U. DE CHILE
INGENIERIA
Universidad de Chile Escuela Escu ela de Ingenie Ing enierr´ıa Depar Dep arta tame mento nto de Ingeni Ing enier er´ ´ıa Matem Matem´ ´atica atica
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MA26A
7 de Julio del 2004
Observaciones Capitulos 1,2,3 redactados por el alumno Oscar Peredo a partir de un apunte de Axel Osses. Capitulos 4,5 redactados por el alumno Andre de Laire a partir de un apunte de Axel Osses. Capitulo 6 seccion 1 redactado por el alumno Ricardo Menares a partir de un apunte del curso de Leonardo Sanchez. Capitulo 6 seccion 2 redactado por el alumno Ricardo Menares a partir de un apunte del curso de Felipe Alvarez.
´Indice general 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Elementales
9
1.1. Introd Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Integrac Integraci´ i´on Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3. Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4. EDO lineal de primer orden homog omog´´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5. EDO lineal de primer orden no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5.1. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6. Ecuacione ones reductibles a los casos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6.1. Ecuaciones ”homog´eneas” eneas” de alg´ un grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6.2. Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.6.3. Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.6. 1.6.4. 4. ED EDO O de segu segund ndoo ord orden en dond dondee no apar aparec ecee la la var varia iabl blee depen dependi dien ente te . . . . . .
23
1.6. 1.6.5. 5. ED EDO O de de seg segun undo do orde orden n don donde de no apar aparec ecee la la var varia iabl blee ind indepe epend ndie ien nte . . . . .
24
1.7. Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.7.1. Mo delo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.7.2. 1.7.2. Modelo Modelo malth malthusi usiano ano m´ ma´s realista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.3. Mod odeelo log´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.7.4. Mod odeelo cazador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.7.5. 1.7.5. Modelo Modelo epid epidemi emiol´ ol´ ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.7.6. Mo delo de alelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.8. Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden sup erior 3
38
2.1. Ecuaciones Lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.1. 2.1.1. 1. Solu Soluci cion on Homo Homogg´enea e nea a coefi coefici cien ente tess cons consta tan ntes tes . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.2. Solucion Particular a coeficientes constantes constantes (M´etodo etodo de Lagrange o Variaci´ Variaci´on on de Par´ametros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.1.3. 2.1.3. Soluci Soluci´ o´n a coefi oeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.1.4. Indep endencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.2. Ecuaciones Lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.2. 2.2.1. 1. Trans ansform formac acii´on o n a un sis sistema tema vectori torial al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2.2. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.2.3. 2.2.3. Espaci Espacios os
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.2.4. Wronskiano ronskiano de dimen dimension sion n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.2.5. Coefi oeficientes Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.2.6. Coefi oeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
S y H
3. Transformada de Laplace
69
3.1. Introd Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2. El espaci espacioo
71
C
α
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Funciones esp eciales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.3.1. 3.3.1. Escal´ Escal´ on de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.3.2. 3.3.2. Pulso Pulso entre entre a y b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.3.3. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.4. Transformada de una derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.5. Transformada de una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.6. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.7. Igualdad de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.8. Con Conve vergenc rgencia ia Uniforme Uniforme de de
81
3.9.
L............................... Diferenci Diferenciabilid abilidad ad e integrabil integrabilidad idad de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.9.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.9.2. Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.10. Convoluci´ Convoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.11. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.12. Antitransformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4
4. Sistemas Lineales de EDO
92
4.1. Introd Introducc ucci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.2. Sistemas Sistemas Lineal Lineales es en en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.2.1. M´ etodo etodo de sustituci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.2.2. 2.2. M´etodo odo de Transform ormada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.3. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4. Sistemas Homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5. Soluciones Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.6. Expo pon nencial de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.6.1. Caso diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.2. Caso no diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5. Ecuaciones Diferenciales No Lineales
131
5.1. Introd Introducc ucci´ i´ o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 5.2. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3. Sistemas Cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.4. Diagramas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.4.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.5. Estabilidad con funciones de Liapu apunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6. Serie Seriess de potencia potenciass y funci´ funcio ´n de Bessel
172
6.1. Soluciones en forma de series de pot potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.1.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.1.2. 1.2. El m´etodo odo de la serie de pot potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.1.3. 6.1.3. Justifi Justificac caci´ i´ on del m´eto do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.1.4. M´etod odoo de Froben benius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2. La ecuac ecuaci´ i´ on de Bessel en una aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 on
5
´Indice de figuras 1.1. Dos solu solucio ciones nes de la la EDO y ′ = 0 igual iguales es salv salvoo cons consta tan nte en cada cada inte interv rval aloo (2). (2). . . . 1.2. Curva Braquist´ocrona ocrona con x
∈ [0, [0,
π ], 2
y
12
∈ [−1, 0] , par´ametro ametro k = 1 y constante C = 0. 14
1.3. Comport Comportami amien ento to de la temper temperatu atura ra de un cuerpo cuerpo T ( T (t) frente a una temperatura ambiente ambiente constante T A (t) = 0 (k (k = 1, w = 1) y constante C = 10. . . . . . . . . . .
18
1.4. Relaci Relaci´on ´on entre sen φ = √k2k+w2 y cos φ = √k2w+w2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.5. Comport Comportami amien ento to de la temper temperatu atura ra de un cuerpo cuerpo T ( T (t) frente a una temperatura ambiente ambiente oscilante T A (t) = 0 + 10 sen( sen(tt) (k = 1, w = 1) y constante C = 10. . . . . .
20
1.6. Bote Bote con con rapid rapidez ez b cruzando un r´ıo cuya cu ya corriente cor riente tiene t iene rapidez a. . . . . . . . . . .
21
1.7. Po Pobla blaci´ ci´ on mundial desde 1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.8. Po Pobla blaci´ ci´ on o n mun undi dial al y tasa tasa de crec recimie imien nto entre tre 1950 1950 y 2050 2050 . . . . . . . . . . . . . .
26
1.9. Po Pobla blaci´ ci´ on o n y tas tasaa de de cr crecimie imien nto de de Chile ile en entre tre 195 19500 y 2050 2050 . . . . . . . . . . . . . .
27
1.10. Poblaci´on o n y tasa tasa de de cre creci cimi mien ento to de de Ind India ia y Zim Zimbab babwe entr entree 1950 1950 y 2050 2050 . . . . . . .
29
1.11. Sistema mec´anico de un resorte y una masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.12. Sistema mec´anico anico de una cadena bajo el efecto de g con con un extr extrem emoo ca cayendo endo.. . . . .
36
2.1. Analog´ıa ıa electromec´anica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.2. Regimen Sobreamortiguado Sobreamortiguado (arriba), Criticamente Criticamente Amotiguado (centro) (centro) y Subamortiguado (abajo), con C 1 = C 2 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.3. Posible Posibless valore valoress de λ1 y λ2 en C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4. Diagrama Diagrama d dee Bifurc Bifurcaci´ aci´ on on de λ1 (b) y λ2 (b) en C, con b
43
2.5. Represen Representacio tacion n de los espacios espacios
→ 0.
. . . . . . . . . . . . . . 2
H y S en 2 dimensiones sobre C (I ).
. . . . . . . . .
56
3.1. 3.1. Gr´ Gra´fico de la onda cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.2. 3.2. Gr´ Gra´fico de la onda de dientes de sierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.3. 3.3. Regi Regi´on o´n donde las funciones son de orden exponencial con C = 100 y α = 15 . . . . . .
73
6
3.4. Escal´ Escal´ on on de Heaviside con a = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.5. Pulso Pulso entre entre a = 3 y b = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.6. Distinta Distintass funci funciones ones f n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.1. Po Poluc luci´ i´ on en dos estanques del ejemplo 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.2. Comportamien Comportamiento to de la poluci´ poluci´ on en estanq anque 2 del ejemplo 4.2.2 . . . . . . . . . . .
97
4.3. Masas atmosf osf´ericas del ejemplo 4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.4. 4.4. Model Modelam amie ien nto de los amor amorti tigu guad ador ores es de un auto auto del del eje ejemp mplo lo 4.6. 4.6.11 . . . . . . . . . . 117 5.1. 5.1. Solu Soluci cion ones es de equi equili libr brio io para para el model modeloo de de con conej ejos os y ov ovejas ejas . . . . . . . . . . . . . . 140 140 5.2. 5.2. Solu Soluccione ioness de de equil quilib ibrrio del p´ p´end ndu ulo no line lineal al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 141 5.3. 5.3. Solu Soluci cion ones es de equi equili libr brio io del del p´ endu e ndulo lo lin linea eali liza zado do en en tor torno no al al orige origen n . . . . . . . . . . 142 5.4. Interse Intersecci´ cci´ on on de C´onicas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3
5.5. Soluci Solucione oness (5.5) y (5.6) (5.6) para para k > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.6. Soluci Soluci´on o´n del sistema para una condici´on on inicial en el plano de fases X Y . . . . . . . 146 5.7. Diagrama Diagrama de fase comple completo to para k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.8. Diagram Diagramaa de fase fase para para k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.9. Diagram Diagramaa de fase fase para para k =
−1 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 8
5.10 5.10.. Diag Diagra rama mass de de fas fasee de de (5. (5.7) 7) para para dos dos con condi dici cion ones es inic inicia iale less . . . . . . . . . . . . . . . 149 149 5.11 5.11.. Solu Soluci cion ones es de (5.7 (5.7)) para para dos dos con condi dici cion ones es inic inicia iale less . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 150 5.12. 12. Unicidad de la trayector´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.13. Intersecci´ Intersecci´on de Recorridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.14. 5.14. A la izqui izquierd erda, a, el recor recorrid ridoo orient orientado ado de (5.10 (5.10), ), y a la dere dereccha el de (5.11 (5.11)) . . . . . . 151 5.15. 15. Trayectori orias que conv onvergen al ori origen gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.16. Punto silla
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4
5.17. Diagrama de fase del sistema (5.12). A la izquierda α < 0, β > 0, y a la derecha α > 0, β < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.18. Diagrama de fase del sistema (5.12). A la izquierda α < 0, β < 0, y a la derecha α > 0, β > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.19. Diagrama de fase del sistema (5.12) para α = 0. A la izquierda β > 0, y a la derecha β < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.20. Diagramas de fase de (5.13) para λ2 /λ1 > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.21. Diagramas de fase de (5.13) para λ2 /λ1 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7
5.22. Diagramas de fase de (5.13) para λ2 y λ1 < 1 de signos distintos.
. . . . . . . . . . 159
5.23 5.23.. Diag Diagra rama mass de fase ase del del mod modeelo de cone onejos jos y ovejas jas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 161 5.24 5.24.. Diag Diagra rama mass de de fas fasee del del p´endu e ndulo lo suba subamo mort rtug ugua uado do.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 163 5.25. Plano traza/determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8
Cap´ıtulo 1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Elementales 1.1. 1.1.
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
on diferencial ordinaria (EDO) es una identidad de la forma Definici´ on on 1.1.1. Una ecuaci´ F ( F (x, y ′ (x), y ′′ (x), . . . , y(n)(x)) = 0 donde x es la variable independiente e y es la inc´ ognita (funci´ on). Se dice que es ordinaria si se deriva con respecto a una variable. Si se deriva con respecto a varias variables, se habla de ecuacion diferencial parcial. El orden de una ecuaci´ on diferencial es el grado de derivaci´ on m´ aximo que aparece en la ecuaci´ on. El grado de una ecuaci´ on diferencial es el exponente de la derivaci´ on de mayor orden. Una EDO es lineal si tiene grado1 grado 1, orden n y es de la forma an (x)y (n) + an−1y (n−1) +
· · · + a (x)y′ + a y 1
0
= Q(x)
, con ai(x) R, i 1, . . . , n (coeficientes). Si Q(x) = 0, la ecuaci´ on se dice homog´ og´ enea . Si Q(x) = 0, la ecuaci´ on se dice no homog ho mog´ ´ enea en ea . Si los coeficientes ai (x) no dependen de x, se dice que la EDO es a coeficientes oeficientes constantes constantes.. De lo contrario se dice que es a coeficientes variables. variables. Si an (x) = 1, la EDO esta en forma normal (normalizada).
∈ ∀ ∈{
}
sen(x)y = tan(x tan(x). EDO lineal, de orden 1, grado 1, a coeficientes variables, Ejemplo 1.1.1. xy′ + c sen(x no homo ho mog´ g´ena. ena . coeficientes constantes, constantes, homog´enea. enea. Ejemplo 1.1.2. y′′ 2y = 0. EDO lineal, de orden 2, grado 1, a coeficientes
−
(y ′ )2 ) = 0. EDO no lineal, de orden 1, grado 2, a coeficientes constantes. Ejemplo 1.1.3. 2gy(1 gy (1 + (y 9
En este capitulo se estudiaran 4 tipos de EDO elementales: 1. Integrac Integraci´ i´on on directa (y (y ′ = f ( f (x)). 2. Variables ariables separables separables (y (y ′ = f ( f (x)g (y )). 3. EDO lineal de orden 1 homog´enea enea (y (y ′ + a0 (x)y = 0). 4. EDO lineal de orden 1 no homog´enea enea (y (y ′ + a0 (x)y = Q(x)).
1.2. 1.2.
Inte In tegr grac aci´ i´ on on Directa
Para la EDO y ′ = f ( f (x) se obtiene que y= con C
f ( f (x)dx + C
∈ R constante.
sen(x) : Ejemplo 1.2.1. y ′ = sen(x
y =
sen(x sen(x)dx + C
=
− cos(x cos(x) + C
Ejemplo 1.2.2. y ′ = x : y = =
xdx + C
x2 + C 2
1 Ejemplo 1.2.3. y ′ = , x = 0 : x
dx + C x = ln( x ) + C = ln( x ) + ln(k ln(k ), (k > 0) = ln(k x )
y =
|| || ||
10
Si y ′ = f ( f (x) con x
∈ I , intervalo intervalo real no vac´ vac´ıo y conexo, se tiene para x ∈ I : 0
x
x
y ′ (x)dx =
x0
f ( f (x)dx,x
x0
∈ I
Por teorema fundamental del c´alculo alculo (TFC), se tiene que
x
y (x) =
f ( f (x)dx + y (x0), con y(x0) constante.
x0
1 Ejemplo 1.2.4. y ′ = , x = 0 : x0 = 1, x > 0 : x
x
x
y ′(x)dx =
1
1
y (x)
− y(1)
dx x
= ln(x)
x 1
y (x) = ln(x) ln(1) + y (1) y (x) = ln(x) + y (1)
−
Si x0 =
−1, −1 < x < 0 :
x
y ′ (x)dx =
−1
y (x)
−1 dx
x
− y(−1)
x
| |
x
= ln( x )
−1
y (x) = ln( x) + y ( 1)
−
1.2. 1.2.1. 1.
−
Unic Unicid idad ad
Si se tiene el siguiente sistema para x
(inter valo conexo con exo no vac´ vac´ıo): ıo) : ∈ I (intervalo y1′ (x) = f ( f (x) ′ y2(x) = f ( f (x)
Restando ambas ecuaciones, se obtiene (y1 y2)′ = 0 y1 y2 = C y1 = y2 + C
− −
las 2 soluciones son iguales salvo una constante C R en un intervalo I . Por lo tanto, la soluci´on on de una EDO es una familia uniparam´etrica etrica de curvas en un intervalo intervalo I . En la figura (1.1), se observa que en cada intervalo, ambas curvas presentan la misma derivada, [ i, i + 1], 1], i N. y ′ = 0, lo que implica que son soluciones de la EDO y ′ = 0 en cada intervalo [i,
∈
∈
11
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1 0
1
2
3
4
−1 0
5
1
2
3
4
5
Figura 1.1: Dos soluciones de la EDO y ′ = 0 iguales salvo constante en cada intervalo (2).
1.3. 1.3.
Var aria iabl bles es Separ Separabl ables es
Para x
∈ I (intervalo conexo co nexo no vac´ vac´ıo), se tiene t iene la EDO: ED O: y ′ = f ( f (x)g (y )
La soluci´ soluci´ on se obtiene de la forma (g on ( g (y ) = 0):
y′ = f ( f (x) g (y ) 1 dy = f ( f (x) g (y ) dx dy = f ( f (x)dx + C g (y )
con C
∈ R constante.
Ejemplo 1.3.1. y ′ = xy : f ( f (x) = x, g (y ) = y, y = 0
dy = y
xdx + C
x2 + C 2 x2 = exp + C 2
ln( y ) =
|| |y| |y| |y|
Por lo tanto la soluci´on on es y = k exp k exp
x2 2
, con k
∈ R.
· ·
x2 = exp(C ) exp 2 x2 = k exp exp(C ) , k = exp(C 2
x2 2
, con k = 0. Si agregamos la soluci´on on y = 0, se tendr´a y =
12
Cuando se considera g (y ) = 0, se est´ an an eliminando eliminando posibles posibles soluciones soluciones constant constantes es de la EDO que no hay que despreciar.
π Ejemplo 1.3.2. y ′ = cos2 (y ) : f ( f (x) = 1, g (y ) = cos2 (y ), y = + kπ 2
dy = cos2(y )
dx + C
sec2 (y )dy = x + C tan(y tan(y ) = x + C arctan an((x + C ), C y = arct
Finalmente, hay que agregar las soluciones constantes y = Si se integra entre x0
∈R
π + kπ. kπ . 2
∈ I y x ∈ I a ambos lados de (1.1), se tiene que
x
x0
considerando s = y (x)
f ( f (x)dx
f ( f (x)dx
x
x0
⇒ ds = y′(x)dx, dx,
y(x)
y(x0 )
Si G(s) es primitiva de
y ′ (x)dx = g (y (x))
ds = g (s)
x
x0
1 y F ( F (x) es primitiva de f ( f (x), se tiene que g (s) G(y (x)) = F ( F (x) F ( F (x0 ) + G(y (x0)) = F ( F (x) + C
−
con C = F ( F (x0) + G(y (x0 )) constante. Las condiciones para que (1.1) son que respecto a y y que f ( f (x) sea integrable con respecto a x.
1 g (y )
sea integrable con
Ejemplo Ejemplo 1.3.3 1.3.3 (Braquist´ (Braquist´ ocrona). ocrona). Se denomina asi a la curva que describe un cuerpo que se desplaza desde un punto a otro de menor altura (no en la misma vertical), bajo la acci´on de la gravedad terrestre, en el menor tiempo posible.
La EDO que describe el movimiento es (con k
∈ R):
(y ′ )2 ) = k 2 y (1 + (y
13
Y
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
0.5
Figura 1.2: Curva Braquist´ocrona ocrona con x
1
[0, ∈ [0,
π ], 2
y
1.5
X
ametro k = 1 y constante C = 0. ∈ [−1, 0] , par´ametro
utilizando utilizan do el m´etodo etodo de separaci´ separaci on ´on de variables, se tiene y′ =
1 2
−· k2
y
1
y
f ( f (x)
g (y )
1 2
y dy = k2 y
−
haciendo el cambio de variable y = k 2 sen2 θ
dx + C
⇒ dy = 2k
2
sen θ cos θdθ, θdθ ,
k sen θ2k 2 sen θ cos θdθ = x + C k cos θ 2k 2 2k
2
sen2 θdθ = x + C
− −
2k 2
1
θ 2
cos2 θ dθ = x + C 2 sen2θ sen2θ = x + C 4 θ x = 2k 2 2
− −
por lo tanto, se tiene que x = x(θ) e y = y (θ) : k2 (2θ (2θ sen2θ sen2θ) 2 k2 = (1 cos2θ cos2θ) y 2
x =
− −
14
− C
sen2θ sen2θ 4
C
