1.- AJUSTE DE CURVAS El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).
1.1.- MÉTODO MÍNIMOS CUADRADOS Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. En su form forma a más más simp simple le,, inte intent nta a minimizar la suma suma de cuad cuadra rado dos s de las las residuos)) entre los puntos generados por la diferencias diferencias ordenadas ordenadas (llamadas (llamadas residuos función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger. Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el méto método do de míni mínimo mos s cuad cuadra rado dos s es que que los los erro errore res s de cada cada medi medida da esté estén n distribuido distribuidos s de forma aleatoria. aleatoria. El teorema teorema de Gauss-Márko Gauss-Márkov v prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tien tiene e que que ajus ajusta tars rse, e, por por ejem ejempl plo, o, a una una distribuci distribución ón normal normal.. También ambién es importante importante que los datos recogido recogidos s estén bien escogidos escogidos,, para que permitan permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados). ponderados ). La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía. entropía.
El ejemplo mas simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observadas:
x 1, y 1),( x x 2 , y 2 ),( x x 3 , y 3 ),...,( x n , y n ). ( x La recta resultante y = y = a + bx + bx + E , E , en donde a y b son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abcisas y la pendiente, E es el error o residuo entre las observaciones y el modelo, E = y − a + bx , y presenta dos características importantes:
1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
Σ(Y − y ) = 0
2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado
Σ( Y−y
)2 → 0(mínima).
Una estrategia que obtiene la “mejor” línea a través de los puntos debe minimizar la suma de los errores residuales, como en:
Otro criterio seria minimizar la suma de los valores absolutos de las diferencias, esto es:
Una tercera estrategia en el ajuste de una línea óptima es el criterio de mínimas. mínimas. En este método, la línea se escoge de tal manera que minimice la distancia máxima a la que se encuentra un punto de la línea recta. Esta estrategia esta mal condicionada para regresión ya que influye de manera indebida sobre un punto externo, aislado, cuyo error es muy grande. Se debe notar que el criterio de mínimas, algunas veces esta bien condicionado para ajustar una función simple a una función complicada.
Una estrategia que ignora las restricciones anteriores es la de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, r S , de la siguiente manera:
Primera forma de obtener los valores a y b. La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:
EJEMPLO 1 Ajústese una línea recta a los valores x y y de las primeras dos columnas de la siguiente tabla:
2.- MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Dada Dada cierta cierta dificu dificulta ltad d para para encont encontrar rar soluci solucione ones s exacta exactas s a la resolu resolució ción n de ecuacione ecuaciones s diferencial diferenciales, es, podemos podemos deducir deducir aproximac aproximaciones iones usando usando métodos métodos numéricos como herramienta. Dentro de los mismos encontramos los siguientes:
2.1.- MÉTODO DE EULER Método de Euler Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial
Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a la curva
por
está dada
y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante
siempre y cuando
sea pequeño sea pequeño.. De aquí obtenemos que
Con lo cual cual podem podemos os usar usar el punto punto
para para constr construir uir el siguie siguiente nte punto punto
y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:
los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos
Figura 9
Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1.13 en la ecuación diferencial del problema de valor inicial 1.12 obtenemos el método de Euler
En el siguiente ejemplo podemos observar los pasos dados para la resolución de ecuaciones diferenciales usando el método de Euler mediante un diagrama de flujos.
2.2.- MÉTODO DE EULER MEJORADO (PREDICTOR) Este Este méto método do se basa basa en la mism misma a idea idea del del méto método do ante anterio riorr, pero pero hace hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:
donde
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio
corresponde a la pendiente
de la recta bisectriz bisectriz de la recta tangente tangente a la curva en el punto de la condición condición inic inicia iall y la “rect “recta a tang tangen ente te”” a la curv curva a en el punt punto o
, dond donde e
es la
aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz bisectriz se traslada traslada paralelamente paralelamente hasta hasta el punto de la condición inicial, inicial, y se considera considera el valor de esta recta en el punto
como como la aproximac aproximación ión de
Euler mejorada. Ejemplo
Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar
si:
Solución Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y enco encont ntra rare remo mos s la apro aproxi xima maci ción ón desp despué ués s de cinc cinco o iter iterac acio ione nes. s. A
diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de
primero y posteriormente el de
.
Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:
En nuestra primera iteración tenemos:
Nótese que el valor de
coincide con el
a coincidir, coincidir, pues para calcular
se usará
(Euler 1), y es el único valor que va y no
.
Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración: i teración:
Nótese Nótese que ya no coinciden coinciden los valores valores de
(Euler (Euler 1) y el de
. El proceso proceso
debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 1 2
0 0.1 0.2
1 1.01 1.040704
3 4 5
0.3 0.4 0.5
1.093988 1.173192 1.28336
Conclu Concluímo ímos s entonc entonces es que la aproxi aproximac mación ión obteni obtenida da con el método método de Euler Euler mejorado es:
Con fines de comparación, calculamos el error relati vo verdadero:
Vemos emos que que efecti efectivam vament ente e se ha obten obtenido ido una mejor mejor aproxi aproxima mació ción n con con este este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuest uestro ro terc tercer er método todo vere verem mos cóm cómo se red reduce uce aún más este ste erro error r prácticamente a un 0%! Veamos un segundo ejemplo.
Ejemplo Aplicar el método método de Euler mejorado para aproximar aproximar y (1.3) (1.3) si tenemos :
Solución Tenemos los siguientes datos:
En una primera iteración, tenemos lo siguiente:
Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 1 2 3
1 1.1 1.2 1.3
2 2.385 2.742925 3.07635
Concluímos entonces que la aproximación buscada es:
2.3.- MÉTODO DE RUNGE – KUTTA Métodos Métodos de Runge-Kut Runge-Kutta ta Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante importante familia de métodos métodos iterativos iterativos tanto implícitos implícitos como explícitos explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta. El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”. Definamos un problema de valor inicial como:
Entonces el método RK4 para este problema esta dado por la siguiente ecuación:
Donde
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto producto del tamaño tamaño del intervalo intervalo (h) por una pendiente pendiente estimada. estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes: k1 es la pendiente al principio del intervalo; k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto tn + h/2 usando el método de Euler k3 es otra otra vez vez la pend pendie ient nte e del del punt punto o medi medio, o, pero pero ahor ahora a usan usando do k2 para para determinar el valor de y k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3 Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden h4. Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el método de RungeKutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma línea de los
métodos de Euler. De hecho está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor. Coment Comentam amos os sin sin embar embargo, go, que que el métod método o de RungeRunge-Kut Kutta ta si conti contiene ene como como casos especiales especiale s los de Euler. Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial:
Ejemplo Usar el método de Runge-Kutta para aproximar
dada la siguiente ecuación
diferencial:
Solución Prime Primero, ro, identi identific ficam amos os el mismo mismo ejempl ejemplo o 1 de los dos dos método métodos s anteri anteriore ores. s. Segundo, procedemos con los mismos datos:
Para poder calcular el valor de ,
,
y
, debemos calcular primeros los valores de
. Tenemos entonces que:
Con el fin de un mayor mayor entend entendimi imient ento o de las fórmul fórmulas, as, veamo veamos s la siguie siguiente nte iteración:
El proceso proceso debe repetirse repetirse hasta obtener obtener
. Resumimo Resumimos s los resultados resultados en la
siguiente tabla: n 0 1 2 3 4 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1 1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403
Concluímos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:
Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:
Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en l a aproximación! Ejemplo Usar Usar el méto método do de Rung Rungee-Ku Kutta tta para para apro aproxi xima marr
dada dada la ecua ecuaci ción ón
diferencial:
Solución Igual que siempre, tomamos
y llegaremos a la aproximación en dos
pasos. Con esta aclaración, tenemos los siguientes datos:
Primera Iteración:
Segunda Iteración:
Concluimos entonces que el valor buscado es:
