OBJETIVO En este manual se realizara un análisis general de las funciones, así como también, su
gráfica. Se centrara en el cálculo de límites y derivadas. Para
efectuar los cálculos se utilizara el programa Wolfram Alpha y para la gráfica GeoGebra. SOFTWARE GEOGEBRA GeoGebra es
un
software
matemático
interactivo, es
básicamente
un
procesador geométrico y un procesador algebraico. GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico. SOFTWARE WOLFRAM ALPHA El software Wolfram Alpha es un buscador y calculador de respuestas, que tiene por objetivo resolver los ejercicios matemáticos planteados. Nos permite realizar cálculos y manipulaciones matemáticas de carácter general. general. Este programa programa requiere el uso del inglés para ingresar los comandos. Antes de comenzar la práctica práctica es conveniente saber saber los comandos: Las teclas:
^
^
= Exponente
Plot=gráfica
Sqrt= raíz cuadrada
Domain= dominio
Derivative = derivada
Second derivative derivative o double double derivative = segunda derivada derivada
Limit= limites
Asymptotes= asíntotas
Solve = resolver
Intercepts= interceptos
Para ingresar a este programa se mencionara dos formas: PRIMERA FORMA:
SEGUNDA FORMA: Se ingresa a google y se escribe Wolfram Alpha para poder acceder al programa, tal como se observa en la siguiente imagen.
Ingresar Wolfram Alpha
Clic izquierdo “Mathematics”
en
En esta ventana se encuentra muchas opciones como:
ELEMENTARY MATHEMATICS ››
NUMBERS ››
PLOTTING & GRAPHICS ››
ALGEBRA ››
CALCULUS & ANALYSIS ›› GEOMETRY ›› , etc.
Y de acuerdo a lo que se necesita se selecciona la opción requerida.
A continuación, se hará uso del software Wolfram Alpha y Geogebra para el análisis de la siguiente función y realizar su gráfica.
Ejercicio: Analice y bosqueje la gráfica de la función f(x)
2 (1) f(x) = 2 1 Solución: Primer paso: Hallar el dominio de la función. Para este cálculo efectuaremos con la primera forma de ingreso al programa Wolfram Alpha. Ingresar la ecuación de la función: dom of f(x)=(x^2(1-x))/(x^2-1) luego pulsar la tecla Intro.
Dom (f) = R – {+1;-1}
Segundo paso: Hallar interceptos con los ejes “X” e “Y” Primera forma: Hallar intercepto con el eje “x”: y = 0 entonces
0 = 2(1) 21
Ingresar la ecuación de la funcion: solve (x^2(1-x))/(x^2-1)=0, luego se pulsa la tecla Intro.
Por lo tanto cuando y es 0 x=0
Intercepto con el eje X=0
Hallar intercepto con el eje “y”: x = 0 entonces
2 (1(0)) = (0)(0) 2 1
Ingresar la ecuación de la funcion: solve ((0)^2(1-(0)))/((0)^2-1)=y, luego se pulsa la tecla Intro.
Por lo tanto cuando x es 0, Y=0.
Intercepto con el eje y=0
Por tanto los interceptos con el eje “x” e “y” es (0,0)
Segunda forma:
Ingresar la ecuación de la función: intercepts of f(x)=(2x^2+3x+5)/(x-1) luego pulsar la tecla Intro.
Por lo tanto
Intercepto con el eje “X e Y” es (0; 0)
Tercer paso: Calcular las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de la función. Para calcular estas asíntotas se utilizará la segunda forma de ingresar a la página del programa. Pero también hay dos formas de hallar las asíntotas de la función. Primera forma 1. Hallamos asíntotas verticales.
NOTA: Sea y = f(x) una función definida alrededor de xo, excepto en xo. Se dice que la recta L: x = xo es asíntota vertical a la gráfica de la función, si cumple algunos de los siguientes límites: lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
;
x x0
lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
x x0
;
Los candidatos a ser asíntotas verticales son los puntos en donde el denominador se hace cero.
Después
de
ingresar
“Mathematics”,
al
software
y
haber
elegido
la
opción
seguir con el siguiente paso.
Clic izquierdo en “CALCULUS & ANALYSIS”, donde se encuentra toda la variedad de temas de cálculo.
Para hallar las asíntotas de la función seguir con el siguiente paso:
Clic
izquierdo
“LIMITS”
en
En esta ventana se encuentran los diferentes tipos de límites, por lo que se elige la opción que más conviene.
Clic izquierdo en la poción que más conviene.
Límite de la función cuando x -> 1
Ingresar la ecuación de la función: limit (x^2(1-x))/(x^2-1) as x->1, luego se pulsa la tecla Intro.
∄
Por lo tanto A.V.
Límite de la función cuando x -> -1
Ingresar la ecuación de la función: limit (x^2(1-x))/(x^2-1) as x->-1, luego se pulsa la tecla Intro.
Por lo tanto
x = -1 es A.V.
2. Hallar asíntotas horizontales u oblicuas.
∃ A.O. y ∄ A.H. m = 0 → ∄ A.O. y ∃ A.H.
Nota: Si m ≠ 0 →
A.O: y = mx + k A.H: y = x
m = lim
x
f ( x ) x
K= lim ( f ( x) mx) x
En el ejercicio dado: m = lim
x
2(1) 21
2(1) = lim
−
x
Ingresar la ecuación de la función: limit (x^2(1-x))/(x^3-x) as x->infinity, luego se pulsa la tecla Intro.
Por lo tanto m= -1 y entonces A.H.
∄
En el ejercicio dado: k = lim
x
21 ( 21 x)
Ingresar la ecuación de la función: limit ((x^2(1-x))/(x^2-1))+x as x>infinity, luego se pulsa la tecla Intro.
Por lo tanto k=1 y entonces y= -x+1 es A.O.
Segunda forma
Ingresar
la
asymptotes
ecuación of
de
la
función:
f(x)=(x^2(1-x))/(x^2-1)),
luego pulsar la tecla Intro.
Vertical asymptote:
Entonces x = -1 es A.V. Oblique asymptote:
Entonces y = -x+1 es A.O.
Grafica de las asíntotas: Para la gráfica de la función utilizaremos el software GeoGebra
Primero ingresar las ecuaciones de las asíntotas.
Luego, para cambiar color, estilo, entre otros, clic derecho sobre la gráfica o la ecuación. Después clic izquierdo en la opción “PROPIEDADES”.
En la ventana “Entrada” ingresar las ecuaciones de las asíntotas: x=-1; y=-x+1
Además de la opción “PROPIEDADES” se puede nombrar a la gráfica, para lo cual hacer clic izquierdo en la opción “RENOMBRAR” luego escribir el nombre para las ecuaciones.
Cuarto paso: Hallar los máximos y mínimos relativos y los intervalos de monotonía de la función Para hallar los máximos y mínimos relativos y los intervalos de monotonía de la función se hace uso de la primera derivada. a) Hallar la primera derivada de la función: Después de ingresar al software y haber elegido la opción “CALCULUS & ANALYSIS ››”,
seguir con el siguiente paso.
Clic izquierdo en la opción “DERIVATIVES ››”
Clic izquierdo en la opción de acuerdo a la función.
Ingresar la ecuación de la función: derivative of x^2(1-x)/(x^2-1) luego pulsar la tecla Intro.
Por lo tanto
b) Calcular los puntos críticos f´(x) = 0
(+) (+) = 0 entonces x=0; x=-2 ó
f´(x)
∄ (1) = 0 entonces x = -1, pero 1
Por lo tanto PC = {0; -2}.
Dom (f)
c) Entonces graficar una recta y ubicar los puntos críticos y otros puntos de acuerdo al análisis.
d) Determinar si la función es creciente o decreciente en los determinados intervalos Para determinar si la función es creciente o decreciente, se da valores a “x” en los determinados intervalos, pero se reemplaza en la función derivada.
f decrece en ]-∞, -2 [; ]0; +∞ [
f crece en ] -2; -1 [; ]-1; 0 [
Máximo relativo (0; f (0))= (0; 0)
Mínimo relativo (-2; f (-2 ))= (-2; 4)
x = -3 -> f ´(-3) < 0 x = -1 -> f ´(-1.5) > 0 x = 0.5 -> f ´(-0.5) > 0 x = 2 -> f ´(1) < 0
Quinto paso: Hallar los intervalos de concavidad hacia arriba, concavidad hacia abajo y los puntos de inflexión de la función Para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba, concavidad hacia abajo y los puntos de inflexión se hace uso de la segunda derivada. Por lo tanto, se sigue trabajando en la opción
“DERIVATIVES”.
a) Hallar la segunda derivada de la función:
Ingresar la ecuación de la función: second derivative of f(x)=x^2(1x)/(x^2-1), luego pulsar la tecla Intro.
Por lo tanto:
b) Calcular los puntos críticos de inflexión f´´(x) = 0 f´´ (x)
(+) = 0 entonces -2=0
∄ (1)3 = 0 entonces x = -1, pero -1
Dom (f)
Por lo tanto PC de inflexión no existe. c) Trazar una recta y ubicar los puntos de acuerdo al análisis.
d) Determinar si la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo en los determinados intervalos Para determinar si la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, se da valores a “x” en los determinados intervalos, pero se reemplaza en la en la segunda derivada de la función.
f es cóncava hacia arriba en ]-∞,-1 [
f es cóncava hacia abajo en ]-1, +∞[
∄ punto de inflexión en la función
x = -2 -> f´´ (0) > 0 x = 0 -> f´´ (2) < 0
Gráfica general de la función: Se sigue trabajando en la misma grafica de las asíntotas
Primero, ingresar la ecuación de la función en la entrada, luego pulsar tecla “INTRO” y se obtiene la gráfica de la función.
Y así ingresar todo los datos hallados durante el análisis de la función como puntos de intersección con los ejes, máximos y mínimos relativos, etc. Y también ingresar a la opción “PROPIEDADES” si se desea modelar y decorar la gráfica.
Por último, se obtiene la gráfica completa de la función.
