APOSTILA DE ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS.pdf

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA – UNOESC ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS PROFESSOR: JACKSON ANTONIO CARELLI

ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS

Análise Matricial de Estruturas Professor: Jackson Antonio Carelli

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                                                                                                                                

SUMÁRIO                                                                                                                                 

LISTA DE FIGURAS ............................................................. .................................................................................... .............................................. ........................... iv LISTA DE TABELAS.............................................. ..................................................................... .............................................. ......................................... .................. v

1

INTRODUÇÃO ............................................ ................................................................... .............................................. ............................................. ...................... 1 1.1 Análise estrutural............................................ ................................................................... .............................................. ......................................... .................. 1 1.2 Análise matricial de estruturas .................................. .......................................................... ............................................... ............................. ...... 1 1.3 Idealização estrutural.............................................. ..................................................................... .............................................. ................................. .......... 2 1.3.1 Definições............................................. .................................................................... .............................................. ......................................... .................. 2 1.4 Divisão em elementos ....................................................... .............................................................................. ............................................. ...................... 3 1.5 Sistemas de coordenadas coordenadas .................................... ........................................................... .............................................. ..................................... .............. 4 1.6 Método das forças e método dos deslocamentos ..................................... ........................................................... ...................... 4 1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade) ............................................. ....................................................... .......... 4 1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez) ri gidez) ........................................... .................................................. ....... 5

2

MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE ........................................... ......................................................... .............. 6 2.1 Relação entre ações e deslocamentos............................................ ................................................................... ................................. .......... 6 2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento .......................... ................................................. .......................... ... 6 2.1.2 Equação do deslocamento em termos da força ................................................. .................................................... ... 6


ii

2.1.3 Relação entre rigidez ri gidez e flexibilidade .............................................. .................................................................... ...................... 7 2.2 Definições................................ ....................................................... .............................................. .............................................. ......................................... .................. 8 2.3 Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e solicitada por esforço normal........................................................ ............................................................................... .............................................. ................................. .......... 9 2.3.1 Forças em função dos deslocamentos ......................... ................................................ ......................................... .................. 9 2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura ............................................ ........................................................ ............ 10 2.3.3 Deslocamentos em função das forças............................................. ................................................................. .................... 11 2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura.............................................. ................................................ 12 2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura .................. .................. 13 2.4 Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano ........................ ................................ ........ 14 2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez ............................................ .................................................... ........ 15

3

MÉTODO DA RIGIDEZ............................................ RIGIDEZ................................................................... .............................................. ............................ ..... 22 3.1 Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano ............................ ................................................... ......................... 22 3.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - SG ........................................... ........................................... 24 3.3 Vetor de ações nodais equivalentes........................................... .................................................................. ................................... ............ 25 3.4 Sistema de equações de equilíbrio para estrutura não-restritingida (sem apoios)........ 28 28 3.5 Montagem da matriz de rigidez r igidez da estrutura ............................................ ................................................................ .................... 29 3.5.1 Regra da correspondência correspondência ............................................... ...................................................................... ................................... ............ 30 3.6 Montagem do vetor de ações da estrutura ............................................ ................................................................... ......................... 33 3.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida .................................... .................................... 36 3.7.1 Técnica da reordenação ........................................... .................................................................. ........................................... .................... 36 3.8 Cálculo dos esforços nas n as extremidades dos elementos ................................ ................................................ ................ 39


iii


iv

                                                                                                

LISTA DE FIGURAS                                                                                                 

Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada ........................................................................... 3 Figura 1.2 – Inserção de nó fictício ............................................................................................ 3 Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por esforço normal.................................................................................................................... 9 Figura 3.1 – Ações locais de engastamento perfeito - A LEP (elemento de viga) ...................... 26 Figura 3.2 – Ações nodais equivalentes – (-A LEP) ................................................................... 27 Figura 3.3 – Exemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano)............................... 29 Figura 3.4 – Exemplo regra da correspondência (pórtico plano) ............................................. 31 Figura 3.5 – Exemplo montagem vetor de ações da estrutura ................................................. 34


v

                                                                                                

LISTA DE TABELAS                                                                                                 

Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares .......................................................................... 21 Tabela 3.1 – correspondência entre sistemas para elemento 3 ................................................. 31


1

1 INTRODUÇÃO

1.1

Análise estrutural Definido o sistema construtivo e o material a ser empregado, a análise estrutural e a

primeira etapa de um projeto estrutural. O objetivo da análise estrutural e, à partir de uma estrutura, com características geométricas e mecânicas conhecidas, submetida a ações (cargas ou deformações impostas), determinar os deslocamentos (translações e /ou rotações) de todos os seus pontos, os esforços internos e as reações de apoio. A análise estrutural é classificada como linear, quando a estrutura tem comportamento linear, e não-linear, em caso contrário. Para que uma estrutura tenha comportamento linear, ela deve sofrer pequenos deslocamentos e deformações específicas e seu material deve ser elástico-linear (validade da Lei de Hooke). Isto permite a aplicação do princípio da “superposição dos efeitos”.

1.2

Análise matricial de estruturas A análise matricial de estruturas é um tópico da análise estrutural, em que as equações

que regem o problema a resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de deformações, dependendo do método utilizado (método das forças ou método dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais adequado para implementação computacional. O objetivo desta disciplina é a modelagem e análise estática linear de estruturas reticuladas(constituídas por elementos onde uma dimensão predomina em relação às outras duas – barras), utilizando principalmente o método dos deslocamentos com formulação matricial, capacitando os alunos a utilizar de maneira racional os programas de análise estrutural e a desenvolverem seus próprios programas.


1.3

2

Idealização estrutural

1.3.1 Definições ⇒

Graus de liberdade

São as variáveis envolvidas no processo de análise de uma estrutura. Quando se trata do método dos deslocamento, por exemplo, os graus de liberdade são as deformações (deslocamentos e/ou rotações) dos nós da estrutura. ⇒

Sistemas contínuos

Sistemas contínuos são aqueles compostos por uma infinidade de pontos materiais e que possuem portanto um número infinito de graus de liberdade. ⇒

Sistemas discretos

Sistemas discretos são aqueles que possuem um número finito de pontos materiais e portanto um número finito de graus de liberdade.

A maioria das estruturas consistem de uma montagem de diferentes elementos estruturais conectados entre si por ligações contínuas ou discretas. O passo mais importante na análise matricial de estruturas é a formulação de um modelo matemático de elementos discretos equivalente à estrutura contínua real. Este modelo é necessário a fim de se obter um sistema com um número finito de variáveis (graus de liberdade) nos quais as operações de álgebra matricial poderão ser realizadas. À formulação de tal modelo chama-se de idealização estrutural.


3

Estrutura contínua

Estrutura discretizada

Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada

1.4

Divisão em elementos As estruturas estudadas nesta disciplina serão divididas em elementos de dimensão

finita, ligados entre si por pontos nodais (nós) aonde se supõem concentradas todas as forças de ligação entre elementos. As ações e deslocamentos serão discretizados nos nós e a composição destes elementos para constituir a estrutura resultará em um sistema de equações algébricas que será tratado matricialmente. Em geral um nó é constituído pelas ligações entre barras, extremidades livres, pontos de vinculação, no entanto, um nó fictício poderá, por conveniência do problema, ser inserido em qualquer ponto da estrutura, por exemplo no meio de uma barra qualquer (neste caso estaríamos dividindo a barra em duas). 6

5 4

Nó fictício

Figura 1.2 – Inserção de nó fictício


1.5

4

Sistemas de coordenadas Com o fim de identificar e ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e

momentos) e os deslocamentos (lineares ou angulares) existentes nos nós de uma estrutura integrada (montada, contínua) ou nas extremidades de um elemento (isolado, quando subdividida a estrutura – “estrutura discretizada”), torna-se imprescindível a determinação de um sistema de coordenadas arbitrário. Na verdade, serão necessários dois sistemas de coordenadas chamados de Sistema de

Coordenadas Globais e Sistema de Coordenadas Locais. O sistema de coordenadas globais refere-se aos graus de liberdade da estrutura como um todo, ou seja estrutura montada, já o sistema de coordenadas locais refere-se aos graus de liberdade dos elementos discretizados, ou seja, das partes da estrutura.

1.6

Método das forças e método dos deslocamentos

1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade) No método das forças determinam-se diretamente os esforços (forças) e indiretamente, isto é, a partir destes, os deslocamentos. Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura hiperestática, ou seja, qualquer estrutura estaticamente indeterminada. A estrutura é modificada por meio de liberações ou cortes, tornado-a isostática (este sistema é chamado de principal) O sistema de equações que resolve o problema á constituído por equações de compatibilidade de deformações; as incógnitas são os esforços nas liberações ou cortes. O número de equações (incógnitas) é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura. Para analisar uma estrutura podem ser adotados uma infinidade de sistemas principais. A a escolha do sistema mais conveniente depende da experiência do analista.


5

1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez) Neste método determina-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, por meio destes, os esforços. Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura isostática ou hiperestática. A única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a composta de uma única barra bi-engastada. A estrutura é modificada introduzindo-se fixações de forma a torná-la cinematicamente determinada (sistema principal). O sistema de equações que resolve o problema é constituído por equações de equilíbrio de forças em torno destas fixações. As incógnitas são os respectivos deslocamentos (rotações e/ou translações). No caso de estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os deslocamentos possíveis dos nós (denominados graus de liberdade). O número de equações é igual ao grau de indeterminação da estrutura, ou seja, é igula ao número de graus de liberdade da estrutura. Adotando-se este sistema principal único desaparece o problema da escolha do sistema principal do Método das Forças, por este motivo o Método dos Deslocamentos é o mais adequado, e praticamente o único utilizado para implementação computacional em Análise de Estruturas.


6

2 MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE

2.1

Relação entre ações e deslocamentos

2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento

F = k ⋅ u

(2.1)

Onde a rigidez da mola (k) é a força por unidade de deslocamento, ou seja, é a força requerida para produzir um deslocamento unitário na mola.

2.1.2 Equação do deslocamento em termos da força

u=δ

u = δ δ ⋅ F

(2.2)


7

Onde δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de flexibilidade, sendo o deslocamento por unidade de força, ou seja, é o deslocamento produzido pela aplicação de uma força de valor unitário.

2.1.3 Relação entre rigidez e flexibilidade

1

δ δ =

(2.3)

k

Se ao invés de uma mola tivermos uma barra contínua (como a viga de um edifício, por exemplo), porém discretizada, ou seja, com um número finito de graus de liberdade (neste caso apenas um) de acordo com a resistência dos materiais podemos dizer:

σ σ = E ⋅ ε ε

σ σ =

(2.4)

F

(2.5)

Comparando-se (2.4) com (2.5) tem-se: F

= E ⋅ ε ε

A

ε ε =

∆l

=

l 0

u L

(2.6)

(2.7)

Substituindo-se (2.7) em (2.6) tem-se: F

= E ⋅

u L

(2.8)


8

Ou:

F =

E ⋅ A

⋅u

(2.9)

L

Comparando-se (2.9) com (2.1) conclui-se que o coeficiente de rigidez da barra é:

k =

E ⋅ A L

(2.10)

Logo, o coeficiente de flexibilidade da barra é dado por:

δ δ =

L

⋅ A

(2.11)

Nesta disciplina será adotada a seguinte notação: o termo coeficiente de rigidez será indicado pela letra “S” e o coeficiente de flexibilidade pela letra “C”

2.2

Definições ⇒

Sij – Coeficiente de rigidez:

Representa a ação (força) na direção i causado por um deslocamento unitário na direção j (enquanto todos os outros deslocamentos são impostos como nulos). ⇒

Cij – Coeficiente de flexibilidade:

Representa o deslocamento na direção i causado por uma ação (força) de valor unitário na direção j (enquanto todas as outras são nulas).


2.3

9

Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e solicitada por esforço normal

2.3.1 Forças em função dos deslocamentos

Sistema de coordenadas globais

E2A2L2

S11 u1=1 S12

S21 u2=0

S22

u1=0

u2=1

Coeficientes de rigidez (Sij)

Coeficientes de rigidez (Sij)

Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por esforço normal

Neste caso são conhecidas as ações que atuam nas coordenadas 1 e 2 (A 1 e A2) e os coeficientes de rigidez (S11, S 12, S 21 e S22), que devem ser obtidos previamente, desejando-se obter os deslocamento nas coordenadas 1 e 2 (u 1 e u2). Para que o nó da coordenada 1 esteja em equilíbrio a força externa deve ser igual ao somatório das forças internas resultantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrutura, ou seja: A1 = S11 ⋅ u1 + S12 ⋅ u2

(2.12)

O mesmo pode ser dito com relação ao nó da coordenada 2: A2 = S 21 ⋅ u1 + S 22 ⋅ u2

(2.13)


10

Unindo as equações (2.12) e (2.13), pode-se, matricialmente escrever:

 A1   S11  =  A2   S 21

S12 

 u1   ⇒ { A} = [S ]⋅ {u} S 22   u2  ⋅

(2.14)

onde:

{A} é o vetor das ações externas (solicitações); {u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2; [S] é a matriz de rigidez da estrutura em estudo, de dimensões (2x2), correspondente ao número de coordenadas utilizadas. A matriz de rigidez é uma matriz de transformação linear: transforma o vetor dos deslocamentos no vetor das ações.

2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura A matriz de rigidez da estrutura pode ser obtida pela conceituação de seus coeficientes, e das relações existentes na haste submetida à carregamentos axiais.

S11 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário também na coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.

 u1 = 1  E1 ⋅ A1    E 2 ⋅ A2      = + S ⇒  11   u2 = 0   L1    L2  S21 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.

 u1 = 1   E 2 ⋅ A2   ⇒ S 21 = −  u2 = 0   L2 


11

S12 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.

u1 = 0 ⇒ S12  u = 1  2

  E 2 ⋅ A2   L    2 

= − 

S22 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.

u1 = 0 ⇒ S 22  u2 = 1

  E 2 ⋅ A2   L    2 

= 

Obtendo-se assim a matriz de rigidez da estrutura:

  E1 ⋅ A1 E 2 ⋅ A2   +  L L  1 2  [S ] =  E ⋅ A2  − 2  L2 

−

E 2 ⋅ A2  L2

E 2 ⋅ A2 L2

    

2.3.3 Deslocamentos em função das forças No item 2.3.1 foram determinadas as forças (ou ações) da estrutura em estudo em função dos deslocamentos. De forma análoga pode-se determinar os deslocamentos em função das forças. Neste caso, ao invés da imposição de um deslocamento unitário com posterior determinação das forças equivalentes, deve-se impor uma força unitária com

posterior determinação dos deslocamentos equivalentes. Desta forma chega-se às seguintes equações de equilíbrio para os nós da estrutura: u1 = C 11 ⋅ A1 + C 12 ⋅ A2

(2.15)

u2 = C 21 ⋅ A1 + C 22 ⋅ A2

(2.16)


12

Unindo as equações (2.15) e (2.16), pode-se, matricialmente escrever:

 u1  C 11  = u2  C 21

C 12 

 A1  ⋅  ⇒ {u} = [C ]⋅ { A}  C 22   A2 

(2.17)

onde:

{A} é o vetor das ações externas (solicitações); {u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2; [C] é a matriz de flexibilidade da estrutura em estudo, de dimensões (2x2), correspondente ao número de coordenadas utilizadas.

2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura A matriz de flexibilidade da estrutura pode ser obtida de forma análoga ao apresentado no item 2.3.2, ou seja, pela conceituação de seus coeficientes, ou pela inversão da matriz de rigidez, já encontrada. Invertendo-se a matriz de rigidez (S), obtém-se a matriz de flexibilidade da estrutura:

 L1  E ⋅ A [C ] =  1 1  L1  E1 ⋅ A1 

  E1 ⋅ A1     L1  L2    +   E1 ⋅ A1 E 2 ⋅ A2  L1

Muitas vezes é mais fácil determinar inicialmente a matriz de flexibilidade para em seguida, através da inversão desta, obter a matriz de rigidez, caso por exemplo da determinação da matriz de rigidez de uma barra com inércia variável.


13

2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura A mesma matriz de rigidez já encontrada para a estrutura em questão poderia também ser obtida mediante analise de cada uma das barras isoladamente, conforme seque. Análise da primeira barra

⇒

E1A1L1

u1 =

S11 u1=1

S11 ⋅ L1 E1 ⋅ A1

S11 =

=1

E1 ⋅ A1 L1

Como a primeira barra apresenta apenas um grau de liberdade coincidente com os graus de liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 1 x 1:

S1 =

 E1 ⋅ A1   L   1 

Análise da segunda barra

⇒

u1 = 1 ; u2 = 0 S11

S21 u1 =

E2A2L2

S11 ⋅ L2 E 2 ⋅ A2

S11 =

u1=1

=1

E 2 ⋅ A2 L2

ΣS ii x = 0 S11 + S 21 = S 21 = −

0

E 2 ⋅ A2 L2

u1 = 0 ; u2 = 1

S12

S22 E2A2L2

u2 =

S 22 ⋅ L2 E 2 ⋅ A2

S 22 =

u2=1

=1

E 2 ⋅ A2 L2

ΣS ii x =

0

S12 + S 22 = S12 = −

0

E 2 ⋅ A2 L2


14

Como a segunda barra apresenta dois grau de liberdade coincidentes com os graus de liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 2 x 2:

S2

 E 2 ⋅ A2  L 2 =  − E 2 ⋅ A2  L2

−

E 2 ⋅ A2  L2

E 2 ⋅ A2 L2

   

Somando-se as matrizes de rigidez da primeira e da segunda barras tem-se:

S1 + S 2

 E1 ⋅ A1 =  L 1   0

 E 2 ⋅ A2   0 L2 + E ⋅ A  0  − 2 2  L2

−

  E1 ⋅ A1 E 2 ⋅ A2    L + L  2   1  =  E 2 ⋅ A2   −   L2

E 2 ⋅ A2  L2

E 2 ⋅ A2 L2

−

E 2 ⋅ A2  L2

E 2 ⋅ A2 L2

Ou seja, chega-se ao mesmo resultado. Para este exemplo simples talvez a primeira forma para determinação da matriz de rigidez seja mais simples, porém, para estruturas com grande número de graus de liberdade a segunda maneira (dividir a estrutura em elementos simples) é, sem dúvida, a melhor opção.

2.4

Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano Um elemento de pórtico plano é na verdade uma barra que possui um nó em cada uma

de suas extremidades. Cada um dos nós de um elemento de pórtico plano apresenta três graus de liberdade, uma translação vertical, uma translação horizontal e uma rotação. A matriz de rigidez do elemento será referenciada à um sistema de coordenadas locais, onde o eixo “ XL” coincide com o eixo do elemento, o eixo “ YL” é perpendicular à “X L” e o eixo “ZL” é perpendicular ao plano formado por “X L” e “YL”.

    


15

uL6 uL4 K

YL uL3 J uL2

uL1

Elemento (i)

uL5

(i)

nó inicial – J

XL

nó final – K

ZL Sistema local é definido pela incidência do elemento: eiso “ XL” de J para K. Vetor de deslocamentos no sistema local: [uL](6x1) Ações devido aos deslocamento nodais: [AL] = [SL].[uL]

2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez Seja o elemento restringido abaixo. Inicialmente vamos determinar as equações que regem os deslocamentos em uma das extremidades do elemento. Para tanto deve-se considerar a extremidade em questão não restringida e a partir daí, com auxílio do método da carga unitária serão definidas as equações.

uL6

uL3 uL1 J uL2

Liberando

E-A-I L

uL4

K uL5

os

deslocamentos do nó J, uL6

uL3 uL1 J uL2

E-A-I L

K uL5

uL4


16

cujos graus de liberdade são “u L1, uL2, e uL3”, tem-se:

Aplicando-se cargas unitárias nas direções agora liberadas tem-se os seguintes diagramas de momentos fletores (DMF’s) e diagramas de esforços normais (DEN’s):

F1=1

F1=1

nulo DMF (1)

DEN (1) 1

DMF (2)

nulo DEN (2)

+ L

F2=1 1 -

F3=1

F2=1

F3=1

DMF (3)

nulo DEN (2)

L Comparando-se os diagramas obtém-se:

δ δ 11 =

0 E ⋅ I

δ δ 12 = δ δ 21 =

+

1 ⋅ 1 ⋅ L E ⋅ A

0 E ⋅ I

δ δ 13 = δ δ 31 = 0 +

+

=

L E ⋅ A

0 E ⋅ A

0 E ⋅

=

=0

0

δ δ 22 =

L ⋅ L ⋅ L

3 ⋅ E ⋅ I 3 ⋅ E ⋅ I 2 1 ⋅ L ⋅ L L +0=− δ δ 23 = δ δ 32 = 2 ⋅ E ⋅ I 2 ⋅ E ⋅ I 1 ⋅ 1 ⋅ L L +0= δ δ 33 = E ⋅ I

Como não existe carregamento externo na estrutura, os termos ficando o sistema da seguinte forma:

+0=

3

L

E ⋅ I

δ10, δ20

e δ30 são nulos,


17

δ 10 + δ δ 11 ⋅ S1 + δ δ 12 ⋅ S 2 + δ δ 13 ⋅ S 3 = u L1  δ  δ 20 + δ δ 21 ⋅ S1 + δ δ 22 ⋅ S 2 + δ δ 23 ⋅ S 3 = u L2 δ δ δ 31 ⋅ S1 + δ δ 32 ⋅ S 2 + δ δ 33 ⋅ S 3 = u L3 δ 30 + δ

L  + ⋅ S1 + 0 ⋅ S 2 + 0 ⋅ S 3 = u L1 0  E ⋅ A  3 2 L L  ⋅ S2 − ⋅ S 3 = u L2 0 + 0 ⋅ S1 + 3 ⋅ E ⋅ I 2 ⋅ E ⋅ I  2  0 + 0 ⋅ S − L ⋅ S + L ⋅ S = u 1  2 ⋅ E ⋅ I 2 E ⋅ I 3 L3

L  ⋅ S1 + 0 ⋅ S 2 + 0 ⋅ S 3 = u L1  E ⋅ A  3 2 L L  ⋅ S2 − ⋅ S 3 = u L2 0 ⋅ S1 + 3 ⋅ E ⋅ I 2 ⋅ E ⋅ I  2  0 ⋅ S − L ⋅ S + L ⋅ S = u 1  2 ⋅ E ⋅ I 2 E ⋅ I 3 L3

Lembrando que um coeficiente de rigidez é na verdade uma força que aplicada na direção de um grau de liberdade causa uma deformação unitária nesta direção, mantidas todas as demais fixas. Assim, basta impor uma deformação unitária em cada uma das equações acima mantendo as outras duas nulas e serão obtidos alguns dos coeficientes de rigidez de rigidez do elemento (a condição de deformações nulas nas direções u L4, uL5 e uL6 é assegurada pelo engaste). Impondo uL1 = 1; uL2 = 0 e uL3 = 0; obtém-se:

S1 = EA/L;

S2 = 0;

S3 = 0

Estes coeficientes são devidos à imposição de um deslocamento unitário na direção u L1, portanto pode-se escrever em lugar de S1, S11, em lugar de S2, S21 e em lugar de S3, S31. Impondo uL1 = 0; uL2 = 1 e uL3 = 0; obtém-se: Ou, de forma análoga, S12 = 0;

S1 = 0;

S22 = 12EI/L3;

são devidos à um deslocamento unitário na direção u L2.

S2 = 12EI/L3;

S3 = 6EI/L2

S32 = 6EI/L2, pois estes coeficientes


18

Impondo uL1 = 0; uL2 = 0 e uL3 = 1; obtém-se: Ou:

S13 = 0;

S23 = 6EI/L2;

S1 = 0;

S2 = 6EI/L2;

S3 = 4EI/L

S33 = 4EI/L

Assim ficam determinados todos os coeficientes chamados SJJ, ou seja, os coeficientes que surgem no nó “J” (esforços) devido à imposição de deformações unitárias neste mesmo nó. Resta agora determinar os coeficientes que surgem no nó “K” devido à imposição de deformações unitárias no nó “J”, ou SKJ, os coeficientes que surgem no nó “K” devido à imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SKK, e os coeficientes que surgem no nó “J” devido à imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SJK. Antes porém, alguns comentários são importantes. Analisando os coeficientes já determinados pode-se observar que os efeitos causados por deformações axiais interferem nos efeitos causados por deformações de flexão, e vice-versa, ou seja, as deformações axiais e de flexão são independentes, desde que sejam verificados pequenos deslocamentos na estrutura (caso contrário a estrutura apresentará efeitos de segunda ordem, não contemplados no estudo desta disciplina). Outra observação que se faz é com relação à simetria dos coeficientes, S23 = S 32. Esta é uma característica das matrizes de rigidez (e de flexibilidade também) em geral, elas são simétricas, portanto pode-se dizer que SJK = SKJ. Com estas observações pode-se prosseguir na determinação dos demais coeficientes de rigidez, da seguinte maneira: inicialmente, por equilíbrio do elemento serão determinados os coeficientes SJK, na seqüência, por simetria serão determinados os coeficientes SKJ e por fim, novamente por equilíbrio serão determinados os coeficientes SKK.


19

uL4 = 1

uL1 = 1 SL11

E-A-I L

J

SL64

SL34

SL61

SL31

SL14 K

uL1=1

J

SL41

K

SL24

SL32

SL65 SL35

SL62 J

E-A-I L

K

L

J

SL42 SL52

uL6 = 1 SL36

SL63 E-A-I J uL3=1 L

SL23

SL55

SL25

uL3 = 1 SL33

SL45 uL5=1

K

E-A-I

SL15

SL22

SL13

SL54

uL5 = 1

uL2 = 1 SL12 uL2=1

SL44

uL4=1

SL51

SL21

E-A-I L

SL66 E-A-I

K

SL16

SL43 SL53

J

L uL6=1 K

SL26

SL46 SL56

Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKJ à partir de SJJ: (mais 09 coeficientes):

SL4J

SL5J

SL6J

SL41 = - SL11

SL51 = 0

SL61 = 0

SL42 = 0

SL52 = - SL22

SL62 = - SL32 + SL22.L

SL43 = 0

SL53 = - SL23

SL63 = - SL33 + SL23.L


20

Por simetria encontram-se os coeficientes SJK = SKJ: (mais 09 coeficientes):

SL1K

SL2K

SL3K

SL14 = SL41

SL24 = SL42

SL34 = SL43

SL15 = SL51

SL25 = SL52

SL35 = SL53

SL16 = SL61

SL26 = SL62

SL36 = SL63

Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKK à partir de SJK: (mais 09 coeficientes):

SL4K

SL5K

SL6K

SL44 = - SL14

SL54 = 0

SL64 = 0

SL45 = 0

SL55 = - SL25

SL65 = - SL35 + SL25.L

SL46 = 0

SL56 = - SL26

SL66 = - SL36 + SL26.L

Assim, fica determinada a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano:

 EA  L   0   0  [S ] =  EA −  L  0    0 

0 12 EI 3

−

0

−

6 EI 2

L 6 EI

L 4 EI

2

L

L

0 12 EI

0 6 EI

3

−

2

L 6 EI

L 2 EI

2

L

L

EA L

0 12 EI

0

−

0

−

EA L

0 0

3

L 6 EI

2

L

0 12 EI 3

−

L 6 EI

2

L

0 

6 EI 

 L  2 EI  L   0   6 EI  − 2 L  4 EI   L  2

Para este elemento pode-se agora definir uma correlação entre ações (forças) e deslocamentos:


21

[A] = [S]⋅ [u]

(2.18)

Apesar de deduzido para o sistema de coordenadas locais, esta expressão é geral, portanto válida também para o sistema de coordenadas globais assim como para outros elementos. Com o mesmo procedimento adotado, ou então calculando inicialmente a matriz de flexibilidade e posteriormente invertendo-a pode-se determinar as matrizes de rigidez de outros elementos estruturais, como o de uma viga, o de uma treliça, entre outros, como pode ser observado na Tabela 2.1

Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares

TRELIÇA

VIGA


22

3 MÉTODO DA RIGIDEZ

3.1

Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano Até agora os tópicos vistos limitaram-se ao sistema de coordenadas locais. Entretanto,

nas estruturas em geral os elementos constituintes não possuem uma mesma inclinação (vigas e pilares, por exemplo) o que faz com que o sistema local de um não coincida com o sistema local de outro, sendo então necessário rescrever as matrizes de rigidez dos elementos em função de um único sistema de coordenadas, o global. Isto será feito com auxílio de uma matriz chamada matriz de rotação, que será deduzida a seguir, para um elemento de pórtico plano. Seja, portanto, um elemento de pórtico plano, cujos nós tem, conforme já citado, três graus de liberdade, representado abaixo:

uL6 YL

J

uG6

YG

XL

uL5

θ(+)

uL2 Sistema Local

uG4 K

K

uL3 uL1

uL4

uG5 uG3

uG1

J

XG

uG2 Sistema Global

Onde θ é o ângulo do eixo global para o eixo local, positivo no sentido anti-horário;

[uL] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local e [uG] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema global.

Decompondo [uG] na direção [uL], tem-se:


23

Para o nó J : u L1 = u G1 ⋅ cosθ θ + u G2 ⋅ senθ θ u L2 = - u G1 ⋅ senθ θ + u G2 ⋅ cosθ θ u L3 = u G3

Para o nó K : u L4 = u G4 ⋅ cosθ θ + u G5 ⋅ senθ θ u L5 = - u G4 ⋅ senθ θ + u G5 ⋅ cosθ θ u L6 = u G6

Estas equações pode ser escritas de forma matricial conforme segue:

senθ θ θ u L1   cos θ u  − senθ θ cos θ θ  L2   u L3   0 0 =    0 u L4   0 u L5   0 0    0 u L6   0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos θ θ − senθ θ

0

0 0 0 senθ θ

cos θ θ 0

0 u G1  0 u G2  0 u G3   ⋅ 0 u G4  0 u G5     1 u G6 

ou,

[u L ] = [R ]⋅ [uG ]

(3.1)

onde [R] é a matriz de rotação do elemento do sistema global para o local. À partir de (3.1) é possível escrever:

[uG ] = R -1 ⋅ [u L ] como [R] é uma matriz ortogonal:

R -1

=

RT

logo,

[uG ] = R T ⋅ [u L ]

(3.2)


24

O mesmo resutado obtido com a utilização da matriz de rotação inversa ou transposta poderá ser obtido com a simples utilização da matriz de rotação, desde que se considere o ângulo com sinal negativo (- θ)

3.2

Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - S G À partir da expressão dada em (2.18) que informa as ações nas extremidades do

elemento devido aos deslocamentos nodais, apenas (supondo o elemento sem carga), pode-se dizer que:

[A L ] = [S L ] ⋅ [u L ]

(3.3)

[A G ] = [SG ]⋅ [u G ]

(3.4)

e

Assim como os deslocamentos globais e locais, as ações locais e globais também correlacionam-se pela matriz de rotação [R] pelas seguintes expressões:

[A L ] = [R ]⋅ [A G ]

(3.5)

[AG ] = R T ⋅ [A L ]

(3.6)

Substituindo (3.1) em (3.3) tem-se:

[A L ] = S L ⋅ [R ]⋅ [u G ] Pré-multiplicando (3.7) por [RT], tem-se:

(3.7)


25

R T ⋅ [A L ] = R T ⋅ S L ⋅ [R ]⋅ [uG ]

(3.8)

como,

R T ⋅ [A L ] = [A G ]

[AG ] = R T ⋅ S L ⋅ [R ]⋅ [uG ]

(3.9)

Substituindo (3.4) em (3.9) tem-se:

[SG ] ⋅ [uG ] = R T ⋅ S L ⋅ [R ]⋅ [uG ]

(3.10)

Simplificando a expressão (3.10) resulta:

[SG ] = [R T ]⋅ [[S L ]⋅ [[R ] 3.3

(3.11)

Vetor de ações nodais equivalentes Até o presente momento estudou-se a correlação entre deslocamentos nodais e ações

aplicadas nos nós de um elemento estrutural. Esta correlação é expressa no sistema local, conforme já citado, da seguinte forma:

[A L ] = [S L ]⋅ [u L ] Ou seja, conhecidos os deslocamentos dos nós é possível determinar as ações atuantes nestes nós e vice-versa.


26

No entanto, toda a dedução até aqui apresentada não levou em consideração a existência de carregamentos (distribuídos ou concentrados) aplicados ao longo dos elementos. Nestes casos será necessário calcular as chamadas ações nodais equivalentes e aplicar o princípio da superposição dos efeitos. Seja por exemplo o elemento de viga mostrado na Figura 3.1. Nesta figura estão indicadas as ações (ou reações) de engastamento perfeito do elemento submetido à um carregamento uniformemente distribuído. Estas ações de engastamento perfeito atuam nas extremidades do elemento e compõem, juntamente com a parcela de esfoços devidos aos deslocamentos nodais, as ações totais na extremidade do elemento, conforme indica a equação

(3.12), onde [ALEP] é o vetor de Ações Locais Engastamento Perfeito.

Figura 3.1 – Ações locais de engastamento perfeito - A LEP (elemento de viga)

[A L ] = [A LEP ]+ [S L ]⋅ [u L ]

(3.12)

onde:

[AL] - é o vetor de Ações Locais aplicadas diretamente nos nós; [ALEP] - é o vetor de Ações Locais de Engastamento Perfeito nas extremidades do elemento;

[SL]. [uL] - é o vetor de Ações Locais devido aos deslocamentos nodais nas extremidades do elemento.

A igualdade entre os dois membros indica o equilíbrio entre forças aplicadas nos nós e forças aplicadas nas extremidades dos elementos.


27

Como no processo de resolução de uma estrutura [AL] e [A LEP] são valores conhecidos e [uL] é a incógnita, é interessante deixar os termos conhecidos no mesmo lados da equação, que resulta:

[A L ] − [A LEP ] = [S L ]⋅ [u L ]

(3.13)

Ou seja, passando [ALEP] para o outro lado da equação, obtém-se -[ALEP], que corresponde a passar as ações das extremidades do elemento para os nós do elemento, obtendo assim as ações nodais equivalentes, conforme mostra a Figura 3.2

Ações nos Ações nas extremidades nós: do elemento: (-ALEP) (ALEP)

Ações nos nós: (-ALEP)

Figura 3.2 – Ações nodais equivalentes – (-A LEP)

Entretanto, a equação de equilíbrio dos nós não é feita no sistema local, e sim no global, ou seja, deve-se transformar o vetor ações de engastamento perfeito. Esta transformação nada mais é do que uma rotação do elemento do sistema local para o global, realizada com o auxílio da matriz de rotação transposta [RT], definida no item 3.1 para elemento de pórtico plano.

[A GEP ] = [R T ]⋅ [[A LEP ]

(3.14)


28

O vetor de ações de engastamento perfeito da estrutura [A*EP] deve ser montado considerando a influência de todos os elementos constituintes, ou seja:

[

nelm

] ∑ A(i)GEP 

A*EP =

(3.15)

i =1

onde, “nelm” corresponde ao número de elementos da estrutura.

3.4

Sistema de equações de equilíbrio para estrutura não-restritingida (sem apoios) O sistema de equações de equilíbrio de uma estrutura pode ser escrito como na equação

(3.12), porém agora não mais no sistema local, mas sim de uma forma geral:

[A] = [A EP ]+ [S]⋅ [D]

(3.16)

onde:

[A] - é o vetor de ações aplicadas nos nós; [AEP] - é o vetor de ações engastamento perfeito nas extremidades dos elementos;

[S] - é a matriz de rigidez da estrutura; [D] - é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura; [S]. [D] - é o vetor de ações devido aos deslocamentos nodais.

A equação (3.16) pode ser rescrita para a estrutura não restringida (sem apoios):

[A* ] =  A*EP  + [S* ]⋅ [D* ]

(3.17)

Estes sistemas de equações devem ser considerados no sistema global em relação aos GL dos nós da estrutura, que devem ser numerados seqüencialmente.


29

A montagem da matriz de rigidez da estrutura deve levar em consideração a influência da matriz de rigidez de todos os elementos no sistema global. A relação entre os GL dos elementos e os GL da estrutura será feita através da Regra da Correspondência.

3.5

Montagem da matriz de rigidez da estrutura A matriz de rigidez de uma estrutura é montada a partir das matrizes de rigidez no

sistema global dos elementos que compõem esta estrutura:

[S ] = *

nelm

∑ S(i)G  = i =1

nelm

 R (i)T  ⋅ S (i)  ⋅ [R (i) ] ∑    L  i =1

(3.18)

onde: “nelm” é o número de elementos da estrutura.

Exemplo: pórtico plano com 04 elementos e 05 nós, portanto, com um total de 15 graus de liberdade, ou seja, uma matriz de rigidez de15 x 15. D12

4 4

Y

5

1

2

1 Z

2 X

D11

D15 D10

D14

D13

3

3

D3 D2

D6 D1

D5

D9 D4

D8

D7

Figura 3.3 – Exemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano)

No nó 5 por exemplo, concorrem três elementos, (2), (3) e (4). Destes, o elemento (4) apresenta sistema local coincidindo com global, os demais necessitam de uma transformação do vetor de deslocamentos do sistema local para o sistema global. A direção do GL 15 da estrutura ( D15, que é o terceiro grau de liberdade do nó 5), correspondem as direções: - 6 do elemento (2);

- 3 do elemento (3);

- 6 do elemento (4).


30

A direção do GL 13 da estrutura ( D13, que é o primeiro grau de liberdade do nó 5), correspondem as direções: - 4 do elemento (2);

- 1 do elemento (3);

- 4 do elemento (4).

Ou seja, o coeficiente S*15,13 da estrutura corresponde à soma das parcelas SG6,4 do elemento (2), SG3,1 do elemento (3) e SG6,4 do elemento (4), ou seja:

(3) (4) + + S*15,13 = S(2) S S G 64 G 31 G 64

3.5.1 Regra da correspondência A regra da correspondência correlaciona a numeração dos deslocamentos das extremidades dos elementos ( [uG] ), com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura ( [D] ). Em cada elemento (i) os deslocamentos são numerados de 1 ate 2 vezes o número de graus de liberdade de um nó. Por exemplo, cada nó de um elemento de pórtico plano possui três graus de liberdade, portanto os deslocamentos são numerados de 1 até 2 x 3, ou seja de 1 até 6. Nesta disciplina o número de graus de liberdade de um nó será designado por “ NGL”, logo, cada elemento (i) terá seus deslocamentos numerados de 1 até 2 x NGL, sendo que os deslocamentos do nó inicial “ J” serão numerados de 1 até NGL e os do nó final “K” serão numerados de NGL + 1 até 2 x NGL . Portanto, para um elemento de pórtico plano os deslocamentos do nó “J” serão numerados de 1 até 3 e os do nó “K” serão numerados de 4 até 6. Na estrutura, os deslocamentos são numerados na ordem dos nós sendo que, em cada nó há “NGL” deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do sistema global. Assim, no nó 1 do exemplo da Figura 3.3 (pórtico plano - NGL = 3) os deslocamentos serão uG1, uG2 e uG3, no nó 2, serão u G4, uG5 e uG6, e assim por diante. No nó 5, portanto, os deslocamentos serão u G13, uG14 e uG15, conforme pode ser observado na Figura 3.3. Exemplo – regra da correspondência: pórtico plano


D12

4

D10 D11 4

Y

1

Z

D15

uG3

5 D13 D14

J uG2

2

D3 1 D2

31

D1

X

D6 2 D5

uG1

3

D4

3 D9 3 D8

uG6 D7

K uG5

uG4

Figura 3.4 – Exemplo regra da correspondência (pórtico plano)

Tomando-se como exemplo o elemento 3 que liga o nó J=5 ao nó K=3, tem-se:

Tabela 3.1 – correspondência entre sistemas para elemento 3 GL da estrutura ( [D*] ) 3J(i) – 2 = 13 3J(i) – 1 = 14 3J(i) = 15 3K(i) – 2 = 7 3K(i) – 1 = 8 3K(i) = 9

GL do elemento (i) ( [uG] ) (ligando J ) a K )) 1 2 3 4 5 6

Por esta correlação pode-se dizer por exemplo que o coeficiente u G2,6 do elemento corresponde ao coeficiente S *14,9 da estrutura, assim como que o coeficiente u G3,1 do elemento corresponde ao coeficiente S *15,13 da estrutura, conforme já se havia citado no item 3.5. Desta forma é possível fazer uso de um vetor que faça a correspondência entre os graus de liberdade do elemento e da estrutura. Este vetor será chamado de JK e, como já indicado na Tabela 3.1, é dado por:


32

JK (i),1 = 3 ⋅ J (i) − 2  3 ⋅ J (i) − 2    (i) (i) = 3⋅ J −1 JK ⋅ − 3 J 1 (i),2   (i)  3⋅J  JK (i),3 = 3 ⋅ J (i) (i) [JK ] =  (i)  ⇒ (i) = ⋅ −2 JK 3 K ⋅ − 3 K 2 (i),4    3 ⋅ K (i) − 1 JK = 3 ⋅ K (i) − 1 (i),5   JK (i),6 = 3 ⋅ K (i)  3 ⋅ K (i)  Para montagem da matriz de rigidez de um pórtico plano, pode-se, como sugestão, adotar o algoritmo apresentado à seguir:

DE I=1 ATÉ NGL FAZER DE J=1 ATÉ NGL FAZER S* (I,J) = 0 FIM

Inicialmente deve-se varrer a estrutura zerando a matriz de rigidez

DE I=1 ATÉ NELM FAZER MONTAR MATRIZ DE ROTAÇÃO DO ELEMENTO ([R]) MONTAR MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DO ELEMENTO ([SL]) MONTAR MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DO ELEMENTO ([SG]) MONTAR VETOR “JK” DO ELEMENTO ([JK]) DE M=1 ATÉ 6 FAZER DE N=1 ATÉ 6 FAZER S* (JK(I,M),JK(I,N) = S* (JK(I,M),JK(I,N) + SG (M,N) FIM

Um elemento S*(I,J) é igual a ele mesmo mais a parcela SG correspondente ao elemento em análise. Isto ocorre porque mais de um elemento ode contribuir ara o termo S* I J


33

Exemplo regra da correspondência: viga contínua – NGL = 2

3.6

Montagem do vetor de ações da estrutura O vetor de ações da estrutura é constituído pela soma de dois outros vetores, [A*] (ações

aplicadas diretamente nos nós) e -[A*EP] (ações provenientes de cargas aplicadas nos elementos - ações nodais equivalentes). O vetor [A*] que está no sistema global está relacionado aos nós da estrutura não estando vinculado a nenhum elemento específico, já o vetor -[A*EP] é obtido levando-se em conta a contribuição de todos os elementos, somando-se os coeficientes [AGEP] dos elementos que concorrem em um mesmo nó, correspondentes ao mesmo GL deste nó. A montagem do vetor -[A*EP] pode ser realizada de forma similar ao apresentado para montagem da matriz de rigidez (item 3.5), ou seja, com auxílio da regra da correspondência, através dos vetores JK dos elementos. Assim, para um certo GL “L” do elemento, tem-se que AGEP(L) vai contribuir para [A*EP(JK(L))].


34

Exemplo: pórtico plano Considerando o elemento 3 do exemplo do item 3.5.1, agora com carregamento aplicado no elemento, de acordo com a Figura 3.5.

J=5

qL2/12

XG

θ

AGEP1 AGEP2

ql/2

q

XL

AGEP3

3

3

[A LEP]

3

[A GEP]

L

AGEP6

qL2/12

K=3

AGEP5

qL/2

AGEP4

Figura 3.5 – Exemplo montagem vetor de ações da estrutura Tem-se:

0    q⋅L 2    2 [ALEP(3) ] =  q ⋅ L0 12     q⋅L 2    2 ⋅ q L 12   Supondo o ângulo θ = 315º teríamos como [A(3)GEP]: θ  cosθ  senθ  θ [AGEP(3) ] = [R T ][A LEP(3) ] =  00   0   0

− senθ θ

cosθ θ 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 cosθ θ 0 senθ θ 0 0

0 0 0 − senθ θ

cosθ θ 0

0  0  0  q ⋅ L 2  0  q ⋅ L2 12  ⋅  0  0  0  q ⋅ L 2     2 1 - q ⋅ L 12


0 0  0,707 0,707 0  − 0,707 0,707 0 0 0   0 0 1 0 0 (3) (3) T [AGEP ] = [R ][ALEP ] =  0 0 0 0,707 0,707   0 0 0 − 0,707 0,707  0 0 0 0  0 0,707 ⋅ q ⋅ L 2 1 0,707 ⋅ q ⋅ L 2  2     2  q ⋅ L 12   3 (3) [AGEP ] = 0,707 ⋅ q ⋅ L 2 ⇒⇒⇒ 4     0,707 ⋅ q ⋅ L 2  5     2 ⋅ q L 12    6

35

0  0  0  q ⋅ L 2  0  q ⋅ L2 12  ⋅  0  0  0  q ⋅ L 2     1 - q ⋅ L2 12

De acordo com o item 3.5.1 o vetor JK deste elemento seria (J = 5; K = 3):

 3 ⋅ J (3) − 2   3 ⋅ 5 − 2 13 1     14  2 (3) ⋅5−1 3 ⋅ − 3 J 1         (3)  3⋅J   3 ⋅ 5  15  3 (3) [JK ] =  (3)  =  = ⇒⇒⇒      ⋅ − 3 3 2 7 ⋅ − 3 K 2       4  3 ⋅ K (3) − 1  3 ⋅ 3 − 1  8  5         (3) ⋅ 3 3 9  3 ⋅ K      6 Ou seja, o coeficiente A(3)GEP1 irá contribuir para o coeficiente A*EP13 assim como

A(3)GEP2 contribuirá para A*EP14, A(3)GEP3 contribuirá para A*EP15, A(3)GEP4 contribuirá para A*EP7, A(3)GEP5 contribuirá para A*EP8 e A(3)GEP6 contribuirá para A*EP9. Não se pode esquecer que um coeficiente do vetor [A*EP] deve contemplar os coeficientes A(i)GEP de todos os elementos que concorrem naquele nó e naquele grau de liberdade (cumulatividade).


3.7

36

Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida

3.7.1 Técnica da reordenação Consiste em renumerar todas as direções de deslocamentos nodais, começando pelas direções livres e deixando para o final as direções restringidas. Para utilização desta técnica será necessário estabelecer um índice para direções restringidas e livres, que será: direção livre – índice ( 1 ) direção restringida – índice ( 0 )

Será necessário ainda estabelecer para todo sistema o número de direções livres, chamado NDL, e para cada direção em estudo um Índice de Restrição Acumulado, aqui chamado IRA. O IRA de uma dada direção é o seu índice de restrição (0 ou 1) somado aos índices de restrição das direções anteriores. Assim, as novas direções são: Direção Nova Livre = Direção Antiga Livre – IRA Direção Nova Restringida = NDL + IRA

Exemplo: pórtico plano (mesmo exemplo do item 3.5, agora porém, com apoios)

D12 D11

D15 D10

D14

D3 D2

D4 D13

D9

D6 D1

D4 D5

NDL = 7

D3

D8

D7 D2

D10 D7

D9

D6

D5

D15

D1 D8

D11 D12

D14

D13


37

Direção Antiga Índice de Restrição 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 0 7 1 8 1 9 1 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0

IRA 1 2 3 4 5 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8

Direção Nova 7+1=8 7+2=9 7 + 3 = 10 7 + 4 = 11 7 + 5 = 12 6-5=1 7 + 6 = 13 7 + 7 = 14 7 + 8 = 15 10 - 8 = 2 11 - 8 = 3 12 - 8 = 4 13 - 8 = 5 14 - 8 = 6 15 - 8 = 7

A partir deste momento, as linhas e colunas da matriz de rigidez da estrutura, [S*], devem ser trocadas, deixando as direções livres no início e as restringidas no final. As novas direções deverão ser armazenadas em um vetor que as correlacione com as antigas. Como sugestão este novo vetor poderia chamar-se ND. Neste ponto torna-se importante salientar que a numeração dos GL’s da estrutura foi alterada, o que torna necessária a alteração dos vetores JK dos elementos, adequando-os à nova numeração, pois estes vetores serão utilizados no futuro para determinação dos esforços nas extremidades dos elementos. Após isso, o sistema de equações (3.17) pode ser rescrito da seguinte forma:

 [S DD ]   [S RD ]

[S DR ] [S RR ]

  [D D ] ⋅   [DR ]

  [A EP, D ] −   [A EP, R ]

   

[S DR ] [S RR ]

  [D]   [A]   [A EP ] ⋅ = −   [DR ]   [Re]   [A EP, R ]

   

  [A D ] =   [A R ]

(3.19)

ou então:

 [S]   [S RD ] onde:

(3.20)


38

[SDD] ou [S] é a matriz de rigidez da estrutura restringida, com apoios; [SDR] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos dos nós restringidos sobre as ações nos nós deslocáveis ou livres;

[SRD] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos dos nós livres sobre as reações nos nós restringidos;

[SRR] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos dos nós restringidos sobre as reações nos nós restringidos.

Nos casos práticos mais comuns, ou seja, sem deslocamentos de apoios, com [DR] = 0, o sistema de equações (3.20) pode ser simplificado e escrito de explicitamente da seguinte forma:

 [S] ⋅ [D] = [A ] − [A EP ]  [S RD ] ⋅ [D] = [Re] − [A EP, R ]

(3.21) (3.22)

Resolvendo o sistema de equações (3.21) obtém-se os deslocamentos nodais:

[D] = [S -1 ]⋅ ( [A]

−

[A EP ]

)

(3.23)

e, a partir destes, obtém-se as reações de apoio:

[Re] = [S RD ]⋅ [D] + [A EP, R ]

(3.24)


3.8

39

Cálculo dos esforços nas extremidades dos elementos Estando resolvida a equação (3.23), ou seja, sendo determinados os deslocamentos

globais da estrutura, podem então ser determinados os deslocamentos nodais no sistema global de cada um dos elementos, portanto “ uG”. Para tanto, deve-se utilizar o vetor JK que correlaciona os deslocamento nodais da estrutura com os deslocamentos nodais (no sistema global) dos elementos. Antes porém, é necessário que se faça uma alteração dos vetores JK, adequando-os às novas direções da estrutura, que foram modificadas no momento da reordenação. Isto pode ser feito com auxílio do vetor ND que correlaciona as novas direções (após a reordenação) com as antigas (após a reordenação). Seja por exemplo o elemento 3 do pórtico da Figura 3.3, cujo vetor JK dado na Tabela 3.1 é composto pelos seguintes coeficientes:

JK3 = [13, 14, 15, 7, 8, 9]

O vetor ND da estrutura (obtido após reordenação) é dado pelos seguintes coeficientes:

ND = [8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

ou seja, o GL 13 da estrutura tornou-se, após a reordenação, o GL 5, o GL 14 tornou-se 6 e os GL’s 15, 7, 8 e 9 tornaram-se respectivamente 7, 13, 14 e 15, portanto, o novo vetor JK do elemento 3 será composto pelos seguintes elementos:

JK3 = [5, 6, 7, 13, 14, 15]

Assim, o vetor de deslocamento globais do elemento 3 será constituído pelos deslocamentos D5, D6, D7 ,D13, D14 e D15 da estrutura, ou seja:

uG3 = [D5, D6, D7 ,D13, D14 e D15]

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