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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 1 – Introdução à Probabilidade. 1.1 Modelos Matemáticos 1.2 Introdução aos Conjuntos
Alguns símbolos: , para todos; , implica; , tal que;
, existe e não existe;
portanto e pois.
, leia
é elemento de .
, leia
não é elemento de A.
, final da prova;
, leia
é subconjunto de
.
, leia
, leia
interseção
, leia diferença de
com
.
, ,
, ,
,
,
,
, ,
,
.
.
de
.
.
.
, leia
,
união
e
.
, se, e somente se;
1.3 Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos 1.4 O Espaço Amostral 1.5 Eventos 1.6 Frequência Relativa
, onde
éa
do evento
, nas , repetições.
1.7 Noções Fundamentais de Probabilidade
Teorema 1.1
.
Teorema 1.2
.
Teorema 1.3
.
Teorema 1.4
.
Teorema 1.5
Se
, então
.
1.8 Algumas Observações
Problemas
1) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam ,e
,
. Enumere os elementos de dos seguintes conjuntos:
a)
.
b) c)
.
.
d)
.
e)
.
2) Suponha que o conjunto fundamental da forma seguinte:
a) b) c)
seja dado por
e
. Sejam os conjuntos
e
definidos
. Descreva os seguintes conjuntos:
.
.
.
d)
.
3) Quais das seguintes relações são verdadeiras? a) b) c) d) e)
Verdadeira.
. Verdadeira, pois,
.
Falsa.
. Falsa, pois,
.
. Verdadeira, pois,
4) Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos
.
de coordenadas ambas inteiras, e
que estejam dentro oi sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas os elementos dos seguintes conjuntos:
a)
.
. Enumere
b)
c)
d)
.
e)
.
Analisando
Analisando
5) Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relações: a)
b)
e
implicam que
implica que
.
.
c)
implica que
d)
implica que
e)
e
.
implicam que
.
.
6) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As pecas são inspecionadas e sua condição é registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam
fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aqui que ocorra em primeiro lugar. Descreva um espaço amostral para este experimento.
7)
a) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas
com filamento partido. Essas lâmpadas são
verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espaço amostral para este experimento. Seja
, a primeira lâmpada defeituosa retirada e
retirada.
, a i-ésima lâmpada não defeituosa
_1 _7
_1 _1
_1 _2
...
_(
)
_1
.
b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido encontradas. Descreva o espaço amostra para este experimento. Seja
defeituosa retirada.
, a i-ésima lâmpada defeituosa retirada e
, a i-ésima lâmpada não
.
8) Considere quatro, objetos,
. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listado represente o
resultado do experimento. Sejam os eventos
e
definidos assim:
.
a) Enumere todos os elementos do espaço amostral.
;
.
b) Enumere todos os elementos dos eventos
e
.
.
.
.
.
9) Um lote contém peças pesando 5, 10, 15, ..., 50 gramas. Admitamos que ao menos duas peças de cada peso sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Seja peso da segunda. Portanto, o par de números Empregando o plano a)
.
o peso da primeira peça escolhida e
representa um resultado simples do experimento.
, marque o espaço amostral e os seguintes eventos:
,o
b)
c)
A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira.
.
d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a segunda peça.
e) O peso médio de duas peças é menos do que 30 gamas.
10) Durante um período de 24 horas, em algum momento algum momento futuro
“desligada”. Suponha que
, uma chave é posta na posição “ligada”. Depois, em
(ainda durante o mesmo período de 24 horas) a chave é virada para a posição e
sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na
srcem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números a) Descreva o espaço amostral.
b) Descreva e marque no plano i)
os seguintes eventos:
O circuito está ligado por uma hora ou menos.
.
ii)
O circuito está ligado no tempo , onde
é algum instante no período de 24 horas.
z é representado pela área pontilhada e pela linha pretas.
iii) O circuito é ligado antes do tempo
. e desligado no tempo
durante o período de 24 horas especificado).
(onde também
são dois instantes
é representado pela região pontilha de azul.
iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado. é o tempo que o circuito fica desligado e
o tempo que o circuito fica ligado
11) Sejam
três eventos associado a um experimento. Exprima em notação de conjuntos, as seguintes
afirmações verbais.
a) Ao menos um dos eventos ocorre.
.
b) Exatamente um dos eventos ocorre.
ou,
c)
Exatamente dois dos eventos ocorrem.
ou,
=
d) Não mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente.
12) Demostre o Teor 1.4.
Teorema 1.4
.
Teorema 1.3
13)
a) Verifique que para dois eventos quaisquer,
e
temos que
.
Teorema 1.3
Como a probabilidade que ocorra qualquer evento é sempre satisfeita portanto a desigualdade
a conclusão
é sempre verdadeira.
é
b) Verifique que para quaisquer
eventos
, temos que
.
[Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em b é denominado desigualdade de Boole].
No Teorema 1.4 está provado que valida para
para
e é verdadeira se fora valida para
, então a desigualdade é
.
E
Teorema 1.3:
Como
é sempre satisfeita portanto a desigualdade
é sempre verdadeira.
14) O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos refere à probabilidade de que exatamente um dos eventos
ou
ou
ocorra. O seguinte enunciado se
ocorra. Verifique que:
Conforme a figura acima a
, logo
,e
e
são dois eventos mutuamente excludentes então pela propriedade 3.
15) Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima e esta sendo quatro vezes mais provável do que a desgastes das escovas. Qual será a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstancias?
Emperramento dos mancais. Queima dos enrolamentos. Desgastes das escovas.
16) Suponha que
e
sejam eventos tais que
seguintes probabilidades em termo de a)
,
e .
.
,e
. Exprima cada uma das
b)
.
c)
d)
.
17) Suponha que
e
sejam eventos tais que
,
. Calcule a probabilidade que ao menos um dos eventos
ou
e
ocorra.
Para eu ocorrer ao menos um dos eventos, basta que ocorra:
.
.
18) Uma instalação é constituída de duas caldeiras e uma máquina. Admita que o evento esteja em boas condições de funcionamento, enquanto os eventos
seja que a maquina
são os eventos de que a -
ésima caldeira esteja em boas condições. O evento é que a instalação possa funcionar. Se a instalação puder funcionar sempre que a máquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos e , em termos de
e dos
.
tem que ocorrer e pelos menos um
, ou seja
.
),
,
,
19) Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e II. Suponha que se disponha de duas unidades do tipo I e três unidades do tipo II. Defina os eventos
tipo I está funcionado adequadamente; Finalmente, admita que
e
da seguinte maneira:
a -ésima unidade do
: a -ésima unidade do tipo II está funcionando adequadamente.
represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecanismo funcione se ao
menos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expresse o evento de
e dos
em termos
.
Tem que ocorrer pelo menos um abaixo, e pelo menos dois
, ou seja,
, que está representada de vermelho na figura
tem que ocorrer, ou seja,
e
, ou
. Em notação de conjunto temos
azul na figura abaixo, (não é necessário
e
, ou
e
, ou
,
e
·que está representado de
, pois esta área já esta incluída na união das três
interseções, conforme mostra a região de contorno pontilhado).
é a área ondulada.
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 2 – Espaço Amostral Finito. 2.1 Espaço Amostral Finito.
, (b) . (2.1) (a)
2.2 Resultados Igualmente Verossímeis.
2.3 Métodos de Enumeração.
(a) (b)
Problemas 2.1 O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homens com menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos, e 3 mulheres menores. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os
; ; ; . Calcule: seguintes eventos:
a)
,
b)
.
2.2 Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número de seu emblema é anotado. a) Qual a probabilidade de que o menor número do emblema seja 5?
, e o total de eventos do espaço amostral e usar já que todos os emblemas têm a mesma possibilidade de serem encontrados. Podemos encontrar o total de eventos favoráveis a
Ou,
Como o 5 pode aparecer em 3 posições distintas teremos que aplicar a Regra da Adição.
b) Qual a probabilidade de que o maior número de emblema seja 5? Idem a (a) porém,
2.3 a) Suponha que os três dígitos 1,2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória. Qual a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu próprio lugar?
Seja
Por fixarmos um elemento, sobram dois para permutarmos, portanto:
Como temos então: Por fixarmos dois elementos, sobra apenas um para permutarmos, portanto:
Temos também que em apenas um caso onde todos os elementos estarão em suas respectivas posições sendo
, portanto:
b) O mesmo que em (a), com os dígitos 1,2,3 e 4.
Seja
c)
O mesmo que em (a), com os dígitos 1,2,3, ..., n. (Sugestão : empregue 1.7). Seja
Por fixarmos o um dígito em sua posição, sobram para permutarmos, e teremos que fazer essa fixação e permutação todos os dígitos portanto:
Se fixarmos dois elementos em suas respectivas posições, sobram
para permutarmos, e
teremos essa permutação repetida para todas as combinações de dois dígitos entre os , combinação pois estamos selecionando os dois digito que serão fixado em suas respectivas posições dessa forma selecionar (2,3) ou (3,2) resulta numa mesma fixação de forma que a ordem que eles são selecionados não tem influencia, portanto:
Se fixarmos três elementos em suas respectivas posições, sobram
para permutarmos, e
teremos essa permutação repetida para todas as combinações de três dígitos entre os , portanto:
Se fixarmos
elementos, ou seja, todos, em suas respectivas posições, sobram para dígitos entre os
permutarmos, e teremos essa permutação repetida para todas as combinações de
, portanto:
d) Examine a resposta a (c), quando
for grande. p
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,000000 0,500000 0,666667 0,625000 0,633333 0,631944 0,632143 0,632118 0,632121
1,000000 -0,500000 0,166667 -0,041667 0,008333 -0,001389 0,000198 -0,000025 0,000003
2.4 Uma remessa de 1.500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1.100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas. A ordem com as quais as peças são selecionadas não interfere no resultado, portanto temos a combinação:
a)
Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas? Para que selecionemos 90 devemos também selecionar 110 perfeitas. Para cada combinação de 90 peças defeituosas selecionada temos todas as combinações de 100 peças perfeitas selecionada, portanto devemos aplicar as regra da multiplicação.
Cada uma das 1500 peças tem a mesma probabilidade de ser escolhida, portanto os resultados são igualmente verossímeis e.
b)
Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peças defeituosas? Equivale a não encontrar: nenhuma peça defeituosa e 200 perfeitas, ou uma peça defeituosa e 199 peças perfeitas. Assim:
, são extraídas da ? A ordem que as fichas são retiradas não altera a soma , portanto teremos:
2.5 Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numerada urna sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de que seja
, nenhuma das fichas podem ser 10 ou 5, assim teremos 8 fichas e devemos , como um único resultado já que a ocorrência de implica na ocorrência de exatamente e teremos. 4 pares Para que
tomar o par
2.6 Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que:
a) Ele não tenha defeito.
b) Ele não tenha defeitos graves.
c)
Ele ou seja perfeito ou tenha defeitos graves.
2.7 Se o lote de artigos descritos no Probl. 2.6, dois artigos foram escolhidos (sem reposição), ache a probabilidade de que:
a) Ambos sejam perfeitos.
b) Ambos tenham defeitos graves.
c)
Ao menos um seja perfeito.
d) No máximo um seja perfeito.
Pela regra da multiplicação temos
e) Exatamente um seja perfeito.
f)
Nenhum deles tenha defeitos graves.
g) Nenhum deles seja perfeito
2.8 Um produto é montado em três estágios. No primeiro estágio, existem 5 linhas de montagem; no segundo estágio, existem 4 linhas de montagem, e no terceiro estágio existem 6 linhas de produção. De quantas maneiras diferentes poderá o produto se deslocar durante o processo de montagem? Como cada linha de montagem de primeiro estágio pode ser seguida por qualquer uma do segundo e idem do segundo para o terceiro. Então podemos usar o princípio da multiplicação.
2.9 Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dias. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação das visitas. De quantas maneiras isto poderá ser feito? Trata-se de um arranjo, pois estamos interessados justamente na ordenação.
2.10
Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estágios. De quantas maneiras poderá ocorrer que ele falhe em
3 estágios? O enunciado sugere que as falhas ocorram simultaneamente, assim não nos interessa a ordem, pois a falha nos estágios 1,2,3 é idêntica a falha nos estágios 3,2,1, portanto temos uma combinação.
2.11
Existem 12 categorias de defeitos menores de uma peça manufaturada, e 10 tipos de defeitos graves. De
quantas maneiras poderão ocorrer 1 defeito menor e 1 grave? E 2 defeitos menores e 2 graves? Temos uma combinação onde podemos usar o princípio da multiplicação.
2.12
Um mecanismo pode ser posto em uma dentre quatro posições: a, b, c e d. Existem 8 mecanismos incluídos
no sistema. a) De quantas maneiras esse sistema pode ser disposto? A ordem de cada mecanismo não interfere na disposição, pois se entende que são idênticos diferenciando apenas pela posição
.
Cada mecanismo pode se colocado em apenas uma de 4 posições. A posição de cada mecanismo pode ser entendida como arranjo ou combinação:
Cada dispositivo pode ser seguido por outro que poderá ser se colocado em apenas uma de 4 posições, assim podemos usar o princípio da multiplicação.
b) Aditamos que esses mecanismos sejam instalados em determinada ordem (linear) preestabelecida. De quantas maneiras o sistema poderá se disposto, se dois mecanismos adjacentes não estiverem em igual posição? O primeiro mecanismo pode ser disposto em 4 posições o segundo em 3 (4 menos a que foi colocada no primeiro) o terceiro em 3 (4 menos a que foi colocada no anterior). Novamente podemos usar o princípio da multiplicação.
c)
Quantas maneiras de dispor serão possíveis, se somente as posições a e b forem usadas, e o forem com igual frequência? Teremos 4 dispositivos na posição b e 4 na posição a.
As disposições podem ser obtidas pela permutação desses dispositivos, porém eles se diferenciam apenas pela posição
, então as permutações de dispositivos que estão na posição a não gera
novas disposições assim como os dispositivos que estão na posição b. Então fazemos calculemos a permutação com elementos repetidos.
d) Quantas maneiras serão possíveis, se somente duas posições forem usadas, e dessas posições uma ocorrer três vezes mais frequente que a outra?
Teremos 2 dispositivos na posição x e 6 na posição y. Então fazemos calculemos a permutação com elementos repetidos.
e podem assumira valores . , , pois em cada situação e ocorrerão em frequência diferentes.
Porém para cada uma dessas permutações não equivale a
Então formaremos arranjos e utilizarem o princípio da multiplicação.
2.13
Suponha que de N objetos, n sejam escolhidos ao acaso, com repetição. Qual será a probabilidade de que
nenhum objeto seja escolhido mais que uma vez? (Admita n
resultados, já que o experimento é com reposição o
princípio da multiplicação nos da:
Os eventos favoráveis são aqueles onde não há repetição de resultado, que seria o mesmo evento, porém sem reposição. Pelo princípio da multiplicação vemos que corresponde a um arranjo.
Ou Quando não ocorre repetição na primeira escolha tem
, a
resultados, a segunda , a terceira
, pelo princípio da multiplicação temos:
Ou
2.14
Com as seis letras
quantas palavras-código de 4 letras poderão ser formadas se:
a) Nenhuma letra puder se repetida? Letras em ordem diferente resultam em palavras diferentes, portanto temos um arranjo.
b) Qualquer letra puder ser repetida qualquer número de vezes? Neste caso devemos usar o princípio da multiplicidade, pois ao selecionarmos uma letra, ela continua disponível para as próximas seleções.
2.15
em termos de a e b. (Sugestão: Não calcule as Supondo que e , expresse
expressões acima, para resolver o problema).
2.16
Uma caixa contém etiquetas numeradas 1, 2, 3, ..., n. Duas etiquetas são escolhidas ao acaso. Determine a
probabilidade de que os números das etiquetas sejam inteiros consecutivos se: a) As etiquetas forem escolhidas sem reposição.
A ordem de seleção não interfere no nosso resultado, portanto cada número pode formar dois pares
, exceto , que só pode formar o par e 1 que só pode formar o par . Assim nosso evento tem pares favoráveis. b) As etiquetas forem escolhidas com reposição. Idem a (a), porém com outro k:
2.17
Quantos subconjuntos se podem formar, contendo ao menos um elemento, de um conjunto de 100
elementos? Por definição a ordem dos elementos não altera o conjunto, então temos combinações. E podemos formar conjunto, (combinações) contendo de 1a 100 elementos. Como cada combinação pode ser seguida de outra combinação, e só podemos fazer apenas uma combinação de cada vez então aplicaremos o princípio da adição.
A segunda parte da equação acima corresponde ao triângulo de Pascal
2.18
Um inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números
escolhido seja divisível por
ou por ?
. Qual será a probabilidade de que o número
Os número de múltiplos de 6 e 8 um número podem ser obtidos divido se 50 é arredondando o resultado para baixo.
2.19
Dentre 6 números positivos e e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-
se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um número positivo?
Para resultado positivo da multiplicação devemos devem ser escolhido zero, dois ou quatro números negativos.
2.20
Determinado composto químico é obtido pela mistura de 5 líquidos diferentes. Propõe-se despejar um
liquido sucessivamente. Todas as sequências possíveis devem ser ensaiadas, para verificar-se qual delas dará o melhor resultado. Quantos ensaios deverão ser efetuados?
2.21 Um lote contem peças, das quais se sabe serem defeituosas. Se a ordem da inspeção das peças se fizer ao acaso, qual a probabilidade de que a peça inspecionada em lugar seja a última peça defeituosa contida o lote?
Para que a peça defeituosa seja a última inspecionada, então, até a devem ser inspecionadas peças.
Após ocorrer esse evento, deve ser inspecionada uma peça entre uma defeituosa e não defeituosa, ou seja.
Pela regra da multiplicação temos:
2.22
Dentre os números são escolhidos ao acaso (sem COM reposição) números
a probabilidade de que não ocorram dois números iguais? Idem ao exercício 2.13, com
. Qual
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 3 – Probabilidade Condicionada e Independência.
1. Probabilidade Condicionada. Definição:
Definição. Dizemos que os
representam uma partição do espaço amostral , quando
.
a.
b. c.
.
2. Teorema de Bayes. 3. Eventos Independentes. Problemas
1. A urna 1 contém bolas brancas e bolas vermelhas. A urna 2 contém bolas brancas e bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1, e posta na urna 2. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca?
A probabilidade de se retirar uma bola branca da urna 2 está diretamente relacionada com a cor da bola que é retirada da urna 1. Se a bola retirada da urna 1 for branca temos, pelo princípio da multiplicação:
Se a bola retirada da urna 1 for vermelha temos:
Como não podemos realizar os dois procedimentos em conjunto (a retirada da bola vermelha e a bola branca), então pelo princípio da adição, temos:
2. Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas. Este é o problema 2.21, cuja solução é:
com
a. Qual é a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio?
Para este caso temos
b. Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiro, ensaio? Temos
c. Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio? Temos
d. Some os números obtidos em (a), (b) e (c) acima. O resultado é surpreendente?
O resultado não surpreende, pois, e se temos duas defeituosas a última obrigatoriamente deve sair no segundo ou terceiro ou quarto ensaio. 3. Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica. Ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita? Seja
4. No problema anterior, as válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso, ensaiando-a e repetindo-se o procedimento até que todas as 4 válvulas defeituosas sejam encontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada:
Idem ao exercício 3.2 com a. No quinto ensaio?
b. No décimo ensaio?
5. Suponha que e sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade da ocorrência de for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrência de .
ou
6. Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecionadas uma após a outra. Se essas peças forem extraídas ao acaso, qual será a probabilidade de que:
a. As duas primeiras peças sejam defeituosas?
b. As duas primeiras peças sejam perfeitas?
c. Das duas primeiras peças inspecionadas, uma seja perfeita e a outra defeituosa?
7. Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaxeta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? Urna 1 Moeda de ouro Moeda de prata Total
Gaveta 1 1 0 1
Gaveta 2 0 1 1
Urna 2
Total 1 1 2
Gaveta 1 1 0 1
Gaveta 2 1 0 1
Soma
Total 2 0 2
3 1 4
8. Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em sequência. Se sair cara uma vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? Moeda Normal 1 Moeda Normal 2 Moeda 2 Caras Soma
Cara
Coroa
Soma
1 1 2 4
1 1 0 2
2 2 2 6
9. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas
e
produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido,
respectivamente. Daum produção deecada máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, defeituosos. Escolhe-se ao acaso parafuso se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidadesão de parafusos que o parafuso venha da máquina ? Da ? Da ?
Máquinas
Total Produzido
Defeituosos da maquina
Defeituosos do total
0,25 0,35 0,40 1
0,05 0,04 0,02
0,0125 0,014 0,008 0,0345
A B C Total
10. Sejam e dois eventos associados a um experimento. Suponha que Seja . a. Para que valor de e serão mutuamente excludentes?
b. Para que valor de
e
, enquanto
serão independentes?
11. Três componentes , e , de um mecanismo são postos em série (em linha reta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja o evento e seja o evento . OS eventos e são independentes? Por quê?
.
Os eventos são dependentes, pois
.
12. Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de baralho completo (52 cartas). Qual será a probabilidade de que:
a. O dado mostre um número par e a carta seja de um naipe vermelho?
b. O dado mostre um número par ou a carta seja de um naipe vermelho?
13. Um número binário é constituído apenas dos dígitos zero e um. (Por exemplo, 1 011, 1 100 etc.) Esses números têm importante papel na utilização de computadores eletrônicos. Suponha que um número binário seja formado de dígitos. Suponha que a probabilidade de um dígito incorreto aparecer seja e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes uns dos outros. Qual será a probabilidade de formar-se um incorreto?
14. Um dado é atirado
vezes. Qual é a probabilidade de que “6” apareça ao menos uma vez em
jogadas?
15. Cada uma de duas pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a probabilidade de que elas obtenham o mesmo número de caras?
16. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual é a probabilidade de que uma face seja 4?
17. Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem com probabilidade 0,1 e defeitos de outro tipo com probabilidade 0,05. Qual será a probabilidade de que:
Supondo que os defeitos sejam independente um do outro, temos:
a. Um artigo não tenha ambos os tipos de defeitos? O mesmo que ter 0 ou 1 defeitos.
b. Um artigo seja defeituoso?
O mesmo que ter 1 ou 2 defeitos
c. Um artigo tenha apenas um tipo de defeito, sabido que é defeituoso?
18. Verifique que o número de condições impostas pela Eq. (3.8) é dado por
.
19. Demonstre que, se
forem eventos independentes, também o serão
,
,
.
20. Na Fig. 3.11(a) e (b), suponha que a probabilidade de que cada relé esteja fechado seja p, e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro. Em cada caso, determine a probabilidade de que o corrente passe de L para R.
a)
A área ondulada representa
Temos a informação de que cada relé é independe um dos outros, porém cada conjunto que não o universo é depende de si mesmo, porém
b)
A área ondulada representa
21. Duas máquinas , sendo operadas independentemente, podem ter alguns desarranjos cada dia. A Tab. 3.2 dá a distribuição de probabilidades dos desarranjos para cada máquina. Calcule as seguintes probabilidades:
a.
tenham o mesmo número de desarranjos.
É evidente que os
são eventos mutuamente excludentes, assim como
pois:
b. O número total de desarranjos seja menor que 4; menor que 5.
c.
tenha mais desarranjos que .
d.
e.
tenha duas vezes mais desarranjos que .
tenha 4 desarranjos, quando se saiba que
já tenha tido 2 desarranjos.
Já ocorreram 2 desarranjos então ainda podem ocorrer mias desarranjos de forma que isso não caracteriza a ocorrência do evento . Seja
Ainda é possível que ocorra os eventos
f.
O número mínimo de desarranjos das duas máquinas seja 3; seja menor do que 3.
g. O número máximo de desarranjos das máquinas seja 3; seja maior que 3.
Tab. 3.2
Número de desarranjos
0
1
2
3
4
5
6
A
0,1
0,2
0,3
0,2
0,09
0,07
0,04
B
0,3
0,1
0,1
0,1
0,1
0,15
0,15
22. Verifique pelas Eqs. (3.2) que, sendo fixo, satisfaz aos vários postulados da probabilidade. 23. Se cada elemento de um determinante de segunda ordem for zero ou um, qual será a probabilidade de que o valor do determinante seja positivo? (Admita que os elementos do determinante sejam escolhidos independentemente, a cada valor se atribuindo a probabilidade 1/2.).
Poderemos ter
determinantes diferentes.
Para que o valor do determinante seja positivo
, ou seja,
e
,
,
24. Verifique que o teorema da multiplicação estendido para três eventos, da seguinte maneira:
estabelecido para dois eventos, pode ser
25. Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas seguintes probabilidades se admitem conhecidas:
. De procedimentos de ensaio anteriores, as
Calcule as seguintes probabilidades:
a.
.
b.
26. Conclua a análise do exemplo dado na Seção 3.2, pela decisão de qual dos dois tipos de caixa de bombons, , foi apresentada, baseando-se na evidência dos dois bombons que foram tirados na amostra.
Caso 1: 2 Bombons doces
ou
27. Sempre que um experimento é realizado, a ocorrência de um particular evento é igual a 0,2. O experimento é repetido independentemente, até que A ocorra. Calcule a probabilidade de que seja necessário levar a cabo o experimento até a quarta vez.
28. Suponha que um equipamento possua válvulas, todas necessárias para seu funcionamento. A fim de localizar uma válvula com mau funcionamento, faz-se a substituição de cada válvula, sucessivamente, por uma válvula nova. Calcule a probabilidade de que seja necessário trocar N válvulas, se a probabilidade (constante) de uma válvula estar desarranjada for .
29. Demonstre: Se
, então,
.
30. Uma válvula a vácuo pode provir de três fabricantes, com probabilidades , e . As probabilidades de que, durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado.
31. Um sistema elétrico é composto de dois comutadores do tipo , um do tipo , e quatro do tipo , ligados como indica a Fig. 3.12. Calcule a probabilidade de que uma pane no circuito não possa ser eliminada com a chave K, se os comutadores A, B e C estiverem abertos (isto é, desligados) com probabilidades 0,3; 0,4 e 0,2, respectivamente, e se eles operarem independentemente.
32. A probabilidade de que um sistema fique sobrecarregado é 0,4 durante cada etapa de um experimento. Calcule a probabilidade de que o sistema deixe de funcionar em três tentativas independentes do experimento, se as probabilidades de falhas em 1,2 ou 3 tentativas forem iguais, respectivamente, a 0,2; 0,5 e 0,8.
33. Quatro sinais de rádio são emitidos sucessivamente. Se a recepção de cada um for independente da recepção de outro, e se essas probabilidades forem 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4, respectivamente, calcule a probabilidade de k sinais venham a ser recebidos para k = 0,1,2,3,4.
34. A seguinte (de algum modo simplório) previsão de tempo é empregada por um amador. O tempo, diariamente, é classificado como “seco” ou “úmido”, e supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior seja uma constante Com base em registros passados, admite-se que 1º de janeiro
tenha probabilidade em termos de ].
de ser dia "seco". Fazendo
e . Calcule também
, pede-se obter uma expressão para e interprete o seu resultado [Sugestão: Exprima termos de
35. Três jornais são publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre os leitores indica o seguinte: 20 por cento leem A; 26 por cento leem B; 14 por cento leem C; 8 por cento leem A e B; 5 por cento leem A e C; 2 por cento leem A, B e C; e 40 por cento leem B e C. Para um adulto escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que:
a.
ele não leia qualquer dos jornais;
b. ele leia exatamente um dos jornais;
c. ele leia ao menos A e B, se se souber que ele lê ao menos um dos jornais publicados.
36. Uma moeda equilibrada é jogada 2n vezes. a. Obtenha a probabilidade de que ocorrerá igual número de caras e coroas;
Seja
Então podemos selecionar lançamentos da moeda para ser cara, nos interessa o conjunto de lançamentos não importa a ordem que escolha, pois, , estamos tratando pois de uma combinação de elementos tomados a , que é a quantidade de eventos em que pode ocorrer caras.
b. Mostre que a probabilidade calculada em (a) é uma função decrescente de n. é decrescente se e somente se
, onde
37. Cada uma das n urnas: , contém brancas e bolas pretas. Uma bola é retirada da e posta na ; em seguida, uma bola é retirada da e posta na , e assim por diante. Finalmente, uma bola é retirada da . Se a primeira bola transferida for branca, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida seja branca? Que acontece, se ? [Sugestão: Faça e exprima em termos de ].
38. A contém brancas e bolas pretas, enquanto a contém e bolas brancas e pretas. Uma bola é extraída (de uma das urnas) e é em seguida reposta naquela urna. Se a bola extraída for branca, escolha a próxima bola da ; se a bola extraída for preta, escolha a próxima bola da . Continue a operar dessa maneira. Dado que a primeira bola escolhida venha da , calcule e também o limite dessa probabilidade, quando .
39. Uma máquina impressora pode imprimir n letras, digamos . Ela é acionada por impulsos elétricos, cada letra sendo produzida por um impulso diferente. Suponha que exista uma probabilidade constante de imprimir a letra correta e também suponha independência. Um dos n impulsos, escolhido ao acaso, foi alimentado na máquina duas vezes e, em ambas, a letra , foi impressa. Calcule a probabilidade de que o impulso escolhido tenha sido para imprimir .
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 4 – Variáveis Aleatórias Unidimensionais. Exemplo 4.9. Ao operar determinada máquina, existe alguma probabilidade de que o operador da máquina cometa um erro. Pode-se admitir, razoavelmente, que o operador aprenda, no sentido de que
decresça a probabilidade de cometer um erro, se ele usar repetidamente a máquina. Suponha que o operador faça n tentativas e que as
repetições sejam estatisticamente independentes.
Suponhamos, especificamente, que
. Admitamos que se pretendam 4 tentativas (isto é, )e definamos a variável aleatória como o número de operações da máquina, executadas sem erro. Note-se que X não tem distribuição binomial, porque a probabilidade de "sucesso" não é constante. Para calcular a probabilidade de que modo:
, por exemplo, procede-se do seguinte
se, e somente se, houver exatamente uma tentativa mal sucedida. Isto pode
ocorrer na primeira, segunda, terceira ou quarta tentativas. Portanto,
Exemplo 4.10.
Considere-se uma situação semelhante àquela apresentada no Ex. 4.9. Agora, admitiremos que exista uma probabilidade constante uma das
de não cometer um erro na máquina, durante cada
tentativas, e uma probabilidade constante
de não cometer um erro em
cada uma das repetições subsequentes. Seja o número de o perações bem sucedidas da máquina durante as tentativas independentes. Vamos procurar a expressão geral de
. Pelo mesmo motivo dado no exemplo precedente,
binomiaI. Para obter
operações corretas durante as primeiras durante as
tentativas, e
tentativas subsequentes. Portanto,
independentes e qualquer inteiro
não tem distribuição
, procede-se da seguinte maneira: Sejam
. Assim,
e
são variáveis aleatórias
se, e somente se,
que satisfaça às condições
e
Se no primeiro evento ocorrerem
e
, para
.
As restrições acima, sobre , são equivalentes a as, poderemos escrever
o número de
o número de o perações corretas
e
. Combinando-
.
sucessos que podem ocorrer de
então no segundo teremos que teremos
maneiras distintas. Para cada um dos dois eventos
Pelo princípio multiplicativo e aditivo. Temos,
maneiras distintas,
, sucessos que podem ocorrer de
tem distribuição binomial. Então,
Ou
Problemas 1.
Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara(F) três vezes mais frequentemente que coroa(V). Essa moeda é jogada três vezes. Seja o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidade de e também a fd. Faça um esboço do gráfico de ambas.
2.
De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade de , quando: a. As peças forem escolhidas com reposição.
b. As peças forem escolhidas sem reposição. Trata-se de calcular uma probabilidade hipergeométrica, como explicado na seção 2.3. Seja:
Pelo princípio da multiplicação temos:
3.
Suponha que a variável aleatória
tenha os valores possíveis
.e
.
a.
Calcule
.
Trata-se da soma de
b. Calcule
.
c.
4.
temos de uma PG, com
Calcule
.
Considere uma variável aleatória a.
Para que valores de
com resultados possíveis:
o modelo acima tem sentido?
Suponha que
{
De (A) e (B), temos que:
b. Verifique que essa expressão representa uma legítima distribuição de probabilidade.
c.
5.
Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos
e .
Suponha que a máquina 1 produza (por dia) o dobro das peças que são produzidas pela máquina 2. No entanto, 4% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto somente cerca de 2% de defeituosas produz a máquina 2. Admita que a produção diária das duas máquinas seja misturada. Uma amostra aleatória de 10 peças é extraída da produção total. Qual será a probabilidade de que essa amostra contenha 2 peças defeituosas? Seja:
6.
Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido tenha ocorrido. Se isso não ocorrer até 5 tentativas, o experimento é suspenso e o equipamento inspecionado. Admita que exista uma probabilidade constante de 0,8 de haver um lançamento bem sucedido e que os sucessivos lançamentos sejam independentes. Suponha que o custo do primeiro lançamento seja dólares, enquanto os lançamentos subsequentes custam dólares. Sempre que ocorre um lançamento bem sucedido, uma certa quantidade de informação é obtida, a qual pode ser expressa como um ganho financeiro de dólares. Sendo o custo líquido desse experimento, estabeleça a distribuição de probabilidade de .
Custo do primeiro lançamento:
.
Custo dos outros lançamentos: Custo líquido:
.
.
Seja:
7.
Calcule
,
, onde ,
é a variável aleatória definida no Ex. 4.10. Suponha que , .
Usando uma planilha do Excel obtemos:
8.
(Propriedades das Probabilidades Binomiais.) Na explanação do Ex. 4.8, um padrão geral para as probabilidades binomiais foi sugerido. V amos denotar essas probabilidades por a.
.
Mostre que, para
temos:
b. Empregando (a), mostre que i. se
ii.
se
iii.
se
c.
9.
Mostre que se dois valores de , a saber,
for um inteiro,
e
toma seu valor máximo para .
De b) ii) tem se d. Mostre que se não for um inteiro, então, toma seu valor máximo quando for igual ao menor inteiro maior que . e. Mostre que se não for um inteiro, então, toma seu valor máximo quando for igual ao menor inteiro maior que . f. Mostre que se , , enquanto se , . A variável aleatória contínua tem para fdp: }. São feitas duas determinações independentes de . Qual será a probabilidade de que ambas essas determinações sejam maiores do que 1? Se três determinações Independentes forem feitas, qual a probabilidade de que exatamente duas delas sejam maiores do que fdp.
10. Seja a duração da vida de uma válvula eletrônica e admita-se que possa ser representada por uma variável aleatória contínua, com fdp . Seja . Verifique que é da forma e determine .
11. A variável aleatória contínua tem fdp satisfaça a , calcule
se
.
12. Suponha que e sejam fdp no mesmo intervalo . a. Verifique que não é uma fdp nesse intervalo.
for um número que
b. Verifique que, para todo número nesse intervalo.
13. Suponha que o gráfico na Fig. 4.16 represente a fdp de uma variável aleatória
a.
é uma fdp
.
Qual será a relação entre
e ?
b. Se 4.16).
e
, que se pode dizer do maior valor que
14. A percentagem de álcool aleatória, onde ,
a.
pode tomar? (Veja a Fig.
em certo composto pode ser considerada uma variável , tem a seguinte fdp:
Estabeleça a expressão da fd
e esboce seu gráfico.
b. Calcule
c.
Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool. Especificamente, se
, o composto se vende por
contrário, ele se vende por . Se o custo for distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão.
15. Seja
a.
uma Variável aleatória continua, com fdp dada por
Determine a constante .
caso
, calcule a
b. Determine a fd
e esboce o seu gráfico.
c.
Se forem três observações independentes de , qual será a probabilidade de, exatamente, um desses três números ser maior do que 1,5?
A ocorrência de exatamente um dos três eventos é dada por:
16. O diâmetro a.
de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória continua . Verifique que essa expressão é uma fdp e esboce o seu gráfico.
, com fdp
Para que seja fdp a função contínua deve satisfazer as seguintes condições.
b. Obtenha uma expressão para a. fd de
e esboce o seu gráfico.
c.
Determine um número
tal que
.
Através do cálculo numérico verificamos que:
d. Calcule
17. Cada uma das seguintes funções representa a fd de uma variável aleatória continua. Em cada caso para e para , onde é o intervalo indicado. Em cada caso, esboce gráfico da função , determine a fdp e faça o seu gráfico. Também verifique que é uma fdp.
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
18. Seja seja
a.
a duração da vida (medida. em horas) de um dispositivo eletrônico. Suponha que
variável aleatória contínua com fdp Para
.
, determine .
b. Para
, determine .
c.
Para
em geral, determine .
d. Qual a probabilidade de que o dispositivo falhe antes que 5000 horas se tenham passado?
e.
Esboce a fd
para a letra (c) e determine sua forma algébrica.
19. Seja uma variável aleatória com distribuição binomial, baseada em 10 repetições de um experimento. Se , calcule as seguintes probabilidades, empregando a tábua da distribuição binomial do Apêndice:
a.
;
b.
;
c.
.
20. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre , onde . Quando possível, determine de modo que as seguintes relações sejam satisfeitas:
a.
b.
c.
.
.
.
d.
e.
.
.
21. Suponha que tenha distribuição uniforme sobre perguntas do Probl. 4.20.
a.
.
, onde
. Responda às
b.
c.
d.
e.
.
.
.
.
22. Um ponto é escolhido ao acaso, sobre uma reta de comprimento . Qual é a probabilidade de que o quociente do segmento mais curto para o mais longo seja menor do que ? Seja o ponto escolhido com comprimento .
e
as extremidades da reta de
23. Uma fábrica produz 10 recipientes de vidro por dia. Deve-se supor que exista uma probabilidade constante de produzir um recipiente defeituoso. Antes que esses recipientes sejam estocados, eles são inspecionados e os defeituosos são separados. Admita que exista uma probabilidade constante de que um recipiente defeituoso seja mal classificado. Faça igual ao número de recipientes classificados como defeituosos ao fim de um dia de produção. (Admita que todos os recipientes fabricados em um dia sejam inspecionados naquele dia). a. Calcule e .
Seja:
b. Obtenha a expressão de
.
24. Suponha que 5 por cento de todas as peças que saiam de uma linha de fabricação sejam defeituosas. Se 10 dessas peças forem escolhidas e inspecionadas, qual será a probabilidade de que no máximo 2 defeituosas sejam encontradas?
25. Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória contínua com fdp , para , e zero para quaisquer outros valores de . a. Qual será a probabilidade de que uma válvula dure menos de 200 horas se soubermos que ela ainda está funcionando após 150 horas de serviço?
b. Se três dessas válvulas forem instaladas em um conjunto, qual será a probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser substituída após 150 horas de serviço?
c.
Qual será o número máximo de válvulas que poderá ser colocado em um conjunto, de modo que exista uma probabilidade de 0,5 de que após 150 horas de serviço todas elas ainda estejam funcionando?
26. Um experimento consiste em tentativas independentes. Deve-se admitir que por causa da "aprendizagem", a probabilidade de obter um resultado favorável cresça com o número de tentativas realizadas. Especificamente, suponha que .
a.
Qual será a probabilidade de ter ao menos 3 resultados favoráveis, em 8 repetições?
b. Qual será a probabilidade de que o primeiro resultado favorável ocorra na oitava repetição?
27. Com referência ao Ex. 4.10: a. Calcule , se
b. Para
.
arbitrário, verifique que
é igual a
. 28. Se a variável aleatória for uniformemente distribuída sobre probabilidade de que as raízes da equação
, qual será a sejam reais?
29. Suponha que a variável aleatória
tenha valores possíveis,
e que
.
a.
Determine a constante .
b. Ache a moda desta distribuição (isto é, o valor de todas).
é decrescente em
.
que torne
a maior de
A moda é
.
30. Uma variável aleatória pode tomar quatro valores, com probabilidades , , e . Para que valores de é esta uma distribuição de probabilidade?
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística– Paul L. Meyer Capitulo 5 – Funções de Variáveis Aleatórias.
Problemas
1. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre fdp de , , e fazer seu gráfico. Verifique também que
é crescente para
. Seja . Achar a é a fdp adequada.
e decrescente para
2. Suponha que
seja uniformemente distribuída sobre
. Ache a fdp das seguintes
variáveis aleatórias: (Verifique em cada caso que a função obtida é a fdp. Esboce os gráficos.) (a)
(b)
,
.
3. Suponha que a variável aleatória contínua a.
b.
tenha fdp
. Ache a fdp das
seguintes variáveis aleatórias:
4. Suponha que a variável aleatória discreta
tome os valores 1, 2 e 3 com igual
probabilidade. Ache a distribuição de probabilidade de
X P(X) Y P(Y) 1 1/3 5 1/3 2 1/3 7 1/3 3 1/3 9 1/3 seja uniformemente distribuída sobre o intervalo
.
5. Suponha que
. Ache a fdp das
seguintes variáveis aleatórias: a.
b.
6. Suponha que
seja uniformemente distribuída sobre
variáveis aleatórias:
a.
. Ache a fdp das seguintes
b.
c.
7. Suponha que o raio de uma esfera seja uma variável aleatória continua. (Em virtude de imprecisões do processo de fabricação, os raios das diferentes esferas podem ser diferentes.) Suponha que o raio volume
e da área superficial
tenha fdp
da esfera.
. Ache a fdp do
8. Uma corrente elétrica oscilante pode ser considerada como uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre o intervalo
. Se essa corrente passar em um
resistor de 2 ohms, qual será a fdp da potência
?
9. A velocidade de uma molécula em um gás uniforme em equilíbrio é uma variável aleatória
onde
cuja fdp é dada por
e
,e
denotam respectivamente a constante de Boltzman, a temperatura
absoluta e a massa da molécula. a.
Calcular a constante
(em termos de ). [Sugestão: Considere o fato de que
e integre por partes.]
b. Estabeleça a distribuição da variável aleatória
, a qual representa a
energia cinética da molécula.
10. A tensão elétrica aleatória
é uniformemente distribuída sobre o intervalo
. Se
for a entrada de um dispositivo não-linear, com as características indicadas na Fig. 5.12, ache a distribuição de probabilidade de , nos três casos seguintes:
a.
b.
i.
ii.
c.
i.
ii.
iii.
Comentário: A distribuição de probabilidade de distribuição mista.
constitui um exemplo de uma
toma o valor zero com probabilidade não-nula e também toma
todos os valores em certos intervalos. (Veja a Seç. 4.6.)
11. A energia radiante
é dada pela seguinte função da temperatura
(em escala Fahrenheit
. Suponha que a temperatura
seja
considerada uma variável aleatória contínua como fdp
Estabeleça a fdp da energia radiante
.
12. Para medir velocidades do ar, utiliza-se um tubo (conhecido como tubo estático de Pitot), o qual permite que se meça a pressão diferencial. Esta pressão diferencial é dada por , onde
de , quando
é a densidade do ar e
é a velocidade do vento (mph). Achar a fdp
for uma variável al eatória uniformemente distribuída sobre
.
13. Suponha que
, onde
alguma distribuição definida sobre que
.
é uma variável aleatória contínua com
. Quando
, determinar
de modo
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 6 – Variáveis Aleatórias de Duas ou Mais Dimensões. Problemas 1.
Suponha que a tabela seguinte represente a distribuição de probabilidade conjunta da variável aleatória discreta condicionadas.
. Calcule todas as distribuições marginais e as
2.
Suponha que a variável aleatória bidimensional
tenha a fdp conjunta
a.
Calcule a constante .
b. Ache a fdp marginal de
.
c.
.
Ache a fdp marginal de
O intervalo de , não pode estar em termos de :
3.
Suponha que a fdp conjunta da variável aleatória bidimensional
seja dada por
Calcule o seguinte:
a.
b.
c.
4.
Suponha que duas cartas sejam tiradas ao acaso de um baralho de cartas. Seja de azes obtido e seja a.
o número
o número de damas obtido.
Estabeleça a distribuição de probabilidade conjunta de
.
Soma
Soma b. Estabeleça a distribuição marginal de
c.
5.
Estabeleça a distribuição condicionada de
Para que valores de , a expressão região
e a de .
?
(dado ) e de
(dado
é a fdp conjunta de
).
, sobre a
6.
Suponha que a variável aleatória bidimensional contínua
distribuída sobre o quadrado cujos vértices são marginais de
e de .
seja uniformemente e
. Ache as fdp
7.
Suponha que as dimensões
e , de uma chapa retângulo de metal, possam ser
consideradas variáveis aleatórias contínuas independentes, com as seguintes fdp:
Ache a fdp da área da chapa,
.
Analisando os intervalos
Verificamos que
não é biunívoca, ou seja, há dois valores em
corresponde a um só valor em
A duplicação ocorre quando Digamos que:
, veja:
, que
8.
Admita que
represente a duração da vida de um dispositivo eletrônico e suponha que
seja uma variável aleatória contínua com fdp
Sejam
e
duas determinações independentes da variável aleatória
acima. (Isto é,
suponha que estejamos ensaiando a duração da vida de dois desses dispositivos.) Ache a fdp da variável aleatória Seja
.
9.
Obtenha a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias
e
, introduzidas na
Pág. 124.
10. Demostre o Teor. 6.1
11. A força magnetizante
no ponto
uma corrente , é dada por
, distante
unidades de um condutor que conduza
. (Veja a Fig. 6.14.) Suponha que
seja um ponto móvel,
isto é, seja uma variável aleatória contínua, uniformemente distribuída sobre . Suponha que a corrente seja também uma variável aleatória co ntínua, uniformemente distribuída sobre
. Suponha, ademais, que as variáveis aleatórias
independentes. Estabeleça a fdp de variável aleatória
.
e sejam
12. A intensidade luminosa em um dado ponto é dada pela expressão , na qual poder luminoso da fonte até o ponto dado. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre
, enquanto
seja uma variável aleatória contínua com fdp
. Ache a fdp de , admitindo que
(Sugestão: Primeiro ache a fdp de
e
sejam independentes.
e depois aplique os r esultados deste capítulo.)
éo
13. Quando uma corrente (ampères) passa através de um resistor gerada é dada por
(watts). Suponha que e
(ohms), a potência
sejam variáveis aleatórias
independentes, com as seguintes fdp:
Determine a fdp da variável aleatória
e esboce o seu gráfico.
14. Suponha que a fdp conjunta de
seja dada por
a.
Ache a fdp marginal de
.
b. Ache a fdp marginal de
.
c.
Calcule a
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 7 – Caracterização Adicional de Variáveis Aleatórias. Problemas 1.
Determine o valor esperado das seguintes variáveis aleatórias: a.
A varável aleatória
definida no Probl. 4.1.
b. A varável aleatória
definida no Probl. 4.2.
i.
ii.
c.
A varável aleatória
definida no Probl. 4.6.
d. A varável aleatória
2.
3.
Mostre que
definida no Probl. 4.18.
não existe para variável aleatória
definida no Probl. 4.25.
Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de um certo produto. Calcula
, a procura diária de
:
:
.
4.
Na produção de petróleo, a temperatura e destilação
(graus centígrados) é decisiva na
determinação da qualidade do produto final. Suponha-se que variável aleatória uniformemente distribuída sobe
Admita-se que produzir um galão de petróleo custe uma temperatura menor que
seja considerada uma
.
dólares. Se o óleo for destilado a
, o produto é conhecido como nafta e se vende por
dólares o galão. Se o óleo for destilado a uma temperatura maior que denominado óleo refinado destilado e se vende por líquido esperado (por galão).
, o produto é
dólares o galão. Determinar o lucro
5.
Uma certa liga é formada pela reunião da mistura em fusão de dois metais. A liga
resultante contém uma certa percentagem de chumbo , que pode ser considerada uma variável aleatória. Suponha que tenha a seguinte fdp:
Suponha-se que , o lucro líquido obtido pela venda dessa liga (por libra), seja a seguinte função de percentagem do chumbo contida:
. Calcule o lucro esperado (por
libra).
6.
Suponha que um dispositivo eletrônico tenha uma duração de vida
(em unidades de
1000 horas), a qual é considerada como uma variável aleatória contínua, com a seguinte fdp:
Suponha que o custo de fabricação de um desses dispositivos seja vende a peça por
, mas garante o reembolso total se
. O fabricante
. Qual será o lucro
esperado por peça, pelo fabricante?
7.
As 5 primeiras repetições de um experimento custam repetições subsequentes custam
cada uma. Todas as
cada uma suponha que o experimento seja
repetido até que o primeiro resultado bem sucedido ocorra. Se a probabilidade de um
resultado bem sucedido for sempre igual a
, e se as repetições forem independentes,
qual será o custo esperado da operação completa?
8.
Sabe-se que um lote contém 2 peças defeituosas e 8 não-defeituosas. Se essas peças forem inspecionadas ao acaso, uma após outra, qual será o numero esperado de peças que devem ser escolhidas para inspeção, a fim de removerem-se todas as peças defeituosas?
Veja Prob. 2.21, com
9.
Um lote de 10 motores elétricos deve ser ou totalmente rejeitado ou vendido,
dependendo do resultado do seguinte procedimento: dois motores são escolhidos ao
acaso e inspecionados. Se um ou mais forem defeituosos, o lote será rejeitado; caso contrário, será aceito. Suponha que cada motor custe
e seja vendido por
Se o lote contiver 1 motor defeituoso, qual será o lucro esperado do fabricante?
.
10. Suponha que
, a demanda diária de uma peça, seja uma variável aleatória com a seguinte
distribuição de probabilidade:
a.
Calcule a constante
.
b. Calcule a demanda esperada.
c.
Suponha que uma peça seja vendida por diariamente
. Um fabricante produz
peças. Qualquer peça que não tenha sido vendida ao fim do dia,
deve ser abandonada, com um prejuízo de
.
i. Determine a distribuição de probabilidade do lucro diário, como uma função de .
ii. Quantas peças devem ser fabricadas para tornar máximo o lucro diário esperado?
tem valor máximo quando
Ou seja
11. a.
Com
0
1
2
3
4
5
6
0
5
7,33
7
4,89
1,89
-1,11
.
.
, efetue alguns cálculos para achar qual o valor de
minimiza
no Ex. 7.12.
k E(X)
1 65
2 50,5
3 49,5
4 50,5
5 51,6
b. Empregando os valores acima de
e , e tomando
determine, para
casa um desses valores de , se o “teste de grupo” é preferível. i.
ii.
iii.
para os três casos portanto em nenhum deles o “teste de grupo” é
preferível. 12. Suponha que
e
seja, variáveis aleatórias independentes, com as seguintes fdp:
a.
Determine a fdp de
b. Obtenha
.
por duas maneiras:
i. Empregando a fdp de
, como foi obtida em (a);
ii. Diretamente, sem empregar a fdp de
13. Suponha que
a.
Calcule
b. Calcule
tenha a fdp:
, empregando a fdp de
, sem empregar a fdp de
. Seja
.
.
.
.
14. Um dado equilibrado é jogado 72 vezes. Chamando de seis, calcule
o número de vezes que aparece o
.
15. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias a.
e
do Probl. 5.2.
b.
16. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória
do Probl. 5.3.
17. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias a.
e
do Probl. 5.5.
b.
18. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias a.
b.
e
do Probl. 5.6.
c.
19. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias a.
b.
e
do Probl. 5.7.
20. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória um dos três casos. a.
b.
do Probl. 5.10, em cada
c.
21. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória
do Probl. 6.7.
22. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória
do Probl. 6.11.
23. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória
24. Suponha que
seja uma variável aleatória, para a qual
quais valores positivos de
e
deve
25. Suponha que , uma tensão aleatória, varie entre
e
ter valores esperado
e
volts.
. Para
e variância ?
volt e seja uniformemente
distribuída sobre esse intervalo. Suponha que o sinal de aleatório independente, aditivo,
do Probl. 6.13.
seja perturbado por um ruído
, o qual seja uniformemente distribuído entre
e
a.
Determine a tensão esperada do sinal, levando em conta o ruído.
b. Determine a potencia esperada quando o sinal perturbado for aplicado um resistor
de
ohms.
26. Suponha que
seja uniformemente distribuída sobre
. Determine a variância de
.
27. Um alvo é constituído de três círculos de raios
. Tiros dentro do círculo interior
valem 4 pontos, dentro do anel seguinte valem 3 pontos, e dentro do anel exterior valem 2 pontos. Tiros fora do alvo valem zero. Seja a variável aleatória que representa a distância do ponto de impacto ao centro do alvo. Suponha que a fdp de seja . Calcule o valor esperado do escore depois de 5 tiros.
28. Suponha que a variável continua
tenha a fdp
Seja
a.
. Calcule
:
Diretamente, sem primeiro obter a fdp de
b. Primeiramente, obtendo a fdp de
.
.
29. Suponha que a variável aleatória bidimensional sobre o triângulo da Fig. 7.15. Calcule
e
seja uniformemente distribuída
.
30. Suponha que
seja uniformemente distribuída sobre o triângulo da Fig. 7.16.
a.
Estabeleça a fdp marginal de
e a de .
b. Calcule
31. Suponha que
e
e
.
sejam variáveis aleatórias para as quais
. Empregando o Teor. 7.7, obtenha uma aproximação de
, onde
.
e
32. Suponha que
e
sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas
uniformemente distribuída sobre a.
. Seja
.
Empregando o Teor. 7.7, obtenha expressões aproximadas para
e
.
b. Empregando o Teor. 6.5, obtenha a fdp de , e a seguir, determine pos valores exatos de
33. Mostre que se
que o gráfico de
e
. Compare-os com (a).
for uma variável aleatória contínua, com a fdp seja simétrico em relação a
, então
tendo a propriedade de , desde que
exista. (Veja o Ex. 7.16.) 34.
a.
Suponha que a variável aleatória
tome os valores
probabilidade . Considere
. Em um gráfico, marque esta função de
e , cada um deles com
como uma função de
e, no mesmo sistema de
coordenadas, marque o limite superior da probabilidade acima, tal como é dada pela desigualdade de Tchebycheff.
b. O mesmo que em (a), exceto que
.
35. Compare o limite superior da probabilidade
, obtida pela
desigualdade de Tchebycheff, com a probabilidade exata se distribuída sobre
.
for uniformemente
36. Verifique a Eq. (7.17).
37. Suponha que a varável aleatória bidimensional sobre
, onde
seja uniformemente distribuída
é definida por
o coeficiente de correlação.
. (Veja a Fig. 7.17.) Calcule
,
38. Suponha que a variável aleatória bidimensional
tenha fdp dada por
(Veja a Fig. 7.18.) Determine o coeficiente de correlação
.
39. O exemplo a seguir ilustra que
não implica independência. Suponha que
tenha uma distribuição de probabilidade conjunta dada pela Tab. 7.1.
a.
Mostre que
.
b. Explique por que
c.
e consequentemente
e
não são i ndependentes.
Mostre que este exemplo pode ser generalizado como se segue. A escolha do
número não é decisiva. O que é importante é que todos os valores circundados sejam iguais, todos os valores enquadrados sejam iguais e o valor central seja zero.
40. Suponha que e
Mostre que
e
sejam dois eventos associados ao experimento . Suponha que . Sejam as variáveis aleatórias
e
definidas assim:
se
ocorrer, e
em caso contrário,
se
ocorrer, e
em caso contrário.
implica que
e
sejam independentes.
41. Demostre o Teor. 7.14.
42. Para a variável aleatória que
definida no Probl. 6.15, calcule
e
.
Não existe Probl. 6.15 então consideremos o Probl. 6.14.
, e verifique
43. Demonstre o Teor. 7.16.
44. Demostre o Teor. 7.17. [sugestão: para o caso contínuo, multiplique a equação por
, a fdp de
, e integre de
a
. Faça a mesma coisa, empregando
e, depois, resolva as duas equações resultantes para
e para
.]
45. Demonstre o Teor. 7.18.
46. Se forem variáveis aleatórias não-correlacionadas, com desvios-padrões , respectivamente, e se e , calcule o coeficiente de correlação entre e .
47. Suponha que ambas as curvas de regressão da média sejam, de fato, lineares. Particularmente, admita que a.
e
Determine o coeficiente de correlação .
b. Determine
e
.
.
48. Considere a previsão de tempo com duas possibilidades: “chove” ou “não chove” nas próximas 24 horas. Suponha que
.O
previsor marca 1 ponto se ele estiver correto e
ponto se não estiver. Ao fazer
previsões, um previsor sem capacidade escolhe de qualquer maneira, ao acaso, para afirmar que “chove” e os restantes
Seu escore total de pontos é para o qual
. Calcule
e
é o maior. [Sugestão: Faça
previsão esteja correta ou não. Então
independentes.
dias,
dias para afirmar “não chove”.
e encontre qual o valor de
, dependendo de que a . Observe que os
não são
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 9 – Algumas Variáveis Aleatórias Contínuas Importantes.
Problemas
1. Suponha que
tenha distribuição
. Empregando a tábua da distribuição normal,
calcule as seguintes probabilidades: a.
b.
2. O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média . Qual é a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse
e variância
?
3. Suponha que o cabo, no Probl. 9.2, seja considerando defeituoso se o diâmetro diferir de sua média em mais de
. Qual é a probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso?
4. Sabe-se que os erros, em certo dispositivo para medir comprimentos, são normalmente distribuídos com valor esperado zero e desvio-padrão 1 unidade. Qual é a probabilidade de que o erro na medida seja maior do que 1 unidade? 2 unidade? 3 unidades?
5. Suponha-se que a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos, e , tenham distribuições e , respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado por um período de 45 horas, qual dos dispositivos deve ser preferido? Se tiver de ser usado por um período de 48 horas, qual deles deve ser preferido?
O dispositivo
é preferível nos dois casos.
6. Podemos estar interessados apenas na magnitude de distribuição
, digamos
, determine a fdp de , e calcule
e
. Se
7. Suponha que estejamos medindo a posição de um objeto no plano. Sejam de mensuração das coordenadas
tiver
.
e , respectivamente. Suponha que
e
e
os erros
sejam
independentes e identicamente distribuídos, cada um deles com a distribuição Estabeleça a distribuição de
distribuição de Rayleigh.) [Sugestão: Faça
conjunta de
. (A distribuição de e
e, depois, obtenha a fdp marginal de
é conhecida como
. Obtenha a fdp
.]
.
8. Estabeleça a fdp da variável aleatória Probl. 9.7. (A distribuição de calcular
, onde
e
são distribuídos tal como no
é conhecido como distribuição de Cauchy.) Você pode
?
9. Uma distribuição, estreitamente relacionada com a distribuição normal é a distribuição lognormal. Suponha que
Faça-se
seomente se,
. Então,
seja normalmente distribuído, com média
possui a distribuição lognormal. (Isto é,
e variância
.
será lognormal se, e
for normal.) Estabeleça a fdp de . Comentário: As seguintes variáveis
aleatórias podem ser representadas pela distribuição acima: o diâmetro de pequenas partículas após um processo de trituração, o tamanho de um organismo sujeito a alguns pequenos impulsos, a duração da vida de determinada peças.
10. Suponha que
tenha distribuição
que
. Determine
(como uma função de
e ), tal
.
11. Suponha que a temperatura (medida em graus centígrados) seja normalmente distribuída, com expectância temperatura
e variância . Qual é a probabilidade de que a temperatura de que a
esteja entre
e
12. O diâmetro exterior de um eixo,
centígrados?
,é especificado igual a
uma variável aleatória normalmente distribuída com média
. Considere
como
e variância
. Se o diâmetro real diferir do valor especificado por mais de
e menos de
, o prejuízo do fabricante será
diâmetro real diferir do diâmetro especificado por mais de será de
. O prejuízo
. Se o
, o prejuízo
pode ser considerado uma variável aleatória. Estabeleça a
distribuição de probabilidade de
e calcule
.
13. Compare o limite superior da probabilidade
, obtido pela
desigualdade de Tchebycheff, com a probabilidade exata, em cada um dos casos seguintes:
a.
tem distribuição
.
b.
tem distribuição de Poisson, com parâmetro .
c.
tem distribuição exponencial, com parâmetro .
14. Suponha que que
seja uma variável aleatória para a qual
e
seja uniformemente distribuída sobre o intervalo
que
e
. Determine
. Suponha
e
de modo
.
15. Suponha que , a carga de ruptura de um cabo (em kgf), tenha distribuição Cada rolo de 100 metros de cabo dá um lucro de
, desde que
.
. Se
cabo poderá ser utilizado para uma finalidade diferente e um lucro de
,o
por rolo será
obtido. Determinar o lucro esperado por rolo.
16. Sejam
e
variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição
Faça-se
. Está variável interessa ao estudo de sinais
aleatórios. Seja a.
. (Supõe-se que
Qual é a distribuição de probabilidade de
seja constante.) e
, para qualquer fixado?
.
b. Mostre que
e
também mostrar que
são não-correlacionadas. [Comentário: Poder-se-á e
são independentes, mas isto é um tanto mais
difícil de fazer-se.]
17. Um combustível para foguetes deve conter uma certa percentagem especial. As especificações exigem que
de um componente
esteja entre 30 e 35 por cento. O fabricante
obterá um lucro líquido função de :
a.
Calcular
sobre o combustível (por galão), que é dado pela seguinte
, quando
tiver distribuição
.
b. Suponha que o fabricante deseje aumentar seu lucro esperado
, em 50 por
cento. Ele pretende fazê-lo pelo aumento de seu lucro (por galão), naquelas remessas de combustível que atendam às especificações, deverá ser seu novo lucro líquido?
. Qual
18. Reconsidere o Ex. 9.8 Suponha que se pague ao operador máquina estiver operando e
dólares/hora
dólares/hora, enquanto a
para o tempo restante em que
tenha sido contratado, depois que a máquina tiver parado. Determine novamente para que valor de
(o número de horas para as quais o operador é contratado), deve o lucro
esperado ser máximo.
19. Mostre que
na integral
. (Veja 9.15.) [Sugestão: Faça uma mudança de variável .]
20. Verifique as expressões de (9.18)].
21. Demonstre o Teor. 9.3. a.
e
, onde
tem a distribuição gama [Veja a Eq.
b.
c.
22. Demonstre o Teor. 9.4. a.
Vamos considera
Que é a equação da elipse. b.
Que é a equação da circunferência.
23. Suponha que a variável aleatória
tem uma distribuição de qui-quadrado, com 10 graus
de liberdade. Se pedirmos para determinar dois números e , tais que , por exemplo, deveremos compreender que existem muitos pares dessa espécie. a.
Determine dois diferentes conjuntos de valores acima.
que satisfaçam à condição
b. Suponha que, em aditamento ao acima, se exija que Quantos pares de valores haverá agora?
.
24. Suponha que , a velocidade variável aleatória com distribuição represente a energia cinética
25. Suponha que
do objeto. Calcular
tenha distribuição
expressão aproximada para
26. Suponha que
de um objeto que tenha massa de . Admita-se que
e
.
. Empregando o Teor. 7.7, obtenha uma
, quando
tenha uma distribuição normal truncada à direita, tal como é dada pela Eq.
(9.22). Estabeleça uma expressão para
27. Suponha que
,
, seja uma
, em termos de funções tabuladas.
tenha distribuição exponencial truncada à esquerda, como está dada pela
Eq. (9.24). Obtenha
.
28.
a.
Estabeleça a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória binomialmente distribuída (baseada em truncada à direita de
; insto é,
repetições de um experimento) não poderá ser observado.
b. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória descrita em (a).
29. Suponha que uma variável aleatória normalmente distribuída, com calor esperado variância
, seja truncada à esquerda de
e à direita de
e
. Estabeleça a fdp
desta variável aleatória “duplamente truncada”.
30. Suponha que , o comprimento de uma barra, tenha distribuição medir o valor de
. Em vez de se
, somente são especificadas certas exigências que devem ser atendidas.
Especificamente, cada barra fabricada será classificada como segue:
e
. Se 15 dessas barras forem fabricadas, qual é a probabilidade de que um igual
número de barras caia em cada uma das categorias acima?
31. Sabe-se que a precipitação anual de chuva, em certa localidade, é uma variável aleatória normalmente distribuída, com média igual a 29,5 cm e desvio-padrão 2,5 cm. Quantos centímetros de chuva (anualmente) são ultrapassados em cerca de 5 por cento do tempo?
32. Suponha que
33. Seja que
tenho distribuição
. Calcule
.
o número de partículas emitidas em horas por uma fonte radioativa e suponha-se
tenha uma distribuição de Poisson, com parâmetro
de horas entre emissões sucessivas. Mostre que
. Faça-se igual a
o número
tem uma distribuição exponencial com
parâmetro . [Sugestão: Ache o evento equivalente (em termos de
) ao evento
.]
34. Suponha que
seja definido tal como no Probl. 9.33, com
. Qual é a probabilidade
de que o tempo entre duas emissões sucessivas seja maior do que 5 minutos? Maior de que 10 minutos? Menos de que 30 segundo?
35. Em algumas tábuas de distribuição normal, tabulada para valores positivos de variável aleatória
apresenta-se
[em vez de
tiver distribuição
, como é dada no Apêndice]. Se a
, exprimir cada uma das seguintes
probabilidades em termos dos valores tabulados da função a.
b.
:
.
.
36. Suponha que um dispositivo telemedidor de um satélite receba duas espécies de sinais, os quais podem ser registrados como números reais,
e . Suponha que
e
variáveis aleatórias contínuas independentes, com fdp, respectivamente,
sejam
e . Suponha
que, durante qualquer período de tempo especificado, somente um desses sinais possa ser recebido e, em consequência transmitido de volta à Terra, a saber aquele sinal que chegar primeiro. Admita, além disso, que o sinal que dá srcem ao valor de chegue primeiro, com probabilidade , e,por isso,o sinal que dá srcem a chegue primeiro com probabilidade
. Faça
denotar a variável aleatória cujo valor seja realmente recebido
e transmitido. a.
Exprimir a fdp e , em termos de
b. Exprimir
em termos de
e .
e
.
c.
Exprimir
em termos de
d. Admita-se que Calcular
,se
e. Admita-se que
.
e que
tenha distribuição
.
.
e tenham distribuições, respectivamente,
. Mostre que se
fdp de
e
tenha distribuição
, a distribuição de
e
será “unimodal”, isto é, a
terá um único máximo relativo.
37. Suponha que a número de acidentes em uma fábrica possa ser representado por um
Processo de Poisson, com uma média de 2 acidentes por semana. Qual é a probabilidade de que: (a) o tempo decorrido de um acidente até o próximo seja maior do que três dias?
(b) o tempo decorrido desde um acidente até o terceiro acidente seja maior do que uma semana? [Sugestão: Em (a), faça
e calcula
.]
a.
b.
38. Em média, um processo de produção cria uma peça defeituosa entre cada 300 fabricadas. Qual é a probabilidade de que terceira peça defeituosa apareça:
a.
Antes de 1000 peças terem sido fabricadas?
b. Quando a 1000ª (milésima) peça for fabricada?
c.
Depois que a milésima peça for fabricada?
[Sugestão: Suponha um Processo de Poisson.]
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 10 – A Função Geratriz de Momentos. Problemas 1.
Suponha que a.
tenha fdp dada por
Determine a fgm de
.
.
b. Empregando a fgm , calcule
e
e verifique sua resposta. (Veja o
Comentário à Pág. 262.)
2. a.
Determine a fgm da tensão (incluindo o ruído) tal como apresentada no Probl. 7.25.
b. Empregando a fgm, obtenha o valor esperado e a variância dessa tensão.
3.
Suponha que
tenha a seguinte fdp:
(Esta é conhecida como distribuição exponencial a dois parâmetros.) a.
Determine a fgm de
.
b. Empregando a fgm, ache
4.
Seja
a.
e
.
o resultado da jogada de uma moeda equilibrada. Determine a fgm de
.
Se fosse um dado então
b. Empregando a fgm, ache
e
.
Se fosse um dado então
5.
Determine a fgm da variável aleatória .
do Probl. 6.7. Empregando a fgm, ache
e
6.
Suponha que a variável aleatória
a.
Ache a fgm de
tenha fdp
.
b. Empregando a fgm, ache
e
.
7.
Empregue a fgm para mostrar que, se distribuição
e
normalmente distribuída, onde
8.
e
c.
seja da forma
Qual será a fgm da variável aleatória
b. Calcule
?
.
Você poderá verificar sua resposta a (b), por algum outro método? [Tente “reconhecer”
.]
é a fgm de uma distribuição binomial com
9.
será também
são constantes.
Suponha que a fgm da variável aleatória
a.
e forem variáveis aleatórias independentes, com
, respectivamente, então
Alguns resistores,
.
, são montados em série em um circuito. Suponha que
a resistência de cada um seja normalmente distribuída, com
e
.
a.
Se
, qual será a probabilidade de que a resistência do circuito exceda ?
b. Para que se tenha aproximadamente igual a resistência total exceda
a probabilidade de que a
, que valor deverá ter ?
é mais adequado.
10. Em um circuito,
resistores são montados em série. Suponha que a resistência de cada
um seja uniformemente distribuída sobre resistências sejam independentes. Seja a.
Estabeleça a fgm de
e suponha, também, que todas as
a resistência total.
.
b. Empregando a fgm, obtenha
e
. Confirme suas respostas pelo cálculo
direto.
11. Se
tiver distribuição de
, empregando a fgm, mostre que
12. Suponha que , a velocidade
de um objeto, tenha distribuição
for a energia cinética do objeto (onde
. Se
, calcule
e
.
.
. Se
), determine a fdp de
13. Suponha que a duração da vida de uma peça seja exponencialmente distribuída, com parâmetro
. Suponha que
dessas peças sejam instaladas sucessivamente, de modo
que a -ésima peça seja instalada “imediatamente” depois que a peça de ordem tenha falhado. Seja a duração até falhar a -ésima peça, a partir do instante de instalação. Portanto, funcionamento das
peças. Admitindo que os
, sempre medida representa o tempo total de
sejam independentes, calcule
.
14. Suponha que distribuição
Teorema 10.8
Teorema 9.2
sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo
. Calcule
. [Sugestão: Empregue o Teor. 9.2]
15. Mostre que se
, representar o número de sucessos em
um experimento, o qual
repetições de
, para todo , então
terá uma
distribuição binomial. (Isto é, a distribuição binomial possui a propriedade aditiva.)
16. (Distribuições de Poisson e Multinominal.) Suponha que
, sejam variáveis
aleatórias independentes com distribuição de Poisson, com parâmetros Faça
. Nesse caso, a distribuição de probabilidade conjunta de
. , dado
, é dada por uma distribuição multinominal. Isto é,
Observando a definição da distribuição multinominal, verificamos que basta provar que
17. Estabeleça a fgm de uma variável aleatória que tenha distribuição geométrica. Essa distribuição possui a propriedade aditiva?
Não possui a propriedade aditiva.
18. Se a variável aleatória padrão de
?
tiver uma fgm dada por
, qual será o desvio-
19. Estabeleça a fgm de uma variável aleatória que seja uniformemente distribuída sobre .
20. Um determinado processo industrial produz grande número de cilindros de aço, cujos
comprimentos são distribuídos, normalmente, com média
polegadas e desvio-padrão
polegadas. Se dois desses cilindros forem escolhidos ao acaso e dispostos um em
continuação ao outro, qual será a probabilidade de que seu comprimento combinado seja menor do que
polegas?
Comentário: Ao calcular
pode ser da forma
Por exemplo, se
,para
, pode surgir uma forma indeterminada. Assim,
. Nesse caso, deveremos tentar aplicar a regra de L’Hôpital.
for uniformemente distribuída sobre
encontraremos que
Consequentemente, em
e
,
, nós facilmente .
é indeterminada.
Aplicando a regra de L’Hôpital, encontraremos que
Isto confirma que aqui.
, que é igual a
para a variável aleatória apresentada
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 11 – Aplicações à Teoria da Confiabilidade.
Problemas 1.
Suponha que , a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com
horas e devio-padrão
horas. Quantas horas de operação deverão ser
consideradas, a fim de se achar uma confiabilidade de
2.
?
Suponha que a duração da vida deum dispositivo eletrônico seja exponencialmente distribuída. Sabe-se que a confiabilidade desse dispositivo (para um período de 100 horas de operação) é de
. Quantas horas de operação devem ser levadas em conta para
conseguir-se uma confiabilidade de
3.
?
Suponha que a duração da vida de um dispositivo tenha uma taxa de falhas constante para
e uma diferente taxa de falhas constante
para
, a duração até falhar, e esboce o seu gráfico.
. Obtenha a fdp de
4.
Suponha que a taxa de falhas
seja dada por
(Isto significa que nenhuma falha ocorre antes que a.
Estabeleça a fdp associada a
b. Calcule
.
.)
, a duração até falhar.
5.
Suponha que a lei de falhas de um componente tenha a seguinte fdp:
a.
Para quais valores de
e , essa expressão é uma fdp?
b. Obtenha a expressão da função de confiabilidade e da função de risco.
c.
6.
Verifique que a função de risco é decrescente com .
Suponha que a lei de falhas de um componente seja uma combinação linear de
leis de
falhas exponenciais. Quer dizer, a fdp da duração até falhar é dada por
a.
Para quais valores de
a expressão acima é uma fdp?
b. Obtenha uma expressão para a função de confiabilidade e a função de risco.
c.
Obtenha a expressão da duração até falhar esperada.
d. Responda (b) e (c), quando
7.
para todo .
Cada uma das seis válvulas de um radiorreceptor tem uma duração de vida (em anos) que pode ser considerada como uma variável aleatória. Suponha que essas válvulas funcionem independentemente uma da outra. Qual será a probabilidade de que nenhuma válvula
tenha de ser substituída, durante os dois primeiros meses de serviço se: a.
A fdp da duração até falhar for
?
b. A fdp da duração até falhar for
8.
9.
?
Demostre o Teor. 11.4.
A duração da vida de um satélite é uma variável aleatória exponencialmente distribuída, com duração da vida esperada igual a 1,5 anos. Se três desses satélites forem lançados
simultaneamente, qual será a probabilidade de que ao menos dois deles ainda venham a estar em órbita depois de 2 anos?
10. Três componentes, que funcionem independentemente, são ligados em um sistema único,
como está indicado na Fig. 11.9. Suponha que a confiabilidade de cada um dos componentes, para um período de operação de
horas, seja dada por
.
Se for a duração até falhar do sistema completo (em horas), qual será a fdp de a confiabilidade do sistema? Como ela se compara com ? Para que o sistema funcione
11. Suponha que
deve funcionar e também
ou
? Qual será
, ou seja.
componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em
série. Admita que a duração até falhar, de cada componente, seja normalmente distribuída, com expectância de 50 horas e desvio-padrão 5 horas. a.
Se
, qual será a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funcionar
depois de 52 horas de operação?
b. Se
componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de ,
para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja aproximadamente igual a
?
12. (Extraído de Derman & Klein, Probability and Statistical Inference, Oxford University Press, New York, 1959.) A duração da vida , em meses, de uma dada válvula eletrônica empregada em aparelhos de radar, foi verificada ser exponencialmente distribuída com parâmetro
. Ao executar seu programa de manutenção preventiva, uma companhia
quer decidir quantos meses
depois de sua instalação, c ada válvula deverá ser
substituída, para tornar mínimo o custo esperado por válvula. O custo por válvula (em dólares) será denotado por
. O mais curto período utilizável de tempo decorrido entre a
instalação e a substituição e torna mínimo
do mês. Sujeito a essa restrição, qual o valor de
que
, o custo esperado, em cada uma das seguintes situações, onde o custo
é a mencionada função de
e
?
a.
E C 4
3
2
1
m
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
b.
c.
E C
3.0
2.5
2.0
1.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
[Em cada caso, esboce o gráfico de Comentário: Evidentemente, uma variável aleatória. aquele valor de
, como função de
.]
é uma variável aleatória, porque é uma função de , a qual é
é uma função de
, o problema apenas pede para determinar
que torne mínimo o valor esperado
, sujeito à restrição de que
.
13. Suponha que a taxa de falhas, associada com a duração da vida pela seguinte função
de uma peça, seja dada
Comentário: Isto representa outra generalização da distribuição exponencial. A expressão acima se reduz à taxa de falhas constantes (e, por isso, à distribuição exponencial) se a.
Estabeleça a fdp de Equação 11.2
, a duração até falhar.
.
b. Estabeleça a expressão da confiabilidade
e esboce seu gráfico.
14. Suponha que cada um de três dispositivos eletrônicos tenha uma lei de falhas dada por uma distribuição exponencial, com parâmetros
, respectivamente. Suponha que
esses três dispositivos funcionem independentemente e estejam ligados em paralelo para
formarem um único sistema. a.
Estabeleça a expressão de
, a confiabilidade do sistema.
Teorema 11.7
b. Estabeleça a expressão da fdp de gráfico da fdp.
, a duração até falhar do sistema. Esboce o
R t
t
c.
Calcule a duração até falhar esperada do sistema.
a.
Suponha que
15.
componentes sejam ligados em série. A seguir,
dessas conexões
em série são ligadas em paralelo para formar um sistema completo. (Veja a Fig. 11.10.) Se todos os componentes tiverem a mesma confiabilidade,
, para um
dado período de operação, determine a expressão da confiabilidade do sistema completo (para o mesmo período de operação). Teorema 11.5
Teorema 11.7
b. Suponha que cada um dos componentes acima obedeça a uma lei de falhas exponencial, com taxa de falhas operação seja 10 horas e que
. Suponha, também, que o tempo de
. Determine o valor de , de maneira que a
confiabilidade do sistema completo seja igual a
16. Suponha que
.
componentes sejam ligado em paralelo. Em seguida,
dessas conexões em
paralelo são ligadas em série, formando um único sistema. (Veja a Fig. 11.11.) Responda a (a) e (b) do Probl. 11.15, para esta situação.
a.
Teorema 11.7
Teorema 11.5
b.
17. Suponha que
componentes, todos com a mesma taxa de falhas constante , sejam
ligados em paralelo. Estabeleça a expressão da duração até falha esperada, do sistema resultante.
18.
a.
O sistema de propulsão de uma aeronave é constituída de três motores. Suponha que a taxa de falhas constante de cada motor seja e que cada motor falhe independentemente dos demais. Os motores são montados em paralelo.
Qual será a confiabilidade deste sistema de propulsão, para uma missão que exija horas, quando ao menos dois motores devem sobreviver?
b. Responda à questão acima, para uma missão que exija 100 horas; 1000 horas. (Este problema está sugerido por uma explanação incluída em I. Bazovsky, Reliability Theory and Practice, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1961.)
19. Considere os componentes
ligados de maneira indicada nas Figs. 11.12 (a) e
(b). (O componente C pode ser considerado como uma “defesa”, quando ambas
e
deixarem de funcionar.) Represente as confiabilidades dos componentes isoladamente por (e admitindo que o s componentes funcionem independentemente
um do outro), obtenha a expressão da confiabilidade do sistema completo, em cada uma dessas situações. [Sugestão: No segundo caso, Fig. 11.12(b), empregue relações de probabilidade condicionada.]
a.
b.
20. Admitido que todos os componentes incluídos no Probl. 11.19 tenham a mesma taxa de falhas constante , estabeleça a expressão da confiabilidade
do sistema apresentado
na Fig. 11.12(b). Determine, também, a duração até falhar média, desse sistema.
21. O componente componente somente
tem confiabilidade
, quando utilizado para dada finalidade. O
, que pode ser utilizado em lugar do componente , tem confiabilidade de
. Qual será o número mínimo de componente do tipo
, que se terá de ligar
em paralelo, de maneira a atingir a mesma confiabilidade que tem o componente sozinho.
22. Suponha que dois componentes que funcionem isoladamente, cada um deles com a
mesma taxa de falhas constante, sejam ligados em paralelo. Sendo do sistema resultante, estabeleça a fgm de . Determine, também, empregando a fgm.
a duração até falhar e ,
23. Toda vez que consideramos um sistema composto por vários componentes, admitimos sempre que os componentes funcionassem independentemente um do outro. Essa suposição simplificou consideravelmente nossos cálculos. No entanto, ela poderá não ser sempre uma hipótese realista. Em muitas situações, sabe-se que o desempenho de um componente pode influenciar o desempenho de outros. Este é, em geral, um problema
muito difícil de se abordar, e examinaremos aqui, apenas um caso particular. Suponha-se,
especificamente, que dois componentes falhará se, e somente se,
e
sempre falhem juntos. Quer dizer,
falhar. Verifique que, neste caso, .
24. Considere quatro componentes
ligados da maneira indicada na Fig. 11.13.
Suponha que os componentes funcionem independentemente um do outro, com exceção de
e
que falham juntamente, como foi explicado no Probl. 11.23. Se
até falhar do componente
, a duração
, for exponencialmente distribuída com parâmetro
,
obtenha a confiabilidade do sistema completo. Obtenha também a fdp de , a duração até falhar do sistema.
25. Considere o mesmo sistema apresentado no Probl. 11.24, exceto que agora os componentes
e
falham conjuntamente. Responda às perguntas do Probl. 11.24.
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 13 – Amostras e Distribuições Amostrais. Problemas 1.
Deduza a expressão da fdp do mínimo de uma amostra. (Veja o Teor. 13.2.)
2.
Verifique que se
forem variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo uma
distribuição exponencial com parâmetro então
, e se
terá uma distribuição exponencial com parâmetro
,
. (Veja o Teor.
13.3.)
3.
Suponha que
tenha uma distribuição geométrica com parâmetro . Seja
amostra aleatória de
e sejam
distribuição de probabilidade de onde
4.
é a fd de
e
e de
uma
. Estabeleça a
. [Sugestão:
Uma amostra de tamanho 5 é obtida de uma variável aleatória com distribuição a.
Qual é a probabilidade de que a média amostral exceda 13?
b. Qual é a probabilidade de que o mínimo da amostra seja menor do que 10?
c.
5.
Qual é a probabilidade de que o máximo da amostra exceda 15?
A duração da vida (em horas) de uma peça é exponencialmente distribuída, com parâmetro
,
.]
. Seis peças são ensaiadas e sua duração até falhar é registrada.
.
a.
Qual é a pro babilidade de que nenhuma peça falhe antes que tenham decorrido 800 horas?
b. Qual é a probabilidade de que nenhuma peça dure mais de 3.000 horas?
6.
Suponha que
tenha distribuição
digamos
7.
. Uma amostra de tamanho 25 é obtida de
. Qual é a probabilidade de que
exceda 1,5?
Empregando uma tábua de números aleatórios, obtenha uma amostra aleatória de tamanho 8 de uma variável aleatória que tenha as seguintes distribuições: a.
Exponencial, com parâmetro 2.
b. De qui-quadrado, com 7 graus de liberdade.
c.
.
,
8.
Na Seç. 13.5, apresentamos um método pelo qual amostras aleatórias de uma distribuição especificada podem ser geradas. Há vários outros métodos pelos quais isto pode ser feito, alguns dos quais são preferidos em relação ao apresentado, particularmente se equipamentos de cálculo estiverem disponíveis. O seguinte é um desses métodos: Suponha que desejemos obter uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tenha
distribuição de qui-quadrado, com amostra aleatória de tamanho
graus de liberdade. Proceda assim: obtenha uma
(com o auxílio de uma tábua de números aleatórios) de
uma variável aleatória que seja uniformemente distribuída sobre
. A seguir, calcule
, digamos
. A variável aleatória
terá, então, a distribuição desejada, como indicaremos abaixo. Prosseguiremos, depois,
este esquema, obtendo outra amostra de tamanho
de uma variável aleatória
uniformemente distribuída, e, desse modo, encontrando o segundo valor amostral Note-se que este procedimento exige
.
observações de uma variável aleatória
uniformemente distribuída, pare cada observação de
. Para verificar a afirmação feita
acima, proceda como segue: a.
Obtenha a função geratriz de momentos da variável aleatória uniformemente distribuída sobre
, onde
b. Obtenha a função geratriz de momentos da variável aleatória os
, onde
variáveis aleatórias independentes, cada um com a distribuição acima.
Compare esta fgm com a da distribuição de qui-quadrado e, depois, chegue à conclusão desejada.
9.
é
.
Empregando o esquema esboçado no Probl. 13.8, obtenha uma amostra aleatória de tamanho 3, da distribuição de .
10. Uma variável aleatória contínua amostra de tamanho padrão de
é uniformemente distribuída sobre·
é obtida de
e a média amostral
. Uma
é calculada. Qual é o desvio-
?
11. Amostras independentes de tamanhos 10 e 15 são tiradas de uma variável aleatória normalmente distribuída, com expectância 20 e variância 3. Qual será a probabilidade de que as médias das duas amostras difiram (em valor absoluto) de mais de 0,3?
12. (Para este exercício e os três seguintes, leia o Comentário no final do Cap. 13.) Empregue a tábua de desvios normais reduzidos (Tábua 7, no Apêndice) e obtenha uma amostra de tamanho 30, de uma variável aleatória
que tenha a distribuição
amostra para responder o seguinte:
a.
Compare
com a frequência relativa do evento.
. Use esta
b. Compare a média amostral respectivamente.
c.
e a variância amostral
com 1 e 4,
Construa o gráfico de
. Empregando o mesmo sistema de
coordenadas, obtenha o gráfico da função de distribuição empírica
definida
assim:
Na qual
é a i-ésima maior observação na amostra (isto é,
estatística ordinal). [A função fd
é a i-ésima
é frequentemente empregada para aproximar a
. Pode-se demostrar que, sob condições bastante gerais,
13. Admitamos que
tenha distribuição
amostra de tamanho 20 desta d istribuição.
. Da Tábua 7 no Apêndice, obtenha uma
Faça
a.
.
Empregue esta amostra para comparar
com a frequência relativa
daquele evento.
b. Compare
c.
com a média amostral .
Compare a fd de , a saber,
<0 0 0,09 0,11 0,18 0,28 0,3 0,31 0,33 0,35 0,35 0,36 0,51 0,9 0,99 1,07 1,43 1,45
0 0 0,0717 0,0876 0,1428 0,2205 0,2358 0,2434 0,2586 0,2737 0,2737 0,2812 0,3899 0,6319 0,6778 0,7154 0,8473 0,8529
, com
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
, a fd empírica de .
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85
1,79 1,91 2,62 >2,62
0,9265 0,9439 0,9912 1
14. Suponha que aleatória de
tenha distribuição
18 19 20 -
. Admita que
obtida com o auxílio da Tábua 7. Calcule
0,9 0,95 1 1
seja uma amostra
E compare com
15. Admita que
.
tenha distribuição
. Seja
obtida empregando-se a Tábua 7. Calcule
uma amostra aleatória de
e compare esse valor com a
frequência relativa daquele evento.
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 14 – Estimação de Parâmetros. Problemas 1.
Suponha-se que um objeto seja mensurado independentemente com dois diferentes dispositivos de mensuração. Sejam
e
os comprimentos medidos pelo primeiro e
segundo dispositivos, respectivamente. Se ambos os dispositivos estiverem calibrados corretamente, poderemos admitir que
, o comprimento verdadeiro.
No entanto, a precisão dos dispositivos não é necessariamente a mesma. Se avaliarmos a precisão em termos da variância, então . Se empregarmos a combinação linear
para nossa estimativa de , teremos imediatamente que
, isto é,
de ,
2.
Seja
será uma estimativa não-tendenciosa de . Para qual valor escolhido
, a variância de
será um mínimo?
uma variável aleatória com expectância
amostra de
e variância
. Existem muitas outras estimativas de
. Seja
uma
que se podem sugerir além
daquela apresentada anteriormente. Verifique que estimativa não-tendenciosa de
constitui uma
, para uma escolha adequada de . Determine aquele
valor de .
3.
Suponha que 200 observações independentes aleatória
. Sabe-se que
sejam obtidas de uma variável
e que
valores, Calcule uma estimativa não-tendenciosa de
. Empregando esses
e de
.
4.
Uma variável aleatória a.
tem fdp
.
Calcule a estimativa de MV de , baseada numa amostra
.
b. Calcule a estimativa quando os valores amostrais forem: .
5.
Os dados da Tab. 14.7 foram obtidos para a distribuição da espessura do lenho em postes telefônicos. (W. A. Shewhart, Economic Control of Quality of Manufactured Productz, Macmillan and Co., New York, 1932, Pág. 66.) Admitindo-se que a variável aleatória em estudo tenha distribuição
, determine as estimativas de MV de
e
.
6.
Suponha que , a duração até falhar (em horas) de dispositivo eletrônico, tenha a seguinte fdp:
( tem uma distribuição exponencial truncada à esquerda de sejam ensaiados e as durações até falhar a.
Supondo que
b. Supondo que de MV de
7.
.) Suponha que
seja conhecido, determine a estimativa de MV de .
seja desconhecido, mas
seja conhecido, determine a estimativa
.
Considere a mesma lei de falhas apresentada no P robl. 14.6. Agora, até
horas
itens
sejam registradas.
itens são ensaiados
, e o número de itens que falhem nesse período é registrado,
digamos . Responda à pergunta (a) do Probl. 14.6.
8.
Suponha que
seja uniformemente distribuído sobre
MV de , baseada em uma amostra de tamanho :
. Determine a estimativa de
9. a.
Um procedimento é realizado até que um particular evento A ocorra pela primeira vez. Em cada repetição,
; suponha que sejam necessárias
Depois, esse experimento é repetido e, agora, produzir-se o evento A. Se isso for feito
repetições.
repetições são necessária para
vezes, obteremos a amostra
.
Baseando-se nessa amostra, determine a estimativa de MV de .
b. Admita que , onde
seja bastante grande. Determine o valor aproximado de
e
é a estimativa de MV obtida em (a).
10. Testou-se um componente que se supõe ter uma distribuição de falhas exponencial. Foram observadas as seguintes durações de vida (em horas); 108, 212, 174, 130, 198 , 169, 252, 168, 143. Empregando esses valores amostrais, calcule a estimativa de MV da confiabilidade desse componente, quando utilizado por um período de 150 horas.
11. Os seguintes dados representam a duração da vida de lâmpadas elétricas (em horas): 1009, 1085, 1123, 1181, 1235, 1249, 1263, 1292, 1327, 1338, 1348 1352, 1359, 1368, 1379, 1397, 1406, 1425, 1437, 1438, 1441, 1458 1483, 1488, 1499, 1505, 1509, 1519, 1541, 1543, 1548, 1549, 1610 1620, 1625, 1638, 1639, 1658, 1673, 1682, 1720, 1729, 1737, 1752,
1757, 1783, 1796, 1809, 1828, 1834, 1871, 1881, 1936, 1949, 2007. Com os valores amostrais acima, calcule a estimativa de MV da confiabilidade dessa lâmpada elétrica, quando utilizada por 1600 horas de operação, admitindo-se que a duração da vida seja normalmente distribuída.
12. Suponha que duas lâmpadas, como explicado no Probl. 14.11, sejam empregadas em (a) ligação em série, e (b) ligação em paralelo. Em cada calcule a estimativa de MV da confiabilidade, para um período de 1600 horas operação do sistema, baseada nos valores amostrais fornecidos no Probl. 14.11.
13. Suponhamos que partículas
sejam emitidas por uma fonte radioativa, de acordo com
uma distribuição de Poisson. Isto é, se
for o número de partículas emitidas durante um
intervalo de minutos, então
Em lugar de registrar-se o
número real de partículas emitidas, suponha-se que registremos o número de vezes em que nenhuma partícula foi emitida. Especificamente, suponhamos que 30 fontes radioativas de mesma potência, sejam observadas durante um período de 50 segundos e que em 25 dos casos ao menos uma partícula tenha sido emitida. Determine a estimativa de MV de , baseada nessa informação.
14. Uma variável aleatória
tem distribuição
. Tomam-se vinte observações de
em vez de se registrar o valor real, somente anotamos se Suponha que o evento
, mas
era ou não era negativo.
tenha ocorrido exatamente 14 vezes. Utilizando essa
informação, determine a estimativa de MV de .
15. Suponha que
Suponha que
tenha uma distribuição gama; isto é, sua fdp seja dada por
seja conhecido, e seja
MV de , baseada nessa amostra.
uma amostra de
. Determine a estimativa de
16. Suponha que
Suponha que
tenha uma distribuição de Weibull, com fdp
seja conhecido. Determine a estimativa MV de ,baseada em uma amostra de
tamanho .
17. Demostre o Teor. 14.3. [Sugestão: Veja o Comentário (a), que se segue a esse teorema.]
18. Compare o valor de
, onde
tem distribuição,
, com
, onde
tem distribuição de Student com: a) 5gl., b) 10gl., c) 15gl., d) 20gl, e) 25gl.
19. Suponha que
tenha distribuição
. Uma amostra de tamanho 30, digamos
, fornece os seguintes valores:
.
Determine um intervalo de confiança de 95% (bilateral) para .
20. Suponha que amostral
tenha distribuição
. Uma amostra de tamanho 25 fornece a média
. Determine um intervalo de confiança de 99 por cento (bilateral) para
.
21. Suponha que a duração da vida de um componente seja normalmente distribuída, Vinte componentes são ensaiados e suas durações até falhar Suponha que
(bilateral) para a confiabilidade
são registradas.
. Determine um intervalo de confiança de 99 por cento .
.
22. Determine um intervalo de confiança de 99 por cento, unilateral inferior para
do
Probl. 14.21.
23. Suponha que
tenha distribuição
, onde
e
são desconhecidos. Uma amostra
de tamanho 15 forneceu os valores
e
intervalo de confiança de 95 por cento. (bilateral) para
. Determine um
.
24. Uma centena de componentes foi ensaiada, e 93 deles funcionaram mais de 500 ho ras. Determine um intervalo de confiança de 95 por cento (bilateral) para [Sugestão: Empregue a Eq. (14.12).]
25. Suponha que· , o comprimento de um parafuso, tenha distribuição
. Um grande
número de parafusos é fabricado e depois separado em duas grandes reservas. A reserva 1 contém somente aqueles parafusos para os quais todos os demais. Uma amostra de tamanho
, enquanto a reserva 2 contém
é tirada da reserva 1 e os comprimentos dos
parafusos escolhidos são medidos. Obtém-se, assim, uma amostra
da variável
aleatória , que é normalmente distribuída, truncada à esquerda de 5. Escreva a equação a ser resolvida a fim de se obter a estimativa de MV de , baseada na amostra em termos das funções tabuladas de distribuição
.
e
, onde
e
é a fd da
26. (Distribuição de e
.) Sejam
e
variáveis aleatórias independentes, tendo distribuições
respectivamente. Seja a variável aleatória
definida da seguinte maneira:
. (Esta variável aleatória desempenha importante papel em muitas
aplicações estatísticas.) Verifique que a fdp de
é dada pela seguinte expressão:
[Esta é a denominada distribuição de F (de Snedecor), com graus de liberdade. Em virtude de sua importância, probabilidades associadas à variável aleatória foram tabuladas.] (Sugestão: Para deduzir a fdp acima, empregue Teor. 6.5.)
De acordo com o Teorema 6.5 PLM (130)
27. Esboce o gráfico da fdp , como está apresentada no Probl. 14.26 supondo que .
28. Um dos motivos da importância da distribuição de
é o seguinte: Suponha que
e
sejam variáveis aleatórias independentes com Sejam
e
amostras aleatórias de
estatística
e
, respectivamente.
e , respectivamente. Então a
tem distribuição
, para uma escolha
apropriada de . Verifique isso e determine C. Quais são os graus de liberdade associados a esta distribuição?
29. Suponha que a variável aleatória tenha distribuição de de Student, com 1 grau de liberdade. Qual será a distribuição de
? Identifique-a.
30. Suponha que obtida e
seja normalmente distribuída. Uma amostra aleatória de tamanho 4 é
, a média amostral, é calculada. Se a soma dos quadrados dos desvios dessas 4
medidas em relação a cento (bilateral) para
for igual a 48, estabeleça um intervalo de confiança de 95 por em termos de
.
31. A seguinte amostra de tamanho 5 foi obtida da variável bidimensional
. Utilizando
esses valores, calcule o coeficiente de corr elação amostral.
32. Suponha que
. Uma amostra de tamanho 50 está disponível, digamos
para a qual
a.
Determine as estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros
e
.
e , a saber
e .
b. Qual é o valor do mínimo da soma de quadrados
?
33. Pode-se supor (erroneamente) que uma estimativa não tendenciosa possa sempre ser
encontrada para um parâmetro desconhecido. Isso não é verdade, como está ilustrado pelo seguinte exemplo. Suponha que
repetições de um experimento sejam realizadas e
um particular evento A ocorra precisamente uma probabilidade constante
vezes. Se tivermos formulado a hipótese de
, de que A ocorra quando o experimento for
realizado, poderemos estar interessados na estimação da razão verificar que nenhuma estimativa não tendenciosa de observação de
resultados , e
. Para
existe [baseada na
resultados ], suponha-se que, de fato, essa
estimativa exista. Isto é, suponha-se que
seja uma estatística para a qual
. Especificamente, suponha-se que
Denotem-se os três valores correspondentes de
, e, portanto,
por ,
.
e . Verifique que
conduz a uma contradição, observando-se o que acontece ao primeiro e ao
segundo membros dessa equação, quando
.
34. Verifique que as estimativas de mínimos quadrados
e , tal como dadas pelas Eqs. (14.7)
e (14.8), são não-tendenciosas.
35. Verifique as expressões de
36. Suponha que
e
tal como estão dadas pelas Eqs. (14.9).
, onde
é preestabelecido. Baseado em uma amostra
, determine as estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros
.
37. Com o auxílio da Tábua 7, obtenha uma amostra de tamanho 20 de variável aleatória que tenha distribuição
a.
.
Suponha que essa amostra tenha sido obtida de uma variável aleatória tenha distribuição
. Empregue os valores amostrais para obter para
um
intervalo de confiança de 95 por cento.
b. O mesmo que em (a), admitindo, porém, que a amostra provenha de distribuição
, com
c.
desconhecido.
Compare os comprimentos dos intervalos de confiança em (a) e (b) comente o resultado.
A diferença se deve a diferença nas áreas sob as curvas normais e T de Student.
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer Capitulo 15 – Testes de Hipótese. Problemas 1.
Suponha-se que
tenha distribuição
contra
propõe-se o seguinte procedimento: Obter uma amostra de tamanho
e rejeitar
sempre que a média amostral
com
conhecido. Para testar
, onde
é uma constante a ser
determinada. a.
Obtenha uma expressão para normal tabulada.
, a função CO, em termos da distribuição
b. Quando o nível de significância dos testes for para
c.
Suponha que
e admita que estejamos testando
. Determine o tamanho da amostra
às condições:
e
(contra
contra
e constante , a fim de satisfazer
.
d. Suponha que os seguintes valores amostrais de
Você rejeitaria cento?
, obtenha uma expressão
.
tenham sido obtidos:
), tal como enunciada em (c), no nível de significância de 5 por
Não rejeitaria, pois se tem 94% de chances de 2.
.
agora, da forma
. Portanto, rejeitaremos
sempre que
Responda às questões (a) e (b) acima.
3.
Considere a situação apresentada no Probl. 15.1, exceto que a hipótese alternativa é,
Suponha que
tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro . Para testar
contra
, o seguinte teste é proposto: Obtenha uma amostra de
tamanho , calcule a média
, e rejeite
sempre que
, onde
é uma constante a
ser determinada. a.
.
Obtenha uma expressão para a função CO do teste acima, a saber Empregue a propriedade reprodutiva da distribuição Poisson.]
. [Sugestão:
b. Esboce o gráfico da função CO.
c.
Suponha que estejamos testando tamanho
é obtida, e rejeitaremos
significância deste teste?
contra
se
. Uma amostra de
. Qual será o nível de
4.
Estabeleça as propriedades da Eq. (15.1) para a função CO: a.
b.
c.
d.
e.
crescente determina que a curva se torne mais íngreme.
.
5.
Verifique as propriedades da função CO:
, tal como foram definida pela Eq. (15.2).
a.
b.
c.
6.
Verifique as propriedades da função CO:
, tal como foram definidas pela Eq. (15.3).
a.
b.
c.
d.
7.
Sabe-se que uma grande partida de voltímetros contém uma certa proporção de defeituosos, digamos . Para testar
Uma amostra de tamanho 5 é obtida e Se
, aceita-se
; se
amostra de tamanho 5. Seja Rejeite-se
se
, o seguinte procedimentos é empregado.
, o número de voltímetros defeituosos, é contado.
, rejeita-se
; e se
, tira-se uma segunda
o número de voltímetros defeituosos na segunda amostra.
, e aceite-se em caso contrário. (Suponha que a partida que está
sendo amostrada seja suficiente grande, de modo que
e
possam ser supostas variáveis
aleatórias independentes e binomialmente distribuídas.)] a.
Obtenha uma expressão para gráfico.
, a função CO do teste acima, e esboce o seu
b. Determine a amplitude do teste acima.
c.
8.
Se
Qual é a probabilidade do erro tipo 2, quando
e
?
, quantos valores possíveis poderá tomar a variável aleatória
, tal como
foi definida na Eq. (15.4)?
9. a.
Calcule o valor esperado da variável aleatória (15.4).
, tal como foi definida na Eq.
b. Como esse valor se compara com o valor esperado (assintótico) de
obtido da
distribuição de qui-quadrado, a qual pode ser empregada para aproximar a distribuição de
, quando
for grande?
10. Três espécies de lubrificantes estão sendo preparados por um novo processo. Cada lubrificante é testado em certo número de máquinas, e o resultado é, depois, classificado
como aceitável ou inaceitável. Os dados da Tab. 15.1 representam o resultado desse experimento. Teste a hipótese de que a probabilidade
de que um lubrificante apresente
um resultado aceitável seja a mesma para todos três lubrificantes. (Sugestão: Inicialmente, calcule
a partir da amostra).
Lubrificante 1 144 56 200
Aceitável Inaceitável Total
Tab. 15.1 Lubrificante 2 152 48 200
Lubrificante 3 140 60 200
11. Ao empregarmos várias leis de falhas, verificamos que a distribuição exponencial desempenha um papel particularmente importante, e, consequentemente, é importante ser capaz de decidir se uma particular amostra de durações até falhar se srcinam de uma
distribuição exponencial básica. Suponha que 335 lâmpadas tenham sido ensaiadas e o seguinte resumo de , sua duração de vida (em horas), esteja disponível: Duração da vida (horas) Número de lâmpadas
82
71
68
A partir das reais durações até falhar, que relatamos, encontrou-se que
62
, a média amostral, é
igual a 123,5 horas. Empregando esta informação, teste a hipótese de que , a duração até falhar seja exponencialmente distribuída.
não tem distribuição exponencial.
12. Suponha que a varável aleatória
tenha a seguinte fdp:
52
Para testar
, o seguinte teste é proposto: Obtenha uma observação de
, e rejeite a.
se
.
Obtenha uma expressão para a função CO deste teste, digamos gráfico.
, digamos
, e trace seu
L 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
b. Qual será a amplitude deste teste se
1.0
?
13. Em uma malha de 165 células, o número de grãos de grafita em cada célula foi contado. Os dados da Tab. 15.2 foram obtidos. Teste a hipótese de que o número de grãos em cada
célula seja uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson. (Sugestão: Reúna as observações
e, também, aquelas
Número de grãos de grafita em uma célula 0 1 2 3 4 5 6
Observados 1 1 5 7 20 34 30
0
0,002
0
.)
Tab. 15.2 Número de grãos de grafita em uma célula 7 8 9 10 11 12
Observados 1
Observados 17 22 21 4 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,013 0,039 0,081 0,126 0,156 0,160 0,141 0,109 0,075 0,046
2 7 13 21 26 26 23 18 12 8
1 5 7 20 34 30 17 22 21 4
11 12
0,026 0,013
4 2
2 1
A hipótese é verdadeira
