Magia Numerelor- Subiecte 2013

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN PITEŞTI

INSPECTORATUL JUDEŢEAN OLT

ŞCOALA GIMNAZIALĂ „GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL” CARACAL

.Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-edi ţia a IV –a, nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 înscris înscris în CAER, avizat avizat de MEN MEN , nr.35266/2/06.03.20131 IUNIE 2013 Clasa a III-a Subiectul 1 (10 puncte)

În trei laboratoare sunt în total 42 calculatoare. Câte calculatoare sunt în fiecare laborator, dacă în primul to tal 31 calculatoare? şi al doilea laborator sunt în total 15 calculatoare, iar în al doilea şi al treilea sunt în total Conf.univ.dr. Bogdan NICOLESCU – Universitatea din Pite şti Asist univ.dr. Tudor PETRESCU – Universitatea din Pite şti Subiectul 2 (20 puncte) Câtul numerelor 15 şi 5 îl înmulţesc cu un număr şi obţin produsul numerelor 6 şi 4. La ce număr m-am gândit? Prof. înv. primar R ĂDULESCU VICTORIA, Olteni, Teleorman Prof. înv. primar R ĂDULESCU NICOLAE, Olteni, Teleorman Subiectul 3 (30 puncte) Patru prieteni pleaca intr-o excursie excursie .Primul a luat cu el 16 nuci nuci ,al doilea doilea 15, iar al treilea treilea 13. Au mancat nucile toti 4, 4, impartindu-le in mod egal egal , cu toate ca ultimul ultimul nu adusese nimic. nimic. In schimb schimb acesta din urma , pentru a- si recompensa prietenii le-a dat dat 11 lei , afland afland ca o nuca costa costa 1 leu leu .Cum si-au impartit in mod mod corect cei 3 prieteni banii si cati lei a primit fiecare? Prof. înv. Primar Nadia Groz ăvescu, Caracal, Olt Subiectul 4 (30 puncte) Suma a patru numere naturale pare consecutive este de 5 ori mai mare decât primul num ăr.Aflaţi numerele. Prof. înv. primar Lilian CELMARE, Colone şti, Olt

Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. obligatorii. Timp efectiv de lucru 2 ore






Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a IV-a Subiectul 1 (10 puncte) Se dau următoarele egalităţi: a×b +a×c =112 şi b+c=16.Calcula ţi valoarea lui a. Prof. înv. primar Lilian CELMARE, Colone şti, Olt Subiectul 2 (20 puncte) Produsul a trei numere naturale diferite este 640. Produsul primelor dou ă numere este 160. Primul număr este de 8 ori mai mare decât al treilea.Care sunt cele trei numere? Prof. înv. primar Lilian CELMARE, Colone şti, Olt Subiectul 3 (30 puncte)

Într-o livadă sunt 80 pomi din care:

3 5 3 sunt pruni, din numărul prunilor sunt meri, din numărul merilor sunt 8 6 5

caişi, iar restul sunt peri. Câ ţi peri sunt in livad ă? Prof. înv. primar R ĂDULESCU VICTORIA, Olteni, Teleorman Prof. înv. primar R ĂDULESCU NICOLAE, Olteni, Teleorman Subiectul 4 (30 puncte) Pentru renovarea unei cl ădiri se investeşte o sumă de bani. În prima zi se foloseşte pentru cumpărarea de materiale o cincime din sumă şi încă 100 lei. A doua zi o cincime din rest şi încă 600 lei, iar a treia zi sunt necesari o cincime din noul rest şi încă 400 lei.Muncitorii sunt pl ătiţi cu ultimii bani r ămaşi, adică 4176 lei. Afla ţi câţi bani s-au folosit în fiecare zi şi ce sumă totală a fost investit ă pentru renovarea clădirii? Prof. înv.primar Mariana-Aura BENESCU, Caracal, Olt

Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 2 ore






Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a V-a Subiectul 1 (10 puncte) Aflaţi numărul natural n ∈  din egalitatea: 3 2012 + 2•81503 = 311 ⋅ n. Prof. Mirela CELMARE, Colone şti, Olt Subiectul 2 (20 puncte) O familie are trei membri: tat ăl, mama şi fiul. Mama are cu trei ani mai pu ţin decât tatăl. În urmă cu trei ani, tatăl a fost de 8 ori mai mare decât fiul şi acum toţi au împreună 74 de ani. Câ ţi ani vor avea fiecare atunci când vârsta tatălui va fi de trei ori mai mare decât vârsta fiului ? Prof. Liliana ANTONESCU, Mioveni, Arge ş Subiectul 3 (30 puncte) Numerele x, y, z impartite la 11 dau resturile 3 , 2 respectiv 1. Determinati cel mai mic numar natural n pentru care 11/ (2·x + 5·y + n·z). Prof. Nicoleta BORCEA, Rm. Vâlcea Subiectul 4 (30 puncte) a) Se dă egalitatea 0,1(a ) + 0, b(2 ) = 0,5

unde a şi b cifre în sistemul zecimal. Afla ţi a 2010-a zecimală a numărului

b

.

a b) Se dau mulţimile A = { x ∈ N * | 3,4 x − 5 < x + 7} şi B = { y ∈ N | y ≤ u , unde u este ultima cifr ă a numărului a =

4 35 + 7 49 + 1 }. Este adevărată propoziţia „ card ( A ∩ B ) = 2”? Justifica ţi Prof. Liliana ANTONESCU, Mioveni, Arge ş







Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a VI-a Subiectul 1 (10 puncte) La un concurs de matematic ă cei 50 de concurenţi au avut de rezolvat patru probleme. Ştiind că 40 de elevi au rezolvat corect prima problemă, 42 au rezolvat-o pe a doua, 36 pe cea de-a treia şi 37 pe a patra, s ă se arate că cel puţin 5 concurenţi au obţinut punctajul maxim. Prof. Adina POPESCU, Argeş Subiectul 2 (20 puncte) Dacă numerele naturale nenule x, y, z, v sunt direct propor ţionale cu 2, 3, 6, 7 ar ătaţi că:

2 x

2 y

+

y + z + v

+

x + z + v

2 z x + y + v

+

2v x + y + z

<

3. Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scornice şti, Olt

Subiectul 3 (30 puncte)\ În triunghiul ABC, cu m(
b) .

DB AB

=

DE EC

Prof. Mariana R ĂDULESCU, Mioveni, Arge ş Subiectul 4 (30 puncte) Unghiurile  AOB,  BOC,  COD,  DOE şi  EOA sunt unghiuri în jurul unui punct astfel încât: a) m(  BOC) este media aritmetică a măsurilor unghiurilor  AOB şi  COD; b) m(  COD)=3 m(  AOB) c) m(  DOE)=m(  AOB) d) m(  AOE) este cu 400 mai mare decât măsura unghiului  AOB Aflaţi măsurile unghiurilor  AOB,  BOC,  COD,  DOE şi  EOA. Prof. Mirela CELMARE, Colone şti, Olt







Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a VII-a Subiectul 1 (10 puncte) Arătaţi că numărul de divizori ai numărului natural n care verifică relaţia:

1 1 1 + + .... + = 2012, este un cub perfect. 2 +1 3 + 2 n + n −1 Prof. Agenna Nicoleta BALA Ş, Bucureşti Subiectul 2 (20 puncte) Să se determine numărul natural prim p pentru care: p !+ p = 4704 + p3 , unde p ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ....⋅ p, 0! = 1 Prof. Carmen FIRICESCU, Corabia, Olt Subiectul 3 (30 puncte) Dacă ABCD este trapez dreptunghic ortodiagonal, AB  CD, AB = 9, CD = 4, m ( BAD ) = m ( ADC ) = 90 şi

M, N, P respectiv Q sunt mijloacele laturilor AB, BC, CD şi AD, determina ţi sinusul unghiului minim dintre PM şi NQ. Prof. Nicolae BIVOL, Corabia, Olt Subiectul 4(30 puncte) În paralelogramul ABCD, fie E proiec ţia punctului A pe bisectoarea unghiului ADC şi AE ∩ DC = {F}. Arătaţi că: a) triunghiul ADF este isoscel; b) (AF este bisectoarea unghiului BAD. Prof. Mariana R ĂDULESCU, Mioveni, Arge ş





ŞCOALA GIMNAZIALĂ


„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a VIII-a Subiectul 1 (10 puncte) Se consideră numerele reale x şi y astfel încât 0 < x < 5 y şi 16 x 2 − 160 xy + 375 y 2

valoarea raportului

x + 5 y x − 5 y

=

x 2 + 10 xy , să se calculeze

. Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scornice şti, Olt

Subiectul 2 (20 puncte) Fie a1 , a2 ,..., a2013 ∈  + . Arătaţi că: 2 + 2011a2013 + 2014) ( a12 + 2011a1 + 2014) ⋅ ( a22 + 2011a2 + 2014) ⋅ ...⋅ ( a2013

( a1 + 1) ⋅ ( a2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( a2013 + 1)

≥

20132013

Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scornice şti, Olt Prof. Daniela BURTOIU, Pite şti, Argeş Subiectul 3 (30 puncte) Se consideră cubul ABCDA’B’C’D’ în care AD’ ∩ A’D= {O} şi punctul M este mijlocul muchiei AB. Arătaţi că: a) MO//(DBB’); b) MO ⊥ (A’C’D) Prof. Mariana R ĂDULESCU, Mioveni, Arge ş Subiectul 4 (30 puncte) 0 Pe planul rombului ABCD cu latura egala cu 12 cm si masura unghiului A de 60 , se ridica perpendiculara AM=18 cm. Calculaţi: a) d(M;B); d(M;C); d(M;O), unde O este intersecţia diagonalelor rombului; b) Aria triunghiului MOC; c) Tangenta unghiului format de MC cu planul (ABC). Prof. Mariana R ĂDULESCU, Mioveni, Arge ş







Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a IX -a M1

Subiectul 1 (10 puncte) Un meteorit aflat la distan ţa de 206550 de km se apropie de P ământ cu viteza de 10 km / s . Cu fiecare secundă care se apropie, parcurge cu 2 km mai mult fa ţă de precedenta distanţă. S ă se afle după cât timp ajunge pe P ământ. (Se consideră că d1=10, dn =dn-1+2, ∀n ≥ 2 )

Prof. Adrian STAN, Buz ău Subiectul 2(20 puncte) Să se demonstreze inegalit ăţile: a) (a 2 + a + 1)(b 2 + 9b + 1)(c 2 + 59c + 1) ≥ 2013abc , pentru orice a, b, c ∈ ( 0; ∞ ) ;

(a + b + c ) 2 b) Utilizând eventual, formula ab + bc + ca ≤ , ∀a, b, c ∈ ( 0; ∞ ) , să se arate că 3 ( a + b + c )3 2 2 2 (a − b) ⋅ c + (b − c) ⋅ a + (c − a) ⋅ b + 9abc ≤ , pentru orice a, b, c ∈ ( 0; ∞ ) ; 3 Prof. Adrian STAN, Buz ău Subiectul 3 (30 puncte) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecua ţia: { x 2013 + x 2 + x + 1} = x 2013 , unde { x} este partea fracţionară a numărului real x . Prof. Neculai STANCIU, Buzău Subiectul 4 (30 puncte)

Dacă a şi b sunt rădăcinile ecuaţiei x 2

− mx + 2011 =

0 , iar

1 + ab

b 2 x − px + q = 0 , determinaţi a ⋅ b şi partea întreagă a numărului q .

şi

1 + ab a

sunt rădăcinile ecuaţiei Prof. Neculai STANCIU, Buz ău





ŞCOALA GIMNAZIALĂ


„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a IX -a M2

Subiectul 1 (10 puncte) Fie a, b, c ∈  astfel încât 6a+8b+10c= x. Să se afle x astfel încât minimul sumei a 2 +b 2 +c2 să fie 200.

Prof. Delia -Ileana NAIDIN BASCH, Caracal, Olt Subiectul 2 (20 puncte)

x 9 ⋅ y 7 =390625 Demonstraţi că sistemul  nu admite soluţii reale. 18x+ 14y= 67  Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scornice şti, Olt Subiectul 3 (30 puncte)

Se consideră funcţia f :  {−3} → , f ( x ) =

x − 1 x + 3

.

a) Să se determine o func ţie g :  → , g ( x ) = ax + b, a, b ∈  astfel încât g ( f ( x )) =

9 x − 1 ; x + 3

b) Să se calculeze ( g  g  ....  g )( x ) .  2013 de g

c) Să se determine funcţia h :  → , h( x + 2) = x 2 + 4 x + g (1) , unde g(x) este funcţia găsită la punctul a). Prof. Adrian STAN, Buz ău Subiectul 4 (30 puncte) Se consideră funcţia f :  → , f ( x ) = x 2 − 2 x + 4 cu soluţiile nereale ( x1 , x2 ∉  ) ale ecuaţiei f(x)=0.

a) Să se scrie relaţiile lui Viete şi să se arate că

1

1

1

x1

x2

x1 + x2

+ 2

= 2

2

2

;

b) Utilizând eventual formula a3 + b3 = ( a + b)(a 2 − ab + b2 ) , să se calculeze x13 + x23 , şi x12013 + x22013. c) Să se rezolve ecuaţia:

f ( x + 3) − f ( x − 2) x + 3 − x − 2

= 5;

Prof. Adrian STAN, Buz ău







Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a X -a M1 Subiectul 1 (10 puncte) Fie a, b, c ∈  cu a, b, c > 1 sau a, b, c ∈ ( 0,1) . Demonstraţi că logb3 a log c 3 b log a3 c 3 + + ≥ logb c + log c a log a b + logc a loga b + logb c 2 Prof. Daniela BURTOIU, Pite şti, Argeş Subiectul 2 (20 puncte) Se dă ecuaţia log 2 ( x3 + [3 x])  = 2 , unde am notat cu [ a ] partea întreagă a numărului real a.

a) Rezolvaţi ecuaţia în  . b) Rezolvaţi ecuaţia în  . Prof. Anca-Silvia NEGULESCU, Bucure şti Subiectul 3 (30 puncte) x −1

(10 puncte) a)S ă se rezolve ecua ia ( 7 + 4 3 )

+

(7 − 4 3 )

(20 puncte) b) Fie z1 , z 2 ∈ . Să se arate că z1 + z2

2

=

2

x −1

z1 + z2

= 14 în 2

mulţimea numerelor reale.

⇔ ∃α ∈ 

*

: z2 = −i (α z1 )

Prof. Mihaela Mioara MIREA, Segarcea, Dolj Prof. Eduard BUZDUGAN, Slatina, Olt Subiectul 4 (30 puncte) Fie șirul ( an )n≥1 , unde an

n

= (1 + i ) + (1 − i )

a) Arătaţi că an ∈ ,

=

2 ( an n

=

,

∀n ≥ 1 .

∀n ≥ 1

b) Demonstraţi ca an + 2 c) Arătaţi că an

n

2 ( 2 ) cos

+1

+ an ) , ∀n ≥ 1

nπ

4

,

∀n ≥ 1 .

Prof. Marian VOINEA, Bucure şti







Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a X -a M2 Subiectul 1 (10 puncte)

Să se arate că valoarea expresiei trigonometrice E ( x ) = x ∈ , x ≠

k π

2

sin x cos x (1 + sin x ) (1 + cos x ) + − , pentru orice 1 − cos x 1 − sin x sin x cos x

, k ∈  este o constantă. Prof. Mihaela Mioara MIREA, Segarcea, Dolj

Subiectul 2 (20 puncte) 2 Sa se rezolve ecua ţia : C9nn +18

5 n+1

= C 2

n +7

Prof. Eduard BUZDUGAN, Slatina, Olt Subiectul 3 (30 puncte) (15p) a )Să se determine m ∈  astfel încât ecua ţia. 9 x − m ⋅ 3x − m + 8 = 0 , să aibă o singur ă soluţie. (15p) b ) S ă se rezolve ecuaţia: 9 ⋅ ( 27 x + 27 − x ) − 73 ⋅ (3x + 3− x ) = 0 Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scornice şti, Olt Subiectul 4 (30 puncte) Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecua ţia: x 3 + 28 x 2 + 96 x = 5 y , x , y ∈  Elev: Luigi-Ionuţ CATANA, Potcoava, Olt







Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- poziţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a XI -a M1 Subiectul 1 (10 puncte) Fie ( x n )n ≥0 , x 0 ∈ (0, 2) şi x n = x n −1 (2 − x n −1 ) . Să se arate că x n este convergent şi să i se calculeze limita. Prof. Dumitru S ĂVULESCU, Bucureşti Subiectul 2 (20 puncte) Fie A, B ∈ M 2 (Q ) cu proprietăţile: a) A 2 = BA + 3 I 2 ; b) B2 = AB + 3I 2 ; Arătaţi că: tr ( A − B ) = 0 . Prof. Lucian TUŢESCU, Craiova Prof. Dumitru S ĂVULESCU, Bucureşti Subiectul 3 (30 puncte)

(

Determinaţi numărul real k pentru care lim x 2 + ( k + 1) x − x2 + ( k − 1) x x →∞

x

)

=

e

Prof. Florentin VI ŞESCU, Bucureşti Subiectul 4 (30 puncte)

a) Arătaţi că (∀) x ∈ [0, 1] avem x − x 3 ≤

2

. În ce caz avem egalitate? 3 3 b) Fie f : [0, 1] → R o funcţie continuă cu proprietatea f (0) f (1) < 0 . Arătaţi că există c ∈ (0, 1) astfel încât 2 . 0 < f (c ) + f (c 2013 ) < 3 3 Prof. Dumitru S ĂVULESCU, Bucureşti Prof. Marian VOINEA, Bucure şti Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore






Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- pozi ţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a XI -a M2 Subiectul 1 (10 puncte) 1   x − Calculaţi: lim  x →1 x − 1 ln x   Prof. Crina-Aurelia BERCOVICI, Beiuş Prof. Elisabeta GYÖRGY, T ăşad

1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ ... ⋅ cos 2013x 0 2 x + 3 x + ... + 2013 x − 2012

Subiectul 2 (20 puncte) Să se calculeze L = lim x →

Prof. Eduard BUZDUGAN, Slatina, Olt Subiectul 3 (30 puncte) a) Fie triunghiul ∆ABC, unde A (2012, 2), B (2013, 3), C (2014, 1). Calcula ţi aria triunghiului ∆ABC. 1 a hb hc  b) Calculaţi determinantul matricei M = 1 b ha hc  , unde a, b, c, sunt lungimile laturilor unui triunghi 1 c h h   a b  oarecare, respectiv ha , hb , hc lungimile înălțimilor omoloage lor.

 x + ay + a 2 z = a  c) Se consideră sistemul de ecuaţii  x + by + b 2 z = b , a, b, c ∈ R , distincte două câte două. Să se rezolve sistemul  x + cy + c2 z = c  pentru a = 0, b = 1 şi c = 2 . Prof. Crina-Aurelia BERCOVICI, Beiuş Prof.Elisabeta GYÖRGY, T ăşad Subiectul 4 (30 puncte) Fie f : 

*

→ ,

a) Calcula ţi f ' ( x ) (derivata func ţiei f); b) Studiaţi monotonia func ţiei f; c) Scrieţi ecuaţiile asimptotelor func ţiilor; d) Demonstraţi că 2012 ⋅ e 2013 > 2013 ⋅ e Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore

f ( x) =

2012

e x x 2

.

. Prof. Crina-Aurelia BERCOVICI, Beiuş Prof.Elisabeta GYÖRGY, T ăşad






Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- pozi ţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a XII -a M1

Subiectul 1 (10 puncte)  π   π  Fie funcia f : 0,  →  derivabilă, cu derivata continu ă, cu proprietatea c ă f (0) = f   . Să se  2 2  π  demonstreze că pentru orice x ∈  0,  are loc egalitatea:  2

Prof. Mihaela Mioara MIREA, Segarcea, Dolj Subiectul 2 (20 puncte) Fie f :  →  o funcţie derivabilă şi crescătoare cu proprietatea c ă există a ∈  \ {0} astfel încât f(a) = 0.

Demonstraţi că există b ∈  \ {0} astfel încât

b

∫0 f (t )dt ≤ 0 . Prof. Ionuţ IVĂNESCU, Craiova, Dolj

Subiectul 3 (30 puncte) Se consideră funcţia f :(0,

( x + 1) ⋅ f ( x ) + ( x + 1)

2

∞) →  derivabilă şi care verifică relaţia: 2

− 4 x = ( x − 1) +

x

3

x +

∫0 f (t )dt , ∀ x ≥ 0

a) Să se afle f ' ( x )

20112011 ( 2011) b) Să se calculeze: ⋅f ( 2010 ) 2010! f ' (x)-x ⋅ f '' (x) = 2010 − α c) Să se determine α astfel încât lim x f '' (x) →∞

Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scornice şti, Olt Subiectul 4 (30 puncte)

Să se arate că

π

∫0

(e

− sin

2

x

+e

sin 2 x

) dx ≥ π Prof. Eduard BUZDUGAN, Slatina, Olt







Concursul Naţional de Matematic ă “Magia Numerelor”-ediţia a IV –a, înscris în CAER, avizat de MEN , nr.35266/2/06.03.2013- pozi ţia 765 1 IUNIE 2013 Clasa a XII -a M2 Subiectul 1 (10 puncte) Să se calculeze ∫ ln ( x 2 + x + 1)dx Prof. Valentin RĂDULESCU, Scorniceşti, Olt Subiectul 2 (20 puncte)

a)Să se calculeze

10

∫0

b) Calculaţi integrala

max ( x 2 − 3x + 7,3 x + 2 )dx

∫

1 + x5 dx /4 (cos x)2

/4

π

−π

Prof. Mihaela Mioara MIREA, Segarcea, Dolj Prof. Daniela BURTOIU, Pite şti, Argeş Subiectul 3 (30 puncte) 1 Fie I n = x n 0

∫

1 + x2 dx, n ∈  1 + x

a) Să se calculeze I 0 şi I 1 ; b) Să se studieze monotonia şirului ( I n )n∈ c) Să se arate că 0 ≤ I n ≤ 1, ∀n ∈  Prof. Eduard BUZDUGAN, Slatina, Olt Subiectul 4 (30 puncte)

Pe mulșimea G = ( 0,1) se consider ă relaţia x ∗ y =

xy

2 xy + 1 − ( x + y )

i) ii)

Arătaţi că relaţia este o lege de compozi ţie internă. Studiaţi ce fel de structur ă defineşte relaţia ∗ pe G

iii)

Demonstraţi că funcţia f : G → ∗+ , f ( x ) =

x

1 − x

.

este un izomorfism între grupurile ( G , ∗) şi

(  , ⋅) . ∗

+

Conf.univ.dr. Bogdan NICOLESCU – Universitatea din Pite şti Asist univ.dr. Tudor PETRESCU – Universitatea din Pite şti


Magia Numerelor- Subiecte 2013

Recommend Documents