Aprendiendo Cálculo Diferencial Con Wolfram Mathematica

APRENDIENDO APRENDIENDO CÁLCULO CÁLCULO DIFERENCIAL DIFERENCIAL CON Wolf Wolfra ram m

Lic Adriana Favieri Profesora del Taller de Informática para Cálculo I Universidad Nacional de la Matanza Matanza Lic Roxana Scorzo Profesora del Taller de Informática para Cálculo I Universidad Nacional de la Matanza Matanza Lic Betina Williner Profesora del Taller de Informática para Cálculo I Universidad Nacional de la Matanza Matanza

®

Math Mathem emat atic ica a

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Mathematica y Wolfram y Wolfram Mathematica son marcas registrada de WRI. WRI.

El logo es marca registrada de WRI de WRI.. El diseño del programa Mathematica, su interfaz, comandos comandos y gráficos son marcas registrada de WRI. http://www.wolfram.com/



























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Agradecimientos

A nuestros esposos esposos Eduardo, Claudio y Eduardo, e hijos por alentarnos y asistirnos en la tarea. A la jefa de cátedra de Cálculo I y Análisis Matemático I, Ing Isabel Weinberg por por respaldar nuestro trabajo.

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PRÓLOGO Pretendemos Pretendemos que este cuadernillo cuadernillo sea una herramienta herramienta didáctica de ayuda para el aprendizaje de las asignaturas Cálculo I y Análisis Matemático I. En el mismo recorreremos los diferentes temas utilizando un programa programa ® específico, en este caso el Mathematica . Desde Desde hace hace varios varios años es reconoci reconocido do por todos los miembro miembross de la comunid comunidad ad educativa educativa,, los cambios cambios en la forma forma de trabajo trabajo y los logros en el aprendiza aprendizaje je obtenido obtenido cuando se incorpor incorporan an a la clase clase herramie herramientas ntas inforinfor® máti mática cass com como la menci encion onad ada. a. El Mathematica , como como herr herram amie ient nta a de traba trabajo jo,, perm permitite e hace hacerr cálc cálcul ulos os rápidame rápidamente nte y gráficos precisos, precisos, favorecie favoreciendo ndo el análisis, la inferenc inferencia ia y la justificac justificació ión n de los temas estudiados. También puede ser utilizado como un medio para controlar resultados de ejercicios y resolver situaciones problemáticas en forma activa. La incorporación de este tipo de programas programas permite dinamizar algunas situaciones situaciones de enseñanza aprendizaje, aprendizaje, lo que puede puede evidencia evidenciarse rse con mayor mayor intensida intensidad d en la visualiza visualización ción de gráficos gráficos y en la rapidez rapidez de resolución resolución de cálcu cálculo los. s. Esta Estass vent ventaj ajas as incr increm emen enta tan n la motiv motivac ación ión de los los alum alumno noss al enfr enfren enta tarr el estu estudi dio o del del cálcu cálculo lo diferencial e integral Para que estas ventajas ventajas puedan puedan usarse usarse en las actividade actividadess de clase, es necesar necesario io contar contar con un materia materiall que ayude ayude al alumno alumno en su encuentro encuentro con este software software y su posterior posterior dominio dominio del mismo. mismo. Un cuaderni cuadernillo llo que no sólo sólo ilustr ilustre e sobre sobre los coman comando doss del del mism mismo, o, y la forma forma en que que se escribe escriben n y usen; usen; sino sino también también un mater material ial que que tenga tenga una una orien orientac tación ión es-pe es-pecífic cífica, a, en este este caso, caso, el estud estudio io de los temas temas de las asigna asignatur turas as detal detallad ladas as anteriormente. En el desarro desarrollo llo comenz comenzamo amoss con los primeros primeros pasos en el uso del programa, programa, cálculos cálculos exactos exactos y aproximaaproximados, variables variables y funcione funciones. s. Continua Continuamos mos con gráficos, gráficos, resolución resolución de ecuacio ecuaciones nes e inecuaci inecuacione ones, s, comand comandos os de manipulaci manipulació ó n algebra algebraica, ica, para terminar terminar con el cálculo cálculo de límites y derivada derivadass y el uso de paquete paquetess gráficos. gráficos. Cada capítulo concluye con ejercicios para practicar los comandos explicados. Dividimos el trabajo en dos secciones: Primera: ve versiones 4.0, 5.0, .0, 5.1 y 5.2 Segunda: ve versiones 6.0, 7.0 y 7.3 Estamo Estamoss conve convenc ncida idass que que la poten potencia cialid lidad ad de este este progra programa ma,, la capac capacida idad d de repres represen entac tación ión gráfic gráfica a y el volu volume men n de cálc cálcul ulos os que que pued puede e real realiz izar ar,, son son una una gran gran ayud ayuda a para para el estu estudi dio o del del Cálc Cálcul ulo. o. Si bien bien en un comienzo comienzo puede costar su uso, la recompensa merece todo el esfuerzo dedicado. Las autoras



























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CONTENIDOS PARTE 1 - VERSIONES VERSIONES 4.0 5.0 5.1 y 5.2 CAPÍTULO 1 : INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA

1.1 COMIENZO DE USO DEL PROGRAMA -------------------------1.2 LOS NOTEBOOKS (Cuadernos) (Cuadernos) ------------------------------------------------------------1.3 CELDAS QUE UTILIZA EL PROGRAMA --------------------------1.4 PALETTES ------------------------------------------------------------------------------------------1.5 AYUDA DEL PROGRAMA (HELP) ------------------------------------------------------------1.6 COMIENZO DE UNA SESIÓN DE TRABAJO -----------------------1.7 IMPORTANCIA DE LA SINTAXIS --------------------------------------------------------------1.8 INGRESO DE DATOS Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS --------------1.9 MATHEMATICA MATHEMATICA COMO CALCULADORA CALCULADORA -------------------------1.10 PRECISIONES PRECISIONES EN EL CÁLCULO --------------------------------------------------------1.11 VARIABLES --------------------------------------------------------------------------------------1.12 EJERCICIOS -------------------------------------------------------------------------------------

13 13 14 17 20 20 20 21 21 22 23 24

CAPÍTULO 2: FUNCIONES BÁSICAS

2.1 SINTAXIS SINTAXIS PARA FUNCIONES FUNCIONES ----------------------------------------------------------------2.2 DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE FUNCIONES --------------------------------------------------------------2.3 DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE FUNCIONES POR RAMAS -----------------------2.4 EJERCICIOS EJERCICIOS ---------------------------------------------------------------------------------------

25 25 27 29

CAPÍTULO 3: GRÁFICOS BIDIMENSIONALES

3.1 COMANDOS BÁSICOS DE GRÁFICO ------------------------------------------------------3.1.1 COMANDO : Plot ----------------------------------------------------------------------------------------------3.1.2 COMANDO : PlotStyle y opciones de gráfico ------------------3.1.3 COMANDO : ParametricPlot ------------------------------------------------------------ListPlot -----------------------------------3.1.4 COMANDO : ListPlot 3.1.5 COMANDO : Show --------------------------------------------------------------------------3.2 PAQUETE PARTICULAR : Miscellaneous - RealOnly --------------3.3 EJERCICIOS -------------------------------------------------------------------------------------

31 31 32 36 38 40 43 45

7





























8

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CAPÍTULO 5: ÁLGEBRA BÁSICA CON MATHEMATICA

5.1 OPCIONES DEL COMANDO : Expand --------------------------Expand --------------------------5.1.1 COMANDO : Expand ----------------------------------------------------------------------5.1.2 COMANDO : TrigExpand TrigExpand --------------------------------5.1.3 COMANDO : PowerExpand ------------------------------5.2 OPCIONES DEL COMANDO : Factor : Factor ---------------------------5.2.1 COMANDO : Factor ------------------------------------5.2.2 COMANDO : TrigFactor ---------------------------------5.3 VERIFICACI VERIFICACIÓN ÓN DE LA PARIDAD PARIDAD DE DE UNA FUNCIÓN ----------------5.3.1 COMANDO : TrueQ ------------------------------------5.4 COMANDO : Simplify -------------------------------------5.5 EJERCICIOS -------------------------------------------------------------------------------------

57 57 58 59 60 60 61 61 61 62 62

CAPÍTULO 6: LÍMITES. CÁLCULO DIFERENCIAL DI FERENCIAL

6.1 CÁLCULO DE LÍMITES ------------------------------------6.1.1 COMANDO : Limit ------------------------------------6.2 CÁLCULO CÁLCULO DE DERIVADAS DERIVADAS ------------------------------------------------------------------6.2.1 Tres formas para derivar ----------------------------------------------------------------6.3 EJERCICIOS -------------------------------------------------------------------------------------

65 65 67 67 70

CAPÍTULO 7: PAQUETES PAQUETES GRÁFICOS

7.1 GENERALIDADES PAQUETES ------------------------------7.2 PAQUETE GRÁFICO : ANIMACIÓN ANIMACIÓN ----------------------------7.2.1 COMANDO : Animate ----------------------------------7.3 GRÁFICOS GRÁFICOS DE CURVAS EN FORMA FORMA IMPLÍCITA IMPLÍCITA -------------------7.3.1 COMANDO : ImplicitPlot ----------------------------------------------------------------7.4 GRÁFICOS GRÁFICOS CON REFERENCIAS REFERENCIAS -----------------------------7.4.1 COMANDO : PlotLegend -------------------------------7.5 GRÁFICOS GRÁFICOS SOMBREADOS SOMBREADOS ------------------------------------------------------------------7.5.1 COMANDO : FilledPlot ----------------------------------7.6 GRÁFICOS GRÁFICOS DE EXPRESIONES EXPRESIONES CON INECUACIONES INECUACIONES ---------------

73 73 73 75 75 79 79 82 82 84





























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1.1 COMIENZO DE USO DEL PROGRAMA -------------------------1.2 LOS NOTEBOOKS (Cuadernos) (Cuadernos) ------------------------------------------------------------1.3 CELDAS QUE UTILIZA EL PROGRAMA --------------------------1.4 PALETTES ------------------------------------------------------------------------------------------1.5 AYUDA DEL PROGRAMA (HELP) ------------------------------------------------------------1.6 COMIENZO DE UNA SESIÓN DE TRABAJO -----------------------1.7 IMPORTANCIA DE LA SINTAXIS --------------------------------------------------------------1.8 INGRESO DE DATOS Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS --------------1.9 MATHEMATICA MATHEMATICA COMO CALCULADORA CALCULADORA -------------------------1.10 PRECISIONES PRECISIONES EN EL CÁLCULO --------------------------------------------------------1.11 VARIABLES ---------------------------------------------------------------------------------------

89 89 89 89 90 91 91 91 91 91 91

CAPÍTULO 2: FUNCIONES BÁSICAS

2.1 SINTAXIS SINTAXIS PARA FUNCIONES FUNCIONES ----------------------------------------------------------------2.2 DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE FUNCIONES --------------------------------------------------------------2.3 DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE FUNCIONES POR RAMAS ------------------------

93 93 93

CAPÍTULO 3: GRÁFICOS BIDIMENSIONALES

3.1 COMANDOS BÁSICOS DE GRÁFICO ---------------------------95 95 --------------------------------------3.1.1 COMANDO : Plot --------------------------------------95 3.1.2 COMANDO : PlotStyle y opciones de gráfico ------------------------------------99 ------------------------------3.1.3 COMANDO : ParametricPlot ------------------------------100 3.1.4 COMANDO : ListPlot ListPlot -----------------------------------100 -------------------------------------3.1.5 COMANDO : Show -------------------------------------3.2 PAQUETE PARTICULAR : Miscellaneous - RealOnly --------------- 101

CAPÍTULO 4: ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES-INECUACIONES

4.1 ECUACIONES ----------------------------------------------------------------------------------4.1.1 COMANDO : Solve ------------------------------------4.1.2 COMANDO : Reduce -----------------------------------

103 103 103

9





























10

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5.1 OPCIONES DEL COMANDO : Expand --------------------------Expand --------------------------5.1.1 COMANDO : Expand ----------------------------------------------------------------------TrigExpand --------------------------------5.1.2 COMANDO : TrigExpand 5.1.3 COMANDO : PowerExpand ------------------------------5.2 OPCIONES DEL COMANDO : Factor : Factor ---------------------------5.2.1 COMANDO : Factor ------------------------------------5.2.2 COMANDO : TrigFactor ---------------------------------5.3 VERIFICACI VERIFICACIÓN ÓN DE LA PARIDAD PARIDAD DE DE UNA FUNCIÓN ----------------5.3.1 COMANDO : TrueQ ------------------------------------5.4 COMANDO : Simplify --------------------------------------

105 105 105 105 105 105 105 106 106 106

CAPÍTULO 6: LÍMITES. CÁLCULO DIFERENCIAL DI FERENCIAL

6.1 CÁLCULO DE LÍMITES ------------------------------------6.1.1 COMANDO : Limit ------------------------------------6.2 CÁLCULO CÁLCULO DE DERIVADAS DERIVADAS ------------------------------------------------------------------6.2.1 Tres formas para derivar -----------------------------------------------------------------

107 107 107 107

CAPÍTULO 7: PAQUETES PAQUETES GRÁFICOS

7.1 GENERALIDADES PAQUETES ------------------------------7.1.1 COMANDO : Animate ---------------------------------7.2 GRÁFICOS GRÁFICOS DE CURVAS EN FORMA FORMA IMPLÍCITA IMPLÍCITA ------------------7.2.1 COMANDO : ContourPlot --------------------------------------------------------------7.3 GRÁFICOS GRÁFICOS CON REFERENCIAS REFERENCIAS -----------------------------7.3.1 COMANDO : PlotLegend -------------------------------7.4 GRÁFICOS GRÁFICOS SOMBREADOS ------------------------------------------------------------------7.4.1 COMANDO : Filling ------------------------------------7.5 GRÁFICOS DE EXPRESIONES EXPRESIONES CON CON INECUACIONES INECUACIONES ---------------7.5.1 COMANDO : RegionPlot --------------------------------

109 109 110 110 112 112 115 115 117 117





























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PARTE 1 VERSIONES 4.0 5.0 5.1 y 5.2

11































12

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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA

1.1 COMIENZO DE USO DEL PROGRAMA Al abrir el programa podemos ver una ventana como la siguiente :

13































14

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la derecha de las mismas. Las celdas más usadas son:

Celdas de entrada ( In[ ] ) à Celdas de salida (Out[ ] ) à Celdas de texto (Text ) à

Celdas de entrada ( In[ ] ) El programa, por default, abre con una celda tipo input. En ella escribiremos las instrucciones que queremos que el sofware ejecute.

à

Celdas de salida (Out[ ] ) Son las celdas en las que pueden verse los resultados de las celdas de entrada. à

Celdas de texto (Text ) En ellas podemos podemos escribir escribir en forma similar a un procesador procesador de texto. Para ello debemos convertirla a texto de la siguiente manera: ir a: Format-Style-Text. a: Format-Style-Text. à































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Al hacer click se despliega despliega un menú con todas las letras disponibles: disponibles:

15































16

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Y cambiar el tamaño (Format-Size) ( Format-Size)

































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17

1.4 PALETTES Para escribir escribir expresion expresiones es algebrai algebraicas, cas, símbolos símbolos matemáticos, matemáticos, cálculos cálculos o recordar recordar la sentenc sentencia ia de algunos algunos comandos, utilizamos los PALETTES. Existen diferentes diferentes tipos de PALETTES. El procedimiento procedimiento para desplegar desplegar los es el siguiente: en la barra barra del menú menú principal hacemos hacemos click en File --Palletes

































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Nro 4 BasicInput Para ingresar operaciones y se trabaja en forma similar a un editor de ecuaciones

19

































20

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1.5 AYUDA DEL PROGRAMA (HELP) En la barra barra del menú menú princi principa pall está está el menú menú de ayuda ayuda:: Help. Consider Consideramo amoss que es un completo completo manual manual de ayud ayuda a al que que podre podremo moss recurr recurrir ir y encon encontra trarr ejemp ejemplos los desa desarro rrolla llado doss que que nos nos serán serán de much mucha a utilid utilidad ad.. Para Para poder hacer uso del mismo clikeamos la siguiente secuencia secuencia : Help--About Mathemática-Help, Mathemática-Help, o Help--HelpBrowser o Help--Master Index (índice).

































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Los espaci espacios: os: un espa espaci cio o entr entre e dos dos vari variab able less se inte interp rpre reta ta como como multi multipl plic icac ación. ión. Por Por esto esto hay hay que que tene tener r cuidado de no agregar un espacio entre caracteres si no vamos a realizar un producto. Paréntes Paréntesis, is, corchete corchetess y llav llaves: es: e ell prog progra rama ma no los los inte interp rpre reta ta de la mism misma a mane manera ra.. Los Los corc corche hete tess son son exclusivo exclusivoss de las funcion funciones es y los comand comandos os (no los podemo podemoss utilizar utilizar para agrupar); agrupar); los paréntesis paréntesis nos sirven sirven para agrupar y las llaves para definir listas de elementos.

1.8 INGRESO DE DATOS Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS Para ingresar los datos escribimos en la celda, que como dijimos anteriormente, está en formato IN. Para accionarlo presionamos: presionamos:



































22

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1.10 PRECISIONES EN EL CÁLCULO Mathematica siemp siempre re devue devuelve lve el result resultad ado o en forma forma exacta exacta.. Si querem queremos os obten obtener er una una aprox aproxim imaci ación ón del del



































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1.11 VARIABLES

23



































24

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a) a^( a^(1/3)*a^(1/4) 1/3)*a^(1/4) (el símbolo símbolo ^ representa representa potencia) b) Asignar a a el valor

6 y volver a realizar el cálculo anterior.

c) Obtener el resultado anterior con 12 decimales. decimales.



































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CAPÍTULO 2 FUNCIONES BÁSICAS

25



































26

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@

D

f x+h -3

Hh xL Hh xL +

+

+

3

Ejemplo 2: (podemos (podemos usar también funciones ya establecidas establecidas como las mencionadas mencionadas anteriormente) anteriormente)















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































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63

CAPÍTULO 6 LÍMITES. CÁLCULO DIFERENCIAL 6.1 CÁLCULO DE LÍMITES 6.1.1 COMANDO : Limit La estructura del comando es: Limit[expresión Limit[expresión algebraica,variable algebraica,variable™valor a donde tiende] Este coman comando do calcu calcula la el límite límite por por derec derecha ha.. Si quere queremo moss calcu calcular lar los límites límites latera laterales les proced procedem emos os de la siguiente manera: Limit[expresión Limit[expresión algebraica,variable algebraica,variable™valor a donde tiende,Direction ™± 1] Nota importante:

Es decir :

+1 significa "por izquierda" -1 significa "por derecha" derecha"

limx®a f HxL = Limit@f @xD, x ® a, Directi Direction on ® -1D limx®a f HxL = Limit@f @xD, x ® a, Directi Direction on ® +1D +

-

También este comando se halla en los palettes .....Secuencia : Palettes--Basic Palettes--Bas ic Calculations--Calculus: Calculations --Calculus: Limit[ƒ,ƒ®ƒ] Como Como en casos casos anteriore anterioress , hacien haciendo do click click en los cuad cuadrad radito itos, s, comp complet letam amos os el coma comand ndo. o. En caso caso de direcdireccionar el límite, deberemos agregarlo. Ejemplo 1

@ã x, x ® 3, Direction ® + 1D

Limit

-

1 3

ã

@ã x, x ® 3, Direction ® - 1D

Limit

-

1 3

ã

En este caso podemos decir que existe el límite ya que coinciden los límites laterales y su valor es Ejemplo 2

Bã

Limit

1

x

0, Direction

F

1

1 3

ã



























64

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Bã

Limit

1 x

,x

® 0,

Direction

F

® -1

¥

En este caso podemos decir que no existe el límite ya que los límites laterales son distintos. Ejemplo 3 En el caso de límites de variable infinita, procedemos de la siguiente manera:

@

® +¥

@

® -¥

Limit 3x , x

D

¥

Limit 3x , x

D

0

Ejemplo 4

B

Limit

-

2x+3 4-

-3

,x

®

F

3

13 + x

8 3

Este es uno de los casos estudiados estudiados de indeterminació indeterminació n, el cual Mathematica calcula sin inconvientes. inconvientes. Ejemplo 5 Podemos trabajar también con constantes genéricas como en el ejemplo siguiente :

B Sin@x - bD , x ® bF

Limit

x - b

1

Ejemplo 6: límite 6: límite de una función definida definida por partes (para poder poder calcular calcularlo lo debemo debemoss definirla definirla con el comand comando o If).En If).En la vers versió ión n 4.1 4.1 se calc calcul ulan an los los límite límitess pero pero noso nosotr tros os debe debemo moss deci decirl rle e al prog progra rama ma que que rama rama toma tomar, r, mientras que en versiones más avanzadas esto no sucede, él mismo identifica en que rama calcular.

@ D A Limit@u@xD, x ® - 1D

u x_ := If x < 1, 2 x, x 2

-2

@@D

Limit u x , x 16

®

D

4

E



























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@@D

Limit u x , x

® 1,

Direction

65

D

® +1

2

6.2 CÁLCULO DE DERIVADAS 6.2.1 Tres formas para derivar Primera forma Existe Existen n tres tres forma formass de deriva derivarr una una función. función. Explic Explicare aremo moss ahora ahora la más simple simple,, que que es la forma forma habit habitua uall de escr escritu itura ra que que usam usamos os en clas clase. e. Para Para ello ello es nece necesa sari rio o prim primer ero o defin definir ir la func función ión y lueg luego o util utiliz izam amos os el apóstrofe para que Mathematica nos brinde la derivada Ejemplo 1 f[x_]:=Log[x] f'[x] 1 x

Evaluamos la derivada en distintos puntos: Ejemplo 2 f'[6] 1 6

Ejemplo 3 f'[ã] 1 ã

Para calcular las derivadas sucesivas procedemo procedemoss así: Ejemplo 4 f''[x] -

1 x2

Ejemplo 5



























66

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Ejemplo 6 f''[6] 1

-

36

Ejemplo 7 x2 - 2 x

@ D

g x_ :=

x3 + 1

@D 3 x I- 2 x + x M -2 + 2 x + 1+x I1 + x M

g' x

2

2

2

3

3

@%D

Simplify -2 +

2 x + 4 x3 - x4

I1

+

x3

M

2

Ejemplo 8: derivada de una una función definida por partes (para poder poder calcularlo debemos definirla con el comando If). Esto si es posible en la versión 4.1 y otras

@ D h '@xD

@

@ D * Log@xD, 1 • xD

h x_ := If x > 2, Cos x

B

@ D Sin@xD

If x > 2, - Log x

+

@ D,

Cos x x

-

1 x2

F

En estos casos debemos tener cuidado ya que no calcula las derivadas laterales en el punto de cambio de la definición (para nosotros x=2)

Segunda forma Existe una segunda segunda manera de calcular derivadas usando el operador operador : ¶ƒ ƒ que encontramos en los palettes con la secuencia : Palettes -- Basic Calculatio Calculations--Calculus ns--Calculus : ¶ƒ ƒ. En el subíndice subíndice colocamos colocamos la variable variable de derivación derivación y en el cuadrad cuadradito ito la expresión expresión algebraica algebraica a derivar .La ventaja de esta forma de derivar es que no es necesario definir la función. Ejemplo 9 ¶x

3

2x

21•3





























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¶t

67

@D

Sin t

t3 - 3 t

@D I

-3

M Sin@tD I 3t t M

-3 + 3

Cos t

-

t + t3

t2

-

+

3

2

Si queremos queremos simplificar la expresión anterior anterior se puede usar el símbolo símbolo de % para hacer referencia a la última salida obtenida. obtenida.

@%D t I- 3 + t M Cos@tD - 3 I- 1 + t M Sin@tD t I- 3 + t M

Simplify

2

2

2

2

2

Si queremos evaluarla en un punto la sintaxis es :

¶ƒ ƒ /."variable"®valor

Ejemplo 11 ¶x

3

2x

•. x ® 2

1 3 ´ 21•3

Ejemplo 12

@ D •. t ® 4 t3 - 3 t Cos@4D 45 Sin Sin@4D -

¶t

Sin t

52

2704

Tercera forma "D". Cuando Para derivar Mathematica utiliza utiliza el comando comando : "D". Cuando necesitem necesitemos os calcular calcular la de-rivada de-rivada de una función debemos debemos especificar la función función y también con respecto respecto a qué variable derivamos. Así, si deseamos derivar f(x) la expresión será :D[f[x],x] Para Para produ producir cir la deriva derivada da n - ésima ésima de una una función función dada dada,, pode podemo moss utiliz utilizar ar el opera operado dorr D con la siguient siguiente e instrucción adicional: adicional: D[f[x],{x,n}]





























68

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Calculemos la derivada cuarta de f(x) : D[f[x],{x,4}] -

6 x4

Y finalmente, finalmente, para evaluarla en un punto, procedemos procedemos como en la segunda forma ya explicada. D[f[x],{x,4}]/.x®2 -

3 8

6.3 EJERCICIOS Ejercicio 1: calcular 1: calcular los siguientes límites indeterminados: indeterminados: 3

a) lim x ®1

x -1 x -1 3

d) lim x ®+¥ ®+¥

x -4 x +0.5 x 2 2

x -3 x +1

g) lim x ®0 [ 1 - 1 ]

2 x -3 x -4 5-2 x

b) lim x ®¥ ®¥

K N

e) lim x ®0

sen 2 x - x cosx tg 3 x +2 x cosx

h) lim x ®+¥ ®+¥

x x

H L H L H x 2

+ 3 x + 1

c) lim x ®1 [ x 1 -1

2

x 2 -1

]

I

f) lim x ®+¥ x 4 - x x 2 ) ®+¥ arctg x -x)

Ejercicio 2: calcular 2: calcular las asíntotas de las siguientes funciones: a) f(x) = d) z(x)=

x 2 -1 2

x -3 x +2

2

H L J N c)

b) h x

x2

=

3 2

e) p(x)=

x2 -1

x x-1

¡x  x ¡x ¡

3

3

d(x)=

x+x7 -3 6 -3 x+4 x

2

-x +2

2

-x +x+1

Graficar Graficar en un mismo mismo par de ejes la función función y sus asíntotas asíntotas con diferente diferentess colores. colores. Si existe existe discontinu discontinuidad idad evitable marcarla con un punto.Calcular si es que existe intersección entre la asíntota y el gráfico. Ejercicio 3: cal 3: calcu cular lar las asíntot asíntotas as a la función función f(x) =

e x x

. Grafic Graficar ar en un mismo mismo par par de ejes ejes la función función y sus

asíntotas con diferentes colores. Ejercicio 4: estudiar 4: estudiar las discontinuidad discontinuidades es de la función definida por partes: 2 x x + 1 x < 0

•H

L





























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HL

r x

=

x f x

HL

69

si x > 0

HL

g x si x £ 0 haci hacien endo do que que el gráfi gráfico co sevea entre entre

- 10 < x < 10

- 5 < y < 10

Ejercicio 6: calcular 6: calcular las derivadas de las siguientes funciones: 3

a) y =

HL

x c) g x

HL

x -1

b) f x x

x

=

1 x -1

* arcsen(2 x 3 - 5

=

I

L

x -4 sen 2 x - 3 x

M

d) h(x) = x - 2 tg(x)*2 x 3

3

Ejercicio 7: calc 7: calcular ular,, aplican aplicando do la definición, definición, la derivada derivada de f(x) =

1 x 2

. Hallar la recta tangente a la función en

el punto punto (-1,1). (-1,1). Graficar Graficar la función y la recta utilizand utilizando o distintos distintos colores. colores. Demostra Demostrar, r, usando usando Mathematica , que la recta tangente tangente a cualquier cualquier punto punto de la curva posee posee dos puntos de intersección intersección con el gráfico gráfico de la misma. misma. (Sugerencia: plantear una tangente genérica y utilizar el comando Solve para hallar la intersección pedida) Ejercicio 8: realizar 8: realizar un estudio completo de las siguientes funciones: 2 a) f(x)= x 4•5 x x - 4 b) g(x)=

H

HL

L

2

x 3 -3 x +2 2

x - x +4

c) h

HxL

=

x2 + 54 x

d) p x = x ã-x e j x = 6 x2 - x3 En cada caso determinar: dominio, imagen, intervalos de positividad y negatividad, paridad, asíntotas, puntos críticos, máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad positiva y negativa, gráfico.

LHL

3

Ejercicio 9: encontrar 9: encontrar la aproximación lineal para la función y = x en a = 1. Usarla Usarla para para halla hallarr aprox aproxim imaci acion ones es de los número números: s: ¿estas estimaciones estimaciones son en exceso o en defecto? Ejercicio 10: calcular 10: calcular la recta tangente a la elipse:

0.99 0.99 , 1.01 1.01 y

x 2

9

1.05 1.05

y 2

+ = 1 en el el pu punto (-1 (-1,4 ,4 2 ), 36

graficar la curva, la recta y el punto en diferentes colores. (Sugerencia: escribir la ecuación como curva paramétrica y luego realizar el ejercicio)





























70

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CAPÍTULO 7 PAQUETES GRÁFICOS 7.1 GENERALIDADES ACERCA DE LOS PAQUETES DEL MATHEMATICA A medida que las versiones del programa programa fueron avanzando, avanzando, también lo han hecho la cantidad de paquetes. paquetes. Aquí daremos a conocer algunos paquetes paquetes gráficos. El lector puede profundizar profundizar su estudio a través de la ayud ayuda a que que propo proporci rcion ona a el progra programa ma.. Es necesa necesario rio tener tener en cuen cuenta ta algun algunas as adver adverten tencia ciass al mome momento nto de "cargar cualquier cualquier paquete", puntua-lizamos puntua-lizamos algunas de ellas: ellas: El paquete siempre debe cargarse antes de ejecutar el comando comando correspondiente. correspondiente. Siempre Siempre debe debe "copiarse "copiarse"" del help, ya que los carácteres carácteres con los que está programad programado o así lo requiere requieren. n. Si se copia de un documento anterior no funcionará. Observar el corchete que señala la celda a la que pertenece el paquete,al momento de ejecutarla el mismo se "rellena de color" por unos instantes. Si a la hora de ejecutar ejecutar la celda con el comand comando, o, éste no responde responde se puede proceder proceder de dos formas formas distintas: a) Tipear Remove[ "nombre del paquete que no funcionó"] y funcionó"] y ejecutar.Luego ejecutar.Luego volver a cargar el paquete.Ejemplo paquete.Ejemplo :Remove[InequalitySolve] :Remove[InequalitySolve] b) Cerrar el programa programa y volver a comenzar. comenzar. Cada vez que se abre un archivo, se deberán ejecutar nuevamente los paquetes activados anteriormente. La forma de acceder a ellos es a través de la siguiente secuencia: Help- About Mathematica-Help-Add-ons & Links-Standard Packages En nuestro caso, ya que veremos paquetes graficos, la secuencia anterior la completamos con Graphics.

7.2 PAQUETE GRÁFICO: ANIMACIÓN 7.2.1 COMANDO : Animate































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Ejemplo 2 Con el comando ParemetricPlot

@

@8t Cos@3 tD, t Sin@tD<, 8t, - p , n p
Animate Animate ParametricPlot































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7.3 GRÁFICOS DE CURVAS EN FORMA IMPLÍCITA

7.3.1 COMANDO : ImplicitPlot Cuan Cuando do la curva curva vien viene e dada dada en form forma a impl implícit ícita a no pued puede e graf grafic icar arse se con con ning ningun una a de las las opci opcion ones es vist vistas as anteriormente. Es necesario recurrir al paquete: << Graphics`ImplicitPlot` . La estructura del comando es: ImplicitPlot ["expresión algebraica de la curva en forma implícita", {variable, rango de la variable }]. Veamos ejemplos.































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La gráfica anterior con cambio de color

H y - 4L2 ImplicitPlotB x2 4

…

9

Š

8

<

1, x, - 6, 6 , PlotStyle

8RGBColor@1,

®

0, 0.501961

D
Graphics …

Ejemplo 3 La gráfica anterior con cambio de grosor 2

graf1 = ImplicitPlot

Bx

4

-

Hy - 4L2 9

Š

8

<

1, x, - 6, 6 , PlotStyle

[email protected]
®































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B: 3 x + 4, - 3 x + 4>, 8x, - 8, 8<, 2 2 PlotStyle ® [email protected]
graf2 = Plot

…

Graphics …

Show[graf1,graf2]

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También el comando comando ImplicitPlot permite graficar conjuntamente conjuntamente varias curvas Ejemplo 6 Gráfica de dos curvas juntas la primera en color y la segunda punteada.

A9x2 + Hy - 1L2 Š 2, x2 + y2 Š x + y + 6=, 8x, - 10, 24<, PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 0.501961 D, Dashing @8.03
ImplicitPlot

…

Graphics …

Ejemplo 7 Gráfica de dos curvas juntas juntas con características para cada una de ellas. ellas.

H x + 5L2 2 2 2 + H y - 1L Š 2, x + y Š 2 x - y + 1>, ImplicitPlotB: 6 x, - 10, 24 , PlotStyle

8

® 88RGBColor@0, 0.501961, 1 D, Thickness @0.03D<, < [email protected], 0.501961, 0.501961 D, Dashing @8.02
































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Ejemplo 1 Plot[{Sin[x], Abs[x-2]},{x, -2 Pi, 2 Pi}, PlotStyle ®{RGBColor[0, 0, 1], Dashing[{.01}]}, PlotLegend ® {"Sen(x)", " x-2 "}]

È

È

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78

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Ejemplo 3 Ejemplo con tres funciones Plot[{Sin[x]+2,2 Sin[x],Log[x+4]},{x, -2 p , 2 p }, }, PlotStyle ®{RGBColor[0, 0, 1], Dashing[{.02}],Thickness[0.02]}, LegendPosition®{1.5,0.2}, LegendSize®{1.6,0.8}, PlotLegend ® {"Sen(x)+2", "2Sen x","ln(x+4)"}]

































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Ejemplo 4 Ejemplo con funciones hiperbólicas.

@8

@D 8

@ D< 8 @

<

Plot Cosh x , Tanh x , x, - p , p , PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0.501961 , Dashing LegendPosition ® 1.1, 0.2 , LegendSize ® 1.6, 0.8 , LegendBackground ® GrayLevel 0.9 , PlotLegend ® "cosh x ", "tgh x "

8

8

8

<

HL

<

@ D H L
D

@8.02
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Ejemplo 1

@

@

D 8

FilledPlot Log x + 6 , x, - 6, 6

…

Graphics …

































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A9- x2 + 6 x + 3, Abs@x - 4D=, 8x, - 5, 8
FilledPlot

…

Graphics …

81



































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B

InequalityPlot

x2 3

+

y2

<

8

< 8

6, x, - 6, 6 , y, - 4, 4



































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@

@

D < 6 && Abs@y + 3D > 2, 8x, - 6, 12<, 8y, - 10, 4
InequalityPlot Abs Abs x - 4

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PARTE 2 VERSIONES 6.0 Y 7.0



































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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA













































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Aprendiendo Cálculo Diferencial Con Wolfram Mathematica

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