Prácticas de Matemáticas con Mathematica . Fundamentos Fundamentos de Matemáticas III . Grado en Ingeniería Civil. Práctica nº 3. Integración numérica. numérica.
Departamento de Matemática Aplicada. E.P.S. de Zamora Universidad de Salamanca
Ejemplo 1: Halle la integral aproximada de la función f x
e
x2
en el intervalo [0,2].
Consideremos la integración numérica de la función siguiente en el intervalo [0, 2] :
f x_ : Exp
x^2
El valor exacto de la integral puede obtenerse con el comando Integrate del Mathematica
x, 0, 2 Erf2
Integrate f x , 1 Π
2
Y la aproximación numérica del valor anterior se obtiene en la forma siguiente :
Exacto
N
12
Π
Erf 2 , 16
0.8820813907624217
Si quisiermos utilizar utilizar 20 subintervalo subintervaloss en la Regla del Trapecio Trapecio compuesto compuesto deberemos hallar los nodos de integración :
n
20; a
h
b
n
1 10
a
0; b
2;
2
4 FM III (2-10-2012) Integración Numérica.nb
Table x j
0, 9
1
1
,
10
11
10
a
3
,
5
, 1,
,
10 ,
10
j h, 2
1
,
5
6
,
5
j, 0, n ,
2
13 10
7
,
5 7
,
3
,
5
,
10 3
,
2
8
4
,
5 ,
5
17
,
10
9 5
,
19
, 2
10
La fórmula del Trapecio se puede expresar en la forma :
T
fx0 2
N h
, i, 1, n
Sum f x i
1
2
f x n
0.88202
Lo ideal es utilizar una sólo fórmula que evalúe directamente lo que queremos. Ello se puede conseguir introduciendo todos los pasos anteriores en una función que llamamos Trapecio[n_, a_, b_] donde n será el número de intervalos, y a, b los puntos extremos del intervalo de integración. La función f[x] ya estaba definida previamente.
Trapecio n_, a_, b_ :
h b a n; Tablexj a j h, j, 0, n; Nh fx0 2 Sum fxi, i, 1, n 1 fxn 2, 16
Comprobamos el error que se comete al aplicar la función que acabamos de definir para distint os valores de n :
Exacto
Trapecio 20, 0, 2
0.000060950366861
Nótese que la fórmula del error nos proporciona una cota por exceso del error que se comete con el método, y en general , el error será menor que esa cota. En el caso de la fórmula del Trapecio compuesta es 1 12 h3 f '' Ζ n, así que necesitamos una cota de la derivada segunda. Haciendo la representación gráfica vemos que el mayor valor (en valor absoluto) se consigue en f ’’(0)
x, 0, 2
Plot f '' x ,
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
En el ejemplo que acabamos de ver h
1 10
, así que una cota del error que se comete con la fórmula del
Trapecio es la siguiente:
1
12 1 10 ^3 Absf''0 20 N
0.00333333
Exacto
Trapecio 800, 0, 2
3.8157541 10
8
4 FM III (2-10-2012) Integración Numérica.nb
Exacto
Trapecio 8000, 0, 2
3.81576 10
3
10
Lo mismo que hemos hecho para la Regla del Trapecio puede hacerse con la Fórmula de Simpson compuesta. Definimos la función Simpson[n_, a_, b_] teniendo en cuenta que ahora el número n de subintervalos tiene que ser par.
Simpson n_, a_, b_ :
h b a n; Tablexj a j h, j, 0, n; Nh 3 fx0 4 Sum fxi, i, 1, n 1, 2 2 Sum fxi, i, 2, n 2, 2 fxn, 16
La aplicación de la función que acabamos de definir produce los siguientes errores
Exacto
Simpson 20, 0, 2
4.07167932 10
7
De nuevo la fórmula del error nos proporciona una cota por exceso del error que se comete con el método, y en general , el error será menor que esa cota. En el caso de la fórmula de Simpson compuesta es 1 180 h5 f 4 Ζ n, así que necesitamos una cota de la derivada cuarta. Haciendo la representación gráfica vemos que el mayor valor (en valor absoluto) se consigue en f 4 (0)
x, 0, 2
Plot f'''' x , 10
5
0.5
1.0
1.5
2.0
5
En el ejemplo que acabamos de ver h
1 10
, así que una cota del error que se comete con la fórmula del
Trapecio es la siguiente:
1
180 1 10 ^5 Absf''''0 20 N
0.0000133333
Exacto
Trapecio 800, 0, 2
3.8157541 10
Exacto
1.59 10
8
Simpson 800, 0, 2
13
Ejemplo 2: Halle la integral aproximada de la función f x
f x_ : Sin x Exacto 2
x, 0, Pi
Integrate f x ,
Sin x en el intervalo [0,Π].
4
4 FM III (2-10-2012) Integración Numérica.nb
Trapecio 300, 0, Pi
1.999981722921408
Simpson 300, 0, Pi
2.000000000133622
Errores cometidos con los métodos anteriores
Exacto
Trapecio 300, 0, Pi
0.000018277078592
Exacto
Simpson 300, 0, Pi
1.33622 10
10
Ejemplo 3: Halle la integral aproximada de la función f x
x3 Sin40 x en el intervalo [0,2Π].
Integratefx, x, 0, 2 Pi
f x_ : x^ 3 Sin 40 x Exacto 3
Π
Π
3
16 000
5
N Exacto
6.20067
Errores cometidos con los métodos anteriores
Exacto
Trapecio 1000, 0, 2 Pi
0.032676505857180
Exacto
Simpson 1000, 0, 2 Pi
0.000138457268954
Ejemplo 4: Halle la integral aproximada de la función f x x3 Sin40 x en el intervalo [0,2Π] utilizando extrapolación con la regla del Trapecio y la fórmula de Simpson de 1/3.
Integratefx, x, 0, 2 Pi
f x_ : x^ 3 Sin 10 x Exacto 3
4
Π
Π
3
250
5
Ahora además de calcular la integral con los métodos anteriores aplicaremos el proceso de extrapolación para a partir de un número n y de un número 2 n de subintervalos obtener fórmulas mejoradas. Nótese que con 3 n subintervalos no obtenemos mejor aproximación que con las mismas evaluaciones pero utilizando el proceso de extrapolación.
nint 1000; A1 A2
Exacto A1, Exacto 0.00816105947018,
Trapecio 2 nint, 0, 2 Pi ; A3
Trapecio nint, 0, 2 Pi ;
A2, Exacto
A3, Exacto
0.00204016463848,
0.00090673159070, 1.3363875 10
Con la fórmula de Simpson pasa algo parecido:
A1 3
Trapecio 3 nint, 0, 2 Pi ;
7
A2 A2
4 FM III (2-10-2012) Integración Numérica.nb
nint 1000; A1 A2
Simpson nint, 0, 2 Pi ;
Simpson 2 nint, 0, 2 Pi ; A3
6
Simpson 3 nint, 0, 2 Pi ;
Exacto A1, Exacto A2, Exacto 2.13896592 10 , 1.3363875 10
5
7
A3, Exacto
A2 A2
, 2.639607 10
8
,
A1
15 10
4.973
11
Ejercicio: Calcular el valor de la integral de la función
1 3
x 4
en el intervalo [-1,1] utilizando las fórmulas del Trapecio y
de Simpson con n=1000. Utilice el Mathematica para hallar el valor exacto de la integral (observe la dificultad que presenta su cálculo).
