Métodos numéricos Son procedimientos mediante los cuales se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores).
Características de los métodos numéricos
Todos los métodos numéricos comparten una característica común: llevan a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Es por ello que la informática es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos.
La mayoría de los métodos matemáticos matemáticos empleados en ingeniería utilizan variables continuas.
El objetivo del análisis análisis numérico es obtener un método para resolver el problema matemático en un ordenador.
Los métodos métodos numéricos se emplean en general en cualquier problema que sea difícil de resolver de manera analítica, o con un volumen de datos inmanejable sin medios automáticos.
Los métodos numéricos se aplican cuando cuando se necesita un valor numérico numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos exactos o analíticos son incapaces de dar una respuesta.
Importancia de los métodos numéricos Los métodos numéricos cobran especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Los
ordenadores
son
útiles
para
cálculos
matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje
necesario
para
llevar
a
cabo
todos
aquellos
procedimientos
matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Método de Eliminación Gaussiana En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables. El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.
Ejemplo del Método de Eliminación Gaussiana Se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:
Escrito de forma matricial de la siguiente forma:
El elemento (1,1) será usado como pivote para hacer ceros debajo de él; para ello debemos sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a los renglones inferiores:
En este caso los elementos por debajo del elemento (2,2) son cero, y el algoritmo procede a la siguiente columna. La matriz es ahora escalonada.
Ahora la el sistema se reduce a la forma siguiente, la cual se resuelve sustituyendo el valor de las variables a medida que se despejen, quedando:
Aplicaciones del Método de Eliminación Gaussiana El método de Gauss es un conocido algoritmo matemático que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales, los cuales pueden representar infinidad de problemas de ámbito profesional o cotidiano. Consiste en transformar el sistema en otro equivalente pero que esté escalonado (la primera ecuación tiene una incógnita, la segunda dos y así sucesivamente), de forma que pueda ser resuelto con mayor facilidad. Cualquier problema en el que exista una relación de dependencia entre un número finito de elementos se puede representar como un sistema de ecuaciones. Ejemplos de esto a nivel científico y técnico son la programación lineal, el análisis estructural o el procesamiento digital de señales. Los sistemas de ecuaciones son muy útiles en geometría. Un conjunto de ecuaciones de rectas y planos puede resolverse mediante el método de Gauss para calcular sus posiciones relativas en el plano o el espacio. Existen muchos casos en la vida real en los que es necesario el uso de cálculos geométricos, desde la arquitectura al dibujo. También se pueden extraer de la vida cotidiana de cualquier persona casos en los que un problema se puede representar como un conjunto de ecuaciones lineales y, por tanto, se puede resolver con el método de Gauss. Por ejemplo, a la hora de calcular el presupuesto de un proyecto o de una empresa podemos utilizar
este método. Hay muchos factores interrelacionados: los materiales que vamos a utilizar (denominándolos con la incógnita X, las horas de trabajo que se necesitan (Y) y el número de personas que lo van a realizar (Z), entre otras cosas. Con todos estos factores, se puede formar matemáticamente un sistema de ecuaciones lineales. Esto mismo se puede emplear para calcular el presupuesto diario a la hora de hacer nuestra compra. Una empresa de Taiwán
‘Acer’
que produce computadoras y productos
informáticos. Es el segundo mayor fabricante de computadoras del mundo y la mayor empresa de venta al por menor de computadoras en Taiwán. Esta compañía produce principalmente tres gamas de equipos, que son: Laptop, computadora personal y tableta. La compañía cuenta con tres departamentos y son de producción, ensamble y acabado. Para producir los productos se establecen en la siguiente tabla: Equipo
Producción
Ensamble
Acabado
Horas disponibles
Laptop
0
10
4
280
Computadora personal 1
16
4
348
Tableta
10
10
680
5
Y se requiere saber cuál es el número de horas por equipo.
Pseudocódigo del Método de Eliminación Gaussiana Proceso Eliminación Gaussiana Simple
Leer A, b (n,m)= Tamaño(A) a = FormaMatrizAumentada (A,b) Si n = m Entonces Para k=1 Hasta n-1 Para i=k+1 Hasta n mik = aik / akk Para j=k Hasta n+1 aij = aij - mikakj
Fin Fin Fin Para i=n Hasta 1 Suma = 0 Para p=i+1 Hasta n Suma = Suma + aipxp Fin xi = ( bi – Suma ) / aii Fin Fin Sino Muestre: ‘La matriz no es Cuadrada’
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