MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIDAD 3: TAREA 3 - DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y EDO
PRESENTADO POR: AURA YINETH CORRALES OCORÓ CÓDIGO: 66684397
TUTOR FRANCISCO JAVIER CASTELLANOS
GRUPO: 100401_82
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD INGENIERÍA DE SISTEMAS NOVIEMBRE 2018
INTRODUCCIÓN El conocimiento y la destreza son fundamentales a la hora solución de problemas, en este documento se encuentra diferentes ejercicios con su respectiva fórmula y desarrollo paso a paso. Se aplica la diferenciación e integración numérica y ecuaciones diferenciales en valor inicial con reglas como, la regla de Trapecio, Regla de Simpson, Integración de Romberg, Integrales Múltiples, y métodos como, Método de Euler, Métodos de Taylor y Método de Runge Kutta.
Aporte 1.
Solucionar los ejercicios del 1 al 3. 1. Plantee y solucione tres ejercicios sobre Diferenciación Numérica explicando paso a paso el procedimiento utilizado. R/ Se plantean 3 funciones y se determina el valor de su derivada mediante el método de diferenciación centrada en 3 puntos:
() = () = () = Para las 2 primeras funciones se determina la derivada en el punto x=3 y un espaciamiento de ℎ = 0.1. Para la l tercera función se realiza en x=30. a. b. c.
De manera general la fórmula que aproxima la derivada es:
ℎ) () = ( ℎ)( 2ℎ Luego:
(): : ℎ: Desarrollo: a. Se reemplaza los valores de la función f en la fórmula.
(3(30.1)1) (3) = 3(30.1)1 2(0.1) Se realiza las operaciones respectivas.
(3(2.9)1) (3) = 3(3.1)1 2(0.1) (3(2.9)1) (3) = 3(3.1)1 2(0.1) 7 = 0.6 = 3 (3) = 10.39. 0.2 0.2
¿Qué tan preciso es? Se comprueba con el valor exacto de la derivada y se recuerda que este método es una aproximación.
() = 3 1 ´() = 3 → (3) = 3 Para este ejemplo el error fue de 0%
b. Se reemplazan valores de la función g en la fórmula.
(3) = (30.1) 1 [(30.1) 1]
2(0.1) (3) = (3.1) 1[(2.9) 1] = (9.611)(8.411) 0.2 0.2 41 = 1.2 = 6 (3) = 10.619. 0.2 0.2 Nuevamente el error en el cálculo es de 0% c. Se reemplaza los valores de la función h en la fórmula, teniendo en cuenta que se calcula su derivada en el punto x=30
sin30.1sin29.9 ℎ(30) = sin(300.1)sin(300.1) = 2(0.1) 0.2 Para evitar el error por truncamiento, se determina el valor directo de la resta.
ℎ(3) = 0.00.307… 2 = 0.15399 Determinación exacta:
ℎ() = sin → ℎ′() = cos ℎ() = cos30 = 0.15425 Se dan valores diferentes.
15425 ∗ 100 = 0.17% = 0.153990. 0.15425 Siendo que es excelente aproximación, a pesar de ello.
2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando la Regla del Trapecio. (n= 4)
R/ Se inicia con:
∫ +/
∫ +/
∫ √ ( )
Se determina el ancho de partición.
1 ∆ = 1 0 = 4 4 Se Halla los xi y la función evaluada en cada punto:
= 0 → () = 0 = 14 → () = 0.025 = 12 → () = 0.092 = 34 → () = 0.196 = 1 → () = 0.333 Se sigue:
2/ ≈ 12∗04 [ ()2()2()2()()] 2/ ≈ 12∗04 [02∗ 0.025 2∗0.0922∗0.1960.333] 2/ ≈ 18 [0.959] = 0.1199
Se sigue con:
∫ √ ()
Se determina el ancho de partición:
2 = 1 ∆ = 3 1 = 4 4 2 Se Halla los xi y la función evaluada en cada punto
= 1 → () = 1 = 32 → () = 0.025 = 2 → () = 0.092 = 52 → () = 0.196 = 3 → () = 0.333 x
f(x) 1
0.90609333
1.5
2.24084227
2
4.92603077
2.5
10.1520612
3
20.0854964
integral 13.9073646
√ ( ) ≈ 32∗14 [ ()2()2()2()()] 2 √ ( ) ≈ 8 [0.90612∗ 2.24082∗4.92602∗ 10.152120.854] = 13.9073
3. Soluciones los siguientes ejercicios utilizando la Regla de Simpson 1/3 y 3/8. (n= 4)
∫
∫ ln()
Regla de Simpson 1/3
≈ [() ()()]
2 = 1 ℎ = 3 1 = 4 2 = 2 = 3 1 2 =2 1 ≈ 6 [(1) 4(2)(3)] x
F(x)
1
e
2
2980.96
3
5.32*10^11
1 ≈ 6 [2.718211923.845.32∗ 10] = 8.87∗ 10 ln()
1 = 1 ℎ = 2 1 = 4 4 3 = 2 = 2 1 = 2 2 ln() ≈ ℎ3 [(1)4(1.5)(2)]
x
F(x)
1
0
1.5
1.817
2
5.122
ln() ≈ 121 [07.2685.122] = 1.033 Regla Simpson 3/8
≈ 38ℎ [()3() 3()3()…()] 1 ℎ = 3 1 = 4 2 x
F(x)
1
e
1.5
29.22
2
2980.96
2.5
6.11*10^6
3
5.32*10^11
≈ 163 [2.718287.668942.8818.33∗10 5.32∗10] = 9.98∗ 10 ln()
1 = 1 ℎ = 2 1 = 4 4 x
F(x)
1
0
1.25
0.779
1.5
1.817
1.75
3.22
2
5.122
ln() ≈ 323 [02.3375.4519.665.122] = 2.12
Aporte 2.
Solucionar los ejercicios del 4 al 6. 4. Solucione los siguientes ejercicios utilizando la Integración de Romberg. Usando segmentos de longitud 1, 1/2 y 1/4.
∫ − ∫ ln(2) R/
5. Solucione paso a paso los siguientes ejercicios de Integrales Múltiples:
R/
∫ ∫( 2)
Las integrales dobles se resuelven de adentro hacia afuera, quiere decir que primero se debe desarrollar la integral respecto de x y luego respecto de y.
( 2) = 3 2 Lo que resulte de evaluar esta integral, se integrará respecto de Y.
3 2 = 13 2 1 2 0 3 2 = 3 = 3 3 2 0 Después:
( 2) = 23 4 = 134
2. Nuevamente se integra de adentro hacia afuera, recordando que si se integra respecto de z ejemplo, las demás variables se manejan como si se trataran de constantes cualquiera.
2. = 2 2 . | . = ( 0). ( 0). = = 4 4 = 4 ((2) ) = 4 (16 ) = 1 15 4 (16 ) = 4 4 = 4
154 = 4∗156 | = 1245 ∗ (10) 2. = 1245 6. Solucionar
la , , considerando que Xo = 0.
= ( )/(2 1) (0) = 4 R/
ecuación de valor inicial usando el Método de Euler con h = 0.5 y
Se busca una solución analítica para dicha ecuación diferencial.
ln(2 1) () = 4 2 La solución numérica se realiza con h=0.5
La fórmula general es:
+ = ℎ.(,) (,) = (2 1) = 0 = 4 1 = ℎ = 00.5 = 0.5
CONCLUSIONES Se logró la aplicación paso a paso de la diferenciación e integración numérica y ecuaciones diferenciales en valor inicial con la regla de Trapecio, Regla de Simpson, Integración de Romberg, Integrales Múltiples, y métodos como, Método de Euler, Métodos de Taylor y Método de Runge Kutta. Se cumplió con el desarrollo de cada uno de los aportes, alcanzando el manejo y destreza de cada ejercicio.
BIBLIOGRAFÍA Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Pág. 454 – 505. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?docID= 3227640&query=M%C3%A9todos+Num%C3%A9ricos Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Pág. 719 – 756. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?docID=450 8648&query=M%C3%A9todos+Num%C3%A9ricos
