Balanceo Matricial De Reacciones Químicas Redactado por: Alejandra Mariel Reyes Salazar
Método 1 (corto)
Considere la siguiente reacción no balanceada:
NaOH + HCl + MnO 2
NaCl + MnCl2 + H2O + Cl2
1. Busque los elementos que aparezcan en un solo reactivo y en un solo producto. En esta reacción serían los elementos Na (Sodio) y Mn (Manganeso). 2. Nombre a los compuestos donde se encuentren dichos elementos con las primeras letras del alfabeto. Nombre donde esté el sodio como a y donde esté el manganeso como b, quedando de la manera siguiente: aOH + HCl + MnO2 → aCl + MnCl 2 + H 2 O + Cl 2 a
Nota: El signo
b
a
b
( produce produce) es como un = ( Igual a)
Si escribimos las ecuaciones del sodio y del manganeso, quedarían de esta manera: Na: a = a
Mn b = b
Como se puede notar, están balanceadas. 3. Nombre los demás compuestos con las siguientes letras del alfabeto (c, d, e, f…) aOH + HCl + MnO2 → aCl + MnCl 2 + H 2 O + Cl 2 a
c
b
a
b
d
e
4. Escriba a continuación las ecuaciones de los elementos restantes. Se sugiere que empiece según los elementos aparezcan. O: a + 2b = d H: a + c = 2d Cl: c = a + 2b + 2e
5. Acomode en orden alfabético (a, b, c, d, e, f…) las ecuaciones obtenidas y pasar las variables “de un solo lado”. a a a
Álgebra Superior
+ 2b + 2b
+c -c
-d - 2d + 2e
= 0 = 0 =0
1
Balanceo Matricial de Reacciones Químicas
Esto es un sistema de ecuaciones de soluciones infinitas (se tienen más variables que ecuaciones) y se resuelve fácilmente usando matrices. 6. Escriba el sistema de ecuaciones en una matriz: a b
1 2 1 0 1 2
c
d
e
0
−1
0
1
−2
0
−1
0
2
Identifique la diagonal principal (de las variables delanteras o dominantes), que es la que se indica:
1 0
−1
7. Escalone la matriz por el método de Gauss Jordan: Hacer unos en la diagonal principal, ceros arriba y debajo de la diagonal ya indicada usando las propiedades y operaciones de matrices (cambio de renglón o fila, adición, multiplicación por escalar...) NOTA: En este caso la primera variable delantera, la que nos ayudará a hacer pivote ya es 1; pero en caso de que la variable no fuese 1, no la haga 1. Si se hace así, aumenta la posibilidad de error debido a la aparición de fracciones. 1 2 1 0 1 2
1 2 R1− R 2→ R 2 1 − 2 0 → 0 2 0 2 −1 1 2 0
1 2 0 0 2 0 0 0 1
−1
0
0
1 2 R1− R 3→ R 3 1 0 → 0 2 0 − 2 0 0
−1
−1 −1
1 0 0 R1− R 2→ R1 0 − 2 → 0 2 0 − 1 − 2 0 0 1 −1
0
0
1 0 0 R 2 / 2→ R 2 0 − 2 → 0 1 0 − 1 − 2 0 0 1 −1
2
0
−1
−1
1
1
−1
0
R 3+ R 2 → R 2 0 →
− 2
−1
2
0
−1
−1
− 2
Se llega a la siguiente matriz:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
−1
2
0
−1
−1
− 2
Las siguientes columnas son variables libres y siendo nuestro sistema de ecuaciones inicial de soluciones infinitas, éstas funcionarán como parámetros para resolver el sistema de ecuaciones y balancear la reacción. Se les llamará r y s, respectivamente.
Álgebra Superior
2
Balanceo Matricial de Reacciones Químicas
r
−1
2
0
−1
−1
a
b
s
c
d
− 2 e
8. Despeje las variables ( a, b, c, d, e) que ahora están en función de los parámetros r y s (Recuerde que para escribir la matriz inicial, acomodamos las ecuaciones y pasamos todas las variables “de un lado”.) a=r b= c=r d=r e=
-2s s +2s s
9. Escriba la solución general del sistema, en forma vectorial y en función de los parámetros r y s.
a 1 − 2 b 0 1 x = c = r 1 + s 2 r , s ∈ ℜ d 1 0 e 0 1 10. Una vez obtenida la solución general del sistema, se tiene que obtener la solución particular asignando valores a r y s tales que las variables tengan valores enteros positivos. Condición: r > 2s Esta condición se agrega para evitar que compuestos desaparezcan de la reacción o se desplacen hacia productos o reactivos, y que se cumpla la ley de la c onservación de la materia. Si r=3
s=1
Sustituya los valores de r y s en la solución general:
a 1 − 2 b 0 1 c = 3 1 + 2 d 1 0 e 0 1
Álgebra Superior
⇒
a b c = d e
1 1 5 3 1
3
Balanceo Matricial de Reacciones Químicas
11. Escriba los valores obtenidos en la solución particular del sistema como coeficientes estequiométricos de cada especie química.
NaOH + 5HCl + MnO2
NaCl + MnCl2 + 3H2O + Cl2
Igual que en matemáticas, el coeficiente 1 no se escribe. 12. Compruebe que esté balanceada la reacción revisando cada elemento: Na 1 = 1
O 3=3
H 6=6
Cl 5 = 5
Mn 1 = 1
¡Y ya está balanceada! El método corto es casi igual al método algebraico de balanceo de reacciones que se enseña en Química, debido a que se tiene que plantear un sistema de ecuaciones. La diferencia es que en el método algebraico, se da un valor a una incógnita (usualmente de 1) y así se obtienen los valores de los demás coeficientes estequiométricos. Como no siempre es sencillo nombrar a los elementos y muchas veces es tedioso, cuando esto suceda, se sugiere usar el método 2. Método 2 (largo)
Considere la siguiente reacción no balanceada:
NaOH + HCl + MnO 2
NaCl + MnCl2 + H2O + Cl2
1. Nombre cada compuesto con las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d, e, f, g, h…). En la reacción se escribiría: aOH + HCl + MnO2 → aCl + MnCl 2 + H 2 O + Cl 2 a
b
c
d
e
f
g
2. Escriba la matriz de la siguiente manera: a b c
a
O H Cl Mn
d e f g
Siempre empiece por el primer elemento químico que aparezca, de izquierda a derecha,
esto es para evitar confusiones y olvidos.
Álgebra Superior
4
Balanceo Matricial de Reacciones Químicas
Escriba la cantidad del elemento presente en cada compuesto. Si no aparece el elemento
en el compuesto, escribir 0 (Cero). La línea punteada es sólo para indicar que a partir de esta línea hacia la derecha los números que aparezcan serán negativos (No la escriba). Recuerde que esto es porque al escribir la matriz se tiene que pasar de un lado todas las variables. El signo es un =.
Siguiendo los pasos anteriores, la matriz matr iz de la reacción queda expresada de la siguiente manera: a 1
O 1 H 1 Cl 0 Mn 0
0
0
−1
0
0
0
0
2
0
0
−1
0
1
0
0
0
−2
0
1
0
−1
−2
0
− 2
0 1
0
−1
0
0
3. Escalone la matriz: Primero hacer ceros arriba y debajo de la diagonal principal usando las propiedades de las matrices, hasta el final hacer unos.
a 1
O 1 H 1 Cl 0 Mn 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0
0
0
2
1
0
1
0
0
1
1 −1 0 0 0 R1− R 2→ R 2 0 R1− R 3→ R 3 0 0 − 2 0 → 0 −1 − 2 0 − 2 0 0 −1 0 0 0 −1
0
0
0
0
−1
0
0
−1
0
−1
0
2
0
−2
−1
0
1
1
0
−1
−2
0
0
1
0
−1
0
0
0
−1
0
0
−1
0
−1
0
2
0
−2
−1
0
1
0
0
−2
−2
2
0
0
−1
−2
1
Álgebra Superior
0
0
1 0 0 R 2 + R 4 → R 4 → 0 0 − 2 0 0 0 0
0
0
−1
0
0
0
0
−2
−1
0
1
−1
0
−1
0
2
de 0 cambio renglón por propiedade s 0 →
1
0
0
1
−1 − 2 0 − 2 0 − 1 0 0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
−1
0
2
0
−2
−1
0
1
0 R 3+ 2 R 5→ R 5 → 0
0
0
−2
−2
2
− 2
0
1
0
−1
0
0
1 0 0 R 4 + ( − 2 R 5 ) → R 5 → 0 0 − 2 0 0 0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
−1
0
2
0
−2
−1
0
1
0 R 5 / 2 → R 5 → 0
0
0
−2
−2
2
− 2
0
0
0
2
0
− 2
5
Balanceo Matricial de Reacciones Químicas
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0
0
−1
0
0
−1
0
−1
0
2
0
−2
−1
0
1
0
0
−2
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
−2
0
0
0
0
1
0
0
0
0 1
0
1 0 0 R 4 /( −2 ) → R 4 → 0 0 − 4 0 − 1 0
1 1 2 0 R 3 /( −2 ) → R 3 → 0 0 2 −1 2 0 0 − 1 0 −1
2
0
0
−1
0
0
0
−1
0
−1
0
2
0
−2
−1
0
1
4+ R 3→ R 3 0 R R 4+ R 2→ R 2 R 4+ R1→ R1 → 0
0
0
1
0
−1
2
0
0
0
1
0
− 1
0
0 0
0
−1
2
1
0 0
0
−1
− 2
0
0
0
−1
0
0 1
0
−1
2
0
0 0 1
0
− 1
0 1
Finalmente llegamos a la matriz escalonada r
a 1
O 0 H 0 Cl 0 Mn 0 a
s
0
0 0
0
−1
2
1
0 0
0
−1
− 2
0
0
0
−1
0
0 1
0
−1
2
0
0 0
1
0
− 1
0 1
b
c
d
e
f g
que se interpreta: a=r b=r c= d=r e= f=r g=
-2s +2s +s -2s s s
4. Escriba la solución general del sistema.
a 1 − 2 b 1 2 c 0 1 x = d = r 1 + s − 2 r , s ∈ ℜ e 0 1 f 1 0 g 0 1 Álgebra Superior
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Balanceo Matricial de Reacciones Químicas
5. Asigne valores a r y s, tales que los valores de todas las incógnitas sean enteros positivos. Usando los mismos valores usados en el método anterior: Condición: r > 2s Si
r=3
s=1
6. Sustituya los valores de r y s en cada una de las variables.
a 1 − 2 b 1 2 c 0 1 d = 3 1 + − 2 e 0 1 f 1 0 g 0 1
⇒
a 1 b 5 c 1 d = 1 e 1 f 3 g 1
7. Escriba los valores obtenidos en la solución particular como coeficientes estequiométricos de cada especie química.
NaOH + 5HCl + MnO2
NaCl + MnCl2 + 3H2O + Cl2
8. Compruebe que esté balanceada la reacción revisando cada elemento: Na 1 = 1
O 3=3
H 6=6
Cl 5 = 5
Mn 1 = 1
¡Y ya estuvo!
Álgebra Superior
7
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Álgebra Superior
8
