APLICACION MASA - RESORTE.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

INGENIERIA CIVIL

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1. INTRODUCCIÓN En el estudio de las ciencias e ingeniería, así como en otros campos tales como, la economía, medicina, psicología, investigación de operaciones entre otros, se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función incógnita o función desconocida. A una ecuación ecuación de este tipo tipo se le denomina denomina ecuación ecuación diferencial. diferencial. Cabe destacar, que la manipulación de una ecuación diferencial no dista mucho del trato dado a una ecuación del tipo algebraico en lo que a la determinación de sus raíces se refiere, de hecho, el objetivo que sigue cada uno de estos dos problemas citados es exactamente el mismo, la determinación de un ente matemático desconocido, llámese función ó llámese variable según sea el caso, que reduzca a la ecuación original a una identidad, dicho en otras palabras, la determinación de una solución que satisfaga a la ecuación dada. La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia: i) Mediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo. ii) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema. Una vez formulado el modelo matemático (sea una ecuación diferencial o un sistema de ellas), llegamos al problema de resolverlo, que no es fácil en modo alguno. Una vez resuelto, comprobamos que el modelo sea razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema.

Lic. ENRIQUE ZELAYA DE LOS LOS SANTOS


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2. OBJETIVOS 2.1. OBJETIVO GENERAL: Entender el comportamiento del fenómeno de vibraciones libres forzadas 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:



Establecer un enunciado matemático para el modelado como hipótesis del mismo, donde en una o más ecuaciones intervengan derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.



Identificar las variables del modelado estableciendo una notación matemática.



Plantear y resolver la ecuación que rige al modelado, y comparar con datos experimentales acerca del comportamiento del sistema.

3. MARCO TEÓRICO: Dentro de las diversas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, tenemos los sistemas masa – resorte. Consideremos un objeto pequeño de masa m que está sujeto a un extremo libre de un resorte flexible de longitud L. el cual se halla suspendido en un soporte rígido horizontal. (Un resorte elástico tiene la propiedad de que si es estirado o comprimido a una distancia Δl , la cual es pequeña comparada con su longitud natural, ejerce entonces una fuerza de r estitución de magnitud K Δl . La constante K se conoce como la constante de fuerza del resorte, y es una medida de rigidez del mismo). Además la masa y el resorte pueden estar sumergidos en un medio, como por ejemplo aceite, el cual se opone al movimiento del cuerpo a través de él. Con frecuencia los ingenieros se refieren a un conjunto de este tipo como sistema masa-resorte-amortiguador, o como sistema sismométricos, ya que es similar en un principio a un instrumento sismográfico que se usa para detectar un movimiento de la superficie terrestre. Los sistemas masa-resorte-amortiguador tienen aplicaciones muy diversas; por ejemplo, los amortiguadores de los automóviles son sistemas de esta clase. La mayoría de los emplazamientos de cañones pesados contienen tales sistemas para minimizar el efecto de retroceso del arma. La utilidad de estos dispositivos se verá más claramente después de plantear y resolver la ecuación diferencial que describe el movimiento de la masa m. Al evaluar el movimiento de m es conveniente medir las distancias desde su posición de equilibrio, y no desde el soporte horizontal. La posición de equilibrio de la masa es el punto en el cual pende

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en reposo si no actúan fuerzas externas sobre ella. En la citada posición, el peso mg es compensado exactamente con la fuerza de restitución del resorte. Así pues, en su posición de equilibrio, el resorte ha sido alargado una longitud Δl . donde K Δl = mg. Se denotará por y = 0 a esta posición inicial y se tomará como positiva la dirección hacia abajo. Se denotará por y(t) la posición de la masa en el tiempo t . Para calcular y(t) se necesita la fuerza total que actúa sobre la masa m. Ésta es la suma de las cuatro fuerzas independientes W, R, D y F. (i) La fuerza W - mg es el peso de la masa y tira de ella hacia abajo. Esta fuerza es positiva, ya que la dirección hacia abajo es la dirección positiva para y. (ii) La fuerza R es la fuerza de restitución del resorte, que es proporcional al alargamiento o al acortamiento Δl + y del resorte. Actúa siempre para restituir la longitud natural del resorte. Si Δl + y > 0, entonces R es negativa, así que R = -k(Δl + y). y si Δl + y < 0 entonces R es positiva, de modo que R = -k(Δl + y). De cualquier modo R = -k(Δl + y)

(iii) La fuerza D constituye el amortiguamiento o efecto de fricción, y la ejerce el medio sobre la masa m. (La mayoría de los fluidos, tales como aceite, agua y aire, tienden a oponerse al movimiento de un objeto a través de ellos.) Esta fuerza actúa siempre en dirección opuesta a la de movimiento y es, con frecuencia, proporcional a la magnitud de la velocidad dy/dt. Si la velocidad es positiva, es decir, si la masa se mueve en dirección hacia abajo, entonces D = -cdy/dt, y si la velocidad es negativa, entonces D = -cdy/dt. En cualquier caso, D=- cdy/dt.

(iv) La fuerza Fes la externa que se aplica sobre la masa. Esta acción se dirige hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si la fuerza es positiva o negativa. En general, tal fuerza dependerá explícitamente del tiempo. De la segunda ley de Newton del movimiento se tiene que:



              – ( )  ()    ()

ya que mg = k . Por lo tanto, la posición y(i) de la masa satisface la ecuación diferencial lineal de segundo orden

   +ky = F(t) Lic. ENRIQUE ZELAYA DE LOS SANTOS


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donde m, c y k son constantes no negativas. En este caso se usará el Sistema Internacional de Unidades SI, de modo que F se medirá en newtons, y en metros, y t en segundos. En tal caso, la unidad de k es N/m; la unidad de c es N. s/m y la unidad de m es el kilogramo (N.s²/m). Vibraciones libres forzadas.

Ahora se considerará el caso sin amortiguamiento y con una fuerza externa que es periódica y tiene la forma F(t) = F0 cos t (vibración libre forzada). En este caso, la ecuación diferencial que describe el movimiento de la masa m es



          4. RESULTADOS

Masas (Kg) 2.622 4.9584 4.342 6.694

Peso (N) 25.7218 48.6419 42.595 68.3168

Lf (m) 0.118 0.1315 0.128 0.143

X(m) 0.015 0.0285 0.025 0.04 K PROM.

Lo = 0.103 m

M y’’+ k y = F (t) 4.9584y’’+ 1708.31y = 48.6419

4.9584K2 + 1708.31 = 0 k=

 √  

K = 18.5615 Yh: C1 Cos (18.5615 t) + C 2 Sen (18.5615t)

Para Y p: Proponemos Ψ (t) = Ao Ψ’ (t) = 0 Ψ’’ (t) = 0


K 1714.79 1706.73 1703.8 1707.92 1708.31


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Reemplazando 0 + 1708.3y = 48.6419 Y=

 

Y = C1 Cos (18.5615 t) + C2 Sen (18.5615t) +

 

Hallamos C1 y C2 Tenemos Y(0) = 0 Y’ (0) =0

Y (0) = C1 Cos (0) + C1 = -

 

 

Y = C1 Cos (18.5615 t) + C2 Sen (18.5615t) +

 

Y’ = - -185615 c1 Sen (18.5615 t) + 13.5615 C2 Cos (18.5615t) Y’ (0) 0= 18.5615*C2*1

C2= 0 Y (t) = -


 Cos (18.5615t) +   


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5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: 

Se pudo establecer un enunciado matemático para nuestro modelado, donde en una o más ecuaciones intervinieron derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales, cumpliendo así nuestro objetivo de la aplicación de ecuaciones diferenciales en problemas matemáticos que se dan en la vida real.

Se Identificó las variables de nuestro modelado estableciendo una notación

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matemática. 

Se Planteó y resolvió la ecuación que rige a cada modelado, y se comparó con datos experimentales acerca del comportamiento del sistema. Comprobando así que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.

6. BIBLIOGRAFÍA: 

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

Matemática III: Ecuaciones diferenciales ordinarias, María Margarita Olivares, 12 de marzo del 2002 Disponible en: http://www.matematica.ciens.ucv.ve/pregrado/Matematicas_III/Matematicas%20III%2 0-%20M.%20Olivares.pdf?dir=guias ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS. Disponible en: http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/FC/0206024/Apuntes/tema1_0506.pdf Aplicaciones de primer orden. Disponible en: http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/3.AplicacionesPrimerOrden/ImpMecanica.pdf

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Zill G. Denis; Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones al modelado; Sexta edición Disponible en:http://es.scribd.com/doc/2154161/Libro-Dennis-G-Zill-EcuacionesDiferenciales



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ANEXOS



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Imagen N° 1: Pesando la primera muestra

Imagen N° 2: Pesando la segunda muestra



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Imagen N° 3: Pesando la tercera muestra

Imagen N° 4: Pesando la cuarta muestra



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Imagen N° 5: Observando el resorte



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Imagen N° 6: Mostrando el modo experimental para hallar k

Imagen N° 7: Realizando el proceso de experimentación


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