtidor B esta ocupado el 68.75% del

tiempo total de operación) Abandonan la estación de gasolina = 3 vehículos



27

CASO ESTUDIO 3: SIMULACIÓN DE GESTIÓN DE INVENTARIOS EN EXCEL A.- Introducción En los métodos para calcular cantidades de reposición. (Análisis de sensibilidad y lote económico), se ha trabajado sobre costos de mantenimiento de inventarios y costos de realizar pedidos, pero no se ha considerado el costo asociado de no tener los artículos cuando la demanda excede el inventario disponible, quizá uno de los costos más importantes en manejo de las existencias. Una de las maneras de atacar este problema de los costos de escasez es el uso de programas de simulación (investigación operativa en lugar de la técnica del lote económico. Además como el método del lote económico exige, para ser confiable, demanda constante y tiempo de abastecimiento fijo, con la simulación se puede trabajar con variabilidad en esos dos aspectos, ampliando la utilidad del sistema de simulación. La simulación que es una técnica de evaluación para sistemas complejos, es una herramienta importante tanto para el diseño, como para el análisis de un sistema. En cuanto la complejidad del sistema de inventarios que se tiene aumenta, la simulación llega a ser más y más atractiva como una ayuda para la toma de decisiones. Esto es particularmente cierto para sistemas dinámicos y/o probabilistas. Uno de los rasgos más atractivos de un enfoque de simulación es la oportunidad que da al analista de comprende, la naturaleza dinámica de un sistema. Con la simulación se puede "mover" un modelo a través del tiempo y observar como se, comporta el sistema en sentido dinámico; además, una de las características de la simulación es que puede tratar con elementos probabilísticos que sean a menudo difíciles si no imposibles de manejar analíticamente. Un rasgo no atractivo de la simulación, es que no garantiza nada más que una solución que puede utilizarse para ciertos sistemas, puede ser difícil determinar cuan cercana está la solución que se tiene a la solución óptima real. Otra desventaja de la simulación, se relaciona con las computadoras, pues la mayoría de los estudios de simulación se lleva en ellas. La cantidad de programación de cómputo Y tiempo de ejecución de computadoras requeridos para ejecutar un análisis particular, podrían ser muy grandes. Aún así, la simulación es la única forma conocida de analizar ciertos sistemas, su poder y versatibilidad a menudo sobrepasan su defecto.

B.- Procedimiento general de simulación Los pasos necesarios para diseñar un análisis completo de Simulación, son:



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1.- Deberá desarrollarse un modelo que intente capturar los rasgos esenciales del sistema bajo estudio. Al desarrollar tal modelo es importante pensar en términos de variables controlables (también llamadas variables de decisión), variables incontrolables y la relación existente entre ellas. 2.- El segundo paso es validar el modelo que ha sido desarrollado. Los modelos a menudo se operan y se comparan con el comportamiento pasado del sistema y con las esperanzas de los analistas. Cualquier modificación necesaria debe realizarse antes que se obtenga resultado, útiles del modelo 3.- Habiendo terminado el paso de validación. El analista entonces diseña y ejecuta experimentos con el modelo, valores dados u otras representaciones para las variables no controlables, se experimentan con las variables de decisión y se observa como responde el sistema. Un Diagrama de Flujo para un Procedimiento de Simulación

C.- El método de Montecarlo Una herramienta útil en muchos de los modelos de simulación, es el método de Montecarlo, para generar variables aleatorias de las distribuciones de probabilidad. La técnica es tan simple como poderosa. Ejemplo :Suponiendo una salida (X) de un proceso probabilístico

dado, es un entero entre 0 y 39, inclusive. Además se está interesado en que X esté en ciertos intervalos (0-9, 10-19,2029,30-39) y se conoce la probabilidad correspondiente de que X esté en cualquier intervalo en un tiempo dado:



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Distribución hipotética de probabilidad a,b p(a
0.15 0.20 0.50 0.15 1.00

El primer paso es asociar con cada evento el número de los dígitos enteros uniformemente distribuidos (esto es, igual probabilidad) que corresponde a la probabilidad del evento. Distribución hipotética junto con asignaciones de enteros de dos dígitos a,b p(a


a,b p(a
0.15 0.20 0.50 0.15 1.00

30

Asignaciones de entero 00-14 15-64 35-84 85-99

Número de ocurrencias 13 32 54 12

Frecuencia relativa 0.13 0.21 0.54 0.12

Con una gran cantidad de ensayos se producirán frecuencias relativas que serán más cercanas a los números de probabilidad originadas.

D.- Sistema de inventarios Una forma de determinar los niveles (le reposición (R) y las cantidades de reposición (Q) considerando todos los elementos de costos que intervienen en un sistema de inventarios y además de forma que se automatice la administración del inventario de un almacén, es un sistema de simulación. La elección de los valores numéricos de las variables la decisión se infiere de buscar el intercambio entre: El costo de tener el inventarío El costo de colocar los pedidos para llenar el inventario El costo asociado, al no tener productos cuando la demanda excede al inventario disponible (costo de escasez). Estos componentes de costo usualmente se suman juntos para proporcionar un costo variable total para un período, una semana un mes, un año. El objetivo del administrador es determinar una política que minimice el valor promedio del costo total. • • •

Aunque estos modelos son relativamente fáciles de desarrollar, a menudo son muy difíciles de resolver matemáticamente, pues con frecuencia contienen funciones no lineales de las variables de decisión y contienen uno o más elementos estocásticos que resulten de la demanda y/o consideraciones de tiempo en que llegan los artículos después de haber hecho el pedido. Como un resultado, el análisis matemático requerido para calcular una política óptima a menudo es extremadamente difícil, para muchos sistemas el análisis matemático es imposible. La simulación sin embargo, trata fácilmente con las complejidades de los sistemas de inventario. Se puede simular el comportamiento para una variedad de políticas, entonces la administración puede elegir la política que proporciona el comportamiento del sistema más deseable en promedio. Las matemáticas complejas no son necesarias. Ejemplo:

Se presenta un sistema de inventario, en el que la demanda diaria es incierta, pero que puede representarse probabilísticamente en la distribución siguiente:



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Asignación del Demanda Aleatorio 0 1 2 3

Probabilidad 0.1 0.3 0.5 0.1 1.0

Número 0 1,2,3 4,5,6,7,8 9

Además se conoce que: a.- Cuando la demanda excede el inventario, se permite tener pedidos pendientes pero se carga el costo $1.00 por unidad, por no haber tenido el artículo en almacén (costo de escasez). b.-El tiempo que transcurre desde que se hace el pedido hasta que se reciben las cantidades es constante e igual a dos días. c.- El costo de colocar un pedido para volver a tener artículos en inventario es de $ 10.00 (independientemente de la cantidad ordenada). d.- El costo de tener el inventario es de 50 centavos por día por cada unidad en almacén al inicio del día. Se necesita instalar una política de reposición, para lo cual se requiere establecer los valores de los niveles de reposición (R) y cantidad de reposición (Q) que definen esta política. El problema se resuelve simulando el comportamiento del costo del sistema para una variedad de políticas posibles y eligiendo aquellas políticas que proporcionen un costo mínimo. Por ejemplo, se podría probar la política " Toda vez que el inventario que se tiene al inicio de un día sea menor o igual a R=2, colocar un pedido para Q=6 unidades. Utilizando el enfoque de Montecarlo, se pueden generar demandas diarias, calcular los niveles de inventarios y de pedidos pendientes y calcular los costos diarios y correspondientes. Estos costos diarios se acumulan Y promedian para estimar el comportamiento en costo del sistema para la política R = 2, Q = 6. Ing. Efraín Murillo


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La tabla siguiente presenta la simulación para 3 semanas Día

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Inven- Unida- Unidades Números Unidades tario des recibidas aleatorios demaninicial pedidadas das 6* 4 4 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 1 0 4 3 0 0 0 2

0 0 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 6 0 0 6

0 0 0 0 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 6 0

5 0 9 1 9 8 7 5 1 8 6 9 0 3 8 1 9 7 1 3 4

2 0 3 1 3 2 2 2 1 2 2 3 0 1 2 1 3 2 1 1 2

Unidades pedidas que están en espera para entregarse 0 0 0 0 3 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0

Costo por mantener la unidad almacenada $3.00 2 2 0.5 0 0 0.5 0 0 1 0 0 0.5 0.5 0 2 1.5 0 0 0 1

Costo por no tener la unidad en almacén 0 0 0 0 3 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0

Costo del Costo pedido total

0 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 10

*Inventario inicial asignado arbitrariamente

La tabla anterior es un registro utilizado para llevar la simulación durante 3 semanas. Los números aleatorios utilizados en la simulación fueron tomados arbitrariamente de una tabla de números aleatorios. El primer día del período de simulación comienza con un nivel de inventario de 6 unidades. Se pide cero unidades puesto que el inventario actual es mayor que R y se reciben cero unidades puesto que no hay ningún pedido pendiente de recibir. Ninguna unidad se necesita pedir, y el día dos se inicia con cuatro unidades. El costo asociado en el día 1 es simplemente $3.00 ya que no se tuvo escasez en el stock ni se cursó ningún pedido. Sumando los resultados de costo en la hoja de trabajo y promediando sobre las tres semanas, se obtiene un costo promedio de $ 28.5 por semana para la política R = 2, Q = 6. La estimación de costo para otras posibilidades se obtienen en forma similar y se utilizan para comparar políticas (para mejorar la confiabilidad de las comparaciones, se debería examinar el sistema para más de 3 semanas) según costos.

EJERCICIO 4:


$3.00 2 2 10.5 3 0 11.5 2 0 11 2 0 10.5 0.5 0 2 1.5 12 1 0 11


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La demanda diaria de un artículo ( D) es una variable aleatoria con distribución exponencial con una media de 50 unidades diarias. La cantidad inicial en el almacén es 100 unidades y se reduce diariamente. Se tiene la política de pedir cada 3 días. Se solicita al inicio del día 250 unidades adicionales que llegan en un tiempo aleatorio ( TR ) con distribución normal con media de 2 días y desviación estándar de 1 día. Al llegar las unidades solicitadas primero se cumple con la demanda atrasada. El costo variable en el que se incurre es la suma del costo esperado de almacenamiento, el costo de pedido y el costo esperado de escasez. La escasez es acumulativa. Esto es, un cliente espera hasta que se tiene el artículo. El costo de inventario se estima en 0.5 dólares por unidad por día, y se carga a las unidades en inventario al final del día. La escasez cuesta 1.5 dólares por cada unidad que falte. El costo de pedido es 50 dólares por pedido. Los pedidos llegan al inicio del día. Simule el funcionamiento del negocio durante 10 días, y determine el costo total, así como el inventario final del día 10. Para generar los valores de las variables aleatorias D y TR , utilice los números aleatorios indicados por el profesor.

SOLUCIÓN: Di a

II

1 2

Costo

D

IF

Escas ez

100

0,34

21

79

0

39,5

0

0

79

0,96

161

0

82

0

123

0

39,5 123, 0

0,33

20

0

20

0

30

50

80,0

0,20

11

0

11

0

16,5

0

16,5

0,71

62

75

0

37,5

0

0

37,5

0,83

89

0

14

0

21

50

71,0

0,06

3

0

3

0

4,5

0

4,5

0,64

51

182

0

91

0

0

0,66

54

128

0

64

0

50

91,0 114, 0

0,92

126

2

0

1

0

0

0

4

0

5

137

6

75

7

0

8

233

9

182

10

128

250

0,37 0,33

Recibid o

Csotos Almac Escas en ez

r

3

Pedid o

Suministro T r Z R

Demanad a

2

250 250

0,4 7 0,68

2

250 250

1,4 8 0,93

1. Costo total = 578 soles 2. Inventario Final = 2 unidades


3

Pedi do

Total

1,0 578, 0


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CASO ESTUDIO 4: SIMULACIÓN DE SISTEMAS DE CONGESTIÓN VEHICULAR Los pasajeros llegan a un paradero de autobuses con tiempos medio entre llegadas de 2 minutos distribuidos exponencialmente. Un autobús llega con tiempos entre llegadas de 7+-2 minutos. El autobús tiene capacidad para 15 pasajeros y el número de asientos no ocupados cuando llega el autobús tiene igual probabilidad de estar entre 0 y 15. El autobús recibe tantos pasajeros como pueden sentarse y los que no puedan abordar se alejan. a)

Emplee la simulación de Montecarlo para determinar el número de pasajeros que se alejan durante la llegada de 20 pasajeros.

Emplear los siguientes números aleatorios: - Para las llegadas de los pasajeros: B9 - Para las llegadas de los autobuses: C1 - Para el número de asientos vacíos: A10 b) Utilice un lenguaje de programación para simular el funcionamiento del paradero de autobuses y determine el número de pasajeros que se alejan durante: b.1) Un tiempo de 8 horas. b.2) La llegada de 100 autobuses. Nota: En ambos casos construya los diagramas de flujo respectivos.

SOLUCIÓN: Para dar respuesta a la parte a), construimos la siguiente tabla de simulación:

Se concluye que no habrá pasajeros que se alejen por falta de asientos vacíos.



Solución Para un tiempo de simulación de 8 horas: Propiedades del Modelo 3.1 COMPONENTES: Autobuses y Pasajeros. 3.2 VARIABLES EXOGENAS: L: Tiempo entre llegadas de los pasajeros A: Tiempo entre arribos de autobuses NANO: Número de asientos no ocupados 3.3 VARIABLES ENDOGENAS: AL: Número de pasajeros que se alejan por falta de asientos 3.4 VARIABLES DE ESTADO: T: Tiempo de llegada de un pasajero TL: Tiempo de llegada de un autobús 3.5 PARÁMETROS: Tiempo de Simulación = 8 horas o la llegada de 100 pasajeros Capacidad del autobús = 15 asientos 3.6 RELACIONES FUNCIONALES: L → Distribución Exponencial con media entre llegadas de 2 minutos A → Distribución Normal con media de 7 minutos y desviación estándar de 2 minutos NANO → Distribución Uniforme entre 0 y 15 Diagrama de Flujo para un tiempo de simulación de 8 horas.


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Programa en Visual Basic (parte b.1) Private Sub Command1_ Click () tl = 0 al = 0 t=0 p = 0 n = 35 B: j = 0 For i = 1 to n Randomize j = j + Rnd() Next i a = 7 + ( 2 ^ (1 / 2 ) ) * ( j – ( n / 2 ) ) * ( ( 12 / n ) ^ (1 / 2 ) ) tl = tl + a


36


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While t < = 480 Randomize r = Rnd () L = -2 * Log (1 – r ) t=t+L If < = tl them p = p + 1 Else Randomize r = Rnd () nano = 15 * ( 1 – r ) If nano > p Then al = al + p – nano End if p = 1 Go to B End if Wend Text1.Text = al End Sub A continuación se presenta el diagrama de flujo para un tiempo de simulación de la llegada de 100 autobuses:



Programa en Visual Basic (parte b.2) Private Sub Command1_Click() t1 = 0 a1 = 0 t=0 p = 0 n = 35 g=0 B: j = 0 For i = 1 To n


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39

Randomize j = j + Rnd() Next i A = 7 + (( 2 ^ ( 1/2 ) * ( j - (n/2 )) * (( 12/n ) ^ ( 1/2 )) g=g+1 t1 = t1 + a While g <= 100 Randomize r = Rnd() L = -2 * Log( 1- r ) t=t+L If t <= t1 Then p = p + 1 Else Randomize r = Rnd() nano = 15 * ( 1 - r ) If nano > p Then a1 = a1 + p - nano End if p = 1 Go To B End if Wend Text1.Text = a1 End Sub

EJERCICIO 5: Los pasajeros llegan a un paradero de autobuses con tiempos medio entre llegadas ( L) de 2 minutos distribuidos exponencialmente. Un autobús llega con intervalos de tiempo ( A) distribuidos uniformemente entre 5 y 7 minutos. El autobús tiene capacidad para 25 pasajeros y el número de asientos ocupados ( AO) cuando llega el autobús tiene igual probabilidad de estar entre 20 y 25. El autobús recibe tantos pasajeros como pueden sentarse y los que no puedan abordar se alejan. Simule el funcionamiento del sistema durante la llegada de 10 pasajeros y determine: a) El número promedio de pasajeros que se alejan por no encontrar asiento disponible. (2 puntos) b) El tiempo promedio de espera de los pasajeros. (2 puntos)



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c) Construya el diagrama de flujo respectivo. (3 puntos) Para generar los valores de las variables aleatorias L, A y AO, utilice los números aleatorios indicados por el profesor.

SOLUCIÓN: Pasajeros Pasajero r 1 0,82 2 0,62 3 0,13 4 0,08

L 3 2 0 0

5

0,92 5

6

0,95 6

7

0,86 4

8

0,11 0

9

0,16 0

10

0,52 1

T 3 5 5 5 1 0 1 6 2 0 2 0 2 0 2 1

Autobuses Asientos Cola r A TL r AO AV TE 1 0,41 6 6 0,54 23 2 3 2 1 3 1 4 1

A 2

1

0,92 7 13 0,07 20

5

3

0

1

0,05 5 18 0,92 25

0

2

1

1

0,44 6 24 0,12 21

4

4

2

4

3

4

4

3 26

3

a) Número promedio de pasajeros que se alejan = 3/3 = 1 pasajero b) Tiempo promedio de espera = 26/10 = 2.6 minutos c) Diagrama de Flujo:




41


42

CASO ESTUDIO NRO 5: SIMULACIÓN DEL VAN DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN ACERCA DEL INVERSIONISTA: Ismael siempre fue un hombre de ideas claras y objetivas bien definidas. Tan luego se formo en una de las mejores escuelas de administración, el demostró gran espíritu emprendedor y energía. Ahora, a los 42 años de edad, el viene invirtiendo su patrimonio de $ 4 000 000 de modo muy cauteloso y obteniendo 15% al año. Actualmente, el se enfrenta con una inflación adicional creciente y se esta preocupando con su efecto corrosivo sobre su patrimonio. De hecho Ismael esta pensando en alterar su comportamiento, procurando alternativas con mayores riesgos y esperando rendimientos más atrayentes.

LA DECISION Ismael pretende colocar $ 1 000 000 de su inversión seguro y cauteloso en una de las dos alternativas X o Y, siempre que el rendimiento sea mayor que los actuales 15% y los riesgos sean compatibles. Un modelo de simulación seria el análisis apropiado para tratar los valores aleatorios del proyecto X, en cuanto a las incertezas del proyecto Y podrían ser mas bien visualizadas en un diseño de árbol de decisiones. El problema de la “preferencia en el tiempo” puede ser tratado utilizando los cálculos del Valor Presente Neto (VAN), como recomiendan la mayoría de los autores. La tasa de descuento es de 15%. De cualquier modo, dada la incerteza en relación al tiempo de duración del proyecto, otros análisis no se justifican.

EL PROYECTO X. El proyecto X consiste en el lanzamiento de un nuevo producto. La inversión inicial total es de $ 1 000 000 y el retorno depende de factores inciertos y valores aleatorios. i) Incerteza en relación al costo variable unitario de producción. Este costo depende de procesos mal controlados y de insumos con pocos proveedores, osea, factores inciertos. En tanto, un panel de especialistas atribuyo estimativos subjetivos (probabilidades como medida de incerteza) que resultaron para el primer año de producción, en: Probabilidad (%) 40 30 30

Costo Unitario ($) 3.00 3.50 4.00

No hay costos fijos importantes además de la inversión inicial.



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ii) Aleatoriedad en el total de las ventas anuales. Existen muchos datos estadísticos de comportamiento del mercado para productos semejantes, en el pasado. La aleatoriedad de los valores para las ventas anuales (durante el ciclo de vida del producto) puede ser modelada por una distribución que, por única vez, será aproximada por tramos lineales. Las distribuciones son diferentes para cada uno de los 4 años (de modo que refleje un ciclo de vida), en cada una de estas distribuciones, es aproximada por 5 rangos lineales. Cada rango lineal corresponde a una distribución uniforme. Las distribuciones lineales utilizadas en el proceso de aproximación son: Distribuciones de las 5 Distribuciones Uniformes Distribución Límites Uniforme (1000 unidades vendidas) 1 70 a 360 2 360 a 410 3 410 a 490 4 490 a 630 5 630 a 900 Para cada año, el comportamiento del mercado (tamaño-participación) será tal que caiga en una de las distribuciones lineales arriba, con las siguientes probabilidades: Modelando las ventas anuales Distribución uniforme 1 2 3 4 5

Probabilidad de ocurrencia (%) año 1 año 2 año 3 año 4 25 10 5 30 30 20 25 25 30 25 25 20 10 25 25 20 5 20 20 5

Por este proceso, se genera un valor de venta según la siguiente secuencia:  

Seleccione un año para el cual se desea generar un valor de ventas. Seleccione la distribución uniforme siguiendo las probabilidades correspondientes a aquel año.

Se recomienda el proceso acumulativo; por ejemplo, para el año 1: genere un número aleatorio con distribución uniforme 0 a 1 y si resulta entre 0 y 0.25 use la distribución 1, hasta 0.55 use la 2, hasta 0.85 use la 3, hasta 0.95 use la 4 y encima de 0.95, use la 5. Observe cómo para los años 1 y 4, inicio y fin del ciclo de vida del producto, la probabilidad de seleccionar distribuciones (1 y 2) con bajas ventas es mayor. 

Después de seleccionar la distribución según el procedimiento anterior, genere el valor de las ventas dentro de la distribución seleccionada.

iii) El tiempo de vida (ciclo del producto) depende del desempeño de las ventas:  

Si Ventas (año 1) + Ventas (año 2) < 600 000, entonces 2 años. Si Ventas (año 1) + Ventas (año 2) + Ventas (año 3) < 1 000 000, entonces 3 años.





44

El máximo es de 4 años, después de los cuales será desactivado.

iv) El precio unitario de venta ya fue fijado en $ 5.00 . El producto tendrá disponibilidad inmediata después de la inversión inicial (esta es una simplificación). La especificidad del producto es tal que después de su tiempo de vida, no hay valor residual sobre la inversión inicial. v) Para efectuar los análisis, Ismael pretende construir un modelo de simulación con 100 casos y efectuar 10 simulaciones con el modelo de modo a obtener medias globales. Para los cálculos financieros, después de la inversión inicial, los otros valores serán todos concentrados al final de cada año.

PROYECTO Y El proyecto Y es mucho mas conservador. Se trata de una inversión inmobiliaria de 1 millón de dólares en edificaciones comerciales. El beneficio a ser recibido anualmente es bastante bueno y fue estimado en 35% de la inversión inicial. Hay incertezas en relación al tiempo de reventa y al valor de reventa. i) Tiempo de reventa: Después de tres años, con probabilidad de 60%. Después de cuatro años, con probabilidad de 40%. ii) Valor de reventa (depende de las evoluciones del mercado inmobiliario y de la región en particular): Factor de multiplicación En relación a la Inversión inicial Probabilidad (%) 0,90 10 1,00 20 1,10 50 1,15 20 ¿En qué proyecto deberá invertir su dinero Ismael?

CASO ESTUDIO 6: SISTEMA DEL TERMINAL PESQUERO OBJETIVOS:



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- Probar las habilidades de los jugadores para establecer niveles de pedido de inventario para un horizonte de planificación de diez semanas. El ganador será aquel que al final tenga mayores ganancias.

CASO.- El Terminal pesquero vende camarón fresco a diversos clientes de Arequipa. Al inicio de cada semana elabora los pedidos de cajas de camarón a los representantes de la flota en Matarani, para satisfacer la demanda de sus clientes a media semana. El camarón se entrega al Terminal y luego, a media semana, a los clientes. El suministro y la demanda del camarón son inciertos. El suministro puede variar hasta +-10% con respecto a la cantidad de pedido. La probabilidad relacionada con esta variación es: -10% 30% de las veces 0% 50% de las veces +10% 20% de las veces La demanda semanal del camarón se distribuye normalmente con media de 800 cajas y desviación estándar de 100 cajas. El terminal pesquero paga 30 dólares por la caja de camarón y la vende a 50. El camarón que no se venda al final de la semana se vende a 4 dólares la caja a una compañía de alimento para gatos. El terminal pesquero, si lo desea, puede pedir que el proveedor congele el camarón en el muelle, pero esto eleva 4 dólares el costo por caja y, por lo tanto, le cuesta 34 dólares al Terminal pesquero. La congelación permite que el terminal pesquero mantenga un inventario de camarón, pero el almacenamiento del camarón en el congelador de la empresa cuesta 2 dólares por caja a la semana. A los clientes no les importa si el camarón que reciben es el fresco o el congelado. El terminal pesquero calcula que su costo de inexistencias es igual al alza en precio; es decir, cada caja que pida y no pueda surtir le cuesta a la empresa $50 - $30 = $20. Procedimiento para el juego .

El juego consiste en decidir cada semana cuántas cajas de camarón fresco y congelado hay que pedir. La cantidad que se pida puede ser cualquiera. El profesor actúa como árbitro y proporciona los números aleatorios. Los pasos para llevar a cabo el juego son: a)

Decidir cuál será la cantidad de camarón fresco y congelado que se pedirá y registrar las cantidades en la columna 3 de la hoja de trabajo (ver cuadro A). Suponga que no hay inventario inicial del camarón congelado.



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b)

Determinar la cantidad que se entrega y registrarla como pedidos recibidos. Para esto, el profesor toma un número de la tabla de números aleatorios uniformes y encuentra el nivel de variación asociado en los siguientes intervalos de números aleatorios: 0.00 – 0.30 = -10% 0.31 – 0.80 = 0% 0.81 – 1.00 = +10% Si el número aleatorio es, por ejemplo, 0.13, la cantidad de variación sería – 10%. Entonces, si decide pedir 1000 cajas de camarón fresco y 100 de camarón congelado, la cantidad que recibiría sería 1000 – 0.10(1000), o 900 cajas de camarón fresco, y 100- 0.10(100), o 90 cajas de camarón congelado. (Observe que la cantidad de variación es la misma para el camarón fresco y el congelado). Estas cantidades se registran en la columna 4. c) Sumar la cantidad de camarón congelado en inventario (si hay) a la cantidad de camarón fresco y congelado que acaba de recibir, y registrar esta cantidad en la columna 5. Con base en las cifras anteriores, sería 990. d) Determinar la demanda de camarón. Para esto, el profesor obtiene un número aleatorio de la tabla de desviación estándar y lo registra en la ecuación que se encuentra en la parte superior de la columna 6. Así, si el valor de desviación es –1.76, la demanda para la semana es 800+100(–1.76), o 624. e) Determinar la cantidad vendida. Esta cantidad será la menor de la demanda (columna 6) y la cantidad disponible (columna 5). Entonces, si un jugador recibió 990 y la demanda es 624, la cantidad que se registre será 624 (con un sobrante de 990-624, o 366). f) Determinar el excedente. La cantidad de excedente es sencillamente la cantidad que quede después de satisfacer la demanda de una semana. Suponga siempre que se vende primero el camarón fresco y luego el congelado. Entonces, si utilizamos la cifra de 366 que se obtuvo en (e), el excedente incluiría las 90 cajas originales de camarón congelado. g) Determinar la escasez. Es la cantidad de demanda no satisfecha en cada periodo y sólo ocurre cuando la demanda es mayor a las ventas. (Como todos los clientes consumen el camarón en la semana en que se les entrega, no importan los pedidos atrasados). La cantidad de escasez (en cajas de camarón) se registra en la columna 9.

Determinación de ganancias.


El cuadro B se usa para determinar las ganancias


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al final del juego. Los valores que se registran en esta tabla se obtienen al sumar las columnas relevantes del cuadro A y hacer los cálculos correspondientes. Tarea. Simular las operaciones de 10 semanas. Se sugiere que hagan una pausa al concluir la semana 5 para que los jugadores traten de evaluar la manera en que podrían mejorar su rendimiento. También podrían planificar una estrategia de pedidos para la semana de veda, cuando no se proveerá camarón. TABLA A: Hoja de trabajo para la simulación.

TABLA B: Ganancias de las Operaciones Ingresos por ventas ($50 x col.7) $______ Ingresos por desecho ($4 x col.8 fresco) $______ Total de ingresos $_______ Costo de compras de camarón fresco ($30 x col.4 fresco) $______ Costo de compras de camarón congelado ($34 x col.4 congelado) $______ Costo de almacenamiento de camarón congelado ($2 x col.8 congelado) $______ Costo de escasez ($20 x col.9) $______ Costo total $_______ Ganancias $_______



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APLICACIONES PROPUESTAS APLICACIÓN 1.- Los buques tanque llegan a un puerto petrolero con la distribución de tiempos entre llegadas que se ve en la tabla siguiente: Tiempo entre llegadas (días) 1 2 3 4 5 Probabilidad .20 .25 .35 .15 .05 El puerto tiene dos terminales, A y B. La terminal B es más moderna y, por lo tanto, más eficaz que la terminal A. El tiempo para descargar un buque tanque depende de la capacidad de éste. Un superbuque tanque necesita 4 días para descargar en la terminal A y 3 en la terminal B. Un buque tanque de tamaño mediano necesita 3 días en la terminal A y 2 días en la terminal B. Los buques tanque pequeños se descargan en 2 días en la terminal A y en 1 en la terminal B. Los buques tanques que llegan se forman en una sola cola en el puerto hasta que se desocupa una terminal para descarga. El servicio se da sobre la base primero que llega primero en ser atendido. El tipo de buque tanque y la frecuencia con la que llegan a este puerto se presenta en la siguiente tabla: TIPO DE BUQUE TANQUE PROBABILIDAD Superbuque tanque 0.40 Superbuque tanque mediano 0.35 Superbuque tanque pequeño 0.25 Suponiendo que si los dos terminales están desocupados, los buques eligen el Terminal A para ser atendido, utilice la simulación de Montecarlo para la llegada de 15 buques y determine el número promedio de días que pasa un tanque en el puerto y el tiempo ocioso de cada una de las terminales. Utilice los números aleatorios de las celdas E 7 y C 5 para generar los tiempos entre llegadas y el tipo de buque tanque que llega respectivamente.

APLICACIÓN 2.- El gerente de una pequeña oficina de correos teme que el crecimiento de la localidad sature el servicio que se ofrece con una sola ventanilla. Decide obtener datos de muestra con respecto a 100 individuos que solicitan servicio. A continuación se presenta un resumen de los datos: Tiempo entre Tiempo de llegadas servicio (minutos) Frecuencia (minutos) Frecuencia 1 8 1.0 12 2 35 1.5 21 3 34 2.0 36 4 17 2.5 19 5 6 3.0 7 3.5 5 100 100 Emplee la simulación de Montecarlo para estimar el tiempo promedio de espera y el promedio de inactividad de los empleados durante la llegada de 15 clientes. Ing. Efraín Murillo

Simulación de Sistemas -

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Utilice la secuencia de números aleatorios de las celdas B1 y E3 para generar los intervalos entre llegadas de los clientes y los tiempos de servicio respectivamente.

APLICACIÓN 3.- La biblioteca de la universidad tiene una copiadora para uso de los estudiantes. Estos llegan a la máquina con una distribución de tiempos entre llegadas mostradas en la siguiente tabla: Tiempo entre llegadas (minutos) 1 2 3 4 5 Probabilidad .20 .25 .40 .10 .05 El tiempo promedio que se tarda en hacer una copia es 15 segundos. Un análisis de los datos acumulados muestra que el número de copias que hace un estudiante al pasar a la máquina tiene la distribución siguiente: Número de copias 6 7 8 9 10 Probabilidad .20 .25 .35 .15 .05 El bibliotecario cree que con el sistema actual, la cola en la máquina copiadora es demasiado larga y que el tiempo que un estudiante pasa en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio) es demasiado. Efectúe una simulación de Montecarlo para la llegada de 10 clientes y determine el tiempo promedio de espera y el tiempo ocioso de la máquina copiadora. Utilice los números aleatorios de las celdas A7 y B9 (tabla de números aleatorios) para generar los valores de los tiempos entre llegadas de los estudiantes y el número de copias solicitadas respectivamente.

APLICACIÓN 4.- La demanda diaria de pollos en un minimarket es una variable aleatoria con distribución exponencial con una media de 5 unidades diarias. El administrador comienza el día con 15 pollos. Cada pollo tiene un costo de 13 soles y se vende a 20 soles. Se reduce el inventario diariamente. Si al final de un día en particular el dueño tiene menos de 8 pollos en stock, ordena un pedido suficiente para tener 15 pollos al inicio del siguiente día. Además se conoce que: -

Cuando la demanda excede el inventario, no se permite tener pedidos pendientes pero se carga el costo de 3 soles por unidad, por no haber tenido el artículo en almacén (costo de escasez).

-

El costo de colocar un pedido para volver a tener artículos en inventario es de 10 soles (independiente de la cantidad ordenada).

-

El costo de mantener inventario de un día para otro es de 1.5 soles. El costo de almacenamiento del inventario inicial fue cargado en la gestión anterior



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Asumiendo que el costo de adquisición e inventario de los 15 pollos con los que empieza el negocio fueron absorbidos en la gestión anterior, determine Ud. utilizando la técnica de la simulación de Montecarlo: a) La utilidad total para un periodo de 15 días. b) El número de pollos que sobran al final del último día. Para generar la demanda diaria utilice los números aleatorios de la celda E8 (tabla de números aleatorios).

APLICACIÓN 5.- Un lote de estacionamiento dispone de 30 espacios para el estacionamiento de los vehículos. Es abierto de 8 a.m. a 4 p.m.. El intervalo entre la llegada de vehículos al lote L tiene distribución exponencial con un valor esperado de 3 minutos. La duración de estadía de un vehículo S es normalmente distribuida con un valor esperado de 90 minutos y una varianza de 30 minutos. Si al llegar un vehículo no hay espacio libre, se aleja. Se pide: a) Construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) que simule el funcionamiento del Lote de estacionamiento y determine el número de vehículos que se alejan durante un día de 8 horas (480 minutos). b) Suponiendo que el lote de estacionamiento tenga solamente 3 espacios y tomando en cuenta los intervalos de llegada (L) y las duración de las estadías (S) generados, determinar el número de vehículos que se alejan durante la llegada de 10 vehículos. Utilice para generar L, los números aleatorios de la celda C1 y para S los de la celda E8 (tabla de números aleatorios).

APLICACIÓN 6.- Un semáforo en una intersección vehicular tiene una fase verde que actualmente demora 50 segundos y una fase roja de 40 segundos. El intervalo entre las llegadas de los vehículos a la intersección (en segundos) es una variable aleatoria con distribución empírica: Intervalos entre llegadas 5 6 7 8 9 probabilidad 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 a) Construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) para este sistema que permita determinar la duración de la fase verde, de tal manera que el tiempo promedio de espera de los vehículos que llegan a dicha intersección no sea mayor a 30 segundos. Utilice un tiempo de simulación de 5 horas. b) Mediante la simulación de Montecarlo determine la longitud promedio de vehículos en cola para esta intersección en un tiempo de simulación equivalente a la llegada de 15 vehículos. Utilice los números de la celda B9 (tabla de números aleatorios) para generar los valores de la variable aleatoria.

APLICACIÓN 7.- En un proceso productivo las piezas una vez procesadas son inspeccionadas para determinar si son rechazadas, reprocesadas o aceptadas para su posterior venta. Estadísticamente el 70% de las piezas son aceptadas, el 10% son rechazadas y el 20% reprocesadas. Una pieza reprocesada puede volver nuevamente a ser reprocesada. Utilice la Ing. Efraín Murillo


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técnica de simulación de Montecarlo para imitar el funcionamiento de este sistema durante la llegada de 15 piezas y responda las siguientes inquietudes: a) Si el costo de proceso es de $13 por pieza y el de reproceso $7. ¿Cuál seria el costo de un item que termine en ventas?. b) En un lote de 5000 piezas ¿cuántas serán rechazadas?. Nota: Utilice los números aleatorios de la celda C2 (tabla de números aleatorios) para generar valores para la variable aleatoria de si la pieza es aceptada, descartada o reprocesada.

APLICACIÓN 8.- En el puesto de gasolina “El campeón”, ocurre lo siguiente: a) Los carros llegan al puesto a cada 12 a 16 minutos con una media de 14 minutos entre llegadas y distribución uniforme. b) Juan Pérez atiende exponencialmente, llevando en promedio15 minutos para atender un carro (4 minutos para llenar el tanque, 3 minutos para verificar el aceite y 8 minutos para contar el cambio). Se le sugiere las siguientes alternativas para mejorar el servicio: a) No hacer nada y dejar las cosas como están. b) Someter a Juan Pérez a un programa de capacitación, de modo que mejore su aritmética y de esta manera disminuir el tiempo de servicio de 15 a 6 minutos. c) Instalar una segunda bomba y contratar a un operario para operarla. El joven trabaja exactamente del mismo modo que Juan Pérez. d) Sugerir a Juan Pérez que descanse y contrate al mejor estudiante del grupo escolar de la nocturna, el emplearía 5 minutos para atender un carro. NOTA: Observe que este proceso no es de optimización, ya que no es posible definir una función objetivo a ser maximizada o minimizada. a) Mediante la simulación de Montecarlo determine la mejor alternativa de optimización en función al tiempo promedio de espera en cola. Utilice el tiempo de simulación equivalente a la llegada de 15 vehículos al sistema. Utilice los siguientes números aleatorios para generar los valores de las variables aleatorias: - Para la tasa de llegadas: Números aleatorios de la celda C7 (tabla de números

aleatorios). - Para los tiempos de servicio: Números aleatorios de la celda D4 (tabla de números aleatorios).



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APLICACIÓN 9.- Un vendedor compra periódicos al precio de 50 céntimos de sol por cada uno y los vende a 1 sol la unidad. Al final de cada día el agente de publicaciones le pagará 15 céntimos de sol por cada periódico que no haya vendido. La demanda diaria D de los periódicos tiene la siguiente distribución de probabilidad (distribución empírica): D 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 p(D) 0.08 0.07 0.02 0.20 0.09 0.19 0.12 0.03 0.14 0.06 g) Suponiendo que el vendedor puede pedir cualquier cantidad de periódicos que se encuentre en el rango de valores de la demanda, construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) para este sistema logístico que permita determinar el nivel óptimo de aprovisionamiento (número de periódicos a pedir diariamente), en un tiempo de simulación de 200 días. h)

Mediante la simulación de Montecarlo determine la utilidad total esperada para un nivel de aprovisionamiento de 95 periódicos diarios en un tiempo de simulación de 20 días. Utilice los números de la celda A5 (tabla de números aleatorios) para generar los valores de la variable aleatoria.

APLICACIÓN 10.- Suponga que estamos determinando el punto de reorden R de una política de inventarios (Q,R). Con esta política pedimos Q unidades cuando el nivel de inventario desminuye a R o menos. La distribución de probabilidades de la demanda diaria se da en la siguiente tabla: DEMANDA DIARIA (unidades) PROBABILIDAD 12 .05 13 .15 14 .25 15 .35 16 .15 17 .05 El tiempo de entrega también es una variable aleatoria y tiene la siguiente distribución: TIEMPO DE ENTREGA (Días) PROBABILIDAD 1 .20 2 .30 3 .35 4 .15 Suponemos que la cantidad “pedir hasta tener” permanece igual, en 100 unidades. Nuestro interés en este caso es determinar el valor del punto de reorden R que minimice el costo total de inventario. Este costo es la suma del costo esperado de almacenamiento, el costo esperado de pedido y el costo esperado de escasez. La escasez es acumulativa. Esto es, un cliente espera hasta que se tiene el artículo. El costo de inventario se estima en 0.20 dólares por unidad por día, y se carga a las unidades en inventario al final del día. La escasez cuesta 1 dólar por cada unidad que falte. El costo de pedido es 15 dólares por pedido. Los pedidos llegan al inicio del día.



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a) Suponiendo que el punto de reorden R puede oscilar entre 0 y 50 unidades, construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) para este sistema de inventario que permita determinar el valor de R que minimice el costo total de inventario, en un tiempo de simulación de 500 días. b) Mediante la simulación de Montecarlo determine el costo total de inventario para un punto de reorden igual 30 unidades en un tiempo de simulación de 20 días. Utilice los siguientes números aleatorios para generar los valores de las variables aleatorias: -

Para la demanda: Números aleatorios de la celda C1 (tabla de números aleatorios). Para los tiempos de llegada de los pedidos: Números aleatorios de la celda E8 (tabla de números aleatorios).



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Apéndice A

Área bajo la curva normal estándar Z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

0.50000 0.53983 0.57926 0.61791 0.65542

0.50399 0.54380 0.58317 0.62172 0.65910

0.50798 0.54776 0.58706 0.62552 0.66276

0.51197 0.55172 0.59095 0.62930 0.66640

0.51595 0.55567 0.59483 0.63307 0.67003

0.51994 0.55962 0.59871 0.63683 0.67364

0.52392 0.56356 0.60257 0.64058 0.67724

0.52790 0.56749 0.60247 0.64431 0.68082

0.53188 0.57142 0.61026 0.64803 0.68439

0.53586 0.57535 0.61409 0.65173 0.68793

0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

0.69146 0.72575 0.75804 0.78814 0.81594

0.69497 0.72907 0.76115 0.79103 0.81859

0.69847 0.73237 0.76424 0.79389 0.82121

0.70194 0.73536 0.76730 0.79673 0.82381

0.70540 0.73891 0.77035 0.79955 0.82639

0.70884 0.74215 0.77377 0.80234 0.82894

0.71226 0.74537 0.77637 0.80511 0.83147

0.71566 0.74857 0.77935 0.80785 0.83398

0.71904 0.75175 0.78230 0.81057 0.83646

0.72240 0.75490 0.78525 0.81327 0.83891

1.00 1.10 1.20 1.30 1.40

0.84134 0.86433 0.88493 0.90320 0.91924

0.84375 0.86650 0.88686 0.90490 0.92073

0.84614 0.86864 0.88877 0.90658 0.92220

0.84849 0.87076 0.88965 0.90824 0.92364

0.85083 0.87286 0.89251 0.90988 0.92507

0.85314 0.87493 0.89435 0.91149 0.92647

0.85543 0.87698 0.89617 0.91309 0.92785

0.85769 0.87900 0.89796 0.91466 0.92922

0.85993 0.88100 0.89973 0.91621 0.93056

0.86214 0.88298 0.90147 0.91774 0.93189

1.50 1.60 1.70 1.80 1.90

0.93319 0.94520 0.95543 0.96407 0.97128

0.93448 0.94630 0.95637 0.96485 0.97193

0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257

0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.97320

0.93822 0.94950 0.95907 0.96712 0.97381

0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441

0.94062 0.95154 0.96080 0.96856 0.97500

0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558

0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615

0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.97670

2.00 2.10 2.20 2.30 2.40

0.97725 0.98214 0.98610 0.98928 0.99180

0.97784 0.98257 0.98645 0.98956 0.99202

0.97831 0.98300 0.98679 0.98983 0.99224

0.97882 0.98314 0.98713 0.99010 0.99245

0.97932 0.98382 0.98745 0.99036 0.99266

0.97982 0.98422 0.98778 0.99061 0.99286

0.98030 0.98461 0.98809 0.99086 0.99310

0.98077 0.98500 0.98840 0.99111 0.99324

0.98124 0.98537 0.98870 0.99134 0.99343

0.98169 0.98574 0.98899 0.99158 0.99361

2.50 2.60 2.70 2.80 2.90

0.99379 0.99534 0.99653 0.99744 0.99813

0.99396 0.99547 0.99664 0.99752 0.99819

0.99413 0.99560 0.99674 0.99760 0.99825

0.99430 0.99573 0.99683 0.99767 0.99831

0.99446 0.99585 0.99693 0.99774 0.99836

0.99461 0.99598 0.99702 0.99781 0.99841

0.99477 0.99609 0.99711 0.99788 0.99846

0.99492 0.99621 0.99720 0.99795 0.99851

0.99506 0.99632 0.99728 0.99801 0.99856

0.99520 0.99643 0.99736 0.99807 0.99861

3.00 3.10 3.20 3.30 3.40

0.99865 0.99903 0.99931 0.99952 0.99966

0.99869 0.99906 0.99934 0.99953 0.99968

0.99874 0.99910 0.99936 0.99955 0.99969

0.99878 0.99913 0.99938 0.99957 0.99970

0.99882 0.99916 0.99940 0.99958 0.99971

0.99886 0.99918 0.99942 0.99960 0.99972

0.99899 0.99921 0.99944 0.99961 0.99973

0.99893 0.99924 0.99946 0.99962 0.99974

0.99896 0.99926 0.99948 0.99964 0.99975

0.99900 0.99929 0.99950 0.99965 0.99976

3.50 3.60 3.70 3.80 3.90

0.99977 0.99984 0.99989 0.99993 0.99995

0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99995

0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99996

0.99979 0.99986 0.99990 0.99994 0.99996

0.99980 0.99986 0.99991 0.99994 0.99996

0.99981 0.99987 0.99991 0.99994 0.99996

0.99981 0.99987 0.99992 0.99994 0.99996

0.99982 0.99988 0.99992 0.99995 0.99996

0.99983 0.99988 0.99992 0.99995 0.99997

0.99983 0.99989 0.99992 0.99995 0.99997

1 Fuente: Richard I. Levin and Charles A. Kirkpatrick, Quantitive Approaches to Management (New York: McGraw-Hill, 1978), p. 588.


Apuntes de Clase - Simulacion de Montecarlo

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