2.5 APLICACIONES
APLICACIONES
Objetivo del alumno para esta sección Adquirir una idea de las cuantiosas cuantiosas aplicaciones de los sistemas lineales.
En esta sección describiremos algunas aplicaciones de los sistemas lineales a problemas antiguos y modernos. Al lector le agradará saber que aún con los pocos medios que ha aprendido hasta ahora puede resolver o abortar una diversidad de problemas de la vida real en varios campos de la ciencia. Ahora que el lector ya tiene una bastante práctica en la solución de sistemas lineales nos saltaremos, en la mayor parte de los casos la descripción de la solución de un sistema lineal. Asuntos de manufactura, manufactura, sociales y financieros.
E j e m p l o : (Manufactura) (Manufactura) R.S.C.L.S y asociados fabrica tres
tipos de computadora personal: ciclón, ciclope y cicloide. Para armar un ciclón se necesita necesita 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la cíclope es de 12 horas horas en su ensamble, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba u 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa empresa dispone dispone de 1560 1560 horas de trabajo trabajo por mes para armar, armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? Solución: Sea las cantidades de ciclones, cíclopes y
cicloides producidas cada mes. Entonces se necesitan horas para armar las computadoras. Por consiguiente . En esta misma forma se obtienen obtienen ecuaciones para la prueba y la
instalación. El sistema que resulta es:
Cuya solución es por lo consiguiente cada mes puede fabricar 60 ciclones, 40 ciclopes y 80 cicloides. Ejemplo: (Cambio de moneda extranjera) una empresaria
internacional necesita en promedio cantidades fijas de yenes japoneses libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $ 2550 con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por dólar. La segunda ves cambio $2840 en total cada tasa de 125 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar. ¿Cuántos yenes, libras, y marcos compro cada vez? Solución: Sea las cantidades fijas de yenes, libras, y
marcos que cambia en cada viaje. Entonces la primera vez gastó dólares comprando yenes, (1/0.6) dólares para comprar libras y
(1/1.6) z para comprar marcos. Por consiguiente (1/100) x + (1/0.6) y + (1/1.6) z = 2550. El mismo razonamiento se aplica a las otras dos compras y se obtiene el sistema.
Con eliminación de Gauss se obtiene En consecuencia, cada vez compro yenes, libras y marcos para viajar.
Ejemplo: (Herencia) Un padre desea distribuir sus bienes
raíces cuyo valor es $ 234,000 entre sus cuatro hijas de la manera siguiente:
de las propiedades deben dividirse por igual entre sus hijas.
Para el resto cada hija debe recibir $ 3000 cada año esta su vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan 3 años. ¿Cuánto recibirá cada una delos bienes de su padre? ¿Que edad tiene ahora sus hijas? Solución: Sea la cantidad de dinero que recibirá cada
hija al de las propiedades según la edad comenzando con la mayor edad. Entonces
. por
así
otro lado
llegamos
al
sistema:
Cuya solución es . La cuarta parte de dos tercios de la herencia vale
. Así
la hija menor recibirá ; la siguiente ; la siguiente, y la primera . La hija mayor recibirá así que
actualmente tiene años, la segunda tiene 16, la tercera 13 y la última tiene 10 años.
E j e m p l o : (Clima) El promedio de las temperaturas en las
ciudades de Nueva York; Washington, D.C y Boston fue 88 °F durante cierto día de verano. En Washington fue 9° mayor que el promedio de las temperaturas de las otras dos ciudades. En Boston fue 9° menor que la temperatura promedio en las otras dos ciudades. ¿Cuál fue la temperatura en cada ciudad? Solución: Sea las temperaturas en Nueva York,
Washington y Boston respectivamente. La temperatura promedio de las tres ciudades es , que es 88. Por otro lado, la temperatura
en Washington es 9° mayor que el promedio de Nueva York y Boston, que es , de modo que . En consecuencia, , así el sistema es:
Después de replantear este sistema en forma cónica aplicamos la eliminación de Gauss para obtener . EC ON OM ÍA
Una de las funciones más importantes en la manufactura que concierne a los fabricantes economistas, especialistas de mercado, etc., es la función demanda. Expresada la cantidad de piezas de cierto producto que se venden en función de su demanda. La función demanda D(o Qd para los economistas) depende de algunas variables como el precio P del artículo el ingreso I de los consumidores, el precio C de un artículo de la competencia, etc. Con frecuencia la función demanda. D y sus variables forma una ecuación línea. Por ejemplo, Obsérvese que en este caso en particular a mediada que una unidad aumenta el precio del artículo, la demanda disminuye 15 unidades. Del mismo modo, cuando se incrementa el ingreso del consumidor o el precio de un artículo de la competencia aumenta la demanda.
E j e m p l o : (Calcular de una función demanda) Bikey Inc.
quiere fabricar un nuevo tipo de zapato deportivo, poco costoso, e investiga el mercado de la demanda. Encuentra que si un par de zapatos nuevos cuesta $20 en un área de ingreso familiar promedio de $ 20000 y que si su competidor, Tríceps Inc. vende cada par de zapato a $20, vendería 660 pares. Por otro lado si el precio fuera igual y Tríceps bajara su precio a $10 el par entonces vendería 110 pares en un área de $ 30000 de ingreso. Por último, si el precio de los zapatos fuera de $15 el
par y la competencia se queda en $ 20 el par, se vendería 1010 pares en un área de $25000 de ingreso. Determinar la función demanda suponiendo que depende linealmente de sus variables. Solución: Sea deseamos conocer
de
acuerdo con el primer caso en la investigación , de igual forma el considerar los otros dos casos de obtiene el
sistema lineal.
Mediante la eliminación de Gauss se obtiene Por consiguiente la función demanda esta expresada por .
La solución de este sistema homogéneo es
entonces . Supongamos que hay una red eléctrica como la que se muestra en la figura 1.6 (a). Las corrientes y las caídas de voltaje por el circuito se apagarán a la primera ley de Kirchhoff.
